MEMOIRE DE MASTER - univ-TebessaDavid Russell [24]et de Jacques-Louis Lions à la ﬁn des années...

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université de Larbi Tébessi -Tébessa-

Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie

Département des mathématiques et informatique

MEMOIRE DE MASTER

Domaine : Mathématique et Informatique Filière : Mathématiques

Option : Mathématiques Appliquées

Thème :

Présenté par :

Achouak BEKKAI et Linda MENASRIA

Devant le jury :

Fayçel MERGHADI M.C.A Université de Tébessa Président

Abdelhak HAFDALLAH M.A.A Université de Tébessa Rapporteur

Amel BERHAIL M.C.B Université de Guelma Examinateur

Khaled BERRAH M.A.A Université de Tébessa Examinateur

Date de soutenance : 29/05/2016

Note :………… Mention :....................

Méthode HUM pour la

contrôlabilité exacte des EDP

hyperboliques de type ondes

i

ملخص

حيث ألمواج، لمعادلة الدقيق التحكم مسألة بدراسة نقوم المذكرة، هذه في

االت نوعين نقدم على مطبقة التحكم دالة تكون عندما األول النوع: التحكم ل

. التعريف نطاق داخل مطبقة التحكم دالة تكون عندما الثاني والنوع الحافة

مة الطريقة أها التيHUM الهيلبيرتية الوحدانية طريقة هي المستخد . ج أنش

وعلى الوحدانية نظرية على ترتكز الطريقة هذه [.15 ]في ليونس. ل

.البتدائية المعطيات فضاء تشخص التي الطاقة متراجحات

ألمواج، ،HUMطريقة الدقيق، التحكم :المفتاحية الكلمات المتراجحة معادلة

.العكسية

ii

Abstract

Résumé

In this memory, we will study the problem of exact

controllability for the wave equation; we will present two

cases; the first case when the control is applied on the

boundary and the second case when the control is applied

in the interior. The used method is the Hilbert Uniqueness

Method «the method HUM» introduced by J.L. Lions [15].

This method is based on uniqueness criteria and energy

inequalities in the space of initial data.

Keywords: Exact controllability, HUM method, wave

equation, inverse inequality.

iii

Résumé

Résumé

Dans ce mémoire, nous allons étudier le problème de

contrôlabilité exacte pour l’équation des ondes, on va

présenter deux cas; le premier cas lorsque le contrôle est

appliqué à l’intérieur. La méthode utilisée est la méthode

d’unicité hilbertienne «la méthode HUM» introduite par

J.L. Lions [15] . Cette méthode se base sur un critère

d’unicité et des inégalités d’énergie qui caractérisent

l’espace des donnés initiales.

Mots clés : Contrôlabilité exacte, méthode HUM, équation

des ondes, inégalité inverse.

iv

Remerciements

Nous remercions Dieu tout puissant qui nous a donné la patience, la

puissance et la force pour finir ce travail.

Notre vif remerciement à Mr. Abdelhak HAFDALLAH pour nous

avoir encadré, encouragé et c’est grâce à sa grande disponibilité, ses

conseils et ses orientations que nous avons pu mener à bien ce travail.

Pour cela, nous lui adressons un grand merci.

Nous remercions chaleureusement Mr. Fayçel MERGHADI pour

avoir accepté de présider le jury.

De même nous exprimons notre reconnaissance au Dr. Amel

BERHAIL et Mr.Khaled BERRAH pour l’honneur qu’ils nous

ont fait de bien vouloir accepter de faire partie du jury et d’examiner

ce travail.

Enfin, nous n’oublions pas de remercier toutes les personnes du qui

ont facilité notre tâche et tous ceux que nous avons connus à l’institut

de mathématiques qui ont rendu notre séjours au département

agréables.

v

Liste des figures

Figure N° Titre Page

1 Différents concepts de contrôlabilité 18

2 Le cylindre espace-temps 21

3 Le sous cylindre ω×]0,T[ 41

4 Figure présente le domaine ω et l’ensemble Γ(x⁰)

46

Table des matières

1 Rappels et notions de base 6

1.1 Rappels d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Espaces normés et espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Les espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 L’espace (0 ; ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Espace réflexif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.6 Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.7 Le théorème de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.8 Quelques formules d’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.9 Quelques inégalités à utiliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Les semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Semi-groupe uniformément continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Semi-groupes de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Problèmes d’évolution non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Quelques notions de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes avec un contrôle

au bord 20

2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Description de la méthode HUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Quelques rappels sur l’existence et l’unicité des solutions de l’équation des ondes . 27

2.4 Régularité des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Le problème homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Le problème non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

2.4.3 L’inégalité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes avec un contrôle

interne 40

3.1 Formulation du problème. Description de HUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 L’inégalité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2

Notations

jj : une norme dans 2 () ou valeur absolue.

kk : une norme.

( ) : produit scalaire dans 2 ().

h i : crochet de dualité.

! : injection continue.

: flèche de convergence faible.� : flèche de convergence faible *.

: espaces de Hilbert.

0 : le dual topologique d’un espace .

L () : l’espace vectoriel des applications linéaires continues de dans .

() : l’espace vectoriel des applications linéaires continues sur .

() : le domaine de définition de l’opérateur .

� : le laplacien.

r : le gradient de la fonction : R ! R est r =

�

1

�

.

�ou � : la dérivée normale extérieure.

¬ou : frontière de .

: un sous-domaine non vide de .

� : la fonction indicatrice d’un ensemble ; � () = 1 si 2 0 si 2 .

inf : borne inférieure.

sup : borne supérieure.

max : le maximum.

lim : la limite.

lim : la limite inférieure.

div : la divergence.

3

Introduction

L’évolution au cours du temps de nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou

mécaniques est modélisé par des équations aux dérivées partielles, l’intérêt de la modélisation

d’un phénomène d’objets mathématiques est la possibilité à la compréhension du phénomène et

de l’influence des différents paramètres, aussi à la prévision grâce à la simulation. Souvent, on

cherche à étudier la possibilité d’agir sur un système afin qu’il fonctionne dans un but désiré, ou

« au mieux », « au moindre coût » etc. C’est l’objet de la théorie du contrôle qui est une théorie

mathématique permettant de déterminer des lois de guidage, d’action, sur un système donné.

La contrôlabilité des équations aux dérivées partielles est un sujet en plein développement. Son

histoire a commencé avec le cas de la dimension finie, son extension à la dimension infinie a

connu plusieurs temps. Ce sujet a connu un développement très important depuis les travaux de

David Russell [24] et de Jacques-Louis Lions à la fin des années 70’. Plus précisément, J.L. Lions

a introduit que l’on appelle Hilbert Uniqueness Method (la méthode HUM [15]) et ce fut le point

de départ d’une période fructueuse sur le sujet. Les années 90’ sont marquées par des points forts

parmi eux, C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [2] donnent une condition (quasiment) nécessaire et

suffisante d’exacte contrôlabilité de l’équation des ondes contrôlée sur une partie du bord ou du

domaine en utilisant des résultats d’analyse microlocale.

En mathématiques, le contrôle désigne la théorie qui vise à comprendre la façon dont une com-

mande permet aux humains d’agir sur un système qu’ils souhaitent maîtriser. Cette définition

recouvre naturellement de très nombreux champs d’applications dans toutes les disciplines : par

exemple guider une voiture, piloter un avion ou un satellite vers une orbite géostationnaire, opti-

miser les flux d’information dans un réseau, coder et décoder une image numérique ou un SMS,

réguler un thermostat, raffiner un pétrole, contrôler du pH dans des réactions chimiques ou en-

core optimiser des gains sur des flux boursiers... La contrôlabilité peut aussi réduire la douleur et

de prolonger la vie. Par exemple, on étudie un régulateur de pression sanguine destiné à mainte-

nir cette pression à niveau constant et convenable, on peut aussi contrôler une épidémie comme

l’étude de la thérapie des tumeurs au cerveau (Modèle de glioblastome) ou réaliser une opération

chirurgicale au laser. En outre, le contrôle du chaos est également considéré par de nombreux

chercheurs aujourd’hui.

Le but de ce mémoire est d’étudier la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes, l’outil utilisé

pour atteindre ce but est la méthode HUM. Alors, ce travail est organisé de la façon suivante :

Dans le premier chapitre, nous donnons un rappel sur l’essentiels des espaces fonctionnels utilisés,

ainsi que des notions sur la théorie de semi-groupe avec quelques théorèmes nécessaires et nous

considérons quelques concepts de la contrôlabilité que nous avons besoin de savoir.

4

Dans le deuxième chapitre, Nous présentons la méthode d’unicité hilbertienne HUM que nous

proposons pour l’étude du problème de la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes dans

le cas du contrôle frontière, cette méthode repose essentiellement sur l’obtention de théorème

d’unicité et sur la construction (par des procédés de complétion) d’espace de Hilbert adaptés à la

structure du système.

Le troisième chapitre est consacré à l’étude du problème de la contrôlabilité exacte avec un

contrôle interne où l’action du contrôle est exercée dans une partie � , la méthode que

nous utilisons pour étudier ce problème de contrôlabilité est la méthode HUM.

5

Chapitre 1

Rappels et notions de base

Dans ce chapitre, nous allons présenter un rappel sur les espaces fondamentaux en analyse fonc-

tionnelle qui contient quelques notions essentielles qui concernent les espaces , les espaces de

Hilbert et de Sobolev ainsi que une partie de définitions sur les semi-groupes et enfin on va consi-

dérer quelques concepts de la contrôlabilité qu’ils sont nécessaire de connaître pour aborder la

suite de ce mémoire.

1.1 Rappels d’analyse fonctionnelle

1.1.1 Espaces normés et espace de Banach

Définition 1.1 [6] Soit un espace vectoriel sur R. Une norme sur est une application de dans

R+, notée 7! kk, vérifiant les propriétés suivantes :

() kk = 0, = 0;

() k�xk = j�j kk 8 2 8� 2 R;() k + k � kk+ kk 8 2 (l’inégalité triangulaire).

Un espace vectoriel sur lequel une norme a été spécifiée est appelé espace vectoriel normé.

Une application 7! kk de dans R+ vérifiant les propriétés () et (), mais pas nécessairement

la propriété (), est appelée une semi-norme sur .

Définition 1.2 [6] On appelle espace de Banach un espace normé complet.

1.1.2 Espaces de Hilbert

Définition 1.3 [5] Soit un espace vectoriel sur R. Un produit scalaire ( ) est une forme bilinéaire

de � dans R, symétrique, définie positive.

6

Chapitre 1. Rappels et notions de base

Rappelons qu’un produit scalaire vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz

j( )j � ( )12 ( )

12 8 2

Rappelons aussi que

kk = ( )12

est une norme associée au produit scalaire.

