Notions Mecanique Des Fluides

NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDESCours et Exercices Corrigs

Riadh BEN HAMOUDA

Centre de Publication Universitaire

AVANT-PROPOSLtude de la mcanique des fluides remonte au moins lpoque de la Grce antique avec le clbre savon Archimde, connu par son principe qui fut lorigine de la statique des fluides. Aujourdhui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problmes non rsolus ou partiellement rsolus. Dans cet ouvrage se trouve expos lessentiel de ce quun tudiant des Instituts Suprieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes

hydrauliques et pneumatiques sont actuellement trs utiliss en industrie. Donc, un technicien quelque soit sa spcialit doit acqurir les notions fondamentales en mcanique des fluides. Nous avons cherch viter les dveloppements mathmatiques trop abondants et pas toujours correctement matriss par la plupart des techniciens suprieurs et insist trs largement sur les applications industrielles et les problmes de dimensionnement. Ainsi, ltude de la mcanique des fluides sera limite dans cet ouvrage celle des fluides homognes. Les lois et modles simplifis seront utiliss pour des fluides continus dans une description macroscopique. Egalement, nous limiterons notre tude celle des fluides parfaits et rels. Dans ltude dynamique nous serons amens distinguer les fluides incompressibles et les fluides compressibles. Le chapitre 1 constitue une introduction la mcanique des fluides dans laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides rels, les fluides incompressibles et les fluides compressibles et on dfinit les principales proprits qui seront utilises ultrieurement. Le chapitre 2 est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de lhydrostatique sont expliqus. Dans le chapitre 3 sont traites les quations fondamentales qui rgissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, lquation de continuit et le thorme de Bernoulli. Elles sont considres trs importantes

dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des instruments de mesures de pressions et de dbits quon peut rencontrer dans beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout. Dans le chapitre 4 sont dmontrs les quations et les thormes relatifs la dynamique des fluides incompressibles rels. Une mthode simplifie de calcul des pertes de charge base sur ces quations est propose. Elle est indispensable pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problmes de pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles est vhicul un fluide etc.) Le chapitre 5 est consacr ltude des fluides compressibles. Les lois et les quations fondamentales de la dynamique ainsi que le thorme de Saint-Venant ncessaires pour traiter un problme dcoulement de gaz sont dmontrs. Certaines notions de thermodynamique, juges indispensables pour introduire quelques paramtres, sont ajoutes. La dernire partie de chaque chapitre est consacre des exercices corrigs. Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveills que jai propos lInstitut Suprieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour leur intrt pratique et pour leur diversit. Chaque exercice traite un domaine particulier dapplication quun technicien suprieur pourrait rencontrer aussi bien dans le cadre des travaux pratiques lISET quen industrie dans sa vie active. Les solutions avec beaucoup de dtail, devraient permettre ltudiant dacqurir, en peu de temps, la matrise ncessaire des concepts utiliss. Ces exercices permettront galement de tester lavancement de leurs connaissances. En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mmes notations dans la partie exercices corrigs et dans la partie cours. Les points importants sont crits en caractre gras et les rsultats sont encadrs. Cet ouvrage constitue une premire version. Il sera certainement rvis. Les critiques, les remarques et les conseils de tous les comptents du domaine qui veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et remerciement. Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008

TABLE DES MATIERESChapitre 1 : Introduction la Mcanique des Fluides ......................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................... 1 2 Dfinitions ............................................................................................................. 1 2.1 Fluide parfait .................................................................................................. 2 2.2 Fluide rel ...................................................................................................... 3 2.3 Fluide incompressible .................................................................................... 3 2.4 Fluide compressible ....................................................................................... 3 3 Caractristiques physiques ................................................................................... 4 3.1 Masse volumique ........................................................................................... 4 3.2 Poids volumique ............................................................................................ 4 3.3 Densit .......................................................................................................... 4 3.4 Viscosit ........................................................................................................ 5 4 Conclusion ............................................................................................................ 7 5 Exercices dapplication ......................................................................................... 8 Chapitre 2 : Statique des fluides ......................................................................... 10 1 Introduction ......................................................................................................... 10 2 Notion de pression en un point dun fluide .......................................................... 10 3 Relation fondamentale de lhydrostatique ........................................................... 12 4 Thorme de Pascal ........................................................................................... 14 4.1 Enonc ........................................................................................................ 14 4.2 Dmonstration ............................................................................................. 14 5 Pousse dun fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15 5.1 Hypothses .................................................................................................. 15 5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pression ........................... 15 5.2.1 Rsultante ............................................................................................ 16 5.2.2 Moment................................................................................................. 16 5.3 Centre de pousse ...................................................................................... 17 6 Thorme dArchimde....................................................................................... 17 6.1 nonc ........................................................................................................ 17 6.2 Dmonstration ............................................................................................. 18 7 Conclusion .......................................................................................................... 20 8 Exercices daplication ......................................................................................... 21 Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52 1 Introduction ......................................................................................................... 52 2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52 3 Equation de Continuit........................................................................................ 52 4 Notion de Dbit ................................................................................................... 54 4.1 Dbit massique ............................................................................................ 54 4.2 Dbit volumique ........................................................................................... 55 4.3 Relation entre dbit massique et dbit volumique ....................................... 55 5 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement sans change de travail ........... 56 6 Thorme de Bernoulli Cas dun coulement avec change de travail .......... 57

7 Thorme dEuler : ............................................................................................. 59 8 Conclusion .......................................................................................................... 61 9 Exercices dapplication ....................................................................................... 61 Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88 1 Introduction ......................................................................................................... 88 2 Fluide Rel .......................................................................................................... 88 3 Rgimes dcoulement - nombre de Reynolds ................................................... 88 4 Pertes de charges ............................................................................................... 90 4.1 Dfinition ...................................................................................................... 90 4.2 Pertes de charge singulires ....................................................................... 94 4.3 Pertes de charges linaires : ....................................................................... 94 5 Thorme de Bernoulli appliqu un fluide reel ................................................. 95 6 Conclusion .......................................................................................................... 96 7 Exercices dapplication ....................................................................................... 96 Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120 1 Introduction ....................................................................................................... 120 2 Equations detat dun gaz parfait ....................................................................... 120 2.1 Lois des gaz parfaits .................................................................................. 120 2.2 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120 3 Classification des coulements ......................................................................... 122 3.1 Clrit du son........................................................................................... 122 3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122 3.3 Ecoulement subsonique ............................................................................ 122 3.4 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122 4 Equation de continuite ...................................................................................... 122 5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123 6 Etat gnrateur : ............................................................................................... 124 7 Conclusion ........................................................................................................ 125 8 Exercices dapplication ..................................................................................... 125

Chapitre 1 :

INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES

1

INTRODUCTIONLa mcanique des fluides est la science des lois de I'coulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mcanismes de transfert des fluides. Cest une branche de la physique qui tudie les coulements de fluides c'est--dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches: - la statique des fluides, ou hydrostatique qui tudie les fluides au repos. C'est historiquement le dbut de la mcanique des fluides, avec la pousse d'Archimde et l'tude de la pression. - la dynamique des fluides qui tudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mcanique des fluides. On distingue galement dautres branches lies la mcanique des fluides : l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'arodynamique, Une nouvelle approche a vu le jour depuis quelques dcennies: la mcanique des fluides numrique (CFD ou

Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'coulement des fluides enrsolvant les quations qui les rgissent l'aide d'ordinateurs trs puissants : les supercalculateurs. La mcanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingnierie navale, l'aronautique, mais aussi la mtorologie, la climatologie ou encore l'ocanographie.

2

DEFINITIONSUn fluide peut tre considr comme tant une substance form d'un grand nombre de particules matrielles, trs petites et libres de se dplacer les unes par rapport aux autres. Cest donc un milieu matriel continu, dformable, sans rigidit et qui peut s'couler. Les forces de cohsion entres particules lmentaires sont

1

Chapitre 1 : Introduction la mcanique des fluides

trs faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la forme du rcipient qui le contient, par exemple: les mtaux en fusion sont des fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pices brutes de formes complexes. On insiste sur le fait quun fluide est suppos tre un milieu continu : mme si l'on choisit un trs petit lment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la dimension des molcules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de brouillard, aussi petite soit-elle notre chelle, est toujours immense l'chelle molculaire. Elle sera toujours considre comme un milieu continu. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur viscosit. La viscosit est une de leur caractristique physico-chimique qui sera dfinie dans la suite du cours et qui dfinit le frottement interne des fluides. Les fluides peuvent tre classs en deux grande familles : La famille des fluides "newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les ptes, les suspensions, les mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosit constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la temprature. La deuxime famille est constitue par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularit d'avoir leur viscosit qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent lorsque ceux-ci s'coulent. Ce cours est limit uniquement des fluides newtoniens qui seront classs comme suit.

2.1 Fluide parfaitSoit un systme fluide, c'est--dire un volume dlimit par une surface ferme fictive ou non. r dFNr n

r dF

dS

r dFT

Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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r Considrons dF la force dinteraction au niveau de la surface lmentaire dS de r normale n entre le fluide et le milieu extrieur. r On peut toujours dcomposer dF en deux composantes: r - une composante dFT tangentielle dS. r - une composante dFN normale dS.

En mcanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de dcrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Cest dire quand la r r composante dFT est nulle. Autrement dit, la force dF est normale l'lment de surface dS.

2.2 Fluide relContrairement un fluide parfait, qui nest quun modle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide rel les forces tangentielles de frottement interne qui sopposent au glissement relatif des couches fluides sont prise en considration. Ce phnomne de frottement visqueux apparat lors du mouvement du fluide. Cest uniquement au repos, quon admettra que le fluide rel se comporte comme un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux lments de surface sur lesquels elles sexercent. La statique des fluides rels se confond avec la statique des fluides parfaits.

