Maths à Petits Pas

Pierre GREHANT

Maths

à

petits pas

de Pythagore à eiπ

ebook 2013

Auto-éditionpar

bernard.grehant(a)gmail.com

Toutes lesfigures sont de l'auteur

C) Pierre Gréhant 2004-2013

ISBN 978-2-9527235-6-5

-- , --

Avertissement de l’Editeur

Mon père Pierre Gréhant est né le 20 juillet 1913, d’une mère russe,

Sonia, et d’un père parisien et médecin, Stéphane, fils de Nestor, ce

dernier étant lui-même médecin et physicien, compagnon de Claude

Bernard.

Etudiant (ou plutôt élève) un peu dilétante du fait de fréquents

déménagements entre France et Maroc, Pierre préfère le métier

d’ingénieur. Mais s’engage, presque aussitôt diplômé, dans les

Brigades Internationales, pour soutenir la république espagnole. Il

reste clandestinement en Espagne, pour continuer en vain le combat,

après le rapatriement de celles-ci, ce qui lui vaut aujourd’hui d’être

noté comme mort sur place, sur le site des Brigades. Après la mort de

Franco, Pierre reçoit la médaille Sangre y Dolor, qui pour lui compte

tout autant que la Croix de Guerre avec palmes, qui proviendra de la

suite. Car il revient d’Espagne pour être aussitôt mobilisé, comme

officier artilleur.

Puis quatre années de captivité, en Oflag. Après la libération, une

nouvelle vie professionnelle et familiale. Madeleine lui donne trois fils

et une fille. La carrière, c’est l’Onera, la Snecma, puis... l’Algérie

toute jeune et indépendante, où il croyait voir se bâtir le socialisme

égalitaire de ses rêves. Déception sur ce plan, mais pas dans les

rapports humains, de voisinage et de travail.

Lors de la retraite, enfin, un contact officiel avec le plaisir

d’enseigner, sur des postes contractuels dans l’Eucation nationale, en

BTS et diverses classes. Poursuite d’une passion du comprendre et du

faire comprendre, qui s’est poursuivie d’un bout à l’autre de ces 91

ans d’une existence bien remplie.

Une mention enfin pour l’IREM de Paris 6, où cotoyer des vrais

matheux lui apportait plus que tout élixir de jouvence.

MATHS A PETITS PAS 3

Ce livre, nous avons décidé de le mettre à disposition de tous, en

l’état, avec ses faiblesses sans doute, mais aussi ses belles tentatives

de rendre les choses aussi simples que captivantes.

« Nous », c’est avant tout mon ancien étudiant et ami, JM, qui ne

souhaite apparaître qu’à travers ces deux lettres, bien qu’ayant

consacré énormément de temps à la mise en forme des pages

manuscrites. Qu’il en soit très chaleureusement remercié.

Aussi soignés fussent-ils, les écrits de Pierre Gréhant nécessitaient

beaucoup plus qu’une simple saisie. Difficultés de vocabulaire

(souvent), incohérences (parfois), ou simplifications abusives ? JM

était là pour agiter des petis drapeaux. Certains ont pu être discutés

avec l’auteur jusqu’à trouver le mot juste ou le compromis nécessaire.

D’autres sont pour l’essentiel conservés, en notes de bas de page. On

reste perplexe sur certains choix de vocabulaire qui, pour éviter le

terme consacré, risquent parfois ... de plus compliquer que simplifier.

Le lecteur est donc prévenu : le produit qu’il tient entre les mains n’est

pas peaufinéà

l’extrème. Peut-êtreàne pas laisser entre toutes les

mains (et pas entre celles d’élèves de 3ème comme l’aurait souhaité

l’auteur) du fait de ces imperfections. Mais, dans un monde éditorial

où manuels scolaires et ouvrages de vulgarisation sont maintenant

d’une très grande qualité, livres sans doute pour la plupart inconnus de

Pierre, il reste peut-être une petite place pour la vision un peu décalée

d’un baroudeur des maths.

Bonne lecture à tous !

Bernard Gréhant

12/2013

Attention : le format d’édition de nombreuses figures oblige à les

grossir de façon souvent démeusurée pour les rendre lisibles. Mais en

effectuer la reprise eût représenté bien trop de travail. Il faut nous en

excuser. De même pour les inévitables erreurs typographiques qui

peuvent subsister. Comme me le dit JM, il resterait tellement de points

à discuter sur le fond qu’il ne faut pas s’attarder à l’excès sur la forme.

4 MATHS A PETITS PAS

Préface de JM

Une belle soirée de mai s’annonçait ; j’avais gardé d’excellents

souvenirs de cette formation achevée vingt ans plus tôt. Les étudiants

fraîchement diplômés n’étaient pas encore nés lorsque j’étais à leur

place ! Je me sentais vieillir…

J’avais hâte de retrouver les copains perdus de vue mais aussi les

enseignants qui furent parmi les meilleurs que j’ai eu la chance

d’avoir. Justement, l’un d’eux arriva au bar…

Lorsque je l’ai connu, Bernard enseignait l’électronique. Aujourd’hui,

il défend les couleurs de notre industrie Rhône-Alpine en pratiquant la

veille technologique et les brevets.

Lorsqu’il apprit, qu’à l’inverse, j’avais quitté l’industrie pour rejoindre

l’éducation nationale, Bernard me proposa de mettre en forme le

manuscrit que venait d’achever son Père, alors âgé de 91 ans. Là, je

me sentis rajeunir…

C’est avec beaucoup de plaisir que j’ai accepté cette mission et chaque

fois que j’achevais un chapitre, je m’empressais de le transmettre à

son auteur toujours très enthousiaste.

Malheureusement, deux mois plus tard, Pierre Gréhant décédait.

Jusqu’aux derniers moments il continuait à parler de ce que je

considère comme l’une des plus belles activités de l’esprit : les

Mathématiques.

Entre le mois de novembre 2005 où j’écrivais ces lignes et

aujourd’hui, où je les reprends, que de temps passé sans mettre la

dernière touche à l’ouvrage, du fait de priorités diverses. Que Pierre

me pardonne. Il aurait adoré les merveilles permises par certains

logiciels de géométrie dynamique, qui ont tant évolué depuis 2004.

J’aurais aimé que nous puissions faire un plus long bout de chemin

ensemble.

Que vous soyez un passionné de Mathématiques ou non, si vous

prenez autant de plaisir à lire cet ouvrage que j’ai eu à le mettre en

forme, nul doute que son défunt auteur « jubilera de plaisir, au paradis

des Mathématiciens » …

JM

Novembre 2005 et Décembre 2013


Les Accroches de l’Auteur

Mathsà petits pas...

... conduisant à un objectif déterminé,

présenté dans les toutes dernières pages

Pour les élèves de prépas, lecture reposante et mise en ordre

(parfois inattendue) de leurs connaissances.

Pour les jeunes élèves (peut-être à partir de la troisième), lecture

gratifiante et à coup sûr bénéfique pour la suite de leurs études.

On aura besoin parfois d’une petite aide extérieure.

Incitation à s’intéresser aux Maths, et à finir par les aimer.

A mes petits-enfants, leurs épouses et époux...

