Incertitudes Ce document est un résumé des principaux résultats, sur l’étude et la prise en compte des incertitudes dans la mesure de grandeurs physiques, qui nous seront nécessaires en TP. Ces résultats seront illustrés en classe à travers les TP et les TD de physique et de chimie.

1. Vocabulaire

La grandeur que l’on veut mesurer est appelée le mesurande. On appelle mesurage l’ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement une valeur que l’on peut

raisonnablement attribuer à une grandeur.

Exemple : Quand on mesure la valeur de la résistance R d’un résistor ou d’un conducteur ohmique, le mesurande est la résistance R de ce dipôle et le mesurage est effectué, par exemple, avec un ohmmètre. On note a le résultat de mesure associé à la grandeur A. La valeur vraie avrai du mesurande est la valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait (ce qui n’est jamais le cas, donc

la valeur vraie est toujours inconnue). Un mesurage n’étant jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure ER = a - avrai . L’erreur de mesure est la différence

entre la valeur mesurée d’une grandeur et la valeur vraie. Une grandeur d’influence est une grandeur qui n’est pas le mesurande mais qui a un effet sur le résultat du mesurage.

2. Notion d’erreur

2.1. A travers un exemple

Un expérimentateur mesure plusieurs fois la même grandeur physique, par exemple la résistance d’un conducteur ohmique. Il réalise 360 fois la mesure et réalise un histogramme avec les résultats obtenus : On remarque :

- que les mesures répétées ne donnent pas toujours exactement

la même valeur.

- Qu’on reste proche d’une certaine valeur moyenne : plus les

résultats sont éloignés de cette moyenne, plus ils sont rares.

Par exemple, sur l’histogramme ci-dessus, on lit que la valeur la plus probable est R = 82,5 Ω. Sur l’ensemble des mesures qui ont été effectuées, elle est apparue 80 fois. Plus les valeurs sont éloignées de celle-ci, plus elles sont rares. Pourquoi cette dispersion existe-t-elle ?

- les conditions de déroulement d’une expérience varient toujours légèrement, par exemple la température ambiante, ce qui modifie la grandeur mesurable.

- L’appareil utilisé pour le mesurage n’a pas une précision infinie et peut être mal réglé. - L’expérimentateur ne manipule pas toujours parfaitement. - Le protocole de mesurage n’est pas toujours optimal …

2.2. Erreur systématique et aléatoire On envisage traditionnellement qu’une erreur possède deux composantes, à savoir une composante aléatoire et une composante systématique.

a. Composante aléatoire de l’erreur

L’erreur aléatoire provient des variations temporelles et/ou spatiales non prévisibles de grandeurs d’influence. Les effets de telles variations appelés effets aléatoires entrainent des variations pour les observations répétées du mesurande (bien que le mesurage soit effectué dans des conditions aussi constantes que possible). L’erreur aléatoire est liée aux conditions opératoires. Bien qu’il ne soit pas possible de compenser l’erreur aléatoire d’un résultat de mesure, elle peut être réduite en augmentant le nombre d’observations. La fidélité d’un instrument de mesure est son aptitude à donner des indications très voisines lors de l’application répétée du même mesurande dans les mêmes conditions.

Nombre d’occurrences

R(Ω)

b. Composante systématique de l’erreur

Il peut y avoir un biais dans la méthode, introduisant une erreur systématique. L’erreur systématique peut être considérée comme une erreur « constante » qui affecte chacune des observations.

Par exemple, si lors d’une mesure d’absorbance, le zéro est mal réglé, toutes les mesures seront biaisées de la même façon.

L’erreur systématique d’un résultat de mesure ne peut être réduite en augmentant le nombre d’observations, mais par l’application d’une correction.

c. Illustration On peut illustrer ces notions d’erreurs systématique et aléatoire par le tir de flèches avec un arc dans une cible, le centre de la cible représentant la valeur vraie de la grandeur à mesurer :

En pratique, une erreur systématique est très difficile à déceler, puisque l’on ne connaît pas la valeur vraie. On peut par contre

essayer d’estimer l’ordre de grandeur de l’erreur aléatoire commise. Une expression complète du résultat de mesure comprend

des informations sur l’incertitude de mesure qui permet d’indiquer quel est l’intervalle dans lequel se trouve probablement la

valeur vraie.

