ème cours de méca – 13/10/2011Au cours de leur célèbre expérience, Michelson et Morley ont...

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6ème cours de méca – 13/10/2011

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Expérience de Michelson-Morley et détermination intuitive de la

transformation de Lorentz

3ème Bac. Sc. Phys., Sc. Math.

Année académique 2011-2012

Jean Surdej

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13/10/2011

A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace:

1. Rappel du principe de relativité de Galilée:

★ Les anciens ★ Galilée★ Newton

1. Rappel du principe de relativité de Galilée:Pour les anciens, la “réalité” d’un mouvement dépend de certaines “sensations particulières”. Ils concluaient ainsi que la Terre devait être immobile dans l’espace.Suivant ses expériences, Galilée trouve que l’entraînement par un véhicule en mouvement “simple” ne provoque aucune “sensation particulière”; aucun “effet mécanique” permettant de déceler le mouvement du véhicule par rapport au sol (cf. goutte d’eau tombant dans une bouteille). Galilée énonce son principe de relativité suivant lequel la translation rectiligne et uniforme d’un laboratoire par rapport aux étoiles ne provoque aucune sensation de mouvement et n’influence en aucune manière des expériences de mécanique effectuées à l’intérieur du laboratoire. Les lois de la mécanique sont donc valables par rapport à tous les systèmes de référence inertiels (laboratoires en mouvement rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres). Il en découle l’impossibilité de déterminer la vitesse réelle de la Terre dans l’espace par des expériences de mécanique. Newton croyait en l’existence d’un espace absolu par rapport auquel étaient valables les lois de la mécanique et la loi d’inertie (cf. espace lié aux étoiles fixes).

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★ Newton★ Huygens★ Michelson et Morley

A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace: 2. Théorie ondulatoire de la lumière et l’éther:

2. Théorie ondulatoire de la lumière et l’éther: Bien que Newton se représente plutôt la lumière comme étant formée de petits corpuscules qui se propagent dans le vide par inertie, Huygens associe la propagation de la lumière à celle d’ondes sphériques qui se déplacent par rapport à un éther rigide, immatériel, lié au vide. Pour rappel, la théorie ondulatoire de la lumière permet de rendre compte simplement des effets bien connus de la diffraction lumineuse. D’aucuns suggèrent que cet hypothétique éther est lié à l’espace absolu de Newton. Adoptant cette hypothèse, le grand espoir de la physique de la fin du XIXème siècle est de pouvoir mesurer la vitesse du mouvement de la Terre par rapport à l’éther, par rapport à l’espace absolu de Newton. Michelson et Morley proposent une expérience pour réaliser cette mesure.

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A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace: 3. L’expérience de Michelson-Morley: détection du ventd’éther

a

b

f

e1

c

d

e

3. L’expérience de Michelson-Morley: description de l’expérienceAu cours de leur célèbre expérience, Michelson et Morley ont essayé de détecter ce qu’on appelait le vent d’éther, c’est-à-dire le mouvement de la Terre dans l’éther, le milieu par rapport auquel on supposait que la vitesse de la lumière était égale à c. Ils comparaient les temps mis par la lumière pour faire des aller et retour de longueurs égales dans des directions parallèles et perpendiculaires à celle du mouvement de la Terre autour du Soleil. Ils réfléchissaient la lumière d’avant en arrière entre des miroirs presque parallèles. Ils parvenaient ainsi à une longueur totale de 22 mètres pour chaque trajet (voir figure ci-dessus). Si l’éther est au repos par rapport au Soleil et que la Terre se déplace avec une vitesse d’environ 30 km/s sur son orbite, la différence attendue entre les instants de retour de deux éclairs transmis en même temps selon les deux trajets perpendiculaires était de 3,7 10-16 s (voir les deux figures suivantes). Même avec les appareils que nous possédons aujourd’hui, la différence prévue par la théorie du vent d’éther est trop faible pour être directement mesurable. Pour ce faire, Michelson et Morley ont utilisé une méthode très astucieuse d’interférométrie illustrée sur la figure ci-dessus: une lumière sensiblement monochromatique de longueur d ’onde λ ~ 5890 Å (lumière du sodium) arrive par la lentille a. Une partie de cette lumière est réfléchie par le miroir semi-argenté b et le reste continue en ligne droite vers d. Les deux faisceaux sont plusieurs fois réfléchis d’avant en arrière jusqu’à ce qu’ils atteignent respectivement les miroirs e et e1; ils sont réfléchis par ces