A Laura et à mes futurs arrière-petits-enfants.

Pierre Gréhant – Mai 2004


CHAPITRE 1

LES CINQ PREMIERS ETATS

INTRODUCTION 1

Six états

Dans cette introduction, nous ferons passer les nombres par six états

successifs. Cette « Histoire des Nombres » est plus intéressante qu'on pourrait

le croire à première vue. Elle fait penser à la théorie de l'évolution et aussi à la

conquête de l’espace. L'espace dont il s'agit ici est le plan (!"#). Un nombre,

nous le verrons, se représente par un point ! situé dans ce plan (!"#) et par

le segment [!"] reliant le point ! au point origine !. Dans chaque état (de

un à six) les nombres disposent d'un « domaine » à l'intérieur duquel ils

peuvent être déplacés et fixés suivant leur valeur.

Au début (« état 1 ») ce domaine est très réduit. C'est un segment [!"] de

longueur 10 unités, placé sur l'axe (!"), et chaque nombre (il y en a dix) est

représenté par un point isolé. « L'évolution » consiste à passer d'un état à l'état

suivant, qui sera plus étendu et plus riche en possibilités, et qui englobera en

lui-même tous les états précédents.

Dans « l'état 4 », le domaine est la droite infinie (!") et les nombres ne sont

plus isolés. Ils sont « tassés » en nombre infini à l'intérieur de chaque

intervalle (intervalle de longueur unité qui sépare les nombres isolés des états

précédents.)

A l’état noté 5, les nombres permettent de donner un sens à l'équation :

! = !"² + !" + !

Cette équation représente une courbe géométrique, la parabole. Quand on

écrit :

! = !"² + !" + ! !" ! = 0

cela veut dire qu'on coupe la parabole par la droite horizontale d’équation

! = 0. Les valeurs de x correspondant aux points d'intersection sont les

!"#$%&"'! de l’équation :

!"² + !" + ! = 0

Les coefficients !,!,!" ! fixent la position de la parabole dans de plan (!"#).

1 Cette introduction est manifestement destinée à l’enseignant

(Les notes de bas de page non signées JM sont de l’éditeur)


Si la parabole est placée de façon à être coupée par la droite horizontale

d’équation ! = 0, les points d’intersection existent, et on peut calculer les

solutions. Sinon, on dit que les solutions n'existent pas. Par contre, dans l’état

noté 6, il y a toujours des solutions et celles-ci ont une bonne signification

géométrique.

Dans « l'état 6 », la représentation géométrique des nombres s'étale dans un

domaine couvrant tout le plan (!"#). Elle n'est plus limitée à la droite (!").

On fait appel à deux nombres de l'état 5, ! !" ! pour représenter le segment

[!"]. ! est la longueur du segment [!"] et ! est l'angle que le segment

[!"] fait avec la demi-droite [!").

L’état 6 possède de nombreux avantages. Il permet de résoudre l’équation

« !² = −1 » et rend évidente la « règle des signes » de la multiplication (plus

par moins égale moins, moins par moins égale plus, etc.).

La « correspondance »

Dans les pages suivantes, on fera souvent appel à la notion de

correspondance.

On considère deux collections d’objets identiques, ou pouvant être considérés

comme identiques, ou bien des collections de signes (chiffres) représentant

des nombres. Soit donc deux collections. On fait correspondre chaque

élément de l'une à un élément de l'autre. On peut supposer qu’on les a réunis

par un fil. Mais ce fil peut être remplacé par une vision abstraite qui fait

disparaître le fil matériel tout en conservant le principe de la liaison entre les

deux objets.


« ETAT 1 »

Les dix doigts

Les mains étant fermées, on peut sortir successivement chacun des dix doigts.

Ceci fait dix « situations » qui reçoivent chacune un nom (un, deux, trois,

etc.…) et une représentation écrite, dite numérique ( 1, 2, 3 etc. …). On

appelle « chiffres » ces signes numériques.1

Petits nombres

Soit une collection d’objets semblables. On « relie » chaque objet de la

collection à l’extrémité d’un doigt. Tous les doigts non utilisés pour la

correspondance sont repliés. Le nom de la « situation » que forment ainsi les

doigts est donné à la collection des objets, à laquelle on attribue naturellement

la représentation numérique correspondante. Le nom ainsi défini est ce qu’on

appelle un nombre du premier état.

Représentation géométrique

Une demi droite [!") sert de support à des « segments unité » juxtaposés. On

réalise une correspondance entre un état des doigts et les premiers segments

juxtaposés partant du point !. On représente le nombre par un point !

marquant la position du dernier segment de la correspondance. Le point

! tel que !" = 10 marque la limite du domaine. Chaque nombre a ainsi un

nom, une représentation graphique et une place dans un domaine.

doigts sortis

segment unité

correspondance

! !

! !

1 Pierre passe sous silence le cas du dix, qui nécessite deux chiffres. JM


Domaine de l’état 1

Le domaine est constitué, sur le segment !" = 10 par le point zéro 0 et par

les extrémités des segments unitaires juxtaposés (10 segments). Les points

situés en dehors de ces points ainsi définis ne figurent pas dans le domaine et

aucun nombre ne leur correspond.

!

! !

Addition et multiplication

Ce sont des procédures choisies pour combiner deux nombres et obtenir un

troisième nombre appartenant au même domaine. Dans notre cas, on a choisi

les procédures arbitrairement, et on a constaté que les résultats avaient un

intérêt pratique.

Addition ! + !

Soit !, le segment sur [!") représentant le premier nombre, et !, le segment

représentant le second. On fait glisser le second sur [!") de telle sorte que

son origine (anciennement le point !) vienne coïncider avec l’extrémité du

segment !. On obtient ainsi un segment plus long que ! et que !, auquel

correspond un nouveau nombre.

Comme pour l’état 1, le domaine est limité par le point ! (!" = 10), on ne

peut pas effectuer d’addition avec tous les nombres du domaine.

segment !

segment !

segment ! + !

Représentation numérique.

! = 2

! = 4

! + ! = 6

On dispose d’une table expérimentale qui permet d’écrire directement les

égalités.

Evidemment, on risque très vite de sortir d’un domaine aussi petit, quand on

procède à l’addition des nombres.


Multiplication a X b (ou produit a. b ou encore ab)

On réalise une correspondance entre chaque segment d'une unité de a et un

nombre convenable de segments b juxtaposés et égaux au segment b, qu'on

aura fait glisser le long de la demi-droite |[Ox). L'ensemble de ces segments

juxtaposés représente le nombre aXb.

Exemple :

H- Segment a

segment b

Cl

-─ _─--T correspondance

b b

Segment a X b

(0 dXb M

Représentation numérique : a = 2

b = 3

aXb = 6

Une table de multiplication (expérimentale) donne immédiatement les

résultats.

X 1

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Q Q

1 0 10

Mais, là aussi, le nombre de multiplications possibles est très limité si l'on

souhaite que le résultat soit lui-même compris dans le domaine OL= 10

: s :

Trois propriétés fondamentales

On remarque que :

a+b = b+a et aXb = bXa

3-- 2 = 2--3 et3X2= 2X3

cela s'appelle la réciprocité(commutativité).

