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Mesures et incertitudes pour les TP de sciences physiques

I. Vocabulaire de base de la métrologie.

La métrologie est la science de la mesure. Elle définit les principes et les méthodes permettant de garantir et maintenir la confiance envers les mesures résultant des processus de mesure. Il s'agit d'une science transversale qui s'applique dans tous les domaines où des mesures quantitatives sont effectuées.

Le mot « mesure » ayant trop de significations, de nouveaux termes ont été introduits pour bien préciser de quoi l’on parle.

On appelle mesurande la grandeur que l’on veut mesurer et mesurage le processus consistant à obtenir expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à un mesurande.

La « valeur vraie » (xvrai) du mesurande est la valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait cette valeur est inconnue.

La différence entre un résultat individuel de mesure x et une valeur de référence est appelé erreur de mesure (ε). Ce terme s’applique donc à un mesurage donné et l’erreur est une valeur unique algébrique. Si la valeur de référence est une valeur vraie alors l’erreur de mesure est inconnue : ε = x – xvrai.

On considère qu’une erreur a deux composantes : l’erreur aléatoire et l’erreur systématique.

L’erreur aléatoire est la composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprévisible. Elle ne peut être compensée mais elle peut être réduite par l’augmentation du nombre de mesurages. L’erreur aléatoire affecte la fidélité de mesure, c'est-à-dire l’étroitesse de l’accord entre les valeurs mesurées obtenues par des mesurages répétés du même mesurande dans les mêmes conditions.

L’erreur systématique est une composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, demeure constante ou varie de façon prévisible. Elle est liée à la méthode et peut parfois être évitée par de bonnes pratiques. Elle ne peut donc pas être réduite par l’augmentation du nombre de mesurages. L’erreur systématique affecte la justesse de mesure, c'est-à-dire l’étroitesse de l’accord entre la moyenne d’un nombre infini de valeurs résultant de mesurages répétés et une valeur de référence.

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L’incertitude caractérise la dispersion des valeurs attribuées au mesurande. Le résultat du mesurage (X) d’une grandeur n’est donc jamais une seule valeur, il est donné sous la forme d’un intervalle des valeurs probables du mesurande. Le résultat du mesurage s’écrit finalement :

X = x Ux unité, niveau de confiance

Ux est l’incertitude élargie (notée en majuscule) pour le mesurage de ce mesurande au niveau de confiance désiré.( voir plus loin)

On appellera incertitude relative le rapport Ux / x

Dans la suite, on va voir comment pratiquement on évalue cette incertitude élargie

II. Processus d’évaluation de l’incertitude de mesure.

A. Evaluations de type A

Plusieurs méthodes d’évaluations de l’incertitude sont possibles. La première dite de type A repose sur l’étude statistique d’une série de mesurages du mesurande.

L’incertitude (= la dispersion) est caractérisée par un écart-type (σ = u(x) on dit aussi incertitude type notée avec une minuscule : incertitude type c’est le vocabulaire des métrologues et écart type ( d’échantillon) celui des statisticiens : il faut connaitre les deux et c’est le σn-1 pas le celui du cours de maths). On parle d’évaluation de type A des incertitudes. Cette méthode est à privilégier lorsque cela est possible.

Pour proposer un intervalle dans lequel on estime que la valeur du mesurande avec un niveau de confiance donné, il faut élargir en multipliant l’incertitude-type obtenue par un facteur d’élargissement k (k dépend du niveau de confiance souhaité : plus celui-ci est grand plus k est élevé. Par défaut, le niveau de confiance standard est fixé à 95%)

X = x Ux = x k u(x) unité, (niveau de confiance)

Mise en pratique

L’évaluation de type A de l’incertitude est réalisée par l’analyse statistique de séries de mesures. Si on suppose les n observations xi indépendantes de X : La meilleure estimation du résultat de la mesure est donnée par la moyenne arithmétique :

L’écart-type expérimental1 (ou meilleure estimation de l’écart-type de la distribution) a pour expression :

σx = σn-1 =

Le meilleur estimateur de l’incertitude-type (écart-type de la moyenne) est :

u(x) =

Choix du facteur d’élargissement : Une fois l’incertitude-type estimée, on considère que le mesurande suit une loi de Student d’espérance et d’écart-type u(x), notée T( .