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A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace: 3. L’expérience de Michelson-Morley: description de l’expérience

b

f

d, e

e1

tb-e1-b = tb-d-b

Δt = tb-e1-b - tb-d-b = 0

L

véther

L ~11m

3. L’expérience de Michelson-Morley: description de l’expériencemiroirs et parcourent en arrière le même trajet pour revenir en b. Sur le miroir b, une partie de chaque faisceau est dirigée vers la lunette f où ils se recombinent. On dispose en c une lame de verre transparente de mêmes dimensions que le miroir semi-argenté b de telle sorte que les deux faisceaux passent un nombre identique de fois (trois fois) à travers cette épaisseur de verre, suivant les deux trajets perpendiculaires, avant de parvenir à la lunette f. Admettons que les deux trajets soient exactement égaux et que l’appareil soit au repos par rapport à l’éther. Les deux faisceaux de lumière monochromatique issus de b avec une différence de phase nulle conservent cette même différence de phase quand ils parviennent sur b au retour. Dans ces conditions, les ondes qui pénètrent dans la lunette f s’ajouteront et l’image observée sera brillante. Si, par contre, l’un des faisceaux a été retardé d’un temps correspondant à la demi-période de la lumière, il parviendra sur le miroir b une demi-période plus tard et les ondes pénétrant dans la lunette s’annuleront; l’image observée sera sombre. Si l’un des faisceaux est rétardé d’un temps égal à une période entière, l’image vue dans la lunette sera à nouveau brillante et ainsi de suite. On calcule aisément que l’intervalle de temps correspondant à la période de la lumière vaut T = λ/ c = 2 10-15 s.Il n’existait cependant aucun moyen permettant de suspendre le vent d’éther supposé, de régler ensuite l’appareil, puis de rétablir le vent. Pour y remédier,

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b

f

d, e

e1

véther

tb-e1-b = 2L / √ (c2 - v2 )tb-d-b = 2Lc / (c2 - v2)

Δt = tb-e1-b - tb-d-b ~ (L/c)(v/c)2

L

L ~11m

3. L’expérience de Michelson-Morley: description de l’expérienceMichelson et Morley, faisaient flotter leur interféromètre sur un bain de mercure et le faisaient tourner lentement autour de son centre comme un disque de phonographe pendant qu’ils observaient l’image dans la lunette f. De cette façon, si la lumière est retardée sur l’un des trajets quand l’appareil est orienté dans une certaine direction, la lumière de l’autre trajet subira le même retard quand l’interféromètre aura tourné de 90 degrés. La variation totale du retard observée entre les deux trajets quand l’interféromètre tourne sera donc égale à deux fois la différence de temps attendue (2 x 3,7 10-16 s).Par des améliorations assez simples apportées à cette méthode, Michelson et Morley montrèrent que la variation de retard constatée entre les deux trajets quand ils faisaient tourner l’interféromètre correspondait à moins du centième du décalage qui faisait passer d’une image sombre à la suivante dans la lunette de visée. Ce résultat impliquait que le mouvement de l’éther par rapport à la surface de la Terre, s’il existe, a une vitesse inférieure au sixième de celle de la Terre sur son orbite. Pour éliminer la possibilité que l’éther ait par rapport au Soleil la même vitesse que la Terre, ils reprirent leur expérience à trois mois d’intervalle et trouvèrent toujours le même résultat négatif! On peut admettre au moins deux hypothèses classiques pour expliquer le résultat inattendu de l’expérience de Michelson-Morley: 1- Soit que le vent d’éther possède une vitesse nulle par rapport à la Terre, de