Définition 1.4 [5] Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire ( ) et

qui est complet pour la norme associée kk.

Théorème d’identification des espaces de Hilbert

Théorème 1.1 (Théorème de représentation de Riesz-Fréchet) [5]

Etant donné 2 0 il existe 2 unique tel que

h i = ( ) 8 2

De plus on a

kk = kk0

Preuve. voir [5]

Théorème de Lax-Milgram

Définition 1.5 [5] On dit qu’une forme bilinéaire ( ) : � ! R est

() continue s’il existe une constante telle que

j ( )j � kk kk 8 2

() coercive s’il existe une constante � 0 telle que

( ) � � kk2 8 2

Théorème 1.2 (Lax-Milgram)[5] Soit ( ) une forme bilinéaire, continue et coercive. Alors pour

tout 2 0 il existe 2 unique tel que

( ) = h i 8 2

1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 7


1.1.3 Les espaces

Définition 1.6 (Espace de Lebesgue) [23]

Soit 2 R, 1 � 1. On appelle l’espace de Lebesgue () l’ensemble

() =

� : ! R j mesurable et

Z

jj 1�

De plus, pour toute fonction 2 (), on pose

kk =�Z

j ()j

� 1

Définition 1.7 [1] Pour =1, l’espace de Banach 1 () tel que

1 () = f : ! R j mesurable et 9 0 t.q. j ()j � g

est muni de la norme

kk1 = sup () = inf f : j ()j � g

Remarque 1.1 [5] L’espace 2 () muni du produit scalaire

( ) =

Z

() () 8 2 2 ()

est un espace de Hilbert.

1.1.4 L’espace (0 ; )

Définition 1.8 [25] Soit un espace de Banach, on désigne par (0 ; ) l’espace des fonctions

mesurables : ]0 [! tel que

kk(0 ; ) =

�Z

0

k ()k

� 1

1 pour 1 � 1

et pour =1 on a

kk(0 ; ) = sup0��

k ()k 1

L’espace (0 ; ) est un espace de Banach pour 1 � �1.

Si est de Hilbert pour le produit scalaire ( ) , 2 (0 ; ) est un espace de Hilbert pour le produit

scalaire

( )2(0 ; ) =

Z

0

( () ())



1.1.5 Espace réflexif

Définition 1.9 [5] Soit un espace de Banach et soit l’injection canonique de dans 00. On dit

que est réflexif si () = 00.

Lorsque est réflexif on identifie implicitement et 00 (à l’aide de l’isomorphisme ).

Théorème de compacité d’Aubin-Lions [17]

On se donne trois espaces de Banach 0 1 avec

0 � � 1 réflexif, = 0 1

L’injection 0 ! est compacte.

On définit

=

� j 2 0 (0 ;0) 0 =

2 1 (0 ;1)

�où est fini et où 1 1 = 0 1.

Muni de la norme

kk0 (0 ;0)+ k0k1 (0 ;1)

est un espace de Banach.

On a alors le résultat suivant :

Théorème 1.3 Sous les hypothèses précédentes et si 1 1 = 0 1 l’injection de dans

0 (0 ;) est compacte.

Preuve. voir [17]

Les distributions

Soit un ouvert non vide de R ; notons par D () l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment

différentiables sur à support compact dans .

On appelle distribution toute forme linéaire continue sur D (), et on note par D0 () l’ensemble

des distributions.

Définition 1.10 (Dérivation des distributions) [23]

Soit un élément de D0 (). Pour tout multi-indice � 2 N, on appelle ordre de � et on note j�jl’entier j�j =

P=1

�. La dérivée d’ordre j�j de est l’application suivante, notée �

� : D ()! R 7! h� i = (¬1)j�j h�i



Remarque 1.2 Si est une fonction de R dans R et � 2 N, on note � la dérivée d’ordre � de

� =j�j

�11 �

1.1.6 Les espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev sont les espaces "naturels" des solutions d’équations aux dérivées par-

tielles. On les appelle aussi espaces d’énergie car ils s’interprètent naturellement comme les es-

paces de fonctions d’énergie bornée. (voir [20])

Nous rappellerons ici les définitions et les résultats qui seront utilisés par la suite.

Espace de Sobolev d’ordre entier H

L’espace 1()

Définition 1.11 [21] Soit un ouvert de R de frontière , On appelle espace de Sobolev d’ordre 1

sur l’espace

1() =

� 2 2 ()

2 2 () 8 = 1

�

Ici la dérivation est au sens des distributions. En d’autres termes, une fonction 2 2 () est dans

1() s’il existe des fonctions 1 dans 2 () telles queZ

= ¬

Z

8 2 () 8 = 1

les fonctions sont notées

.

L’espace 1() est muni de la norme

kk21 =

Z

j ()j2 +

Z

X

=1

��

()

��2

=

Z

j ()j2 +

Z

jr ()j2

La norme de 1() est issue d’un produit scalaire noté ( )1 et défini par

(( ))1 =

Z

() () +

Z

r () �r ()

= ( ) + (rr)

L’espace 1() est un espace de Hilbert.



L’espace 10 ()

Définition 1.12 [1] les fonctions de 10 () sont les fonctions de 1() qui s’annulent sur la frontière

¬=

10 () = f 2 1() = 0 sur ¬g

sur 10 () on obtient une norme donné par

kk20 =Z

jr ()j2

L’espace ¬1()

¬1() = dual topologique de 10 ()

Théorème 1.4 (de Rellich) [1] Si est un ouvert borné de classe 1, alors l’injection canonique de

10 () dans 2() est compacte, i.e. tout ensemble borné de 1

0 () est relativement compact dans

2(). On écrit

10 () ! 2() est compacte.

On peut identifier 2() et son dual, alors on a les inclusions

10 () � 2() � ¬1()

avec injections continues et denses. (voir [5])

L’espace ()

Définition 1.13 [21] On définit les espaces de Sobolev () où est un entier strictement positif

par

() = f 2 2 () : � 2 2 () 8� 2 N j�j � g

On le munit de la norme

kk2 =X

j�j�

Z

j�j2

=X

j�j�

k�k22()



L’espace W ()

Définition 1.14 [21] Soit un ouvert de R, pour tout 1 � � 1 et pour tout 2 N, on peut

définir les espaces de Sobolev

() = f 2 () : � 2 () 8� 2 N j�j � g

que l’on munit de la norme

kk =X

j�j�

Z

j�j si 1 � +1

kk1 = maxj�j�

k�k1

Ces espaces sont des espaces de Banach.

On note

1 () = 12 () et () = 2 ()

1.1.7 Le théorème de Banach-Steinhaus

Soient et deux espaces vectoriels normés. On désigne par L ( ) l’espace des opérateurs

linéaires et continus de dans muni de la norme

kkL( ) = sup2kk�1

kk

Théorème 1.5 (Banach-Steinhaus)[5] Soient et deux espaces de Banach. Soit ()2 une fa-

mille (non nécessairement dénombrable) d’opérateurs linéaires et continus de dans .

On suppose que

sup2kk 1 8 2

Alors

sup2kkL( ) 1

Autrement dit, il existe une constante telle que

kk � kk 8 2 8 2

Preuve. voir [5]



Corollaire 1.1 [5] Soient et deux espaces de Banach. Soit () une suite d’opérateurs linéaires

et continus de dans tels que pour chaque 2 , converge quand ! 1 vers une limite

notée .

Alors on a() sup

kkL( ) 1

() 2 L ( )

() kkL( ) � lim!1

kkL( )

Preuve. voir [5]

1.1.8 Quelques formules d’intégration par parties

Soient � R, un domaine 1. Pour les champs de vecteurs

= (1 2 ) : ¬! R

avec 2 1 ().

La formule de divergence de Gauss est donnée parZ

div =

Z

� �d� (1.1)

où div =P

=1

, � désigne le vecteur unitaire normale extérieur sur , et d� est l’élément

de surface de la frontière , données localement en termes de cartes locaux par

d� =p1 + jr (0)j0

Un certain nombre d’identités utiles peuvent être dérivées de (1.1). On applique (1.1) à � , avec

2 1¬�, et rappelons que l’identité

div ( ) = div +r �

nous obtenons la formule d’intégration par partie suivante (voir [25])

Z

div =

Z

� �d� ¬Z

r � (1.2)

Choisir = r 2 2 () \ 1¬�, comme divr = � et r � � = �, on obtient l’identité

de Green (voir [25]) Z

� =

Z

�ud� ¬Z

r �r (1.3)



En particulier, le choix des rendements � 1

Z

� =

Z

�ud� (1.4)

Si aussi 2 2 () \ 1¬�, nous permutons les rôles de et dans (1.3) et avec soustraction,

nous obtenons deuxième identité de Green (voir [25])

Z

(�¬ �) =

Z

(�¬ �) d� (1.5)

1.1.9 Quelques inégalités à utiliser

Inégalité de Cauchy [22]

8 2 2 () ;

��Z

�� Z

jj2

� 12�Z

jj2

� 12

Inégalité de Cauchy avec [22]

Qu’on appelle aussi -inégalité

jj �

2jj2 + 1

2jj2

pour tout 0 et arbitraire (réels).

1.2 Les semi-groupes

1.2.1 Semi-groupe uniformément continu

Définition 1.15 [13] On appelle semi-groupe uniformément continu d’opérateurs linéaires bornés

sur une famille f ()g�0 � () vérifiant les propriétés suivantes :

) (0) = ;

) ( + ) = () () 8 � 0;

) lim!0+k ()¬ k = 0

Définition 1.16 [13] On appelle générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continu

f ()g�0 l’opérateur linéaire

: ¬!

= lim!0

()¬

1.2. Les semi-groupes 14


1.2.2 Semi-groupes de classe C0

Définition 1.17 [13] On appelle 0-semi-groupe (ou semi-groupe fortement continu) d’opérateurs

linéaires bornés sur une famille f ()g�0 � () vérifiant les propriétés suivantes :

) (0) = ;

) ( + ) = () () 8 � 0;

) lim!0

() = 8 2

Définition 1.18 [13] On appelle générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0, un opéra-

teur défini sur l’ensemble

() =

� 2 j lim

!0

() ¬

existe

�par

= lim!0

() ¬

8 2 ()

Remarque 1.3 [13] Il est clair que le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe est un opérateur

linéaire.

1.2.3 Problèmes d’évolution non homogènes

Soit ( ()) le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0 sur un espace de Hilbert

, on veut résoudre. (0 () = () + () si 2 ]0 [

(0) = 0(1.6)

où : [0 ]!

