République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de Larbi Tébessi -Tébessa-
Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie
Département des mathématiques et informatique
MEMOIRE DE MASTER
Domaine : Mathématique et Informatique Filière : Mathématiques
Option : Mathématiques Appliquées
Thème :
Présenté par :
Achouak BEKKAI et Linda MENASRIA
Devant le jury :
Fayçel MERGHADI M.C.A Université de Tébessa Président
Abdelhak HAFDALLAH M.A.A Université de Tébessa Rapporteur
Amel BERHAIL M.C.B Université de Guelma Examinateur
Khaled BERRAH M.A.A Université de Tébessa Examinateur
Date de soutenance : 29/05/2016
Note :………… Mention :....................
Méthode HUM pour la
contrôlabilité exacte des EDP
hyperboliques de type ondes
i
ملخص
حيث ألمواج، لمعادلة الدقيق التحكم مسألة بدراسة نقوم المذكرة، هذه في
االت نوعين نقدم على مطبقة التحكم دالة تكون عندما األول النوع: التحكم ل
. التعريف نطاق داخل مطبقة التحكم دالة تكون عندما الثاني والنوع الحافة
مة الطريقة أها التيHUM الهيلبيرتية الوحدانية طريقة هي المستخد . ج أنش
وعلى الوحدانية نظرية على ترتكز الطريقة هذه [.15 ]في ليونس. ل
.البتدائية المعطيات فضاء تشخص التي الطاقة متراجحات
ألمواج، ،HUMطريقة الدقيق، التحكم :المفتاحية الكلمات المتراجحة معادلة
.العكسية
ii
Abstract
Résumé
In this memory, we will study the problem of exact
controllability for the wave equation; we will present two
cases; the first case when the control is applied on the
boundary and the second case when the control is applied
in the interior. The used method is the Hilbert Uniqueness
Method «the method HUM» introduced by J.L. Lions [15].
This method is based on uniqueness criteria and energy
inequalities in the space of initial data.
Keywords: Exact controllability, HUM method, wave
equation, inverse inequality.
iii
Résumé
Résumé
Dans ce mémoire, nous allons étudier le problème de
contrôlabilité exacte pour l’équation des ondes, on va
présenter deux cas; le premier cas lorsque le contrôle est
appliqué à l’intérieur. La méthode utilisée est la méthode
d’unicité hilbertienne «la méthode HUM» introduite par
J.L. Lions [15] . Cette méthode se base sur un critère
d’unicité et des inégalités d’énergie qui caractérisent
l’espace des donnés initiales.
Mots clés : Contrôlabilité exacte, méthode HUM, équation
des ondes, inégalité inverse.
iv
Remerciements
Nous remercions Dieu tout puissant qui nous a donné la patience, la
puissance et la force pour finir ce travail.
Notre vif remerciement à Mr. Abdelhak HAFDALLAH pour nous
avoir encadré, encouragé et c’est grâce à sa grande disponibilité, ses
conseils et ses orientations que nous avons pu mener à bien ce travail.
Pour cela, nous lui adressons un grand merci.
Nous remercions chaleureusement Mr. Fayçel MERGHADI pour
avoir accepté de présider le jury.
De même nous exprimons notre reconnaissance au Dr. Amel
BERHAIL et Mr.Khaled BERRAH pour l’honneur qu’ils nous
ont fait de bien vouloir accepter de faire partie du jury et d’examiner
ce travail.
Enfin, nous n’oublions pas de remercier toutes les personnes du qui
ont facilité notre tâche et tous ceux que nous avons connus à l’institut
de mathématiques qui ont rendu notre séjours au département
agréables.
v
Liste des figures
Figure N° Titre Page
1 Différents concepts de contrôlabilité 18
2 Le cylindre espace-temps 21
3 Le sous cylindre ω×]0,T[ 41
4 Figure présente le domaine ω et l’ensemble Γ(x⁰)
46
Table des matières
1 Rappels et notions de base 6
1.1 Rappels d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Espaces normés et espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Les espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 L’espace (0 ; ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Espace réflexif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Le théorème de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.8 Quelques formules d’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.9 Quelques inégalités à utiliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Les semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Semi-groupe uniformément continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Semi-groupes de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Problèmes d’évolution non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Quelques notions de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes avec un contrôle
au bord 20
2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Description de la méthode HUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Quelques rappels sur l’existence et l’unicité des solutions de l’équation des ondes . 27
2.4 Régularité des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Le problème homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Le problème non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
2.4.3 L’inégalité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes avec un contrôle
interne 40
3.1 Formulation du problème. Description de HUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 L’inégalité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
Notations
jj : une norme dans 2 () ou valeur absolue.
kk : une norme.
( ) : produit scalaire dans 2 ().
h i : crochet de dualité.
! : injection continue.
: flèche de convergence faible.� : flèche de convergence faible *.
: espaces de Hilbert.
0 : le dual topologique d’un espace .
L () : l’espace vectoriel des applications linéaires continues de dans .
() : l’espace vectoriel des applications linéaires continues sur .
() : le domaine de définition de l’opérateur .
� : le laplacien.
r : le gradient de la fonction : R ! R est r =
�
1
�
.
�ou � : la dérivée normale extérieure.
¬ou : frontière de .
: un sous-domaine non vide de .
� : la fonction indicatrice d’un ensemble ; � () = 1 si 2 0 si 2 .
inf : borne inférieure.
sup : borne supérieure.
max : le maximum.
lim : la limite.
lim : la limite inférieure.
div : la divergence.
3
Introduction
L’évolution au cours du temps de nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou
mécaniques est modélisé par des équations aux dérivées partielles, l’intérêt de la modélisation
d’un phénomène d’objets mathématiques est la possibilité à la compréhension du phénomène et
de l’influence des différents paramètres, aussi à la prévision grâce à la simulation. Souvent, on
cherche à étudier la possibilité d’agir sur un système afin qu’il fonctionne dans un but désiré, ou
« au mieux », « au moindre coût » etc. C’est l’objet de la théorie du contrôle qui est une théorie
mathématique permettant de déterminer des lois de guidage, d’action, sur un système donné.
La contrôlabilité des équations aux dérivées partielles est un sujet en plein développement. Son
histoire a commencé avec le cas de la dimension finie, son extension à la dimension infinie a
connu plusieurs temps. Ce sujet a connu un développement très important depuis les travaux de
David Russell [24] et de Jacques-Louis Lions à la fin des années 70’. Plus précisément, J.L. Lions
a introduit que l’on appelle Hilbert Uniqueness Method (la méthode HUM [15]) et ce fut le point
de départ d’une période fructueuse sur le sujet. Les années 90’ sont marquées par des points forts
parmi eux, C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [2] donnent une condition (quasiment) nécessaire et
suffisante d’exacte contrôlabilité de l’équation des ondes contrôlée sur une partie du bord ou du
domaine en utilisant des résultats d’analyse microlocale.
En mathématiques, le contrôle désigne la théorie qui vise à comprendre la façon dont une com-
mande permet aux humains d’agir sur un système qu’ils souhaitent maîtriser. Cette définition
recouvre naturellement de très nombreux champs d’applications dans toutes les disciplines : par
exemple guider une voiture, piloter un avion ou un satellite vers une orbite géostationnaire, opti-
miser les flux d’information dans un réseau, coder et décoder une image numérique ou un SMS,
réguler un thermostat, raffiner un pétrole, contrôler du pH dans des réactions chimiques ou en-
core optimiser des gains sur des flux boursiers... La contrôlabilité peut aussi réduire la douleur et
de prolonger la vie. Par exemple, on étudie un régulateur de pression sanguine destiné à mainte-
nir cette pression à niveau constant et convenable, on peut aussi contrôler une épidémie comme
l’étude de la thérapie des tumeurs au cerveau (Modèle de glioblastome) ou réaliser une opération
chirurgicale au laser. En outre, le contrôle du chaos est également considéré par de nombreux
chercheurs aujourd’hui.
Le but de ce mémoire est d’étudier la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes, l’outil utilisé
pour atteindre ce but est la méthode HUM. Alors, ce travail est organisé de la façon suivante :
Dans le premier chapitre, nous donnons un rappel sur l’essentiels des espaces fonctionnels utilisés,
ainsi que des notions sur la théorie de semi-groupe avec quelques théorèmes nécessaires et nous
considérons quelques concepts de la contrôlabilité que nous avons besoin de savoir.
4
Dans le deuxième chapitre, Nous présentons la méthode d’unicité hilbertienne HUM que nous
proposons pour l’étude du problème de la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes dans
le cas du contrôle frontière, cette méthode repose essentiellement sur l’obtention de théorème
d’unicité et sur la construction (par des procédés de complétion) d’espace de Hilbert adaptés à la
structure du système.
Le troisième chapitre est consacré à l’étude du problème de la contrôlabilité exacte avec un
contrôle interne où l’action du contrôle est exercée dans une partie � , la méthode que
nous utilisons pour étudier ce problème de contrôlabilité est la méthode HUM.
5
Chapitre 1
Rappels et notions de base
Dans ce chapitre, nous allons présenter un rappel sur les espaces fondamentaux en analyse fonc-
tionnelle qui contient quelques notions essentielles qui concernent les espaces , les espaces de
Hilbert et de Sobolev ainsi que une partie de définitions sur les semi-groupes et enfin on va consi-
dérer quelques concepts de la contrôlabilité qu’ils sont nécessaire de connaître pour aborder la
suite de ce mémoire.
1.1 Rappels d’analyse fonctionnelle
1.1.1 Espaces normés et espace de Banach
Définition 1.1 [6] Soit un espace vectoriel sur R. Une norme sur est une application de dans
R+, notée 7! kk, vérifiant les propriétés suivantes :
() kk = 0, = 0;
() k�xk = j�j kk 8 2 8� 2 R;() k + k � kk+ kk 8 2 (l’inégalité triangulaire).
Un espace vectoriel sur lequel une norme a été spécifiée est appelé espace vectoriel normé.
Une application 7! kk de dans R+ vérifiant les propriétés () et (), mais pas nécessairement
la propriété (), est appelée une semi-norme sur .
Définition 1.2 [6] On appelle espace de Banach un espace normé complet.
1.1.2 Espaces de Hilbert
Définition 1.3 [5] Soit un espace vectoriel sur R. Un produit scalaire ( ) est une forme bilinéaire
de � dans R, symétrique, définie positive.
6
Chapitre 1. Rappels et notions de base
Rappelons qu’un produit scalaire vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz
j( )j � ( )12 ( )
12 8 2
Rappelons aussi que
kk = ( )12
est une norme associée au produit scalaire.
Définition 1.4 [5] Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire ( ) et
qui est complet pour la norme associée kk.
