Meca EPFL

Contenu: – Structures hyperstatiques, méthode des forces

– Structures hyperstatiques, méthode des déplacements

Mécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 1.EPFL-DGC

Mécanique des Structures et Solides IV

Objectifs:

– Compréhension analytique et intuitive du comportement mécanique des structures

– Ne pas concurrencer l’ordinateur

– Choisir la bonne modélisation et apprécier les résultats d’une manière critique

Illustration:

modélisation: – type d’appui – niveau d’appui – pente longitudinale – courbure en plan – etc… ? ?

??

structure réelle: – pont routier

calcul statique:

analyse des résultats:– analyse critique en relation avec la structure réelle

Mécanique des Structures et Solides VContenu: – Méthode des déplacements avec effets du second ordre

– Théorie élastique des plaques

– Torsion non uniforme

La modélisation est primordiale dans l’analyse des structures:

Plusieurs modélisations sont possible pour une même structure. L’analyse à effectuer oriente la modélisation de la structure mais les résultats obtenus sont conditionnés par le modèle adopté.



Illustration:

analyse traditionnelle: analyse sismique:

M

M

M

éléments non porteurs:– négligés = sécurité – négligés = sécurité



Différences entre structures isostatiques et hyperstatiques:

isostatiques hyperstatiques

nb inconnues = conditions d’équlibre nb inconnues > conditions d’équlibre

insensibles aux tassements d’appui sensibles aux tassements d’appui

ajouter des conditions

structures souples structures rigidifiées

Les conditions d’équilibre suffisentà déterminer le système

efforts indépendants des rigidités efforts dépendants des rigidités



Détermination du degré d’hyperstaticité:

Moyen: rendre la structure isostatique par des coupures.

Poutre encastrée appuyée:


Décomposition:

Méthode des forces: Exemple introductif

+

une condition de compatibilité cinématique a été exprimée sur l’appui

Mécanique des Structures et Solides IV:


Structures hyperstatiques en barres et poutres:

Hypothèses:

– linéarité géométrique (petites déformations)

– linéarité matérielle (béton, béton fissuré ?)

– validité du principe de superposition

– théorie du 1er ordre (considérations sur la structure non déformée)

– déformations dues à V et N négligeables

Bibliographie:

– Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volumes 1, 2 et 3

– Krätzig, W.: Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Bauwerke. Springer-Verlag, 1998

– Féodossiev V.: Résistance des Matériaux. Editions de Moscou

Structures en barres et poutres: Détermination des déformations


Principe des travaux virtuels: Wint = Wext

Méthodes de calcul des déformations:

– travaux virtuels

– intégration de l’équation différentielle

– analogie de Mohr, théorème de Castigliano, etc...

= +N dxEA

L

1 ∆ N1M dx

EIL

M1 +V dxGA’

L

V1

semestre d’été 2001 P. Lestuzzi 8.EPFL-DGC

Poutre encastrée: déformation dans une direction quelconque:

Travaux virtuels: Exemple illustratif


=1r

M1

duA

dx

M1 dϕ

=

dϕ2dx

dϕe

α

α

duA = e dϕ sinα

A

L’incrément de déplacement en A dû à la déformation d’un petit élément équivaut au produit de la rotation subie par l’élément et du moment (par rapport à l’élément) d’une force unitaire en A dans la direction considérée.

Cas des ressorts:

=L

uAL

duAL

M dxEI

M1=1r

M1 dx =

= F1WintFK = M1Wint

MC

P. LestuzziMécanique des Structures et Solides IV semestre d’été 2001 9.EPFL-DGC

Détermination des déformations par les travaux virtuels: Exemple

Statique virtuelle:

Cinématique réelle:

Rotation relative: Wint = Wext

L L L

L

K

Pθrel=?

=1 θrel 2 PL L1EI

13

2 PPK

2L

= ( L3 EI

2+ 1

K L )

2

21

2L

+

P

P

PL

PL


Les moments sont portés du côté de la fibre tendue, les signes sont ensuite attribués selon:

Définition des signes:


Condition d’équilibre en rotation par rapport au centre de l’élément:

= +V dMdx

L’effort tranchant est égal à la dérivée du moment:

La différence avec la définition utilisée dans les TGC 1-3 apparaît clairement avec la disparition du signe moins.

Σ M = 0 = M dx2

V + M + dMdx

dx dx2

V dVdx

dx dx2

+


Différence entre la fibre supérieure et la fibre inférieure:

Cas de charge température:


Détermination des déformations par les travaux virtuels:

α: coefficient de dilatation thermique (α = 10-5 1/°C pour le béton et l’acier)

Rotation relative des deux faces du petit élément:

dϕ = α ∆t dxh

Le signe moins exprime que la différence de température considérée tend la fibre supérieure de l’élément comme un moment de flexion défini comme négatif.