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tb-e1-b = 2L / √ (c2 - v2 )tb-d-b = 2Lc / (c2 - v2)

Si 2L = 2L √1 - (v/c)2 “hypothèse de Lorentz-Fitgerald”

alors tb-d-b = tb-e1-b et Δt = tb-e1-b - tb-d-b = 0.3. L’expérience de Michelson-Morley: description de l’expériencetelle manière que la lumière se propage à la vitesse c dans toutes les directions pour un observateur lié à la Terre. Ceci n’est pas admissible à moins d’adopter un point de vue très géocentrique. D’autres expériences, comme la répétition de l’expérience de Michelson-Morley à bord de la nacelle d’un ballon stratosphérique, ont démontré qu’on ne peut pas admettre non plus un entraînement local de l’éther par la Terre. 2- L’éther produit un effet secondaire sur l’appareil de mesure qui compense exactement l’effet prévu. Cette hypothèse a été proposée par l’irlandais Fitzgerald et le hollandais Lorentz. Ils essayaient ainsi de sauver l’éther malgré les apparences, parce que l’existence de l’éther leur semblait indubitable. Rappelons d’abord que dans l’expérience de Michelson-Morley décrite juste auparavant, les longueurs b-e1 et b-d des deux bras de l’interféromètre étaient supposées égales. Mais que se passerait-il si l’éther parvenait à modifier la longueur des corps matériels suivant la direction du vent d’éther? Comparant les temps t mis par les faisceaux pour parcourir deux fois ces distances (voir les formules ci-dessus), on voit qu’on pourrait égaler tb-e1-b à tb-d-b en supposant que la longueur du bras b-d, parallèle à la direction supposée du vent d’éther, se contracte d’un facteur √(1-(v/c)2). Dans la théorie de la relativité restreinte, on trouve une formule semblable, mais on ne supposera plus que la contraction des longueurs résulte d’une action de l’éther sur les corps matériels. Cette interprétation ad-hoc des observations n’était pas des plus convaincantes.

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“What I’m really interested in is whether God could have made the world in a different way : that is, whether the necessity of logical simplicity leaves any freedom at all.”

- Albert Einstein

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n Télescopes optiques: le Galiléoscope

D = 5cm, F/D = 10, G = 25, 50

9.3 Applications aux télescopes 9.3.1 Télescopes optiques

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n Télescopes optiques: le Galiléoscope


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http://www.telescope-amateur.net/souslesetoiles/index.php?2009/07/24/33-test-le-galileoscope 30 €


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A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace: 3. L’expérience de Michelson-Morley:

Quai 1, L

Quai 2, L

Rails

0 1 ℓ 2 ℓ 3 ℓ-1 ℓ-2 ℓ

-2 ℓ -1 ℓ 0 2 ℓ1 ℓ 3 ℓ

L’

o’m’ n’

b’

b

i

ir s

v

o• • •

•

3. L’expérience de Michelson-Morley:L’analyse du principe de l’expérience de Michelson-Morley possède une vertu explicative de la relativité restreinte d’Einstein. Pour mieux faire ressortir les idées essentielles de cette expérience, nous décrirons celle-ci en laissant volontairement de côté tous les détails techniques du dispositif interférométrique. Ainsi, faisons correspondre à l’appareil de Michelson et Morley, fixé à la Terre supposée en mouvement, un cadre rectangulaire d’une longueur double (= 4ℓ) de sa largeur (= 2ℓ), représenté par le référentiel L’ (le ‘ indiquant que le laboratoire L’ est en mouvement par rapport à l’éther). Le symbole ℓ représente une unité de longueur (cf. un cm, un m … ou encore une seconde lumière). Assimilons par exemple ce référentiel à un wagon de train en mouvement le long d’une direction précise avec une vitesse v par rapport aux rails et aux deux quais, supposés être fixés de façon rigide à l’espace absolu (voir figure ci-dessus). Les repères indiqués le long des quais (cf. repères définis par rapport à l’espace absolu) sont bien sûr invisibles pour un observateur situé dans le wagon. Ces repères sont indiqués toutes les unités (= ℓ). Les signaux optiques de Michelson sont représentés par des ondes électromagnétiques émises par un appareil situé au milieu o’ du côté long du rectangle, où se trouve également un appareil récepteur. Des relais (ou miroirs)