Théorème d’identification des espaces de Hilbert
Théorème 1.1 (Théorème de représentation de Riesz-Fréchet) [5]
Etant donné 2 0 il existe 2 unique tel que
h i = ( ) 8 2
De plus on a
kk = kk0
Preuve. voir [5]
Théorème de Lax-Milgram
Définition 1.5 [5] On dit qu’une forme bilinéaire ( ) : � ! R est
() continue s’il existe une constante telle que
j ( )j � kk kk 8 2
() coercive s’il existe une constante � 0 telle que
( ) � � kk2 8 2
Théorème 1.2 (Lax-Milgram)[5] Soit ( ) une forme bilinéaire, continue et coercive. Alors pour
tout 2 0 il existe 2 unique tel que
( ) = h i 8 2
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 7
Chapitre 1. Rappels et notions de base
1.1.3 Les espaces
Définition 1.6 (Espace de Lebesgue) [23]
Soit 2 R, 1 � 1. On appelle l’espace de Lebesgue () l’ensemble
() =
� : ! R j mesurable et
Z
jj 1�
De plus, pour toute fonction 2 (), on pose
kk =�Z
j ()j
� 1
Définition 1.7 [1] Pour =1, l’espace de Banach 1 () tel que
1 () = f : ! R j mesurable et 9 0 t.q. j ()j � g
est muni de la norme
kk1 = sup () = inf f : j ()j � g
Remarque 1.1 [5] L’espace 2 () muni du produit scalaire
( ) =
Z
() () 8 2 2 ()
est un espace de Hilbert.
1.1.4 L’espace (0 ; )
Définition 1.8 [25] Soit un espace de Banach, on désigne par (0 ; ) l’espace des fonctions
mesurables : ]0 [! tel que
kk(0 ; ) =
�Z
0
k ()k
� 1
1 pour 1 � 1
et pour =1 on a
kk(0 ; ) = sup0��
k ()k 1
L’espace (0 ; ) est un espace de Banach pour 1 � �1.
Si est de Hilbert pour le produit scalaire ( ) , 2 (0 ; ) est un espace de Hilbert pour le produit
scalaire
( )2(0 ; ) =
Z
0
( () ())
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 8
Chapitre 1. Rappels et notions de base
1.1.5 Espace réflexif
Définition 1.9 [5] Soit un espace de Banach et soit l’injection canonique de dans 00. On dit
que est réflexif si () = 00.
Lorsque est réflexif on identifie implicitement et 00 (à l’aide de l’isomorphisme ).
Théorème de compacité d’Aubin-Lions [17]
On se donne trois espaces de Banach 0 1 avec
0 � � 1 réflexif, = 0 1
L’injection 0 ! est compacte.
On définit
=
� j 2 0 (0 ;0) 0 =
2 1 (0 ;1)
�où est fini et où 1 1 = 0 1.
Muni de la norme
kk0 (0 ;0)+ k0k1 (0 ;1)
est un espace de Banach.
On a alors le résultat suivant :
Théorème 1.3 Sous les hypothèses précédentes et si 1 1 = 0 1 l’injection de dans
0 (0 ;) est compacte.
Preuve. voir [17]
Les distributions
Soit un ouvert non vide de R ; notons par D () l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment
différentiables sur à support compact dans .
On appelle distribution toute forme linéaire continue sur D (), et on note par D0 () l’ensemble
des distributions.
Définition 1.10 (Dérivation des distributions) [23]
Soit un élément de D0 (). Pour tout multi-indice � 2 N, on appelle ordre de � et on note j�jl’entier j�j =
P=1
�. La dérivée d’ordre j�j de est l’application suivante, notée �
� : D ()! R 7! h� i = (¬1)j�j h�i
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 9
Chapitre 1. Rappels et notions de base
Remarque 1.2 Si est une fonction de R dans R et � 2 N, on note � la dérivée d’ordre � de
� =j�j
�11 �
1.1.6 Les espaces de Sobolev
Les espaces de Sobolev sont les espaces "naturels" des solutions d’équations aux dérivées par-
tielles. On les appelle aussi espaces d’énergie car ils s’interprètent naturellement comme les es-
paces de fonctions d’énergie bornée. (voir [20])
Nous rappellerons ici les définitions et les résultats qui seront utilisés par la suite.
Espace de Sobolev d’ordre entier H
L’espace 1()
Définition 1.11 [21] Soit un ouvert de R de frontière , On appelle espace de Sobolev d’ordre 1
sur l’espace
1() =
� 2 2 ()
2 2 () 8 = 1
�
Ici la dérivation est au sens des distributions. En d’autres termes, une fonction 2 2 () est dans
1() s’il existe des fonctions 1 dans 2 () telles queZ
= ¬
Z
8 2 () 8 = 1
les fonctions sont notées
.
L’espace 1() est muni de la norme
kk21 =
Z
j ()j2 +
Z
X
=1
����
()
����2
=
Z
j ()j2 +
Z
jr ()j2
La norme de 1() est issue d’un produit scalaire noté ( )1 et défini par
(( ))1 =
Z
() () +
Z
r () �r ()
= ( ) + (rr)
L’espace 1() est un espace de Hilbert.
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 10
Chapitre 1. Rappels et notions de base
L’espace 10 ()
Définition 1.12 [1] les fonctions de 10 () sont les fonctions de 1() qui s’annulent sur la frontière
¬=
10 () = f 2 1() = 0 sur ¬g
sur 10 () on obtient une norme donné par
kk20 =Z
jr ()j2
L’espace ¬1()
¬1() = dual topologique de 10 ()
Théorème 1.4 (de Rellich) [1] Si est un ouvert borné de classe 1, alors l’injection canonique de
10 () dans 2() est compacte, i.e. tout ensemble borné de 1
0 () est relativement compact dans
2(). On écrit
10 () ! 2() est compacte.
On peut identifier 2() et son dual, alors on a les inclusions
10 () � 2() � ¬1()
avec injections continues et denses. (voir [5])
L’espace ()
Définition 1.13 [21] On définit les espaces de Sobolev () où est un entier strictement positif
par
() = f 2 2 () : � 2 2 () 8� 2 N j�j � g
On le munit de la norme
kk2 =X
j�j�
Z
j�j2
=X
j�j�
k�k22()
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 11
Chapitre 1. Rappels et notions de base
L’espace W ()
Définition 1.14 [21] Soit un ouvert de R, pour tout 1 � � 1 et pour tout 2 N, on peut
définir les espaces de Sobolev
() = f 2 () : � 2 () 8� 2 N j�j � g
que l’on munit de la norme
kk =X
j�j�
Z
j�j si 1 � +1
kk1 = maxj�j�
k�k1
Ces espaces sont des espaces de Banach.
On note
1 () = 12 () et () = 2 ()
1.1.7 Le théorème de Banach-Steinhaus
Soient et deux espaces vectoriels normés. On désigne par L ( ) l’espace des opérateurs
linéaires et continus de dans muni de la norme
kkL( ) = sup2kk�1
kk
Théorème 1.5 (Banach-Steinhaus)[5] Soient et deux espaces de Banach. Soit ()2 une fa-
mille (non nécessairement dénombrable) d’opérateurs linéaires et continus de dans .
On suppose que
sup2kk 1 8 2
Alors
sup2kkL( ) 1
Autrement dit, il existe une constante telle que
kk � kk 8 2 8 2
Preuve. voir [5]
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 12
Chapitre 1. Rappels et notions de base
Corollaire 1.1 [5] Soient et deux espaces de Banach. Soit () une suite d’opérateurs linéaires
et continus de dans tels que pour chaque 2 , converge quand ! 1 vers une limite
notée .
Alors on a() sup
kkL( ) 1
() 2 L ( )
() kkL( ) � lim!1
kkL( )
Preuve. voir [5]
1.1.8 Quelques formules d’intégration par parties
Soient � R, un domaine 1. Pour les champs de vecteurs
= (1 2 ) : ¬! R
avec 2 1 ().
La formule de divergence de Gauss est donnée parZ
div =
Z
� �d� (1.1)
où div =P
=1
, � désigne le vecteur unitaire normale extérieur sur , et d� est l’élément
de surface de la frontière , données localement en termes de cartes locaux par
d� =p1 + jr (0)j0
Un certain nombre d’identités utiles peuvent être dérivées de (1.1). On applique (1.1) à � , avec
2 1¬�, et rappelons que l’identité
div ( ) = div +r �
nous obtenons la formule d’intégration par partie suivante (voir [25])
Z
div =
Z
� �d� ¬Z
r � (1.2)
Choisir = r 2 2 () \ 1¬�, comme divr = � et r � � = �, on obtient l’identité
de Green (voir [25]) Z
� =
Z
�ud� ¬Z
r �r (1.3)
1.1. Rappels d�analyse fonctionnelle 13
Chapitre 1. Rappels et notions de base
En particulier, le choix des rendements � 1
Z
� =
Z
�ud� (1.4)
Si aussi 2 2 () \ 1¬�, nous permutons les rôles de et dans (1.3) et avec soustraction,
nous obtenons deuxième identité de Green (voir [25])
Z
(�¬ �) =
Z
(�¬ �) d� (1.5)
1.1.9 Quelques inégalités à utiliser
Inégalité de Cauchy [22]
8 2 2 () ;
����Z
���� � �Z
jj2
� 12�Z
jj2
� 12
Inégalité de Cauchy avec [22]
Qu’on appelle aussi -inégalité
jj �
2jj2 + 1
2jj2
pour tout 0 et arbitraire (réels).
1.2 Les semi-groupes
1.2.1 Semi-groupe uniformément continu
Définition 1.15 [13] On appelle semi-groupe uniformément continu d’opérateurs linéaires bornés
sur une famille f ()g�0 � () vérifiant les propriétés suivantes :
) (0) = ;
) ( + ) = () () 8 � 0;
) lim!0+k ()¬ k = 0
Définition 1.16 [13] On appelle générateur infinitésimal du semi-groupe uniformément continu
f ()g�0 l’opérateur linéaire
: ¬!
= lim!0
()¬
1.2. Les semi-groupes 14
Chapitre 1. Rappels et notions de base
1.2.2 Semi-groupes de classe C0
Définition 1.17 [13] On appelle 0-semi-groupe (ou semi-groupe fortement continu) d’opérateurs
linéaires bornés sur une famille f ()g�0 � () vérifiant les propriétés suivantes :
) (0) = ;
) ( + ) = () () 8 � 0;
) lim!0
() = 8 2
Définition 1.18 [13] On appelle générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0, un opéra-
teur défini sur l’ensemble
() =
� 2 j lim
!0
() ¬
existe
�par
= lim!0
() ¬
8 2 ()
Remarque 1.3 [13] Il est clair que le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe est un opérateur
linéaire.