2.3 Fluide incompressibleUn fluide est dit incompressible lorsque le volume occup par une masse donn ne varie pas en fonction de la pression extrieure. Les liquides peuvent tre considrs comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)

2.4 Fluide compressibleUn fluide est dit compressible lorsque le volume occup par une masse donne varie en fonction de la pression extrieure. Les gaz sont des fluides compressibles. Par exemple, lair, lhydrogne, le mthane ltat gazeux, sont considrs comme des fluides compressibles.


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3

CARACTERISTIQUES PHYSIQUES=o :

3.1 Masse volumiquem V

: Masse volumique en (kg/m3),m : masse en (kg), V : volume en (m3). Exemples : Fluide Benzne Chloroforme Eau Huile dolive Mercure Air Hydrogne Mthane Masse volumique (kg/m3) 0,880. 103 1,489. 103 103 0,918. 103 13,546. 103 0,001205. 103 0,000085. 103 0,000717. 103 Type de fluide

Incompressible

compressible 1

3.2 Poids volumique =m.g = .g V

: Poids volumique en (N/m3).m : masse en (kg), g : acclration de la pesanteur en (m/s2), V : volume en (m3).

3.3 Densitd= masse volumique du fluide = masse volumique d' un fluide de rfrence ref

Dans le cas des liquides en prendra leau comme fluide de rfrence. Dans le cas des gaz on prendra lair comme fluide de rfrence.

1

Ces valeurs sont prise titre indicatif dans les conditions normales de pression et de temprature.


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3.4 ViscositCest une grandeur qui caractrise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacit scouler. Elle caractrise la rsistance d'un fluide son coulement lorsqu'il est soumis l'application d'une force. Cest dire, les fluides de grande viscosit rsistent l'coulement et les fluides de faible viscosit s'coulent facilement. Elle peut tre mesure par un viscosimtre chute de bille, dans lequel en mesure le temps coul pour la chute dune bille dans le fluide. Elle peut galement tre mesure par un rcipient dont le fond comporte un orifice de taille standardise. La vitesse laquelle le fluide s'coule par cet orifice permet de dterminer la viscosit du fluide. La viscosit est dtermine par la capacit d'entranement que possde une couche en mouvement sur les autres couches adjacentes. Par exemple, si on considre un fluide visqueux plac entre deux plaques P1 et P2, tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est anime dune vitesse V2 . Z Plaque P2 V2

Z

V + V F V

Plaque P1 fixe Si on reprsente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situe dans une section droite perpendiculaire l'coulement, la courbe lieu des extrmits de ces vecteurs reprsente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut tre considr comme rsultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On distingue la viscosit dynamique et la viscosit cinmatique.


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Viscosit dynamique La viscosit dynamique exprime la proportionnalit entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plonge dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprime par un coefficient reprsentant la contrainte de cisaillement ncessaire pour produire un gradient de vitesse d'coulement d'une unit dans la matire. Considrons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de frottement F qui s'exerce la surface de sparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle la diffrence de vitesse des couches soit v, leur surface S et inversement proportionnelle z : Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.

F = .S .o :

V * Z

F : force de glissement entre les couches en (N),

: Viscosit dynamique en (kg/m.s),S : surface de contact entre deux couches en (m2),V : cart de vitesse entre deux couches en (m/s),

Z : Distance entre deux couches en (m).Remarque : Dans le systme international (SI), l'unit de la viscosit dynamique est le Pascal seconde (Pas) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pas = 1 Pl = 1 kg/ms Exemple : Fluide eau (0 C) eau (20 C) eau (100 C) Huile d'olive (20 C) glycrol (20 C) Hydrogne (20 C) Oxygne (20 C)

(Pas)1,787103 1,002103 0,2818103 100103 1000103 0,86105 1,95105


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Viscosit cinmatique

=

L'unit de la viscosit cinmatique est le (m2/s). Remarque 1 (unit): On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit cinmatique. 1 St= 10-4 m2/s Remarque 2 (Influence de la temprature) : Lorsque la temprature augmente, la viscosit d'un fluide dcrot car sa densit diminue. Remarque 3 (diffrence entre viscosit dynamique et viscosit cinmatique) La viscosit cinmatique caractrise le temps d'coulement dun liquide. Par contre, la viscosit dynamique correspond la ralit physique du comportement dun fluide soumis une sollicitation (effort). En dautre terme, cette dernire exprime la rigidit dun fluide une vitesse de dformation en cisaillement (voir la relation * la page 6).

4

CONCLUSIONLes fluides peuvent tre classs en fluides parfaits (sans frottement), fluides

rels

(avec

frottement),

fluides

incompressibles

(liquides)

et

fluides

compressibles (gaz). Les fluides sont caractriss par les proprits suivantes: lamasse volumique, le poids volumique, la densit et la viscosit. Ces proprits seront utilises ultrieurement. Le comportement mcanique et les proprits physiques des fluides

compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffrents. En effet, les lois de la mcanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de fluides donne. Conformment la classification qui a t faite, les lois relatives chaque type de fluides seront exposes dans la suite du cours dune faon indpendante.


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EXERCICES DAPPLICATIONENONCEDterminer le poids volumique de lessence sachant que sa densit d=0,7. On donne : - lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2 - la masse volumique de leau = 1000 kg / m 3

Exercice N1:

2

REPONSE

= d . .g A.N. = 0,7.1000.9,81 = 6867 N / m3Exercice N2: 1

ENONCECalculer le poids P0 dun volume V=3 litres dhuile dolive ayant une densit d=0,918.

2

REPONSEPo = d . .V .g A.N. Po = 0,918.1000.3.103.9,81 = 27 N

Exercice N3: EXTRAIT DE LEXAMEN DU 23-06-2003 1 2

ENONCEQuelle est linfluence de la temprature sur la viscosit ?

REPONSESi la temprature augmente la viscosit diminue, et inversement.


ENONCEConvertir le stockes en m2/s.

REPONSE4 2 Conversion du stockes : 1 Stockes = 10 m / s


ENONCEExpliquer le principe de mesure d'un viscosimtre chute de bille.

REPONSE


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La viscosit cinmatique est proportionnelle au temps mis par une bille sphrique en chute pour descendre au fond dun tube contenant un fluide de viscosit inconnue. Exercice N6: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1

ENONCEDterminer la viscosit dynamique de lhuile dolive sachant que sa densit est 0,918 et sa viscosit cinmatique est 1,089 Stockes.

2

REPONSE

= . A.N. = 918.1,089.10 4 = 0,1 Pa.sExercice N7: 1

ENONCEDu fuel port une temprature T=20C a une viscosit en stockes dynamique = 95.10 3 Pa.s . Calculer sa viscosit cinmatique sachant que sa densit est d=0,95. On donne la masse volumique de leau est eau = 1000 kg / m 3

2

REPONSE

=

eau .d

A.N. =

95.10 3 = 1.10 4 m 2 / s = 1 stockes 1000.0,95


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Chapitre 2 : STATIQUE DES FLUIDES

1

INTRODUCTIONLors dune plonge sous marine, on constate que la pression de leau augmente avec la profondeur. La pression deau exerce sur un sous-marin au fond de locan est considrable. De mme, la pression de leau au fond dun barrage est nettement plus grande quau voisinage de la surface. Les effets de la pression doivent tre pris en considration lors du dimensionnement des structures tels que les barrages, les sous marins, les rservoirs etc. Les ingnieurs doivent calculer les forces exerces par les fluides avant de concevoir de telles structures. Ce chapitre est consacr ltude des fluides au repos. Les lois et thormes fondamentaux en statique des fluides y sont noncs. La notion de pression, le thorme de Pascal, le principe dArchimde et la relation fondamentale de lhydrostatique y sont expliqus. Le calcul des presses hydrauliques, la dtermination de la distribution de la pression dans un rservoiretc., sont bass sur les lois et thormes fondamentaux de la statique des fluides.

2

NOTION DE PRESSION EN UN POINT DUN FLUIDELa pression est une grandeur scalaire. Cest lintensit de la composante normale de la force quexerce le fluide sur lunit de surface. Elle est dfinie en un point A dun fluide par lexpression suivante :

r dFN

dS Ar n

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Chapitre 2 : Statique des fluides

PA =o :

dFN dS

dS : Surface lmentaire de la facette de centre A (en mtre carr),

n : Vecteur unitaire en A de la normale extrieure la surface,dFN : Composante normale de la force lmentaire de pression qui sexerce sur lasurface (en Newton), PA : pression en A (en Pascal), Sur la surface de centre A, daire dS, oriente par sa normale extrieure n , la force de pression lmentaire dF sexprime par :

dFN = PA .dS .nExemple : Chaque cm2 de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force) reprsentant le poids de l'atmosphre. C'est la pression atmosphrique au niveau de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses cavits (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air la mme pression. Si on s'lve de 5 000 m, la pression atmosphrique est deux fois plus faible qu'au niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tte est alors moiti moindre. Do la ncessit dune pressurisation des avions. En plonge sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: 1 bar = 1 kg / cm2.


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Plus on descend en profondeur, plus la pression est leve car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : 10 mtres de profondeur, chaque cm2 de notre peau supportera un poids gal : 1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = lquivalent du poids d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est gal 1kg. Le poids dun litre deau de mer est un plus important ( cause du sel quelle contient) : 1,026 kg. En ngligeant cette diffrence, on considrera que de manire gnrale un litre d'eau pse 1 kg. Par consquent, la pression due l'eau 10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est--dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m, la pression augmentera nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport la surface. La pression hydrostatique (comme la pression atmosphrique) sexerce dans toutes les directions (et pas simplement de haut en bas). Remarque : Lunit internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m. Cette unit est

trs petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mcanique, rsistance des matriaux , etc.,lunit utilise est le mga pascal : 1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa En mcanique des fluides on utilise encore trs souvent le bar. Le bar est gal peu prs la pression atmosphrique moyenne : 1 bar = 105 Pa.

