Méthode semi graphique d’addition Méthode semi graphique d’addition d’ondes. La méthode d’ondes. La méthode trigonométriquetrigonométrique n’est pas commode dans le cas de 3 n’est pas commode dans le cas de 3 sources ou plus, ou si les amplitudes sources ou plus, ou si les amplitudes

sont différentes.sont différentes.

1

Les vecteurs de Fresnel (section 7.5)

Interférence à N fentes Position des maxima principaux

Position des minima

Position des maxima secondaires

Illustrations

Intensité de la figure de diffraction (section 7.6)

2

Méthode

1. Chaque onde est représentée par un vecteur tournant (avec une vitesse angulaire appelé vecteurs de Fresnel.

2. La projection sur l’axe vertical représente la variation de la grandeur physique.

3. Additionner 2 ondes (ou plus) équivaut à faire la somme de deux vecteurs formant un angle entre eux.

4. L’amplitude de l’onde résultante sera la longueur du vecteur résultant (utilisation de la loi des cosinus ou des composantes).

3

4

Illustration

−1

−0,5

0

0,5

1

τ

π 2π3π2π2

π 2

π 2

π

Il s’agit d’additionner 2 ondes de même amplitude et de même fréquence angulaire . Ici, les vecteurs de Fresnel sont les champs électriques.

5

E

t

ER

Pour faciliter la tache, on suppose E1 = 0 à t = 0 s , alors: ER = E1 + E2

La solution recherchée est de la forme : ER = E0R sin ( t + )

Avec la loi des cosinus on obtient:

E1=E0sin t

E2=E0sin(t+φ)

E0 R= E0

2 + E02 + 2 E0

2 cos ( φ ) = 2E02(1+cos(φ))

rE01

rE02

rE0R

6

On sait que: 1 + cos = 2 cos2 ( /2) (p. 295) et comme Io est proportionnel à E 2

0R on obtient:

Ici, et

Alors:

I =4I0cos

2 φ2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

φ=

2πδλ δ =dsin

φ=

2πdsinλ

7

8

Conditions: 3 fentes identiques (source en phase).

Remarques:

1. Les positions des maxima principaux sont les mêmes indépendamment du nombre de fentes.

2. Plus le nombre de fentes ( N ) augmente, plus les maxima principaux sont étroits et intenses.

3. Pour N > 2, on remarque la présence de maxima secondaires.

9

En un point sur l’écran, les champs proviennent de fentes adjacentes et ont une différence de phase de :

φ=

2πdsinλ

10

E

t

ER

Pour construire la figure de distribution d’intensité, on trace les diagrammes pour diverses différence de phase .

rE0R

rE03

rE02

rE01

E2=E0sin(t+φ)

E1=E0sint

E3=E0sin(t+ 2φ)

11

Lorsque toutes les ondes sont en phase.

Soit = 0, 2π, 4π, 6π……

E0 E0E0

E0R = 3E0

Puisque l’intensité est proportionnelle au carré de l’amplitude on obtient: I = 9 I0.

12

Pour obtenir E0 = 0, la figure doit se refermer

E0

E0E0

Première possibilité

E0

E0E0

Deuxième possibilité

Remarque: Il existe ( N – 1) minima entre 2 maxima principaux.

φ=2π

3

φ=4π

3

13

Lorsque = π.

E0

E0E0

E0R = E0

Alors I = I0

14

Positions des maxima principaux Soit = 0, 2π, 4π, 6π……

Intensité des maxima principaux I = N 2 I0

Positions des minima (N.B. Il existe (N – 1) minima entre deux maxima principaux)

Soit = 2π ; 4π ; 6π ……(maximum principal lorsque = 2π) …2π + 2π ; 2π + 4π ; 2π + 6π …… (maximum principal lorsque = 4π) ….

Positions des maxima secondaires (Environ à mi-chemin entre 2 minima et au nombre de (N – 2) entre 2 maxima principaux)

Soit = 3π ; 5π ; 7π ……(maximum principal lorsque = 2π) …2π + 3π ; 2π + 5π ; 2π + 7π …… (maximum principal lorsque = 4π) ….

N.B. Il y a une limite ( = 90°) 15

N = 2

N = 3

N = 416

Deux sources

Trois sources

Quatre sources

I =I 0 sin

2 (Nφ 2)

sin2 (φ 2) 17

Utilisation des phaseurs pour calculer l’intensité de la figure de diffraction.

On divise la largeur a de la fente en N sources ainsi la distance d entre 2 sources adjacentes est:

et la différence de marche δ entre 2 rayons adjacents devient:

Ce qui correspond à une différence de phase associée à cette différence de marche:

d =

aN

δ =dsin

φδ =

2πdsinλ

Si Ao est l’amplitude due à une source unique, l’amplitude au centre de l’écran est maximale, ainsi:

Amax = N Ao

Ao Ao Ao Ao Ao Ao

Amax

Pour N très grand, l’arc de cercle sous-tendue par l’angle est: N Ao = Amax

Ainsi; r = N Ao = Amax

/2

/2

Alors:

=N φ

A=Amax

sin 2

2

sin

2=

A / 2r

A=2 r sin

2

Puisque:

alors:

avec:

Remarque: est la différence de phase entre 2 rayons extrêmes.

I ∝ A2

I =I0sin

2

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

2

=

2 πλ

asin

Lorsque: a sin =mλ ( m = 1, 2, . ...)

Lorsque:

C’est-à-dire, pour:

Position des maxima secondaires:

Intensité des maxima secondaires:

Remarque: 93% de l’intensité se retrouve dans le pic central.

2

= tanα

2

=2,86 π , 4,92 π , 6,94 π

I =0,047 I 0 , 0,017 I 0 ,0,008 I 0

d I

d =0

Lorsqu’on observe une figure d’interférence à 2 fentes (ou plus), ce que l’on observe sur l’écran est une combinaison d’une figure de diffraction (due à la largeur d,une fente) et une figure d’interférence à 2 fentes.

L’intensité peut être obtenue à partir de la figure d’interférence à 2 fentes, en remplaçant l’intensité de chaque ( I 0) par l’intensité due à la diffraction, on obtient:

I =4I 0sin

2

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2

cos2 (φ 2)

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Faire l’exercice 23

Faire le problème 3

25