MÉCANIQUE DES FLUIDES D . R AKOURY · PLAN DU CHAPITRE Notion de pression dans un milieu fluide...

MÉCANIQUE DES FLUIDES

DR. RAJAA AKOURY

Semestre V Civil – ULFGII

CONTENU DU COURS

Généralités

Partie I: Fluides Parfaits

1- Statique des Fluides (équilibre des fluides au repos)

2- Cinématique des Fluides (étude du mouvement desfluides sans se soucier des causes ou des forces quientrent en jeu)

3- Dynamique des Fluides (étude des forces agissant surun fluide en mouvement)

Théorèmes de Bernouilli, d’Euler, de Blasius…

Partie II: Fluides Visqueux

1- Généralités

2- Cinématique et dynamique des fluides visqueux

3- Ecoulements laminaires et turbulents2

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

MÉCANIQUE DES FLUIDES

II- STATIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Semestre V Civil – ULFGII

PLAN DU CHAPITRE

Notion de pression dans un milieu fluide Classification des forces

Tension en un point

Calcul des forces de pression Sur une surface plane

Sur une surface gauche

Equation fondamentale de la statique d’équilibre Equilibre d’une particule fluide

Cas où les forces de volume dérivent d’un potentiel

Equation fondamentale de l’hydrostatique

Statique des Fluides non pesants

Champ de force autre que la pesanteur: Champ magnétique

Champ de force d’inertie 4

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

DÉFINITION

La Statique des Fluides a pour objectif l’étude del’équilibre des fluides au repos ou des fluidesuniformément accélérés.

Il n’y a pas de contraintes dues au frottement entreles particules. On ne tient pas compte alors de laviscosité du fluide.

Les forces en jeu sont uniquement les forces desurface dues à la pression.

5

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14

NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE

Classification des forces

La résolution d’un problème de Mécanique des Fluides passe parla définition d’un volume (domaine de contrôle D) contenant dufluide, limité par une surface S.

6

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

D

(S)

Deux types de forces sont mis en jeu:• Forces intérieures: les particules du fluide exercent les unessur les autres des forces moléculaires, égales et opposées deux àdeux. Elles forment un système en équilibre.

•Forces extérieures:•Forces de surface concernant les particules voisines de lasurface (paroi) S: forces de pression…•Forces de volume appliquées sur l’ensemble desmolécules du fluide situées à l’intérieur du domaine: champde la pesanteur, champ magnétique, champ électrique…


Tension en un point du fluide

Soit M un point sur la paroi de D, entouré d’une surfaceélémentaire dS. Soit le vecteur normal à la paroi.

7

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Le système des forces se limite au point M à une force dF (etun couple dC infiniment petit).

On définit le vecteur tension (ou simplement la tension) aupoint M par:

n’est pas nécessairement colinéaire à

dSM


TENSION EN UN POINT DU FLUIDE

8

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Dans le plan (en 2D):

admet deux composantes: tangentielle et normale

La composante normale Tn est la pression au point M.

La pression désigne alors la force par unité de surfacequi s’exerce perpendiculairement à un élément desurface dS.

dSM

ou bien



9

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Dans l’espace (en 3D):

En un point M d’un milieu continu de fluide, lestensions sur les éléments de surface de différentesorientations ne sont pas indépendantes. Pour lesrelier, on prend un domaine de référence qui est letétraèdre infiniment petit.

admet 3 composantes selon les 3 surfacesélémentaires du tétraèdre.

étant le vecteur normal unitaire à dS,

Alors x

z

y

dSx

dSy

dSz

dS



10

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14Alors

x

z

y

dSx

dSy

dSz

dS



11

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Chaque composante peut être projetée selon les 3 axes :

Projection de selon l’axe des x =

selon l’axe des y =

selon l’axe des z =

Projection de selon l’axe des x =

selon l’axe des y =

selon l’axe des z =



12

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Les composantes normales Tii

sont notées par:

Les composantes tangentielles Tij=Tji

(symétrie) sont notées par:

Sous forme matricielle:



13

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14: Tenseur scalaire des contraintes au point M.

