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METICHE MEHDI Matre Assistant Charg de cours

MECANIQUE DES

FLUIDES APPROFONDIE

ECOULEMENTS VISQUEUX, TURBULENCE, COUCHE LIMITE ET ECOULEMENTS TRANSITOIRES

EXERCICES RESOLUS

Centre Universitaire de Bchar Octobre 2004

A

B C

D

dx

u

U

x

MECANIQUE DES FLUIDES APPROFONDIE

ECOULEMENTS VISQUEUX, TURBULENCE, COUCHE

LIMITE ET ECOULEMENTS TRANSITOIRES

EXERCICES RESOLUS

METICHE MEHDI Matre Assistant Charg de cours

Centre Universitaire de Bchar (Algrie)

A Amira .. Signe de reconnaissance ; Une autre fois encore.

SOMMAIRE

Avant propos----------------------------------------------------------------------------

1

Ecoulements Visqueux----------------------------------------------------------------

2

La Turbulence--------------------------------------------------------------------------

19

La Couche Limite----------------------------------------------------------------------

24

Ecoulements Transitoires------------------------------------------------------------

47

Rfrences bibliographiques---------------------------------------------------------

72

Avant propos

Mcanique des fluides approfondie : Exercices rsolus

1

AVANT PROPOS

Le prsent manuel intitul Mcanique des Fluides Approfondie : Exercices Rsolus ;

est ralis suivant le programme du module TEC058, portant le titre de lHydraulique

Avance appartenant au cursus de formation de lIngnieur Hydraulicien.

Le travail est le fruit denseignement du module pendant quatre ans au niveau de

lInstitut dArchitecture, de Gnie Civil et dHydraulique, au niveau du Centre Universitaire

de Bchar. Il comporte alors aussi, les examens rsolus du module.

Son utilit apparat sur son contexte de prsenter des exercices rsolus pour des sujets

dont de tels sont un peu rares. En plus des ingnieurs hydrauliciens, il peut servir aussi la

formation des ingnieurs mcaniciens, chimistes et physiciens, comme il forme un outil

intressant pour les tudiants de poste graduation des diffrentes spcialits prcites, vu le

manque flagrant des ouvrages de ce genre.

Quatre sujets fondamentaux y sont traits : les coulements visqueux, la turbulence, la

couche limite, et les coulements transitoires, dont plus de soixante (60) exercices sont

prsents, exposs, traits et rsolus dune manire dtaille et exhaustive.

Ecoulements visqueux


2

ECOULEMENTS VISQUEUX Exercice 1 : Donner lquation de mouvement dun coulement permanent, irrotationnel, pour un fluide incompressible pour : - un fluide rel ? - un fluide parfait ? Solution : Pour un fluide rel, lquation dEuler scrit :

VgpgradpgradVVrottV ++=

++ .

21

Pour un coulement permanent, nous avons : tV = 0

Pour un coulement irrotationnel, nous avons : Vrot =0 Avec )()()( VgraddivVdivgradVrotrot = On admet que la force de pesanteur drive dun potentiel U : Ugradg =

)21( 2Vgrad = VUgradpgrad ++

VVgradpgradUgrad =++ .)

211( 2

VVpUgrad =++ .)

211(. 2

On a : U = -g.z VVpgzgrad =++ .)

211(. 2

Pour un fluide parfait, nous avons : = 0 0)

211(. 2 =++ Vpgzgrad



3

teConsVpgz tan211 2 =++

Divisant les deux termes de lquation par g ; nous aurons :

CteVg

pz =++ 221

Cette dernire nest autre que lquation de Bernoulli. Exercice 2 : Etablir lquation de mouvement dun coulement permanent dun fluide rel incompressible se produit entre deux plaques planes lisses parallles ? (Ecoulement monodimensionnel suivant x)

Solution : Lquation dEuler scrit :

Suivant x : uxp

zuw

yuv

xuu

tu +

=+

++

).(

Suivant y : vyp

zvw

yvv

xvu

tv +

=+

++

).(

Suivant z : wzp

zww

ywv

xwu

tw +

=+

++

).( On a aussi coulement monodimensionnel :

==

==

=

==

=

==

==

==

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yw

xw

yw

xw

zv

xv

zv

xv

zw

zw

yv

yv

wv

Et puisque cest incompressible et permanent, on peut crire de lquation de continuit :

x

y

ub



4

==

=

==

==

=

0

022

2

2

tw

tv

tu

zu

xu

zu

yu

xu

Les trois quations dEuler deviennent : 022

=+

yu

xp , 0=

yp , et 0=

zp

xp = 2

2

yu

0=

yp

0=

zp

Qui dmontre que cest un coulement de Couette. Exercice 3 : Un coulement dun liquide de viscosit dynamique = 2.10-2 N.s/m2, sur une plaque plane fixe, est caractris par le profil donn par le schma ci-dessous :

si lpaisseur de lcoulement est e = 5 cm, dterminer la valeur de la contrainte de cisaillement : a- la paroi ? b- une distance de 2 cm de la paroi ? c- une distance e de la paroi ? Solution : Nous avons :

dydu =

Et daprs le profil, on a : tg = yyye

uuyu

eu

40.05,02.maxmax ====

u = 2 m/s

e



5

40=dydu

dydu = = .40 = 2.10-2.40 = 0,8 N/m2

Puisque dydu est constante, la valeur de la tension de cisaillement est constante nimporte

quel point de lcoulement est gale 0,8 N/m2. Exercice 4 : La distribution de vitesses pour un coulement permanent incompressible bidimensionnel est donne par :

+=+=

22

22

yxyv

yxxu

a- montrer que cette distribution satisfait lquation de continuit ? b- montrer que lcoulement vrifie lquation de Laplace si le champ de vitesse drive dun potentiel ? Solution : a- lquation de continuit pour un coulement incompressible bidimensionnel est donne par :

divV = 0 0=+

yv

xu

Et nous avons :

xu = 222

2

22 )(21

yxx

yx +++

yv = 222

2

22 )(21

yxy

yx +++

u = 2 m/s

e



6

divV = yv

xu

+

= 2222

22 )(21

yxx

yx +++ + 222

2

22 )(21

yxy

yx +++ = 222

22

22 )()(22

yxyx

yx ++++

divV = 222yx +

+ 22 2yx ++ = 0

Donc divV = 0 : lcoulement est continu. b- nous avons : vuV += Si le champ de vitesse drive dun potentiel, on peut crire :

u = x

et v = y

V =

x +

y = grad

Nous avons aussi : divV = 0 div( grad )= 0 = 0

22

x + 2

2

y = 0 ; cette dernire est bien vident, lquation de Laplace

Exercice 5 : Le profil de vitesse pour un coulement plan dun liquide, est donn par : V(y) = 3.y3 + 2.y2. Si la viscosit dynamique du liquide est = 3,5.10-2 N.s/m2. Calculer la valeur de la tension de cisaillement la paroi et 30 cm de celle-ci ? Solution : On a :

dydu =

Avec V = 3.y3 +2.y2.

dydV = 9.y2 + 4.y

A la paroi : 00 == ydydu = 3,5.10-2.(9.0 + 4.0) = 0



7

A 30 cm de la paroi : 3,03,0 == ydydu = 3,5.10-2.(9.0,3 + 4.0,3) = 7,035.10-2 N/m2

Exercice 6 : Soit un coulement plan dun liquide de viscosit cinmatique = 5.10-4 m2/s et de masse volumique = 103 kg/m3 sur une plaque plane. Le profil de vitesse est donn par :

V(y) = 21 y3 .

Dterminer la valeur de la tension de cisaillement : - la paroi ? - 7 cm de la paroi ? Solution : On a :

dydV =

Avec 2134 /.5/10.510.10.5. msNmkg ====

2

23 y

dydV =

00 == = yy dydV = 0

7,07,0 == = yy dydV = 5.(3/2.0,072) = 3,67.10-2 N.m2

Exercice 7 : Soit un coulement dont le potentiel des vitesses est donn par : = x2 -2.y y2 avec v = grad Dmontrer que lcoulement est : - bidimensionnel - permanent - continu (vrifiant lquation de continuit) ? Solution : - Nous avons : V(u,v,w)



8

Avec :

u = x

= 2.x v =

y = -2.y-2

w = z

= 0 Il est vidant, que la vitesse ne dpend pas de z : lcoulement est donc bidimensionnel.

- Dautre part, nous avons : tV =

tgrad

=0 Il est vident, que la vitesse ne dpend pas du temps : lcoulement est donc permanent.

- on a aussi : divV = xu +

yv +

zw = 2 2 +0 = 0

Lquation de continuit est vrifie, donc lcoulement est continu. Exercice 8 : Supposant que les composantes du vecteur vitesse sont : u = x2 + z2 v = x2 + y2 Dterminer les composantes du vecteur vitesse suivant la direction z, qui satisfont lquation de continuit ? Solution : Pour satisfaire lquation de continuit, divV = 0.

xu +

yv +

zw = 0

zw = - [

xu +

yv ]

Nous avons : u = x2 + z2 v = x2 + y2

xu = 2.x et

yv = 2.y

zw = - (x + y) w = -2(x + y).z



9

Exercice 9 : Le profil de vitesses pour un coulement plan sur une plaque plane fixe, dun liquide de viscosit dynamique = 10-2 N.S/m2, est donn par : V(y) = y3 + 2.y2 + 5.y Dterminer la valeur de la tension de cisaillement 10 cm de la paroi ? Solution : On a :

dydV =

Et nous avons : V(y) = y3 + 2.y2 + 5.y

5.4.3 2 ++= yydydV

dydV = = 2.10-2.[3.0,12 + 4.0,1 + 5] = 2.10-2.[0,03 + 0,4 + 5] = 10,86. 10-2 N/m2.

= 10,86. 10-2 N/m2.