Définition 1.19 [4] Soit 2 1([0 ];) et 0 2 , on appelle solution faible de (1.6) la fonction

2 ([0 ];) donnée par

() = () 0 +

Z

0

(¬ ) () 2 [0 ] (1.7)

On appelle solution classique de (1.6) tout fonction 2 ([0 ];) \1 ([0 ];) tel que

2 () pour tout 2 [0 ], et vérifiant (1.7) dans [0 ].

Remarque 1.4 [4] Par définition, le problème (1.6) admet toujours une unique solution faible.

1.2. Les semi-groupes 15


Théorème 1.6 [4] Soit 2 1([0 ];) et 0 2 , le problème (1.6) admet au plus une solution

classique et s’il en existe une alors elle est donnée par la formule (1.7).

Preuve. Il suffit de démontrer que toute solution classique est donnée par la formule (1.7).

Soit une solution classique, pour tout 2 [0 ] on considère la fonction : [0 ]! défini par

() = (¬ ) () 2 [0 ]

Puisque 2 (), la fonction � 7! (�) () est dérivable pour tout � 0. Par conséquent est

dérivable sur [0 ] et on a

0 () = ¬ (¬ ) () + (¬ ) 0 ()

= ¬ (¬ ) () + (¬ ) () + (¬ ) ()

= (¬ ) ()

comme 2 1([0 ];), on en déduit que 0 2 1([0 ];) et en l’intégrant entre 0 et , on obtient

() = (0) +

Z

0

(¬ ) ()

c’est-à-dire

() = () 0 +

Z

0

(¬ ) ()

1.3 Quelques notions de la contrôlabilité

On considère le système linéaire suivant(

0 () = () + ()

(0) = 0 2 ()(1.8)

où

( ()) est le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0 dans un espace de Hilbert

. Soit un espace de Hilbert et est un opérateur dans L (), excite le système pour

modifier l’état (chercher un état convenable). On suppose que 2 2 ([0 ] ;).

La fonction 2 est dite l’état du système (1.8) et est le contrôle.

Les espaces et sont appelés respectivement espace des contrôles et espace des états.

1.3. Quelques notions de la contrôlabilité 16


La contrôlabilité

Le principe de la contrôlabilité est le suivant : étant donnés deux états 0 2 et 2 du

système (1.8), existe-t-il une fonction (appelée contrôle) permettant de passer (en un sens à

définir précisément) de l’état 0 à l’état en un temps fixé 0 ? Le terme “passer” peut-être

interprété de différentes manières, par exemple il peut signifier que la valeur à l’instant = de

la solution qui part de l’état 0 à l’instant = 0 soit exactement égale à , auquel cas on parle

de contrôlabilité exacte ; mais il peut aussi signifier que la valeur de cette solution à l’instant

soit suffisamment proche de , sans nécessairement lui être égale, auquel cas on parle de

contrôlabilité approchée. Les notions de contrôlabilité peuvent également différer selon la forme

des cibles que l’on cherche à atteindre, par exemple on peut ne chercher à atteindre que l’état

nul = 0, auquel cas on parle de contrôlabilité nulle. Ces différents concepts de contrôlabilité se

définissent plus précisément de la façon suivante :

Contrôlabilité exacte

Définition 1.20 [4] On dit que le système (1.8) est exactement contrôlable au temps 0, si pour

tout 2 il existe 2 2 (0 ;) tel que ( ) = .

8 2 9 2 2 (0 ;) t.q. ( ) =

Contrôlabilité nulle

Définition 1.21 [3] Le système (1.8) est dit exactement nul contrôlable sur l’intervalle de temps [0 ]

si et seulement s’il est possible de ramener tous les points dans l’espace à l’origine au temps via

un contrôle c.-à-d.

8 2 9 2 2 (0 ;) t.q. ( ) = 0

Remarque 1.5 [9] La contrôlabilité exacte implique la contrôlabilité nulle, mais la réciproque n’est

pas vraie en général.

Contrôlabilité approchée

Définition 1.22 [7] Nous dirons que le système (1.8) est faiblement (approximativement) contrô-

lable sur [0 ] si pour tout 2 et pour tout 0, il existe un contrôle 2 2 (0 ;) réalisant

k ( )¬ k



Figure 1 : Différents concepts de contrôlabilité

L’opérateur de contrôlabilité

On sait que la solution de (1.8) s’écrit

() = () 0 +

Z

0

(¬ ) ()

On peut donc, introduire l’opérateur

8><

>:

: 2 ([0 ] ;) ¬!

7!Z

0

( ¬ ) ()

On remarque que peut aussi être défini comme = ( ; 0 ), c’est-à-dire comme la so-

lution, à l’instant , du problème correspondant à la donnée initiale 0 et au second membre

(contrôle) .

Proposition 1.1 [9] ) Le système (1.8) est exactement contrôlable ssi est surjective c.à.d.

Im =

) Le système (1.8) est faiblement contrôlable ssi

Im =

Preuve.

) Le système (1.8) est exactement contrôlable

, 80 2 9 2¬2 [0 ] ;

�: = ( ) = () 0 +

Z

0

( ¬ ) ()

, est surjectif ou Im =



) Le système (1.8) est faiblement contrôlable

, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;

�: k ( )¬ k �

, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;

�: k () 0 + ¬ k �

, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;

�: k ¬ ( () 0 ¬ )k �

, Im =


Chapitre 2

Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte

de l’équation des ondes avec un contrôle au

bord

La méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method) développée par J.L. Lions [15] permet d’étudier le

contrôle des solutions d’équations aux dérivées partielles de type hyperboliques. Cette méthode

consiste à prouver un théorème d’unicité, en passant par une majoration de l’énergie (inégalité

inverse) au moyen de la méthode des multiplicateurs, qui nous permet de construire des espaces

de données pour lesquelles il existe un contrôle qui permet de ramener la solution du système à

l’état d’équilibre.

Dans ce chapitre, nous allons présenter la méthode HUM dans le cas d’une action du type Dirichlet

sur la frontière.

2.1 Position du problème

Soit un ouvert borné de R ( = 1 2 3 dans les applications), de frontière assez régulière

¬ = . Soit 0 un temps positif donné. On définit un cylindre = � ]0 [ de frontière

latérale � = ¬� ]0 [.

20

Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord

Figure 2 : Le cylindre espace-temps

On considère dans un système dont l’état = ( ) décrit par l’équation des ondes

00 ¬ � = 0 dans (2.1)

où

0 =

00 =

2

2

� =X

=1

2

2

désigne le Laplacien par rapport aux variables d’espace = (1 2 ), et est

la variable de temps.

Soient les conditions initiales

(0) = 0 0 (0) = 1 dans (2.2)

On dénote par

(0) la fonction 7! ( 0)

et par

0 (0) la fonction 7! 0 ( 0)

avec une condition aux limites non-homogène de type Dirichlet

= sur � = ¬� ]0 [ (2.3)

où = ( ) est le contrôle qui modélise l’action au bord � sur le système (2.1)–(2.3).

2.1. Position du problème 21


Le système d’évolution (2.1), (2.2) et (2.3) décrit, par exemple, les vibrations d’un corps n-

dimensionnel soumis à l’action d’une force sur la frontière ¬ (sur son bord) et partant d’un

état initial décrit par les données f0 1g. (voir [14])

La question posée est : Comment arrêter ces vibrations ? C’est-à-dire : Quel est le contrôle qui

ramène au repos les vibrations à l’instant ?

Dans le but d’expliciter la dépendance de la solution = ( ) du problème (2.1)–(2.3) par

rapport au contrôle on utilisera la notation

= ( ; ) = ()

Le problème étudié est le suivant : Soit 0 donné, peut-on, pour tout couple f0 1g donné

dans un espace convenable, trouver un contrôle qui ramène le système à l’état d’équilibre f0 0gà l’instant , c’est-à-dire on veut que la solution = ( ; ) de (2.1)–(2.3), vérifie la condition

( ; ) = 0 ( ; ) = 0 dans (2.4)

Si cela est possible, on dit alors que le système est exactement contrôlable à l’instant .

Remarque 2.1 A cause de la vitesse finie de propagation des ondes, le système (2.1)–(2.3) ne peut

être exactement contrôlable que si assez grand.

Remarque 2.2 Dans les applications, c’est rare de trouver des systèmes qui l’on peut contrôler sur

tout le bord. Pour cette raison nous considérons l’action du contrôle uniquement sur une partie du

bord.

Dans ce cas, Considérons une partie ouverte non vide �0 de � et on agit sur le système par la

condition aux limites suivante

=

�� sur �0

0 sur �n�0(2.5)

La formulation du problème de la contrôlabilité exacte est maintenant la suivante : “Etant donné

un temps 0 et des conditions initiales f0 1g données dans un espace convenable, existe-t-il

un contrôle définit sur �0 tel que si = () est la solution de (2.1), (2.2) et (2.5) on ait

(2.4) ?”

Notre objectif est d’étudier ce problème de contrôlabilité exacte. Pour cela, on introduit les idées

principales de la méthode d’unicité hilbertienne HUM qui nous allons utiliser pour résoudre le

système (2.1), (2.2) et (2.5).

2.1. Position du problème 22


2.2 Description de la méthode HUM

La méthodologie du HUM est basée sur certain critères d’unicité pour le système homogène asso-

cié et la construction (par des procédés de complétion) d’espaces hilbertiens adaptés à la structure

du système.

L’algorithme suivant décrit les étapes fondamentales de l’application de la méthode HUM à la

résolution du problème de la contrôlabilité exacte du système (2.1), (2.2) et (2.5).

Etape 1 :

Soit��0�1

2 D ()�D (), on considère l’équation des ondes homogène��

�00 ¬ �� = 0 dans

� = 0 sur �

� (0) = �0 �0 (0) = �1 dans

(2.6)

Le problème (2.6) admet une solution unique � = � ( ) (cf. paragraphe 2.3) qui satisfait (cf. le

paragraphe 2.4.1) la propriété de régularité suivante :

�

�2 2 (�)

Etape 2 :

Ensuite, on résout le problème "rétrograde"��

00 ¬ � = 0 dans

=

8<

:

�

�sur �0

0 sur �n�0

( ) = 0 ( ) = 0 dans

(2.7)

où � désigne le vecteur normale extérieur à et "

�" la dérivée dans cette direction c’est-à-dire

�

�= r� � � =

X

=1

�

�

Le problème (2.7) est un système rétrograde non-homogène, car on a une condition finale

( ) = 0 ( ) = 0 dans et des conditions aux limites non-homogène. Cela ne change pas le

caractère "bien posé" du système, qui admet donc une solution unique .

L’opérateur �

On définit un opérateur linéaire � qui associe à��0�1

par

��0�1

= f 0 (0) ¬ (0)g (2.8)

2.2. Description de la méthode HUM 23


L’opérateur � est bien défini car est suffisamment régulière (cf. paragraphe 2.4.2).

