Méthode des noeuds et crémona
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Chapitre 6
LES POUTRES CONTINUES
Application de la méthode des forces
A- POUTRES CONTINUES A ÂME PLEINE
6.1 INTRODUCTION
Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre très fréquemment
dans les constructions courantes.
On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il s’agit
généralement d’appuis simples, à l’exception d’un seul qui est un appui double et
dont le rôle consiste à assurer la stabilité géométrique de la poutre, comme
empêcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. L’appui double
peut être placé à une extrémité ou, plus généralement, être un appui
intermédiaire.
k n lk ln
1 l1
0
Figure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numérotation des travées
Les extrémités d’une poutre continue peuvent très bien comporter des porte-
à-faux ou être encastrées. Le traitement de ces cas particuliers est abordé plus
loin.
Les poutres continues sont des systèmes hyperstatiques puisqu’elles
présentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit
comporter une poutre isostatique). Dans le cas d’une poutre sans encastrements,
le nombre de liaisons surabondantes, donc le degré d’hyperstaticité, est égal au
nombre d’appuis intermédiaires.
96 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
Comparativement à une série de poutres bi-articulées dont le nombre est égal
à celui des travées d’une poutre continue, cette dernière est plus économique car
les moments fléchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est
encore plus nettement à l’avantage de la poutre continue par rapport à une poutre
isostatique unique de même longueur. Dans une poutre continue, les appuis
intermédiaires contribuent à réduire et à mieux répartir sur toute la poutre le
moment fléchissant (qui est la sollicitation prépondérante). Cette observation
reste valable pour les déplacements qui sont nettement moins importants dans le
cas des poutres continues. Ces dernières présentent par ailleurs une plus grande
rigidité et résistent de ce fait mieux à l’action dynamique.
Les charges considérées ici sont supposées être appliquées statiquement.
Elles sont constituées de charges transversales (voire inclinées), concentrées ou
réparties, et de couples.
Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tous
les systèmes hyperstatiques, sont très sensibles aux déplacements des appuis. Ce
phénomène a déjà été mis en exergue dans un exemple d’application des
formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de
l’affaissement d’un de ses appuis.
Lorsque des tassements d’appuis sont à craindre, les poutres isostatiques sont
mieux indiquées. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermédiaires
sont nécessaires, on ajoute à la poutre continue des articulations judicieusement
placées de manière à la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilité aux
affaissements des appuis susceptibles de se produire.
Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique
par l’ajout de rotules - est désigné par poutre Gerber. Elles sont obtenues en
ajoutant autant d’articulations qu’il y a d’appuis intermédiaires. Pour s’assurer
que la structure obtenue est bien isostatique et qu’il n’y a ni tronçon déformable
(tronçon libre constituant un mécanisme) ni tronçon hyperstatique, il suffit de
respecter la règle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni
plus de deux appuis entre deux articulations. A titre d’exemple, la figure 6.2
montre les deux façons possibles d’obtenir une poutre type Gerber dans le cas de
deux appuis intermédiaires.
(a)
(b)
Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber
L’influence du moment fléchissant sur les déformations étant prépondérante
dans les poutres continues, c’est la seule sollicitation dont il sera tenu compte
lors du calcul des déplacements que nous serons amenés à effectuer.
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 97
6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCES
Considérons une poutre
continue horizontale sans
encastrements (Figure 6.3a).
L'application directe et
intuitive de la méthode des
forces conduit à considérer
comme inconnues
hyperstatiques les réactions
(verticales) des appuis
intermédiaires.
Le système de base
obtenu par suppression des
liaisons verticales des appuis
intermédiaires est une poutre
simplement appuyée (Figure
6.3b). Dans ce cas, le calcul des moments unitaires msk
(Figure 6.3c et 6.3d) et du
moment provoqué par les charges extérieures MsF,
nécessaires au calcul des
coefficients , ne présente aucune difficulté. ij u et
X2=1
X1=1
X2 X1
0 1 l1
2 3 l2 l3
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 6.3
jF
Cependant, ce choix n’est pas intéressant car il implique des calculs
fastidieux à cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont
généralement différents de zéro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les
éléments de la matrice de souplesse [ u] et du vecteur déplacement [ F] sont tous
non nuls.
Ceci n’est pas la seule raison ; il en existe une autre plus déterminante.
Chaque colonne de la matrice [ u] représente les déplacements (flèches s’il s’agit
d’une poutre horizontale) des points d’application des inconnues hyperstatiques
provoqués par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs
appuis intermédiaires, deux colonnes successives de [ u] auront des valeurs très
proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [ u] devient pratiquement
singulière et conduit à des solutions très imprécises lors de la résolution du
système d’équations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des
inconnues hyperstatiques de manière à contourner cette difficulté et à réduire les
calculs.
98 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS
6.3.1 Etablissement de la formule
Considérons une poutre continue sans encastrements à n travées (Figure 6.4).