LL

α ∆t dxh

M1α ∆t

hM1 dx=

L

M1 =dϕ


Poutre sur trois appuis:

Méthode des forces:


Déformée:

tangente continue sur appui B: a10 + a11 X1 = 0

Système fondamental: système où les inconnues sont nulles:

Condition de compatibilité cinématique:

Inconnue:

Le système fondamental est isostatique dans la méthode des forces.

moment sur appui B


Coefficient a10:

Méthode des forces: poutre sur trois appuis


Détermination de a10 à l’aide des travaux virtuels:

a10 représente la rotation relative des lèvres de la coupure dans le système fondamental sous l’effet des causes extérieures

=1 a10 1 L1EI

14

PL4

= PL16 EI

2


Coefficient a11:




a11 représente la rotation relative des lèvres de la coupure dans le système fondamental sous l’effet de l’inconnue X1 unique et unitaire

=1 a11 1 1 L1EI

13

= 2 L3 EI

2

Résolution de l’équation: =X1 = 3 PL32

a10a11


Les grandeurs totales s’obtiennent par superposition



Effort tranchant: Vtot = V0 + V1 X1




Moment: Mtot = M0 + M1 X1


Discussion des résultats en fonction des rigidités des poutres:



L’effet d’une poutre sur l’autre peut être représenté par un ressort:


Coefficient a10:

Poutre sur trois appuis: cas de charge tassement d’appui


Le ∆ n’entraînant aucun effort interne, a10 se détermine directement:

Le coefficient a11 caractérise une structure indépendamment des causes externes; a11 reste inchangé

=a10∆L

Condition de compatibilité cinématique: =X1 =a10a11

3 EI2 L

∆2

Moment: Mtot = M0 + M1 X1 = M1 X1

3 EI2 L

∆2

Les efforts augmentent au prorata de la rigidité de la poutre


Poutre sur trois appuis: cas de charge variation de température



=1 a10xL

LL

α ∆t dxh

M1α ∆t

h2 dx= = α ∆t

hL

Moment: Mtot = M0 + M1 X1 = M1 X1

Les efforts augmentent à nouveau au prorata de la rigidité

dϕ = const. = α ∆t dxh

Condition de compatibilité cinématique: =X1 =3 EI

2a10a11

α ∆th

3 EI2

α ∆th


Poutre sur trois appuis: appui intermédiaire élastique



P

=1 a10 1 L1EI

14

PL4

= PL16 EI

2+ 2

LP2K

PKL

+





=1 a11 1 1 L1EI

13

= 2 L3 EI

22KL

2L

+ + 4KL2

Condition de compatibilité cinématique: =X1 =a10a11 2 L

3 EI+ 4

KL2

PL16 EI

2 PKL

en posant: =α EIKL3 (rapport des rigidités de la poutre et du ressort)

L’inconnue s’exprime: =X1332

PL 1 − 16α1 + 6α


Discussion des résultats en fonction de la rigidité du ressort:




Exemple: poutre sur trois appuis

Représentation du mode opératoire: tableau synoptique


Tableau synoptique: représentation des causes et des effets quirésume et spécifie les différents coefficients

Ce tableau permet une vue d’ensemble des conditions de compatibilité cinématique adoptées qui sera particulièrement utile pour les systèmes à plusieurs inconnues.


Exemple: poutre sur quatre appuis

Méthode des forces: Systèmes à plusieurs inconnues


Conditions de compatibilité cinématique:

a10 + a11 X1 + a12 X2 = 0

a20 + a21 X1 + a22 X2 = 0ou ai0 + Σ aij Xj= 0

aij représente, dans le système fondamental, le déplacement associé à l’inconnue Xi dû à l’action unique et unitaire de l’inconnue Xj

Les conditions de compatibilité cinématique doivent tenir compte de l’influence de toutes les inconnues. Les coefficients aij représentent:

En bref: aijeffet en i cause unique et

unitaire en j

Les coefficients ai0 représentant les effets des causes extérieures.


Systèmes à plusieurs inconnues: Poutre sur quatre appuis


Système fondamental: (système où les inconnues sont nulles)

Conditions de compatibilité cinématique:

a10 + a11 X1 + a12 X2 = 0

a20 + a21 X1 + a22 X2 = 0

Les conditions de compatibilité cinématique expriment la continuité de la tangente à la déformée sur les appuis. Elles sont traduites mathématiquement par un système d’équations linéaires.