3. Présentation d’un résultat

Puisqu’il est impossible de déterminer la valeur vraie d’un paramètre à l’aide d’un mesurage, le résultat du mesurage de la grandeur A ne doit pas être une valeur numérique brute, mais doit être présenté sous la forme suivante :

𝐴 = (𝑎 ± ∆𝐴) 𝑢𝑛𝑖𝑡é

Avec :

A : le résultat de la mesure

a : la valeur numérique de la mesure

ΔA l’incertitude de mesure, c’est à dire l’estimation de la plage de valeurs qui contient vraisemblablement la valeur vraie.

Dans cette écriture de A, la notation scientifique est privilégiée, avec la même puissance de dix pour la valeur numérique et

l’incertitude.

Un résultat expérimental ne peut être présenté sans incertitude associée

Exemple : Nous souhaitons mesurer une conductance G. Pour cela, une mesure conductimétrique est réalisée à l’aide d’un appareil

de mesure appelé conductimètre. La valeur numérique obtenue est 7,63.10-2 S et on suppose que l’incertitude de mesure est de

0,02.10-2 S. Le résultat de la mesure de conductance doit être donné sous la forme suivante : G = (7,63 ± 0,02).10-2 S

Une autre manière de présenter le résultat consiste à dire que la valeur vraie de la conductance appartient vraisemblablement à

l’intervalle : [7,61.10-2 S ; 7,65.10-2 S]

Pour être capable de donner le résultat d’une mesure, il faut donc déterminer :

la valeur numérique a

l’incertitude de mesure ΔA.

Pas d’erreur systématique (les mesures sont centrées autour du cœur de la cible, c’est à dire de la valeur vraie), mais beaucoup d’erreur aléatoire (mesures éloignées de la valeur vraie)

Peu d’erreur aléatoire (mesures rapprochées), mais une erreur systématique (les grandeurs sont centrées autour d’une valeur qui n’est pas la valeur vraie)

Erreur aléatoire et systématique

Peu d’erreur aléatoire, pas d’erreur systématique.

La procédure à suivre pour déterminer ces deux grandeurs diffère selon que l’on a accès à une série de mesures ou à une mesure

unique.

4. Cas d’une série de mesures – traitement statistique (incertitude de type A)

Considérons que n mesures indépendantes d’une même grandeur physique A ont été effectuées dans les mêmes conditions

expérimentales, assurant la reproductibilité de l’opération de mesure. Considérons également qu’il n’existe pas d’erreur

systématique. Appelons ai les valeurs numériques obtenues, avec i variant de 1 à n.

La valeur numérique de la mesure a est alors égale à la moyenne arithmétique1 de l’ensemble des valeurs obtenues :

𝑎 = 𝑎 =1

𝑛∑ 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

L’incertitude type sur la mesure (ΔA) est le rapport de l’écart-type expérimental2 sexp par √𝑛 :

𝑠𝑒𝑥𝑝 = √1

𝑛−1∑ (𝑎𝑖 − 𝑎)2𝑛

𝑖=1 → Δ𝐴 =𝑠𝑒𝑥𝑝

√𝑛

En pratique : Les tableurs, comme Excel, peuvent calculer la moyenne et l’écart type d’une série de données.

Regarder les formules à utiliser sur l’exemple ci-dessous (attention, les formules utilisées doivent être précédées du signe « = ».

Par exemple, dans la case E4 on a tapé : « =MOYENNE(B2 : H2) »).

Exemple : On effectue le titrage par colorimétrie d’un volume V0 = 10 mL d’une solution d’acide chlorhydrique de concentration

inconnue c0 par une soude de concentration c = 2,0.10-2 mol.L-1. Sept élèves ont trouvé les valeurs suivantes pour c0 :

Vous pouvez également utiliser votre calculatrice :

TI : « STAT », « EDIT », rentrer les valeurs dans une liste puis « STAT », « CALC », « 1-Var Stats » et nom de la liste. Ecart-type : Sx.

Casio : « MENU », « STAT », remplir une liste, « CALC », « SET », mettre la liste concernée dans « 1 Var XList » et 1 dans « 1 Var

Freq » puis « EXE » et « 1 Var ». Ecart type : Sx.

Gestion des chiffres significatifs :

- L’incertitude doit être donnée avec un seul chiffre significatif. Dans notre exemple, ∆𝐶0 = 0.03 10−2𝑚𝑜𝑙/𝐿

- Pour la valeur numérique de la mesure, le dernier chiffre significatif est celui correspondant à la même décimale que

l’incertitude. Dans l’exemple, 𝐶0 = 3.43 10−2𝑚𝑜𝑙/𝐿 (trois chiffres significatifs).