3

RELATION FONDAMENTALE DE LHYDROSTATIQUEConsidrons un lment de volume dun fluide incompressible (liquide homogne de poids volumique ). Cet lment de volume a la forme dun cylindre daxe (G, r r r u ) qui fait un angle avec laxe vertical (O, Z ) dun repre R(O, X , Y , Z ). Soit l la longueur du cylindre et soit dS sa section droite.


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Z

r dF2Z2 l G2 dS

u

r dFi

G

G1 Z1

r dF1

r dPo

Soit G1 daltitude Z1 et G2 daltitude Z2, les centres des sections droites extrmes. Etudions lquilibre du cylindre lmentaire, celui-ci est soumis aux : - actions distance : son poids : dPO = l dS Z - actions de contact : forces de pression sexerant sur : o la surface latrale : dFi . o les deux surfaces planes extrmes :

dF1 = P .dS .(u ) = P .dS .u 1 1

et

dF2 = P2 .dS .u .avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1et en G2. Le cylindre lmentaire tant en quilibre dans le fluide, crivons que la rsultante des forces extrieures qui lui sont appliques est nulle :

dPO + dFi + dF1 + dF2 = 0En projection sur laxe de symtrie (G, u ) du cylindre, .l.dS . cos + P .dS P2 .dS = 0 1Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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Exprimons la diffrence de pression P1 P2 aprs avoir divis par dS et remarqu que l cos = Z 2 Z1P P2 = .( Z 2 Z1 ) = g ( Z 2 Z1 ) : Relation fondamentale de lhydrostatique. 1

Autre forme plus gnrale : En divisant les deux membres de la relation prcdente par :

P 1

+ Z1 =

P2

+ Z 2 . Ou encore

P P 1 + Z1 = 2 + Z 2 g g

Comme G1 et G2 ont t choisis de faon arbitraire lintrieur dun fluide de poids volumique , on peut crire en un point quelconque daltitude Z, ou rgne la pression p :

P

+Z =

P + Z = Cte g

4

THEOREME DE PASCALDans un fluide incompressible en quilibre, toute variation de pression en un point entrane la mme variation de pression en tout autre point.

4.1 Enonc

4.2 DmonstrationSupposons quau point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne P1 + P1 . P1 tant un nombre algbrique. Calculons la variation de pression P2 qui en rsulte en G1. Appliquons la relation fondamentale de lhydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide o ltat initial: P P2 = ( Z 2 Z1 ) (1) 1 o ltat final : ( P + P ) ( P2 + P2 ) = .( Z 2 Z1 ) (2) 1 1 En faisant la diffrence entre les quations (2) et (1) on obtient :P P2 = 0 . 1

Do P = P2 1


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5

POUSSEE DUN FLUIDE SUR UNE PAROI VERTICALEr La paroi verticale possde un axe de symtrie (G, Y ). G est son centre de surface.Dun cot de la paroi il y a un fluide de poids volumique , de lautre cot, il y a de lair la pression atmosphrique Patm. On dsigne par PG la pression au centre de surface G du cot fluide.

5.1 Hypothses

r YdS M y G Go yo

dF

r X

5.2 Elments de rduction du torseur des forces de pressionConnaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est dtermine en appliquant la relation fondamentale de lhydrostatique : PM PG = .(YG YM ) r r r Dans le repre (G, X , Y , Z ) dfini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc

PM = PG . yr Exprimons la force de pression en M : dF = ( PG . y ).dS . X Soit { pousse } le torseur associ aux forces de pression relative : R = dF (S ) { pousse } = M G = GM dF s G


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5.2.1 RsultanteR=(S )

(P

G

r . y ).dS . X

que lon peut crire en mettant en facteur les termes constants :

r R = PG . dS . y.dS . X (S ) (S ) On note que(S )

dS = S

(aire de la paroi),

(s)

y.dS = y

G

.S = 0 : Moment statique de la surface S par rapport laxe (G, Z ), donc

R = PG .S . X5.2.2 Moment

M G = GM dFDans le repre (G, X , Y , Z ) on peut crire: r GM = y.Y et dF = ( PG . y ).dS . X , r donc M G = y.Y ( PG . y ).dS . X

[

]

(S )

Sachant que Y X = Z donc M G = PG . y.dS . y 2 .dS .( Z ) (S ) (S ) On sait que(S )

y.dS = y

G

.S = 0 et

(S )

y

2

r .dS = I ( G , Z ) : Moment quadratique de la

surface S par rapport laxe (G, Z ) passant par le centre de surface G. Doncr M G = .I ( G , Z ) .Z

En rsum :

{

poussee

}=

PG .S . X r .I ( G , Z ) .Z

G


Page: 16


5.3 Centre de pousseOn cherche dterminer un point G0 o le moment rsultant des forces de pression est nul. Compte tenu de lhypothse de symtrie, si ce point existe il appartient laxe (G, Y ) et il est tel que :

M G0 = M G + G0 G R = 0 .Ecrivons alors que : GG0 R = M Gs Avec les rsultats prcdents, on obtient : y0 .Y PG .S . X = .I ( G , Z ) .Z ,

ce qui conduit

y0 =

.I (G , Zr )PG .S

Go existe, il sappelle le centre de pousse de la paroi. Remarque : Le centre de pousse est toujours au-dessous du centre de surface G.

6

THEOREME DARCHIMEDETout corps plong dans un fluide reoit de la part de ce fluide une force (pousse) verticale, vers le haut dont l'intensit est gale au poids du volume de fluide dplac (ce volume est donc gal au volume immerg du corps). PARCH=fluide.Vimm.gr PARCH

6.1 nonc

Solide immerg S

Fluide


Page: 17


6.2 DmonstrationDans un fluide (E) de poids volumique , imaginons un certain volume de fluide (E1) dlimit par un contour ferm (S) :

r dF

Volume imaginaire (E1) Dlimit par le contour S

Fluide Poids de (E1)

Volume (E2) extrieur au contour S

Si le fluide est au repos, il est vident que (E1) est en quilibre sous leffet des actions mcaniques extrieures suivantes : - Action de la pesanteur, modlisable par le torseur : { ( pes E1 )} r - Action des forces de pression dF du fluide (E2) qui entoure (E1) modlisable par le torseur : { ( E2 E1 )}

On peut donc crire lquation dquilibre de (E1) : { ( pes E1 )} + { ( E2 E1 )} = 0

{}

Nous savons quen G, centre de gravit du fluide (E1) le torseur des forces de

P pesanteur se rduit un glisseur : { ( pes E1 )} = 0 G Il est donc vident quau mme point G le torseur des forces de pression dF se rduira lui aussi un glisseur : dF 0 G

{ ( E2 E1 )} = ( S )

Lquation dquilibre de la portion de fluide (E1) scrit : dF + P = 0(S )


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(E1) est ici une portion de fluide et

P est le poids du fluide occupant le volume

(E1). Si le volume (E1) est occup par un solide immerg ayant le mme contour S, les forces de pousse sur ce contours (S) sont les mmes , ce qui revient dire que la force de pousse ne dpend que du volume du fluide dplac et non pas de la nature du solide immerg (plomb, acier, etc). Conclusion : Tout corps solide immerg dans un fluide en quilibre est soumis de la part de celui-ci des forces de pression dF dont les actions mcaniques sont

modlisables au centre de gravit du fluide dplac par un glisseur dont la rsultante est directement oppose au poids du fluide dplac.

{ ( E2 E1 )} = P Remarques :

0 G

- 1er cas : Si le solide immerg est homogne alors le centre de pousse G, point dapplication de la pousse dArchimde sera confondu avec le centre de gravit du solide. Lquilibre du solide est indiffrent. r PARCH

Solide immerg S G

Fluide Poids du solide - 2ime cas : Si le solide immerg est htrogne alors le centre de pousse G, point dapplication de la pousse dArchimde nest pas confondu avec le centre de gravit Gs du solide. Lquilibre du solide est stable si G est au dessus de GS. Lquilibre du solide est instable si G est au dessous de GS.Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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r PARCH

Solide immerg S G GS Fluide Poids du solide

Position stable

7

CONCLUSIONLa statique des fluides est base principalement sur les rsultats suivants: a) La diffrence de pression entre deux points est proportionnelle leur diffrence de profondeur : P P2 = .( Z 2 Z1 ) = g ( Z 2 Z1 ) : 1 Cest la relation fondamentale de lhydrostatique, b) Toute variation de pression en un point engendre la mme variation de pression en tout autre point daprs le thorme de Pascal. c) Le torseur associ aux forces de pression dun fluide sur une paroi plane PG .S . X verticale est : { poussee } = r .I (G , Z ) .Z G

d) La position du centre de pousse. est y 0 =

.I (G , Zr )PG .S

e) Tout corps plong dans un fluide subit une force verticale, oriente vers le haut

cest la pousse dArchimde et dont l'intensit est gale au poids du volume defluide dplac.