Exercice 10 : Sur une plaque plane lisse, faisant avec lhorizontal un angle , en mouvement permanent bidimensionnel tabli et sous une paisseur a, coule sous leffet de la pesanteur, un liquide de viscosit . Dterminer le dbit par unit de largeur et la vitesse dbitante (moyenne) ?

Solution : Les quations de Navier-Stokes scrivent 2 dimensions :

x

z

w

u

a



10

Suivant x : ).().( 22

2

2

zu

xu

xp

zuw

xuu

tu g

+

+=

++

Suivant z : ).().( 22

2

2

zw

xw

zp

zww

xwu

tw g

+

+=

++

De lquation de continuit, on crit :

0=+

zw

xu

Lcoulement est permanent : 0=t

Lcoulement est tabli : 0=x

0=

zw

w est nul et u ne dpend que de z, ce qui nous permet dcrire :

xpg

= 22

zu

0=

zpg avec Pg = p + .g.h

zp +

zhg .. =0 soit :

zp + Cosg.. =0

Aprs intgration de cette quation, nous obtenons : p = Coszg ... + f(x) Puisque la pression est constante sur la surface libre : z = a f(x) = 0.

22

zu

=

xp +

xhg .. = 0 - Sing..

En intgrant, nous trouvons :

zu = ASinzg + ...

=u. - BzASinzg ++ ..2

..2

Sur la paroi nous avons : z = 0, u = 0 B = 0 A la surface libre, la contrainte est nulle : z = a :

zu = 0 A = Sinag ...



11

u = )2

..(..2zza

uSing

Le dbit par unit de largeur : qv = a dzu0

. = SingaSinag .

3..

3..

33

= Et la vitesse dbitante (moyenne) sera :

Um = qv / a = Singa .

3.2

Exercice 11 :

Un coulement de Poiseuille (rgime laminaire, u = )(.4

1 22 rRdxdP , dune huile dans un

tube de 12 mm de diamtre, de longueur L, inclin dun angle dont Sin = 0,0445. Si la pression statique lintrieure est constante tout le long du tube, et le dbit mesur gal 20 l/h, dterminer la viscosit cinmatique de cette huile ?

Solution : Si P2 est rfrence des pressions, on crit : P2 = p2 , et : P1 = p1 + SinLg ... P = P1 - P2 = p1 + SinLg ... - p2 A pression statique constante : p1 = p2

P = SinLg ... SingLP ..=

Puisque le rgime est laminaire : dQv = u. drr...2

u

P2

P1

Rr



12

Qv = ==R R DSingrdrrRSingdrrrRdxdpu04

0

2222 ....128

.2)..(...4

1..2)..(.4

1

On a aussi : = avec 4....

.128DSing

QV =

4....128

DSingQV

= = 4.10-5 m2/s . Exercice 12 : Un rcipient cylindrique de 5 cm de diamtre, laisse couler un liquide visqueux quil contient par un tube horizontal de diamtre 1 mm et de longueur 40 cm. Sachant quil a fallu 75 minutes pour que la charge en amont du tube passe de 5 2,5 cm, dterminer la viscosit cinmatique du liquide (on ngligera les effets dus aux extrmits du tube ; lcoulement dans

le tube est permanent de type Poiseuille : qv = 4..

128d

LP

?

Solution : Pour un coulement permanent, on crit : P = hg.. qv = 4

.

..128

dL

hg

De lquation de continuit, on crit :

qv = thS =

thd .

4. 2 =

th .

45. 2 = 4

.

..128

dL

hg

th + hd

Lg .

5.4.

..

128 24

= 0

th = h

Lgd ..

.800

4

= 0

Ou bien : hh = dt

Lgd ..

.800

4

5 cm 2,5 cm

5cm



13

Lintgration de cette quation, donne :

TLgd

hh

..

.800

ln4

2

1

=

=

2

1

4

ln..

800hh

TLgd =

5,25ln

60.75.10.40

10.800

)10(2

43

= 2.10-6 m2/s

= 2.10-6 m2/s = 2.10-2 Stokes Exercice 13 : Soit un tube cylindrique de 3 km de long, de 10 cm de diamtre, parcouru par un liquide de viscosit dynamique = 0,4 Poise. On suppose que la distribution des vitesses dans la section droite du tube est donne par lquation parabolique ).(10 2yyu = en unit CGS. u tant la vitesse la distance y de la paroi ? Calculer : - la force de frottement visqueux par unit de surface contre la paroi ? - la force de frottement visqueux par unit de surface 2 cm de la paroi ? - la force totale de frottement sexerant sur le tube ?

Solution :

1- dydu = = .(10 20.y)

A la paroi, nous avons : y = 0 ; u = 0 y = 10 cm ; u = 0. = .10 = 0,4.10 = 4 dynes/cm2. 2- pour y = 2 cm :

dydu = 10 20.0,2 = 10 4 = 6 .

y

v u



14

dydu = = 0,4.6 = 2,4 dynes/cm2.

3- la surface totale du tube : S = =LD.. 3. .106 La force de frottement sera :

F = S.0 = LDdydu

y

...0

=

= 4.3 .106 = 3,77. 107 dunes = 377 Newtons Exercice 14 : Un rfrigrant est compos dun groupe de 100 tubes cylindriques parallles, de diamtre D = 1 cm et de longueur L = 4 m. A la vitesse V = 2 m/s, on y fait circuler de lhuile ( =900 Kg/cm3, 1 = 3.10-2 Poiseuille lentre et varie jusqu la sortie, cause de refroidissement, pour atteindre 2 = 10-1 Pl ). 1- montrer que lcoulement est laminaire ? 2- donner -pour un tube- la relation ),,,(:)( 21 xLfx avec x la variable longueur entre lentre et la sortie du tube ?

3- lcoulement est de type Poiseuille dont LD

VdxdP .

2)(..32 212

+= , calculer la variation de pression entre lentre et la sortie dun tube ? 4- en dduire la puissance ncessaire W, pour faire couler lhuile dans un tube, ensuite pour lensemble du groupe ? 5- donner la fonction W de n tubes sans tenir compte du diamtre D ? Solution :

1- on a Dmax = DV .. = 2

22

10.310.2.10.9

= 600 < 2000

le rgime est laminaire.

1 2

x

1 2

L

x



15

2- (x) = Lx .( 1 - 2) + 1.

3- P = LD

VdxdP .

2)(..32 212

+= = 4.2

)10.1010.10.3(.01,0

2.32 51522

+ =1,66 bars

4- W = Qv. P = 4 .(10-2)2 .2.1,66.105 = 2610 Wat.

5- W= n. P. Qv = n.32. =+ VDLDV .

4..

2)(.

221

2

nVL )..(..4 212 + W= nVL )..(..4 212 + Exercice 15 : Soit la figure ci-aprs, reprsentant un cylindre plein de rayon R1 lintrieur dun cylindre creux de rayon intrieur R2 et entre lesquels existe un coulement laminaire. 1- lcoulement est de type Couette dont la distribution de vitesse est donne par

2.12 )ln(.

.4CrCr

LPu ++=

Avec

=====

21

2

1

:,:,0

:,0

PPPetRrpouuRrpouru

Etablir la relation donnant le rayon pour lequel la vitesse est maximale ? 2- trouver la loi du dbit volumique de cet coulement annulaire et en dduire la vitesse moyenne de dbit ? Solution :

1- Nous posons : K = L

P.4

= LPP

.421

R1

R2 r



16

C1.lnR1 + C2 K.R12 = 0 Et C1.lnR2 + C2 K.R2

2 = 0

Ce qui donne : C1 =

2

1

22

21

ln.

RRRRK et C2 = K.R12-

2

1

12

22

1

ln

ln).(

RR

RRR

u =

)/ln()/ln().()(

..4 2122

12

222

221

RRRrRRrR

LPP

Le rayon pour lequel, la vitesse est maximale : drdu = 0

-2.Rmax - max2

1

22

21 /ln

R

RRRR = 0 Rmax =

)/ln(.2 21

21

22

RRRR

2- le dbit volumique scrit comme :

Qv = = 21

2

1

.2..R

R

R

R

rdrudAu

Qv = 21

R

R

)/ln(

)/ln().()(

..4 2122

12

222

221

RRRrRRrR

LPP

rdr.2.

Qv =

])/ln()().[(.

..8).(

12

21

222

12

22

12

221

RRRRRRRR

LPP

La vitesse moyenne sera :

V = ).( 21

22 RRQ

AQ VV

= =

)/ln()(.

..8)(

12

21

222

12

221

RRRRRR

LPP

Exercice 16 : Un viscosimtre cylindres coaxiaux a les dimensions reprsentes sur la figure en ci-dessous. On se propose de calculer la viscosit dynamique du liquida existant entre les deux cylindres, sachant que le couple mesur C vaut 9.103 dynes = 9.10-4 N. On donne :



17

R1 = 77 mm, R2 = 80 mm, e = 3 mm.

L = 200 mm, a = 4 mm, f = )/1(302sec/

301 sondeTours =

La vitesse de Couette est donne par :

]..

)..(.[12

22

1222

12

2

frRRRfr

RRV =

Solution : Le couple C1 cre par les surfaces latrales est donn par :

C1 = F.R2 = .S. R2 = .2 . R2. R2 = 22.2.. 2 RrV

Rr =

Avec V = R2.f

C1 = 21

22

21

22 .....4

RRRRfL

Pour le couple C2 du au fond du cylindre, il est donn par : dC2 = r.Df = r. .Ds o : contrainte tangentielle au fond du cylindre et dS = 2 .rdr

dC2 = r. . 2 .rdr = drrrVr ..2...

avec = afr

aV

rV .... == car : V = r.f

dC2 = drra

fdrrafrr 3....2..2.... =

L

a

R2

r

e R1



18

C2 = 10

R

drra

f 3....2 = 4

....24

1Ra

f Le couple total mesur sera : C = C1 + C2

C = 21

22

21

22 .....4

RRRRfL + 4.