Son degré d'hyperstaticité est égal à n-1.
ln
n 1 k-1 k k+1
l1 lk lk+1
0
Figure 6.4
Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments fléchissants agissant au
droit de chaque appui intermédiaire. Pour ce faire, on procède à des coupures de
manière à supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. S’agissant
d’inconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libère deux inconnues (des
moments) égales est opposées.
En pratique, cela revient à introduire une articulation au-dessus de chaque
appui intermédiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on
applique aux lèvres de chacune des coupures deux couples égaux et opposés
(M1, M2, …, Mn-1) (Figure 6.5b).
(a)
Xn-1=Mn-1Xk+1=Mk+1Xk=Mk Xk-1=Mk-1X1=Ml
n n-1 k+1k-1 k 1 0
(b)
Figure 6.5 : Système statique de base
Le système statique de base ainsi obtenu présente une propriété remarquable.
En effet, on remarque que si on charge une travée, les autres ne subissent aucune
influence. Ce résultat signifie que le système principal se comporte comme une
succession de poutres simplement appuyées obtenues par séparation des n
travées (Figure 6.6).
Mn-1
Mn-1
Mk+1
Mk+1
Mk
Mk
Mk-1
Mk-1
M1
M1
Figure 6.6
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 99
Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le théorème de
Menabrea pour chacun d’eux :
! ! ! !W
Mc
W
Mc
W
Mc
W
Mc
kk
nn!
"!
"!
"!
"#
#1
12
21
1, ... ... , ,
où les représentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans
le cas des systèmes concordants. Les équations du système ci-dessus peuvent se
mettre sous la forme connue de Müller-Breslau. L’équation courante relative à
l’inconnue M
ci
k s’écrit :
!
W
Mc M
kk ki
ui kF!
" $ % "&
i=1
n-1
ck
'
kd
En développant l’expression précédente, le système des "n-1" équations de
continuité prend la forme :
11 1 12 2 1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 1
u un
un F
ku
ku
knu
n kF k
M M M c
M M M c
% % % % "
% % % % "
# #
# #
...............................................................
.................................................................
... nu
nu
n n n n F nM M M c# # # # # # #% % % % "11 1 12 2 1 1 1 1 1
Chacune des équations exprime la condition de continuité de la poutre
déformée au-dessus d'un appui. L’équation k par exemple, exprime que la
rotation relative entre les lèvres de la coupure
au-dessus de l'appui k est égale au manque de
concordance correspondant. Dans le cas d’un
système concordant cette rotation relative est
nulle ; ou encore que la rotation à gauche ( )
est égale à la rotation à droite ( ) ; ce qui
signifie aussi qu'en chaque point (appui par
exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne
élastique (la déformée) est continue (Figure 6.7).
kg
'
( )' kd
( )' kg
Tangente
k
Figure 6.7
Signification des coefficients iju et iF
Les coefficients et iju iF
iju
représentent les rotations relatives des lèvres de
la section coupée i du système de base. Les premières sont des rotations par unité
de couple.
• est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,
sous l’effet d’un couple unitaire appliqué aux lèvres de la coupure j (les sections
i et j se trouvant dans le cas présent au dessus des appuis intermédiaires i et j).
• est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,
sous l’effet des charges extérieures (notées F).
iF
100 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
Considérons par exemple l'équation de continuité k (relative à la coupure k).
Elle s’écrit :
ku
ku
kku
k kku
k kku
k knu
n kF kM M M M M M c1 1 2 2 1 1 1 1 1 1% % % % % % % % "# # % % # #... ... (6.1)
kjuOn voit apparaître dans l’équation les coefficients avec j = 1, 2, … , n-1
et kF. Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la
sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales
suivantes :
et kF. Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la
sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales
suivantes :
kju sk sj
kFsF sk
LL m m
EIdx (a)
M m
EIdx (b)" " ((
00 (6.2)
L = longueur totale =
i=1
n
li&
où msk (mk) et msj (mj) sont les moments fléchissants produits dans la section
courante s du système fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1
agissant en k et en j, respectivement (Figure 6.8). MsF étant le moment
fléchissant dans la section courante du système de base sous l’action des charges
extérieures (F).
1
j+1
Mj=1
j j-1
lj+1
4
lj
lk+1 1
lk
k+1
Mk=1
k k-1 (a)
(b)
Figure 6.8 : Diagrammes msk et msj
On constate que chaque couple unitaire produit un moment fléchissant
uniquement sur les deux travées situées de part et d'autre de l'appui où il est
appliqué. Pour que les moments dans la section courante s produits par Mk=1 et
Mj=1 soient simultanément différents de zéro, il faut que les indices k et j ne
diffèrent pas de plus d'une unité. On en déduit que les coefficients sont nuls
dès que k diffère de j de plus d'une unité. Ainsi, dans l'équation (6.1) seuls les
coefficients sont différents de zéro.
kju
%1 ku
kku
k ku
#1 k et ,
Compte tenu de ce résultat, l'équation générale de continuité (6.1) se
simplifie et devient :
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 101
k ku
k k k k kku
k kF kM M-1u M# % %% % c% "1 1 1 (6.3)
ou encore :
k ku
k k k k kku
k k kFM M c-1u M# % %% % #"1 1 1 (6.4)
On remarque que trois moments fléchissants interviennent dans cette
équation, d'où son nom de "formule des trois moments".