Etape 3 : En multipliant l’équation (2.7)1 par � = � ( ) et en intégrant sur , on obtientZ

00�d

| {z }()

¬Z

��

| {z }()

= 0

Analyse de la première intégrale ()

On a

( 0�)0= ( 00�) + ( 0�0)

En intégrant sur ]0 [, on obtient

h 0 ( ) � ( )i ¬ h 0 (0) � (0)i =Z

00�d +

Z

0�0

avec la condition (2.7)3, on trouveZ

00�d = ¬ 0 (0) �0

�¬

Z

0�0 (2.9)

d’autre part, par intégration par parties, on aZ

0�0 = ( ( ) �0 ( ))¬ ( (0) �0 (0))¬Z

�00

donc Z

0�0 = ¬¬ (0) �1

�¬

Z

�00 (2.10)

On substitue (2.10) dans (2.9), on obtientZ

00�d = ¬ 0 (0) �0

�+

¬ (0) �1

�+

Z

�00 (2.11)

Analyse de la deuxième intégrale ()

D’après la deuxième identité de Green (1.5), on aZ

( ��¬ �� ) =

Z

�

�

�

�¬ �

�

�¬

donc

¬Z

�� = ¬Z

��d +

Z

�

�

�¬ (2.12)

On ajoute (2.11) à (2.12), on obtientZ

( 00 ¬ � )� =

Z

(�00 ¬ ��) ¬ 0 (0) �0

�+

¬ (0) �1

�+

Z

�

�

�¬ = 0



comme �00 ¬ �� = 0 dans et 00 ¬ � = 0 dans , alors on trouve

¬ 0 (0) �0

�+

¬ (0) �1

�+

Z

�

�

�¬ = 0 (2.13)

On remarque que =�

�sur �0 et = 0 sur �n�0. Donc, de (2.13) il résulte

0 (0) �0

�¬

¬ (0) �1

�=

Z

�0

��

�

�2

¬ (2.14)

On considère 0 (0) �0

�¬

¬ (0) �1

�comme un produit scalaire de f 0 (0) ¬ (0)g et

��0�1

.

Donc, d’après (2.14) nous avons

��0�1

��0�1

�=

0 (0) �0

�¬

¬ (0) �1

�=

Z

�0

��

�

�2

¬ (2.15)

On introduit alors la semi-norme

��0�1 =

Z

�0

��

�

�2

¬

! 12

=

�

�

2(�0)

8��0�1

2 D ()�D () (2.16)

et on suppose qu’en fait kk définit une norme dans l’espace D ()�D ().Le fait que kk définisse une norme est équivalent à ce que le théorème d’unicité suivant soit

vérifié.

Théorème 2.1 [14] (Théorème d’unicité)

Si � = � ( ) vérifie (2.6) pour��0�1

2 D ()�D () et la condition

�

�= 0 sur �0

alors

� = 0 dans

Remarque 2.3 Ce critère d’unicité est vraie par l’inégalité inverse ou par le théorème de Holmgren

(cf. L. Hörmander [10] et J. L. Lions [14]).

Remarque 2.4 Si le théorème (2.1) vérifié, alors la norme (2.16) induit le produit scalaire suivant :

��0�1

��0 �1

�=

Z

�0

�

�

�

�¬ (2.17)

où � = � ( ) est la solution du problème (2.6) correspondant aux données initiales��0 �1

2

D ()�D ().



Alors de (2.15) et (2.17), on déduit que

��0�1

��0 �1

�=��0�1

��0 �1

�

8��0�1

��0 �1

2 D ()�D () (2.18)

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient�� 0�1 ��0 �1

�� 0�1

��0 �1

8��0�1

��0 �1

2 D ()�D () (2.19)

L’inégalité (2.19) montre la continuité de la forme bilinéaire définie par � dans D ()�D ().On définit par le complété de cet espace par rapport à la norme (2.16), on obtient ainsi un

espace de Hilbert. La forme bilinéaire continue��0�1

��0 �1

!

��0�1

��0 �1

�ad-

met un prolongement par continuité à la fermeture , nous présentons ce prolongement avec la

même notation. Ensuite, on obtient une forme bilinéaire continue sur l’espace de Hilbert qui est

coercive (la coercivité de la forme bilinéaire équivaut à l’inégalité inverse qui nous allons énoncer

dans la suite), alors d’après le lemme de Lax-Milgram, pour chaque f�0 �1g 2 0 (dual de ), il

existe un unique��0�1

2 tel que

��0�1

��0 �1

�=��0 �1

��0 �1

� 0� (2.20)

donc, pour tout��0 �1

2 et pour chaque f�0 �1g 2 0, il existe un unique

��0�1

2 qui est

la solution de l’équation ��0�1

= f�0 �1g dans 0. De tout cela, on résulte que � : ¬! 0

est un isomorphisme.

Etape 4 : Conclusion

On considère alors l’équation

��0�1

= f1¬0g (2.21)

Comme � est un isomorphisme de sur 0, l’équation (2.21) admet une solution unique��0�1

2

pour tout couple de données initiales f0 1g tel que f1¬0g 2 0.

D’autre part, l’opérateur � a été défini par l’application (2.8), donc

0 (0) = 1 et (0) = 0

où désigne la solution du problème (2.7).

On choisit le contrôle par

=�

�sur �0

On remarque que = ( ) et = ( ) sont deux solutions du même problème non-

homogène. Alors, d’après l’unicité de la solution du problème (2.1), (2.2) et (2.5) on a

( ) = ( ) 8 ( ) 2



De (2.7)3, on déduit que

( ) = 0( ) = 0 dans

On voit que = () satisfait la condition (2.4).

Finalement, on a construit un contrôle qui donne la contrôlabilité exacte.

La prochaine étape est de caractériser les espaces et 0 comme des espaces de Sobolev.

Tout d’abord, on va énoncer quelques résultats préliminaires qui seront nécessaires dans l’appli-

cation de HUM.

2.3 Quelques rappels sur l’existence et l’unicité des solutions

de l’équation des ondes

Dans ce paragraphe on étudie quelques résultats d’existence et de régularité des solutions de

problème (2.6).

On considère le problème homogène (2.6) et l’énergie associé

() =1

2

nj�0 ()j2 + jr� ()j2

o8 2 [0 ] (2.22)

avec les notations

j�0 ()j2 = k�0 ()k22() =Z

j�0 ( )j2

et

jr� ()j2 = kr� ()k2[2()] =X

=1

Z

��

( )

��2

On a le résultat d’existence et d’unicité de la solution de (2.6) suivant :

Lemme 2.1 [12] Soit un domaine borné de R à frontière lipchitzienne. Alors, Pour des conditions

initiales �0 2 10 () et �1 2 2 () il existe une solution unique � = � ( ) de (2.6) avec

� 2 ¬0 ;1

0 ()�\ 1

¬0 ;2 ()

�\ 2

¬0 ;¬1 ()

� (2.23)

La solution � de (2.6) (qui appartient à la classe (2.23) est dite solution faible de l’équation).

En plus, on a la conservation de l’énergie

() = (0) =1

2

n��1��2 + ��r�0��2o 8 2 [0 ] (2.24)

2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 27


Preuve. On a le résultat d’existence et d’unicité de la solution � de (2.6) d’après [14]. Pour montrer

la conservation de l’énergie, on multiplie l’équation (2.6)1 par �0 ( ) et en intégrant sur on

obtient

0 =

Z

(�00 ¬ ��)�0

(13)=

�1

2

Z

nj�0j2 + jr�j2

o

�¬

Z

¬

(r� � �)�0¬

= ()

¬

Z

¬

(r� � �)�0¬

D’après les conditions au bord dans (2.6), on obtient

()

= 0 8 2 [0 ]

et par suite on a conservation de l’énergie.

Pour la régularité de la solution �, on a le lemme suivant qui justifiera les intégrations effectuées

dans la suite

Lemme 2.2 [14] On suppose maintenant que ¬est de classe 2. Alors, si��0�1

2 2 ()\1

0 ()

la solution � de (2.6) vérifie la propriété de régularité suivante :

� 2 ¬0 ;2 () \1

0 ()�\ 1

¬0 ;1

0 ()�\ 2

¬0 ;2 ()

� (2.25)

Preuve. voir [14]

On considère maintenant l’équation des ondes non homogène��00 ¬ �� = dans

� = 0 sur �

� (0) = �0�0 (0) = �1 dans

(2.26)

On a le résultat suivant :

Lemme 2.3 [14] (a) Soit un domaine borné de R à frontière lipchitzienne. Pour tout 21 (0 ;2 ()), �0 2 1

0 () et �1 2 2 () il existe une solution unique � de (2.26) avec

� 2 ¬0 ;1

0 ()�\ 1

¬0 ;2 ()

� (2.27)

De plus, il existe une constante 0 telle que

k�k1(0 ;10 ())

+ k�0k1(0 ;2()) � n��r�0��+ ��1��+ kk1(0 ;2())o (2.28)

(b) On suppose maintenant que est de classe 2. Alors, pour tout 2 1 (0 ;10 ()),



�0 2 2 () \10 () et �1 2 1

0 () il existe une solution unique � telle que

� 2 ¬0 ;2 () \1

0 ()�\ 1

¬0 ;1

0 ()�

(2.29)

avec l’estimation

k�k1(0 ;2()\10 ())

+ k�0k1(0 ;10 ())

� n �0

2()\1

0 ()+

�1 10 ()

+ kk1(0 ;10 ())

o

(2.30)

Preuve. voir [14]

Maintenant, on établit une identité fondamentale qui permettra ensuite d’obtenir les estimations

a priori nécessaires dans l’application de HUM.

Lemme 2.4 [14] Soit = () un champ de vecteurs de classe�1

¬��

. Alors, pour toute solution

faible � = � ( ) de l’équation (2.26), c’est-à-dire pour tout��0�1

2 1

0 () � 2 () et 21 (0 ;2 ()), on a

1

2

Z

�

�

��2 � =

��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i

+

Z

�

�

¬

Z

�

(2.31)

On a appliqué ici la convention des indices répétés de sorte que, par exemple

� =P

=1

�

Avant de démontrer l’identité (2.31), on va énoncer le lemme suivant qui sera nécessaire dans la

suite

Lemme 2.5 [19] Si � 2 10 () \2 (), alors

�

= �

�

�sur ¬

jr�j2 =�

�

�

�2

Preuve. voir [19]

Maintenant, on retourne à la preuve du lemme 2.4

Preuve. On établit d’abord l’identité dans le cas d’une solution forte �, i.e. qui correspond à des

données��0�1

2 (2 () \1

0 ())�10 (), 2 1 (0 ;1

0 ()).



