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PT Lycée Benjamin Franklin mercredi 18 décembre 2019 DS 4 Optique ondulatoire : Fentes d’Young et Michelson Oxydo-réduction en phase aqueuse : électrolyse, accus EXERCICE 1 : Fentes d’Young Frits Zernike, qui a obtenu le prix Nobel en 1953 pour son microscope à contraste de phase, a dans un premier temps utilisé un montage interférentiel à trois fentes, pour contrôler ou mesurer l’épaisseur d’une fine lame transparente à faces parallèles. Dans cette partie, on suppose tous les rayons lumineux très peu inclinés par rapport à l’axe horizontal. I.1 – Système interférentiel à deux fentes On considère d’abord un système de deux fentes F 1 et F 2 très fines perpendiculaires au plan de la figure ci-dessous. Elles sont distantes de 2a et de grande longueur. L’ensemble est éclairé par une source S ponctuelle et monochromatique de longueur d’onde λ 0 placée au foyer objet d’une lentille convergente. L’observation de la figure d’interférences se fait sur un écran placé dans le plan focal image d’une lentille convergente de distance focale image f 0 . On s’intéresse aux ondes reçues au point M d’ordonnée z sur l’écran et on suppose z et a très petits devant f 0 : z, a f 0 . On adopte le modèle scalaire de la lumière et on note s 0 l’amplitude associée au rayon fictif (en pointillés sur la figure) provenant du milieu des deux fentes. Les amplitudes complexes des deux rayons issus de F 1 et F 2, arrivant au point M , sont déphasés d’un angle 2' et s’écrivent alors : s 1 (M )= s 0 e +j' et s 2 (M )= s 0 e -j' . On note E 0 = s 1 s 1 = s 2 s 2 = s 2 0 l’éclairement (ou l’intensité lumineuse) au point M émis par chacune des deux fentes. s 0 est une constante liée à l’intensité de la source. 1. Exprimer la diérence de marche au point M entre les deux rayons en fonction de a, f 0 et z. Rappeler le lien entre déphasage Δ' entre les deux ondes arrivant en M et la diérence de marche au point M . En déduire l’expression de ' (celui apparaissant dans s 1 (M ) et s 2 (M )) en fonction de a, f 0 , λ 0 et z. 2. En utilisant le formalisme complexe, exprimer l’amplitude totale s en M , puis l’éclairement E résultant de l’interférence des deux ondes en fonction de E 0 et '. Exprimer enfin l’éclairement E en fonction de E 0 , a, f 0 , λ 0 et z. On rappelle la formule trigonométrique cos(2') = 2 cos 2 ' - 1, que l’on utilisera si besoin pour linéariser le cosinus. Quelle est l’expression de l’interfrange i ? Tracer l’allure de la courbe E en fonction de '.

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PT Lycée Benjamin Franklin mercredi 18 décembre 2019 DS 4

Optique ondulatoire : Fentes d’Young et Michelson Oxydo-réduction en phase aqueuse : électrolyse, accus

EXERCICE 1 : Fentes d’Young Problème I – Mesure d’épaisseur par interférométrieExtrait de écrit PT physique A 2017, quelques modifications (questions 1 et 2 plus détaillées)

Frits Zernike, qui a obtenu le prix Nobel en 1953 pour son microscope à contraste de phase, a dans

un premier temps utilisé un montage interférentiel à trois fentes, pour contrôler ou mesurer l’épaisseur

d’une fine lame transparente à faces parallèles.

Dans cette partie, on suppose tous les rayons lumineux très peu inclinés par rapport à l’axe horizontal.

I.1 – Système interférentiel à deux fentes

On considère d’abord un système de deux fentes F1 et F2 très fines perpendiculaires au plan de la

figure ci-dessous. Elles sont distantes de 2a et de grande longueur. L’ensemble est éclairé par une

source S ponctuelle et monochromatique de longueur d’onde �0 placée au foyer objet d’une lentille

convergente. L’observation de la figure d’interférences se fait sur un écran placé dans le plan focal

image d’une lentille convergente de distance focale image f0.

On s’intéresse aux ondes reçues au point M d’ordonnée z sur l’écran et on suppose z et a très petits

devant f0: z, a ⌧ f

0.

On adopte le modèle scalaire de la lumière et on note s0 l’amplitude associée au rayon fictif (en pointillés

sur la figure) provenant du milieu des deux fentes. Les amplitudes complexes des deux rayons issus de

F1 et F2, arrivant au point M , sont déphasés d’un angle 2' et s’écrivent alors : s1(M) = s0e+j'

et

s2(M) = s0e�j'

.