...2 41Ra

f = ]4

...2.[..24

12

12

2

21

22

aR

RRRRLf +

= C / ]

4...2.[.2

41

21

22

21

22

aR

RRRRLf + = 0,199 Poise.

La Turbulence


19

LA TURBULENCE Exercice 1 : Dmontrer, pour un coulement turbulent que : a- '... ' VUVUVU += b- )(tU = U c- WVU .. = U .V .W + '''''' ...... VUWWUVWVU ++ + ''' .. WVU Solution : a- ''.'.'..''.'.'..)').('(. VUVUVUVUVUVUVUVUVVUUVU +++=+++=++= = '.'.''.. VUVUVUVU +++ Et puisque 0.''. == VUVU '... ' VUVUVU += b- )(tU = '' UUUU +=+ = 'UU + Et puisque 0'=U )(tU =U c- WVU .. )').(').('( WWVVUU +++= ''.'.'.'.''..'..'.'..'.'.... WVUWVUWVUWVUWVUWVUWVUWVU +++++++= ''.'.'.'.''..'..'.'..'.'.... WVUWVUWVUWVUWVUWVUWVUWVU +++++++= Et puisque 0'...'.'.. === WVUWVUWVU WVU .. = U .V .W + '''''' ...... VUWWUVWVU ++ + ''' .. WVU

La Turbulence


20

Exercice 2 : Montrer pour un coulement de leau 15 C dans une conduite circulaire de diamtre D, que la condition de la turbulence du rgime dcoulement est conditionne par :

V > D

0026,0 , tout en considrant que le nombre de Reynolds critique est de 2300 ?

Montrer que pour un diamtre de lordre de 1 cm, le rgime turbulent est assur pour des vitesses V > 0,3 m/s ? Solution :

On a : 2.000221,0.0337,010178,0

tt ++= A 15 C : = 1,14.10-6 m2/s

Et on a : :2300. >= DV condition de la turbulence.

V > DDD

0026,010.14,1.2300.2300 6 ==

V > D

0026,0

Pour D = 1 cm V > 0,26 m/s Pour V > 0,3 m/s : le rgime turbulent est suffisamment assur. Exercice 3 : Dmontrer pour un coulement turbulent dun fluide incompressible, que lquation de continuit scrit :

xu ' +

yv ' +

zw ' = 0 ?

Solution : Pour un fluide incompressible : divV = 0,

0=+

+

zw

yv

xu 0)'()'()'( =

++++

+z

wwy

vvx

uu

++

+

zw

yv

xu 0''' =

++

zw

yv

xu

La Turbulence


21

Et puisque 0==

=

zw

yv

xu

0''' =+

+

zw

yv

xu

Exercice 4 : Dmontrer que pour un coulement turbulent :

1- 0=

tu

2- yuv

yuv

yuv

+

= ..

3- 2

22 uuu += Solution :

1- tu

tu

tu

+

= ' =

tu

tu

+

' = tu +

tu '

Et puisque 0=

tu et 0

'

=

tu

0=

tu

2- yuv

yuv

yuv

yuv

yuuvv

yuv

+

++

=++=

''.'.'..)'().'(

= yuv

yuv

yuv

yuv

++

+ ''.'..'.

Et puisque 0'' ==

yuv

=yuv

yuv

yuv

+ ''..

3- '..2')').('(. 22

uuuuuuuuvu ++=++=

La Turbulence


22

Et puisque 0'.'.. == uuuu 222 uuu += Exercice 5 : Comparer entre le tenseur des tensions visqueuses dun coulement laminaire, et un coulement turbulent pour un fluide incompressible ? Solution : Pour un fluide incompressible, nous avons : div(V) = 0. Le tenseur des tensions sexprime comme :

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Pour un coulement laminaire, les lments du tenseur scrivent comme :

xup

xudivVp xxxx

+=+= 2.2..

32

yvp

yvdivVp yyyy

+=+= 2.2..

32

zwp

zwdivVp zzzz

+=+= 2.2..

32

).(xv

yu

yxxy +

==

).(xw

zu

zxxz +

== ).(

yw

zv

zyyz +

== Pour un coulement turbulent, les lments du tenseur scrivent comme :

2'..2 uxupxxx ++=

2'..2 vyvpyyy ++=

2'..2 wzwpzzz ++=

).(xv

yu

yxxy +

== + - ''.. vu

La Turbulence


23

).(xw

zu

zxxz +

== + - ''.. wu ).(

yw

zv

zyyz +

== + - ''.. wv Le tenseur des tensions visqueuses dun coulement turbulent comme est prsent, est la somme du tenseur dun coulement laminaire et le tenseur de Reynolds. Car le tenseur de Reynolds scrit comme :

2'.uxx = 2'.vyy = 2'.wzz =

== yxxy - ''.. vu == zxxz - ''.. wu == zyyz - ''.. wv

La Couche limite


24

LA COUCHE LIMITE Exercice 1 : Une plaque plane de 3 cm de longueur, et de 30 cm de long est remorque paralllement elle-mme dans le sens de sa longueur dans leau la vitesse de 6 m/s. Dterminer la force de frottement sexerant sur lune des faces de la plaque, et la force sexerant sur les trois premiers mtres de la plaque ? On donne ./10 26 sm= Solution :

Nous avons : LU

L.= = 610

30.6 = 1,8.10

8

Le coefficient de frottement moyen est : Pour 710> on admet que pour une plaque plane lisse parallle U de longueur L : Cx = 0,455. 58,210 )(log

L Cx = 310.965,18,231

455,0 = Et nous avons lair dune face de la plaque : S = 3.30 = 90 m2. La force sexerant sur une face :

F = Cx. 2..

2US = 1,965.10-3.90.1000.36/2 = 3183 N. Si le nombre critique de transition correspond 510.5= La position de la ligne de transition est situe la distance x du bord dattaque :

510.5 = xU . = 610

.6 x x = 0,083 m. En ngligeant linfluence du frottement dans la couche limite laminaire (x = 0,083 m) Cx sur les 3 m de la plaque : Cx = 0,455. 58,210 )(log

L Avec

LUL

.= = 61030.6 = 1,8.10

8

Cx = 2,74.10-3. La force de frottement sur S :

La Couche limite


25

S = 3.3 = 9 m2

Fx = Cx. 2..

2US = 2,74.10-3.9.1000.36/2 = 444 N. Exercice 2 : Dans lcoulement laminaire dun fluide sur une plaque mince et plate, on admet que la distribution des vitesses dans la couche limite rpond lquation :

).2

( ySin

Uu =

Avec : U : vitesse du fluide libre (coulement) u : vitesse la distance y de la paroi : paisseur de la couche limite. 1- calculer latralement : xlocalFfxlxxx etCCH ,,,,,, ? 2- on donne : U = 15 m/s L = 4.10-2 m. = 10-6 m2 /s = 1,2 kg/m3.

)..(212 CosxSinxxxdxSin =

Solution : 1-

a- 0== ydydu =

2..).

2(.

2.. 0 U

yCosU y ==

= 0

* ).1( dyUu = dyySin .).

2(1

0

=

0).

2(.2 yCos+

=*

2)0

2.(2 =+ CosCos = 0,363.

b- = 0

).1( dyUu

Uu = 0 )]..2(1[)..2( dy

ySinySin = 0 )..2( dyySin - 0

2 )..2

( dyySin

On a aussi : )..(212 CosxSinxxxdxSin =

)..(212 CosuSinuuuduSin =

La Couche limite


26

= -

0).

2..

2.

2.(

21.20

2.2

yCosySinyCosCos =

=

)00()02

(.2

=

.137,0)

212.(

22 ==

= .137,0

c- local = =dxdU .. 2 =

dxdU .137,0.. 2 .U.

.2

local = 137,0..2

Udxd =

Udxd .931,22)(

2

=

U

x..931,222 = , multipliant le deuxime terme de cette quation par x/x, nous obtenons :

22

2 .931,22.

..931,22 xxU

xx

== 789,4.x

x=

= = 789,4..137,0 xx

x

x.656,0

Et * devient : =*x

x.738,1

d- H = 649,2*

=

e- Cf = xdx

d=656,0.2

f- CF = LL

= 312,1.2 Et local devient :

local = xUUU x /...328,02...

.2.. ==

2- application numrique :

510.6=L ; mmL 247,0= ; mmL 0897,0* = mmL 0338,0= ; CF = 1,694.10-3 ; Cf = 8,468.10-4.

La Couche limite


27

Exercice 3 : Un filtre nid dabeilles, plac en avant du collecteur dune soufflerie, est constitu de mailles carres dont le cot est de 3 m, la profondeur des lamelles dans le sens de la vitesse est de 4 cm. On suppose que chaque lamelle se comporte comme une plaque plane la vitesse U = 15 m/s. Les caractristiques de lair sont : = 1,2 kg/m3 et = 15.10-2 St. a- montrer que la couche limite nest pas en rgime totalement turbulent ( eL < 5.105) ? b- calculer lpaisseur de la couche limite ? c- en dduire les valeurs de l , , Cf, CF, local ? d- calculer la somme des forces de frottement sur les quatre faces dune maille ? e- quelle est la chute de pression, la traverse du filtre, pour une maille ? f- en dduire le coefficient de perte de charge singulire pour ce filtre ? Solution :

a- 5462

10.510.410.1510.4.15. >===

LU

eL

b- mmL

eL

928,010.2

10.4.646,4.646,42

2

===

c- mm348,0.375,01 ==

mm129,0.139,0 ==

Cf = 32 10.23,310.2646,0646,0 ==eL

CF = feL

C.210.46,6292,1 3 ==

local = 436,010.928,0.22,1.15.10.15.3

.2.3

3

6

==

U Pa

d- si la surface de frottement la paroi est S :

Fv = 34232 10.046,110.12.15.2,1.10.46,621....