En rapportant l’espace à 3 axes orthogonaux, le vecteur tension en un point M sur un élément de surface dS sera déterminé par:

1. L’orientation de dS ( )2. Le tenseur des contraintes défini par les 6 termes ni et ti , i=1,2,3



14

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A noter qu’on peut décomposer le tenseur de la manière suivante:

Où est un tenseur de trace nulle

On a donc:

Cette décomposition permet alors de reformuler la contrainte :



15

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Il apparaît alors deux termes dans l’expression de la force:

Le premier terme correspond évidemment à une force purement normale { la surface: on peut facilement l’identifier { la force de pression. En d’autres termes:

Avec :

Nulles dans le cas d’un fluide (parfait ouréel) au repos ou uniformément accéléré, ou bien un fluide parfait en mouvement



En statique (repos ou mouvement uniformément accéléré), et dansle cas de fluide parfait en mouvement, seules interviennent lesforces de pression (normales à la paroi). Les forces tangentiellesn’apparaissent qu’en dynamique des fluides visqueux. Ellescorrespondent aux frottements visqueux des couches fluides enmouvement les unes par rapport aux autres et par rapport à laparoi.

Considérer un fluide comme parfait est équivalent à poser que lesforces de surface sont toujours uniquement des forces de pression:elles sont normales aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent.

16

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



La pression est toujours indépendante de la surface et de l’orientation de cette surface.

17

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

dS1M dS2M

mais



Un fluide parfait est un fluide qui, même en mouvement, neprésente pas de forces de surface tangentielles (contraintes decisaillement dues à la viscosité). Il en résulte qu'un fluideparfait est un fluide dont la viscosité est supposée nulle. Pour unfluide réel ces conditions ne sont vérifiées que s'il est au reposou uniformément accéléré.

18

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

1

2

1

2

1

2

1

2

Fluide réelen mouvement

Fluide parfait en mouvement

Fluide réel ou parfaitAu repos

Fluide réel ou parfait uniformément accéléré

Forces de surface Normales


CALCUL DES FORCES DE PRESSION

Calcul des forces de pression des fluides sur unesurface Soit un élément de surface dS entourant un point M situé à la

profondeur z par rapport au niveau de surface libre.

19

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

M

zdF

La force élémentaire (normale à dS) s’exerçanten M à une profondeur z est donnée par :

En général, on néglige la pression atmosphérique ; on s’intéressealors à la force élémentaire effective


CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Calcul des forces de pression sur une surface plane Soit une surface plane AB inclinée d’angle q par rapport à

l’horizontale, et immergée dans un fluide de massevolumique r.

Les pressions sont normales à la paroi.

Les forces élémentaires sont toutes parallèles. Le système deforce est donc équivalent à une force unique.

On peut calculer son intensité et son point d’application.

20

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A

B

zAzB



Calcul de la résultante des forces de pression

21

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A

B

zAzB

GP

zPzG

En tout point entouré d’une surface élémentaire dS à une profondeur z :

La résultante des forces élémentaires est donc:

Pour un fluide incompressible:

Où S est la surface plane entre A et B; et zG est la profondeur du centre de gravité géométrique de la surface AB .



Calcul de la position du point d’application

22

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

On cherche à calculer la profondeur zP dupoint d’application de la force de pression.

Moment élémentaire en un point de AB:

A

B

zA zB

GP

zPzG

O

Pour cela, on calcule le moment des forcesélémentaires par rapport à un axe perpendiculaire auplan passant par le point O.

D’autre part, le moment est égal au produit de la résultante des forces par le bras du levier (OP):

Moment d’inertie

Moment Statique



23

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A

B

zA zB

GP

zPzG

O

= au moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par O.

Moment d’inertie

Moment Statique

Théorème de Huygens:

Où est le moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axepassant par son centre de gravité G. Alors:

Connu pour des formesgéométriques particulières

Le point d’application P est donc toujours plus bas que le centre de gravité.



La résultante des forces de pression sur une surfaceplane pour un fluide incompressible en équilibre estégale au poids d’une colonne de fluide ayant pourbase la surface S de la paroi, et pour hauteur laprofondeur du centre de gravité:

24

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A

B

GP

zPzG

Le centre de poussée est toujours situé plus basque le centre de gravité de la surface plane :



Formulaire de surfaces, barycentres et moments d’inertie

25

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



Formulaire de surfaces, barycentres et moments d’inertie

26

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



Application

Soit une plaque plane AB rectangulaire (hauteur H et largeur 1), verticale, retenant une hauteur d’eau H.

Représenter le diagramme de pression.

Calculer la résultante F des forces de pression.

Situer son point d’application.

Reprendre l’exercice dans le cas d’une plaque circulaire de diamètre H.