On note E0 = s1s⇤1 = s2s

⇤2 = s

20 l’éclairement (ou l’intensité lumineuse) au point M émis par chacune

des deux fentes. s0 est une constante liée à l’intensité de la source.

1. Exprimer la différence de marche au point M entre les deux rayons en fonction de a, f0et z.

Rappeler le lien entre déphasage �' entre les deux ondes arrivant en M et la différence de marche

au point M .

En déduire l’expression de ' (celui apparaissant dans s1(M) et s2(M)) en fonction de a, f0, �0

et z.

2. En utilisant le formalisme complexe, exprimer l’amplitude totale s en M , puis l’éclairement E

résultant de l’interférence des deux ondes en fonction de E0 et '.

Exprimer enfin l’éclairement E en fonction de E0, a, f0, �0 et z.

On rappelle la formule trigonométrique cos(2') = 2 cos2 ' � 1, que l’on utilisera si besoin pour

linéariser le cosinus.

Quelle est l’expression de l’interfrange i ?

Tracer l’allure de la courbe E en fonction de '.

DS 5 – cc blanc 2 / 13 Pierre de Coubertin | TSI 2 | 2017-2018

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I.2 – Système interférentiel à trois fentes

On ajoute une troisième fente F0 au milieu des deux autres et identique à celles-ci.

3. Montrer que le nouvel éclairement peut se mettre sous la forme E = E0 (1 + 2 cos')2.

4. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

' en rad 0 2⇡/3 ⇡ 4⇡/3 2⇡E/E0

5. Tracer l’allure de la courbe E/E0 en fonction de '.

À partir du montage à trois fentes, on ajoute devant la fente centrale F0 et parallèlement au plan des

fentes, une lame de verre à face parallèles d’épaisseur e et d’indice n = 1.5.

e étant très faible, on considérera que le rayon lumineux qui traverse la lame parcourt une distance e

sans être dévié.

6. Montrer que si l’épaisseur de la lame est telle qu’elle induit un retard de phase de ⇡/2 pour le

rayon central, on retrouve une alternance régulière de franges brillantes et de franges sombres

(pas nécessairement noires), contrairement à la question précédente.

7. Si on veut contrôler par cette méthode que la lame de verre a bien l’épaisseur souhaitée e =0.3µm, quelle valeur faut-il choisir pour �0 ?

8. Si on veut mesurer l’épaisseur e, on peut déplacer l’écran d’une distance x = OO0, de façon à

retrouver la même figure d’interférence que celle qu’on avait en l’absence de lame.

Le point O0de la figure ci-contre est tel que les trois rayons issus des trois fentes sont à nouveau

en phase (comme en O sans la lame).

De plus, les trois fentes sont placées dans le plan focal objet de la seconde lentille.

Exprimer x en fonction de n, e, et de l’angle ↵ ' a/f0.

On donne a = 0.10mm, f0 = 10 cm et n = 1.5, et on mesure à l’aide d’un microscope viseur :

x = �1.0 cm.

Sachant que cos↵ ' 1� ↵2/2, en déduire l’ordre de grandeur de l’épaisseur e.

DS 5 – cc blanc 3 / 13 Pierre de Coubertin | TSI 2 | 2017-2018

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EXERCICE 2 : Anneaux d’ Haidinger

EXERCICE 3 : Mesure de l’épaisseur d’un film transparent

BLAISE PASCAL

PT 2018-2019

TD 21 – Optique

Interférences

par division d’amplitude

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Exercices

Exercice 1 : Michelson en coin d’air [⌥⌥⌃]

Considérons un interféromètre de Michelson réglé de telle sorte que l’on observe des franges rectilignes avec unesource étendue monochromatique (⁄ = 600 nm). On souhaite observer ces anneaux sur un écran placé à 1,60 m desmiroirs en utilisant une lentille convergente placée à la sortie de l’interféromètre.

On rappelle qu’en configuration coin d’air la di�érence marche sur la surface de localisation est donnée par ” = 2–x

avec – l’angle entre les miroirs et x l’abscisse mesurée le long des miroirs à partir de l’arête du coin d’air.1 - Préciser la position relative des miroirs.2 - Quelle est la valeur maximale de la focale utilisable ?3 - On désire que l’interfrange sur l’écran soit dix fois plus grand que celui obtenu sur le miroir. Déterminer ladistance focale à utiliser.4 - On mesure sur l’écran un interfrange de 1 cm. En déduire la valeur de –.