21. === SUCS Fp N

4. Fv = 4.1,046.10-3 = 4,186.10-3 N e- si A est la section de passage : A = 32.10-4.

P = 65,410.3

10.186,4.442

3

==

AFV Pa

La Couche limite


28

f- hp = gP

gU

=

2.

2

034,015.2,165,4.2

.

.222 === U

P

Exercice 4 : Dans un coulement laminaire dun fluide sur une plaque mince et plate, on admet que le profil des vitesses dans la couche limite rpond lquation :

3

.21.

23

=

yyUu

Avec : U : vitesse dcoulement libre. u : vitesse la distance y de la paroi. : paisseur de la couche limite. a- pour un calcul latral appliqu une unit de largeur, montrer que lpaisseur de la couche limite la sortie de la plaque est donne par :

= 2/1

.646,4

eIL

Sachant que :

P = local = 0

.=ydy

du et o L : est la largeur de la plaque. b- en dduire les paisseurs de quantit de mouvement , de dplacement * , les coefficients de frottement local Cf et moyen CF ainsi que le facteur de forme H ? Solution :

a- on a local = 0

.=ydy

du avec : 3

.21.

23

=

yyUu

local = UyUuUu ..

23...

23)(.

23 3 =

Dautre part : local = dxdU .. 2

La Couche limite


29

Avec = 0

).1( dyUu

Uu = + 0

33 ]).(21.

231].[)(

21.

23[ dyyyyy

= .139,0288

.103 =

local = U

dxdU ..

23.139,0.. 2 =

Udx

ddxd .583,21)(..2

2

==

On a : x = 0 : = 0 2 = 21,583.ex

xU

x=

2

.583,21.

Pour la longueur L : = el

L

2

.583,21

b- - lpaisseur de quantit de mouvement sera :

= 0,139. = 0,646.eL

L

- lpaisseur de dplacement sera :

== 0

* ).1( dyUu

l = + 03 ].)(

21.

231[ dyyy

Par intgration, on obtient :

.375,0.83* ==

Pour la longueur L : eL

lL== .742,1

*

- Cf = 2. dxd

dxd .139,0.2= avec

exU

xdxd

dxd

=

= 646,4.

21

)(

).646,4(2/1

2/1

et Cf = exex

=646,0646,4.

21.139,0.2

La Couche limite


30

- CF = .2.2 =L

eL646,0 =

eL292,1

- H = 7,2646,0742,1 ==

l Exercice 5 : Si lexpression de la distribution de la vitesse dun coulement laminaire sur une plaque plane est donne par :

4322 +=== lE U

uUu

Uu

Avec = y

1- donner lexpression du frottement parital ? 2- calculer les paisseurs de dplacement * , et de quantit de mouvement ? 3- en dduire lpaisseur de la couche limite, pour une plaque de longueur L, en fonction du nombre de Reynolds local L ? Solution :

A

B C

D

L

U

La Couche limite


31

Section Bilan de masse Bilan quantit de mouvement AD AB CD BC

0

h dyU0

..

h dyu0

..

h

dyuU0

).(.

0

h

dyUL0

2 ...

h

dyuL0

2 ...

h

dyuUUL0

)..(..

S 0 h

dyUuuL0

)..(.

= dxp . 0

)..(. dyuUu

dx

Udxp).(.)(

2 = avec =

0

).1( dyUu

Uu

- lpaisseur de dplacement est : =

0

* ).1( dyUu = .

103

- lpaisseur de dplacement est : =

0

).1( dyUu

Uu = .

31537

En la comparant avec lexpression de p :

dxUdxp

).(.)(2 =

et on a : p = 0

.=ydy

du = U.2.

U.2. = dxUd ).(.

2

Et dautre part, on a : dxU

d =. xU

xxU .

..2

22 ==

Et comme xU

x.=

x

x=

22

2

La Couche limite


32

x

x=

.2 - le coefficient de frottement local :

Cf = Ux

UU

U

Ux

p

..2.4

..4

..21

.2.

..21 22

===

Cf = Uxx

...2.2

= x

x

.2.2

Cf = x2.2

- le coefficient de frottement global :

CF = L

L

fLdxC =.2.2.

0

Exercice 6 : Un sous marin a une longueur L = 84 m et une surface totale de coque de 1800 m2. Calculer la rsistance due aux forces de frottement visqueux sexerant sur la coque, quand en plonge, le sous marin a une vitesse V = 5 m/s ? Pour faire ce calcul, on admettra qu la valeur Cx du coefficient moyen de frottement tabli pour une plaque plane est applicable ici. On a dailleurs :

Cx = 0,455.(lg10 L )-2,58

pour L = LV . > 107.

Et on a : = 1025 kg/m3, = 1,2.10-6 m2/s. Solution : On a

786 1010.5,310.2,1

84.5. >=== LV

L

Cx = [ ] 358,210 10.79,1log.455,0 =L La force de frottement sera :

La Couche limite


33

Fx = Cx . 412801800.25.1025.10.79,1.

2.

23

2

= SV N. Exercice 7 : Soit un coulement laminaire permanent, bidimensionnel dun fluide incompressible le long dune paroi quelconque dont le rayon de courbure est trs suprieur lpaisseur de la couche limite, de sorte que les quations de Prandtl soient valables :

2

21yu

dxdp

yuv

xuu

+=+

0=+

yv

xu

Et CteUp =+2

2

pour y =

Avec vu

U

1- calculer le dbit en masse travers la couche limite en fonction de et * ? 2- calculer le dbit de quantit de mouvement en fonction de , * et ? 3- utiliser ces relations et le thorme des quantits de mouvement appliqu un lment ABCD, dpaisseur dx, pour tablir lquation :

UdxdU

dxdU

.)2.(.)(.

20

*22

++= (A) 4- si le profil des vitesses est donn par :

2

.2

.

+= ymyL

Uu : y0 (B)

Uu = 1 : y >

Avec L et m : paramtres ne dpendant que de x. a- calculer et montrer que L et m sont lis par une relation de type : L = )(m ? b- calculer

* et montrer quon peut avoir une relation de la forme : * = )(m ?

c- en utilisant les quations de Prandtl et les conditions la paroi, montrer que :

La Couche limite


34

m = - dxdU.

2

?

d- vrifier que le 2eme membre de lquation (A) ne dpend que de m ?

e- ce 2eme membre est approximativement gal 2

645,0 m+ . Donner dans ces conditions, une formule permettant de calculer en fonction de U ? Calculer , et m lorsque U = U0.Sin(kx) o U0 = constante et 0 xk. ?

Solution : 1- nous avons :

==

0

* )1( dyUu

0

dy - =

0

dyUu -

0

dyUu

Par consquent : q = 0

.. dyu = .U.( * - )

2- =

0

).1( dyUu

Uu =

0

.dyUu -

02

2

.dyUu = - * -

02

2

.dyUu

Par consquent : le dbit de quantit de mouvement : M =

0

2 .. dyu = .. 2U ( - * - ) 3- considrant le volume lmentaire ABCD, dpaisseur unitaire : Le dbit entrant par AB est : q

Le dbit sortant CD est : q + dxxq

Le dbit entrant par BC est : dxxq la vitesse C

Le dbit sortant par AD est : 0

A

B C

D dx

u

U

x

La Couche limite


35

En projection parallle la paroi ; les dbits de quantit de mouvement seront : Par AB entre le dbit : M,

Par CD sort le dbit : M + dxx

M

Par BC entre le dbit : U. dxxq

Par AD cest 0

Lapplication du thorme des quantit de mouvement donne :

- M + (M + dxx

M ) - U. dx

xq = p. - (p+ dx

xp ).( dx

x.

+ ) + dxdxx

p .. 0

Soit : x

M - U.

xq = 0.

xp

En utilisant les valeurs de M et q calcules prcdemment :

=+

)2.(.... *2 xUU

xU 0.

xp

Et puisque p + 2

.2U = Cte

xUU

xp

=

..

A

B C

D

q q + dxxq

dxxq

0

A

B C

D

M

U. dxxq

M + dxx

M

0

La Couche limite


36

0*2 ).2.(.. =++

dxdUU

dxU

Multipliant les deux termes maintenant par U. ; on obtient :

UdxdU

dxU

.)2.(..20

*22

++= 4- a- nous avons :

=

0

).1( dyUu

Uu = .

/

0

)().1( ydUu

Uu

1= )(.).(2

.1.).(2

./

0

22

ydymyLymyL +

1= 53

4322 ).(20

).(4.)).(

2.(

31).(

2

mmLLmL + (C)

En faisant y = , le profil des vitesses nous donne :

1 = L. 2).(2

m+ (D)

1 = L. 2).(2

m+ = 1= 5

34322 ).(

20).(

4.)).(

2.(

31).(

2

mmLLmL +

Posant maintenant : =

0.20

.4.).

2(

31)..(

21 43322 =++ mmLLmmLL

Ce qui montre que L ne dpend que de m : L = )(m b- on a :

==

0

* )1( dyUu

/

0

)()1(. ydUu =

/

0

2 )()].[2

.1(. ydymyL

32*

).(6

).(2

mL = (E)

La Couche limite


37

Entre les quations (C), (D) et (E) ; on peut liminer * : ce qui implique que

* ne dpend

que de m * = )(m

c- sur la paroi : y = 0, on a u = v = 0, Les quations de Prandtl donneront donc :

=

=+

dxdUU

dxdp

yu

dxdp

..

0..1 22

Lquation (B) donnera : 222 .

Um

yu =

0... 2 =+ Um

dxdUU m =

dxdU.