6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois moments
Il reste à calculer les coefficients intervenant dans l'équation (6.4).
Considérons une poutre continue sans encastrement comportant n travées. Les
diagrammes unitaires permettant le calcul des coefficients
sont représentés à la figure 6.9. kku
kku
#1 , et kku
%1
kku
#1
Figure 6.9 : Diagrammes unitaires msk-1, msk et msk+1
k-2
Mk-1=1
k-1
k k+2
Mk+1=1
k+1
lk+2 1
lk+1
Mk=1
k
lk+1 1
lk
k-1 k+1
k
lk 1
lk-1
(a)
(b)
(c)
• Calcul de :
kku sk sk sk sk
io
lLsk sk
k
lm m
EIdx
m m
EIdx
m m
EI
i k
## # #" (&( (1
1 1
0
1
0= =
i=1
n
( ) ( ) (6.5)
avec :
102 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
mx
l
x
lsk
ksk
k# " # "1 1 et m
d'où :
) * kk
u
k k k
l
k
k
k
lx
l
x
l
dx
EI l
x l x
EIdx
k k
# " #+
,-
.
/0 "
#( (1 2
11
0 0( ) ( ) (6.5)’
Si (EI)k est constante sur lk, on obtient :
kku
# "16(
k
k
l
EI )
Ce dernier résultat - cas avec (EI)k constante sur la travée lk - s'obtient plus
rapidement avec la méthode graphique ; il vient :
kku
kk
k
kEIl
l
EI# " +
,-./0+,-
./0"1
1 1
21
1
3 6( ). .
( )
Si la rigidité flexionnelle varie sur chaque travée, on calcule les coefficients
analytiquement comme on l'a fait pour . kku
#1
Pour le reste des calculs nous supposons que EI est constante sur chaque
travée.
• Calcul de (méthode graphique) kku
kku
kk
kk
k
k
k
kEIl
EIl
l
EI
l
EI" +
,-./0+,-
./0% +
,-./0+,-
./0" %
%%
%
%
1 1
21
2
3
1 1
21
2
3 3 311
1
1( ). .
( ). .
( ) ( ) (6.6)
• Calcul de (méthode graphique) kku
%1
k kk
kk
kEIl
l
EI%
%%
%
%
" +,-
./0+,-
./0"1
11
1
1
1 1
21
1
3 6
u
( ). .
( ) (6.7)
• Calcul de kF
Par définition, voir relation 6.2 (a) :
kFsk sF
i
l
i
nsk sF
k
lsk sF
k
lm M
EIdx
m M
EIdx
m M
EIdx
i k k
" %(& ( (" %
%
( ) ( ) ( )01
0 10
1
= (6.8)
Seules les deux intégrales sur lk et lk+1 subsistent puisque msk est nul en
dehors de ces travées. Soit :
kF kg F
kR" %( ) d FR ( )
Rkg F( )
(6.9)
- = rotation de la section k (au-dessus de l'appui k) du système statique
de base sous l'effet des charges extérieures agissant sur la travée lk.
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 103
- = rotation de la section k du système statique de base sous l'effet des
charges appliquées sur la travée lk+1.
Rkd F( )
• Calcul pratique de kF
Rkg F( )
Rkd F( )
1ère méthode
Considérons les travées lk et lk+1 (du système isostatique de base) adjacentes
à l'appui considéré k. Les deux travées constituent deux poutres simplement
appuyées comme on l’a vu.
Le diagramme des moments fléchissants de chaque poutre sous les charges
extérieures peut être aisément obtenu. Selon la méthode de la poutre conjuguée,
utilisée pour le calcul des déplacements des systèmes isostatiques (voir chapitre
2), si on charge (fictivement) les poutres par leurs diagrammes des moments
respectifs divisés par la rigidité flexionnelle (qf=MsF/EI), alors et
constituent la réaction en k de la poutre de gauche et la réaction en k de la
poutre de droite, respectivement (Figure 6.10).