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81

EXERCICES DAPLICATIONENONCELa figure ci-dessous reprsente un cric hydraulique form de deux pistons (1) et (2) de section circulaire. Sous leffet dune action sur le levier, le piston (1) agit, au point (A), par une force r de pression FP1 / h sur lhuile. Lhuile agit, au point (B) sur le piston (2) par une force r Fh / p2 On donne : - les diamtres de chacun des pistons : D1 = 10 mm; D2 = 100 mm. - lintensit de la force de pression en A : Fp1/h = 150 N. Z

Exercice N1: Extrait du devoir surveill du 30-10-2006

ZA=ZB

Travail demand : 1) Dterminer la pression PA de lhuile au point A. 2) Quelle est la pression PB ? 3) En dduire lintensit de la force de pression Fh/p2. 2

REPONSE1) Pression PA de lhuile au point A: PA =4.FP1 / h 4.150 = 19.10 5 Pa A.N PA = 2 2 .0,01 .D1

2) RFH entre A et B: PA PB = .( Z B Z A ) , or ZA = ZB donc 3) Force de pression en B : Fh / P 2 = PB .

PB = PA = 19.10 5 Pascal .5

.D224

.N. Fh / P 2 = 19.10 .

.0,124

= 14922,56 N

Commentaire: On constate que la force Fp1/h = 150 N est relativement faible par rapport Fh/P2=14922,56 N. Avec ce systme nous avons atteint un rapport deNotions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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rduction de force de presque 100. Ce rapport correspond au rapport des diamtres des cylindres. On utilise souvent le mme principe de rduction deffort dans plusieurs applications hydrauliques (exemple: presse hydraulique).Exercice N2: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2004 1

ENONCELa figure ci-dessous reprsente un rservoir ouvert, quip de deux tubes pizomtriques et rempli avec deux liquides non miscibles :

- de l'huile de masse volumique 1=850 kg/m3 sur une hauteur h1=6 m,-

de l'eau de masse volumique 1=1000 kg/m3 sur une hauteur h2=5 m. r Z

Tubes pizomtriques

A

E D

h1

huile B

h2

eau C

On dsigne par: - A un point de la surface libre de l'huile, - B un point sur l'interface entre les deux liquides, - C un point appartenant au fond du rservoir - D et E les points reprsentants les niveaux dans les tubes pizimtriques, r - (O, Z ) est un axe vertical tel que ZC=O. Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique (RFH) entre les points: 1) B et A. En dduire la pression PB (en bar) au point B. 2) A et E. En dduire le niveau de l'huile ZE dans le tube pizomtrique.Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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3) C et B. En dduire la pression PC (en bar) au point C. 4) C et D. En dduire le niveau de l'eau ZD dans le tube pizomtrique. 2

REPONSE1) RFH entre B et A : PB PA = 1 g ( Z A Z B ) Or PA=Patm et ZA-ZB=h15 Donc PB = Patm + 1 g .h1 A.N. PB = 10 + 850.9,81.6 = 150031 Pa = 1,5 bar

2) RFH entre A et E : PA PE = 1 g ( Z E Z A ) Or PA=PE=Patm Donc Z E = Z A = h1 + h2 A.N. Z E = 6 + 5 = 11 m 3) RFH entre C et B : PC PB = 2 g ( Z B Z C ) Or ZB-ZC=h2 Donc PC = PB + 2 g .h2 A.N. PC = 150031 + 1000.9,81.5 = 199081 Pa = 2 bar 4) RFH entre C et D : PC PD = 2 g ( Z D Z C ) Or PD=Patm et ZC=0 Donc Z D =

PC Patm 199081 10 5 = 10,1 m A.N. Z D = 1000.9,81 2 .g

Exercice N3: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 13-12-2007 1

ENONCESoit un tube en U ferm une extrmit qui contient deux liquides non miscibles. Z(1) h (3)Essence

Z1 Z3 Z2

h

(2)

Mercure

Entre les surfaces : - (1) et (2) il sagit de lessence de masse volumique essence=700 kg/m3. - (2) et (3), il sagit du mercure de masse volumique mercure=13600 kg/m3. La pression au-dessus de la surface libre (1) est P1=Patm=1 bar. Lacclration de la pesanteur est g=9,8 m/s2. La branche ferme emprisonne un gaz une pression P3 quon cherche calculer.


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1) En appliquant la RFH (Relation Fondamentale de lHydrostatique) pour lessence, calculer la pression P2 (en mbar) au niveau de la surface de sparation (2) sachant que h= (Z1-Z2)= 728 mm. 2) De mme, pour le mercure, calculer la pression P3 (en mbar) au niveau de la surface (3) sachant que h= (Z3-Z2)= 15 mm. 2

REPONSE1) RFH pour lessence : P2 P1 = essence .g.(Z1 Z 2 )

P2 = P1 + essence .g .h A.N. P2 = 10 5 + 700.9,8.0,728 = 1,05.10 5 pascal = 1050 mbar2) RFH pour le mercure : P2 P3 = mercure .g.(Z 3 Z 2 )

P3 = P2 mercure .g.h' A.N. P3 = 1050.10 3 13600.9,8.0,15 = 1,03.10 5 pascal = 1030 mbarExercice N4: EXTRAIT DU DEVOIR SURVEILLE DU 21-04-2003 1

ENONCEZ(1) (4) Alcooles (2)

h1

Eau (3)

h2

Mercure

Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de la colonne deau h2=24 cm. 1) Appliquer la relation fondamentale de lhydrostatique pour les trois fluides.Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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2) En dduire la masse volumique du mlange eau alcool thylique. 2

REPONSE1) Relation fondamentale de lhydrostatique : Alcool : P2 P = alcool .g .h1 1 Mercure : P2 P3 = 0 Eau : P3 P4 = eau .g.h2 2) On sait que P1=P2=Patm et P2=P3 donc alcool .g.h1 = eau .g .h2 Donc alcool = eau .

h2 h1

A.N. alcool = 1000.

24 = 800 kg / m3 30

Exercice N5: 1

ENONCEOn considre un tube en U contenant trois liquides:

r ZZ0 eau essence Z3 Z2 Z1

mercure

- de leau ayant une masse volumique 1 = 1000 kg/m3,-

du mercure ayant une masse volumique 2 = 13600 kg/m3, de lessence ayant une masse volumique 3 = 700 kg/m3.

On donne : Z0 Z1 = 0,2 m Z3 Z2 = 0,1 m Z1 + Z2 = 1,0 mNotions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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On demande de calculer Z0, Z1, Z2 et Z3. 2

REPONSEDaprs (RFH), chapitre 2, on peut crire: P1 P0 = 1.g.( Z0 Z1) P2 P1 = 2.g.( Z1 Z2) P3 P2 = 3.g.( Z2 Z3) Puisque que P0 = P3 = Patm, en faisant la somme de ces trois quations on obtient :

1.( Z0 Z1) + 2.( Z1 Z2) + 3.( Z2 Z3) = 0 ( Z 2 Z1 ) =or

1 .( Z 0 Z1 ) 3 .( Z 3 Z 2 ) 2 2

A.N: (Z2 Z1) = 0,0096 m

(Z1 + Z2) = 1,0 m donc donc

donc Z2 = 0,5048 m et Z1 = 0,4952 m Z3 = 0,6048 m Z0 = 0,6952 m

(Z3 Z2) = 0,1 m (Z0 Z1) = 0,2 m Exercice N6: 1

ENONCEr Y

(S) h=60 G Go

r Zyo

b = 200 m La figure ci-dessus reprsente un barrage ayant les dimensions suivantes : longueur b=200 m, hauteur h=60 m Le barrage est soumis aux actions de pression de leau. Le poids volumique de leau est : = 9,81.103 N / m3 . On demande de :


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1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de leau. 2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0. 2

REPONSE1) Calcul de R :

R = PG .S ,On applique la RFH entre le point G et un point A la surface de leau on obtient :

h PG = . + PA 2En A, sommet du barrage, la pression de leau est suppos gale la pression atmosphrique. La surface du barrage est : S = b.h , donc :

h 60 R = (10 5 + 9810. ).200.60 = 4,73.10 9 N R = ( Patm + . ).b.h A.N. 2 2 . .2) Calcul de y0 :

y0 =

.I (G ,Zr )r R

r Le moment quadratique I ( G ,Z ) =

b.h 3 , donc 12

200.60 3 bh 3 . 9810. 12 A.N. y = 12 y0 = r = 7,46 m 0 4,73.10 9 R

Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs au dessous du centre de surface. Dans le calcul de stabilit du barrage il est hors de question de confondre ces deux points.Exercice N7: 1

ENONCEUn piston de vrin a un diamtre d=60 mm. Il rgne au centre de surface G du piston une pression de 40 bar, soit environ PG=4 MPa.


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r Y d = 60

G yo Go

r Z

Lhuile contenue dans le vrin a un poids volumique = 9,81.0,8.103 N / m3 . On demande de : 1) Calculer lintensit de la rsultante R des actions de pression de lhuile. 2) Calculer la position y0 du centre de pousse G0. 2

REPONSE1) Calcul de R :

R = PG .S avec S =2) Calcul de y0 :

.d 24

, donc R = PG .

.d 24

3 A.N. R = 11,3.10 N

y0 =

.I (G ,Zr )r R

avec I (G , z ) =

.d 464

, donc y 0 =

.

.d 464 r R

A.N. y 0 =

9810.0,8.

.0,06 4= 4,4.10 7 m

64 11,3.10 3

Commentaire: On remarque que le centre de pousse est trs voisin du centre de surface. Dans le calcul de pousse du vrin il est, donc, tout fait normal de les confondre.Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

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ENONCEUn rservoir de forme paralllpipdique ayant les dimensions suivantes : - hauteur h = 3m, - longueur L1= 8 m, - largeur L2 = 6 m. est compltement remplie dhuile de masse volumique = 900 kg / m3 .

h L2

L1 1) Calculer le module de la rsultante des forces de pression sur chaque surface du rservoir (les quatre faces latrale et le fond). 2) Dterminer pour les surfaces latrales la position du point dapplication (centre de pousse).