2

d- nous avons :

0 = 0

.=ydy

du = LU .. )(

..0 mLU

==

Lquation (A) peut scrire donc :

)()](2.[)(.2

2

mmmdx

dU ++= Il est vident que le deuxime terme ne dpend que de m. e- lquation prcdente scrit :

2645,0)(.

2

2 mdx

dU += mdxdU 645,0)(.

2

+= = 0,45 - dxdU..6

2

+dx

dU )(.2

dxdU..6

2

= 0,45.

En multipliant les deux termes par U5 ; nous obtenons :

526 ..45,0).( UUdxd =

La Couche limite


38

=x

dxUU 0

56

2 ..45,0 Posons z = k.x

Si U = U0.Sin(kx) =x

dxkxSinU0

550 )(. kx kxdkxSinkU 0

55

0 )()(. = - z

CoszdzSink

U

0

45

0 )(..

= ).32

5.( 3

550 zCoszCosCoszk

U +

5

)()()(.32.(

)(...45,0 536

0

2 kxCoskxCoskxCoskxSinUk

=

De mme, on a : m = dxdU.

2

avec )(..0 kxCoskUdx

dU =

m = )](.32

5)()(.[

)(.45,0 462

6 kxCoskxCoskxCos

kxSin+

Exercice 8 : Exprimer le coefficient de frottement en fonction de * , et U et cela laide de lquation de Von Karman ? Solution : Lquation de Von-Karman scrit :

2*

..1).2(

Udxd

dxdU

Up

=++

Et puisque Cf = 2..

21 U

p

fp CU 21

. 2=

Cf =

++dxd

dxdU

U .1)..2(.2 *

Exercice 9 : Une couche limite se dveloppant sur une plaque plane en coulement uniforme de vitesse u dont le profil de vitesse est :

La Couche limite


39

Uyxu ),( = F( ) = 4322 +

o : constante. 1- montrer que les quantits

* , et .p sont des constantes dont on donnera les valeurs ?

2- dduire de lintgration de lquation de Von Karman, la loi de variation de lpaisseur de la couche limite (x) ? 3- donner les expressions de (x)/x, * (x)/x et (x)/x ainsi que le coefficient de frottement

p (x)/ 2U en fonction du seul nombre de Reynolds local x = xU . ?

Solution :

1- 12010

3)](1[)()( 1

0

* Adfxx ==

Avec : A = dxdUx .)(

2

103* =

31537

907294531537).(.)](1[

21

0

=== AAdff

UAxxU

p .2).62.(

)()(.. =+=

Qui sont bien des constantes.

2- lquation de Von-Karman se rduit : 2.Udxd p

=

Aprs substitution des expressions prcdentes, on trouve :

En imposant la condition ;0)0( = Lintgration de cette quation diffrentielle conduit :

Ux

Uxx ..84,5..

371260)( =

En divisant membre membre lexpression ci-dessus par x, il vient immdiatement :

dxU

d ..37630. =

La Couche limite


40

xxx

84,5)(

xxx

75,1)(*

xxx

=69,0)(

Et x

p

xU

UU =34,0

...

84,52

. 2

Exercice 10 : Soit un coulement caractris par le profil de vitesses suivant :

)(.)(.),( SinbCosaU

yxu +=

o )(x

y = et a, b, et sont quatre paramtres priori fonctions de la seule variable x.

1- donner les valeurs de a, b, et compatibles avec les conditions aux limites de lcoulement ?

2- exprimer les valeurs de * ,

et .p ? vrifier quil sagit bien toujours de constantes pour cet coulement ? 3- calculer la loi dpaisseur de la couche limite (x) ? 4- comparer les valeurs adimensionnelles (x)/x, * (x)/x, (x)/x et p (x)/ 2U avec celles obtenues par le profil de vitesses suivant (exercice prcdant) :

4322 +=== lE U

uUu

Uu ?

5- calculer les paisseurs en bout dune plaque de longueur L = 2 m place dans un coulement de vitesse U = 20 m/s dun fluide de viscosit cinmatique = 1,4.10-5 m2/s ? Solution : 1- on imposera :

u(x,0) = 0, V(x,0), u(x, ) = U, =

yy

u =0

La Couche limite


41

La premire condition amne a = 0 ).(.),( SinbU

yxu = Les deux dernires conditions donnent alors : 1. =Sinb et 0.. = Cosb La seule solution non triviale (banale) correspond :

2 = et b = 1

le profil de vitesses de la forme prescrite compatible avec trois conditions aux limites, scrit :

)2

()(),( SinfU

yxu == 2- avec cette expression, on obtient :

2.).2

(11

0

* =

= dSin

Et

.2

4)..2

(.).2

(11

0

=

= dSinSin Le domaine de variation physiquement admissible de cette fonction est de 0 1 : [ ]1,0 au lieu de la variation de 0 .

Et p = 0

.=ydy

du =

UfU ..

2)0('.. =

3- en substituant maintenant dans lquation intgrale, on aura :

dxU

d ..4

.2

= Qui avec la mme condition dintgration : 0)0( = , donne :

xxxx

=8,41.

42.)(

4- la comparaison des rsultats obtenus avec les deux formulations est prsente dans le tableau suivant, en rfrence aux valeurs de la solution exacte de Blasius :

La Couche limite


42

xx

x .)( xx

x .)(*

xxx .)(

xp

Ux .

.)(2

H

)2

( Sin 4,8 1,74 0,66 0,33 2,64 43.2.2 +

5,84 1,75 0,69 0,33 2,54

Blasius

4,92 1,72 0,66 0,33

5- avec les valeurs indiques, on trouve :

mmL 7,5)( = mmL 1,2)(* =

mmL 8,0)( = Exercice 11 :

Calculer les valeurs des paisseurs adimensionnelles * ,

** ainsi que le rapport de forme H pour le profil de vitesse linaire :

),(),(

yxUyxu =

y ?

Solution : On a :

Uu =

y

-

= 0

*).1( dyy

=

0

2

.21(

yy

=212

1

=

- :**

Nous avons :

** = dyyydyyydyUu

Uu ).().1.().1.(

..

03

3

2

2

002

2 ==

= 0

3

42

).41

2(

yy =

41.

41

2 342

=

Paramtres Profil

La Couche limite


43

= **

41 / =

41

- H = *

Avec .

** = = .

21

Et =

0

).1(.. dy

Uu

Uu = dyyy ).1.(

0

= dyyy ).( 220

= 0

2

32

).31.

21(

yy =

61

H = * =

6121

= 3

Exercice 12 : Soit un coulement caractris par le profil de vitesses :

Uyxu ),( = Sin( .

2)

O = )(x

y

- exprimer les valeurs de * , / et p . ? Vrifier quils sagit bien toujours de constantes

pour cet coulement ? - calculer la loi dpaisseur de la couche limite (x) ? Solution : a- on a :

Uu = Sin( .

2) avec =

y

Uu = Sin(

y.2

)

- ==

0

* )1( dyUu dyySin .).

2(1

0

=

0

).2

(.2

+ yCosy =

2.2

2.2 =+ Cos

La Couche limite


44

363,021/* == : constante.

- =

0

).1( dyUu

Uu =

0

)]..2

(1[)..2

( dyySinySin =

0

)..2

( dyySin -

0

2 )..2

( dyySin

Et on a : )..(212 CosxSinxxxdxSin =

)..(212 CosuSinuuuduSin =

= -

0).

2..

2.

2.(

21.20

2.2

yCosySinyCosCos =

=

)00()02

(.2

= )

212.(

22 =

= / /)2

12.( = 137,0212 : constante

- P = 0

.=ydy

du = 0.2

..).2

(.2

..0

).2

(.(0 CosU

yCosUy

y

ySinUy

==

=

=

P = .2

..U

P . U.2. = : constante.

Daprs lquation de Von-Karman :

2*

..1).2(

Udxd

dxdU

Up

=++

Et puisque U : constante 0=dxdU

2.Udxd p

= avec = /

212

).212( = dx

Ud p .

. 2 =

La Couche limite


45

Avec P = .2

..U dxU

U

d ..2..

).212( 2

=

dxUU

dxd ...2

..

.2

.).212(

==

dxUU

dxd ..2.

..

2..).

212(

==

dxU

dxU

d ..4

..)

212.(2

.2

==

xU

..4

.21 22

= xU ..4

.2 22

=

xU

x ..4

.2)(2

= xUx ..79,4)( =

Ou bien xxx

.1.79,4)( = Exercice 13 :

Calculer les valeurs de * ,

** , H et pour un profil de vitesses linaire :

Uu =

7/1

y

Solution :

On a : Uu =

7/1

y

a- ==

0

* )1( dyUu

87.

87.)1().)(1(

0

7/87/1

0

7/1 =

= yydyy = 81

81* =

La Couche limite


46

b- ** = == dyUuUudyUuUu ).)(().1.( 03

02

2 dyyy ].)()[(

0

7/37/1

= 0

7/107/37/87/1 .107.)1(.

87.)1(

yy = 0

7/107/37/87/1 .107.)1(.

87.)1(

= .407.

107.

87 =

407** =

c- H =

* Avec =

0

).1( dyUu

Uu =

0

2 ].)([ dyUu

Uu =

07/27/1 ].)()[( dyyy

= 0

7/97/27/87/1 .97.)1(.

87.)1(

yy = .

=

97

87.).(

97).(

87 7/27/1

= 727]

725663[ =

H = * =

72781

= 79

2836

5672 ==

d- 72772

7

==

Exercice 14 : Une plaque plane de longueur L est place paralllement un coulement uniforme de vitesse U linfini. 1- en utilisant les rsultats de la solution de Blasius, tablir lexpression de la trane de la plaque par unit denvergure en fonction du nombre de Reynolds U.L/ ? 2- en application du thorme dEuler un domaine de fluide que lon prcisera, tablir lexpression de cette mme trane en fonction de lpaisseur de quantit de mouvement. Retrouver alors le rsultat de la premire question ? 3- donner lexpression du champ de vitesse longitudinale dans la zone de sillage des couches limites an aval de la plaque ?