On aussi :

a+(b+c)= a+b+c

ax(b×c)= axb×c

2+(3+4)=2+3+4=9

2×(3×1)= 2×3×1 = 6

cela s'appelle l 'associativité

Notons maintenant la distributivité :

ax(b+c)=(axb)+(axc)

2×(3+1)=(2x3)+(2×1)

2X4 = 6 -- 2 = 8

Acestroispropriétés, je donne le nom de« critères ».

Liste des critères

Nousavonsrencontré les critères dans le casparticulierprécédent.

Il est important de savoir que ces mêmes critères vont s'appliquer également

aux nombres des états2,3,4,5 et 6.

On pourrait définir ces nombres de différentes façons à partir de la position

despoints qui les représentent dans le plan (xOy), mais seuls seront reconnus

officiellement comme étant des nombres véritables ceux qui pourront

satisfaire à la liste des critères que nous venons de voir, liste à laquelle

viendront s'ajouter de nouvelles conditions, suivant les cas, mais qui

garderonttoujourslestrois critèresprincipaux que nousvenons devoir.

NOmbrezéro

LepointO de lademi-droite [Ox)représente la quantité 0. "

On a :

d --0 = a

Ca X () = 0

" Lezéro mériteraitun chapitreà luitout seul.JM

1 -- , --

Passage à « l’état 2 »(nombre supérieur à dix)

On appellera « base », le nombre représenté dans l’état 1 par le segment [!"],

c’est à dire le nombre 10.

La collection regroupe cette fois un grand nombre d’objets. Dans la

collection, on classe les objets par groupes de dix, et chacun de ces groupes

est considéré comme un objet d’une nouvelle collection. On compte le

nombre de ces nouveaux objets. Supposons que ce compte donne un nombre

inférieur à dix, et qu’il reste des objets de la collection initiale (en nombre

inférieur à dix). Le compte final sera : tant de groupes de dix, les dizaines,

plus un reste, les unités.

La représentation numérique utilisera au moins deux chiffres, le chiffre le

plus à droite figurant le reste, et le(s) plus à gauche figurant le nombre des

groupes de dix.

Mais on peut continuer : si le compte des groupes de dix donne un nombre

supérieur à dix, on répête l’opération, cette fois sur la collection des groupes

de dix, qu’on regroupe à nouveau par dix : le nombre de ces nouveaux

groupements constitue le nombre de centaines, leur reste consitue le nombre

résiduel de dizaines.

Et ainsi de suite...

On arrive ainsi aux nombres de l’état 2.


« ETAT 2 »

L’état 2 recueille tous les nombres entiers, aussi grands soient-ils.

Représentation graphique

Le segment [!"] représentant le nombre peut s’étendre jusqu’à l’infini le

long de la demi-droite [!"). Cette demi-droite porte maintenant une infinité

de segments unité juxtaposés. Le domaine est constitué par les points qui

séparent chacun de ces segments unité. On reporte sur la demi-droite [!"),

successivement, des segments qui représentent, par leur longueur, les objets

de la collection. Dans le cas des nombres compris entre dix et cent, ces objets

sont des groupes de dix objets de la collection primitive.

On portera après un segment qui représentera les restes. Pour les nombres

compris entre cent et mille, les objets de la nouvelle collection seront des

groupes de cent, et le reste sera constitué par des groupes de dix, puis par des

unités.

Représentation numérique

Sur des colonnes verticales numérotées de droite à gauche, on réserve la

colonne 1 aux unités, la colonne 2 au nombre des groupes de 10, la colonne 3

au nombre des groupes de cent, etc. ...

Les colonnes de numéro plus bas contiennent les restes.

Remarque

Les développements qui vont suivre, concernant les nombres de l'état 2

(procédures et vérification des critères) peuvent paraître inutiles et superflus,

car ils ne font qu'énoncer des questions que l'habitude a rendues évidentes.

Mais ces développements ont quand même un intérêt. Ils montrent un modèle

et fournissent un cadre qui sera applicable à toutes les procédures et procédés

de contrôle utilisés dans mes états suivants.

Il y a deux procédures principales, celle de l'addition et celle de la

multiplication.

10 20 24

! !

! !

!


Dans chacune on a affaire à un premier nombre a et à un second nombre, le

nombre b.

Ces deux nombres occupent deux lignes horizontales superposées dans un

système de colonnesverticales numérotées de droite àgauche. Lesunités de a

et de b occupent la colonne n°l. Soit r le nombre de chiffres de a et S le

nombre de chiffres de b. Chaque chiffre sera repéré par le numéro de la

colonne verticale qu'il occupe. Parexemple, a, représente le chiffre de a qui

occupe la colonne p(pétantcompris entre1 et r). De même, b,

représente le chiffre de b qui occupe la colonne la colonne

q(q étant compris 1 et s).

Nousvoyons l'importance descolonnesverticales et de leur numérotation.

Par exemple :

6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 Numéro des colonnes

2 | 7 | 1 | 8 Nombre aà 4 chiffres

(r =4)

3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 Nombre bà 6chiffres

(s = 6)

Nombre a : à 4 chiffres

d = 8; d, = 1 ; a3 = 7 et a 4 = 2

Nombre b : à 6 chiffres

b, = 9;b,= 5;b3 = 1; b, =4;bg = 1 et bg =3

Procédure de l'addition

Sur une troisième ligne horizontale, on ajoute dans chaque colonne le chiffre

de a et le chiffre de b.(Cecigrâce àunetable expérimentale d'addition). Si la

somme obtenue est constituée par un seul chiffre, c'est ce chiffre qui est

inscrit dans la colonne considérée.Si le résultat donne un nombre constitué de

deux chiffres, c'est le chiffre des unités qui est inscrit dans la colonne

considérée, et celui (l) des dizaines sera retenupour être ajouté à la somme

qui sera obtenue, dans la colonne suivante (à gauche) quand on fera, dans

cette colonnevoisine adjacente, la même opération d'addition.

Quand on arrivera à la dernière colonne, on aura, sur la troisième ligne

horizontale, le résultat a+b.

Donnonsun exemple d'addition : 75812+56753

: s : s

Tout se passe comme indiqué plus haut, en utilisant 6 colonnes verticales 1 à

6.

6 5 4 3 2 1 !"#é!" !"# !"#"$$%&

1 1 1 !"#"$%"&

7 5 8 1 2 !"#$%& ! + 5 6 7 5 3 !"#$%& ! 1 3 2 5 6 5 !"#$%& ! + !

Procédure de la multiplication (ou « produit »)

Les nombres ! et ! sont placés comme précédemment.

On appellera « chiffre actif» successivement, chacun des chiffres

!! (! est compris entre 1 et ! ) .

On commence par calculer successivement les produits partiels du nombre !

par chacun de!

chiffres actifs!!.

Ces produitpartiels occupent ! lignes

horizontales superposées. Chaque produit partiel sera obtenu de la façon

suivante :

Une table expérimentale de multiplication donne comme résultat de la

multiplication de deux chiffres, soit un chiffre d'unités, soit un nombre de

deux chiffres, le plus à droite indiquant des unités et le plus à gauche

indiquant un nombre de dizaines.