1.2.3 Problèmes d’évolution non homogènes
Soit ( ()) le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0 sur un espace de Hilbert
, on veut résoudre. (0 () = () + () si 2 ]0 [
(0) = 0(1.6)
où : [0 ]!
Définition 1.19 [4] Soit 2 1([0 ];) et 0 2 , on appelle solution faible de (1.6) la fonction
2 ([0 ];) donnée par
() = () 0 +
Z
0
(¬ ) () 2 [0 ] (1.7)
On appelle solution classique de (1.6) tout fonction 2 ([0 ];) \1 ([0 ];) tel que
2 () pour tout 2 [0 ], et vérifiant (1.7) dans [0 ].
Remarque 1.4 [4] Par définition, le problème (1.6) admet toujours une unique solution faible.
1.2. Les semi-groupes 15
Chapitre 1. Rappels et notions de base
Théorème 1.6 [4] Soit 2 1([0 ];) et 0 2 , le problème (1.6) admet au plus une solution
classique et s’il en existe une alors elle est donnée par la formule (1.7).
Preuve. Il suffit de démontrer que toute solution classique est donnée par la formule (1.7).
Soit une solution classique, pour tout 2 [0 ] on considère la fonction : [0 ]! défini par
() = (¬ ) () 2 [0 ]
Puisque 2 (), la fonction � 7! (�) () est dérivable pour tout � 0. Par conséquent est
dérivable sur [0 ] et on a
0 () = ¬ (¬ ) () + (¬ ) 0 ()
= ¬ (¬ ) () + (¬ ) () + (¬ ) ()
= (¬ ) ()
comme 2 1([0 ];), on en déduit que 0 2 1([0 ];) et en l’intégrant entre 0 et , on obtient
() = (0) +
Z
0
(¬ ) ()
c’est-à-dire
() = () 0 +
Z
0
(¬ ) ()
1.3 Quelques notions de la contrôlabilité
On considère le système linéaire suivant(
0 () = () + ()
(0) = 0 2 ()(1.8)
où
( ()) est le générateur infinitésimal d’un 0-semi-groupe f ()g�0 dans un espace de Hilbert
. Soit un espace de Hilbert et est un opérateur dans L (), excite le système pour
modifier l’état (chercher un état convenable). On suppose que 2 2 ([0 ] ;).
La fonction 2 est dite l’état du système (1.8) et est le contrôle.
Les espaces et sont appelés respectivement espace des contrôles et espace des états.
1.3. Quelques notions de la contrôlabilité 16
Chapitre 1. Rappels et notions de base
La contrôlabilité
Le principe de la contrôlabilité est le suivant : étant donnés deux états 0 2 et 2 du
système (1.8), existe-t-il une fonction (appelée contrôle) permettant de passer (en un sens à
définir précisément) de l’état 0 à l’état en un temps fixé 0 ? Le terme “passer” peut-être
interprété de différentes manières, par exemple il peut signifier que la valeur à l’instant = de
la solution qui part de l’état 0 à l’instant = 0 soit exactement égale à , auquel cas on parle
de contrôlabilité exacte ; mais il peut aussi signifier que la valeur de cette solution à l’instant
soit suffisamment proche de , sans nécessairement lui être égale, auquel cas on parle de
contrôlabilité approchée. Les notions de contrôlabilité peuvent également différer selon la forme
des cibles que l’on cherche à atteindre, par exemple on peut ne chercher à atteindre que l’état
nul = 0, auquel cas on parle de contrôlabilité nulle. Ces différents concepts de contrôlabilité se
définissent plus précisément de la façon suivante :
Contrôlabilité exacte
Définition 1.20 [4] On dit que le système (1.8) est exactement contrôlable au temps 0, si pour
tout 2 il existe 2 2 (0 ;) tel que ( ) = .
8 2 9 2 2 (0 ;) t.q. ( ) =
Contrôlabilité nulle
Définition 1.21 [3] Le système (1.8) est dit exactement nul contrôlable sur l’intervalle de temps [0 ]
si et seulement s’il est possible de ramener tous les points dans l’espace à l’origine au temps via
un contrôle c.-à-d.
8 2 9 2 2 (0 ;) t.q. ( ) = 0
Remarque 1.5 [9] La contrôlabilité exacte implique la contrôlabilité nulle, mais la réciproque n’est
pas vraie en général.
Contrôlabilité approchée
Définition 1.22 [7] Nous dirons que le système (1.8) est faiblement (approximativement) contrô-
lable sur [0 ] si pour tout 2 et pour tout 0, il existe un contrôle 2 2 (0 ;) réalisant
k ( )¬ k
1.3. Quelques notions de la contrôlabilité 17
Chapitre 1. Rappels et notions de base
Figure 1 : Différents concepts de contrôlabilité
L’opérateur de contrôlabilité
On sait que la solution de (1.8) s’écrit
() = () 0 +
Z
0
(¬ ) ()
On peut donc, introduire l’opérateur
8><
>:
: 2 ([0 ] ;) ¬!
7!Z
0
( ¬ ) ()
On remarque que peut aussi être défini comme = ( ; 0 ), c’est-à-dire comme la so-
lution, à l’instant , du problème correspondant à la donnée initiale 0 et au second membre
(contrôle) .
Proposition 1.1 [9] ) Le système (1.8) est exactement contrôlable ssi est surjective c.à.d.
Im =
) Le système (1.8) est faiblement contrôlable ssi
Im =
Preuve.
) Le système (1.8) est exactement contrôlable
, 80 2 9 2¬2 [0 ] ;
�: = ( ) = () 0 +
Z
0
( ¬ ) ()
, est surjectif ou Im =
1.3. Quelques notions de la contrôlabilité 18
Chapitre 1. Rappels et notions de base
) Le système (1.8) est faiblement contrôlable
, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;
�: k ( )¬ k �
, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;
�: k () 0 + ¬ k �
, 80 2 09 2¬2 [0 ] ;
�: k ¬ ( () 0 ¬ )k �
, Im =
1.3. Quelques notions de la contrôlabilité 19
Chapitre 2
Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte
de l’équation des ondes avec un contrôle au
bord
La méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method) développée par J.L. Lions [15] permet d’étudier le
contrôle des solutions d’équations aux dérivées partielles de type hyperboliques. Cette méthode
consiste à prouver un théorème d’unicité, en passant par une majoration de l’énergie (inégalité
inverse) au moyen de la méthode des multiplicateurs, qui nous permet de construire des espaces
de données pour lesquelles il existe un contrôle qui permet de ramener la solution du système à
l’état d’équilibre.
Dans ce chapitre, nous allons présenter la méthode HUM dans le cas d’une action du type Dirichlet
sur la frontière.
2.1 Position du problème
Soit un ouvert borné de R ( = 1 2 3 dans les applications), de frontière assez régulière
¬ = . Soit 0 un temps positif donné. On définit un cylindre = � ]0 [ de frontière
latérale � = ¬� ]0 [.
20
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Figure 2 : Le cylindre espace-temps
On considère dans un système dont l’état = ( ) décrit par l’équation des ondes
00 ¬ � = 0 dans (2.1)
où
0 =
00 =
2
2
� =X
=1
2
2
désigne le Laplacien par rapport aux variables d’espace = (1 2 ), et est
la variable de temps.
Soient les conditions initiales
(0) = 0 0 (0) = 1 dans (2.2)
On dénote par
(0) la fonction 7! ( 0)
et par
0 (0) la fonction 7! 0 ( 0)
avec une condition aux limites non-homogène de type Dirichlet
= sur � = ¬� ]0 [ (2.3)
où = ( ) est le contrôle qui modélise l’action au bord � sur le système (2.1)–(2.3).
2.1. Position du problème 21
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Le système d’évolution (2.1), (2.2) et (2.3) décrit, par exemple, les vibrations d’un corps n-
dimensionnel soumis à l’action d’une force sur la frontière ¬ (sur son bord) et partant d’un
état initial décrit par les données f0 1g. (voir [14])
La question posée est : Comment arrêter ces vibrations ? C’est-à-dire : Quel est le contrôle qui
ramène au repos les vibrations à l’instant ?
Dans le but d’expliciter la dépendance de la solution = ( ) du problème (2.1)–(2.3) par
rapport au contrôle on utilisera la notation
= ( ; ) = ()
Le problème étudié est le suivant : Soit 0 donné, peut-on, pour tout couple f0 1g donné
dans un espace convenable, trouver un contrôle qui ramène le système à l’état d’équilibre f0 0gà l’instant , c’est-à-dire on veut que la solution = ( ; ) de (2.1)–(2.3), vérifie la condition
( ; ) = 0 ( ; ) = 0 dans (2.4)
Si cela est possible, on dit alors que le système est exactement contrôlable à l’instant .
Remarque 2.1 A cause de la vitesse finie de propagation des ondes, le système (2.1)–(2.3) ne peut
être exactement contrôlable que si assez grand.
Remarque 2.2 Dans les applications, c’est rare de trouver des systèmes qui l’on peut contrôler sur
tout le bord. Pour cette raison nous considérons l’action du contrôle uniquement sur une partie du
bord.
Dans ce cas, Considérons une partie ouverte non vide �0 de � et on agit sur le système par la
condition aux limites suivante
=
����� sur �0
0 sur �n�0(2.5)
La formulation du problème de la contrôlabilité exacte est maintenant la suivante : “Etant donné
un temps 0 et des conditions initiales f0 1g données dans un espace convenable, existe-t-il
un contrôle définit sur �0 tel que si = () est la solution de (2.1), (2.2) et (2.5) on ait
(2.4) ?”
Notre objectif est d’étudier ce problème de contrôlabilité exacte. Pour cela, on introduit les idées
principales de la méthode d’unicité hilbertienne HUM qui nous allons utiliser pour résoudre le
système (2.1), (2.2) et (2.5).
2.1. Position du problème 22
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
2.2 Description de la méthode HUM
La méthodologie du HUM est basée sur certain critères d’unicité pour le système homogène asso-
cié et la construction (par des procédés de complétion) d’espaces hilbertiens adaptés à la structure
du système.
L’algorithme suivant décrit les étapes fondamentales de l’application de la méthode HUM à la
résolution du problème de la contrôlabilité exacte du système (2.1), (2.2) et (2.5).