Ecoulements transitoires


47

ECOULEMENTS TRANSITOIRES Exercice 1 : Donner la clrit de londe de pression provoque par la fermeture rapide dune vanne dans une conduite, tout en supposant que la paroi de la conduite est rigide ? Solution : Lnergie cintique de leau qui va tre transforme en nergie lastique est :

2....

21

2.

21

21 V

gLSVM =

O L : longueur de la conduite M : masse de leau V1 : vitesse initiale = .g Le module dlasticit cubique de leau est :

0/. VVp

initialvolumevolumep

=

=

Avec V =

hgLSpV ..... =

Le travail de compression est :

/........21....

21 2

1 hgLShgVLS = h2 =

..

2

21

gV (1)

En ngligeant les frottements, la conservation de la quantit de mouvement donne :

21 .).(. VMdtFVM X = Avec Fx : la force qui produit la variation de quantit de mouvement. )0.(.... 1VQShg = 1...... VaSShg =



48

h = a.V1/g En remplaant dans lquation (1), nous trouvons :

...

2

21

2

21

2

gV

gVa =

a =

Exercice 2 : Calculer laugmentation de pression produite par la fermeture instantane dune vanne sur une conduite ? Solution : Soit P est la variation de pression due la fermeture de la vanne. Daprs lquation de conservation de la quantit de mouvement : La variation de la quantit de mouvement dans la direction x est :

Fx = ).(. 12 VVgQ avec = .g

Si on nglige les frottements : la force qui produit la variation de la quantit de mouvement est : P.S

- P.S = )0.(. 1VgQ = )0.(.. 1VaS

P = 1.. Va et puisque P = '.. hg Avec h : la hauteur de pression

P = '.. hg = 1.. Va h = gVa 1.

Exercice 3 : Comparer les vitesses des ondes de pression circulant le long dun tuyau rigide contenant : - de leau 15 C de module cubique B = 2,16.109 Pa. ? - de lhuile de densit 0,8 et de module cubique 1,38.109 Pa ? Solution :

Pour leau : a = = =

100010.16,2 9 1470 m/s



49

Pour lhuile : a = = =

1000.8,010.38,1 9 1310 m/s

Exercice 4 : Calculer la clrit de propagation de londe de pression, dans une conduite en acier normal (E = 2,1.1011 N/m2), o scoule de leau 20 C. ( = 998 kg/m3, = 21,39.108 N/m2) ? Le diamtre de la conduite est de 0,5 m, et lpaisseur de 6 mm. Solution : Nous avons :

a =

eD

E.11 +

a = 998.

6500.

10.1,21

10.39,211

1

118 + = 1077 m/s

Exercice 5 : Mme exercice prcdant pour une conduite rigide en PVC (E = 2,5.1010 Pa), de diamtre D = 40 cm, et dpaisseur 2 mm ? Exercice 6 : Quelle est laugmentation de pression produite par larrt brutal de la circulation de lhuile, de densit 0,85 et de module dlasticit = 1,7.109 Pa, raison de 0,57 m3/s dans un tuyau dacier de 60 cm de diamtre suppos rigide ? Solution : Nous avons : P = .a. u = .a.u0

avec a = = =

1000.85,010.7,1 9 1414,2 m/s

u0 = Q/S = Q/[ .D2/4] = 0,57/ [ .0,62/4] = 2,02 m/s P = .a.u0 = 0,85.1000.1414,2.2,02 = 2428,2.103 Pa



50

Exercice 7 : On ferme une vanne brusquement dans un tuyau de 75 mm de diamtre transportant de lhuile de densit 0,8 et de module dlasticit = 1,38.109 Pa. Si laugmentation de la pression est de 600 kPa, quel est le dbit probable ? Le tuyau est suppos rigide. Solution : On a :

a = = =

1000.8,010.38,1 9 1310 m/s

P = .a. u = .a.u0 = 0,8.1000.1310.u0 .

u0 = 1310.1000.8,010.600 3 = 0,572 m/s.

Q = u0. 4/. 2D = 5,22.10-3 m3/s. Exercice 8 : Si un tuyau dacier de 60 cm de diamtre et de 2440 m de long, a t conu pour rsister une pression de 103 MPa sous une charge statique maximale de 330 m deau, de combien la pression dur les parois du tuyau va-t-elle augmenter quand une vanne fermeture rapide arrte le dbit de 0,85 m3/s ? On donne le module dlasticit de lacier E = 2.109 Pa. En supposant que le tuyau est rigide. Solution : Nous avons : P = .a. u

Avec a = =

100010.2 9 = 1,41.103 m/s

Et u = u0 u1 = u0 0 = u0 = Q/S = Q/[ .D2/4] = 0,85/ [ .0,62/4] = 3 m/s P = 1000.1,41.103.3 = 4,23.106 Pa = 4,23 MPa Et P = P0 + P Avec P0 = .g.h = 1000.9,81.330 = 3,24 MPa



51

P = 4,23 + 3,24 = 7,47 MPa Exercice 9 : Un tuyau dacier de 1,2 m de diamtre et de 10 mm dpaisseur, transporte de leau 16 C ( = 2,16.109 Pa) une vitesse de 1,8 m/s. si le tuyau a une longueur de 3000 m, et si la vanne cot sortie est ferme en 2,50 s, quelle augmentation de pression dans les parois du tuyau doit-on sattendre ? On donne pour lacier E = 207.109 Pa. Solution : La clrit de londe est :

a =

+eD

E.1

=

+10

1200.10.20710.16,2110

10.16,2

9

93

9

= 980 m/s

Le temps daller et retour de londe est : T0 = 2L/a = 2.3000/980 = 6,1 s Puisque T = 2,5 s < T0 = 6,1 s : il sagit donc dun coup de blier direct P = .a. u = .a.u0 = 1000.980.1,8 = 1,764.106 Pa = 1764 kPa Exercice 10 : Dterminer la vitesse de propagation de londe de coup de blier et la surlvation de la pression en cas dune fermeture instantane dune conduite dacier de diamtre D = 450 mm, lpaisseur des parois e = 8 mm et la vitesse initiale de leau V0 = 1,8 m/s ?

On donne pour lacier E = 0,01, et E = 207.108 kgf.

Solution : On a :

a =

eED.

.1

+ avec a0 =

= 102

10.07,2 8 = 1425 m/s



52

a = 01,0.

84501

1425

+= 1137 m/s

Et nous avons : P = .a. h = .g.ga .u0 car h = ).( 0uug

a P = 1000.1137.1,8 = 2,05.106 Pa = 2050 kPa Exercice 11 : Dterminer llvation de la pression une fermeture instantane dune tuyauterie dacier de diamtre D = 500 mm, parois dune paisseur e = 9 mm ? La vitesse initiale de leau tant V0 = 1,47 m/s. Solution :

Nous avons : a0 = = 1425 m/s

Et a =

eED.

.1

+ =

01,0.9

5001

1425

+ = 1142,74 m/s

P = .a. u0 = 1000.1142,74.1,47 = 1,68.103 kPa Exercice 12 : Dterminer llvation de la pression lors de fermeture instantane dune conduite de diamtre D = 600 mm, et dpaisseur des parois e = 5 mm, vhiculant un dbit de 200 m3/h ? On donne : E = 18.1010 N/m2. = 21.108 N/m2. Solution : Nous avons : P = .a. u Avec :



53

a =

+eD

E.1

=

+005,06,0.

10.1810.21110

10.21

10

83

8

= 935,41 m/s

Dautre part, nous avons : Q = 200 m3/h v = Q/[ .D2/4] = (200/3600)/ [ .0,62/4] = 0,196 m/s P = 1000.935,41. 0,196 = 183,34 kPa.

Ou bien : P = g

au. = 69,1881,9

41,935.196,0 = m. Exercice 13 : De lhuile circule dans un tuyau en acier de 2440 m de long raison de 0,57 m3/s, combien faut-il de temps pour fermer la vanne pour viter la valeur de coup de blier maximale ? On donne : La densit de lhuile est 0,85 et son module dlasticit = 1,7.109 Pa. Le tuyau est suppos rigide de 60 cm de diamtre. Solution : Nous avons : T0 = 2L/a

Avec a = = =

1000.85,010.7,1 9 1414,2 m/s

Pour viter le coup de blier maximum T > T0 T0 = 2L/a = 2.2440/1414,2 = 3,45 s Pour viter le coup de blier maximum, le temps de fermeture de la vanne T doit tre suprieure 3,45 s T > 3,45 s. Exercice 14 : La longueur dune tuyauterie dacier entre le rservoir et la vanne est L = 1800 m, le diamtre D = 450 mm, lpaisseur e = 6 mm. Le dbit circulant est Q = 127 l/s. Dterminer llvation maximale de la pression Pmax prs de la vanne sa fermeture progressive durant T = 3 s et la loi linaire de la variation de la vitesse ?



54

Solution : On a : T0 = 2L/a

Avec a0 = = 1425 m/s

a =

eED.