27

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

A

B

H


CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE

Calcul des forces de pression sur une surface Gauche

La complication pour une surface courbe tient au fait quela normale sortante n’est plus constante sur la surface.

Les forces élémentaires ne sont plus parallèles.

Dans ce cas :

28

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Puisque le vecteur est différent enchaque point M de la surface, on peutécrire que ses 3 composantesdépendent de M:



Le système n’est plus équivalent à une force unique.

Il faut considérer indépendamment chacune des 3composantes de la résultante selon les 3 directions:

29

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Selon la forme de la surface, les expressions des composantes duvecteur normal peuvent être plus ou moins compliquées, de mêmeque le calcul des intégrales.



Une autre solution est d’utiliser les règles généralessuivantes: La composante horizontale Fx de la résultante des forces de

pression appliquée à une surface gauche quelconque S estégale à la poussée hydrostatique qui s’exerce sur la projectionSx de la surface S sur un plan perpendiculaire à l’axe des x.

Idem pour la composante horizontale selon y.

La composante verticale Fz de la résultante des forces depression appliquée à une surface gauche quelconque S estégale au poids d’une colonne verticale de fluide, ayant pourbase la surface S, pour génératrice la verticale, s’appuyant surle contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plande surface libre. 30

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14



La composante horizontale Fx de la résultante des forces de pressionappliquée à une surface gauche quelconque S est égale à la pousséehydrostatique qui s’exerce sur la projection Sx de la surface S sur un planperpendiculaire à l’axe des x.

31

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

x

Surface non horizontale = Somme algébrique

de la projection des surfaces



La composante verticale Fz de la résultante des forces de pression appliquéeà une surface gauche quelconque S est égale au poids d’une colonneverticale de fluide, ayant pour base la surface S, pour génératrice la verticale,s’appuyant sur le contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plande surface libre.

32

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CAS PARTICULIER D’UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE

Force hydrostatique appliquée sur un objet immergé:

On considère une surface fermée S constituant un corpssolide immergé dans un fluide au repos.

La valeur algébrique de la projection de S sur un axehorizontale est nulle. La surface n’est pas donc soumise àune force horizontale.

33

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

x

et



Concernant la composante verticale, les pressions (orientéesvars le haut) qui s’appliquent sur la partie inférieure du corpssont plus importantes que celles (orientées vers le bas) de lapartie supérieure.

La composante verticale des forces de pression est égale etopposée au poids du fluide contenu à l’intérieur de la surface:C’est la poussée d’Archimède.

34

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



En plus de son poids, un corps solide immergé dans un fluideau repos est soumis à la poussée d’Archimède:

La poussée d’Archimède est une force orientée de bas en haut,dont la norme est égale à celle du poids du volume de fluide, etdon’t le point d’application est le centre de gravité du volumeimmergé.

C’est cette poussée qui est responsable du fait que certainsobjets flottent et que d’autres coulent.

35

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE

Equilibre d’une particule fluide:

Soient un système d’axes (O,x,y,z) et un volume de fluideélémentaire :

On considère que le fluide est en équilibre sous l’actiondes forces de pression sur les 6 faces, et d’un champ deforces (champ de pesanteur par exemple).

36

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Face Sz

Face Sz+dz

Face Sx

Face Sx+dx

Face Sy

Face Sy+dy


EQUILIBRE D’UNE PARTICULE FLUIDE

Bilan des forces appliquées à l’élément de fluide:

Champ de forces (par unité de masse) :

Forces de pression sur les 6 faces:

Sur la face Sx :

Sur la face Sx+dx :

Alors , par développement au premier ordre :

De la même manière, les résultantes des forces de pression selonles axes y et z sont:

37

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14

Face Sz

Face Sz+dz

Face Sx Face Sx+dx

Face Sy

Face Sy+dy


EQUILIBRE D’UNE PARTICULE FLUIDE

La particule de Fluide étant en équilibre, alors :

Les forces de pression:

Le champ de forces, par unité de force:

Ainsi:

38

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Équation fondamentalede la statique des fluides

Par unité de volume

Par unité de masse


CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE

Considérons un champ de Forces dérivant d’unpotentiel :

est appelé potentiel de et est homogène à uneénergie.

À noter que ; le travail de la force entredeux points A et B est alors donné par:

Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentielaux points A et B. Il est indépendant du chemin suivi. Ondit qu’une telle force est conservative.