Etape 1 :
Soit��0�1
2 D ()�D (), on considère l’équation des ondes homogène��������
�00 ¬ �� = 0 dans
� = 0 sur �
� (0) = �0 �0 (0) = �1 dans
(2.6)
Le problème (2.6) admet une solution unique � = � ( ) (cf. paragraphe 2.3) qui satisfait (cf. le
paragraphe 2.4.1) la propriété de régularité suivante :
�
�2 2 (�)
Etape 2 :
Ensuite, on résout le problème "rétrograde"�����������
00 ¬ � = 0 dans
=
8<
:
�
�sur �0
0 sur �n�0
( ) = 0 ( ) = 0 dans
(2.7)
où � désigne le vecteur normale extérieur à et "
�" la dérivée dans cette direction c’est-à-dire
�
�= r� � � =
X
=1
�
�
Le problème (2.7) est un système rétrograde non-homogène, car on a une condition finale
( ) = 0 ( ) = 0 dans et des conditions aux limites non-homogène. Cela ne change pas le
caractère "bien posé" du système, qui admet donc une solution unique .
L’opérateur �
On définit un opérateur linéaire � qui associe à��0�1
par
���0�1
= f 0 (0) ¬ (0)g (2.8)
2.2. Description de la méthode HUM 23
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
L’opérateur � est bien défini car est suffisamment régulière (cf. paragraphe 2.4.2).
Etape 3 : En multipliant l’équation (2.7)1 par � = � ( ) et en intégrant sur , on obtientZ
00�d
| {z }()
¬Z
��
| {z }()
= 0
Analyse de la première intégrale ()
On a
( 0�)0= ( 00�) + ( 0�0)
En intégrant sur ]0 [, on obtient
h 0 ( ) � ( )i ¬ h 0 (0) � (0)i =Z
00�d +
Z
0�0
avec la condition (2.7)3, on trouveZ
00�d = ¬ 0 (0) �0
�¬
Z
0�0 (2.9)
d’autre part, par intégration par parties, on aZ
0�0 = ( ( ) �0 ( ))¬ ( (0) �0 (0))¬Z
�00
donc Z
0�0 = ¬¬ (0) �1
�¬
Z
�00 (2.10)
On substitue (2.10) dans (2.9), on obtientZ
00�d = ¬ 0 (0) �0
�+
¬ (0) �1
�+
Z
�00 (2.11)
Analyse de la deuxième intégrale ()
D’après la deuxième identité de Green (1.5), on aZ
( ��¬ �� ) =
Z
�
�
�
�¬ �
�
�¬
donc
¬Z
�� = ¬Z
��d +
Z
�
�
�¬ (2.12)
On ajoute (2.11) à (2.12), on obtientZ
( 00 ¬ � )� =
Z
(�00 ¬ ��) ¬ 0 (0) �0
�+
¬ (0) �1
�+
Z
�
�
�¬ = 0
2.2. Description de la méthode HUM 24
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
comme �00 ¬ �� = 0 dans et 00 ¬ � = 0 dans , alors on trouve
¬ 0 (0) �0
�+
¬ (0) �1
�+
Z
�
�
�¬ = 0 (2.13)
On remarque que =�
�sur �0 et = 0 sur �n�0. Donc, de (2.13) il résulte
0 (0) �0
�¬
¬ (0) �1
�=
Z
�0
��
�
�2
¬ (2.14)
On considère 0 (0) �0
�¬
¬ (0) �1
�comme un produit scalaire de f 0 (0) ¬ (0)g et
��0�1
.
Donc, d’après (2.14) nous avons
���0�1
��0�1
�=
0 (0) �0
�¬
¬ (0) �1
�=
Z
�0
��
�
�2
¬ (2.15)
On introduit alors la semi-norme
��0�1 =
Z
�0
��
�
�2
¬
! 12
=
�
�
2(�0)
8��0�1
2 D ()�D () (2.16)
et on suppose qu’en fait kk définit une norme dans l’espace D ()�D ().Le fait que kk définisse une norme est équivalent à ce que le théorème d’unicité suivant soit
vérifié.
Théorème 2.1 [14] (Théorème d’unicité)
Si � = � ( ) vérifie (2.6) pour��0�1
2 D ()�D () et la condition
�
�= 0 sur �0
alors
� = 0 dans
Remarque 2.3 Ce critère d’unicité est vraie par l’inégalité inverse ou par le théorème de Holmgren
(cf. L. Hörmander [10] et J. L. Lions [14]).
Remarque 2.4 Si le théorème (2.1) vérifié, alors la norme (2.16) induit le produit scalaire suivant :
���0�1
��0 �1
�=
Z
�0
�
�
�
�¬ (2.17)
où � = � ( ) est la solution du problème (2.6) correspondant aux données initiales��0 �1
2
D ()�D ().
2.2. Description de la méthode HUM 25
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Alors de (2.15) et (2.17), on déduit que
���0�1
��0 �1
�=���0�1
��0 �1
�
8��0�1
��0 �1
2 D ()�D () (2.18)
D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient�� ���0�1 ��0 �1
��� � ��0�1
��0 �1
8��0�1
��0 �1
2 D ()�D () (2.19)
L’inégalité (2.19) montre la continuité de la forme bilinéaire définie par � dans D ()�D ().On définit par le complété de cet espace par rapport à la norme (2.16), on obtient ainsi un
espace de Hilbert. La forme bilinéaire continue���0�1
��0 �1
!
���0�1
��0 �1
�ad-
met un prolongement par continuité à la fermeture , nous présentons ce prolongement avec la
même notation. Ensuite, on obtient une forme bilinéaire continue sur l’espace de Hilbert qui est
coercive (la coercivité de la forme bilinéaire équivaut à l’inégalité inverse qui nous allons énoncer
dans la suite), alors d’après le lemme de Lax-Milgram, pour chaque f�0 �1g 2 0 (dual de ), il
existe un unique��0�1
2 tel que
���0�1
��0 �1
�=��0 �1
��0 �1
� 0� (2.20)
donc, pour tout��0 �1
2 et pour chaque f�0 �1g 2 0, il existe un unique
��0�1
2 qui est
la solution de l’équation ���0�1
= f�0 �1g dans 0. De tout cela, on résulte que � : ¬! 0
est un isomorphisme.
Etape 4 : Conclusion
On considère alors l’équation
���0�1
= f1¬0g (2.21)
Comme � est un isomorphisme de sur 0, l’équation (2.21) admet une solution unique��0�1
2
pour tout couple de données initiales f0 1g tel que f1¬0g 2 0.
D’autre part, l’opérateur � a été défini par l’application (2.8), donc
0 (0) = 1 et (0) = 0
où désigne la solution du problème (2.7).
On choisit le contrôle par
=�
�sur �0
On remarque que = ( ) et = ( ) sont deux solutions du même problème non-
homogène. Alors, d’après l’unicité de la solution du problème (2.1), (2.2) et (2.5) on a
( ) = ( ) 8 ( ) 2
2.2. Description de la méthode HUM 26
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
De (2.7)3, on déduit que
( ) = 0( ) = 0 dans
On voit que = () satisfait la condition (2.4).
Finalement, on a construit un contrôle qui donne la contrôlabilité exacte.
La prochaine étape est de caractériser les espaces et 0 comme des espaces de Sobolev.
Tout d’abord, on va énoncer quelques résultats préliminaires qui seront nécessaires dans l’appli-
cation de HUM.
2.3 Quelques rappels sur l’existence et l’unicité des solutions
de l’équation des ondes
Dans ce paragraphe on étudie quelques résultats d’existence et de régularité des solutions de
problème (2.6).
On considère le problème homogène (2.6) et l’énergie associé
() =1
2
nj�0 ()j2 + jr� ()j2
o8 2 [0 ] (2.22)
avec les notations
j�0 ()j2 = k�0 ()k22() =Z
j�0 ( )j2
et
jr� ()j2 = kr� ()k2[2()] =X
=1
Z
���� �
( )
����2
On a le résultat d’existence et d’unicité de la solution de (2.6) suivant :
Lemme 2.1 [12] Soit un domaine borné de R à frontière lipchitzienne. Alors, Pour des conditions
initiales �0 2 10 () et �1 2 2 () il existe une solution unique � = � ( ) de (2.6) avec
� 2 ¬0 ;1
0 ()�\ 1
¬0 ;2 ()
�\ 2
¬0 ;¬1 ()
� (2.23)
La solution � de (2.6) (qui appartient à la classe (2.23) est dite solution faible de l’équation).
En plus, on a la conservation de l’énergie
() = (0) =1
2
n���1��2 + ��r�0��2o 8 2 [0 ] (2.24)
2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 27
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Preuve. On a le résultat d’existence et d’unicité de la solution � de (2.6) d’après [14]. Pour montrer
la conservation de l’énergie, on multiplie l’équation (2.6)1 par �0 ( ) et en intégrant sur on
obtient
0 =
Z
(�00 ¬ ��)�0
(13)=
�1
2
Z
nj�0j2 + jr�j2
o
�¬
Z
¬
(r� � �)�0¬
= ()
¬
Z
¬
(r� � �)�0¬
D’après les conditions au bord dans (2.6), on obtient
()
= 0 8 2 [0 ]
et par suite on a conservation de l’énergie.
Pour la régularité de la solution �, on a le lemme suivant qui justifiera les intégrations effectuées
dans la suite
Lemme 2.2 [14] On suppose maintenant que ¬est de classe 2. Alors, si��0�1
2 2 ()\1
0 ()
la solution � de (2.6) vérifie la propriété de régularité suivante :
� 2 ¬0 ;2 () \1
0 ()�\ 1
¬0 ;1
0 ()�\ 2
¬0 ;2 ()
� (2.25)
Preuve. voir [14]
On considère maintenant l’équation des ondes non homogène���������00 ¬ �� = dans
� = 0 sur �
� (0) = �0�0 (0) = �1 dans
(2.26)
On a le résultat suivant :
Lemme 2.3 [14] (a) Soit un domaine borné de R à frontière lipchitzienne. Pour tout 21 (0 ;2 ()), �0 2 1
0 () et �1 2 2 () il existe une solution unique � de (2.26) avec
� 2 ¬0 ;1
0 ()�\ 1
¬0 ;2 ()
� (2.27)
De plus, il existe une constante 0 telle que
k�k1(0 ;10 ())
+ k�0k1(0 ;2()) � n��r�0��+ ���1��+ kk1(0 ;2())o (2.28)
(b) On suppose maintenant que est de classe 2. Alors, pour tout 2 1 (0 ;10 ()),
2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 28
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
�0 2 2 () \10 () et �1 2 1
0 () il existe une solution unique � telle que
� 2 ¬0 ;2 () \1
0 ()�\ 1
¬0 ;1
0 ()�
(2.29)
avec l’estimation
k�k1(0 ;2()\10 ())
+ k�0k1(0 ;10 ())
� n �0
2()\1
0 ()+
�1 10 ()
+ kk1(0 ;10 ())
o
(2.30)
Preuve. voir [14]
Maintenant, on établit une identité fondamentale qui permettra ensuite d’obtenir les estimations
a priori nécessaires dans l’application de HUM.