Rk
g F( ) Rk
d F( )
MsF/EI
k+1k k-1
lk+1 lk
b) Poutres conjuguées a) Diagramme MsF
Figure 6.10
2ème méthode
Sachant que le moment msk vaut “ x/lk ” sur la travée lk et “ 1-x/lk+1 ” sur la
travée lk+1, l’équation (6.8) devient :
kFsF
k k
lsF
k k
l
k
sF
k
l
k
k sF
k
l
M x
l EIdx
M
EI
x
ldx
l
xM
EIdx
l
l x M
EIdx
k k
k k
" % #
" %#
( (
( (
% %
%
%
%
%
%
( ) ( )( )
( )
( )
( )
0 1 10
0 1
1
10
1
1 1
1
1
La première intégrale représente le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k ” sur la travée lk par rapport à l’appui “ k-1 ” alors que la deuxième
donne le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k+1 ” sur la travée lk+1 par
rapport à l’appui k+1. L’équation précédente peut s’écrire :
kFk
k
S
l" % k
k
S
l
%
%
1
1
(6.10)
où et Sk sont les moments statiques définis plus haut. S k%1
104 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
Dans le cas où la rigidité flexionnelle est constante sur chaque travée,
l’expression précédente prend la forme :
kFk k
k kk k
k kl EIz
l EIz" %
% %% %
1 1
1 11 1( ) ( )
1 1 (6.11) (6.11)
- 1k est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk. - 1k est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk.
- 1k+1 est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk+1. - 1k+1 est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk+1.
- zk distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de 1k. - zk distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de 1k.
- - distance de l’appui “ k+1 ” au centre de gravité de 1k+1. zk%1
• Calcul de ck
Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement
linéaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa
position réelle. Dans le cas présent, les manques de concordance à introduire
sont des déplacements angulaires et la position concordante correspond à la
position horizontale.
Les manques de concordance proviennent des dénivellations 2 que peuvent
subir les appuis (Figure 6.11). Comme nous travaillons dans le cadre des petits
déplacements, les dénivellations sont suffisamment petites et de ce fait les angles
de discontinuité (Figure 6.11c) peuvent être confondus avec leurs tangentes.
(a) Position concordante.
(b) Position réelle.
(c)
3 4 2k+1
2k 2k-1
k-1 k+1k
lk+1 lk
(a)
(b)
Figure 6.11
Le manque de concordance est donné par :
ck = 35+ 4 = tg3 + tg4 = (2k-52k-1)/lk + (2k-52k+1)/lk+1
= (2k-52k-1)/lk - (2k+1-52k)/lk+1 (6.12)
Les dénivellations sont comptées positivement vers le bas.
En introduisant dans l'équation des trois moments (6.4) les valeurs trouvées
des différents coefficients on obtient :
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 105
Mm m
EIdx M
m
EIdx
m
EIdx
Mm m
EIdx
l l
m M
EIdx
m M
EIdx
ksk sk
k
l
ksk
k
lsk
k
l
ksk sk
k
l
k k
k
k k
k
sk sF
k
lsk sF
k
l
k k k
k
k k
##
%
%%
%
# %
% %
( ( (
(
( (
% %6
788
9
:;;%
% "
"#
##
# #
%
%
%
11
0
2
0
2
10
11
10
1 1
1 0 10
1
1
1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
(6.13)
ou encore :
M
l
x l x
EIdx M
l
x
EIdx
l
l x
EIdx
M
l
x l x
EIdx
l l
l
xM
EIdx
l
l x M
EIdx
k
k
k
k
l
k
k k
l
k
k
k
l
k
k
k
k
lk k
k
k k
k
k
sF
k
l
k
k sF
k
l
k k k
k
k k
#
%
%
%
%
%
%
%
# %
%
%
%
%
#% %
#6
788
9
:;;%
%#
"#
##
# ##
( ( (
(
( (
%
%
%
12
02
2
01
21
2
10
1
12
1
10
1 1
1
0 1
1
10
1 1
1 1
1
1
1
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 (6.13)’
Ces expressions sont valables dans le cas général.
Cas particuliers
1) Chaque travée a sa rigidité flexionnelle constante.
Ml
EIM
l
EI
l
EIM
l
EI
l l l EIM xdx
l EIM l x dx
kk
kk
k
k
k
kk
k
k
k k
k
k k
k k ksF
l
k ksF k
l
k
k
#%
%%
%
%
# %
%
% %%
% %6
78
9
:; % "
##
#6
78
9
:; #
# #
(
(%
11
11
1
1
1 1
1 0
1 11
0
2
66
6 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
=
2 2 2 2 (6.14)
2) Rigidité flexionnelle constante sur toute la poutre.
M l M l l M l
EIl l l
M xdx
lM l x dx
k k k k k k k
k k
k
k k
k ksF
l
ksF k
l
k
k
# % % %
# %
%
%%
% % % "
##
#6
78
9
:; #
# #
(
(%
1 1 1 1
1 1
1 0
11
0
2
66
6 1
( )
( )
=
2 2 2 2 (6.15)
3) Le système est concordant et EI est constante sur toute la poutre.