1 L’écart-type expérimental (= écart type d’échantillon) est parfois aussi noté s ou sd pour standard deviation in english

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L’intervalle de confiance pour la valeur du mesurande s’écrit sous la forme :

X =

, pour une niveau de confiance de 95%

Les valeurs de tn-1 dépendent du nombre de mesurages effectuées et sont indiquées dans des tables (pas a à connaitre par cœur !!) :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tn-1 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,44 2,37 2,31 2,26

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19

tn-1 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10

(pour n mesurages, n-1 est le nombre de degré de liberté de la loi de Student )

Pour un nombre de mesurages, supérieur à 20 (n 20), la loi de Student rejoint la loi Normale. On prendra alors un facteur d’élargissement égal à 2 : k = 1.96 2.

X =

, pour un niveau de confiance de 95%

Critère de rejet d’une valeur aberrante: Il arrive que parmi les valeurs mesurées, une ou plusieurs valeurs paraissent a priori aberrantes. Il est cependant nécessaire de réaliser l’analyse statistique en tenant compte de toutes les valeurs. Puis une fois l’incertitude-type sur cette population déterminée, les valeurs n’appartenant pas à l’intervalle [ sont rejetées et l’analyse statistique recommencée sur la nouvelle population. Compétences exigibles pour les concours : Savoir mener rapidement un tel calcul avec sa calculatrice et avec le logiciel GUM B. Evaluation de type B de la précision du mesurage direct d’une grandeur

Parfois on n’a pas accès à une série de mesurages. L’incertitude type (= écart-type) , est alors évaluée à partir d’une modélisation basée sur l’analyse des causes d’erreur aléatoires . On parle d’évaluation de type B. Une fois cette incertitude-type évaluée on élargit avec un facteur k=2 ( en standard pour 95% de taux de confiance, et k = 3 pour 99% de taux de confiance)

De plus, lorsque plusieurs sources d’erreurs affectent un mesurage, il est nécessaire d’évaluer séparément leur contribution à l’incertitude globale puis de les composer….. pour l’instant on se limite à une mesurage direct = on fait une mesure avec un appareil et c’est tout pas de traitement on verra par la suite comment il faut faire dans les cas qui nécessitent un peu plus de traitement.

Alors voyons cela de plus prés en passant en revue les situations les plus courantes.

1) Parfois le constructeur fournit l’incertitude-type, on l’utilise alors directement

2) D’autre fois des limites sont indiquées sous forme d’un intervalle a. (typiquement sur la verrerie de

précision en chimie . Par exemple une pipette indique 25 mL 0,05 mL) Certains fournisseurs appellent « tolérance » cette valeur a, il s’agit de rendre compte l’incertitude d’étalonnage.

Dans ce cas là, sans autre information : on suppose que la distribution est rectangulaire (cas le plus pessimiste et aussi le plus répandu, ca veut dire qu’un mesurage donnera un résultat dans cet intervalle avec une probabilité égal pour chaque valeur), et on prend un

écart-type uetalonnage(x) = a/ .

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Exercice :

D’où ca sort cela ? Pour le comprendre on se propose d’étudier de la loi uniforme. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme ( = rectangulaire) sur [c,b] si sa densité est constante sur cet intervalle i.e

Questions : 1) Combien vaut k ?

2) Calculer E(X) et V(X)

Réponses : k = 1/(b-c) ; E(X) = (c +b)/2 ; V(X) = (b-c)2/12

Exemple 1: la tolérance d’une fiole volumétrique de Classe A de 10 mL est certifiée à 0,02 mL.

L’incertitude-type d’étalonnage est uétalonnage(V) = 0,02/ = 0,012 mL

Exemple 2 : une pipette indique 25 mL 0,05 mL, l’incertitude élargie sur la mesure du volume est donc de

V= 0,05*2/ = 0,06 mL (à 95 % de confiance) donc le volume prélevé vaut V 25,00 0,06 mL pour

une confiance à 95 % . On présente le résultat avec 1 seul chiffre significatif pour l’incertitude et autant de

décimales pour la mesure et l’incertitude. On précise également la confiance.

