Séminaire MaMuX

Mathématiques, musique et relations avec d'autres disciplines

Applications de la théorie des noeudsau domaine musical

Franck Jedrzejewski

Franck JedrzejewskiCEA Saclay INSTN

91191 GIF-SUR-YVETTEFRANCE

Tél. 01 69 08 88 95franck@arthaud.saclay.cea.fr

1 - Présentation de la théorie des noeuds

2 - Noeuds dodécaphoniques

3 - Noeuds polychromes

4 - Perspectives

Historique

1848

1877

1906

1914

1928

1932

1947

1957

1958

1970

1985

1984

1988

1989

1998

1990

J.B. Listing, élève de C.F. Gauss publieVorstudien zur TopologieP.G. Tait et C. Little publie la première énumération de noeuds

H. Tietze utilise le groupe fondamental dans lapreuve de la non-trivialité d’un noeudM. Dehn montre que le trèfle gauche et droit sont deux noeuds différentsJ.W. Alexander associe un polynomeà chaque noeud

K. Reidmeister publie Knotentheorie

H. Schubert montre qu’un noeud se décomposeselon la somme connexe de deux noeuds premiers

Lemme de Dehn (démontré par C. Papakyriakopoulos)

K. Murasagi montre que si on intervertit lescroisements d’un noeud, alors les coefficientsde son polynome d’Alexander alternentLe polynome de J.H. Conway vérifie lesrelations de Skein

Polynome HOMFLY

Vaughan Jones introduit un nouvel invariant

C.Mc.A Gordon et J. Luecke : les noeuds decompléments équivalents sont équivalentsInvariants de Vassiliev

Maxime Kontsevitch reçoit la médaille Fields

Vaughan Jones reçoit la médaille Fields

Noeuds, Entrelacs, Tresses

Noeud (Knot)

Entrelacs (Links)

Tresses (Braids) et écheveaux (tangles)

= Une courbe simple polygonale fermée de R3

= Deux noeuds (ou plus) entrelacés

= une tresse à n brins (--> entrelacs)

Noeud trivial (Unknot)

San Sigismondo Cremona

Hopf linkWhitehead link

Noeuds boroméens

Noeud de trèfle(Trefoil knot)

Noeuds équivalents

Problème : déterminer si deux noeuds sont équivalents ?

Noeuds de trèfle

Paire de Perko Noeud de Millett

Noeud de Kinoshita Terasaka

Noeuds mutantsPlus petits noeuds ayant un polynôme d’Alexander = 1

Polynômes de Jones

Noeuds particuliers

Noeud du tore (Torus knots)

Pretzel Knots

(p,q) p = nb de points d’intersection avec la longitudeq = nb de points d’intersection avec un méridien

Exemples : Noeud de trèfle = (2,3) ou (2,-3)

Polynome d’Alexander du (p,q)-torus

P(a1,...,an) avec aj=nb de croisements de chaque tresse

Deux noeuds (2-bridge) sont équivalents ssi p=p’ et p | q-q’

(4,3)-torus - Noeud non-alterné 8_19

Caractérisations de noeuds

Mouvements de Reidmeister

Indice d’entrelacement (Linking number)

Indice de désenlacement (unknotting number)

Type I

Les mouvements de Reidmeister II et III ne changent pas l’indice d’entrelacement

Nombre minimal de changement qu’il faut faire (de dessus à dessous ou vice versa) pour que le noeud soit équivalent au noeud trivial.

U(4_1) = 1 U(8_10) = 1 ou 2 ?

lk(H)=1 lk(W)=0

K = entrelacs Ki = composantes de K

Type II Type III

Deux entrelacs sont équivalents si leurs diagrammes se déduisent l’un de l’autrepar une suite de mouvements de Reidmeister

= = =

-1 +1

+1

+1

Noeuds premiers

Somme de deux noeuds

Noeuds composés

Dénombrement des noeuds premiers

Un noeud K est premier si K n’est pas le noeud trivialet si K=K1+K2 alors K1 ou K2 est le noeud trivial

Nombre de noeuds en fonction du nombre de croisementsdéterminé par P.G. Tait et C.N. Little puis par J. HosteMorven Thistlethwaite et J. Weeks

K2+ =K1 K1 K2

3 1

1

2

3

7

21

49

10

11

12

13

14

15

16

165

552

2176

9988

46972

253293

?