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A la recherche de la vitesse réelle de la Terre dans l’espace: 4. Interprétation classique de l’expérience:

3. L’expérience de Michelson-Morley:capables de retransmettre les signaux se trouvent également aux points m’, n’ et b’ du wagon, les deux premiers aux extrémités du côté portant o’, et le dernier au milieu du côté opposé, conformément à la figure.Nous supposerons qu’à un instant donné, l’appareil situé en o’ émet un bref signal lumineux. On appellera o le point correspondant (origine) du quai No 1, donc lié à l’espace absolu, qui se trouve dans le repère L à l’instant précis de l’émission du signal lumineux. Nous désignerons dans la suite par O l’événement associé à l’émission du flash lumineux. Les trois signaux émis à partir de o’ et se propageant vers les points m’, n’ et b’ seront désignés dans la suite par r, s et i. Ils correspondent en fait aux demi-droites d’intersection de l’onde sphérique se propageant à partir de o’ avec les axes o’m’, o’n’ et o’b’. Ce sont les seuls signaux lumineux qui pourront être détectés au moyen des récepteurs-réflecteurs situés en o’, m’, n’ et b’. Après réflexion, les signaux r, s et i pourront bien entendu encore être représentés comme étant les signaux r, s et i. L’expérience effectuée par Michelson et Morley révèle que ces rayons lumineux retournent en o’, simultanément, après recombinaison interférométrique. Nous désignerons dans la suite par MM (en l’honneur de Michelson et Morley) cet événement du retour simultané en o’ des signaux r, s et i.

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Quai 1, L

Quai 2, L

Rails

0 1 ℓ 2 ℓ 3 ℓ-1 ℓ-2 ℓ

-2 ℓ -1 ℓ 0 2 ℓ1 ℓ 3 ℓ

L’

o’m’ n’

b’

b

ir

v

o• • •

•

Ev. M

v tM c tM+ = 2 ℓ

4. Interprétation classique de l’expérience:Si on se place dans le repère immobile L de l’éther, par rapport auquel on suppose une propagation isotrope de la lumière, à la vitesse c, on trouve que le faisceau r rencontrera le miroir en m’ après un temps tM tel que

vtM + ctM = 2ℓ ou tM = 2ℓ / (c (1 + v/c)). Nous noterons cet événement par M, tel que pour c = 1ℓ/unité de temps (cf. une seconde-lumière par seconde) et v = 3/5, nous trouvons que tM = 5/4. L’événement M est donc caractérisé par m’(-2), m(-1,25) et tM = 5/4. Par rapport au wagon, la vitesse de propagation de r semble donc être égale à: 2 / (5/4) = 8/5. Nous avons résumé dans l’annexe I (p. 31) les coordonnées des différents événements (repères L et L’) caractérisant l’interprétation classique de l’expérience de Michelson-Morley.

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Quai 1, L

Quai 2, L

Rails

3ℓ 4ℓ 5ℓ 6ℓ2ℓ 1ℓ

1ℓ 2ℓ 3ℓ 5ℓ4ℓ 6ℓ

L’

o’m’ n’

b’

sv

• • •

•

Ev. N

c tN v tN- = 2ℓ

vtN

ctN

4. Interprétation classique de l’expérience:De même, l’événement N qui correspond à la réflexion du signal s par n’ aura lieu au temps tN tel que

2ℓ + vtN = ctN ou tN = 2ℓ / (c (1 - v/c)).De façon analogue, nous trouvons que tN = 5 et donc que l’événement N est caractérisé par n’(2), n(5) et tN = 5. La vitesse de propagation apparente de s est donc de 2/5 dans le wagon.