Sur la ligne horizontale numéro ! des produits partiels, obtenue à partir du

chiffre actif!! ,

onplacera

dans la colonne!

le résultat de lamultiplication

(produit)!!× !! si

ce produit ne contient quedes

unités etsi

il neconsiste

qu'en un seul chiffre. Si il y a un chiffre des dizaine, on laissera dans la

colonne!!

le chiffre des unités et on retiendra le chiffre desdizaines

pour

l'ajouter, dans la colonne verticale suivante ! + 1, au produit qui devra être

calculé ensuite !!×!!.Si, comme

c'est possible,ce produit comportait deux

chiffres, il faudrait agir comme précédemment, en reportant une retenue dans

la colonne ! + 3.

Et on fait ainsi de proche en proche en faisant intervenir successivement tous

les chiffres jusqu’à !!.

Onaura ainsi

obtenu le produit partiel!!×!.

On formera unautre

produit

partiel en faisant appel au chiffreactif !!!! suivant

eten

agissant exactement

de la même manière que précédemment.

On aura finalement les ! produits partiels, les uns au-dessous des autres.

Chacun sera décalé d’un cran vers la gauche par rapport au précédent.


Il faudra maintenant faire une addition de tous ces produits partiels.

(procédure de l'addition voir ci-dessus). Le résultat de cette addition sera le

résultat duproduit aXb.

Donnonsun exemple de multiplication :4532X754.

On utilise les six colonnes précédentes,plusune septième,placée àgauche de

la colonne 6. Dans le paragraphe précédent on a indiqué que les produits

partiels étaient directement écrits les uns en dessous des autres. On admet

pour cela (c'est ce qui se passe dans la pratique) que chaque produit

élémentaire b,×a, est écrit directement, en séparant mentalement la retenue

éventuelle du chiffre des unités, et en ajoutant (mentalement aussi) cette

retenue éventuelle auproduitélémentaire suivantb,×a,,.

Dans l'exemple ci-dessous on détaille ces opérations et on retrouve à part les

produitspartiels et la somme obtenue en les additionnant.

On consacre un rectangle à chaque produitpartiel et dans ce rectangle, ily a

trois lignes superposées, en tenant compte des colonnes verticales. Une ligne

des retenues.Une ligne des produits b,Xa, où onne retient que le chiffre des

unités.

Puisune ligne deproduit définitif, quitient compte de l'addition des retenues.

7 6 5 | 4 | 3 2 1 Numéro des colonneS

4 | 5 | 3 | 2 Nombre a

X 7 | S | 4 Nombre b

/ | 2 | / Retenue

6 | () | 2 | 8 addition

1 | 8 | 1 | 2 | 8 produit a×4

2 | 2 | / / Retenue

() | 5 | 5 | () - addition

-- 2 | 2 | 6 | 6 | 0 | produit a×5

l Retenue addition

2 | 3 | 2 | / Retenueproduit

8 | 5 | 1 | 4 addition

-- 3 | 1 | 7 | 2 | 4 produit a ×7

| | | | |

3 | 4 | 1 | 7 | 1 | 2 | 8 produit a × b

: s : 7

On a ainsipour le calcul duproduit a ×7

7X2,retenue 1 unités4

7X3,retenue 2 unités 1

7×5,retenue 3 unitéS 5

7×4,retenue 2 unitéS8

On remarque qu'au dessus de la retenue 2 qui provient de la multiplication

7X4, ily aune autre retenue l quiprovient de l'addition 8+3= 11 ce qui

donneune retenuetotale2+1 = 3.

Puissance et exposants

Nousavonsvu l'associativité de la multiplication :

(a × a× a)×(aX a) = a× a× a× a× a

on écrit :

3 - 4 4 y y , 4 4 - y y , 44 y y

a*= aXaXa ("'a cube", ou : "'apuissance 3", ou : "'a exposant 3')

a*= axa("a carré", ou : "'apuissance 2", ou : "'a exposant 2 )

a*= axaxaxaxa ("'apuissance 5", ou : "a exposant 5")

Les nombres a sont« élevés à la puissance de leurs exposants». Deux mots

particuliers sil'exposant n de d"vaut2(carré)ou3(cube).

Onvoit que : a*×a*= a* etplusgénéralement: a"×a"= a"**

On retiendra que les nombres se multiplientquand lespuissances s'ajoutent.

Puissance de dix

10*=10×10= 100(nombre cent)

10*=10x10x10=1000(nombre mille)

10*=10×10×10×10= 10000(nombre dix mille)

. 10°=1000000(nombreun million)

C'esttrès commode d'utiliser des puissances de dixpour exprimer desgrands

nombres :

Distance de laTerre auSoleil = 148.10°km

km 107

Vitesse de la lumière = 3.10*-= 3.108 s

Racines

Inversement, on a : V100 =10

on a : /10 000 = 100

on a : /1000 000= 1000

plus généralement, on a: Van= a

13 -- , --

Pour la racine carrée, on peut écrire ! ou plus simplement :

4 = 2

16 = 4.

Mais tous les nombres entiers n’ont pas de racines... à l’intérieur de l’état 2.

Prenons deux nombres consécutifs de l’état 2, par exemple 3 et 4.

On a : 32 = 9 et 42 = 16, et donc : 9=3 et 16=4.

On peut en déduire que : 10, 11, 12, 13, 14 et 15 sont plus

grands que 3 et plus petits que 4... mais il n’y a rien, dans l’état 2, entre 3 et

4 !

Autres bases que 10

N’importe quel nombre peut servir de base. Les premières civilisations nées

en Mésopotamie utilisaient la base 60. De nos jours, on emploie, en

informatique, la base deux qui utilise juste le chiffre 0 et le chiffre 1.


« ETAT 3 »

Nombres entiers négatifs

Les nombres considérés dans l’état 2 étaient des nombres entiers positifs

appelés « entiers naturels ». Ils occupaient juste la demi-droite [!").1 Les

nombres de l’état 3 occupent maintenant la droite infinie (!"), en étant

toujours séparés l’un de l’autre par un petit segment unité. Ceux qui se

trouvent sur la partie (!′!] à gauche du point zéro !, sont appelés « nombres

négatifs ».

A chaque nombre positif ! correspond un nombre négatif –!, symétrique par

rapport au point !.

Le domaine des nombres de l’état 3 est donc constitué par l’ensemble

ponctuel de tous les points de la droite (!"), séparés chacun du précédent ou

du suivant, par le petit segment unité.

Chaque nombre de l’état 3 est représenté géométriquement par un segment

[!"] dont la longueur correspond au nombre d’unités qui le composent. Le

point ! peut se trouver maintenant d’un côté ou de l’autre du point !.

Les nombres de l’état 3, qu’ils soient positifs ou négatifs, sont dits « entiers

relatifs ».

Addition

Le segment [!"] est orienté et il garde toujours son orientation.

Orientons la droite (!") de gauche à droite.

Si le point !!est à droite de !, alors la mesure algébrique du segment [!!

!]

, notée !!! est positive : !!! = !!!.

Si le point !! est à gauche de !, alors la mesure algébrique du segment

!!! , notée !!! est négative : !!! =−!!!.

Soit ! = !!! et ! = !!!