On multiplie l’équation (2.26)1 par �

et l’on intègre sur , il en résulte que

Z

�00�

| {z }()

¬Z

��q�

| {z }()

=

Z

�

(2.32)

Analyse de ()

On a

¬Z

��q�

= ¬

Z

0

Z

��

d’après l’identité de Green (1.3), on obtient

¬Z

��q�

= ¬

Z

¬

�

�

�

¬+

Z

r� �r�

�

� (2.33)

D’autre part, on a

r� �r�

�

�=

�

��

�+

�

�

=1

2

��

�2

+�

�

=1

2

jr�j2 + �

�

donc

(233), ¬Z

��

= ¬

Z

¬

�

�

�

¬+

1

2

Z

jr�j2 +

Z

�

�

(2.34)

En utilisant l’identité de Green (1.3), on obtient

1

2

Z

jr�j2 =

1

2

Z

¬

jr�j2 �¬¬1

2

Z

jr�j2 (2.35)

On substitue (2.35) dans (2.34), on trouve

¬Z

��q�

= ¬

Z

¬

�

�

�

¬+

1

2

Z

¬

jr�j2 �¬¬1

2

Z

jr�j2 +

Z

�

�

Par ailleurs, grâce au lemme 2.5, on a

¬Z

��

= ¬

Z

¬

�

��

�

�2

¬+1

2

Z

¬

�

��

�

�2

¬¬12

Z

jr�j2 +

Z

�

�

Finalement, l’intégration sur ]0 [ nous donne

¬Z

��q�

= ¬1

2

Z

�

�

��

�

�2

¬¬ 1

2

Z

jr�j2 +

Z

�

�

(2.36)



Analyse de ()

On a Z

�00�

=

Z

0

Z

�00�

et on sait que Z

0

��0

�

� =

Z

�00�

+

Z

�0�0

donc Z

�00�

=

��0 ()

� ()

��0

¬ 1

2

Z

j�0j2 (2.37)

d’autre part, on observe queZ

�2j�0j2

� =

Z

¬

2j�0j2 �¬= 0

comme conséquence de la formule de divergence de Gauss (1.1) et du fait que � = 0 sur �.

Alors, il résulte que

¬ 1

2

Z

j�0j2 =

1

2

Z

j�0j2 (2.38)

On substitue (2.38) dans (2.37), on obtient

Z

�00�

=

��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

j�0j2 (2.39)

Par suite, en reportant (2.36) et (2.39) dans (2.32), on déduit��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

j�0j2 ¬ 1

2

Z

�

�

��2 ¬¬ 1

2

Z

jr�j2

+

Z

�

�

=

Z

�

alors

1

2

Z

�

�

��2 ¬ =

��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

j�0j2 ¬ 1

2

Z

jr�j2

+

Z

�

�

¬

Z

�

d’où l’identité (2.31).

Considérons maintenant le cas général d’une solution faible � = � ( ), c’est-à-dire qui corres-

pond à des données��0�1

2 1

0 () �2 (), 2 1 (0 ;2 ()).



On approche ces données par des données plus régulières��0�

1

2 (2 () \1

0 ())�10 (),

fg 2 1 (0 ;10 ()) telles que�

�0�1

!��0�1

dans 1

0 ()� 2 () et

! dans 1 (0 ;2 ()) , lorsque ! +1(2.40)

L’identité (2.31) est donc vérifiée par les solutions fortes � qui correspondent aux données��0�

1

, et d’après l’estimation (2.28) et les propriétés (2.40) on voit que

� ! � dans (0 ;10 ()) et

�0 ! �0 dans (0 ;2 ()) , lorsque ! +1

Ceci nous permet de passer à la limite lorsque ! +1 dans le membre de droite de l’identité

(2.31), d’en déduire que �

��2 2 1 (�) et que l’identité (2.31) et aussi vérifiée dans ce cas.

2.4 Régularité des solutions faibles

2.4.1 Le problème homogène

Théorème 2.2 [14] Soit un domaine borné de R de frontière ¬ de classe 2. Alors, il existe une

constante 0 telle que

Z

�

��2 � � ( + 1)

n��r�0��2 + ��1��2 + kk1(0 ;2())o

8��0�1

2 1

0 ()� 2 ()� 1 (0 ;2 ())

(2.41)

où � = � ( ) désigne la solution du problème (2.26).

Preuve. voir [14]

Remarque 2.5 [14] D’après (2.41) il résulte que�

�2 2 (�). Ceci est une propriété de régularité

cachée des solutions faibles de l’équation des ondes.

2.4.2 Le problème non homogène

Ici on va étudier l’existence et la régularité des solutions du problème non homogène (2.7).

Soit le problème suivant :

2.4. Régularité des solutions faibles 32


��00 ¬ � = 0 dans

= sur �

(0) = 0 0 (0) = 1 dans

(2.42)

La solution du problème (2.42) est définie par la méthode de transposition (cf. J. L. Lions et E.

Magenes [18]). Plus précisément, on a la définition suivante :

Définition 2.1 [16] Pour tout f0 1 g 2 2 ()�¬1 ()�2 (�), on appelle solution ultra faible

du problème (2.42), une fonction 2 1 (0 ;2 ()) satisfaite la conditionZ

= 1 � (0)

�¬

¬0 �0 (0)

�¬

Z

�

�

�¬ (2.43)

Pour tout 2 1 (0 ;2 ()), où � = � ( ) désigne la solution du problème��00 ¬ �� = dans

� = 0 sur �

� ( ) = �0 ( ) = 0 dans

(2.44)

où h i désigne le produit de dualité entre ¬1 () et 10 ()

Lemme 2.6 [16] Le problème (2.42) admet une seule solution ultra faible vérifie

kk1(0 ;2()) � ��0��+ 1

¬ 1()

+ kk2(�)�

(2.45)

Preuve. voir [19]

Théorème 2.3 [16] Pour tout 0 2 2 () et 1 2 ¬1 () et pour tout 2 2 (�) il existe une

solution unique du problème (2.42) avec

2 ¬0 ;2 ()

�\ 1

¬0 ;¬1 ()

� (2.46)

et

kk1(0 ;2()) + k0k1(0 ;¬ 1()) �

��0��+ 1 ¬ 1()

+ kk2(�)�

(2.47)

Preuve. voir [16]

Maintenant, nous revenons à l’identification des espaces et 0.

Tout d’abord, on remarque qu’avec le choix particulier [ = 0] dans le théorème (2.2) on obtient

le



Corollaire 2.1 (L’inégalité directe) [14]

Soit un domaine borné de R de frontière ¬de classe 2. Alors, il existe une constante 0 telle

que Z

�

��

�

�2

¬ � ( + 1) (0) = ( + 1) ��0�1 2

10 ()�2()

8� solution faible de (2.6).(2.48)

Comme est le complété par rapport à la norme définie par la côté droite de l’inégalité (2.48),

alors on déduit que 10 () � 2 () � . Pour prouver que � 1

0 () � 2 () on a besoin de

prouver qu’il existe une constante 1 tel que

1

��0�1 2

10 ()�2()

�Z

�

��

�

�2

¬ (2.49)

Si nous prouvons (2.49) qui combinée avec "l’inégalité directe" du Corollaire 2.1, nous permettra

d’identifier l’espace par = 10 ()� 2 () et son dual 0 = ¬1 ()� 2 ()

L’inégalité (2.49) est appelée l’inégalité inverse qui nous allons prouver dans le paragraphe sui-

vant :

2.4.3 L’inégalité inverse

L’objet de ce paragraphe est d’établir une deuxième estimation "l’inégalité inverse" qui permettra

en même temps d’aboutir à un résultat d’unicité du type du Théorème 2.1 et a fortiori d’obtenir

des informations supplémentaires sur l’espace des données initiales dans lequel la contrôlabilité

exacte a lieu.

On introduit d’abord quelques notations.

Soit 0 2 R, on définit le vecteur

() = ¬ 0

avec des composants

() = ¬ 0 1 � �

et une partition de la frontière � de la manière suivante :

¬¬0�= f 2 ¬; () � � () 0g

¬�¬0�= ¬n¬

¬0�= f 2 ¬; () � � () � 0g

et

�¬0�= ¬

¬0�� ]0 [

��¬0�= �n�

¬0�= ¬�

¬0�� ]0 [



On introduit en outre

¬0�= sup

2

¬ 0 = k ()k1()

et on considère

¬0�= 2

¬0�

Théorème 2.4 (L’inégalité inverse) [14]

Soit un domaine borné de R de frontière ¬ de classe 2. Alors, pour tout (0) et toute

solution faible � de (2.6) l’inégalité suivante est vérifiée

¬ ¬

¬0��

(0) � (0)

2

Z

�(0)

��

�

�2

¬ (2.50)

Preuve. On écrit l’identité énoncée dans le lemme (2.4), dans le cas des solutions homogènes

( = 0) on obtient

1

2

Z

�

�

��2 � =

��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i +

Z

�

�

(2.51)

avec le choix de multiplicateurs

() = () = ¬ 0 1 � �

alors

= �X

=1

= et

�

�

= jr�j2

On pose

=

��0 ()

� ()

��0

donc, l’identité (2.51) devient

+

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i +

Z

jr�j2 =1

2

Z

�

�

��

�

�2

¬ (2.52)

Sur � (0), grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

0 () � � () =P

=1

� ��

P=1

2

� 12�

P=1

�2

� 12

= k ()k � ¬0�

(2.53)

et d’autre part, comme () � � () � 0 sur �� (0), on peut déduire que

Z

�

�

��

�

�2

¬ �Z

�(0)

�

��

�

�2

¬(253)

� ¬0� Z

�(0)

��

�

�2

¬ (2.54)



On utilise (2.54) dans (2.52), il vient

+

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i +

Z

jr�j2 � (0)

2

Z

�(0)

��

�

�2

¬ (2.55)

En outre

+

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i +

Z

jr�j2 = +

2

Z

j�0j2 ¬

2

Z

jr�j2

+

Z

jr�j2 +1

2

Z

j�0j2 ¬ 1

2

Z

j�0j2

= +¬ 1

2

Z

j�0j2 +2¬

2

Z

jr�j2 +1

2

Z

j�0j2

= +¬ 1

2

Z

j�0j2 ¬ ¬ 2

2

Z

jr�j2 +1

2

Z

j�0j2

= +¬ 1

2

Z

j�0j2 ¬ ¬ 1

2

Z

jr�j2 +1

2

Z

j�0j2 +1

2

Z

jr�j2

= +¬ 1

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i +

1

2

Z

hj�0j2 + jr�j2

i

On pose

=

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i

En plus, la conservation de l’énergie (2.24) nous donne

1

2

Z

hj�0j2 + jr�j2

i =

Z

0

1

2

Z

hj�0j2 + jr�j2

i

=

Z

0

(0)