.1

+ =

01,0.6

4501

1425

+= 1077,18 m/s

T0 = 2L/a = 2.1800/1077,18 = 3,34 s > T = 3 s Il sagit dun coup de blier direct. Pmax = .a. u0 Avec : u0 = Q/S = Q/[ .D2/4] Pmax = .a.Q/[ .D2/4] = 1000.1077,18.0,127/( .0,452/4) = 860,6 kPa Exercice 15 : Une conduite de 460 m de long et de 1,2 m de diamtre, vhiculant de leau une vitesse de 0,6 m/s, et la clrit de londe qui la traverse est de 1143 m/s. Calculer la valeur maximale de coup de blier sur la vanne et 152 m et 304 m de la vanne : - si la vanne est brusquement et compltement ferme ? - si la vanne est brusquement et partiellement ferme rduisant la vitesse 0,18 m/s ? Exercice 16 : Une conduite de 300 m de long, o leau scoule 0,8 m/s dont la clrit de londe est de 1000 m/s. Calculer la valeur maximale du coup de blier sur la vanne, et 100 m et 200 m de la vanne : - si la vanne est ferme compltement et ? - si la vanne est brusquement et partiellement ferme permettant la rduction de la vitesse 0,2 m/s ? Exercice 17 : De leau scoule une vitesse de 3,048 m/s dans une conduite de 122 m de long, de 0,2 m de diamtre et de 6 mm dpaisseur.



55

Calculer le temps dun aller et retour de londe de pression et la valeur maximale de la surpression produite par la fermeture brusque de la vanne pour : - une fermeture complte ? - une rduction de la vitesse 1,83 m/s ? Exercice 18 : Nous supposons que la clrit de londe dans une conduite est de 975 m/s. si cette conduite est de 610 m de long, et de 1,2 m de diamtre, calculer la valeur maximale du coup de blier sur la vanne, et 910 m du rservoir pour : - la vanne est partiellement ferme en 4 s permettant le dbit de passer de 0,85 m3/s 0,28 m3/s ? - le dbit initial est de 0,42 m3/s et la vanne est compltement ferme en 1 s ? Exercice 19 : Une conduite en acier de diamtre D = 300 mm, dpaisseur e = 5 mm, de longueur L = 3 km et comportant une vanne son extrmit, et vhiculant de leau un dbit de 200 l/s. Si on ferme la vanne partiellement en 3 s permettant de rduire la vitesse 50% de sa valeur initiale, dterminer laugmentation maximale de la pression dans la conduite ? On donne : Le module dlasticit volumique de leau = 21.108 N/m2. Le module dlasticit longitudinale de lacier E = 2.1011 N/m2. Solution : Nous avons :

a =

+eD

E.1

=

+005,03,0.

10.210.21110

10.21

11

83

8

= 1135,05 m/s

Le temps daller et retour de londe est : T0 = 2L/a = 2.3000/1135,05 = 5,286 s Donc T0 = 5,286 s > T = 3 s Il sagit dun coup de blier direct. Pmax = .a. u = .a. (v0 v) = 1000.1135,05.(v0 v0/2) = 1000.1135,05.v0/2 Avec v0 = Q0/[ .D2/4] Pmax = 1000.1135,05.(Q0/2)/[ .D2/4] = 1000.1135,05.(0,2/2)/[ .0,32/4] = 1606,58 kPa Pmax = 1606,58 kPa



56

Ou bien hmax = gau. =

g

SQa /21. 0

= Sg

Qa.2

. 0 =

43,0..81,9.2

2,0.05,11352

= 163,77 m

Exercice 20 : Une conduite en acier de longueur L = 2 km, et de diamtre D = 300 mm, reliant un rservoir et une vanne, et vhiculant un dbit Q = 100 l/s. Dterminer llvation maximale de la pression sur la vanne, si elle se ferme progressivement pendant 4 s ? Sachant que la loi de variation de la vitesse est linaire. On prend : e = 5 mm. = 21.108 N/m2. E = 2.1011 N/m2. Solution : Nous avons :

a =

+eD

E.1

=

+005,03,0.

10.210.21110

10.21

11

83

8

= 1135,05 m/s

T0 = 2.2000/1135,05 = 3,52 s Donc T0 = 3,52 s < T = 4 s. Il sagit donc dun coup de blier indirect.

Pmax =2. .L.u0 /T = 2. .(L/T).(Q0 /S) = 43,0.

1,0.4

10.2.10.22

33

= 1415,43 kPa

Pmax = 1415,43 kPa Ou bien :

hmax = TguL

..2 0 =

TgSQL

./.2 0 =

43,0..4.81,9

1,0.10.2.22

3

= 144,28 m

Exercice 21 : Calculer laugmentation de pression produite par le fermeture partielle dune vanne monte sur une conduite en acier de module dlasticit E = 205.109 Pa, dpaisseur e = 2 mm, de diamtre D = 70 cm et de longueur L = 2 km, vhiculant de leau 20 C de module dlasticit = 21,39.108 Pa un dbit Q0 = 0,8 m3/s, sachant que la fermeture partielle de la vanne conduit une rduction de 50% de la vitesse pendant 4 s ; et cela pour les deux cas :



57

a- la conduite est rigide ? b- la conduite est lastique ? Solution : a- conduite rgide : La clrit de londe est :

a = =

100010.39,21 8 = 1,46.103 = 1462,5 m/s

Le temps de laller et le retour de londe sera : T0 = 2.L/a = 2.2.103 /1462,5 = 2,73 s Le temps de fermeture est T = 4 s Donc : T0 = 2,73 s < T = 4 s Il sagit dun coup de blier indirect Pmax = ====

47,0..4.81,9

8,0.10.2.21.

.2.

21.

.2).(

.

.22

30

00 SQ

TgLu

TgLuu

TgL 106 m

Pmax = 106 m 1,06 MPa 10,6 bars b- conduite lastique : La clrit de londe :

a =

+eD

E.1

=

+2

700.10.20510.39,21110

10.39,21

9

83

8

= 678,2 m/s

Le temps de laller et le retour de londe sera : T0 = 2L/a = 2.2.103/278,2 = 5,9 s Nous avons T0 = 5,9 s > T = 4 s Il sagit dun coup de blier direct :

Pmax = a.(u - u0)/g = 4

..2

..21.

20

0

Dg

Qag

SQa

= =

47,0..81,9.2

8,0.2,6782

= 71,89 m

Pmax = 71,89 m 0,72 MPa 7,19 bars



58

Exercice 22 : Une conduite lvatoire de longueur L = 500 m et de section s = 1 m2, o scoule un dbit Q0 = 1 m3/s, est protge dans sa partie initiale par une chemine de section constante = 5 m2. Calculer loscillation dans la chemine, dans le cas dun arrt brusque des pompes, et compte tenu de la perte de charge dans la conduite quest de H = 4,5 m ? Exercice 23 : Une galerie damnagement hydrolectrique de longueur L et de section s, relie une retenue de superficie assez grande dont les variations de niveau sont ngligeables ; une chemine dquilibre verticale cylindrique de diamtre D. En ngligeant les pertes de charge, trouver lexpression de la priode des petites oscillations de lensemble ?

On donne

===

mDmskmL

161616

2

Solution : La masse de leau dans la galerie est : m = .s.L (1) Les forces dinertie aux quelles soumise cette masse :

dtdVLs

dtdVm .... = (2)

Les forces de pression : S. .g.h Lquation de continuit : s.V = S.

dtdh

Avec : S : section de la chemine

22

.dt

hdsS

dtdV = (3)

L

d (s)

D (S)

h



59

En remplaant (1) dans (2), et faisant galit des forces de pression aux forces dinertie, on trouve :

hgSdtdVLs ...... = (4)

Remplaant maintenant (3) dans (4) pour retrouver :

0...

2

2

=+ hdt

hdsgSL

La solution oscillante non amortie de cette quation diffrentielle est de type :

h = h0.Sin( Tt.2 )

O la priode est : T = sgSL....2 =

16.4.1016..10.16..2

23 = 891 s

h0 = Sgs

LQ..

.0m = SgsLv

...0m

Exercice 24 : On suppose que la galerie de lexercice prcdant dbite Q = 48 m3/s. 1- si lon ferme rapidement la conduite immdiatement en aval de la chemine dquilibre, quelle hauteur leau montrait-elle dans la chemine dquilibre ? (en ngligeant les frottements). 2- si la hauteur de la chemine dquilibre est gale 20 m, quel sera le volume deau dvers ? Solution : 1- Daprs le mme raisonnement prcdant, nous avons :

0...

2

2

=+ hdt

hdsgSL (1)

Dont lintgration de cette quation, donne :

h = h0.Sin( Tt.2 )

Avec T = sgSL....2



60

La valeur de h0 qui correspond au maximum de hauteur dans la chemine, sera obtenue en considrant les conditions initiales.

On a : s.V0 = dtdhS. ).2(..2. 00 T

tCoshTdt

dhVSs ==

Pour t0 = 0 Cos( 0.2T ) = 1 00 2 hTVS

s =

h0 = mSgsLV 9,33

416..10

16.10.16.3... 2

3

0 ==

2- lquation prcdente (n1) nest valable que pour des niveaux ne dpassant pas la hauteur de la chemine (20 m), si non ; on considre que la force de pression reste constante :

0...... 1 =+ hSgdtdVLS 0. 1 =+ hdt

dVgL

Avec h1 = 20 m.

V = V1 - Lthg .. 1 (2)

O V1 : vitesse dans la conduite linstant o h atteint 20 m dans la chemine, le tant tant compt maintenant partir de cet instant.

Le volume dvers U = 210

111

1

.2

...... T

LhgsTVsdtVs

T

= O T1 est le temps ncessaire pour annuler la vitesse dans la galerie.

Daprs (2) : T1 = 1

1

..hgLV

U = 1

21

21

2

211

1

21

.2..

..

.2

...

..hgLVs

hgLV

Lhgs

hgLVs =

La vitesse dans la premire phase de lcoulement est :

V = ).2(.).2(2... 100 TtCosV

TtCos

Th

sS

dtdh

sS ==

O t1 : temps coul entre la fermeture et le dbut de dversement :



61

on a : Sin(Tt1.2 ) = h1/h0 = 20/33,9 = 0,59

t1 = 98,48 s V1 = v0.0,807 = 2,42 m/s U = 3740 m3. T1 = 194 s.