Lors du calcul de la valeur numérique, il est donc nécessaire de conserver un nombre de décimales suffisant. La valeur de

l’incertitude fixe ensuite le nombre de chiffres significatifs à conserver.

Présentation du résultat : Le résultat de la mesure de concentration peut finalement être présenté sous la forme :

c0 = (3,43 ± 0,03).10-2 mol.L-1

5. Incertitude sur une seule mesure (incertitude de type B)

Bien souvent, un seul mesurage est réalisé lors d’une expérience. Dans ce cas, l’évaluation de l’incertitude-type est fondée sur

l’utilisation de lois de probabilités postulées a priori.

la valeur numérique de la mesure est le résultat obtenu par l’unique mesure

l’incertitude type sur la mesure est estimée à partir de :

la connaissance de l’incertitude du matériel utilisé (pH-mètre, burette, règle graduée, oscilloscope…)

la critique du mode opératoire utilisé (dosage par excès ou par défaut, biais expérimental, …)

1 Fonction «MOYENNE() » de Excel 2 Fonction « ECARTYPE() » de Excel

Pour évaluer l’incertitude due au matériel utilisé, différents cas peuvent se présenter :

Situation Incertitude type Exemple

Le constructeur donne directement l’incertitude-type (rare)

Directement la valeur fournie

Le constructeur indique la tolérance α

ΔA = 𝛼

√3

S’il est indiqué sur une burette ±0,05mL,

l’incertitude due à la verrerie sera

∆𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟 =0.05

√3= 0.03 𝑚𝐿

Dans le cas de la lecture de graduation

ΔA = 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

√12 =

1

2 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

√3

Si une burette est graduée tous les 0,1 mL, l’incertitude

due à la lecture sera ∆𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟 =0.05

√3= 0.03 𝑚𝐿

Pour une règle (ou un banc d’optique) graduée au mm, l’incertitude sur la lecture d’une position x (pas

d’une longueur !) est ∆𝑥 =1𝑚𝑚

√12= 0.3𝑚𝑚

Pour un appareil numérique : Se référer à la notice constructeur

Si un ampèremètre affiche 5,22 mA avec une précision de (3% ± 1digit) (digit = dernier chiffre affiché)

𝛥𝐼𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢 =0.03 ×5.22

√3+

1×0.01

√3 = 0,10 mA

L’expérimentateur est sûr que le

résultat se trouve dans l’intervalle

[m-α ; m-α]

Δm = 𝛼

√3

Si on repère sur un courbe pH-métrique que Veq

appartient à l’intervalle [9,5 mL ; 10,5 mL], alors

∆𝑉𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 =0,5

√3= 0,3 𝑚𝐿

Les incertitudes susmentionnées sont intrinsèques à l’instrument de mesure que vous utilisez. Elles sont relatives à la valeur

affichée/indiquée par l’instrument qui n’est pas parfait. On peut les rassembler sous le nom ΔAinstr.

En tant qu’expérimentateurs (-trices), vous allez aussi introduire de l’incertitude dans vos mesures lors du protocole expérimental

(critères de netteté d’une image en optique, lecture de la position des curseurs sur l’oscilloscope, visualisation d’un changement

de couleur lors d’un titrage…) et elle sera souvent supérieure à celle introduite par les instruments ! On l’appellera ΔAprot. Il est

difficile de donner une « recette » pour la quantifier. On l’évaluera au cas par cas en fonction du protocole.

Par exemple, pour un titrage colorimétrique, l’équivalence est repérée à la goutte près. Le volume d’une goutte étant évalué à

0,05mL, l’incertitude de méthode sera ΔAprot= 0,05mL.

Si, sur une même mesure, il existe plusieurs sources d’incertitude indépendantes, l’incertitude type sera évaluée en composant

les différentes incertitudes selon la formule suivante : ∆𝐴 = √∑ ∆𝐴𝑖2

𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑖

En particulier, on aura souvent : ΔA² = ΔAprot² + ΔAinstr²

Exemple :

Mesure d’une longueur L avec une règle graduée au millimètre entre les abscisses x1 = 9,8 cm et x2 = 15,3 cm

L = x2-x1 ; ∆𝐿𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟 = √∆𝑥12 + ∆𝑥2

2 avec ∆𝑥1 = ∆𝑥2 =0,5

√3𝑚𝑚, donc ∆𝐿𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟 = √

1

12+

1

12≈ 0,4 𝑚𝑚. Pas de ΔLexp ici.