= (0)

donc l’inégalité (2.55) devient

+¬ 1

2 + (0) � (0)

2

Z

�(0)

��

�

�2

¬ (2.56)

Maintenant, on estime par le

Lemme 2.7 [19] Pour toute solution faible � de l’équation (2.6) on a

= (�0 () � ())j0



Preuve. On multiplie l’équation (2.6) par � et intégrant sur , on obtientZ

�00�¬Z

�� = 0 (2.57)

On a

(�0 () � ())j0 =

Z

0

(�0 () � ()) =

Z

�00�d +

Z

j�0j2

donc Z

�00� = (�0 () � ())j0 ¬Z

j�0j2 (2.58)

d’autre part, d’après l’identité de Green (1.3) et du fait que (� = 0 sur �) on aZ

��d =

Z

�

��

�¬¬

Z

jr�j2 = ¬Z

jr�j2 (2.59)

De (2.57), (2.58) et (2.59) on déduit

(�0 () � ())j0 ¬Z

�j�0j2 ¬ jr�j2

� = 0

et par conséquent

= (�0 () � ())j0

Revenons à la preuve du théorème (2.4)

d’après le lemme (2.7), on obtient

+¬ 1

2 =

��0 ()

� ()

��0

+¬ 1

2(�0 () � ())j0

=

��0 ()

� ()

+

¬ 1

2� ()

��0

alors

+¬ 1

2 =

Z

�0 ()

�

� ()

+

¬ 1

2� ()

�

��0

(2.60)

Grâce à l’inégalité de Cauchy avec on a pour tout 0

Z

�0 ()

�

� ()

+

¬ 1

2� ()

� �

2

Z

j�0 ()j2 +1

2

Z

�

� ()

+

¬ 1

2� ()

�2

(2.61)

d’autre partZ

�

�

+

¬ 1

2�

�2

=

Z

�

�

�2

+(¬ 1)2

4

Z

�2 + (¬ 1)

Z

�

�

��d

| {z }(�)

(2.62)



et

(�),Z

X

=1

�

�d =

1

2

Z

X

=1

�2

En outre, d’après la formule de divergence de Gauss (1.1) et comme (� = 0 sur �) on aZ

¬�

2� =

Z

¬

��2¬= 0

1

2

Z

X

=1

�2 = ¬1

2

Z

X

=1

�2 = ¬

2

Z

�2 (2.63)

En utilisant (2.63) dans (2.62), on obtient

Z

�

�

+

¬ 1

2�

�2

=

Z

�

�

�2

+(¬ 1)2

4

Z

�2¬ (¬ 1)

2

Z

�2

=

Z

�

�

�2

+

"(¬ 1)2

4¬ (¬ 1)

2

# Z

�2

On remarque que�

�

�2

=

X

=1

�

!2

�

X

=1

2

! X

=1

��

�2!

cela implique que �

�

�2

� k ()k2 jr�j2

donc Z

�

�

�2

�Z

k ()k2 jr�j2 � 2¬0� Z

jr�j2

D’autre part, on a "(¬ 1)2

4¬ (¬ 1)

2

#= ¬ (

2 ¬ 1)

4� 0

avec tout cela, on déduit que

Z

�

�

+

¬ 1

2�

�2

�Z

�

�

�2

� 2¬0� Z

jr�j2 (2.64)

On substitue (2.64) dans (2.61) avec le choix de = (0), on obtientZ

�0 ()

�

� ()

+

¬ 1

2� ()

� � (0)

2

Z

j�0 ()j2 + (0)

2

Z

jr� ()j2

� (0)

2

Z

hj�0 ()j2 + jr� ()j2

i



donc Z

�0 ()

�

� ()

+

¬ 1

2� ()

� �

¬0� (0) (2.65)

De (2.60) et (2.65), on déduit�� +¬ 1

2

�� =

��0 ()

� ()

+

¬ 1

2� ()

��0

�� 2 sup

0��

��0 () � ()

+

¬ 1

2� ()

�� 2

��0 ()

� ()

+

¬ 1

2� ()

� 1(0 )

� 2¬0� (0)

On prend (0) = 2 (0), on obtient�� +¬ 1

2

�� ¬0� (0)

donc

(0)¬¬0� (0) � (0)¬

�� +¬ 1

2

�� +¬ 1

2 + (0)

(256)

� (0)

2

Z

�(0)

��

�

�2

¬

d’où¬ ¬

¬0��

(0) � (0)

2

Z

�(0)

��

�

�2

¬

et par conséquent

Z

�j�0j2 + jr�j2

� � (0)

( ¬ (0))

Z

�(0)

��

�

�2

¬


Chapitre 3

Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte

de l’équation des ondes avec un contrôle

interne

Ce chapitre est consacré à l’étude du problème de la contrôlabilité exacte avec un contrôle interne,

la méthode qu’on utilise est HUM qui a été déjà présentée dans le chapitre 2 dans le cas du

contrôle frontière.

3.1 Formulation du problème. Description de HUM

Soit un domaine borné de R � 1 de frontière ¬ suffisamment régulière et un ouvert non

vide de .

On considère le problème de contrôle suivant :��00 ¬ � = h� dans

= 0 sur �

(0) = 0 0 (0) = 1 dans

(3.1)

Où � désigne la fonction caractéristique de l’ensemble et la fonction de l’équation (3.1) est

le contrôle du système.

Le problème de la contrôlabilité exacte du système (3.1) se formule d’une manière analogue au

cas du contrôle frontière.

Etant donné un temps 0, pour des données initiales f0 1g dans un espace de Hilbert

convenable ; trouver un contrôle 2 2 ( � ]0 [) tel que la solution = ( ) du système

40

Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne

(3.1) vérifie

( ) = 0 ( ) = 0 dans . (3.2)

Ce type du problème est appelé problème de contrôlabilité exacte interne puisque l’action du

contrôle est exercée dans une partie � ]0 [ de cylindre = � ]0 [, (cf. Fig 3).

Figure 3 : Le sous cylindre

� ]0 [

Il est bien connu que l’équation des ondes modélise de nombreux phénomènes physiques comme

les petites vibrations des corps élastiques et la propagation du son. Par exemple (3.1) fournit une

bonne approximation pour les petites vibrations d’une corde élastique ou une membrane occupe

la région au repos. Le contrôle représente alors une force localisée agissant sur la structure

vibrante. (voir [26])

Dans ce qui suit, on va prouver que la méthode HUM est bien appliquée pour résoudre le problème

de la contrôlabilité exacte interne.

Maintenant, nous allons décrire HUM par des étapes comme nous avons fait dans le deuxième

chapitre.

Etape 1 :

Soit��0�1

2 D ()�D (), on considère le système homogène��

�00 ¬ �� = 0 dans

� = 0 sur �

� (0) = �0 �0 (0) = �1 dans

(3.3)

Ce problème admet une solution unique � = � ( ).

3.1. Formulation du problème. Description de HUM 41


Etape 2 :

Ensuite, par la solution � = � ( ) de (3.3) on résout le problème rétrograde suivant :�� 00 ¬ � = ¬�� dans

= 0 sur �

( ) = 0 0 ( ) = 0 dans

(3.4)

L’opérateur �

avec la solution = ( ) de (3.4) on définit l’opérateur � par

��0�1

= f 0 (0) ¬ (0)g (3.5)

Etape 3 : On multiplie l’équation (3.3)1 par = ( ) et l’on intègre sur . On obtient

Z

0

Z

�00 ¬Z

0

Z

��d = 0 (3.6)

On a

(�0 )0= (�00 ) + (�0 0)

Par suite, l’intégration sur ]0 [ nous donne

h�0 ( ) ( )i ¬ h�0 (0) (0)i =Z

�00 +

Z

�0 0

Comme ( ) = 0, il résulte queZ

�00 = ¬ �1 (0)

�¬

Z

�0 0

d’autre part, on a

(� 0)0= (�0 0) + (� 00)

Par un argument similaire, on trouveZ

�0 0 = ¬¬�0 0 (0)

�¬

Z

� 00

Par conséquent

Z

0

Z

�00 = ¬ �1 (0)

�+

¬�0 0 (0)

�+

Z

0

Z

� 00 (3.7)

A partir de (3.3)2, (3.4)2 et l’identité de Green (1.5), on obtient

Z

0

Z

��d =

Z

0

Z

�� (3.8)



De (3.6), (3.7) et (3.8), on aZ

0

Z

�2 =¬ 0 (0) �0

�¬

(0) �1

� (3.9)

D’après la définition (3.5) de �, on trouve

��0�1

��0�1

�=

¬f 0 (0) ¬ (0)g

��0�1

�=

¬ 0 (0) �0

�¬

(0) �1

�et par (3.9), on a

��0�1

��0�1

�=

Z

0

Z

�2 (3.10)

On définit dans D ()�D () la semi-norme

��0�1 2

=

Z

0

Z

�2 (3.11)

Pour prouver que (3.11) est une norme, supposons que l’on ait le résultat d’unicité suivant :

si � = � ( ) est une solution de (3.3) telle que

� = 0 dans � ]0 [

alors � = 0 dans

Cela est vrai par le théorème de Holmgren suivant :

Théorème 3.1 [14] Soit un domaine borné de R, � 1, de frontière ¬ lipchitzienne.

Il existe un temps 0 = 0() 0 tel que si 0 est un sous ensemble ouvert non vide de et

� = � ( ) est une solution de (3.3) vérifiant

� = 0 dans � ]0 [

alors � = 0.

Dans ce cas, pour 0 la semi-norme (3.11) définit une norme sur l’espace des données

initiales��0�1

2 D ()�D (). Soit le complété de D ()�D () par rapport à cette norme.

Notons que si � = �( ) est la solution de (3.3) correspondant aux données initiales f�0 �1g2 D () � D (), la norme (3.11) est obtenu à partir d’un produit scalaire dans D () � D ()défini par ��

�0�1

f�0 �1g�=

Z

0

Z

��

On considère la forme bilinéaire

��0�1

��0 �1

�=

Z

0

Z

��



définie par � dans D () � D (), qui est continue et coercive dans D () � D (). Puis son

prolongement par continuité à le complété est aussi continue et coercive sur l’espace de Hilbert

. Alors d’après le lemme de Lax-Milgram, pour tout f1¬0g 2 0(dual de ), il existe un

unique��0�1

2 tel que

��0�1

��0 �1

�=�

1¬0

��0 �1

� 0�

pour tout��0 �1

2 , donc pour chaque couple de données initiales f0 1g tel que f1¬0g 2

0, il existe une solution unique��0�1

2 de l’équation

��0�1

= f1¬0g dans 0 (3.12)

De (3.12) et (3.5), on déduit que

(0) = 0 et 0 (0) = 1

où désigne la solution du problème (3.4).