Avec bien sure :

==

sTsmV

981/30

Exercice 25 : On dsire fermer un orifice de section s0, situ lextrmit avale dune conduite longue, de section S, de telle sorte que le dbit dcroisse linairement en fonction du temps. 1- dterminer la loi de pression devant lorifice pendant la fermeture, en supposant que le coefficient de dbit m est constant ?

2- quelle doit tre la loi de fermeture de lorifice en fonction du temps : 0ss ?

On admettra que la dure T de fermeture est infrieure au temps que mettent les ondes de pression mises depuis lorifice, pour y revenir aprs rflexion sur lextrmit amont de la conduite ? Solution : Le dbit traversant lorifice chaque instant : qv = m.s. hg.2 Avec h : charge devant lorifice La variation temporelle de ce dbit est : qv = qv0 qv0.t/T dqv = - qv0.dt/T La surpression devant lorifice est:

dh = vdqSgadu

ga

.=

dh = dtqTSg

av .... 0

dtT

qSg

adht

vh

h

...0

0

0

=



62

h = 00 .... ht

TSgqa v +

O h0 : charge initiale devant lorifice.

En fin de fermeture : t = T h1 = 00.. h

Sgqa v + = 00. hg

ua + O u0 : vitesse initiale dans la conduite. La surpression totale produite par la fermeture est :

Sgqa

guahhh v

... 00

01 === 2- Nous avons : qv = m.s. hg.2

h = 2222

022

2

)1.(..22.. T

tsmg

qgsm

q vv =

Avec h = h0 + Tt

Sgqa v ..

. 0

h0 + Tt

Sgqa v ..

. 0 = 2222

0 )1.(..2 T

tsmg

qv

A t = 0, nous avons : qv0 = m.s0. 0.2 hg et h0 = 222

0

..2 smgqv

= 2

02

2

2

200 1

)1(.

.2....

ssTt

mgq

TSgtqa vv

La loi de fermeture est donne par :

Tt

Sqsma

Tt

ss

v

.....2

1

1

0

20

20 +

=

On peut crire aussi :

=+

=

Tt

hguaTt

ss

...

1

1

0

00

Tt

hhTt

.1

1

0

+



63

Exercice 26 : Un manomtre est constitu par deux tubes verticaux de diamtre D, relis par un tube plus fin de longueur L et de diamtre d. En admettant que les pertes de charge dans ce dernier tube sont chaque instant, gales celles dun coulement laminaire permanent, calculer la condition pour laquelle, la viscosit du liquide ralise lamortissement critique ?

Solution : La masse du fluide contenue dans le tube horizontal est :

m = 4...

2dL Sa force dinertie chaque instant t est :

dtdVdL

dtdVm .

4....

2

= Cette force est quilibre par des forces de pression et de frottement.

- les forces de pression sont : hgd ...4. 2

- les forces de frottement sont : 4..

2dP avec 2

...2V

dLfP =

En coulement laminaire f = dV ..6464 =

VLdP ....84..

2

= En quilibre ; la somme des forces est nulle :

D D

h

d

L



64

0....8.4....

4...

22

=++ VLhdgdtdVdL (1)

Dautre part, lquation de continuit des volumes fluides est :

V.dtdh

dDV

dtdhDd .

.2.

4..

21

4.

2

222

==

22

2

2

.2 dt

hdd

DdtdV = (2)

On remplace (2) dans (1), et on simplifie, nous trouvons :

0.....16..

21

4

2

2

2

2

2

=++ hdtdh

dgDL

dthd

dD

g

Cette dernire, est une quation diffrentielle linaire du second ordre coefficients constants, de type :

0... 22

=++ hCdtdhB

dthdA

O lamortissement critique est obtenu avec : B

2 = 4.A.C

1.

...128 622

=dg

DL

Et le systme sera oscillatoire si 1.

...128 622

max... zsLAC

Avec v0 = Q0/s = 4

2.

152 = 4,78 m/s

zo = -C.v2/2g = -10,2.4,782/2.9,81 = -11,88 m O 88,11 < 20 m

Et 1 > max... zsLAC A < 1 >

20.2,104

2..2000

..

2

max

=

zCSL = 30,78 m2.

1-0,0325.A = e-0,0518.A Cest une quation transcendante, pour la rsoudre, on utilise les itrations successives :

L = 2 m

D=2 m

d

zmax = 20 m

z0 z = 0

30 m



69

A 1-0,0325.A e-0,0518.A 30,78 30 20 19,8 19,7 19,6 19,65

-0,00035 0,025 0,35 0,3565 0,35975 0,363 0,36137

0,203 0,2114 0,3548 0,3585 0,3604 0,3623 0,36136

Donc A = 19,65 m2 = 4/. 2d

d = 65,19.4 = 5,0032 5 m.

Exercice 29 : Une chemine dquilibre de forme cylindrique, de diamtre D = 5 m, est choisie comme moyen de protection anti-blier dune conduite dadduction relie un chteau deau. 1- si la conduite est de diamtre d = 1,5 m et de longueur L = 12 km, vhiculant un dbit Q0 = 1 m3/s, en ngligeant les pertes de charge, calculer laugmentation du niveau deau dans la chemine aprs une fermeture rapide de la conduite ? 2- si le niveau deau dans le rservoir est H = 10 m, donner la hauteur totale de la chemine ?

Solution : Il sagit dune oscillation en masse de la masse deau existante dans la conduite, entre le rservoir et la chemine. - La masse deau dans la conduite est : m = .s.L - les forces dinertie aux quelles est soumise cette masse :

dtdVLs

dtdVm .... =

- les forces de pression exerces sur cette masse :

L

d

D

H

Rservoir Chemine



70

s. .g.h

s. .g.h =

dtdVLs ... (1)

Daprs lquation de continuit :

s.V = S. 22

.dt

hdsS

dtdV

dtdh =

0...

2

2

=+ hdt

hdsgSL

Et lquation (1) devient :

s. .g.h = 22

....dt

hdsSLs

Pour que la masse oscille entre la chemine et le rservoir, la solution de la dernire quation est de type :

h = h0.Sin( Tt2 )

O la priode des oscillations est T = sS

gL ..2

Et leur amplitude est h0 = 22

2

200

...4

...

.Ddg

LQSgs

LQ mm =

h0 = 22

2

2

3

5.5,1.81,9.4

10.12.1 m = 5,94 m

h = 5,94 m. La hauteur totale de la chemine est h = H + h = 10 + 5,94 = 15,94 16 m. Exercice 30 : Une conduite de diamtre D = 2 m et de longueur L = 20 km, vhiculant un dbit Q = 3 m3/s, reliant un rservoir de grande section et une chemine dquilibre verticale de diamtre d = 0,5 m.



71

Si on ferme rapidement la vanne qui se trouve juste aprs la chemine, en ngligeant les pertes de charge : - calculer la priode des petites oscillations de lensemble ? - calculer llvation maximale de leau dans la chemine ?

Solution : Nous avons :

T = sgSL....2 =

4/2..81,94/5,0..10.20..2 2

23

= 70,89 s

H0 =

45,0..81,9.

42.

10.203.. 22

3

0

mm =

SgsLQ = m 172,56 m

Ou bien h0 = m v0. SgsL

.. = m 172,56 m

L

d

D

Hmax

Rfrences bibliographiques


72

Rfrences bibliographiques 1 P.Chassaing, Mcanique des fluides : lments dun premier parcours, Edition Cpadus,

Toulouse 1997. 2 J.Coirier, Mcanique des milieux continus : concepts de base, Edition Dunod, Paris 1997. 3 S.Candel, Problmes rsolus de mcanique des fluides, Edition Dunod, Paris 1995. 4 J.Bouttes, Mcanique des fluides, Edition Marketing, Paris 1988. 5 L.Landau et E.Lifchitz, Physique thorique : mcanique des fluides, Edition Mir, Moscou,

1994. 6 M.Damou, Mcanique des fluides, Edition OPU, Alger 1994. 7 C.Grossetete, Mcanique des fluides, Edition Ellipses, Paris 1991. 8 M.A.Morel et J.P.Laborde, Exercices de mcanique des fluides : tome 1 et 2, Edition

Eyrolles, Paris 1994. 9 R.Comolet, Mcanique exprimentale des fluides: tome 1,2,et 3, Edition Masson, Paris

1994. 10 Researche & education association, Problem solvers: fluid mecanics, USA 1996. 11 I.L.Ryhming, Dynamique des fluides, Presses polytechniques modernes, Lausanne 1985. 12 J.Padet, Fluides en coulement, Edition Masson, Paris 1991. 13 R.K.Zeytounian, Modlisation asymptotique en mcanique des fluides Newtoniens, Edition

Springer-Verlag, Villeneuve dAscq (France) 1994. 14 L.Debnath et D.N.Riahi, Nonlinear instability, chaos and turbulence, Edition WIT press,

Canada 1998. 15 L.Loukarfi, Exercices resoles de mcanique des fluides, Edition El-Oumma, Alger 1999. 16 N.Midoux, Mcanique et rhologie des fluides, Edition Lavoisier, Paris 1985. 17 J.B.Franzini et E.J.Finnemore, Fluid mecanics, Edition McGraw-Hill companies, USA

1997. 18 B.N.Chetverushkin and al., Experimentation, modelling and computation in flow,

turbulence and combustion: tome 2, Edition John wiley & sons Lrd. Chichester (England) 1996.

19 A.Pemenov et Kh.Tagui-zade, Hydraulique gnrale, Edition OPU, Alger 1993. 20 L.W.Mays, Hydraulic design handbook, Edition McGraw-Hill companies, USA 1999. 21 H.Lumbroso, Mcanique des fluides, Edition Dunod, Paris 1996. 22 Edmond A.Brun, Andr Martinot-Lagarde et Jean Mathieu, Mcanique des fluides, Edition

Dunod, Paris 1970.

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