M l M l l M l
lM xdx
lM l x dx
k k k k k k k
ksF
l
ksF k
lk k
# % % %
%%
% % % "
# # #( (%
1 1 1 1
0 11
0
2
6 6 1
( )
( ) = (6.16)
106 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
Rkd F( )
On peut remplacer le second membre par la réaction fictive agissant en k :
. Cette réaction est positive si elle est dirigée de bas en haut. R RkF
kg F" %( )
On écrit l'équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire.
6.3.3 Points particuliers ticuliers
1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre
adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des
trois moments.
1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre
adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des
trois moments.
2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée par ses
effets, pour l'application de la formule des trois moments.
2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée par ses
effets, pour l'application de la formule des trois moments.
3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre
les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.
3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre
les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux.
6.3.4 Calcul des éléments de réduction 6.3.4 Calcul des éléments de réduction
1) Réaction de l’appui k1) Réaction de l’appui k
- Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12).
RM M
lk Mg
k( ) "
##1k k ; Mk Mk+1 Mk-1
Rk M
d
( )R
k M
g
( )
k+1 k-1
k
lk+1 lk
RM M
lk Md
k( ) "
#%
%
1
1
k k
Rk F( )
- Action des forces extérieures :
R Rk F k Fg d
( ) ( )" % Figure 6.12
d'où :
R RM M
l
M M
lk k F
k k
k
k k
k
" %#
%## %
%( )
1 1
1
(6.17)
2) Moment fléchissant
Le diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des travées
isostatiques) des charges extérieures et des moments appliqués aux appuis.
Cherchons l’expression du moment fléchissant dans la section courante de la
travée lk (d’abscisse x par rapport à l’appui k-1).
Chaque travée lk du système de base se comporte comme une poutre bi-
articulée sollicitée, en plus des charges extérieures, par deux couples Mk-1 et Mk
appliqués à ses appuis. Si on désigne par le moment produit dans la
section courante de lk par les charges extérieures qui lui sont appliquées, alors
l’expression générale du moment fléchissant s’écrit :
Ms F( )
) *M M M M Mx
ls s F k k k
k
" % % ## #( ) 1 1 (6.18)
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 107
3) Effort tranchant
L’expression de l'effort tranchant dans la section courante d’abscisse x
s’obtient en dérivant par rapport à x l'expression du moment. Désignons par
l’effort tranchant dû aux charges extérieures ; il vient : Ts F( )
T TM M
ls s F
k k
k
" %#
( )#1 (6.19)
6.3.5 Exemple d'application q
l3=ll2=ll1=l3 2 1 0
Considérons une poutre à
trois travées égales et à inertie
constante soumise à une charge
uniforme q (Figure 6.13a).
(a)
M2 M1 La poutre est deux fois
hyperstatique mais compte tenu
de la symétrie, il n’y a qu’une
seule inconnue. On écrit une
fois l’équation des trois
moments, pour k=1.
(b)
M1=1
M0 = M3 = 0
et M1 = M2 = M
Equation des trois moments
(appui 1) :
) *
) *
M l M l l M l
EI R R
Ml EI R
R
Ml EI R
g F d F
g F
g F d F
g F
0 0 1 1 2 2 2
1 1
1
1 1
1
2
6
5 6 2
5 12
% % %
# %
" #
"
" #
=
;
R
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
REI
qll
ql
EI
g F1
2 31
2
2
3 8 24
( ) "+
,-
.
/0 "
< " # Mql2
10, M est dirigé
dans le sens opposé du sens
choisi arbitrairement.
(c) ms1
M2=11
1
(d) ms2
) *"
ql2/8
(e) Ms(F)
ql2/10
(f) Ms(M)
2ql2/25ql2/40
ql2/10
(g) Ms
0.6ql
0.5ql0.4ql
(h) Ts
Les figures 6.13g et 6.13h
montrent les diagrammes de M
et de T. Figure 6.13
108 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
B- POUTRES EN TREILLIS ARTICULES
6.5 SYSTEMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULES
6.5.1 Définitions
a) Système en treillis articulé
On appelle système en treillis articulé (système réticulé ou plus brièvement
treillis) un ensemble de pièces droites ou courbes, appelées barres, liées les unes
aux autres (en leurs extrémités) par des articulations. Les points d'assemblage
des barres sont appelés nœuds.
Figure 6.14 : Poutre isostatique
Membrure supérieure
Membrure inférieure
DiagonaleMontant
b) Système plan en treillis articulé
Lorsque les axes des barres et les charges appliquées sont situés dans un
même plan, on parle alors de système plan.
c) Système chargé indirectement
On dit qu'un système en treillis est chargé indirectement, si toutes les forces
extérieures sont appliquées exclusivement aux nœuds.
Si les charges sont appliquées en des points quelconques et notamment en des
endroits des barres autres que les nœuds, on parle alors de système chargé
directement.
d) Système isostatique
Si les équations de la statique suffisent à elles seules à la détermination
complète du système, c'est-à-dire qu'elles permettent de calculer les réactions et
les efforts en tout point du système, le système considéré est dit isostatique. Dans
le cas contraire, le système et dit hyperstatique.