2

REPONSE1)

R = PG .S

Sur les parois latrales :

h 1 1 R1 = . .h.L1 = . .g.h 2 .L1 A.N. R1 = .900.9,81.32.8 = 317844 N 2 2 2 h 1 1 R2 = . .h.L2 = . .g.h 2 .L2 A.N. R2 = .900.9,81.32.6 = 238383 N 2 2 2Sur le fond du rservoir :


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R3 = .h.L1 .L2 = .g .h.L1 L2 A.N. R3 = 900.9,81.3.6.8 = 1271376 N

2) Les points dapplication sont

h = 1 m du fond pour les faces latrales. 3


ENONCEOn considre un rcipient en forme de paralllpipde de largeur b=2 m, ouvert lair libre et rempli jusqu une hauteur h=1,5 m avec du mercure de masse volumique =13600 kg/m3.

r Y

G h

r X

r ZOn dsigne par:

b

- G le centre de gravit de la surface mouille S. r r r r r - G, X , Y , Z un R.O.D. o X est orthogonal S et Y est vertical.

(

)

On donne lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2. 1) En appliquant la RFH entre un point M de la surface libre et le point G, calculer la pression PG.

r 2) Dterminer lintensit de la rsultante R des forces de pression agissant sur S.r 3) Calculer le moment quadratique I ( G ,Z ) de la surface S.


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4) Calculer la position Y0 du centre de pousse. 2

REPONSE1) RFH entre G et M : PG PM = .g.(YM YG ) or YM=h/2 , YG=0 et PM=Patm donc

PG = Patm + .g .

h 2

1,5 = 2.10 5 = 2 bar 2 r 2) Intensit de la rsultante : R = PG .S = PG .bh5 A.N. PG = 10 + 13600.9,81.

r 5 5 A.N. R = 2.10 .2.1,5 = 6.10 N3) Moment quadratique : Ir (G ,Z )

bh 3 2.1,53 r = = = 0,5625 m 4 A.N. I ( G ,Z ) 12 12

4) Position du centre de pousse : Yo =

.I (G ,Zr )r R

A.N. Yo =

13600.9,81.0,5625 = 0,125 m 6.10 5


ENONCEOn considre un aquarium gant utilis dans les parcs dattraction reprsent par la figure suivante :

O

XZR H

r R

vitre

a=2 m G0

Z 1m


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Il est rempli deau une hauteur H= 6m, et quip dune partie vitre de forme rectangulaire de dimensions (2m x 3m) qui permet de visualiser lintrieur. Travail demand : 1) Reprsenter le champ de pression qui sexerce sur la partie vitre. r 2) Dterminer le module de la rsultante R des forces de pression. 3) Calculer la profondeur ZR du centre de pousse. 4) Reprendre les questions 2. et 3. en changeant la forme rectangulaire de la partie vitre par une forme circulaire de diamtre d= 2m. 2

REPONSE1) Le champ de pression agissant sur le vitrage a lallure suivante :

O

X

H

2m

Z

1m

2) Si on nglige la pression atmosphrique, la rsultante des forces de pressions : r r R = PG .S . X avec S = a.b donc R = .g.S .Z g A.N. R = 1000.9,81.6.4 = 235440 N 3) La profondeur ZR du centre de pousse est donne par lexpression suivante :

ZR =

I (G ,Yr ) Z G .S

+ Z G ou I ( G ,Yr ) =

2 3.3 = 2 m 4 A.N. Z R = 4,0833 m 12

4) Cas dune partie vitre de forme circulaire de diamtre d= 2 m :

S=

.d 24

= 3,141 m , I2

r ( G ,Y )

=

.d 464

= 0,785 m 4

r r R = .g.S .Z g A.N. R = 123252 N


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ZR =

I (G ,Yr ) Z G .S

+ Z G A.N. Z R =

0,785 + 4 = 4,0625 m 4.3,14


ENONCEUne vanne de vidange est constitue par un disque de diamtre d pivotant autour r dun axe horizontal (G, Z ). Le centre G du disque est positionn une hauteur h=15,3 m par rapport au niveau deau. Y

h eau G X

On donne : - le diamtre de la vanne : d = 1 m, - la pression atmosphrique Patm = 1 bar, - lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2, - la masse volumique de leau =1000 kg/m3. Travail demand : 1) Dterminer le poids volumique de leau. 2) Dterminer la pression PG de leau au point G. r 3) Calculer lintensit de la pousse R sur le disque.

r r 4) Calculer le moment quadratique I ( G ,Z ) du disque par rapport laxe (G, Z ).r 5) Calculer le moment M G des forces de pression agissant sur le disque.

6) Dterminer la position du centre de pousse y0. 2

REPONSE1) Poids volumique = .g


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3 A.N. = 1000.9,81 = 9810 N / m

2) Pression au point G PG = Patm + .h .5 5 A.N. PG = 10 + 9810.15,3 = 2,5 .10 Pascal

3) Intensit de la pousse

s .d 2 R = PG . 4

2 s 5 .1 = 196349,5 N A.N. R = 2,5.10 . 4

r 4) Moment quadratique I (G ,Z ) =

.d 464

A.N. I

r (G ,Z )

=

.1464

= 0,049 m 4

r r r 5) Moment des forces de pression M G = .I (G ,Z ) .Z r A.N. M G = 9810.0,049 = 480,6 N .m6) Position centre de pousse : yc =

.I (G ,Zr )r R

A.N. yc =

9810.0,049 = 2,44.10 3 m 196349,5


ENONCEUne conduite AB de longueur L =646 mm est soude sur un rservoir cylindrique de diamtre D = 3 m. Le rservoir est rempli jusqu'au point A avec du ptrole brut de densit d = 0,95.


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r Y

r Y

A L B

A

B

r Z

G G0

y0

D

G G0

r R

r X

Surface S

r r r Le repre (G, X , Y , Z ) a t choisit tel que G est le centre de la surface circulaire S r r (fond de rservoir). (G, X ) est l'axe de rvolution du rservoir et (G, Y ) est vertical.On donne: - la masse volumique de l'eau eau=1000 kg/m3 , - l'acclration de la pesanteur g=9,81 m.s-2, - la pression PA=Patm=1bar. Travail demand : 1) Quelle est la masse volumique du ptrole? 2) En dduire son poids volumique . 3) En appliquant la RFH entre G et A, dterminer la pression PG au point G. r 4) Calculer le module de la rsultante R des forces de pression du ptrole sur le fond du rservoir.r 5) Calculer le moment quadratique I ( G ,Z ) de la surface circulaire S par rapport

r l'axe (G, Z ).6) Dterminer la position y0 du centre de pousse G0. 2

REPONSE


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3 1) Masse volumique du ptrole: = d . eau A.N. = 0,95.9,81 = 950 kg / m 3 2) Poids volumique : = .g A.N. = 950.9,81 = 9319,5 N / m

3) RFH entre G et A : PG PA = .g (YA YG ) Or PA=Patm et YG=0 Donc PG = Patm + .g.( L +

D ) 2

5 A.N. PG = 10 + 950.9,81.(0,646 + 1,5) = 119999,64 Pa = 1,2 bar

r .D 2 4) Intensit de la rsultante : R = PG . 4 r .32 = 848227,47 N A.N. R = 119999,64. 45) Moment quadratique: Ir (G ,Z )

=

.D 464

A.N. I

r (G ,Z )

=

.3464

= 3,976 m 4

6) Position du centre de pousse : y0 =

.I (G ,Zr )r R

A.N. y0 =

9319,5.3,976 = 0,04368 m 848227,47


ENONCESuite au naufrage dun ptrolier, on envoie un sous-marin pour inspecter lpave et reprer dventuelles fuites. Lpave repose une profondeur h= 1981 m. On donne : - lacclration de la pesanteur g= 9,8 m/s2, - la pression atmosphrique Patm= 1 bar, - la masse volumique de leau de mer est = 1025 kg/m3, Le sous marin est quip dun hublot vitr de diamtre d= 310 mm., de centre de r r r gravit G, et de normale ( (G, X ) est situ dans un plan vertical (G, Y , Z ) . Laxe r (G, Z ) est vertical. Travail demand : 1) Calculez la pression PG de leau cette profondeur au point G.


Page: 36


r 2) Quelle est lintensit ( R ) de la rsultante des actions de pression de leau surle hublot ?r 3) Calculer le moment quadratique I ( G , Z ) du hublot.

r 4) Quelle est lintensit ( M G ) du moment des actions de pression de leau sur lehublot ? 2

REPONSE1) RFH entre le point G et un point M la surface : PG PM = .g.(Z M Z G ) = .g.h

PG = Patm + .g .h5 5 A.N. PG = 10 + 1025.9,8.1981 = 200.10 pascal = 200 bar

r .d 2 R = PG .S = PG . 2) Intensit de la rsultante : 42 r 5 .0,310 = 15.10 5 N A.N. R = 200.10 . 4

3) Moment quadratique : I ( G ,Yr ) = A.N I ( G ,Yr ) =

.d 464

.0,310 464

= 4,533.10 4 m 4

r 4) Intensit du moment : M G = .I (G ,Yr ) r ' A.N M G = 1025.9,8.4,533.10 = 4,5 Nm


ENONCELa figure ci-dessous reprsente une vanne de scurit de forme rectangulaire destine un barrage. Elle permet dvacuer leau stocke dans le barrage surtout lorsque le niveau du fluide devient lev.


Page: 37


Les dimensions de la vanne sont : b=4 m et h= 2 m. Sa partie suprieure affleure la surface du plan deau. r r r Un repre (G, X , Y , Z ) est reprsent sur la figure tel que : G est le centre de surface de la vanne. On donne : la masse volumique de leau =1000 kg/m3 et lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2,

r y

A

h

r x

G (vanne)

Travail demand : 1) En ngligeant la pression atmosphrique, calculer la pression PG de leau au centre de gravit.

r 2) Dterminer la rsultante R des forces de pression.


