Méthode des Ensembles de Niveaux par Eléments Finis P 1 Jérôme Piovano Stage de DEA Sous...
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Méthode des Ensembles de Niveaux par Eléments Finis P1
Jérôme PiovanoStage de DEA
Sous l’encadrement de Théodore Papadopoulo
INRIA – Sophia Antipolis
Projet Odyssée
Introduction1.
• Segmentation d’image• Trouver des regions d’images selon certaines caractéristiques
• Éléments finis • Méthode d’approximation discrète de fonctions continues
Implémenter la méthode des ensembles de niveaux à l’aide des éléments finis
• Ensembles de niveaux ou « Levels Sets »• Modélise l’évolution d’une hypersurface à travers une fonction continue• Application à la segmentation d’image
Plan
Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis
Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale
Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations
Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques
Conclusion
Définitions
Évolution de l’interface par l’intermédiaire de la fonction distance
= 1 = Détection de contours géodésiques.
Schémas par « bande » à bases de différences finies instabilité
Ensembles de niveaux ou Levels Sets
t + |r| = 0;
Interface représentée par le niveau 0 d’une « fonction distance »
Définitions
Approximation discrète d’une fonction continue1. Partitionnement de l’espace en éléments formant un maillage
2. Calcul des valeurs de aux sommets du maillage
3. Représentation de par interpolation linéaire de ses valeurs aux sommet
Méthode des éléments finis
Plan
Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis
Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale
Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations
Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques
Conclusion
Modélisation
Soit u l’approximation de la fonction distance par élément finis
u définie par 2 facteurs :
Espacement constant entre ses différents niveaux
Vitesse d’évolution
Calculs des valeurs de u sur les sommets du maillage en minimisant une énergie associée a ces 2 termes
(rxu)2 - 1 = 0
ut - = 0
Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis
Modélisation
u(x, t + t) = u(x, t) + v(x, t)
v(x, t) = u(x, t + t) - u(x, t)
v(x, t) = t ut(x, t)
Exprimer l’évolution de u sous forme discrète dans le temps.
v = “Pas d’évolution”
Discretisation temporelle
(rxu)2 - 1 = 0
ut - = 0
( rxu + rxv)2 - 1 = 0
v - t = 0
Modélisation
Discretisation spatiale
Discretisation de Galerkin : Utilise des fonctions de « bases » comme des
fonctions tests mesurant la déviation au voisinage du sommet auquel elles sont attachées
( rxu + rxv)2 - 1 = 0
v - t = 0
s((ru + r v)2 - 1)i = 0 8 i 2 1 … n
s(v - t)i = 0 8 i 2 1 … n
Résolution d’un système de 2n équations à n inconnues qui est donc surdéterminé
Résolution par moindres carrés
Modélisation
On peut exprimer les équations précédente en fonction des valeurs aux sommets du maillage de u et v
Reformulation des équations
s((ru + r v)2 - 1)i (u + v)TQi(u + v) - si
s(v - t)i Pi v - tsi
Les vitesses nécessitent le calcul d’une dérivée seconde théoreme de Green
Plan
Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis
Modélisation Équations d’évolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale
Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations
Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques
Conclusion
Algorithmique
Adaptation du problème à un maillage 2D régulier
Algorithmique
La fonction distance n’est pas calculé sur la totalité de l’espace, mais au voisinage du niveau 0
Ajout des éléments proches du niveau 0 Suppression des éléments éloignés du niveau 0
Algorithmique
Dynamique d’évolution
Algorithmique
Les equations d’evolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies.
Sur un maillage de type:
(u + v)TQ0(u + v) 1/6((S2 - S3)2 + (S3 - S4)2 + (S5 - S6)2 + (S6 - S1)2) +
1/3((S1 - S0)2 + (S2 - S0)2 + (S4 - S0)2 + (S5 - S0)2 )
AlgorithmiqueAvantage de la methode
Les equations d’evolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies.
Sur un maillage de type:
Fin