Chapitre 4ABCMécanique

Cinématique du point Introduction Définition du solide indéformable Référentiel: l’espace-temps Déplacement d’un point par rapport à un

espace Vitesse instantanée Accélération instantanée

Intro…La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le

mouvement des corps, indépendamment des forces qui les produisent. Les grandeurs étudiées s’appellent mouvement, déplacement, trajectoire, vitesse et accélération.

Définition du solide indéformableUn solide S indéformable est un milieu pour lequel, quels que soient le temps t et le couple de points A et B, appartenant au solide, la distance entre les points A et B est constante.

csteABABSBSAt 22

,,,

Référentiel : l’espace-tempsRepère d’espace : en cinématique, le mouvement

d’un solide peut être défini par rapport à un autre solide choisi comme référence et appelé solide de référence. Un repère de référence est un repère d’espace (repère cartésien par exemple) lié au solide de référence, permettant de repérer avec précision la position et le mouvement du solide.

La notion de mouvement est donc relativePour définir un espace, on lui associe un

repère orthonormé direct ayant pour origine un point lié à cet espace et pour base, des vecteurs unitaires orthogonaux liés à cet espace.

Repère temps : Outre le repère d’espace on définit une chronologie pour le paramétrage du temps. Une position est définie par sa date, ce paramètre de temps est appelé instant.

Référentiel : L’ensemble formé par le repère spatial et le repère temporel est nommé référentiel.

Passé Avenirt1 t2 O ti tf

Origine destemps

Début Fin

Durée duPhénomèneétudié : t

Date initialeDate finale

Date 1 Date 2

t = tf - ti

Position d’un point dans l’espacePosition d’un point dans l’espace : Connaître

la position instantanée d’un point relativement à un repère d’origine O, c’est connaître à chaque instant t, le vecteur . Ce vecteur est appelé vecteur position de M par rapport au repère R.

Ce vecteur est défini, à chaque instant par ses coordonnées cartésiennes dans R. connaître les 3 coordonnées cartésiennes de dans R c’est connaître la position de M.

Il est possible de trouver d’autres systèmes de coordonnées qui conduisant toujours à fournir trois informations, à partir desquelles on pourra retrouver les coordonnées cartésiennes.

OM

OM

zz.yy.xx.OM

zz.n.OM

....................

....................

y

x

u.OM

...........................

..........................

..........................

z

y

x

Systèmes de coordonnées

La position d’un point M relativement à un repère R est une fonction vectorielle de trois paramètres scalaires indépendants, fonctions du temps t.

Situation d’un espace par rapport à un autrepour connaître la situation d’un espace par

rapport à un autre, il faut connaître 6 paramètres indépendants :

Trois paramètres sont nécessaires pour définir la position de O1 dans R (voir paragraphe précédent),

Trois paramètres sont nécessaires pour orienter la base du repère R1 par rapport à la base du repère R. les trois paramètres choisis habituellement sont les trois angles d’Euler,

On passe de la base de R à la base de R1 par trois rotations successives, ce qui définit au passage deux bases intermédiaires :

Les angles d’Euler

la figure spatiale étant délicate à représenter et à comprendre, elle sera toujours remplacée par

la représentation plane des orientations.

Déplacement d'un point mobile par rapport à un repèreTrajectoire d’un point par rapport à un repèreC'est la courbe décrite au cours du temps par un point d'un

solide dans un repère lié à un solide de référence. La trajectoire… d’un point appartenant à un solide animé d’un mouvement

de translation rectiligne est un segment de droite,d’un point appartenant à un solide animé d’un mouvement

de translation circulaire est circulaire,d’un point appartenant à un solide animé d’un mouvement

de translation curviligne est une courbe,d’un point appartenant à un solide animé d’un mouvement

de rotation autour d’un axe fixe est circulaire,d’un point appartenant à un solide animé d’un mouvement

de rotation autour d’un point fixe est sphérique.

Vitesse instantanée d’un point par rapport à un repèreLa vitesse instantanée de M par rapport au repère R est la dérivée, par rapport au temps, du vecteur position dans le repère R.

0

)()/( 0

Rdt

OMdRMV

Accélération instantanée d’un point par rapport à un repèreL’accélération instantanée de M par

rapport dans son mouvement par rapport au repère R0 est la dérivée, par rapport au temps, du vecteur vitesse du point M dans le repère R.

0

)/(()/( 00

Rdt

RMVdRM