Page: 38


r 3) Dterminer le moment M G des forces de pression.

4) Calculer lordonne y0 du centre de pousse. 2

REPONSE1) RFH entre G et A: PG PA = .g.( y A yG ) Or yG=0, yA=h/2, PA=Patm (nglige) Donc PG = .g.

h 2

A.N. PG = 1000.9,81.1 = 9819 Pa r r 2) R = PG .S .x r r avec S = b.h donc R = PG .bh.x

r A.N. R = 9810.4.2 = 78480 N r bh 3 r r r 3) M G = .g.I ( G , z ) .z Avec I ( G , z ) = 12 r bh3 r .z Donc M G = .g. 12

r 4.8 M G = 1000.9,81. = 26160 N 12 r MG 4) y0 = r RA.N. A.N. y0 =

26160 = 0,33 m 78480


ENONCEOn considre un rservoir deau quip au niveau de sa base dune plaque rectangulaire qui peut tourner dun angle ( 0 ) autour dun axe (A, Z ).


Page: 39


YPatm OVue suivant X de la plaque

Y

Patm a h eau b

XdAxe de rotation

G A

Z

Dun cot, la plaque est soumise aux forces de pression de leau et de lautre cot, elle est soumise la pression atmosphrique (Patm). Sous leffet des forces de pression hydrostatique variables fonction du niveau h, la plaque assure dune faon naturelle la fermeture tanche ( = 0 ) ou louverture ( 0 ) du rservoir. Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur h0 du niveau deau partir de laquelle le rservoir souvre automatiquement. On donne : - le poids volumique de leau : = 9,81.103 N / m3 - les dimensions de la plaque : a=0,75 m (selon laxe Z ) , b=1,500 (selon laxe

Y )- la distance entre le centre de surface G et laxe de rotation (A, Z ) est : d=50 mm - la pression au point O est Po=Patm Travail demand : 1) En appliquant le principe fondamental de lhydrostatique, donner lexpression de la pression de leau PG au centre de surface G en fonction de la hauteur h.


Page: 40


2) Dterminer les expressions de la rsultante R et du moment M G associs au torseur des forces de pression hydrostatique dans le repre G, X ,Y , Z . 3) En dduire lexpression du moment M A des forces de pression de leau, par rapport laxe de rotation (A, Z ). 4) Donner lexpression du moment M ' A des forces de pression atmosphrique agissant sur la plaque, par rapport laxe de rotation (A, Z ). 5) A partir de quelle valeur h0 du niveau deau la plaque pivote ( 0 ) ? 2

(

)

REPONSE1) Principe fondamental de lhydrostatique : PG P0 = .(Y0 YG ) or Y0 = h

b ; 2

b YG = 0 et P0 = Patm Donc PG = Patm + . h 2 2) R = PG .S . X avec S = a.b

b donc R = Patm + . h .a.b. X 2 ab a.b3 .Z donc M G = . 12 123

3) M G = .I G, z .Z

( )

avec

I=

a.b 3 b d . Patm + . h .a.b .Z M A = M G + AG R avec AG = d .Y donc M A = . 2 12

4) M A ' = Patm .a.b.d .Z b2 b 5) La plaque pivote ( < 0 ) si M A + M A ' .Z < 0 ou encore .a.b. d . h < 0 2 12

(

)

b b b2 1 A.N. h0 = 4,5 m Equivaut h > + donc h0 = b. + 2 d 2 12.d

Exercice N16: 1

ENONCE


Page: 41


On considre une sphre pleine en bois de rayon r=20 cm et une sphre creuse en acier de rayon r=20 cm et dpaisseur e=8 mm. On suppose que le volume compris entre 0 et (r-e) est vide. On donne :-

la masse volumique du bois : bois = 700 kg/m3 la masse volumique de lacier : acier = 7800 kg/m3 la masse volumique de leau : eau = 1000 kg/m3

1) Dterminer le poids dune chaque sphre. 2) Dterminer la pouss dArchimde qui sexercerait sur chacune de ces sphres si elles taient totalement immerges dans leau. 3) Ces sphres pourraient-elles flotter la surface de leau ? 4) Si oui quelle est la fraction du volume immerg ? 2

REPONSE1) Poids de chaque sphre: poids = .g.V

4 poidsbois = bois .g.( . .r 3 ) 3

A.N.

poidsbois = 700 9,8 0,0335 = 230 N

4 4 poids acier = aciers .g.[( . .r 3 ) ( . .(r e) 3 )] 3 3

A. N. poids acier = 7800 9,8 0,00386 = 295 N 2) Pousse dArchimde : La pouss dArchimde est gale au poids du volume dplac. Or lorsquelles sont totalement immerges, ces deux sphres vont dplacer le mme volume e volume

4 3 donc: PARCH = eau .g.( . .r ) A.N. PARCH = 1000 9,8 0,0335 = 328 N 33) Ces deux sphres peuvent toutes les deux flotter car leurs poids sont infrieurs la pouss dArchimde. 4) A lquilibre la pouss dArchimde est gale au poids : 5)

230 = 1000.9,8.Vbois immergVbois immerg = 0,0234 m3 soit F=70%. 295 = 1000.9,8.Vacier immerg Vacier immerg = 0,0301 m3 soit F=90%.Exercice N17: EXTRAIT DE LEXAMEN DU 15-01-2007Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

Page: 42


1

ENONCEUne sphre de rayon R=10 cm flotte moiti (fraction du volume immerg F1=50 %) la surface de leau de mer (masse volumique mer=1025 kg/m3). 1) Dterminer son poids P. 2) Quelle sera la fraction du volume immerg F2 si cette sphre flottait la surface de lhuile (masse volumique huile=800 kg/m3) ?

2

REPONSE4 3 1) Equation dquilibre : Poids = PARCH = F1 .V . mer .g = F1 . .R . mer .g 3A.N. Poids =

14 0,13.1025.9,81 = 21 N 23

2) Poids = PARCH F2 .V . huile .g = Poids quivaut F2 =1 mer 1 1025 = 64% AN. F2 = 2 huile 2 800


ENONCELa glace -10C a une masse volumique glace= 995 kg/m3. Un iceberg sphrique de 1000 tonnes flotte la surface de l'eau. L'eau de mer a une masse volumique eau = 1025 kg/m3.

glace Eau de mer

Travail demand : 1) Dterminer la fraction F du volume immerge ? 2) Quelle sera F si la glace avait une forme cubique ? 2

REPONSE


Page: 43


1) Equation dquilibre : Parch=Poids glace .g.Vtotal = eau .g.Vimmerg donc F = A.N. F =

Vimmerg Vtotal

.100 =

glace .100 eau

995 .100 = 97% 1025

2) La fraction F ne dpend que du rapport des masses volumiques. Elle est indpendante de la forme. Donc F=97% si la forme tait cubique. Exercice N19: EXTRAIT DE LEXAMEN DU 20-06-2005 1

ENONCEUn cube en acier de cot a=50 cm flotte sur du mercure.

h a On donne les masses volumiques : - de lacier 1= 7800 kg/m3 - du mercure 2= 13600 kg/m3 1) Appliquer le thorme dArchimde, 2) Dterminer la hauteur h immerge. 2

REPONSE1) Thorme dArchimde : la pousse dArchimde est gal au poids du volume2 dplac: PARCH = a .h. 2 .g .

2) Equation dquilibre : PARCH = Poids Donc a 2 .h. 2 .g = a 3 .1 .g quivaut h = A.N. h =

1 .a 2

7800 .50 = 28,676 cm 13600


ENONCEPage: 44



On considre une plate-forme compose dune plaque plane et de trois poutres cylindriques en bois qui flottent la surface de la mer. Plaque Bois

d

Eau de mer On donne: - les dimensions dune poutre: diamtre d=0,5 m et longueur L=4 m, - la masse volumique du bois : bois = 700 kg / m3 , - la masse volumique de leau de mer: mer = 1027 kg / m3 , - la masse de la plaque Mc = 350 kg, - lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2. Travail demand: 1) Calculer le poids total P0 de la plate-forme. 2) Ecrire lquation dquilibre de la plate-forme. 3) En dduire la fraction F(%) du volume immerg des poutres. 4) Dterminer la masse Mc maximale quon peut placer sur la plate-forme sans limmerger. 2

REPONSE1) Poids total de la plate-forme : P0 = (M p + 3.M b ).g = ( M p + 3. bois . .0,5 2 350 + 3.700. .4 .9,81 = 19613,49 N A.N. P0 = 4

.d 24

.L)

2) Equation dquilibre : P0 = Pousse dArchimde 3) PARCH= poids du volume deau dplac

PARCH = 3. eau .Vimmerge .g = Po Vimmerg =

3. eau .g

P0


Page: 45


La fraction du volume immerg : F (%) = A.N. F (%) =

Vimmerge V poutre

.100 =

P0 .100 3. eau .g .V poutre

19613,49 .100 = 82,62 % .0,5 2 3.1027.9,81. 4 .4

4) Poutre compltement immerge : F(%)=100 % c'est--dire Vimmerg=Vpoutre

1 P0 + M C .g = V poutre . On obtient : M c = .(3. eau g.V poutre Po ) g 3. eau .gA.N. M c = 1 .0,5 2 . 3.1027.9,81. .4 19613,49 = 420,47 kg 9,81 4


ENONCELa figure ci-dessous reprsente un montage destin pour la pche la ligne.(2)

(3)

Eau de mer

(1)

Il est compos dune sphre pleine (1) de rayon R1 =10 mm en plomb suspendu, par lintermdiaire dun fil souple et lger (3), un flotteur (2) en forme de sphre creuse en matire plastique de rayon R2=35 mm et dpaisseur e=5 mm. On donne : - la masse volumique de leau de mer : =1027 kg/m3,


Page: 46


-

la masse volumique du plomb : 1 =11340 kg/m3 , la masse volumique du matriau du flotteur : 2 =500 kg/m3, lacclration de la pesanteur g=9,81m.s-2.