Dans (3.1), nous considérons égale à la restriction de (¬�) (� est la solution du problème (3.3))

à �]0 [, c’est-à-dire

= ¬� dans �]0 [

D’après l’unicité de la solution de l’équation des ondes, on a

( ) = ( ) dans

D’où ( ) = 0 et 0 ( ) = 0 dans , ce qui est la condition (3.2).

Le résultat que l’on vient de démontrer est la contrôlabilité exacte des données f1¬0g 2 0

avec un contrôle donné par

= ¬��]0 [

où � désigne la solution de (3.3) associée aux données��0�1

2 vérifiant (3.12).

Maintenant, on va caractériser les espaces et 0.

Notons que, si on considère �0 2 2 () et �1 2 ¬1 () et on applique l’inégalité (2.45) (cf.

Lemme 2.6, chapitre 2) à (3.3), on obtientZ

0

Z

j�j2 � 1

��0��2 + �1 2

¬ 1()

�= 1

��0�1 2

2()�¬ 1() (3.13)

cela implique que

2 ()�¬1 () �



Pour prouver que � 2 ()�¬1 (), on a besoin de prouver l’inégalité inverse suivante :

2

��0�1 2

2()�¬ 1() �Z

0

Z

j�j2 (3.14)

Supposons que nous avons prouvé (3.14). Puis, avec (3.13) on obtient que

91 2 0 : 1

��0�1 2

2()�¬ 1() � ��0�1 2

� 2

��0�1 2

2()�¬ 1()

On a donc

= 2 ()�¬1 ()

et par conséquent

0 = 2 ()�10 ()

alors, pour tout couple de données initiales f1¬0g 2 2 () � 10 () il existe un unique�

�0�12 2 ()�¬1 () et par suite, on résoudre le problème (3.3), ce qui donne � = � ( )

avec un contrôle = ( ) donné par = ¬��]0 [. D’après la régularité de la solution ultra

faible (cf. Le théorème 2.3, chapitre 2), on déduit que 2 2 ( � ]0 [).

L’inégalité inverse (3.14) n’est pas en général vraie pour un ouvert quelconque, à cause du

caractère hyperbolique de l’équation des ondes, il faudra d’une part un temps suffisamment

grand pour atteindre et d’autre part, des conditions géométriques sur .

3.2 L’inégalité inverse

On reprend les notations du chapitre 2 et pour 0 2 R quelconque on définit

() = ¬ 0 ¬(0) = f 2 ¬; () � � () 0g

¬� (0) = ¬n¬(0) ; � (0) = ¬(0)� ]0 [

�� (0) = ¬� (

0)� ]0 [ (0) = sup2k¬ 0k = k ()k1()

On prend comme un voisinage de ¬(0) (la fermeture de ¬(0)) dans , s’il existe des voisinages

O � R de ¬(0) tel que

= \ O (3.15)

3.2. L�inégalité inverse 45


Figure 4 : Figure présente le domaine

et l’ensemble ¬(0)

Le résultat qui sera démontré dans ce paragraphe est le suivant :

Théorème 3.2 [19] Si 2 (0), alors il existe une constante 0 tel que��0��22()

+ �1

2

¬ 1()�

Z

0

Z

�2 (3.16)

Pour toute solution ultra faible � de (3.3) correspondant à des données initiales �0 2 2 () et

�1 2 ¬1 ().

Preuve. On commence à prouver (3.16) par une autre inégalité équivalente.

Etape 1 : S’il existe une constante 0 tel que

�0 2

10 ()

+��1��2

2()�

Z

0

Z

�02 (3.17)

pour toute solution faible � = � ( ) de (3.3) avec �0 2 10 () et �1 2 2 (), alors on a

l’inégalité (3.16), pour toute solution ultra faible � = � ( ) lorsque on prend �0 2 10 () �

2 () et �1 2 2 () � ¬1 ().

En effet, soient��0�1

2 2 ()�¬1 (). On définit � 2 1

0 () l’unique solution de

¬�� = �1 dans

On considère la fonction

( ) = ¬� () +Z

0

� ( )

où � = �( ) est la solution ultra faible de (3.3) qui correspond aux données��0�1

.

L’intégration de l’équation (3.3)1 sur ]0 [ nous donne

�0 ()¬ �0 (0)¬ �Z

0

� ( ) = 0



Mais 0( ) = �( ) et 00( ) = �0( ). Alors

00( )¬ �1 ¬ � ( ( ) + � ()) = 0

D’après la définition de �, l’égalité ci-dessus implique�� 00 ¬ � = 0 dans

= 0 sur �

(0) = ¬�; 0 (0) = �0 dans

(3.18)

Notons que � 2 10 () et �0 2 2 () ce qui implique l’existence d’une solution faible du système

(3.18).

Si (3.17) est vrai, alors d’après (3.18) on a

k�k210 ()

+��0��2

2()�

Z

0

Z

�2 (3.19)

à partir de 0( ) = �( ).

Remarque 3.1 On va définir un produit scalaire dans ¬1 (). On sait que � est un isomorphisme

de 10 () sur ¬1 (). Soit = �¬1. Alors, pour tout couple 2 ¬1 () on définit

( )¬ 1() = h i¬ 1()�10 ()

= (())10 ()�1

0 ()

qui est un produit scalaire dans ¬1 (). La norme induite est

kk2¬ 1() = (())

Donc �1

2

¬ 1()=

¬¬G�1G�1

��= ((�; �)) = k�k21

0 ()

D’après la remarque 3.1, l’inégalité (3.19) devient

�1 2

¬ 1()+��0��2

2()�

Z

0

Z

�2

Alors, pour démontrer le théorème 3.1, il suffit de prouver l’inégalité (3.17) pour toute solution

faible � = � ( ) de (3.3) comme nous allons faire dans les étapes suivants :

Etape 2 : Pour 2 (0), On sait par l’inégalité (2.50) du chapitre 2, que pour toute solution

faible � = � ( ) de (3.3) on a l’inégalité suivante

Z

��r�0 ()��2 + ��1 ()��2� � (0)

¬ 2 (0)

Z

�(0)

��

�

�2

¬



Maintenant, pour tout 0 ¬ 2 2 (0) on a

(0) =1

2

Z

��r�0 ()��2 + ��1 ()��2� �

Z ¬

Z

¬(0)

��

�

�2

¬ (3.20)

après le changement de variable � = ( ¬ 2) + 0 � � qui implique � � � ¬

Soit 2�1

¬��

tel que � � � 0 pour toute 2 ¬, = � sur ¬(0) et = 0 sur n. Soit

� 2 1 ([0 ]) tel que � (0) = � ( ) = 0 � () = 1 dans ] ¬ [. On définit ( ) = � () () qui

appartient à 11 () et satisfait��() ( ) = � () 8 ( ) 2 ¬(0)� ] ¬ [ ;

() ( ) � � () � 0 8 ( ) 2 ¬� ]0 [ ;

() ( 0) = ( ) = 0 8 2 ;(i�) ( ) = 0 8 ( ) 2 (n)� ]0 [

(3.21)

On a besoin de quelques résultats intermédiaires

Lemme 3.1 [14] Soit 2�1

¬� [0 ]

��. Pour toute solution faible � de (3.3) on a l’identité

1

2

Z

�

�

��

�

�2

¬ =

��0 ()

� ()

��0

+1

2

Z

�j�0j2 ¬ jr�j2

�

+

Z

�

�

¬

Z

�00�

(3.22)

Preuve. C’est l’analogue exact de la démonstration du lemme 2.4. Il suffit de tenir compte de

l’apparition d’un terme supplémentaireZ

�00�

=

��0 ()

� ()

��0

¬Z

�0�

�

�0

=

��0 ()

� ()

��0

¬Z

�0�

�0

+ 0

�

�

=

��0 ()

� ()

��0

¬Z

0

��0 0

�

�¬ 1

2

Z

0

Z

j�0j2

Mais, d’après la formule d’intégration par partie (1.2), on a

¬12

Z

j�0j2

=

1

2

Z

j�0j2 ¬ 1

2

Z

�

j�0j2�¬ =

1

2

Z

j�0j2

puisque �0 = 0 sur �.

DoncZ

�00�

=

��0 ()

� ()

��0

¬Z

0

��0 0

�

� +

1

2

Z

j�0j2



Lemme 3.2 Soit 0, pour tout 0 et toute solution faible de (3.3), on aZ ¬

Z

¬(0)

��

�

�2

¬ �

Z

0

Z

�j�0j2 + jr�j2

� (3.23)

Preuve. On applique le lemme 3.1, avec le choix de ( ) = � () () qui satisfait (3.21), on

obtient ��0 ()

� ()

��0

= 0

puisque ( 0) = ( ) = 0.

Nous avons aussi

1

2

Z

0

Z

¬

�

��

�

�2

¬ =1

2

Z

0

Z

¬(0)

�

��

�

�2

¬ +1

2

Z

0

Z

¬�(0)

�

��

�

�2

¬

grâce à la condition () de (3.21), on a

1

2

Z

0

Z

¬

�

��

�

�2

¬ � 1

2

Z

0

Z

¬(0)

�

��

�

�2

¬

et comme ( ) = � () sur ¬(0)� ] ¬ [, donc on obtient

1

2

Z

0

Z

¬

�

��

�

�2

¬ � 1

2

Z ¬

Z

¬(0)

��

�

�2

¬

d’autre part, on a

��Z

�

�

�� l’inégalité de Cauchy�

2

4Z

�]0 [

X

=1

�

!2

3

5

122

4Z

�]0 [

X

=1

�

!2

3

5

12

�

Z

�]0 [jr�j2 �

Z

�]0 [

hj�0j2 + jr�j2

i

et

1

2

Z

hj�0j2 ¬ jr�j2

i �

Z

�]0 [

hj�0j2 ¬ jr�j2

i

�

Z

�]0 [

hj�0j2 + jr�j2

i

Il reste de majorer le terme

¬Z

�00 �r�d �

Z

�]0 [�0r�

�

2

Z

�]0 [j�0j2 +

2

Z

�]0 [jr�j2

�

Z

�]0 [

hj�0j2 + jr�j2

i



et on obtient Z ¬

Z

¬(0)

��

�

�2

¬ �

Z

0

Z

�j�0j2 + jr�j2

�

avec 0 est une constante dépendant de kk 11().

De (3.20) et (3.23), on obtient

(0) �

Z ¬

Z

�j�0j2 + jr�j2

� (3.24)

On voudrait à présent se débarrasser du termeZ ¬

Z

jr�j2 qui figure dans le membre de

droite de l’inégalité précédente, pour cela nous introduisons l’étape suivant :

Etape 3 : On va prouver que

�0 2

10 ()

+��1��2

2()�

Z

0

Z

j�0j2 +

Z

0

Z

j�j2 (3.25)

En effet, soit 0 � un voisinage de ¬(0) tel que

\ 0 �

On note que (3.24) est vraie pour chaque voisinage de ¬(0), alors il est correct pour 0.