4

5

6

7

8

9

Table des noeuds premiers

Polynomes des noeuds

Polynôme d’Alexander

Polynôme de Jones

Polynôme HOMFLY

Polynôme de Kauffman

Normalisation de Conway

Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter

Noeud 4_1 :

Alexander

Jones

défini à un mutiple près

+L

-L 0L

Calcul de polynômes

Crochet de Kauffman

Polynôme de Jones

+L

-L 0L

Exemples

Pour le noeud 4_1, comme w(K)=0, en substituant-1/4

A par t , on retrouve l’expression de Jones

45

6

4

1

25

6

3

2

1

3

Diagrammes de cordes

Construire un diagramme de cordes (à n segments)à partir d’un noeud ayant n points doubles

1 2 3 4 5 6 4 1 2 5 6 3

Un diagramme de cordes d’ordre n est un cerclesur lequel on a placé n couples de points reliéspar des cordes

D2 :

D3 :

L’ensemble des diagrammes de cordes formentune algèbre

1

2

3

4

6

5

Dénombrement

Si on fait agir le groupe cyclique C_2n sur l’ensemble{1, 2, .., 2n} on a

Si on fait agir le groupe dihédral D_2n sur l’ensemble{1, 2, .., 2n} on a

Bilan du dénombrement

10-tet

14-tet

1/3 de ton

Noeuds dodécaphoniques

Jean Barraqué : Au-delà du hasard

Mots de Gauss

Série de base : do, lab, sol, réb, mi, ré, sib, mib, si, fa, solb, la

Renversement : do, mi, fa, si, lab, sib, ré, la, réb, sol, solb, mib

D_111

14

2

10

3

115

6

9

8

0 do

lab

sol

réb

mi

ré

sib

mib

sifa

solb

la

7

12

3

2

4

55

6

4

3

6

1

Classification des noeuds

B.A. Zimmermann, Die Soldaten Acte I, intro (ActeIII, sc. 5)

B.A. Zimmermann, Interludes

Karel Goeyvaerts, Sonate pour deux pianos

A. Webern, Symphonie de Chambre op. 21K. Stockhausen, Klavierstück IX

Séries homogènes

Une série est homogène si elle formée des 11 intervalles distincts

Le diagramme de cordes a 2 (et 2 seulement) segment de type aLa première et la dernière note forment un tritonTous les types de segments ne sont pas forcément représentés e.g; D_14 X= a2bc2b il manque d, e, f

Herbert Eimert, Grundlagen der musikalischen Reihentechnik, UE, 1964.André Riotte, Programme Fortran, 1969.

Le dénombrement des séries a été fait par H. Eimert en 1964.Il y a 1928 séries homogènesSur 554 diagrammes de cordes , les séries homogènes appartiennent à 63 diagrammes (11 %)

Total = 63 Total (1 x 2) = 1928

Nb de noeuds7

211 (D_252)

1639

1 (D_50)2

1 (D_20)1 (D_358)1 (D_131)

Nb de séries associées8

16243240485664808896

A. Berg Suite lyrique (D_358) 5, 4, 0, 9, 7, 2, 8, 1, 3, 6, 10, 11Luigi Nono, Canto Sospeso (D_358) 9, 10, 8, 11, 7, 0, 6, 1, 5, 2, 4, 3E. Krenek, Studies in Counterpoint (D_138) 3, 6, 1, 7, 0, 2, 11, 10, 8, 4, 5, 9Milton Babbitt, Three Compositions pour piano (D_353) 10, 3, 5, 2, 0, 1, 7, 11, 6, 9, 8, 4

Exemples

Remarques

Dénombrement

Classification de Costère Parzysz

Bernard Parzysz Edmond Costère

Choix de A : Nb de combinaisons de 5 parmi 11 = 462#T=36 #T’=12 #R=174 #R’=108 #Autres=192

= Séries à transpositions directes limitées

= Séries à renversements directs limités

= Séries à renversements récurrents limités

= Séries à transpositions récurrentes limitées

R Séries renversables 31 % (144)

T Séries transposables

Schoen. Op. 31 D_244

Schoen. Op. 26 D_414

A. Schoenberg Op. 30

J. Barraqué Concerto

J. Barraqué Sonate

K. Stockhausen, Licht

Berio Senqenza V D_256

Schoen. Op. 24 D_301

Stockhausen Klav. IX

B. Ferneyhough, Superscripto D_447

J. Barraqué, au-delà du hasard

J. Barraqué, Le temps restitué

B.A. Zimmermann Die Soldaten,Acte I sc. 1 D_358, Acte I sc. 2, D_544

A. Webern Op 19, 23, 26

A. Berg Concerto pour violon

Schoen. Op. 37 D_193

Schoen. Op. 41 D538

Schoen. Valse Op. 23 D_407

Webern Op.28

Webern Op.24

Berg Suite lyriqueZimmermann Die Soldaten D1

T’ 1 % (6)