Travail demand: 1) Calculer le poids P1 de la sphre (1). 2) Dterminer la pousse dArchimde PARCH1 qui agit sur la sphre (1). 3) Ecrire lquation dquilibre de la sphre (1). En dduire la tension T du fil. 4) Calculer le poids P2 du flotteur (2). 5) Ecrire lquation dquilibre du flotteur. En dduire la pousse dArchimde PARCH2 agissant sur la sphre (2). 6) En dduire la fraction F% du volume immerg du flotteur. 2

REPONSE4 3 1 1) Poids de la sphre (1) : P = 4R13.1 .g A.N. P1 = .0,01 .11340.9,81 = 0,4659 N 3 32) Pousse dArchimde sur la sphre (1) : PARCH1 = 4R13. .g 3 A.N. PARCH1 = 4.0,013.1027.9,81=0,0422 N 3 r r r r 3) Equation dquilibre : T + P1 + PARCH = O Tension du fil : T=P1-PARCH1 A.N. T=0,4659-0,0422=0,4237 N3 . 4) Poids du flotteur (2) : P2 = 4 [R2 (R2 e)3 ] 2.g 3

. A.N. P2 = 4.[0,0353 0,0303 ]500.9,81=0,3262 N 3 r r r r 5) Equation dquilibre du flotteur (2) : T + P2 + PARCH 2 = O

Pousse dArchimde agissant sur la sphre (2) : PARCH2=P2+T A.N. PARCH2=0,3262+0,4237=0 ,7499 N

PARCH 2 V g .100 6) Fraction du volume immerg : F = im .100 = 4 3 4 3 R2 .R2 3 3


Page: 47


A.N. F =

PARCH 2 g

4 .0,0353 3

.100 = 41,4449 %


ENONCEOn considre un densimtre form dun cylindrique creux de longueur L=400 mm et de diamtre d, dans lequel est place une masse de plomb au niveau de sa partie infrieure. Le centre de gravit G du densimtre est situ une distance a =10 mm par rapport au fond. Le densimtre flotte la surface dun liquide de masse volumique inconnu. Il est immerg jusqu' une hauteur h. Lorsque le densimtre est plac dans de leau de masse volumique

0 = 1000 kg / m3 , la hauteur immerge est h0 = 200 mm.d

h a

L G

Travail demand : 1) Quel est la masse volumique du liquide si la hauteur immerge h=250 mm? 2) Quel est la masse volumique min quon peut mesurer avec ce densimtre ? 3) Jusqu quelle valeur de la masse volumique du liquide le densimtre reste dans une position dquilibre verticale stable? 4) Donner un exemple de liquide dans lequel on risque davoir un problme de stabilit. 2

REPONSE


Page: 48


1) Le densimtre est soumis son poids propre dintensit m.g et la pousse dArchimde dirige vers le haut et dintensit .g.Vliquide deplace = .g. Lquation dquilibre est : m.g = .g.

.d 24

.h . .h (1)

.d 24

.h

quivalente m = .

.d 24

De mme si le liquide tait de leau on a : m = 0 . (1) et (2) entrane .h = 0 .h0 donc =

.d 24

.h0 (2)

h0 . 0 h

3 A.N. = 800 kg / m

2) La masse volumique min correspond une hauteur immerge h=400 mm.

min =

h0 . 0 h

3 A.N. = 500 kg / m

3) Le densimtre reste en position dquilibre stable si le centre de gravit du liquide dplac (situ une distance h/2 de la base) est au dessus du centre de gravit (situ une distance a de la base). Donc, il faut que

h >a 2

pour assurer la stabilit du densimtre. Or h =

1 h 0 .h0 donc il faut que < . 0 . 0 2a

3 A.N. < 10000 kg / m 3 4) Le mercure a une masse volumique = 13600 kg / m > 10000


ENONCEOn considre un cylindre (1) en acier, de rayon R et de hauteur H. Ce cylindre est suspendu par un fil (3) lintrieur dun rcipient contenant de lhuile (2).


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Z (3)

ZA H ZB

A (2)

(1) B

On donne : - lacclration de la pesanteur g=9,81 m/s2, - la masse volumique de lhuile huile =824 kg/m3, - la masse volumique de lacier acier =7800 kg/m3, Travail demand : 1) Dterminer lexpression de la tension T du fil en appliquant le thorme dArchimde. 2) Retrouver la mme expression en utilisant la RFH (Relation Fondamentale de lHydrostatique). 3) Faire une application numrique pour R=0,1 m et H=0,2 m. 2

REPONSEr r r r 1) Equation dquilibre : T + P + PARCH = 0 r r r T : tension du fil ; P : poids du cylindre et PARCH :pousse dArchimde. r Projection selon Z : T mg + PARCH = 0 (m : masse du cylindre : m = acier . .R 2 .H )2 Th. dArchimde : PARCH = huile . .R 2 .H donc T = ( acier huile ). .R .H .g r r r r r r 2) Equation dquilibre : T + P + FA + FB + FL = 0 r r r T : tension du fil, P : poids du cylindre , FA : force de pression agissant sur la r r surface suprieure, FB : force de pression agissant sur la surface infrieure, FL : r forces de pression agissant sur la surface latrale (perpendiculaire laxe Z ).


Page: 50


r Projection selon Z : T mg PA .S + PB .S = 0O m : masse du cylindre ; PA , PB :pressions respectivement au point A et au point B et S : section.2 RFH : PB PA = huile .g.H donc T = ( acier huile ). .R .H .g 2 3) T = (7800 824). .0,1 .0,2.9,81 = 429,5 N


Page: 51

Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES PARFAITS

1

INTRODUCTIONDans ce chapitre, nous allons tudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les lments dun fluide en mouvement peuvent se dplacer des vitesses diffrentes. Lcoulement des fluides est un phnomne complexe. On sintresse aux quations fondamentales qui rgissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - lquation de continuit (conservation de la masse), - le thorme de Bernoulli (conservation de lnergie) et, - le thorme dEuler (conservation de la quantit de mouvement) partir duquel on tablit les quations donnant la force dynamique exerce par les fluides en mouvement (exemple les jets deau).

2

ECOULEMENT PERMANENTLcoulement dun fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans lespace. Lcoulement permanent dun fluide parfait incompressible est le seul que nous aurons considrer dans ce cours. Un coulement non permanent conduirait considrer les effets dinertie des masses fluides.

3

EQUATION DE CONTINUITEConsidrons une veine dun fluide incompressible de masse volumique anime dun coulement permanent.

52

Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits

S1 S1 dx1

dm1

r V1M dm2S2 S2

dx2

r V2

On dsigne par : - S1 et S2 respectivement la section dentre et la section de sortie du fluide linstant t, - S1 et S2 respectivement les sections dentre et de sortie du fluide linstant t=(t+dt), - V1 et V2 les vecteurs vitesse dcoulement respectivement travers les sections S1 et S2 de la veine. - dx1 et dx2 respectivement les dplacements des sections S1 et S2 pendant lintervalle de temps dt, - dm1 : masse lmentaire entrante comprise entre les sections S1 et S1, - dm2 : masse lmentaire sortante comprise entre les sections S2 et S2, - M : masse comprise entre S1 et S2, - dV1 : volume lmentaire entrant compris entre les sections S1 et S1, - dV2 : volume lmentaire sortant compris entre les sections S2 et S2, A linstant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse gale (dm1+ M) A linstant t+dt : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse gale (M+ dm2).Notions de mcanique des fluides. Cours et exercices corrigs. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA

Page: 53


Par conservation de la masse: dm1 + M = M + dm2 en simplifiant par M on auradm1 = dm2 Donc 1 .dV1 = 2 .dV2 ou encore 1 .S1 .dx1 = 2 .S 2 .dx2 ,

En divisant par dt on abouti :

1 .S1 .

dx1 dx = 2 .S 2 . 2 dt dt

1 .S1 .V1 = 2 .S 2 .V2

Puisque le fluide est incompressible : 1 = 2 = On peut simplifier et aboutir lquation de continuit suivante :S1 .V 1= S 2 .V2 (1)

4

NOTION DE DEBITLe dbit massique dune veine fluide est la limite du rapport vers 0.