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Quai 1, L

Quai 2, L

Rails

3ℓ 4ℓ 5ℓ 6ℓ 2ℓ 1ℓ

1ℓ 2ℓ 3ℓ 5ℓ4ℓ 6ℓ

L’

o’m’ n’

b’

r sv

• • •

•

Ev. R & S

4. Interprétation classique de l’expérience:Repartant de l’événement M, le signal r réfléchi par m’ arrivera en o’ (événement R) après un temps t ayant exactement la même durée que tN.

On a en effet2ℓ + vt = ct, soit un temps t = 5. L’événement R est donc caractérisé par o’(0), o(-1,25+5=3,75) et tR = 6,25.

De même, si on repart de l’événement N, le signal réfléchi par n’ arrivera en o’ (événement S) après un temps t ayant exactement la même durée que tM. On a en effet2ℓ = vt + ct, ou t = 5/4. Donc l’événement S est caractérisé par o’(0), o(3,75) et tS = 6,25. Les événements R et S sont donc simultanés en o’, en accord avec l’expérience de Michelson-Morley.

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Quai 1, L

Quai 2, L

Rails

3ℓ 4ℓ 5ℓ 6ℓ2ℓ 1ℓ

1ℓ 2ℓ 3ℓ 5ℓ4ℓ 6ℓ

L’

o’m’ n’

b’

v

• • •

•

Ev. Ii

i

4. Interprétation classique de l’expérience:Si on s’intéresse maintenant à la propagation du signal i, et si on représente par B et par I les événements qui correspondent à la réflexion de i par b’ après un temps de propagation tB et l’arrivée de i en o’, après un temps tI = 2tB, nous trouvons facilement que(ctB)2 = (vtB)2 + (2ℓ)2, ou tB = 2ℓ / (c(1-v2/c2)1/2),

et donc que les événements B et I sont caractérisés par b’(0), tB = 5/2, b(vtB=1,5) et o’(0), tI = 5, i(3). Par rapport au wagon, la vitesse de propagation de i est donc de 4/5. Nous trouvons donc que les événements R (ou S) et I ne sont pas simultanés dans L’, en contradiction avec les observations (cf. événement MM observé par Michelson et Morley). L’événement R (ou S) se produit 1,25 unité de temps plus tard que I. Diverses hypothèses (cf. éther emporté par le wagon, contraction des longueurs de Lorentz-Fitzgerald) ont été émises en vue de réconcilier la théorie classique avec l’observation de Michelson et Morley … En vain! L’impasse était totale.

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4. Interprétation classique de l’expérience:L’expérience de Michelson-Morley ressemble à ce qu’on s’attend si le repère L’ était au repos par rapport au repère absolu L. Cependant, la Terre qui décrit une orbite circulaire autour du soleil n’est certainement pas au repos par rapport à un tel repère L. C’est donc comme si la vitesse de la lumière était invariante, le long de toutes les directions, quelque soit la vitesse de L’ (cf. de la Terre le long de son orbite) par rapport à L.Il est aussi important de mentionner l’hypothèse d’unicité (propriété U) de la propagation des signaux lumineux émis par une source au repos et une source en mouvement, à partir d’un même point lors de leur rencontre. L’observation d’étoiles binaires ainsi qu’un tas d’autres expériences attestent de cette propriété U de la lumière.

1. Relativité de la durée: Einstein émet l’hypothèse de travail suivante. En vue de rendre compte de l’expérience de Michelson-Morley, il suppose que (propriété E): Tout signal électromagnétique (lumineux ou radioélectrique), émis et capté dans un certain laboratoire inertiel L’ par des appareils fixés à ce laboratoire, et se propageant dans le vide, possède par rapport à ce laboratoire une vitesse c:

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n Introduction, Relativité de la durée, Temps propre

Principes fondamentaux de la théorie d’Einstein: 1. Relativité de la durée:

L’L

Ev. I

Ev. B

Ev. O

(ctI/2)2 = (vtI/2)2 + (2ℓ)2

Ev. O Ev. I

Ev. B

ctI’ = 4ℓ

1. Relativité de la durée: 1) indépendante de la direction et du sens du signal;2) indépendante de la vitesse relative du laboratoire L’ par rapport à un autre laboratoire inertiel quelconque L, et indépendant, par conséquent, de la vitesse absolue éventuelle du laboratoire L’. Einstein réalise alors que les propriétés U et E de la lumière sont incompatibles avec une interprétation classique qui suppose que le temps et les durées mesurés dans divers laboratoires inertiels sont absolus. Tout comme la relativité spatiale des endroits où se produisent les événements O et I existe entre les repères L (i.e. O et I) et L’ (en o’), Einstein entrevoit la possibilité d’une relativité temporelle entre deux événements. Einstein remet donc en cause le caractère absolu de la notion de durée. La théorie d’Einstein est une théorie qui ne se prononce pas sur la nature de la lumière, mais lui attribue un certain nombre de propriétés suggérées par l’expérience: cf. les propriétés U et E. Ainsi, nous référant à la propagation du signal i dans L et dans L’, nous pouvons écrire (cf. Figure ci-dessus) que(c tB)2 = (v tB)2 + (2ℓ)2, c’est-à-dire que tB = (2ℓ / c) / ((1 - (v/c)2)1/2

et de même quec t’B = 2ℓ, ou t’B = 2ℓ / c et donc que

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tB = tB’ / (1 - (v/c)2)1/2

tI = tI’ / (1 - (v/c)2)1/2

t = t’ / (1 - (v/c)2)1/2 = τ’ / (1 - (v/c)2)1/2

1. Relativité de la durée: tB = t’B / ((1 - (v/c)2)1/2.

Il vient aussi que tI = t’I / ((1 - (v/c)2)1/2 = 2 t’B / ((1 - (v/c)2)1/2 = (4ℓ / c) / ((1 - (v/c)2)1/2.

Nous allons voir que moyennant une révision de nos notions d’espace et de temps, la théorie d’Einstein permet d’expliquer facilement l’expérience de Michelson-Morley. La théorie d’Einstein invite bien entendu à synchroniser séparément les horloges (H’) du wagon entre elles et les horloges (H) de la voie entre elles.Remarquant que les événements O et I sont co-localisés en o’ dans L’, le temps écoulé entre ces deux événements t’I (= 4ℓ / c) correspond bien à un temps propre τ’, et t à un temps impropre. On a la relation (dilatation du temps)t = τ’ / ((1 - (v/c)2)1/2.Nous avons résumé dans l’annexe II (p. 32) les coordonnées des différents événements (repères L et L’) caractérisant l’interprétation relativiste de l’expérience de Michelson-Morley.

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n Théorie Einsteinienne de l’expérience de Michelson et Morley

t’S = t’R = t’I = 4ℓ/c

tS = tR = tI = (4ℓ/c)/(1 - (v/c)2)1/2

Principes fondamentaux de la théorie d’Einstein: 2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs:

L’

Ev. O

Ev. NEv. MEv. MM

t’M = t’N = 2ℓ/c

2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs: Il est facile d’établir que les événements M et N sont simultanés dans le référentiel L’. Pour ceux-ci nous trouvons que m’(-2ℓ), n’(2ℓ), t’M = t’N = 2ℓ / c. L’événement R (ou S) a lieu en o’(0) et au temps t’R = 4ℓ / c.

Dans le référentiel L, les événements R(v tR) et S(v tS) ont lieu aux mêmes moment et endroit que I (propriété U), c’est-à-dire au temps tItS = tR = tI = t’I / ((1 - (v/c)2)1/2 = (4ℓ / c) / ((1 - (v/c)2)1/2.

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tI = (4ℓ/c)/(1 - (v/c)2)1/2

2ctM = ctI - vtI tM = (1-v/c) tI / 2

Ev. M

Ev. O

Ev. MML

ctM

vtIctI

2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs: En vertu de la propriété E, l’événement M a lui lieu au point M ayant pour coordonnées -(ctI - vtI) / 2 = (v - c) tI / 2 qui se produit au temps tM = (1 - v/c) tI / 2.