39

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



En effet, la variation de l’énergie cinétique est égale autravail de la force :

D’autre part

Alors

La somme de l’énergie cinétique et du potentiel seconserve. Cette somme est l’énergie mécanique dusystème. U correspond à l’énergie potentielle: c’estl’énergie qui peut potentiellement se transformer enénergie cinétique.

40

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



À noter que le signe de l’égalité veutdire que est dirigé dans le sens de U dU.

Dans le cas où dérive d’un potentiel U, l’équationfondamentale de la statique, par unité de volume,s’écrit:

41

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



Propriétés des surfaces équipotentielles: ( U constant)

Les surfaces équipotentielles sont confondues avec lessurfaces isobares, mais varient dans le sens contraire:

Les surfaces équipotentielles son également isovolumes(masse volumique constante) et isothermes (températureconstante).

42

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14

;

;

;



Quelques remarques :

Si le fluide est isovolume ( ), alors:

Si est une fonction de la pression ( ) , alors:

Si, en plus, , alors

N.B.: Un fluide ne peut être en équilibre que si les forces devolume dérivent d’un potentiel. 43

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14

Équation fondamentale de la statique des fluides

EQUATION DE LA STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE

LA PESANTEUR : HYDROSTATIQUE

Hydrostatique: Statique des fluides incompressibles(masse volumique constante) dans le champ de lapesanteur.

Dans ce champ, . Alors

On peut choisir un système d’axes où la constanted’intégration est nulle; alors .

L’équation fondamentale de la statique permetd’écrire:

44

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Équation fondamentalede l’hydrostatique

PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE

CONSÉQUENCES

Les surfaces équipotentielles sont des surfacesisobares. Ce sont donc des plans horizontaux.

Tous les points d’un même fluide situés dans unmême plan horizontal sont à la même pression.

La surface libre d’un liquide, qui est le lieu des pointsà la pression atmosphérique, est un plan horizontal,et cela quelle que soit la forme du récipient.

45

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CONSÉQUENCES

La surface de séparation de deux liquidesincompressibles différents non missibles est unesurface horizontale.

A une profondeur élevée h dans l’eau (fluideconsidéré incompressible), la pression augmentelinéairement avec la profondeur.

46

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CONSÉQUENCES

Application aux fluides compressibles dans le champ de la pesanteur:

On considère un gaz parfait à température constante. (par exemple l’atmosphère isotherme).

Équation d’état des gaz parfaits :

Équation fondamentale de la statique:

47

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Masse molaire

r dépend de P Compressibilité

K se définit pour un niveau de référence fixé


CONSÉQUENCES

Fluides compressibles/incompressibles

48

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CONSÉQUENCES

La différence de pression entre deux pointsquelconques d’un fluide en équilibre est égale aupoids d’une colonne de fluide de section unité etayant pour hauteur la dénivellation entre les deuxpoints.

.......... Poussée d’Archimède .......... 49

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CONSÉQUENCES

Paradoxe Hydrostatique: La force de pressions’exerçant sur le fond d’un récipient contenant unfluide en équilibre est égale au poids de la colonne deliquide au dessus du fond, et ceci quelle que soit laforme du récipient.

50

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


CONSÉQUENCES

Les fluides incompressibles transmettent intégralementles variations de pression. Si Sb est plus grande que Sa, la force qui s’exerce sur le piston a se

trouvera amplifiée au niveau du piston b.

51

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


APPLICATIONS

Iceberg

Calculer la fraction immergée du volume total Vd’un iceberg sachant que la masse volumiquede l’eau de mer est de 1025 Kg/m3 et celle dela glace 920 Kg/m3.

Ballon d’hélium

Un ballon gonflé avec de l’hélium de massevolumique 0,178 Kg/m3, a un volume V=100litres. Quel poids Ps peut-il soulever sachantque la masse volumique de l’air est de 1,29kg/m3?

52

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS

C’est la statique des fluides dans le cas où la variationde pression dues au champ de la pesanteur sont faiblespar rapport à la pression elle-même.

C’est le cas par exemple des écoulements à grandepression dans des tuyaux fermés. On néglige le poidsdu fluide par rapport à la pression, souvent supposéeuniforme dans l’ensemble du fluide.

53

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


Dans ce cas aussi, la force élémentaire est .

Selon la direction x :

54

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

est la projection de dS selon un axe perpendiculaire à l’axe des x

La résultante des forces de pressionsuivant une direction sur une surfacegauche est soumise à une pressionuniforme qui s’exerce sur la projectionde la surface perpendiculairement àcette direction.