4.1 Dbit massiquedm quand dt tend dt

qm =o :

dm dt

- qm est la masse de fluide par unit de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dm : masse lmentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle de temps dt . - dt : intervalle de temps en (s) en tenant compte des quations prcdentes on obtient :

qm =

dm dx dx = .S1. 1 = .S 2 . 2 (2) dt dt dt

avec :dx1 = V1 = V1 : Vitesse moyenne dcoulement de la veine fluide travers S1, dtdx 2 = V2 = V2 : Vitesse moyenne dcoulement de la veine fluide travers S2 dt

Daprs (2) :


Page: 54


q m = .S1 .V1 = .S 2 .V2Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide travers laquelle le fluide scoule la vitesse moyenne v :

q m = .S .V (3)o : qm : Dbit massique en (kg/s)

: Masse volumique en (kg/m3)S : Section de la veine fluide en (m2) V : Vitesse moyenne du fluide travers (S) en (m/s)

4.2 Dbit volumiqueLe dbit volumique dune veine fluide est la limite du rapport vers 0.

dV quand dt tend dt

qv =O :

dV dt

- qv : Volume de fluide par unit de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dV : Volume lmentaire, en (m3), ayant travers une surface S pendant un intervalle de temps dt, - dt : Intervalle de temps en secondes (s), Daprs la relation (3) et en notant que dV =

dm

on peut crire galement que

qv =

qm

soit

qv = S .V

4.3 Relation entre dbit massique et dbit volumiqueA partir des relations prcdentes on peut dduire facilement la relation entre le dbit massique et le dbit volumique :

qm = .qv


Page: 55


5

THEOREME DE BERNOULLI CAS DUN ECOULEMENT SANS ECHANGE DETRAVAILReprenons le schma de la veine fluide du paragraphe 3 avec les mmes notations et les hypothses suivantes: - Le fluide est parfait et incompressible. - Lcoulement est permanent. - Lcoulement est dans une conduite parfaitement lisse. r On considre un axe Z vertical dirig vers le haut. On note Z1, Z2 et Z respectivement les altitudes des centres de gravit des masses dm1, dm2 et M. On dsigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2.

r F1G1 dx1

dm1S1 S1 Z1

r V1M dm2G S2 Z

r S2 F2 r F2 G2dx2

Z2

r V2


Page: 56


A linstant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son nergie mcanique est : E mec = E pot + EcinS 2 dm. V2 1 2 = (dm1 .g.Z1 + MgZ ) + dm1 .V1 + S '1 2 2

A linstant t=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S1 et S2. Son nergie mcanique est : E ' mec = E ' pot + E 'cin = ( MgZ + dm2 .g.Z 2 ) +

dm.V 2 1 + dm2 .V22 S '1 2 2S2

On applique le thorme de lnergie mcanique au fluide entre t et t : La variation de lnergie mcanique est gale la somme des travaux des forces extrieures.

E 'mec Emec = WForces

de

pression

= F1.dx1 F2 .dx2 E 'mec Emec = P .S1.dx1 P2 .S 2 .dx2 = P .dV1 P2 .dV2 1 1

P P 1 1 en simplifiant on obtient : dm2 .g.Z 2 + dm2 .V22 dm1.g .Z1 .dm1.V12 = 1 .dm1 2 .dm2 1 2 2 2Par conservation de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est

incompressible : 1 = 2 = , On aboutie lquation de Bernoulli :V22 V12 P2 P 1 + + g ( Z 2 Z1 ) = 0 (4) 2

Lunit de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg) Daprs la relation (4) on peut alors crire :V22 P2 V12 P1 + + g .z 2 = + + g . z1 2 2

6

THEOREME DE BERNOULLI CAS DUN ECOULEMENT AVEC ECHANGE DETRAVAILReprenons le schma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mmes notations et les mmes hypothses. On suppose en plus quune machine hydraulique est place entre les sections S1 et S2. Cette machine est caractrise par une puissance nette Pnet change avec le fluide, une puissance sur larbre Pa et un certain rendement .Cette machine peut tre soit une turbine soit une pompe.


Page: 57


- Dans le cas dune pompe : le rendement est donn par lexpression suivante :

=

Pnet Pa

- Dans le cas dune turbine : le rendement est donn par lexpression suivante :

=

Pa Pnet

Entre les instant t et t=(t+dt), le fluide a change un travail net Wnet = Pnet .dt avec la machine hydraulique. Wnet est suppos positif sil sagit dune pompe et ngatif sil sagit dune turbine. On dsigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2. A linstant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son nergie S 2 dm. V2 1 2 mcanique est : E mec = E pot + Ecin = (dm1 .g.Z1 + MgZ ) + dm1 .V1 + S '1 2 2

r F1G1 dx1

S1 S

dm1Z1

r V1M dm2G Z S2

Pompe TurbineG2 dx2

r S F2 r V2

Z2


Page: 58


A linstant t=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S1 et S2. Son

dm.V 2 1 nergie mcanique est : E ' mec = E ' pot + E 'cin = ( MgZ + dm2 .g.Z 2 ) + + dm2 .V22 S '1 2 2S2

On applique le thorme de lnergie mcanique au fluide entre t et t : La variation de lnergie mcanique est gale la somme des travaux des forces extrieures. ,en considrant cette fois ci le travail de la machine hydraulique

E 'mec Emec = F1.dx1 F2 .dx2 + Pnet .dtE ' mec E mec = P1 .S1 .dx1 P2 .S 2 .dx 2 + Pnet . .dt = P1 .dV1 P2 .dV2 + Pnet .dt en simplifiant on aura :

P P 1 1 dm2 .g.Z 2 + dm2 .V22 dm1.g.Z1 .dm1.V12 = 1 .dm1 2 .dm2 + Pnet .dt Par conservation 1 2 2 2de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : 1 = 2 = , on aboutie lquation de Bernoulli :

V22 V12 P2 P P 1 + + g ( Z 2 Z1 ) = net (5) qm 2

7

THEOREME DEULER :Une application directe du thorme dEuler est lvaluation des forces exerces par les jets deau. Celles-ci sont exploites dans divers domaines : production de lnergie lectrique partir de lnergie hydraulique grce aux turbines, coupe des matriaux, etc. Le thorme dEuler rsulte de lapplication du thorme de quantit de mouvement lcoulement dun fluide :

Fext =

dP ; avec P = mV G : quantit de mouvement. dt

Ce thorme permet de dterminer les efforts exercs par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. Enonc La rsultante ( Fext ) des actions mcaniques extrieures exerces sur un fluide isol (fluide contenu dans lenveloppe limite par S1 et S2 ) est gale la variation de la quantit de mouvement du fluide qui entre en S1 une vitesse

V1 et sort par S2 une vitesse V2 .

Fext = q

m

(V2 V1 )


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Exemple : Considrons un obstacle symtrique par rapport laxe Z . Le jet dun coulement de dbit massique qm, de vitesse V1 et de direction parallle laxe Z , percute lobstacle qui le dvie dun angle . Le fluide quitte lobstacle une vitesse V2 de direction faisant un angle par rapport laxe Z .

ZV2 V2

F

V1

La quantit de mouvement du fluide lentre de lobstacle est : qm .V1 port par laxe Z . La quantit de mouvement du fluide la sortie de lobstacle est : qm .V1. cos port par laxe Z . La force oppose au jet tant gale la variation de la quantit de mouvement :

R = qm .V2 . cos qm .V1La force F exerce sur lobstacle en direction de Z est gale et oppose celleci :

F = qm .(V1 V2 . cos )


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CONCLUSIONLes lois et les quations tablies dans ce chapitre en particulier lquation de Bernoulli ont un intrt pratique considrable du moment ou elles permettent de comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup dinstruments de mesure de dbits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragmeetc. Rserves aux fluides incompressibles, ces lois et quations peuvent tre employes dans certains cas particulier pour les fluides compressibles faible variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques. Cependant, lorsquon veut prendre en considration la compressibilit dans les calculs, il est ncessaire demployer les formules appropries.

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EXERCICES DAPPLICATIONENONCEOn veut acclrer la circulation dun fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multiplie par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractris par langle (schma ci-dessus).

Exercice N1:

R1

V1

V2

R2

l 1) Calculer le rapport des rayons (R1/R2). 2) Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et . En dduire la longueur L. (R1 = 50 mm,

= 15).2

REPONSE1) On applique lquation de continuit :


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V1.S1 = V2 .S 2 ou encore

S1 V2 R V2 2 = or S1 = .R12 et S 2 = .R2 do 1 = =2 R2 V1 S 2 V1

2) tg =

R R2 R1 R1 R2 R donc l = 1 or R2 = 1 donc l = A.N.: L = 93,3 mm. l tg 2 2.tg


ENONCEOn considre un rservoir remplie deau une hauteur H= 3 m , muni dun petit orifice sa base de diamtre d= 10 mm. 1) En prcisant les hypotses prises en comptes, appliquer le thorme de Bernouilli pour calculer la vitesse V2 dcoulement deau. 2) En dduire le dbit volumique Qv en (l/s) en sortie de lorifice. On suppose que g=9,81 m/s.

eau H

V2 2

REPONSE1) Vitesse dcoulement V2 ? On applique le thorme de Bernoulli avec les hypothses suivantes : V10 car le niveau dans le rservoir varie lentement et P1=P2=Patm,V22 V12 P2 P1 + + g .( Z 2 Z1 ) = 0 On obtient : 2 V2 = 2.g .H A.N. V2 = 2.9,81.3 = 7,67 m / s

2) Dbit volumique Qv ?

QV = V2 .S or S =

.d 24

=

.(10.10 3 ) 24

= 7,87.10 2 m 2 A.N. QV = O,6 L / s


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ENONCEUn fluide parfait incompressible scoule dun orifice circulaire situ sur le cot dun rservoir avec un dbit volumique qv=0,4 L/s. Le diamtre de lorifice est d=10 mm. 1) Dterminer la vitesse dcoulement au niveau de lorifice. 2) Enoncer le thorme de Bernoulli. 3) A quelle distance de la surface libre se trouve lorifice ?

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REPONSE1) Vitesse dcoulement : V =

qv 4.qv = S .d 2

A.N. V =

4.0,4.10 3 = 5,1 m / s .0,012

2) Thorme de Bernoulli :

V12 P V2 P + Z1 + 1 = 2 + Z 2 + 2 2.g 2.g V22 5,12 h= = 1,32 m A.N. 2.g 2.9,81

3) On a Z1-Z2=h ; P1=P2=Patm ; V1=0 donc h =


ENONCEOn considre un rservoir cylindrique de diamtre intrieur D = 2 m rempli deau jusqu une hauteur H = 3 m. Le fond du rservoir est muni dun orifice de diamtre d = 10 mm permettant de faire vacuer le

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