Les coefficients aij sont résumés dans un tableau synoptique:


Poutre sur quatre appuis: Détermination des coefficients




=1 a20 1 L1EI

13

= pL24 EI

3pL8

2

=1 a10 1 L1EI

13

= pL12 EI

3pL8

22


Poutre sur quatre appuis: Détermination des coefficients


Détermination de a11 et de a22 à l’aide des travaux virtuels:

Détermination de a12 et de a21 à l’aide des travaux virtuels:

=1 a22 1 1 L1EI

13

= 2 L3 EI

2 1 a11=

=1 a12 1 1 L1EI

16

= L6 EI

1 a21=


Poutre sur quatre appuis: Résolution du système


Le théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh impose la symétrie de la matrice de flexibilité: uAB = uBA

=X12L3 EI

+pL12 EI

30X2

L6 EI

+ =X17 pL

60

2

=X12L3 EI

+pL24 EI

30X2

L6 EI

+ =X22 pL

60

2

Détermination des réactions d’appui (réduction et équilibre):

L L L

RA=2360pL[ ]

p

RB=72RC=27

RD=2

Conditions de compatibilité cinématique: P[ ] + F[ ] X[ ] = 0

=X2 =RDX2L

2 pL60

RD L =

=X1 =RAX1L

23 pL60

RA L =pL2

2+ pL

2

=X1 =RCX1L

27 pL60

RC L =pL2

2+ pL

2RD 2L 2RD

=0 =RB72 pL

60RAp 2L RB RC RD


Poutre sur quatre appuis: Détermination des efforts internes


Moment: Mtot = M0 + M1 X1 + M2 X2


Poutre sur quatre appuis: Détermination des efforts internes


Vérification avec les valeurs déterminées précédemment (p. 28):

L L L

RA=2360pL[ ]

p

RB=72RC=27

RD=2

Effort tranchant: Vtot = V0 + V1 X1 + V2 X2


Généralisation: poutre continue

Méthode des forces: Systèmes à plusieurs inconnues


Conditions de compatibilité cinématique (tg continues sur les appuis):

Le choix d’un système fondamental dont le comportement mécanique est proche de celui du système réel permet de simplifier notablement les équations

Système fondamental:

ai0 + Σ aij Xj = 0 ou P[ ] + F[ ] X[ ] = 0

a10 4 1 0 0 0 ... 0 X1 0a20 1 4 1 0 0 ... 0 X2 0a30 0 1 4 1 0 ... 0 X3 0

.

.

.

an0 0 0 0 ... 0 1 4 Xn 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

+L

6 EI=

Equation des trois moments (avec portées et inerties constantes):


Systèmes à plusieurs inconnues: Détermination des déformations


Dans le calcul, la statique virtuelle, déterminée dans le système fondamental, peut être mise en évidence. Elle multiplie alors la somme des cinématiques réelles qui correspond au moment total (dans le système réel) engendré par la charge extérieure.

déformation totale: ftot = f0 + f1 X1 + f2 X2 + ... + fn Xn

Exemple, poutre continue: détermination de f0

Détermination de f1 X1:

Pour déterminer les déformations d’une structure hyperstatique, la statique virtuelle peut être déterminée dans le système fondamental (isostatique)

Cette constatation est aussi valable pour la cinématique réelle pour autant que la statique virtuelle soit alors déterminée dans le système réel.


Poutres continues: Augmentation de l’inertie sur appui


Détermination de ai0 à l’aide des travaux virtuels:

Détermination de aii à l’aide des travaux virtuels:

Le renforcement d’une portion de la structure augmente les efforts internes dans cette zone

L’augmentation de l’inertie agit plus sur les aii que sur les autres coefficients car la

diminution de la cinématique réelle correspond aux maxima de la statique virtuelle. Les Xi devront donc augmenter pour rétablir la compatibilité cinématique.

Précontrainte: Moments d’ordre hyperstatiques (secondaires)


Fréquemment utilisée dans la construction de ponts:

Effets différents dans les systèmes isostatiques et hyperstatiques:

systèmes isostatiques systèmes hyperstatiques

état d’autocontrainte état d’autocontrainte +efforts hyperstatiques

Mtot = M0 Mtot = M0 + Mh



Détermination des coefficients ai0 à l’aide des travaux virtuels:

= +N0 dx

EAL

1 ai0 NiM0 dx

EIL

Mi +V0 dxGA’

L

Vi

négligeablenégligeable en général(pas pour les cadres à

poteaux courts, par ex.)

Intégration numérique avec la formule de Simpson:

= (f0 + 4f1 + f2)h3

0

f(x) dx2h

exacte pour les fonctions polynômiales (continues, dérivables) du 1er, 2ème et 3ème degré




Exemple: poutre sur quatre appuis



Lignes d’influence

Structures isostatiques: déplacements virtuels pour un solide rigide

Si un solide est en équilibre, le travail virtuel est nul pour tout déplacement rigide

δvR

P

La

R δv − P a/L δv = 0réaction d’appui:

ligne d’influence du moment

Structures hyperstatiques: mode opératoire identique

M

P=1

1

Moment dans une section s: Ms,tot = Ms,0 + Σ Ms,i Xi

Ligne d’influence du moment en s: ηm = ηm,0 + Σ Ms,i ηXi

La ligne d’influence de Ms,0 concerne le système fondamental mais les lignes

d’influence des inconnues sont à déterminer dans le système réel


Lignes d’influence: Exemple, poutre encastrée appuyée


Ligne d’influence du moment en travée:

Ligne d’influence dans le système fondamental:

Ligne d’influence de l’inconnue X1:

η0

Meca EPFL

Documents

Transcript of Meca EPFL