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Ev. OEv. N


tI = (4ℓ/c)/(1 - (v/c)2)1/2

2 ctN = ctI + vtI tN = (1+v/c)tI/2

L

Ev. MM

ctN

vtI

ctI

2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs: De même, l’événement N a lieu au point N ayant pour coordonnée vtI + (ctI - vtI) / 2 = (v + c) tI / 2 parcouru en un temps tN = (1 + v/c) tI / 2.

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n Théorie Einsteinienne de l’expérience de MM

Ev. O Ev. N

L

Ev. MM

ctN

vtI

ctIEv. MEv. MM

ctM

ctI

MN = ctI = 4ℓ/(1 - (v/c)2)1/2 , tN - tM = (v/c) tI = (v/c2) MN

2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs:

Dans L, la distance MN entre les points où se produisent les événements M et N vaut donc: MN = c tN + c tM = (v + c) tI / 2 + (c - v) tI / 2 = c tI = 4ℓ / ((1 - (v/c)2)1/2. Lors de la mesure dans L’ de la distance propre MN, définie dans L, on trouve donc que 4ℓ = MN ((1 - (v/c)2)1/2,ce qui correspond à une contraction relativiste (ou apparente) de la distance propre MN définie dans L. La différence entre les époques auxquelles se produisent les événements M et N dans L vaut Δt = tN - tM = (v/c) tI = (v/c2) MN. Il résulte donc un défaut de simultanéité entre les événements M et N qui est d’autant plus grand que leur distance MN est élevée, ou que la vitesse du référentiel L’ par rapport à L est élevée. Dire que deux événements distants sont simultanés n’a donc plus de sens en relativité restreinte. Ils peuvent être simultanés dans un système de référence (cf. M et N dans L’) et ne plus l’être dans un autre (cf. dans L).

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L’L

Ev. I

Ev. B

Ev. O

(ctI/2)2 = (vtI/2)2 + (ctI’/2)2

Ev. OEv. I

Ev. B

ctI/2

vtI/2

ctI’/2 = 2ℓ

t’I = 4ℓ/c

tI = t’I/(1 - (v/c)2)1/2

tI = (4ℓ/c)/(1 - (v/c)2)1/2

1. Relativité de la durée:

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n Théorie Einsteinienne de l’expérience de MM

Ev. O Ev. N

L

Ev. MM

ctN

vtI

ctI

Ev. M

Ev. MM

ctM

ctI

MN = ctI = 4ℓ/(1 - (v/c)2)1/2 , tN - tM = (v/c) tI = (v/c2) MN

ctN+ctM = ctI =MN

ctN-ctM = vtI

2. Relativité de la simultanéité à distance et contraction des longueurs:

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L’ L

Ev. 1: 0, 0 0, 0

Ev. 2: x’, t‘ x?, t?

Principes fondamentaux de la théorie d’Einstein: 3. Les transformations de Lorentz:

Ev. 3: 0, t’ = τ’; x3 = v t3, t3 = τ’ / ((1 - (v/c)2)1/2

3. Les transformations de Lorentz:Soient deux événements Ev. 1 et Ev. 2, définis dans L’ au moyen de leurs coordonnées spatio-temporelles (x’ = 0, t’ = 0) et (x’, t’). Soit x = 0, t = 0, les coordonnées de l’événement Ev. 1 dans L, que valent les coordonnées x, t de l’événement Ev. 2 dans L?Considérons pour ce faire l’événement intermédiaire (Ev. 3) défini par les coordonnées (x’ = 0 et τ’ = t’) dans L’. On trouve pour cet événement dans L que: x3 = v t3 avec t3 = τ’ / ((1 - (v/c)2)1/2. Les événements Ev. 3 et Ev. 2 apparaissent comme étant simultanés, à distance dans L’. Il s’ensuit que leur distance dans L est reliée à la distance (impropre) x’ dans L’ au moyen de la relation:distance(Ev. 2 Ev. 3) = x’ / ((1 - (v/c)2)1/2 et donc que x = (v t’ + x’) / ((1 - (v/c)2)1/2. Par ailleurs, le défaut de simultanéité entre les événements Ev. 2 et Ev. 3 vaut: Δt = (v/c2) distance(Ev. 2 Ev. 3) = (v/c2) x’ / ((1 - (v/c)2)1/2. On obtient donc que t = t’ / ((1 - (v/c)2)1/2 + (v/c2) x’ / ((1 - (v/c)2)1/2.On obtient en définitive les transformations de Lorentz:x = (x’ + vt’) / ((1 - (v/c)2)1/2 et t = (t’ + (v/c2)x’) / ((1 - (v/c)2)1/2.