6.5.2 Treillis chargés indirectement
Seuls les treillis isostatiques plans, chargés indirectement, seront envisagés
dans ce chapitre.
a) Théorème :
Lorsqu'un système plan en treillis articulé, constitué de barres droites, est chargé indirectement, chaque barre du système n'est soumise qu'à un effort
normal constant.
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 109
Considérons une barre du treillis. Le système étant en équilibre, chaque barre
le constituant l'est aussi. La barre étant articulée, ses extrémités ne sont le siège
d'aucun moment. Les seules sollicitations qu'elle supporte sont les systèmes de
forces concentrées aux extrémités.
Chaque système de forces admet
une résultante. Les résultantes (R1 et
R2) doivent obligatoirement être
égales et opposées pour que
l'équilibre puisse se réaliser. En
définitive, la barre n'est soumise qu'à
un effort normal constant pouvant
être une traction ou une compression.
b) Condition d'isostaticité
Les barres n'étant soumises qu'à
des efforts normaux, en chaque nœud
du treillis il y a un système de forces
en équilibre. L'équilibre d'un système
agissant sur une particule, un nœud
par exemple, est vérifié si la
résultante est nulle ou si les
projections suivant 2 directions
perpendiculaires (x et y par exemple),
sont nulles (=Fx = 0, =Fy = 0).
Si n désigne le nombre de nœuds
(les appuis sont aussi des nœuds, n =
10 pour le système de la figure 6.14),
le nombre d'équations d’équilibre de
la statique qu'on peut écrire est égal à 2n.
Soient b le nombre de barres et l le nombre de liaisons dans les appuis. La
condition d'isostaticité s'écrit :
2n = b+l (6.20)
Il faut cependant préciser que la condition (6.20) peut s'avérer insuffisante à
prouver l'isostaticité d'un treillis ; le système doit en outre être géométriquement
invariable.
Une règle simple dite règle
de la maille triangulaire
permet de vérifier si le système
est isostatique et stable. Cette
règle s'énonce comme suit : si,
partant d'une maille
triangulaire, on arrive à
reconstituer le système en
ajoutant 2 barres à la fois, alors le système est isostatique stable.
R1
R2
Figure 6.15 : Barre d'un treillis chargé indirectement
F1
F1
Fi
Fn
y
x
Figure 6.16 : Nœud d'un treillis chargé indirectement
Figure 6.17 : Système vérifiant la condition 6.20 mais instable
110 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
6.5.3 Méthodes de calcul
On peut diviser les méthodes de calcul des systèmes en treillis articulés
isostatiques en deux catégories : les méthodes analytiques et les méthodes
graphiques. La méthode graphique la plus répandue est celle de Cremona (tracé
de Cremona). Elle consiste à construire le polygone des forces en chaque nœud.
Les méthodes analytiques les plus usuelles sont la méthode des nœuds et la
méthode des sections. Les trois méthodes citées seront présentées.
Il faut souligner que, indépendamment de la méthode utilisée, on doit
toujours commencer par le calcul des réactions.
a) Méthode des nœuds
Principe : La méthode consiste à isoler le nœud considéré par des coupures
libérant les efforts dans les barres et à projeter toutes les forces, efforts normaux et forces extérieures, agissant sur le nœud suivant deux axes perpendiculaires.
On doit obligatoirement entamer les calculs par un nœud auquel n'aboutissent
que deux barres (2 inconnues, 2 équations). Puis on passe à un nœud qui ne
présente pas plus de deux inconnues.
Exemple d'application
>5 Nœud A
Le choix du sens des efforts dans les barres est
arbitraire. Le sens choisi correspond à la traction ; le
calcul montrera pour chaque barre la nature exacte de
l'effort qu'elle porte.
Fx = 0 ! N2 = 0
Fy = 0 !N1 = -P (le signe "-" indique que la
barre 1 est soumise à une compression).
Figure 6.18 : Poutre isostatique
P/2 P/2 P
F E C
A D G
B
y
x "
l l l l
4 8
3
2 1h
N1
N2 A
RA=P
65 7 9
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 111
#$ Nœud C
Fx = 0 ! N3 cos"$+ N4 = 0
Fy = 0 ! P - N3 sin"$= 0
d'où :
NP
3 %sin"
(traction)
et NP
tg4 % &
"(compression)
#$ Nœud D
N4
N3
N1=P
"
N6
N5
D
N2=0 "
N3=P/sin"
F N N
P
tg
F N N
P (compres
x
y
% ! % %
%
% ! % & %
% &
0
0
6 3
5 3
cos
sin
"
"
"
(traction)
sion)
#$ Nœud E
FP
tgN N
F NP
NP
tg
x
y
% ' ( ( %
% ! %
! % &
0 0
02
3
2
8 7
7
8
""
"
"
cos
sin (traction)
(compression)
#$ Nœud F
N8
N7
E
N5=P
P/2
"
N4=P/tg"
N9
P
N8=(3/2)P/tg" N8'
F
F NP
tg
F N P (compres
x
y
% ! % &
% ! % &
03
2
0
8
9
'"
(compression)
sion)
112 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
La figure 6.19 ci-après montre la nature de l'effort dans les barres étudiées.