APPLICATION

Effort de pression à l’intérieur d’une conduite circulaire

Soit une conduite métallique circulaire de diamètre D=2Rsoumise à une pression P.

Le métal effectue une force dite de cohésion f qui s’oppose à cette pression.

Exemple: Déterminer l’épaisseur d’une conduite pour unepression P=300 m d’eau si f=10 kgf/mm2 et D=0,5m.

55

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14P

D

e

Pression

Cohésion

Épaisseur

Rayon

CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR

Le cas le plus courant concerne les forcesgravitationnelles mais on peut aussi avoir àconsidérer par exemple :

les forces d’inertie

les forces électromagnétiques

56

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES

Cas de fluide conducteur de l’éléctricité dans un champmagnétique

Un fluide conducteur possède en son sein des atomesneutres, ainsi que des charges positives (ions positifs) etdes charges négatives (ions négatifs + des électrons libress’il s’agit d’un plasma).

Lorsqu’un tel fluide en mouvement uniforme traverse unchamp magnétique, un champ électrique est induit, lequelengendre des courants électriques. Ces courantsinteragissent avec le champ magnétique et produisent desforces qui influencent à leur tour le mouvement du fluide.C’est le domaine de la magnétohydrodynamique (MHD)

57

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES

Lorsque le fluide est au repos et le champ est constant, iln’y a pas de force électromagnétique, et l’équilibrehydrostatique n’est pas modifié.

Le fluide sera siège de courant électrique et de forceélectromagnétique s’il existe un mouvement relatif entrele fluide et le champ ou si le champ varie avec le temps.

La force électromagnétique qui s’ajoute à l’équationfondamentale de la statique est :

58

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Force de LorentzCharge de la particule

Vitesse de la particule

Champ magnétique


FORCES D’INERTIE

Fluide soumis à des champs de force d’inertie

Si le fluide est au repos dans un système de référenceparticulier lui-même en mouvement par rapport à unsystème d’axes absolu, on considère que nous sommes enéquilibre stable et qu’on peut appliquer l’équation de lastatique des fluides, à condition de prendre en considérationles forces d’inertie correspondants au mouvementd’entraînement.

Liquide dans un réservoir en mouvement, préparé par Roy Beainy,2012

Liquide en rotation, préparé par Georgio Irani, 2012.

59

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14


FORCES D’INERTIE (1)

On considère un fluide soumis à un champ d’inertiereprésenté par une accélération

Le fluide est donc soumis à une force par unité de massedonnée par :

L’équation de la statique se projette selonles 3 axes :

60

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



En intégrant les 3 équations précédentes dans le casd’un fluide incompressible, la pression sera expriméepar:

Si , on retrouve l’équation fondamentalede l’hydorstatique.

Les surfaces isobares (P=cte) sont des plans parallèles àla surface libre d’équation générale:

61

Dr. R

ajaaA

kou

ry–

20

13

-20

14



Applications directes:

Réservoir rempli de liquide, placé sur une locomotive enmouvement.

Réservoir qui sert à transporter des liquides dans une mine.

Brouette remplie de liquide ...

Quelle est l’inclinaison du liquide dans le réservoir? Quelle estl’accélération maximale pour éviter tout débordement? Si cetteaccélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant ? 62

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



On considère un réservoir contenant un liquide pesanthomogène, tournant en mouvement uniforme autourd’un axe z avec une vitesse angulaire w. Les forcesd’inertie qui résultent de l’accélération centripète sontles forces centrifuges de valeur .

63

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14



Par unité de masse, la force appliquée au fluide estdonnée alors par (en coordonnées cylindriques ):

Projettons l’équation fondamentale de la statique

64

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

Force d’inertie d’entraînement

Poids



En intégrant les 3 équations précédentes dans le casd’un fluide incompressible, la pression sera expriméepar:

Les surfaces isobares sont donc des paraboloïdesd’équation générale:

Quelle est la hauteur du sommet du paraboloïde? Quelle est la vitessede rotation maximale pour éviter tout débordement? Si cetteaccélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant ?

65

Dr. R

ajaa Ako

ury –

20

13

-20

14

MÉCANIQUE DES FLUIDES D . R AKOURY · PLAN DU CHAPITRE Notion de pression dans un milieu fluide...

Documents

Transcript of MÉCANIQUE DES FLUIDES D . R AKOURY · PLAN DU CHAPITRE Notion de pression dans un milieu fluide...