1 % (6)4 % (18)

3 % (12)

18 % (84)

R’ Séries semi-renversables

Univers micro-tonals

Univers des quarts de ton

Jean Etienne Marie, Ecce Ancilla Domini

D_50

D_299

fa #+, fa #, sol, si, do #+, la, ré +, do, fa, sol#, la #+, do #

si +, mi, sol #+, la #, sol +, ré #, fa +, mi +, la +, ré, ré #+, do +

124

23

21

20

1917

15

13

7

11 la #+

ré+

do#+

fa #+

do+

ré#+

la+

mi+

fa+sol+

sol#+

si+

5

222

18

16

14

1210

9

8

4

6 la

si

sol

fa#

ré

ré#

la#

mi

do#sol#

fa

do

3

Tresses et Tempéraments

1 n2 i i+1

...... ......

1 n2 i i+1

...... ......

Un entrelacs L a plusieurs représentations en tresses

Fermeture de la tresse

0

2

1

0

2

1

Tresses et Tempéraments

Tempérament de Marpurg H

Système tempéré

do#

ré

ré#mifa

fa#

sol

sol#

la

sib

si

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

b

b

1

2

a

2a

7a

8a

3a

9a

4a 10a

5a

11a

121=a

h/a

h g

g

a*h

hg

g

Noeuds polychromes

Coloration de noeuds

Un noeud est polychrome si on peut colorié un diagrammepar une des trois couleurs RVB tel que

(1) on utilise au moins deux couleurs

(2) A chaque intersection pour laquelle deux couleursapparaissent, la troisième apparaît.

Le noeud trivial n’est pas polychrome.

R

R

R

B

B

V

V

Groupe d’un noeud

Présentation de Wirtinger

Exemple

-1h.a.h

gauche

h g

g

droit

-1h .a.h

hg

g

x

-1y xy

yx=(1,2)

(1,3)(2,3)

1 2 3

3 2 1

2 3 1

2 1 3

-1(1,3)

(2,3)

(1,3)

Dérivée de Fox

-- > on retrouve le polynôme d’Alexander

h.b

gauche

h g

g

droit

h.a

hg

g

Tempérament mésotonique

abbab

a(abbab)ab(abb)

(abbab)a

(abbab)ab(abbab)

(abbab)ab(ab)

(abbab)a

ba

(abbab)ab

(abbab)ab(abba)

ab

abb

abba

Tempérament mésotonique au nième de comma

Tempérament anacratique de Romieu (n=3/17)

On diminue d’une fraction n toutes les quintes -nCsLa quinte portant sol# emporte la différence

g*h

gauche

h g

g

droit

h*g

hg

g

Construction de tempéraments

32/ab

a

bba

abc

22abc

c

2 2a b c

2 3a b c

2 32/a b

2 32/a b c

3 4 2a b c

144/125255 cents

16/9996 cents

5/4386 cents

10/9182 cents

50/27 1027 c.

128/81751 cents

5/3884 cents

250/24349 cents

625/486435 cents

162/125469 cents

972/625765 cents

15625/13122 302 cents

16.sqrt(5)/27 487 cents

5/4386 cents

3/sqrt(5)509 cents

3.sqrt(5)/4895 cents

9.sqrt(5)/16397 cents

27.sqrt(5)/321099 cents

3/2702 cents

135/12892 cents

625/486435 cents

64.sqrt(5)/135 998 cents

256.sqrt(5)/405599 cents

3645/2048 998 cents

Pour le noeud non alterné 12_1

2 2On doit avoir 4c =ab

Pour a=16/9, b=5/4, c=5/3 Pour a=5/4, b=3/sqrt(5), c=3/2

Perspectives et conclusions

1 - Il existe des structures musicales en relationavec la théorie des noeuds qui ont une topologiecompliquée, qui ne peuvent être catégoriséessimplement à cause de leur combinatoire (élevée).

2 - Les séries dodécaphoniques se classent en 554 diagrammes de cordes. Les séries homogènes représentent 63 diagrammes.

3 - Les tempéraments se modélisent par des tresses.On peut aussi associer des rythmes et des motifs à desnoeuds selon d’autres lois de croisement.

4 - Les invariants des noeuds se transposent au domaine musical, mais leur interprétation est difficile.Ils permettent de construire de nouvelles catégorisationsmusicales et peut-être d’établir des liens avec des catégories esthétiques.