Lemme 2.4 [14] Soit = () un champ de vecteurs de classe�1
¬��
. Alors, pour toute solution
faible � = � ( ) de l’équation (2.26), c’est-à-dire pour tout��0�1
2 1
0 () � 2 () et 21 (0 ;2 ()), on a
1
2
Z
�
�
����������2 � =
��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i
+
Z
�
�
¬
Z
�
(2.31)
On a appliqué ici la convention des indices répétés de sorte que, par exemple
� =P
=1
�
Avant de démontrer l’identité (2.31), on va énoncer le lemme suivant qui sera nécessaire dans la
suite
Lemme 2.5 [19] Si � 2 10 () \2 (), alors
�
= �
�
�sur ¬
jr�j2 =�
�
�
�2
Preuve. voir [19]
Maintenant, on retourne à la preuve du lemme 2.4
Preuve. On établit d’abord l’identité dans le cas d’une solution forte �, i.e. qui correspond à des
données��0�1
2 (2 () \1
0 ())�10 (), 2 1 (0 ;1
0 ()).
2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 29
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
On multiplie l’équation (2.26)1 par �
et l’on intègre sur , il en résulte que
Z
�00�
| {z }()
¬Z
��q�
| {z }()
=
Z
�
(2.32)
Analyse de ()
On a
¬Z
��q�
= ¬
Z
0
Z
���
d’après l’identité de Green (1.3), on obtient
¬Z
��q�
= ¬
Z
¬
�
�
�
¬+
Z
r� �r�
�
� (2.33)
D’autre part, on a
r� �r�
�
�=
�
��
�+
�
�
=1
2
��
�2
+�
�
=1
2
jr�j2 + �
�
donc
(233), ¬Z
���
= ¬
Z
¬
�
�
�
¬+
1
2
Z
jr�j2 +
Z
�
�
(2.34)
En utilisant l’identité de Green (1.3), on obtient
1
2
Z
jr�j2 =
1
2
Z
¬
jr�j2 �¬¬1
2
Z
jr�j2 (2.35)
On substitue (2.35) dans (2.34), on trouve
¬Z
��q�
= ¬
Z
¬
�
�
�
¬+
1
2
Z
¬
jr�j2 �¬¬1
2
Z
jr�j2 +
Z
�
�
Par ailleurs, grâce au lemme 2.5, on a
¬Z
���
= ¬
Z
¬
�
��
�
�2
¬+1
2
Z
¬
�
��
�
�2
¬¬12
Z
jr�j2 +
Z
�
�
Finalement, l’intégration sur ]0 [ nous donne
¬Z
��q�
= ¬1
2
Z
�
�
��
�
�2
¬¬ 1
2
Z
jr�j2 +
Z
�
�
(2.36)
2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 30
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Analyse de ()
On a Z
�00�
=
Z
0
Z
�00�
et on sait que Z
0
��0
�
� =
Z
�00�
+
Z
�0�0
donc Z
�00�
=
��0 ()
� ()
�����0
¬ 1
2
Z
j�0j2 (2.37)
d’autre part, on observe queZ
�2j�0j2
� =
Z
¬
2j�0j2 �¬= 0
comme conséquence de la formule de divergence de Gauss (1.1) et du fait que � = 0 sur �.
Alors, il résulte que
¬ 1
2
Z
j�0j2 =
1
2
Z
j�0j2 (2.38)
On substitue (2.38) dans (2.37), on obtient
Z
�00�
=
��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
j�0j2 (2.39)
Par suite, en reportant (2.36) et (2.39) dans (2.32), on déduit��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
j�0j2 ¬ 1
2
Z
�
�
����������2 ¬¬ 1
2
Z
jr�j2
+
Z
�
�
=
Z
�
alors
1
2
Z
�
�
����������2 ¬ =
��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
j�0j2 ¬ 1
2
Z
jr�j2
+
Z
�
�
¬
Z
�
d’où l’identité (2.31).
Considérons maintenant le cas général d’une solution faible � = � ( ), c’est-à-dire qui corres-
pond à des données��0�1
2 1
0 () �2 (), 2 1 (0 ;2 ()).
2.3. Quelques rappels sur l�existence et l�unicité des solutions de l�équation des ondes 31
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
On approche ces données par des données plus régulières��0�
1
2 (2 () \1
0 ())�10 (),
fg 2 1 (0 ;10 ()) telles que�
�0�1
!��0�1
dans 1
0 ()� 2 () et
! dans 1 (0 ;2 ()) , lorsque ! +1(2.40)
L’identité (2.31) est donc vérifiée par les solutions fortes � qui correspondent aux données��0�
1
, et d’après l’estimation (2.28) et les propriétés (2.40) on voit que
� ! � dans (0 ;10 ()) et
�0 ! �0 dans (0 ;2 ()) , lorsque ! +1
Ceci nous permet de passer à la limite lorsque ! +1 dans le membre de droite de l’identité
(2.31), d’en déduire que �
����������2 2 1 (�) et que l’identité (2.31) et aussi vérifiée dans ce cas.
2.4 Régularité des solutions faibles
2.4.1 Le problème homogène
Théorème 2.2 [14] Soit un domaine borné de R de frontière ¬ de classe 2. Alors, il existe une
constante 0 telle que
Z
�
����������2 � � ( + 1)
n��r�0��2 + ���1��2 + kk1(0 ;2())o
8��0�1
2 1
0 ()� 2 ()� 1 (0 ;2 ())
(2.41)
où � = � ( ) désigne la solution du problème (2.26).
Preuve. voir [14]
Remarque 2.5 [14] D’après (2.41) il résulte que�
�2 2 (�). Ceci est une propriété de régularité
cachée des solutions faibles de l’équation des ondes.
2.4.2 Le problème non homogène
Ici on va étudier l’existence et la régularité des solutions du problème non homogène (2.7).
Soit le problème suivant :
2.4. Régularité des solutions faibles 32
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
��������00 ¬ � = 0 dans
= sur �
(0) = 0 0 (0) = 1 dans
(2.42)
La solution du problème (2.42) est définie par la méthode de transposition (cf. J. L. Lions et E.
Magenes [18]). Plus précisément, on a la définition suivante :
Définition 2.1 [16] Pour tout f0 1 g 2 2 ()�¬1 ()�2 (�), on appelle solution ultra faible
du problème (2.42), une fonction 2 1 (0 ;2 ()) satisfaite la conditionZ
= 1 � (0)
�¬
¬0 �0 (0)
�¬
Z
�
�
�¬ (2.43)
Pour tout 2 1 (0 ;2 ()), où � = � ( ) désigne la solution du problème���������00 ¬ �� = dans
� = 0 sur �
� ( ) = �0 ( ) = 0 dans
(2.44)
où h i désigne le produit de dualité entre ¬1 () et 10 ()
Lemme 2.6 [16] Le problème (2.42) admet une seule solution ultra faible vérifie
kk1(0 ;2()) � ���0��+ 1
¬ 1()
+ kk2(�)�
(2.45)
Preuve. voir [19]
Théorème 2.3 [16] Pour tout 0 2 2 () et 1 2 ¬1 () et pour tout 2 2 (�) il existe une
solution unique du problème (2.42) avec
2 ¬0 ;2 ()
�\ 1
¬0 ;¬1 ()
� (2.46)
et
kk1(0 ;2()) + k0k1(0 ;¬ 1()) �
���0��+ 1 ¬ 1()
+ kk2(�)�
(2.47)
Preuve. voir [16]
Maintenant, nous revenons à l’identification des espaces et 0.
Tout d’abord, on remarque qu’avec le choix particulier [ = 0] dans le théorème (2.2) on obtient
le
2.4. Régularité des solutions faibles 33
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Corollaire 2.1 (L’inégalité directe) [14]
Soit un domaine borné de R de frontière ¬de classe 2. Alors, il existe une constante 0 telle
que Z
�
��
�
�2
¬ � ( + 1) (0) = ( + 1) ��0�1 2
10 ()�2()
8� solution faible de (2.6).(2.48)
Comme est le complété par rapport à la norme définie par la côté droite de l’inégalité (2.48),
alors on déduit que 10 () � 2 () � . Pour prouver que � 1
0 () � 2 () on a besoin de
prouver qu’il existe une constante 1 tel que
1
��0�1 2
10 ()�2()
�Z
�
��
�
�2
¬ (2.49)
Si nous prouvons (2.49) qui combinée avec "l’inégalité directe" du Corollaire 2.1, nous permettra
d’identifier l’espace par = 10 ()� 2 () et son dual 0 = ¬1 ()� 2 ()
L’inégalité (2.49) est appelée l’inégalité inverse qui nous allons prouver dans le paragraphe sui-
vant :
2.4.3 L’inégalité inverse
L’objet de ce paragraphe est d’établir une deuxième estimation "l’inégalité inverse" qui permettra
en même temps d’aboutir à un résultat d’unicité du type du Théorème 2.1 et a fortiori d’obtenir
des informations supplémentaires sur l’espace des données initiales dans lequel la contrôlabilité
exacte a lieu.
On introduit d’abord quelques notations.