Convention :
- Flèches vers les nœuds = compression
- Flèches vers le centre = traction
- 0 = effort nul
b) Méthode des sections (ou de Ritter)
Principe : La méthode consiste à pratiquer dans le système une coupe ne rencontrant pas plus de 3 barres (sauf dans des cas précis) non concourantes, de
façon à séparer le treillis en deux parties. Pour trouver l'effort dans une des
barres, on écrit l'équation d'équilibre de rotation de l'une des deux parties par rapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20).
M/A = 0 ! N5 = …
M/B = 0 ! N4 = …
M/C = 0 ! N6 = …
(partie de droite)
NB : Le point
d'intersection des barres
par rapport auquel on calcule les moments n'est pas nécessairement un nœud du
système (d'où l'intérêt à travailler graphiquement).
Cas particuliers
1) Deux barres coupées sont parallèles (point d'intersection rejeté à l'infini)
(Figure 6.21)
Figure 6.21 : Poutre en N
K H
A
B
C
6
4
5
Figure 6.20
P
P
Figure 6.19 : Représentation de la nature des efforts
P
P/2 P/2
J L
A
L'effort NKH est obtenu à partir de l'équation M/J = 0 et l'effort NLJ dans la
barre LJ s'obtient à partir de : M/K = 0. Pour calculer NKJ, on utilise une
équation d'équilibre de translation, Fy = 0 par exemple ; ou bien une équation
d'équilibre de rotation par rapport à un appui, M/A = 0 par exemple.
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 113
2) Plus de trois barres coupées : la méthode de Ritter peur être appliquée à
condition que les barres coupées soient toutes convergentes sauf une.
I
I
(a)
(a) 9
7
8
4
6
1
2
3
5
Figure 6.22 : Poutre en K
La coupe a-a (Figure 6.22) présente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9
en 6 et l'équation M/6=0 donne l'effort N47. L'effort N47 connu, on fait la coupe
I-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus.
Intérêt de la méthode des sections : elle permet de calculer directement
l'effort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de
vérification des résultats obtenus par les autres méthodes.
Exemple d'application
2t
RB RA
Figure 6.23
3t 3t
Z'
Z 2
3
1 4
5
6
7
" A B
2m 2m 2m 2m
1m
1m
i
c j
"
Réactions : R R tA B% % %8
24 t
M/i = 0 ' 2RA – N4 = 0 ! N4 = 8 t (traction)
M/A = 0 ' 2x3t + ZN5 = 0,
avec : %
N5
i
RA=4t
2m
N4
3t
Z m4
5
! 5
3
2% & N t5
M/j = 0 ' Z'N6 – 2x3t + 4RB = 0
! Z'N6 = -10 tm
114 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
sin" %1
5
'%
4
Z , d'où : Z' % 4 5 m
et : N6 % &5.59 t
Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on écrit les équations
d'équilibre de translation en A et C. On peut également appliquer la méthode de
Ritter.
ons
d'équilibre de translation en A et C. On peut également appliquer la méthode de
Ritter.
Nature des efforts
Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés
graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.
Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés
graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.
c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona)c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona)
Principe : La méthode consiste à tracer le polygone d'équilibre des forces appliquées à chaque nœud. Tous les nœuds étant en équilibre, les polygones sont
nécessairement fermés.
Pour pouvoir appliquer la méthode, il est nécessaire que le système possède au
moins un nœud auquel n'aboutissent que deux barres.
Les étapes de la méthode :
1) On représente le système dans une échelle des longueurs.
2) On calcule les réactions puis on numérote :
a) Les intervalles entre les forces extérieures en tournant dans un sens, le
sens horlogique par exemple.
b) Les intervalles du réseau (domaines intérieurs délimités par les barres).
Ainsi, chaque barre se trouve caractérisée par deux chiffres désignant les
intervalles (domaines) adjacents.
3) On construit le polygone des forces extérieures, dans une échelle des
forces choisie ; ce polygone est fermé puisque les forces extérieures sont
équilibrées par les réactions (équilibre global). On précise le sens des forces par
des flèches.
4) On trace ensuite le polygone des forces agissant sur chaque nœud (forces
extérieures et efforts dans les barres) en commençant par un nœud auquel
aboutissent seulement deux barres puis on passe à un nœud n'ayant que deux
efforts inconnus.
N.B. : Les directions des efforts sont connues (orientations des barres) et leurs
sens et intensité sont obtenus en fermant chaque polygone.