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13/10/2011

✴ x = (x’ + v t’) / ((1 - (v/c)2)1/2 ,✴ t = (t’ + (v/c2) x’) / ((1 - (v/c)2)1/2,

✴ x’ = (x - v t) / ((1 - (v/c)2)1/2 ,✴ t’ = (t - (v/c2) x) / ((1 - (v/c)2)1/2.

Principes fondamentaux de la théorie d’Einstein: 3. Les transformations de Lorentz:

3. Les transformations de Lorentz:En remarquant que par rapport au référentiel L’, tout se passe comme si c’était le référentiel L qui s’éloignait de lui avec la vitesse -v, on obtient de même pour la transformation inverse de Lorentz:x’ = (x - vt) / ((1 - (v/c)2)1/2 et t’ = (t - (v/c2)x) / ((1 - (v/c)2)1/2.Cette transformation s’obtient tout simplement à partir de la précédente dans laquelle on a remplacé les coordonnées x par x’, … t par t’, et vice-versa, et la vitesse v par -v.

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Annexe I: Interprétation classique de l’expérience de Michelson-Morley:

Evénément Référentiel L Référentiel L’ Si v/c = 3/5

O x0=0, t0=0 x’0=0 M xM=-2ℓ/(1+ v/c) x’M=-2ℓ xM= -5/4 tM= (2ℓ/c)/(1+ v/c) tM=5/4, c’=8/5 N xN= 2ℓ/(1- v/c) x’N=2ℓ xN= 5 tN= (2ℓ/c)/(1- v/c) tN=5, c’=2/5 R xR= vtR x’R=0 xR= 15/4 tR= tM+ tN= (4ℓ/c)/(1- (v/c)2) tR=6,25 S xS= vtS x’S=0 xS= 15/4 tS= tN+ tM= (4ℓ/c)/(1- (v/c)2) tS=6,25 I xI= vtI x’I=0 xI= 3 tI= (4ℓ/c)/√(1- (v/c)2) tI=5, c’=4/5

Annexe I: Interprétation classique de l’expérience de Michelson-Morley

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Annexe II: Interprétation relativiste de l’expérience de Michelson-Morley:

Evénément Référentiel L Référentiel L’ Si v/c = 3/5

O x0=0, t0=0 x’0=0, t’0=0 I xI=vtI, tI=t’I/√(1-(v/c)2) x’I=0, t’I=4ℓ/c tI=5, xI=3 M xM=(v/c -1)c tI/2 x’M=-2ℓ xM=-1 tM=(1- v/c)tI/2 t’M=2ℓ/c tM=1 N xN=(1+ v/c)c tI/2 x’N=2ℓ xN=4 tN=(1+ v/c)tI/2 t’N=2ℓ/c tN=4 R xR= vtI, tR=tI x’R=0, t’R=4ℓ/c tR=5, xR=3 S xS= vtI, tS=tI x’S=0, t’S=4ℓ/c tS=5, xS=3

⇒ 4ℓ = (xN - xM) √(1-(v/c)2) = MN √(1-(v/c)2)⇒ Δt = tN - tM = (v/c2) (xN - xM) = (v/c2) MN

Annexe II: Interprétation relativiste de l’expérience de Michelson-Morley

ème cours de méca – 13/10/2011Au cours de leur célèbre expérience, Michelson et Morley ont...

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