Soit 0 2 R, on définit le vecteur
() = ¬ 0
avec des composants
() = ¬ 0 1 � �
et une partition de la frontière � de la manière suivante :
¬¬0�= f 2 ¬; () � � () 0g
¬�¬0�= ¬n¬
¬0�= f 2 ¬; () � � () � 0g
et
�¬0�= ¬
¬0�� ]0 [
��¬0�= �n�
¬0�= ¬�
¬0�� ]0 [
2.4. Régularité des solutions faibles 34
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
On introduit en outre
¬0�= sup
2
¬ 0 = k ()k1()
et on considère
¬0�= 2
¬0�
Théorème 2.4 (L’inégalité inverse) [14]
Soit un domaine borné de R de frontière ¬ de classe 2. Alors, pour tout (0) et toute
solution faible � de (2.6) l’inégalité suivante est vérifiée
¬ ¬
¬0��
(0) � (0)
2
Z
�(0)
��
�
�2
¬ (2.50)
Preuve. On écrit l’identité énoncée dans le lemme (2.4), dans le cas des solutions homogènes
( = 0) on obtient
1
2
Z
�
�
����������2 � =
��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i +
Z
�
�
(2.51)
avec le choix de multiplicateurs
() = () = ¬ 0 1 � �
alors
= �X
=1
= et
�
�
= jr�j2
On pose
=
��0 ()
� ()
�����0
donc, l’identité (2.51) devient
+
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i +
Z
jr�j2 =1
2
Z
�
�
��
�
�2
¬ (2.52)
Sur � (0), grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
0 () � � () =P
=1
� ��
P=1
2
� 12�
P=1
�2
� 12
= k ()k � ¬0�
(2.53)
et d’autre part, comme () � � () � 0 sur �� (0), on peut déduire que
Z
�
�
��
�
�2
¬ �Z
�(0)
�
��
�
�2
¬(253)
� ¬0� Z
�(0)
��
�
�2
¬ (2.54)
2.4. Régularité des solutions faibles 35
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
On utilise (2.54) dans (2.52), il vient
+
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i +
Z
jr�j2 � (0)
2
Z
�(0)
��
�
�2
¬ (2.55)
En outre
+
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i +
Z
jr�j2 = +
2
Z
j�0j2 ¬
2
Z
jr�j2
+
Z
jr�j2 +1
2
Z
j�0j2 ¬ 1
2
Z
j�0j2
= +¬ 1
2
Z
j�0j2 +2¬
2
Z
jr�j2 +1
2
Z
j�0j2
= +¬ 1
2
Z
j�0j2 ¬ ¬ 2
2
Z
jr�j2 +1
2
Z
j�0j2
= +¬ 1
2
Z
j�0j2 ¬ ¬ 1
2
Z
jr�j2 +1
2
Z
j�0j2 +1
2
Z
jr�j2
= +¬ 1
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i +
1
2
Z
hj�0j2 + jr�j2
i
On pose
=
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i
En plus, la conservation de l’énergie (2.24) nous donne
1
2
Z
hj�0j2 + jr�j2
i =
Z
0
1
2
Z
hj�0j2 + jr�j2
i
=
Z
0
(0)
= (0)
donc l’inégalité (2.55) devient
+¬ 1
2 + (0) � (0)
2
Z
�(0)
��
�
�2
¬ (2.56)
Maintenant, on estime par le
Lemme 2.7 [19] Pour toute solution faible � de l’équation (2.6) on a
= (�0 () � ())j0
2.4. Régularité des solutions faibles 36
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
Preuve. On multiplie l’équation (2.6) par � et intégrant sur , on obtientZ
�00�¬Z
��� = 0 (2.57)
On a
(�0 () � ())j0 =
Z
0
(�0 () � ()) =
Z
�00�d +
Z
j�0j2
donc Z
�00� = (�0 () � ())j0 ¬Z
j�0j2 (2.58)
d’autre part, d’après l’identité de Green (1.3) et du fait que (� = 0 sur �) on aZ
���d =
Z
�
��
�¬¬
Z
jr�j2 = ¬Z
jr�j2 (2.59)
De (2.57), (2.58) et (2.59) on déduit
(�0 () � ())j0 ¬Z
�j�0j2 ¬ jr�j2
� = 0
et par conséquent
= (�0 () � ())j0
Revenons à la preuve du théorème (2.4)
d’après le lemme (2.7), on obtient
+¬ 1
2 =
��0 ()
� ()
�����0
+¬ 1
2(�0 () � ())j0
=
��0 ()
� ()
+
¬ 1
2� ()
�����0
alors
+¬ 1
2 =
Z
�0 ()
�
� ()
+
¬ 1
2� ()
�
����0
(2.60)
Grâce à l’inégalité de Cauchy avec on a pour tout 0
Z
�0 ()
�
� ()
+
¬ 1
2� ()
� �
2
Z
j�0 ()j2 +1
2
Z
�
� ()
+
¬ 1
2� ()
�2
(2.61)
d’autre partZ
�
�
+
¬ 1
2�
�2
=
Z
�
�
�2
+(¬ 1)2
4
Z
�2 + (¬ 1)
Z
�
�
��d
| {z }(�)
(2.62)
2.4. Régularité des solutions faibles 37
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
et
(�),Z
X
=1
�
�d =
1
2
Z
X
=1
�2
En outre, d’après la formule de divergence de Gauss (1.1) et comme (� = 0 sur �) on aZ
¬�
2� =
Z
¬
��2¬= 0
1
2
Z
X
=1
�2 = ¬1
2
Z
X
=1
�2 = ¬
2
Z
�2 (2.63)
En utilisant (2.63) dans (2.62), on obtient
Z
�
�
+
¬ 1
2�
�2
=
Z
�
�
�2
+(¬ 1)2
4
Z
�2¬ (¬ 1)
2
Z
�2
=
Z
�
�
�2
+
"(¬ 1)2
4¬ (¬ 1)
2
# Z
�2
On remarque que�
�
�2
=
X
=1
�
!2
�
X
=1
2
! X
=1
��
�2!
cela implique que �
�
�2
� k ()k2 jr�j2
donc Z
�
�
�2
�Z
k ()k2 jr�j2 � 2¬0� Z
jr�j2
D’autre part, on a "(¬ 1)2
4¬ (¬ 1)
2
#= ¬ (
2 ¬ 1)
4� 0
avec tout cela, on déduit que
Z
�
�
+
¬ 1
2�
�2
�Z
�
�
�2
� 2¬0� Z
jr�j2 (2.64)
On substitue (2.64) dans (2.61) avec le choix de = (0), on obtientZ
�0 ()
�
� ()
+
¬ 1
2� ()
� � (0)
2
Z
j�0 ()j2 + (0)
2
Z
jr� ()j2
� (0)
2
Z
hj�0 ()j2 + jr� ()j2
i
2.4. Régularité des solutions faibles 38
Chapitre 2. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôle aubord
donc Z
�0 ()
�
� ()
+
¬ 1
2� ()
� �
¬0� (0) (2.65)
De (2.60) et (2.65), on déduit���� +¬ 1
2
���� =
�������0 ()
� ()
+
¬ 1
2� ()
�����0
������ 2 sup
0��
������0 () � ()
+
¬ 1
2� ()
������ 2
��0 ()
� ()
+
¬ 1
2� ()
� 1(0 )
� 2¬0� (0)
On prend (0) = 2 (0), on obtient���� +¬ 1
2
���� � ¬0� (0)
donc
(0)¬¬0� (0) � (0)¬
���� +¬ 1
2
���� � +¬ 1
2 + (0)
(256)
� (0)
2
Z
�(0)
��
�
�2
¬
d’où¬ ¬
¬0��
(0) � (0)
2
Z
�(0)
��
�
�2
¬
et par conséquent
Z
�j�0j2 + jr�j2
� � (0)
( ¬ (0))
Z
�(0)
��
�
�2
¬
2.4. Régularité des solutions faibles 39
Chapitre 3
Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte
de l’équation des ondes avec un contrôle
interne
Ce chapitre est consacré à l’étude du problème de la contrôlabilité exacte avec un contrôle interne,
la méthode qu’on utilise est HUM qui a été déjà présentée dans le chapitre 2 dans le cas du
contrôle frontière.
3.1 Formulation du problème. Description de HUM
Soit un domaine borné de R � 1 de frontière ¬ suffisamment régulière et un ouvert non
vide de .
On considère le problème de contrôle suivant :��������00 ¬ � = h� dans
= 0 sur �
(0) = 0 0 (0) = 1 dans
(3.1)
Où � désigne la fonction caractéristique de l’ensemble et la fonction de l’équation (3.1) est
le contrôle du système.
Le problème de la contrôlabilité exacte du système (3.1) se formule d’une manière analogue au
cas du contrôle frontière.
Etant donné un temps 0, pour des données initiales f0 1g dans un espace de Hilbert
convenable ; trouver un contrôle 2 2 ( � ]0 [) tel que la solution = ( ) du système
40
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
(3.1) vérifie
( ) = 0 ( ) = 0 dans . (3.2)
Ce type du problème est appelé problème de contrôlabilité exacte interne puisque l’action du
contrôle est exercée dans une partie � ]0 [ de cylindre = � ]0 [, (cf. Fig 3).
Figure 3 : Le sous cylindre
� ]0 [
Il est bien connu que l’équation des ondes modélise de nombreux phénomènes physiques comme
les petites vibrations des corps élastiques et la propagation du son. Par exemple (3.1) fournit une
bonne approximation pour les petites vibrations d’une corde élastique ou une membrane occupe
la région au repos. Le contrôle représente alors une force localisée agissant sur la structure
vibrante. (voir [26])
Dans ce qui suit, on va prouver que la méthode HUM est bien appliquée pour résoudre le problème
de la contrôlabilité exacte interne.
Maintenant, nous allons décrire HUM par des étapes comme nous avons fait dans le deuxième
chapitre.
Etape 1 :
Soit��0�1
2 D ()�D (), on considère le système homogène��������
�00 ¬ �� = 0 dans
� = 0 sur �
� (0) = �0 �0 (0) = �1 dans
(3.3)
Ce problème admet une solution unique � = � ( ).
3.1. Formulation du problème. Description de HUM 41
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Etape 2 :
Ensuite, par la solution � = � ( ) de (3.3) on résout le problème rétrograde suivant :�������� 00 ¬ � = ¬�� dans
= 0 sur �
( ) = 0 0 ( ) = 0 dans
(3.4)
L’opérateur �
avec la solution = ( ) de (3.4) on définit l’opérateur � par
���0�1
= f 0 (0) ¬ (0)g (3.5)
Etape 3 : On multiplie l’équation (3.3)1 par = ( ) et l’on intègre sur . On obtient
Z
0
Z
�00 ¬Z
0
Z
��d = 0 (3.6)
On a
(�0 )0= (�00 ) + (�0 0)
Par suite, l’intégration sur ]0 [ nous donne
h�0 ( ) ( )i ¬ h�0 (0) (0)i =Z
�00 +
Z
�0 0
Comme ( ) = 0, il résulte queZ
�00 = ¬ �1 (0)
�¬
Z
�0 0
d’autre part, on a
(� 0)0= (�0 0) + (� 00)
Par un argument similaire, on trouveZ
�0 0 = ¬¬�0 0 (0)
�¬
Z
� 00
Par conséquent
Z
0
Z
�00 = ¬ �1 (0)
�+
¬�0 0 (0)
�+
Z
0
Z
� 00 (3.7)
A partir de (3.3)2, (3.4)2 et l’identité de Green (1.5), on obtient
Z
0
Z
��d =
Z
0
Z
�� (3.8)
3.1. Formulation du problème. Description de HUM 42
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
De (3.6), (3.7) et (3.8), on aZ
0
Z
�2 =¬ 0 (0) �0
�¬
(0) �1
� (3.9)
D’après la définition (3.5) de �, on trouve
���0�1
��0�1
�=
¬f 0 (0) ¬ (0)g
��0�1
�=
¬ 0 (0) �0
�¬
(0) �1
�et par (3.9), on a
���0�1
��0�1
�=
Z
0
Z
�2 (3.10)
On définit dans D ()�D () la semi-norme
��0�1 2
=
Z
0
Z
�2 (3.11)
Pour prouver que (3.11) est une norme, supposons que l’on ait le résultat d’unicité suivant :
si � = � ( ) est une solution de (3.3) telle que
� = 0 dans � ]0 [
alors � = 0 dans
Cela est vrai par le théorème de Holmgren suivant :
Théorème 3.1 [14] Soit un domaine borné de R, � 1, de frontière ¬ lipchitzienne.