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 115
Exemple d'application
Soit à calculer les efforts dans les barres de la poutre représentée à la figure
6.24 déjà calculée par la méthode de Ritter.
5
E
F
11 10
3
1
2
7 6
RB=4tRA=4t
G l
4
C 9 8
D
l l l l
A
3t 3t
2t
B
Figure 6.24
La résolution du problème se fait selon les étapes ci-après.
0- On représente la structure dans une échelle des longueurs (Figure 6.24).
1- Numérotation des domaines extérieurs (délimités par les forces
appliquées et les réactions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure
6.24).
2- Numérotation des domaines intérieurs (mailles) : 6, 7, 8, 9, 10, 11 (de
gauche à droite). On pouvait choisir des lettres à la place des chiffres
(Figure 6.24).
On peut maintenant numéroter chaque effort (extérieur ou interne), avant de
passer à l'étape suivante. Chaque effort est caractérisé par les deux chiffres des
domaines qui sont adjacents à sa direction. Les efforts internes agissant sur les
nœuds sont numérotés en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25).
F45=4tF51=4t
F34=3t F12=3t
A
D
C
F N65
N16
N61 N87
N56 N75
N67
N76
N28 N98
N82 E N39
F23=2t
Figure 6.25
116 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
3- On trace le polygone des forces extérieures (forces appliquées et
réactions). Ce polygone est représenté par le segment vertical : 1-2-3-4-
5-1 (Figure 6.26).
4- Construction des polygones des forces agissant sur chaque nœud.
a) Nœud A : Les efforts intervenant sont : N16, N65 et F51. Cette dernière
force étant connue et représentée sur le polygone des forces extérieures.
Notons que seul le point 6 est indéterminé.
A partir du point 1 on trace une parallèle à la barre AC (N16) et à partir de 5
on mène une parallèle à AD (N65). L'intersection des deux parallèles détermine le
point 6 cherché. Pour connaître le sens des efforts N16 et N65, on ferme le
polygone en partant de l'effort connu, F51 (schémas ci-dessous).
(compresion)
N65
F51
(traction)
N16
A
6
1
5
Figure 6.26
5
1
2
4
3
8
7
6
(5) (4)
(2)
(4)
(6)
(3)
Les flèches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le nœud
A) indiquent la nature de chaque effort.
b) On passe ensuite au nœud D où seuls les efforts dans les barres DF et
DC sont inconnus.
Efforts intervenant : N56 (connu puisque N65 est connu), N67 et N75. Dans ce
cas également, seul le point 7 est indéterminé.
A partir de 6 on mène une parallèle à DC (N67) et à partir de 5 on trace une
parallèle à DF (horizontale) (N75). L'intersection des deux parallèles se fait au
point 6, donc le point 7 est confondu avec 6. Le polygone des forces en D (N56,
A- Pou t res con t inues à âme p le ine 117
N67 et N75) se limite au segment 5-7 ; donc l'effort N67 = 0 (voir schémas ci-
dessous).
N75 (traction)
N56 (traction)
N76
N56 5
7
6
D
c) Point C : Efforts intervenant : N61, F12, N28, N87 et N76 (N67 = N76 = 0).
Seul le point 8 reste à trouver.
A partir du point 2 on trace une parallèle à CE (N28) ; puis à partir de 7 on
mène une parallèle à CF (N87). L'intersection des deux parallèles détermine la
position du point 8. On ferme ensuite le polygone pour déterminer le sens des
efforts inconnus (N87 et N28) (N61)F12)N28)N87 et N76) (schémas ci-après).
N61
N76
N87
N28
F12
C
6
7
8
2
1
Remarques :
1) Utilisation combinée du tracé de Cremona et de la méthode de Ritter
Lors d'un tracé de Cremona, on ne peut pas franchir les nœuds auxquels
aboutissent plus de deux barres dont les efforts sont inconnus. La méthode de
Ritter permet de franchir ces nœuds. Il suffit d'effectuer une ou plusieurs coupes
donnant les valeurs des efforts dans les barres "surabondantes". Ce cas se
présente fréquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).
118 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES
Figure 6.27 : Ferme type Polonceau
a
a
6
5
2
3 4
1 4'
7
8
Ayant amorcé le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en présence de
3 efforts inconnus (N45, N46 et N44'). La coupe a-a' permet de calculer directement
l'effort N44' ( M/8=0) ; après quoi on poursuit normalement le tracé de Cremona.
2) Barres ne travaillant pas (N=0)
Dans l'exemple ci-contre, cinq
barres ne travaillent pas (N=0) ;
néanmoins, elles sont nécessaires
car elle contribuent à :
P
- assurer l'indéformabilité et
l'isostaticité du système ;
- réduire les longueurs de
flambement ; Figure 6.28 : Poutre avec plusieurs barres non sollicitées
- faciliter les dispositions
constructives.