Le segment [!!!] tel que !!! = ! + ! sera obtenu en reportant le segment

! à la suite du segment !.

1Notations : [0x) : demi-droite horizontale partant de 0vers la droite ; (x’0] : demi-droite

horizontale venant de la gauche pour se terminer en 0 ; (x’0x) ou simplement (0x) : droite

horizontale complète, passant par 0.


Exemples :

q = 7; b =-3; a+b=4

M,

3 ->

(0 X

a = -8; b = 5; a + b = -3

M,

(0 %

M,

O) %

M,

sé es »

(0 X

On écrit+(-a)=-a

Multiplication et« règle des signes»

On exécute leproduit aXb comme si les nombres a et b appartenaient à l'état

2, mais on soumet le résultatà«la règle des signes» :

Plusparplus donne plus.

Pluspar moins donne moins

Moinsparplus donne moins

Moinspar moinsdonneplus.

Exemples :

a = 3;b = -7;aXb = -21

q = -4;b= -7;aXb = 28

: s : p

Vérification des critères

Tous les critères sont convenablementvérifiés. Voyonspar exemple celui de la

distributivité :

ax(b+ c)= axb+ axc

a = 2;b = -3;c=4

2×(-3+4)=2×(-3)+2x4

2X1 = -6 --8

2 = 2

La règle des signes n'est pas «tombée du ciel». Elle ne s'explique pas

directement. Elle a été adoptée pour que la procédure du produit satisfasse aux

critères, notammentà celui de la distributivité.

Comme lesprécédentes règles, cette règle-cis'appliquera naturellement aux

états suivants.

-- , --

« ETAT 4 »

Les inverses

On créé maintenant un nouveau type de nombres.

Pour tout nombre ! de l’état précédent, on admet qu’il existe un nombre

1

! tel que ∶

1

! ×! = 1

Ce nombre !

!

est appelé l’inverse de !.

La procédure de cette multiplication reste analogue à ce qu’elle était dans les

états précédents : on juxtapose des petits segments de longueur !

!

, en nombre

égal à !, et on considère le point terminant le dernier segment : c’est le résultat.

Ici ce point sera le point ! tel que !" = 1 (segment unité).

Cela revient à diviser le segment unité en ! petits segments égaux. Le nombre !

peut être très grand, ce qui signifie que le segment !

!

peut être très petit.

Le domaine des nombres !

!

est le segment unité. Ce segment peut être

entièrement « bourré » par tous les segments!! possibles.

Les nombres rationnels

On peut considérer maintenant les nombres obtenus en juxtaposant ! segments

de longueur!

!

. C’est donc la multiplication de!

!

par !, notée simplement !!. On

peut aussi le noter : !! (« b sur a »)

Un tel nombre !! est appelé « rationnel », le mot latin ratio signifiant le rapport

de deux quantités, la fraction, le quotient.

L’ensemble des nombres rationnels constitue notre quatrième état.

Si ! est plus petit que !, le nombre!!

est représenté par un point de la droite

(!") intérieur au segment unité.

Si ! est plus grand que !, le nombre!!

est représenté par un point de la droite

(!") extérieur au segment unité.

Si ! est très grand, ce qui est possible, le nombre!!pourra se trouver n’importe

où sur la droite (!") infinie des deux côtés : à droite si b est positif, à gauche si

b est négatif, pour autant que a soit positif, et l’inverse si a est négatif.


Domaine

Le domaine des nombres appartenant à l’état 4 est donc la quasi-totalité de la

droite (!") et non plus seulement les points isolés qui étaient considérés

précédemment. Ces points isolés, ceux de l’état 3, appartiennent quand même

aussi à l’état 4 : par exemple, le nombre 21/3 de l’état 4 vaut 7, qui appartient à

l’état 3 et à l’état 2. Par contre les nombres voisins 20/3 et 22/3 n’appartiennent,

eux, qu’à l’état 4.

Nous verrons plus loin qu’il faudra encore d’autres nombres (appelés cette fois

« irrationnels ») pour que la droite soit complète.

Un nombre rationnel non entier est souvent dit fractionnaire, ou fraction, qui

s’exprime comme le rapport ou quotient de deux nombres.

Les fractions

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie le haut (numérateur) et

le bas (dénominateur) par le même nombre. De la même façon, on peut diviser

le numérateur et le dénominateur par le même nombre.1On peut ainsi donner aux deux fractions un même dénominateur.

Addition

23= 2×73×7 = 1421 et,d!autrepart ∶ 47 = 4×37×3 =

12

21

23 + 47 = 1421 + 1221 =

14

+

12

21 = 2621

Une fois que les fractions présentent un même dénominateur, on peut ajouter les

numérateurs.

Multiplication

23× 47 =2×43×7 = 8

21

On multiplie entre eux et les numérateurs et les dénominateurs.

1 Pourvu que ce nombre ne soit pas nul. JM


Vérification des critères

Tous les critères sontconvenablementvérifiés.Vérifions surun exemple ce que

donne le critère de la distributivité :

a×(b + c) = a×b + a× c

P e _ 2 b = _ 3

renons : a= ; = c= ;

b -- 3+3x2 9 t d : a ×(b + ) = éx * = *C - 4 * 4 GUClOIlC : OI c) = 4 2

x b = éxé= t : X = éx = 1

a × p = x = ; et : a × c = x =

a × b + a × C -- 1 - --

%-

*

Difficulté : les irrationnels

Nous avons vu que tous les intervalles formés, en nombres infini, par les

segments unité disposés sur la droite (Ox) étaient«bourrés»par des nombres

appartenantà l'état4.

Or, chose assez surprenante, et qui a longtemps laissé perplexes les savants de

l'antiquité, il existe des nombres qui s'ajoutent, sans se mélanger, aux nombres

de l'état4.Cesont les nombres irrationnels, qui justifient l'existence de l'état 5.

On verra apparaître deux nombres irrationnels, le nombre v2 et le nombre T

(«pi»)

Mais avant de les introduire, il faudra démontrer le théorème de Pythagore, et,

avant celui-ci, lethéorème deThalèssur lequel s'appuie notre démonstration.

-- , -- ,

« ETAT 5 »

Les irrationnels : aucune périodicité

En représentation décimale, les nombres !! (! !" ! sont des nombres de l’état 3,

mais ! ne peut pas être nul) sont caractérisés par le fait que les chiffres qui

suivent la virgule reproduisent toujours des séries de groupes identiques,

périodiques. Ceci parce que, dans une division, dans la suite des restes

successifs, on finit toujours par retomber sur un reste déjà vu.

Exemple : 87= 1,!"#$%&142857142857…

Le groupe périodique 142857 se reproduit indéfiniment. Ce n’est pas le cas

pour les nombres irrationnels où les décimales se succèdent, jusqu’à l’infini,

sans aucune périodicité.

Nous verrons en particulier, que le nombre 2 existe cependant à coup sûr car

on peut obtenir géométriquement le segment [!"] de longueur !, mais ne

peut pas être défini par un nombre !! de l’état 4.

Dans ce triangle rectangle,

dont les côtés OI et IA ont une

longueur : 1, le théorème de

Pythagore, qu’on verra par la

suite, montre que le côté OA a

pour longueur:√2.