Il existe un temps 0 = 0() 0 tel que si 0 est un sous ensemble ouvert non vide de et
� = � ( ) est une solution de (3.3) vérifiant
� = 0 dans � ]0 [
alors � = 0.
Dans ce cas, pour 0 la semi-norme (3.11) définit une norme sur l’espace des données
initiales��0�1
2 D ()�D (). Soit le complété de D ()�D () par rapport à cette norme.
Notons que si � = �( ) est la solution de (3.3) correspondant aux données initiales f�0 �1g2 D () � D (), la norme (3.11) est obtenu à partir d’un produit scalaire dans D () � D ()défini par ��
�0�1
f�0 �1g�=
Z
0
Z
��
On considère la forme bilinéaire
���0�1
��0 �1
�=
Z
0
Z
��
3.1. Formulation du problème. Description de HUM 43
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
définie par � dans D () � D (), qui est continue et coercive dans D () � D (). Puis son
prolongement par continuité à le complété est aussi continue et coercive sur l’espace de Hilbert
. Alors d’après le lemme de Lax-Milgram, pour tout f1¬0g 2 0(dual de ), il existe un
unique��0�1
2 tel que
���0�1
��0 �1
�=�
1¬0
��0 �1
� 0�
pour tout��0 �1
2 , donc pour chaque couple de données initiales f0 1g tel que f1¬0g 2
0, il existe une solution unique��0�1
2 de l’équation
���0�1
= f1¬0g dans 0 (3.12)
De (3.12) et (3.5), on déduit que
(0) = 0 et 0 (0) = 1
où désigne la solution du problème (3.4).
Dans (3.1), nous considérons égale à la restriction de (¬�) (� est la solution du problème (3.3))
à �]0 [, c’est-à-dire
= ¬� dans �]0 [
D’après l’unicité de la solution de l’équation des ondes, on a
( ) = ( ) dans
D’où ( ) = 0 et 0 ( ) = 0 dans , ce qui est la condition (3.2).
Le résultat que l’on vient de démontrer est la contrôlabilité exacte des données f1¬0g 2 0
avec un contrôle donné par
= ¬���]0 [
où � désigne la solution de (3.3) associée aux données��0�1
2 vérifiant (3.12).
Maintenant, on va caractériser les espaces et 0.
Notons que, si on considère �0 2 2 () et �1 2 ¬1 () et on applique l’inégalité (2.45) (cf.
Lemme 2.6, chapitre 2) à (3.3), on obtientZ
0
Z
j�j2 � 1
����0��2 + �1 2
¬ 1()
�= 1
��0�1 2
2()�¬ 1() (3.13)
cela implique que
2 ()�¬1 () �
3.1. Formulation du problème. Description de HUM 44
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Pour prouver que � 2 ()�¬1 (), on a besoin de prouver l’inégalité inverse suivante :
2
��0�1 2
2()�¬ 1() �Z
0
Z
j�j2 (3.14)
Supposons que nous avons prouvé (3.14). Puis, avec (3.13) on obtient que
91 2 0 : 1
��0�1 2
2()�¬ 1() � ��0�1 2
� 2
��0�1 2
2()�¬ 1()
On a donc
= 2 ()�¬1 ()
et par conséquent
0 = 2 ()�10 ()
alors, pour tout couple de données initiales f1¬0g 2 2 () � 10 () il existe un unique�
�0�12 2 ()�¬1 () et par suite, on résoudre le problème (3.3), ce qui donne � = � ( )
avec un contrôle = ( ) donné par = ¬���]0 [. D’après la régularité de la solution ultra
faible (cf. Le théorème 2.3, chapitre 2), on déduit que 2 2 ( � ]0 [).
L’inégalité inverse (3.14) n’est pas en général vraie pour un ouvert quelconque, à cause du
caractère hyperbolique de l’équation des ondes, il faudra d’une part un temps suffisamment
grand pour atteindre et d’autre part, des conditions géométriques sur .
3.2 L’inégalité inverse
On reprend les notations du chapitre 2 et pour 0 2 R quelconque on définit
() = ¬ 0 ¬(0) = f 2 ¬; () � � () 0g
¬� (0) = ¬n¬(0) ; � (0) = ¬(0)� ]0 [
�� (0) = ¬� (
0)� ]0 [ (0) = sup2k¬ 0k = k ()k1()
On prend comme un voisinage de ¬(0) (la fermeture de ¬(0)) dans , s’il existe des voisinages
O � R de ¬(0) tel que
= \ O (3.15)
3.2. L�inégalité inverse 45
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Figure 4 : Figure présente le domaine
et l’ensemble ¬(0)
Le résultat qui sera démontré dans ce paragraphe est le suivant :
Théorème 3.2 [19] Si 2 (0), alors il existe une constante 0 tel que���0��22()
+ �1
2
¬ 1()�
Z
0
Z
�2 (3.16)
Pour toute solution ultra faible � de (3.3) correspondant à des données initiales �0 2 2 () et
�1 2 ¬1 ().
Preuve. On commence à prouver (3.16) par une autre inégalité équivalente.
Etape 1 : S’il existe une constante 0 tel que
�0 2
10 ()
+���1��2
2()�
Z
0
Z
�02 (3.17)
pour toute solution faible � = � ( ) de (3.3) avec �0 2 10 () et �1 2 2 (), alors on a
l’inégalité (3.16), pour toute solution ultra faible � = � ( ) lorsque on prend �0 2 10 () �
2 () et �1 2 2 () � ¬1 ().
En effet, soient��0�1
2 2 ()�¬1 (). On définit � 2 1
0 () l’unique solution de
¬�� = �1 dans
On considère la fonction
( ) = ¬� () +Z
0
� ( )
où � = �( ) est la solution ultra faible de (3.3) qui correspond aux données��0�1
.
L’intégration de l’équation (3.3)1 sur ]0 [ nous donne
�0 ()¬ �0 (0)¬ �Z
0
� ( ) = 0
3.2. L�inégalité inverse 46
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Mais 0( ) = �( ) et 00( ) = �0( ). Alors
00( )¬ �1 ¬ � ( ( ) + � ()) = 0
D’après la définition de �, l’égalité ci-dessus implique�������� 00 ¬ � = 0 dans
= 0 sur �
(0) = ¬�; 0 (0) = �0 dans
(3.18)
Notons que � 2 10 () et �0 2 2 () ce qui implique l’existence d’une solution faible du système
(3.18).
Si (3.17) est vrai, alors d’après (3.18) on a
k�k210 ()
+���0��2
2()�
Z
0
Z
�2 (3.19)
à partir de 0( ) = �( ).
Remarque 3.1 On va définir un produit scalaire dans ¬1 (). On sait que � est un isomorphisme
de 10 () sur ¬1 (). Soit = �¬1. Alors, pour tout couple 2 ¬1 () on définit
( )¬ 1() = h i¬ 1()�10 ()
= (())10 ()�1
0 ()
qui est un produit scalaire dans ¬1 (). La norme induite est
kk2¬ 1() = (())
Donc �1
2
¬ 1()=
¬¬G�1G�1
��= ((�; �)) = k�k21
0 ()
D’après la remarque 3.1, l’inégalité (3.19) devient
�1 2
¬ 1()+���0��2
2()�
Z
0
Z
�2
Alors, pour démontrer le théorème 3.1, il suffit de prouver l’inégalité (3.17) pour toute solution
faible � = � ( ) de (3.3) comme nous allons faire dans les étapes suivants :
Etape 2 : Pour 2 (0), On sait par l’inégalité (2.50) du chapitre 2, que pour toute solution
faible � = � ( ) de (3.3) on a l’inégalité suivante
Z
���r�0 ()��2 + ���1 ()��2� � (0)
¬ 2 (0)
Z
�(0)
��
�
�2
¬
3.2. L�inégalité inverse 47
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Maintenant, pour tout 0 ¬ 2 2 (0) on a
(0) =1
2
Z
���r�0 ()��2 + ���1 ()��2� �
Z ¬
Z
¬(0)
��
�
�2
¬ (3.20)
après le changement de variable � = ( ¬ 2) + 0 � � qui implique � � � ¬
Soit 2�1
¬��
tel que � � � 0 pour toute 2 ¬, = � sur ¬(0) et = 0 sur n. Soit
� 2 1 ([0 ]) tel que � (0) = � ( ) = 0 � () = 1 dans ] ¬ [. On définit ( ) = � () () qui
appartient à 11 () et satisfait����������() ( ) = � () 8 ( ) 2 ¬(0)� ] ¬ [ ;
() ( ) � � () � 0 8 ( ) 2 ¬� ]0 [ ;
() ( 0) = ( ) = 0 8 2 ;(i�) ( ) = 0 8 ( ) 2 (n)� ]0 [
(3.21)
On a besoin de quelques résultats intermédiaires
Lemme 3.1 [14] Soit 2�1
¬� [0 ]
��. Pour toute solution faible � de (3.3) on a l’identité
1
2
Z
�
�
��
�
�2
¬ =
��0 ()
� ()
�����0
+1
2
Z
�j�0j2 ¬ jr�j2
�
+
Z
�
�
¬
Z
�00�
(3.22)
Preuve. C’est l’analogue exact de la démonstration du lemme 2.4. Il suffit de tenir compte de
l’apparition d’un terme supplémentaireZ
�00�
=
��0 ()
� ()
�����0
¬Z
�0�
�
�0
=
��0 ()
� ()
�����0
¬Z
�0�
�0
+ 0
�
�
=
��0 ()
� ()
�����0
¬Z
0
��0 0
�
�¬ 1
2
Z
0
Z
j�0j2
Mais, d’après la formule d’intégration par partie (1.2), on a
¬12
Z
j�0j2
=
1
2
Z
j�0j2 ¬ 1
2
Z
�
j�0j2�¬ =
1
2
Z
j�0j2
puisque �0 = 0 sur �.
DoncZ
�00�
=
��0 ()
� ()
�����0
¬Z
0
��0 0
�
� +
1
2
Z
j�0j2
3.2. L�inégalité inverse 48
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
Lemme 3.2 Soit 0, pour tout 0 et toute solution faible de (3.3), on aZ ¬
Z
¬(0)
��
�
�2
¬ �
Z
0
Z
�j�0j2 + jr�j2
� (3.23)
Preuve. On applique le lemme 3.1, avec le choix de ( ) = � () () qui satisfait (3.21), on
obtient ��0 ()
� ()
�����0
= 0
puisque ( 0) = ( ) = 0.