Exercice 2 : Michelson en lame d’air [⌥⌥⌃]

Considérons un interféromètre de Michelson réglé de telle sorte que l’on observe des anneaux avec une sourceétendue monochromatique (⁄ = 600 nm). On souhaite observer ces anneaux sur un écran placé à 1,50 m des miroirsen utilisant une lentille convergente placée à la sortie de l’interféromètre.1 - Préciser la position relative des miroirs.2 - Comment l’écran doit-il être placé par rapport à la lentille ?3 - On considère la famille de rayons issus de la source arrivant sur l’interféromètre avec un angle d’incidence i.Rappeler l’expression de la di�érence de marche pour ces rayons.4 - Montrer que tous ces rayons convergent en un même point de l’écran dont on exprimera la distance r par rapportà l’axe optique en fonction de la focale f

Õ de la lentille et de i.5 - On dispose de lentilles de distance focale 10, 50 et 100 cm. Laquelle donne la figure d’interférences la plus grande ?6 - Partant du réglage pour lequel l’écran est uniformément éclairé (teinte plate), on translate l’un des miroirs de5 µm. Calculer le rayon sur l’écran des trois premiers anneaux brillants.

1/3 Étienne Thibierge, 18 mars 2019, www.etienne-thibierge.fr

TD 21 : Interférences par division d’amplitude Blaise Pascal, PT 2018-2019

Annales de concours

Exercice 3 : Mesure de l’épaisseur d’un film alimentaire [oral banque PT, ⌥⌥⌃]

On dispose d’un interféromètre de Michelson réglé en configuration lame d’air éclairé par une source de lumièreblanche.1 - Décrire le dispositif, notamment l’allure des franges d’interférences et la façon de les observer.

On règle le Michelson au contact optique, puis on insère dans l’un des bras de l’interféromètre un film alimentairetendu, assimilé une lame à faces parallèles d’épaisseur e faite d’indice n = 1,5.2 - L’écran apparaît blanc dans les deux cas, cependant lorsqu’on observe le spectre en présence de la lame l’intensitéest nulle pour certaines longueurs d’ondes. Expliquer.3 - Montrer que pour une longueur d’onde sombre dans le spectre on a

1⁄

= 2k + 12

1”

avec ” la di�érence de marche et k un entier.4 - On enregistre le spectre au centre de la figure d’interférences. En déduire l’épaisseur e du film alimentaire

400 450 500 550 600 650 700 750 800⁄ (nm)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

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inte

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Figure 1 – Spectre enregistré au centre de la figure d’interférences.

Exercice 4 : Spectroscopie par transformée de Fourier [oral banque PT, ⌥⌥⌃]

On considère un interféromètre de Michelson en lame d’air, éclairé par une lampe au mercure dont on isole parun filtre la raie verte de longueur d’onde ⁄.1 - Représenter l’interféromètre et préciser la localisation des franges. Justifier qu’il s’agit d’anneaux.2 - On déplace le miroir mobile de 2⁄. Qu’observe-t-on ?

Le miroir mobile est motorisé, et se déplace avec une vitesse constante v0 = 1,0 · 10≠6 m · s≠1. On place unphotodétecteur au centre de la figure d’interférences, il renvoie une tension image de l’éclairement de la forme

u(t) = U0 + U1 cos(Êt + Ï) .

3 - Justifier l’expression de u et exprimer Ê en fonction de v0 et ⁄.4 - On décide de numériser le signal. Quelle précaution faut-il prendre ?5 - Une transformée de Fourier numérique de u donne un pic à la fréquence f = 3,7 Hz. En déduire ⁄.

Exercice 5 : Mesure expérimentale de l’indice d’un gaz [oral banque PT, ⌥⌥⌃]

On souhaite mesurer l’indice optique d’un gaz en utilisant un interféromètre de Michelson. On dispose d’unelampe au sodium, d’un condenseur, de polariseurs, de diaphragmes à iris, d’un écran, et de quatre lentilles de focalesrespectives 20 cm, 100 cm, 5 cm et ≠30 cm.1 - Schématiser le montage permettant d’obtenir des raies lumineuses. Comment se nomme la configuration del’interféromètre ?2 - Où les franges sont-elles observables ? Pourquoi parle-t-on de « franges localisées » ?3 - La distance entre les miroirs et l’écran est égale à 2 m. En déduire la lentille à utiliser et sa position.

2/3 Étienne Thibierge, 18 mars 2019, www.etienne-thibierge.fr

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EXERCICE 4 : Nickelage

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EXERCICE 5 : Pile au Lithium

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