Donc : longueur de OM = √2.

Heureusement, les nombres irrationnels peuvent être approchés aussi près qu’on

le désire par un nombre rationnel!!.

C’est cette valeur approchée qui sera

utilisée dans la pratique.

L’état 5 donne cependant une véritable place à ces nombres curieux...


Un peu de géométrie

Dans les pages suivantes, nous allons nous occuper de triangles, en supposant

connues des connaissances intuitives se rapportant aux longueurs et aux angles.

On appellera !,!,! les côtés du triangle, !,!,!

les sommets respectivement opposés aux côtés

a, b, c !" !,!,!, les angles correspondant

chacun à son sommet.

Cinq cas d’égalité

1. Les angles représentés en rouge, qui sont

opposés par le sommet sont égaux.

Car la rotation de 180° de la partie droite

amène sur la partie gauche.

2. Les angles ß ayant leurs côtés

respectivement parallèles sont égaux car

on peut les faire glisser pour les amener

l’un sur l’autre.

β

On parle « d’angles correspondants ».

β

3. Les deux angles ! !" ! dont les côtés sont

respectivement perpendiculaires sont égaux,

car si on fait tourner ! de 90 degrés, on

retombe sur les cas des angles dont les côtés

sont parallèles.

αβ

90°

α

β

B C

A

a

b

c

α

β γ


4. Deux angles situés entre deux droites parallèles et

formés de part et d'autre d'une droite sécante à celles

ci sont dits angles alternes internes et ont même

Il(eSUII(e.

C1 = C , et W = W, .

5. Il en va de même pour les angles situés à l'extérieurs 3

des parallèles et formés de par et d'autre de la sécante.

Ces derniers sont dits angles alternes externes et ils ont * 3

même mesure.

Ainsi, a, = a4 et V3 = V4 .

Somme des angles d'un triangle 4

Montrons que, comme onvoitsur la figure,que cette somme esttoujours égale à

180 degrés.

C = Ct

(angles alternesinternes) 1809

f8 = ß

(angles correspondants)

y+ a,+ 6 =180°

donc a + ß+y=180°

Nousavonsmaintenanttous lesingrédientspouraborder lethéorème deThalès !

3 -- , --

Théorème de Thalès

Dans un triangle ABC, on désigne par a la longueur du côté [BC], par b la

longueur de [AC] et par c la longueur de [AB].

On divise le côté [!"] en ! petits segments égaux et jointifs, de longueur b/m.1

Deux faisceaux parallèles aux côtés [BC] (faisceau 1) et [AB] (faisceau 2)

découpent sur ces côtés un nombre, toujours égal à !, de petits segments,

également égaux entre eux et également jointifs, donc de longueur a/m sur [BC]

et c/m sur [AB].

Côté b très grossi

Côté [AB] très grossi

Faisceau n°1cm très petit parallèle à a

Faisceau n°2

parallèle à c

Côté d très grossi

dmtrès petit

C

a

Faisceau n°2

Côté a très grossi

parallèle à c

am très petit

D’un point ! situé sur [!"] et distant de ! de ! petits segments (segments

initiaux divisant !") on trace une parallèle (!") à la base (!"). Le faisceau 2

découpera sur cette petite base du triangle !"# ! petits segments dont la

longueur unitaire (c’est le point capital de la démonstration) est égale à celle des

segments découpés par le même faisceau sur la base [!"].

1 En supposant que la longueur du segment AC n’est pas un nombre irrationnel

B

A

ED

bc

d


A Onvérifie,sur la figure :

C b b b

mn mn AC = b = m-; AE = n -

177 177

C C

AB = C = m-; AD = n-

100 100

Cl CL

a BC = a = m- ; DE = n-

m * 107 17

- y v ,, AE - DE - ADIlvient le théorème deThalès : AC " BC - AB

Théorème de Pythagore

Le théorème deThalèsva nous conduire à celui de Pythagore, qui s'applique à

untriangle rectangle.Ontrace la hauteur dutriangleABCrectangle enA,ce qui

donne naissanceà deuxnouveauxtriangles rectanglesABH etACH.

L'angle en A du triangleABH(notéBAH) est égal à l'angle en C du triangle

ABC(notéACB)et L'angle en A du triangle ACH (noté CAH) est égal à

l'angle en B dutriangleABC(noté ABC), c'estune conséquence dufait que la

sommedes angles d'untriangle est égale à 180 degrés.

Appelons a la longueur du côté [BH| et a, celle du côté [HC| des petits

triangles.

On a lasomme a + a,= a.

Imaginons qu'on retourne face pour face les petits triangles et qu'on les coince

dans les angles correspondantsdu triangleABC, lethéorème de Thalès donnera :

les égalités :

0 -- , --

D'où l'on tire

axa =c* et axa,=b*

Onfait la somme :

axa, +axa,= b*+ c*

Applications-«Nombres réels»

et on obtient le résultat :

Nous pouvons maintenant aborder le calcul des nombres irrationnel et trouver- 3 - - -

les racines v2 v3, V3. Nous consacrerons ensuite, dans le chapitre suivant,

plusieurs pages aux équations du deuxième degré. Nous calculerons également

TT.

Mais, dès à présent se trouve justifiée la figure de la page 26, qui permet de

loger les nombresirrationnelssur notre droite des nombres.On appelle nombres

réels tous les nombres de l'état 5, englobant donc à la fois les nombres

rationnels et irrationnels. Cette fois, la droite (0x) est complètement emplie de

nombres entiers naturels, entiers relatifs, rationnels etirrationnels.

Expressions de (a+b)* et(a+b)*

On effectue les multiplications

(a + b).(a + b)= a*+ ab+ ab+b*

= a*+2ab+b*

(a + b).(a + b).(a + b) = (a*+2ab+b*).(a + b)

= a*+ a*b+2a*b+2ab*+ab*+ b*

= a*+3a*b+3ab*+ b*

Supposons que b est petit devant a. Par exemple : b= a/10

Alors b* et b* seront trèspetits et négligeables devant a* et a*. En effet :

b2 = a2/100 et : b3 = a3/1000

-- , -- , -1

(a+b)* = a*+2ab

(a+b)* = a*+3a*b

Le signe = (ou encore as)signife :«appoximativement égal».Onprend

l'habitude de noter e une quantitépetite : ici on remplace donc b par e :

(a+ e)* = a*+2ae

(a+ e)* = a*+3a*z

Calcul approchéde r=v2

Elevons au carré des deuxcôtés dusigne égal : jr2 = 2

Onpart d'unevaleur approchée de r = r ,par exemple l,4.On faitune série

d'approximations successives.

On écrira r= r + e ; 2= r*=(r, + e,)*

On utilise alors la première équation approchée de la pageprécédente : "

2= r*+2r, e,

soit :

2- r*

2r

On recommence en posant r, = r + e et on obtiendra un nouvel e, e,.On

continuerajusqu'à ce qu'on arrive àun e négligeable.