Nous avons aussi
1
2
Z
0
Z
¬
�
��
�
�2
¬ =1
2
Z
0
Z
¬(0)
�
��
�
�2
¬ +1
2
Z
0
Z
¬�(0)
�
��
�
�2
¬
grâce à la condition () de (3.21), on a
1
2
Z
0
Z
¬
�
��
�
�2
¬ � 1
2
Z
0
Z
¬(0)
�
��
�
�2
¬
et comme ( ) = � () sur ¬(0)� ] ¬ [, donc on obtient
1
2
Z
0
Z
¬
�
��
�
�2
¬ � 1
2
Z ¬
Z
¬(0)
��
�
�2
¬
d’autre part, on a
����Z
�
�
���� l’inégalité de Cauchy�
2
4Z
�]0 [
X
=1
�
!2
3
5
122
4Z
�]0 [
X
=1
�
!2
3
5
12
�
Z
�]0 [jr�j2 �
Z
�]0 [
hj�0j2 + jr�j2
i
et
1
2
Z
hj�0j2 ¬ jr�j2
i �
Z
�]0 [
hj�0j2 ¬ jr�j2
i
�
Z
�]0 [
hj�0j2 + jr�j2
i
Il reste de majorer le terme
¬Z
�00 �r�d �
Z
�]0 [�0r�
�
2
Z
�]0 [j�0j2 +
2
Z
�]0 [jr�j2
�
Z
�]0 [
hj�0j2 + jr�j2
i
3.2. L�inégalité inverse 49
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
et on obtient Z ¬
Z
¬(0)
��
�
�2
¬ �
Z
0
Z
�j�0j2 + jr�j2
�
avec 0 est une constante dépendant de kk 11().
De (3.20) et (3.23), on obtient
(0) �
Z ¬
Z
�j�0j2 + jr�j2
� (3.24)
On voudrait à présent se débarrasser du termeZ ¬
Z
jr�j2 qui figure dans le membre de
droite de l’inégalité précédente, pour cela nous introduisons l’étape suivant :
Etape 3 : On va prouver que
�0 2
10 ()
+���1��2
2()�
Z
0
Z
j�0j2 +
Z
0
Z
j�j2 (3.25)
En effet, soit 0 � un voisinage de ¬(0) tel que
\ 0 �
On note que (3.24) est vraie pour chaque voisinage de ¬(0), alors il est correct pour 0.
Donc, on a
(0) �
Z ¬
Z
0
�j�0j2 + jr�j2
� (3.26)
On considère � 2 11 () � � 0 tel que
� () = 1 dans 0 et � () = 0 dans n
On définit ( ) dans par
( ) = � () �2 ()
Où � () est la fonction définie ci-dessus.
On a ������������
() ( ) = 1 dans 0 � ] ¬ [ ;
() ( ) = 0 dans (n)� ]0 [ ;
() ( 0) = ( ) = 0 dans ;
(i�)jrj2
2 1 ()
(3.27)
On multiplie l’équation (3.3)1 par p� et par intégration par partie sur , on obtientZ
p��00¬Z
p��� = 0 (3.28)
3.2. L�inégalité inverse 50
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
D’après la formule d’intégration par parties on aZ
0
Z
�00p�dxdt = (�0 p�)j0 ¬Z
0
Z
�0p�0¬Z
0
Z
0��0
et comme ( 0) = ( ) = 0, alors on a
Z
0
Z
�00p�dxdt = ¬Z
0
Z
�0p�0¬Z
0
Z
0��0 (3.29)
D’autre part, on remarque que
¬Z
p��� =
Z
r (p�) �r�d
comme conséquence de la formule de Green (1.3) et du fait que � = 0 sur �.
Donc
¬Z
0
Z
p��� =
Z
0
Z
r� �r�d +
Z
0
Z
�r �r�d (3.30)
De (3.28), (3.29) et (3.30), on obtientZ
0
Z
jr�j2 =
Z
0
Z
j�0j2 +
Z
0
Z
0��0¬Z
0
Z
�r �r� (3.31)
puisque ( ) = 0 dans (n)� ]0 [.
On a Z
0
Z
j�0j2 �
Z
0
Z
j�0j2 �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� (3.32)
car 2 11 ().
Par ailleursZ
0
Z
0��0 � 1
2
Z
0
Z
(0�0)2 +
1
2
Z
0
Z
j�j2
�
2
Z
0
Z
j�0j2 + 1
2
Z
0
Z
j�j2
cela implique que Z
0
Z
0��0 �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� (3.33)
de (3.31), (3.32) et (3.33), on obtientZ
0
Z
jr�j2 �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� +
����Z
0
Z
�r �r�d
���� (3.34)
3.2. L�inégalité inverse 51
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
D’autre part, grâce à l’inégalité jj � 2
2+
2
2, on a
����Z
0
Z
r �r��
���� =
����Z
0
Z
rp
pr��dxdt
����� 1
2
Z
0
Z
jrj2
j�j2 +
1
2
Z
0
Z
jr�j2
alors ����Z
0
Z
�r �r�d
���� �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� +
1
2
Z
0
Z
jr�j2 (3.35)
donc, d’après (3.34) et (3.35), on aZ
0
Z
jr�j2 �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
�
et par la propriété () de (3.27), on obtient
Z ¬
Z
0
jr�j2 �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� (3.36)
De (3.36) et (3.26), on déduit que
�0 2
10 ()
+���1��2
2()�
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
�
d’où l’inégalité (3.25).
De (3.25) et l’inégalité directe (2.48), chapitre 2, on obtient
Z
�(0)
��
�
�2
¬ �
Z
0
Z
�j�0j2 + j�j2
� (3.37)
Etape 4 : Supposons que (3.17) est fausse. Donc, pour tout 2 N il existe des données initialese�0 e�1 telle que la solution e� de (3.3) correspondant à ces conditions initiales satisfait
e�0 2
10 ()
+���e�1���2
2()�
e�0
2
2(0 ;2())
On définit
=
� e�0 2
10 ()
+���e�1���2
2()
� 12
et
�0 =e�0
; �1 =e�1
; � =e�
3.2. L�inégalité inverse 52
Chapitre 3. Méthode HUM pour la contrôlabilité exacte de l�équation des ondes avec un contrôleinterne
On obtient ������ k�0k
22(0 ;2()) �
1
�0 2
10 ()
+���1��22() = 1
(3.38)
de (3.38), on obtient
lim!1
Z
0
Z
����0���2 = 0 (3.39)
De (3.38), on a aussi des sous suites telles que
�0 �0 dans 10 () et �1 �1 dans 2 ()
La solution � de (3.3) correspondant aux données initiales �0 et �1 a les estimations suivants :����� � est borné dans 1 (0 ;10 ())
�0 est borné dans 1 (0 ;2 ()) (3.40)
L’estimation (3,40) est vrai dans au lieu de . Puis, il existe une sous suite � telle que����� �� � dans 1 (0 ;1
0 ())
�0� �0 dans 1 (0 ;2 ())
(3.41)
Depuis que 10 () � 2 () est compact, les estimations (3,40) et le théorème de compacité
d’Aubin-Lions, on obtient une sous suite � telle que
� ¬! � fortement dans 2¬0 ;2 ()
� (3.42)
D’après (3.39), (3.41)2 et le théorème de Banach-Steinhaus, il en résulte que �0 ( ) = 0 sur
� ]0 [, alors, � ( ) est constant par rapport à dans � ]0 [. Mais, � = 0 sur �0 puisque
� est un solution de (3.3). Donc � ( ) = 0 sur � ]0 [ et par le théorème de Holmgren � = 0
dans . Puis, par (3.42), on obtient
� ¬! 0 fortement dans 2¬0 ;2 ()
�
Ensuite, par (3.37) pour � on trouve
��¬! 0 dans 2 (�0)
Par l’inégalité (2.41), il en résulte que �0 ! 0 dans 10 () et �1 ! 0 dans 2 () ce qui est une
contradiction avec (3.38)2.
3.2. L�inégalité inverse 53
Jacques-Louis LionsJacques-Louis Lions, né le 3 mai 1928 à Grasse et décédé le 17 mai 2001 à Paris.
Il était un très grand mathématicien qui a eu, en France et dans le monde,
un impact profond sur le développement des mathématiques appliquées :
« Ce que j’aime dans les mathématiques appliquées, c’est qu’elles ont pour ambition de donner du
monde des systèmes une représentation qui permette de comprendre et d’agir. Et, de toutes les
représentations, la représentation mathématique, lorsqu’elle est possible, est celle qui est la plus
souple et la meilleure. Du coup, ce qui m’intéresse, c’est de savoir jusqu’où on peut aller dans ce
domaine de la modélisation des systèmes, c’est d’atteindre les limites. »
Jacques-Louis Lions.
Il était un membre de l’Académie des sciences. Il fut maître de conférences puis professeur à la
Faculté des sciences de Nancy (1954-1963), professeur à la Faculté des sciences de Paris
(1963-1972), professeur d’analyse numérique à l’École polytechnique (1966-1986) et enfin
professeur au collège de France (1973-1998). Ses travaux portèrent essentiellement sur la
théorie des équations aux dérivées partielles et leurs applications, et notamment sur des
problèmes variationnels, la théorie du contrôle et des systèmes d’inéquations aux dérivées
partielles.
Jacques-Louis Lions a laissé un grand nombre de travaux mathématiques comme
� J. L. LIONS, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilité. Tome 1 : contrôlabilité exacte,
Masson, 1988.
� J. L. LIONS, Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles,
Dunod et Gauthier-Villars, Paris, 1968.
� J. L. LIONS, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod
et Gauthier-Villars, Paris, 1969.
54
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contrôle, mémoire de Magister, 2012.
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and stabilization of waves from the boundary, SIAM J. Control optim, 1992.
[3] K. BELKACEM, Contrôlabilité des systèmes linéaires de dimension infinie, mémoire de Ma-
gister.
[4] T. BENHAMOUD, Observation d’un système bidimensionnel gouverné par des équations
aux dérivées partielles, mémoire de Magister, 2010.
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2011.
[6] G. CHRISTOL, A. Cot, C. M. MARLE, Topologie, ellipses, Paris, 1997.
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[13] L. D. LEMIE, La formule de Lie-Trotter pour les semi-groupes fortement continus, mémoire
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Tome 1 : Contrôlabilité exacte, Masson, Paris, 1988.
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