Exemple 3 : un peu différent mais idée semblable : Lors d’un titrage à l’aide d’un indicateur coloré pour lequel le volume à l’équivalence est déterminé à 2g gouttes près ( g =1 si le changement de couleur est net) . Soit Vgoutte le volume d’une goutte ( = 0.05 ml). Le volume mesuré à l’équivalence appartient donc à l’intervalle [Veq – g Vgoutte ; Veq + g Vgoutte ]. L’incertitude-type (liée cette fois à la méthode de mesure pas à

l’étalonnage) vaut donc u(Veq) = g Vgoutte /

3) Le constructeur peut également fournir une indication de l’incertitude avec un niveau de confiance sous la forme de a à p%. Il faut alors diviser la valeur de a par la valeur du pourcentage approprié de la distribution normale pour le niveau de confiance donné afin de calculer l’écart-type.

Exemple 4 : La fidélité d’une balance fournie par le constructeur est égale à à 95%. A partir des tables de valeurs de pourcentage pour une distribution normale, un intervalle de confiance de 95% est calculé à l’aide d’une valeur de 1,96 . Ce chiffre permet d’obtenir une incertitude type u(m) = 0,2/1,96 0,1

4) En physique :

Pour un appareil de mesure analogique (appareil à cadran, lecture d’un réglet…), l’incertitude de lecture est estimée à partir de la valeur d’une graduation (précision de l’appareil). On considère que la graduation correspond à une distribution rectangulaire de largeur « graduation » (ou « division ») On a alors une incertitude-type de lecture :

u(lecture) = graduation/

Exemple 5 : une balance affiche 75,3 g avec une précision de 0,1 g qui correspond donc à l’équivalent d’une

« graduation » : u(pesée) = graduation/ =0.1/ = 0,0289 g.

La masse pesée est donc m =75,30 0,06 g pour une confiance à 95 %.

Pour certains appareils numériques, le constructeur indique pour la précision un pourcentage p de la valeur lue et un nombre N de digit (un digit correspond au dernier chiffre affiché)

*

3x

p valeur lue Ndigitu

5

Exemple 6 : Un voltmètre numérique affiche 4,816 V, la précision est de (0,5% ± 3 digit) L'incertitude absolue élargie est :

0.005 4.816 0.0032 0.031

3U

On écrira le résultat sous la forme : U =(4,82±0,03)V au niveau de confiance 95%.

5) Nombre de chiffres significatifs de m et de ΔM :

Une incertitude est elle-même évaluée de façon approchée, au mieux avec une précision de 10%. Sauf cas tout à fait

exceptionnel où les conditions de mesure sont très contraignantes et très coûteuses :

On écrit ΔM avec un seul chiffre significatif, exceptionnellement avec 2. •

Pour l’estimation de la grandeur mesurée m, on prendra comme dernier chiffre significatif, celui de même

position que celui de l’incertitude.

Exemples : •

Résultat affiché par la calculatrice: ΔM= 0,0358 unités.→ On écrira ΔM= 0,04 unités •

Résultat affiché sur la calculatrice : m = 8.237489 pour ΔM = 0,04 unités → On écrit: M = 8,24 ± 0,04 unités

Résultat affiché par la calculatrice :m = 8,0026 pour ΔM = 0,04 unités → On écrit: M = 8,00 ± 0,04 unités

Lors des calculs intermédiaires, tous les chiffres significatifs doivent être conservés. L’arrondissage intervient seulement lors de l’écriture du résultat final.

Pour l’incertitude élargie Ux, il est recommandé de conserver un seul chiffre significatif (éventuellement deux dans certains cas de bon sens) et d’utiliser la méthode d’arrondissage au pair le plus proche. Lorsqu’on arrondit un nombre qui se termine par un autre chiffre que 5, l’arrondissage correspond à un arrondi au plus proche. En revanche lorsqu’on arrondit un nombre qui se termine par 5, il faut toujours que le résultat se termine par un chiffre pair. Dans ce cas la décimale à laquelle le nombre doit être arrondi est augmentée d’une unité lorsqu’elle est impaire et reste inchangée sinon. Ainsi on arrondit 0,225 à 0,22 et 0,235 à 0,24. Cette méthode permet d’éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès les nombres dont le dernier chiffre est cinq.