8 =

r2 = 2 r= r + e, r = 1,4

(r, + e )*= r*+2r e, =2

2 – r* 2 2

8 = avec r =1,44 = 1,96

2r

- 2-1,96 - 0,04 = 0.011

e =-H-=-=v

r, = 1,4+0,011 = 1,411

- 2-(1411)* 2-19988- - = 0,0028

*2 - TTTT 2,822

r,= 1,411+0,0028= 1,4138

2-(1,4138)* 0,0012

- - = 0,0004

*3 - TTTTEET - 7E77

r, = 1,4138+00004= 1,142

l r : - \ -

Pierre aurait dû mettre le signe - ou=

-- , --

Unefeuille de calcul comme enpage suivante (note l) conduità unevaleur de r

égale à1414zDonc v2=1414à10 *près (ouà l'ordre 3), valeur qu'on

prendrapar la suite.

Calcul approché de r = V3

On utilise exactement la même méthode en utilisant la formule d'approximation

3-7-2

T 2- *

On calcule r=v3en partantd'une valeurapprochée : 17

r* = 3 ; r = r + e, ; r = 1,7

(r + e )*= r*+ 2e,=3

3 – r* 2

- ; r2 = 1,72 = 2,89& 1 2r h*

3-289* 011 0,032

e =-=-=-=v

r,= 1,7+0,032=1,732

3- 1,7322 0000176

*2 - TT7EET - TETE= 0,00005

r,= 1,732+000005=1.73205

Onprendrav3 a 1,732

Lafeuille de calcul ci-après conduit égalementàunevaleur de r égale à 1,732,

valeur qu'onprendraparla suite

" Les moyens de calculs modernes nous permettent facilement d'effectuer des

calculs avec une dizaines de chiffres significatifs et ainsi de vérifier que cet

algorithme converge rapidement

Un tableur nous donne une valeur approchée à l'ordre 9 en quatre itérations

seulement !

v3 - 1,732050808

jn | r% Tm &n Écart avec lavaleur

connueà10T*près

1 | 3 | 1.7 0.032352941 0.03205081

2 1.732352941 -0.000302107 -0.00030213

3 1.732050834 -2.6347E-08 -2.6347E-08

4 1.732050808 -1.28198E-16 0

-----

Calcul approché de r = */3

On emploietoujours la même méthode mais en utilisant cette fois l'expression :_,-3

8 -* quivient de ladeuxième équation approchée de lapage33.

On calcule r= V3enpartant d'une valeur approchée: 14

r3 = 3 r= r + e, r = 1,4

(r, + e,)*= r*+3e, r*=3

3- r* 2 - 1 A2 - 3 -

8 = avec r*= 1,44 =1,96 et r*=2,7442

h*

- 3-2,744 - 0,256

=--=--=0,0435

* - TETOT - EEE

r,= 1,4+0,0435= 1,4435

3-14435=--=-0,0012

*2 TTTT352

r,=1,4435-00012= 1,4423

Onprendra V3 - 1442 (vérification(1442)*= 2998 = 3)

Lafeuille de calcul " conduit égalementà une valeurde r égaleà1442

à10 *près(ouà l'ordre3),valeur qu'onprendrapar lasuite.

" Un tableur nous donne une valeur approchée à l'ordre9en quatre itérations

seulement !

V3 - 144224957

n | r3 Tm Cn écart

1 |3 | 1.4 0.043537415 0.04224957

2 1.443537415 -0.001286696 -0.00128784

3 1.442250719 -1.1486E-06 -1.1486E-06

4 1.44224957 -9.14758E-13 -9.1482E-13

e4 -- , --

CHAPITRE 2

VOYAGE DANS L’ETAT 5 VERS LA PARABOLE

Avant d’entrer dans le vif du sujet, voyons quelques notions qui seront bien

utiles par la suite.

Notion de repère

Maintenant, à tout « nombre réel » (on dit aussi, simplement : « à tout réel »)

de l’état 5 correspond un point M pouvant être représenté sur la droite.

Appelons I le point de cette droite correspondant au nombre 1. Alors la droite

(OI) est dite munie d’un repère (O;I)

Soient deux droites (OI) et (OJ), respectivement munies d’un repère (O;I) et

(O;J) ayant la même origine O.

Ces deux droites forment un repère que l’on appelle repère (O;I;J).

Lorsque les deux droites (OI) et (OJ) sont

perpendiculaires et que les segments [OI] et

[OJ] ont même longueur, on dit que le plan est

muni d’un repère orthonormé (O;I;J).

Bien sûr, il est possible de construire d’autres

types de repères, mais nous ne nous intéresserons qu’aux repères

orthonormés, car ils permettent de mettre en évidence des propriétés de

symétrie et de calculer aisément la distance entre deux points quelconques du

plan.

Coordonnées d’un point.

On munit le plan d’un repère orthonormé (O;I;J).

Nous admettrons qu’à tout point M du plan

correspond un unique couple de réels (x;y).

x étant la distance à O du point issu de la projection

orthogonale de M sur la droite (OI).

y étant la distance à O du point issu de la projectionorthogonale de M sur la droite (OJ).Ce couple de nombres réels (x;y) est appelé coordonnées du point M dans le

repère (O;I;J).

On dit que : x est l’abscisse du point M

y est l’ordonnée du point M

(OI) ou (Ox) est l’axe des abscisses

(OJ) ou (OY) est l’axe des ordonnées.

O I

J

O I

J

Ax

y

M


Notion de fonction

Une fonction fest un procédé qui permet d’associer à tout nombre x, élément

d’un ensemble de départ D, un nombre unique y élément d’un ensemble

d’arrivée A.

On note : f : D→Ax y ou f(x) = y

On dit que « y est l'image de la variable x par la fonction f »

Ou bien que « x a pour image y = f(x) et y a pour antécédent x ».

Courbe représentative

On appelle courbe représentative de la fonction f, l'ensemble des points M (x

; y) tels que y = f(x), où x parcourt l’ensemble D.

Autrement dit :

y = f(x) est l'équation de la courbe représentative de f.

Fonctions et équations

Il ne faut pas confondre ces deux termes. Une fonction f représente une

relation entre une variable x et son image y qui dépend de x par la nature des

opérations qui sont symbolisées dans le signe f(x). Une fonction est

représentée par une courbe dans le plan muni d’un repère (O;I;J).

On a affaire à une équation quand on cherche quelles sont les valeurs de x

pour lesquelles l’image y vaut une certaine valeur, f(x) = K. Résoudre

graphiquement une équation revient à lire l’abscisse des points d’intersections

de la courbe d’équation y = f(x) et de la ligne droite horizontale d’équation y

= K.

Algébriquement, on cherche à résoudre un système à deux équations

⎩

⎨

⎧ y = f(x)

y = K .

qui se ramène à une seule équation f(x) = K ou f(x) - K = 0.

C'est le plus souvent sous cette dernière forme que se présente une équation,

avec une deuxième membre égal à zéro.

Equation de deuxième degré

La forme la plus générale des équations du 2ème degré est :

y = ax² + bx + c = 0.

Mais il est commode d'envisager, pour l'étude, l’équation équivalente :

y = x² + bx + c = 0 , dans laquelle a = 1.

En fin d'étude on revient à la première forme en remplaçant b par ba et c par c

a.


Les « racines »

Les points d'intersection des deux courbes d’équations y = f(x) et y = K ont

naturellement pour ordonnée la valeur K.