Dans le cas d’un titrage colorimétrique, un élève lit sur la burette Véq = 17,10 mL . L’incertitude sur Veq provient de :

- du matériel, à cause de la tolérance de la burette. S’il est indiqué sur la burette ±0,05mL, ∆𝑉𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 =0.05

√3= 0.03 𝑚𝐿

- du protocole : on peut s’être arrêté entre deux graduations, il y donc une incertitude de lecture de la burette, ∆𝑉𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 =1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

√12 , soit ∆𝑉𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 =

0.05

√3= 0.03 𝑚𝐿 si la burette est graduée tous les 0,1mL.

- du protocole encore : Pour un titrage colorimétrique, la méthode de repérage de l’équivalence est précise à la goutte près,

∆𝑉𝑚é𝑡ℎ𝑜𝑑𝑒(= ∆𝑉𝑝𝑟𝑜𝑡) = 0.05 𝑚𝐿

L’incertitude-type associé à la valeur de la mesure est donc : ∆𝑉 = √∆𝑉𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒2 + ∆𝑉𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒

2 + ∆𝑉𝑚é𝑡ℎ𝑜𝑑𝑒2 = 0.07 𝑚𝐿

Remarque : On garde donc deux chiffres après la virgule pour un volume équivalent.

En pratique : Avant de se lancer dans de longs calculs, il est judicieux d’identifier la principale source d’erreur. En effet, l’incertitude-

type globale tend à s’approcher de l’incertitude-type prédominante : si ΔA1 >> ΔA2, alors :

∆𝐴 = √∆𝐴12 + ∆𝐴2

2~∆𝐴1

6. Incertitude type élargie

On a jusque-là défini l’incertitude type liée à un mesurage. Il nous faut à présent donner le degré de confiance que l’on fournit à un résultat. On introduit pour cela l’incertitude type élargie.

ΔAélargie = k × ΔA Avec k un facteur d’élargissement qui dépend :

- du nombre de mesures effectuées dans le cas d’une incertitude de type A - de la fiabilité que l’on veut obtenir pour une incertitude de type B

Incertitude de type A :

L’incertitude type correspond à un intervalle de confiance de 68%. Si on souhaite un intervalle de confiance plus large, il convient

de multiplier l’incertitude par un coefficient d’élargissement dit de Student (noté t).

En tenant compte de ce coefficient, l’incertitude devient : Δ𝐴 = 𝑡𝑥%𝑠𝑒𝑥𝑝

√𝑛

Le coefficient t dépend du nombre de mesures effectuées et du niveau de confiance souhaité (un niveau de confiance de x %

signifie qu’il y a x % de chance de trouver la valeur vraie dans l’intervalle défini par l’incertitude autour de la valeur moyenne).

Les coefficients de Student sont des valeurs tabulées :

Remarque : Si on ne dispose pas d’une table de coefficient de Student, on peut utiliser la valeur approchée t95% =2. Sur l’exemple étudié dans le paragraphe 4, 7 mesures ont été effectuées. Le facteur de Student pour un niveau de confiance de 95% est alors de

2,45. L’incertitude sur c0 s’écrit alors : ∆𝐶0 = 2.45 𝑠𝑒𝑥𝑝

√7= 0.06 10−2𝑚𝑜𝑙/𝐿. Le résultat de la mesure s’exprime alors en précisant

le niveau de confiance : c0 = (3,43 ± 0,06).10-2 mol.L-1, niveau de confiance de 95 %.

Incertitude de type B :

k = 1 si on veut 68 % de chances que la valeur vraie soit dans l’intervalle défini k = 2 si on veut 95 % de chances que la valeur vraie soit dans l’intervalle défini k = 3 si on veut 99,7 % de chances que la valeur vraie soit dans l’intervalle défini

Sur l’exemple étudié dans le paragraphe 5, on a donc :

L = x2-x1 = 5,5 cm

∆𝐿68 = 0,4 𝑚𝑚 pour un intervalle de confiance de 68% : L = (5,5 ± 0,1) cm, niveau de confiance de 68 %.