Donc, on a

(0) �

Z ¬

Z

0

�j�0j2 + jr�j2

� (3.26)

On considère � 2 11 () � � 0 tel que

� () = 1 dans 0 et � () = 0 dans n

On définit ( ) dans par

( ) = � () �2 ()

Où � () est la fonction définie ci-dessus.

On a ��

() ( ) = 1 dans 0 � ] ¬ [ ;

() ( ) = 0 dans (n)� ]0 [ ;

() ( 0) = ( ) = 0 dans ;

(i�)jrj2

2 1 ()

(3.27)

On multiplie l’équation (3.3)1 par p� et par intégration par partie sur , on obtientZ

p��00¬Z

p�� = 0 (3.28)



D’après la formule d’intégration par parties on aZ

0

Z

�00p�dxdt = (�0 p�)j0 ¬Z

0

Z

�0p�0¬Z

0

Z

0��0

et comme ( 0) = ( ) = 0, alors on a

Z

0

Z

�00p�dxdt = ¬Z

0

Z

�0p�0¬Z

0

Z

0��0 (3.29)

D’autre part, on remarque que

¬Z

p�� =

Z

r (p�) �r�d

comme conséquence de la formule de Green (1.3) et du fait que � = 0 sur �.

Donc

¬Z

0

Z

p�� =

Z

0

Z

r� �r�d +

Z

0

Z

�r �r�d (3.30)

De (3.28), (3.29) et (3.30), on obtientZ

0

Z

jr�j2 =

Z

0

Z

j�0j2 +

Z

0

Z

0��0¬Z

0

Z

�r �r� (3.31)

puisque ( ) = 0 dans (n)� ]0 [.

On a Z

0

Z

j�0j2 �

Z

0

Z

j�0j2 �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� (3.32)

car 2 11 ().

Par ailleursZ

0

Z

0��0 � 1

2

Z

0

Z

(0�0)2 +

1

2

Z

0

Z

j�j2

�

2

Z

0

Z

j�0j2 + 1

2

Z

0

Z

j�j2

cela implique que Z

0

Z

0��0 �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� (3.33)

de (3.31), (3.32) et (3.33), on obtientZ

0

Z

jr�j2 �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� +

��Z

0

Z

�r �r�d

�� (3.34)



D’autre part, grâce à l’inégalité jj � 2

2+

2

2, on a

��Z

0

Z

r �r��

�� =

��Z

0

Z

rp

pr��dxdt

�� 1

2

Z

0

Z

jrj2

j�j2 +

1

2

Z

0

Z

jr�j2

alors ��Z

0

Z

�r �r�d

��

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� +

1

2

Z

0

Z

jr�j2 (3.35)

donc, d’après (3.34) et (3.35), on aZ

0

Z

jr�j2 �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

�

et par la propriété () de (3.27), on obtient

Z ¬

Z

0

jr�j2 �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� (3.36)

De (3.36) et (3.26), on déduit que

�0 2

10 ()

+��1��2

2()�

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

�

d’où l’inégalité (3.25).

De (3.25) et l’inégalité directe (2.48), chapitre 2, on obtient

Z

�(0)

��

�

�2

¬ �

Z

0

Z

�j�0j2 + j�j2

� (3.37)

Etape 4 : Supposons que (3.17) est fausse. Donc, pour tout 2 N il existe des données initialese�0 e�1 telle que la solution e� de (3.3) correspondant à ces conditions initiales satisfait

e�0 2

10 ()

+��e�1��2

2()�

e�0

2

2(0 ;2())

On définit

=

� e�0 2

10 ()

+��e�1��2

2()

� 12

et

�0 =e�0

; �1 =e�1

; � =e�



On obtient �� k�0k

22(0 ;2()) �

1

�0 2

10 ()

+��1��22() = 1

(3.38)

de (3.38), on obtient

lim!1

Z

0

Z

��0��2 = 0 (3.39)

De (3.38), on a aussi des sous suites telles que

�0 �0 dans 10 () et �1 �1 dans 2 ()

La solution � de (3.3) correspondant aux données initiales �0 et �1 a les estimations suivants :�� est borné dans 1 (0 ;10 ())

�0 est borné dans 1 (0 ;2 ()) (3.40)

L’estimation (3,40) est vrai dans au lieu de . Puis, il existe une sous suite � telle que�� dans 1 (0 ;1

0 ())

�0� �0 dans 1 (0 ;2 ())

(3.41)

Depuis que 10 () � 2 () est compact, les estimations (3,40) et le théorème de compacité

d’Aubin-Lions, on obtient une sous suite � telle que

� ¬! � fortement dans 2¬0 ;2 ()

� (3.42)

D’après (3.39), (3.41)2 et le théorème de Banach-Steinhaus, il en résulte que �0 ( ) = 0 sur

� ]0 [, alors, � ( ) est constant par rapport à dans � ]0 [. Mais, � = 0 sur �0 puisque

� est un solution de (3.3). Donc � ( ) = 0 sur � ]0 [ et par le théorème de Holmgren � = 0

dans . Puis, par (3.42), on obtient

� ¬! 0 fortement dans 2¬0 ;2 ()

�

Ensuite, par (3.37) pour � on trouve

��¬! 0 dans 2 (�0)

Par l’inégalité (2.41), il en résulte que �0 ! 0 dans 10 () et �1 ! 0 dans 2 () ce qui est une

contradiction avec (3.38)2.


Jacques-Louis LionsJacques-Louis Lions, né le 3 mai 1928 à Grasse et décédé le 17 mai 2001 à Paris.

Il était un très grand mathématicien qui a eu, en France et dans le monde,

un impact profond sur le développement des mathématiques appliquées :

« Ce que j’aime dans les mathématiques appliquées, c’est qu’elles ont pour ambition de donner du

monde des systèmes une représentation qui permette de comprendre et d’agir. Et, de toutes les

représentations, la représentation mathématique, lorsqu’elle est possible, est celle qui est la plus

souple et la meilleure. Du coup, ce qui m’intéresse, c’est de savoir jusqu’où on peut aller dans ce

domaine de la modélisation des systèmes, c’est d’atteindre les limites. »

Jacques-Louis Lions.

Il était un membre de l’Académie des sciences. Il fut maître de conférences puis professeur à la

Faculté des sciences de Nancy (1954-1963), professeur à la Faculté des sciences de Paris

(1963-1972), professeur d’analyse numérique à l’École polytechnique (1966-1986) et enfin

professeur au collège de France (1973-1998). Ses travaux portèrent essentiellement sur la

théorie des équations aux dérivées partielles et leurs applications, et notamment sur des

problèmes variationnels, la théorie du contrôle et des systèmes d’inéquations aux dérivées

partielles.

Jacques-Louis Lions a laissé un grand nombre de travaux mathématiques comme

� J. L. LIONS, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilité. Tome 1 : contrôlabilité exacte,

Masson, 1988.

� J. L. LIONS, Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles,

Dunod et Gauthier-Villars, Paris, 1968.

� J. L. LIONS, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod

et Gauthier-Villars, Paris, 1969.

54

Bibliographie

[1] A. ABABSA, Contrôlabilité à zéro des systèmes à deux équations paraboliques avec un seul

contrôle, mémoire de Magister, 2012.

[2] C. BARDOS, G. LEBEAU, J. RAUCH, Sharp sufficient conditions for the observation, control,

and stabilization of waves from the boundary, SIAM J. Control optim, 1992.

[3] K. BELKACEM, Contrôlabilité des systèmes linéaires de dimension infinie, mémoire de Ma-

gister.

[4] T. BENHAMOUD, Observation d’un système bidimensionnel gouverné par des équations

aux dérivées partielles, mémoire de Magister, 2010.

[5] H. BREZIS, Functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations, Springer,

2011.

[6] G. CHRISTOL, A. Cot, C. M. MARLE, Topologie, ellipses, Paris, 1997.

[7] A. EL JAI, Eléments de contrôlabilité, Presses universitaires de perpignan, 2006.

[8] E. FERNÁNDEZ-CARA, E. ZUAZUA, Control Theory : History, Mathematical achievements

and perspectives, Matapli, 2004.

[9] A. HAFDALLAH, L’étude des problèmes inverses en utilisant le concept de la sentinelle,

mémoire de Magister, 2012.

[10] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer Verlag, 1976.

[11] F. A. KHODJA, A. BENABDALLAH, Introduction à la théorie du contrôle, 2005.

[12] N. LAANAIA, Etude de quelques problèmes de contrôlabilité exacte de contrôle optimal et

de stabilisation pour des domaines minces à frontières ondulées, Thèse de Doctorat.

[13] L. D. LEMIE, La formule de Lie-Trotter pour les semi-groupes fortement continus, mémoire

de recherche, 2001.

55

Bibliographie

[14] J. L. LIONS, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués,

Tome 1 : Contrôlabilité exacte, Masson, Paris, 1988.

[15] J. L. LIONS, Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems,

SIAM Review, 1988.

[16] J. L. LIONS, Exact controllability for temporally wave equation, Ricardo Fuentes Apolaya.

[17] J. L. LIONS, Quelque méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires,

Dunod-Gauth, Paris, 1969.

[18] J. L. LIONS & E. MAGENES, Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol, 1

et 2, Dunod, Paris, 1968.

[19] L. A. MEDEIROS, M. M. MIRANDA, A. T. LOUREDO, Introduction to exact control theory

method Hum, eduepb, 2013.

[20] A. MENGUELTI, Analyse asymptotique de quelques problèmes de couches minces : condi-

tions aux limites approchées, mémoire de Magister.

[21] A. MUNNIER, Espaces de sobolev et introduction aux équations aux dérivées partielles,

Nancy Université, France, 2007-2008. http ://www.iecn.u-nancy.fr/ munnier/

[22] G. RAHEM, Problème aux limites pour une équation d’ordre quatre avec le Bilaplacien,

Mémoire de Master, 2015.

[23] J. ROCHAT, Les espaces de Sobolev, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, 2009.

[24] D. L. Russell, Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equa-

tions. Recent progress and open questions, SIAM Review, 1978.

[25] S. SALSA, Partial differential equations in action, From modelling to theory, Springer, 2008.

[26] E. ZUAZUA, Controllability of partial differential equations, Universidad Autónoma, Canto-

blanco, Madrid, Spain.

Bibliographie 56

MEMOIRE DE MASTER - univ-TebessaDavid Russell [24]et de Jacques-Louis Lions à la ﬁn des années...

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