6) Plusieurs causes d’erreurs G, un mesurage de la grandeur physique, est une variable aléatoire qui peut se mettre sous la forme :

G = g +

où g est l’espérance de G et est une variable aléatoire d’espérance nulle et de variance 2

On peut décomposer ceen plusieurs variables aléatoires d’espérance nulle indépendantes (mais pas forcément de même loi) qui retracent les différentes sources d’erreurs

Ε = Ε1 + Ε2 + Ε3 + ⋯ .

on peut estimer (l'ecart type de Gpar l’addition des variances asscociée a chaque cause d’erreurs :

Exemple 7 : Incertitude sur le volume délivré par pipette jaugée de 20 mL

On choisit de modéliser par cette incertitude en retenant trois causes d’erreurs :

1) erreur d’étalonnage (la tolérance de la pipette est a = 0.03 mL )

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2) erreur due a la dilatation du liquide modélisée par la formule (pas à connaître !)

VN20 = volume nominal à 20°C en mL

On suppose les mesures faites entre 16 et 24 °C

(- 20 ) en valeur absolue ….

3) erreur de répétabilité ( = toutes les autres causes sans précisons) dont on modélise l’écart type par la moitié de celui de l’erreur d’étalonnage

Calculer l’incertitude type associée au volume délivré par une pipette jaugée.

Réponse :

2 0.017323

et rep

au u ml

42.110 20 40.009699

3dilu

2 2 2 0.021V et dil repu u u u ml donc 0.02 ml en ne gardant qu’un seul chiffre significatif.

III. Propagation des incertitudes

Ce cas concerne toute grandeur (F) calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées (x, y, z) indépendantes : F = F(x, y, z). Il s’agit d’évaluer l’incertitude sur la grandeur F à partir des incertitudes sur les grandeurs x, y et z. Seules des incertitudes-type peuvent être composées.

L’incertitude-type σF sur F est alors déterminée à partir des incertitudes-type σx, σy et σz sur x, y et z en utilisant la loi de propagation des incertitudes :

Cas particuliers importants :

F = α x β y

F = xy ou F =

=

F = a xα yβ

=

Exemple 8 : La concentration d’une solution S1 préparée par dilution d’une solution S0 se calcule à l’aide de la relation

=

.

L’incertitude-type sur la concentration calculée de la solution S1 est donc :

u( ) =

(Puis on élargit avec un k =2)

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On peut aussi directement écrire la relation équivalente avec les incertitudes élargies (à condition qu’on élargisse de la même façon k =2 pour toutes les grandeurs mesurées ce qui est le cas par défaut)

2 2 2

0 11

0 11

sol sol

sol sol

C C V V

C C V V

Exercice d’application : On considère l’étalonnage d’une solution de soude de concentration CB par une solution d’acide oxalique (pK1 = 1,2 et pK2= 4,2 ; c’est un étalon primaire) de concentration CA dont un volume VA = 20 mL est placé dans le bécher. L’équivalence du dosage est repérée par le virage de la phénophtaléine pour un volume Ve = 16,0 mL. La solution d’acide a été préparée en pesant m = 500,2 mg d’acide oxalique dihydraté solide ( M = 126,07 g) à l’aide d’une balance de précision à 0,1 mg. L’acide est dissous dans une fiole jaugée de volume V0 = 100 mL de classe A (± 0,10 mL). On introduit ensuite les 20 mL à l’aide d’une pipette jaugée de 20 mL de classe A (± 0,020 mL). La burette utilisée est graduée tous les 0,1 mL. Déterminer la concentration de la soude et son incertitude à 95 % de confiance (on fait les calculs à la main) Méthode 1) On détermine d’abord la concentration de l’acide

2) Le volume équivalent s’obtient grâce à la différence de deux lectures (le 0 de la burette

et le 16,0)

A vous :