∆𝐿95 = 2 × ∆𝐿68 = 0,8 𝑚𝑚 pour un intervalle de confiance de 95% : L = (5,5 ± 0,1) cm, niveau de confiance de 95 %.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t95 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26

t99 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25

n 11 12 13 15 19 21 50 100

t95 2,23 2,20 2,18 2,15 2,10 2,09 2,01 1,98 1,96

t99 3,17 3,11 3,05 2,98 2,88 2,85 2,68 2,63 2,57

7. Propagation des incertitudes

Dans de très nombreux cas, la grandeur A que l’on cherche

s’exprime comme une fonction de plusieurs grandeurs B, C, D…

mesurables dont les valeurs numériques et les incertitudes ΔB,

ΔC, ΔD sont connues (déterminées par un calcul de type A ou de

type B). On dit alors que les incertitudes sur B, C et D … se

« propagent » sur A.

Cette propagation dépend de la forme mathématique de la

relation A=f(B, C, D…)

Pour la grandeur A, ∆𝐴 est une incertitude dite absolue (avec une dimension, celle de A) tandis que ∆𝐴

𝑎 est une incertitude dite

relative (sans dimension, exprimée si nécessaire en %)

Elargissement : On peut composer les incertitudes élargies ou bien élargir après avoir composé.

Dans le cas où la fonction f est une fonction des variables X1, X2, X3, … (A=f(X1,X2,X3,…)) qui sort des trois cas présentés dans le tableau

précédent, la formule générale pour accéder à l’incertitude sur A est donnée par :

Δ𝐴 = √∑ (𝜕𝑓

𝜕𝑋𝑖

. Δ𝑋𝑖))2𝑛

𝑖=1

- Exemple 1 : Cas d’une somme ou d’une différence : On mesure une longueur L avec une règle graduée au millimètre entre les

abscisses x1 = 9,8 cm et x2 = 15,3 cm : L = x2 - x1 ; ∆𝐿 = √∆𝑥12 + ∆𝑥2

2 avec ∆𝑥1 = ∆𝑥2 =0,5

√3𝑚𝑚, donc ∆𝐿 = √

1

12+

1

12≈ 0,4 𝑚𝑚.

- Exemple 2 : Cas d’un produit ou d’un quotient : Soit un titrage colorimétrique d’un volume V0 = 10,00 mL d’une solution d’acide

chlorhydrique de concentration C0 par une solution de soude de concentration CS = 2,0.10-2 mol.L-1. ; l’étudiant lit l’équivalence

sur la burette pour un volume de soude versé Veq = 17,10 mL. La relation à l’équivalence donne : 𝑪𝟎 =𝑪𝑺×𝑽𝒆𝒒

𝑽𝟎.

On a donc : c0 = 3,42.10-2 mol.L-1.

Dans un premier temps, l’expérimentateur liste les sources d’erreurs et estime l’incertitude-type pour chacun des termes :

le volume équivalent : ΔVeq a été déterminée en tenant compte de l’incertitude due à la burette et de la méthode de

détection : ΔVeq = 0,07 mL (voir exemple paragraphe 5).

la solution de soude que l’on considèrera comme précise à 1% c’est-à-dire : ΔCS = 0,01 CS soit ΔCS = 0,0002 mol.L-1.

le volume prélevé avec la pipette jaugée sur laquelle est indiqué 20 mL ± 0,02 mL donc ΔV0 = 0,02

√3= 0,01 𝑚𝐿.

En utilisant la formule de propagation : ∆𝑪𝟎

𝑪𝟎= √(

∆𝑪𝑺

𝑪𝑺)

𝟐+ (

∆𝑽𝒆𝒒

𝑽𝒆𝒒)

𝟐

+ (∆𝑽𝟎

𝑽𝟎)

𝟐

On trouve : ∆𝑪𝟎

𝑪𝟎= 0,011 donc ∆𝑪𝟎 = 4.10-4 mol.L-1 pour l’incertitude-type. D’où : c0 = (3,42 ± 0,04) .10-2 mol.L-1. En élargissant,

pour un intervalle de confiance à 95%, on a c0 = (3,42 ± 0,08) .10-2 mol.L-1.

Pour terminer, examinons la contribution de chacun des termes à l’incertitude :

Terme Valeur Contribution

(∆𝑪𝑺

𝑪𝑺

)𝟐

0,0001 84 %

(∆𝑽𝒆𝒒

𝑽𝒆𝒒

)

𝟐

1,7 10-5 15 %

(∆𝑽𝟎

𝑽𝟎

)𝟐

1.0 10-6 1 %

Nous voyons clairement que la principale source d’erreurs est la solution de réactif titrant. On peut donc ne prendre en compte que

ce terme lors du calcul de l’incertitude afin de gagner du temps.

8. Bilan