Les abscisses de ces points d'intersection (on suppose que les intersections

sont, bien existantes) sont appelées « racines » du système⎩⎨⎧y = f(x)

y = K.

Ce sont naturellement aussi, quand elles existent, les solutions de l’équation

correspondante f(x) - K = 0. Sous cette forme, les abscisses représentent les

points d’intersection de la courbe d’équation y = f(x) - K avec la ligne

horizontale figurée par l’axe (Ox) qui a pour équation y = 0.

Les figures qui suivent ci-dessous et aux deux pages 38 et 39 donnent

l’exemple de : x2 – 2x – 8 = K pour différentes valeurs de K, puis pour K=-8.


=-8 : Intersection de f(x) avecy=-8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- - - - - -

|- - - - - - -

- - - - --- - - - - - - - --- - - - - - - --- - - - , - - - --- - - - - - --- - - - - - - - - - - l - - - --- - - - i - - - --- - - - i - - - --- - - - - - - - - - - - -- - - --- - - - - - - - ---

- - - -- - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - | - - - - - 2 - - - -- - - - --- - - - - - a - --- - - - - - - - --- - - - l - - - --- - a - l - - --- - - a - - a - -- --- - - - --- - - - r - - - --- - - -- a - - --- - - -- -- - t - - -- - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - QC :- - - - - - - - - - - - - - C - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - -

|- - - - - - - - - -

- - - - --- - - - - - - - --- - --- - -- --- - - - - -- - -- - - - - - --- -- - - - - --- - - - --- - - - - - --- --- - - - - - --- - - - - r - --- - --- -- --- - - - - --- ---

- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - -

|- - - - - - - - - -

- ------ ---- ----- - - - - --- - - - - -- ---- - - - - - - ---- ---- - - - - -- - - - - -- --- ----- ---- --- - - - - - ---- - - - - - - ---- -- - - - - - - - -- - - - - -- --- ---

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -

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- - - - --- - - - _ - - - --- - - - - - - - --- - - - , - - - --- - - - - - -- --- - - - _ - - - - - - l - - - --- - - - i - - - --- - - - - - - --- - - - _ - - - - - - -- - - --- - - - -- - - ---

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- e - = --- = - = -- = -- = --- = - - r - e - --- = - - r - e - --- = - e - e - l --- = - e - e - - - e - | -- a - --- a - - t - e - --- - a - a - - * - - a - - a - --- = - - t - a - --- a - - 1 - - - ---

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - -

-- -

n r - r

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- - - - - - - - -

|- - - - - - -

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- - - - - - - QC = - - - -- - - - - - -

- - - - - - - - - - - - -

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|- - - - - - - - -

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- a - - -- a - - a - - a - --a - - - r - - a - -- a - - l - - - --- - a - - a - - - - a - - a - ----- - - - --- a - - - a - - --- - a - - a - - -- a - - a - - - - t - - - --- a - - 1 - - - ---

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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|

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|- -

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - -- - - - -- - - - - - - - - - -

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|- - - - - - - - - - -

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- - - - - - - - -

|- - - - - - - - - -

- e - - - - - r - - - * - - - t - e - --- - - - t - - - * - - - r - - - * - - - - - a - - - - | - - - --- - - - t - - -- * - - - r - - - * - - - - - - - - - - t - - - - - t - - - ---

- - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

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|- - - - - - - - -

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- - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - --- = - - - - - - --- - - - r - - - --- = - - r - - - --- = - - - - - - --- - - - - - - - - --- - - - --- a - - r - - - --- - a - - a - - -* - - a - - a - - - - t - - - --- a - - t - - - ---

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - -- - - - -- - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - -

e3 -- , --

-8 : Intersection de f(x)– K avec l’axe y = 0

Encadrement par les nombres entiers

A chaque valeur de x correspond un point sur l’axe (Ox). Si les coefficients a,

b, c sont les nombres entiers, aux points représentés sur l’axe (Ox) par des

nombres entiers vont correspondre, sur l’axe (OY) également des points

correspondant à des nombres entiers. Les points correspondant à tous les

nombres rationnels et irrationnels possibles représentés sur l’axe (Ox) sont

encadrés par des points correspondant à des nombres entiers. Les points

correspondant sur la courbe d’équation y = f(x) à tous les points divers de

(Ox) seront également encadrés par des points correspondant aux nombres

entiers. Dans notre étude, nous pourrons donc nous occuper que des nombres

entiers.

K =


Fonction f telle que f(x)= x*: la parabole centrée

C'est une fonction fondamentale. La courbe qui la représente dans le plan

(YOx) est appelée parabole. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la

parabole possède un axe de symétrie qui la coupe en son sommet. Toute la

courbe est située au dessus de ce sommet.

Equation (x-p).(x-q)=0

En développant ceproduit ontrouve :

x*-(p+q)x +pq =0 .

C'estune équation du deuxième degré que l'on peut écrire aussi :

y= x + bx+ c=0

enposantpq=b etpq = c

Cette représentation a l'avantage de faire immédiatement connaître les deux

racinesp et q,maistoutes les équations x*+ bx + c=0

nepeuventpas se mettre sous cetteforme.

De y=x*+ bx+cày,=x,*

Il est important de constater qu'on peut toujours, en opérant une

transformation sur la variable x et son image y, passer de n'importe quelle

courbe d'équation :

y=x*+ bx + c à la parabole d'équation :

y = x *

Utilisons deuxparamètresm et n etposons x et y tels que :

X3 = X -- In

|* = y- n

partons maintenant d'une courbe d'équation : y = x*+ bx+ c etremplaçons y

par y2 -- h et xpar x2- m

On trouve

y + n =(x - m)*+ b(x - m)+ c

y,+ n=x *-2x, m + m*+ bx,-bm + c

y =x *+(b-2m)x, + m* -bm + c- n

Choisissonsm et n defaçon à obtenir : y = x *

Ilfaut pour cela faire

(b-2m)=0

* " ,Ilvient :

n -2

n = m*- bm + c

*dans la deuxième expression, remplaçonsm parsavaleur : I]-

40 -- , --

J/) = J/) =

<=)>

b

2

/h)2

I - -- C JV1 =

:

b

2

-h) 2

JV1 = -- c

On voit quetoute courbe d'équation y= x*+ bx + c peut être déplacée dans

le plan (YOx) de façon à venir coïncider avec la parabole fondamentale

d'équation y = x *

Exemple : passage de y= x*- 6x + 5 à y = x *

-

formulc dc transformation :

y= y + n

X = X7- Fi

b

m-5

*2: _ , 2

p =-+ c

4

-- , -- , 1

Inversement, on peut prévoir qu'avec des paramètres de transformation

appropriés, on pourra passer de la parabole d'équation y = x* à n'importe

quelleparabole d'équation

y= x*+bx+ c représentée dans le plan (YOx).

De y=x* à y,=x,*+bx,+c

Utilisonsdeuxnouveauxparamètres m, et n .

Remplaçons dansy= x* ypar y2 + netxparx - m3

On obtient

y -- n3= (x2 - m,)* soit

y2= (x - m3)*- nou encore

y = x *-2mx + m *- n,

Choisissons m, et n, defaçon à obtenir : y =x *+ bx + c

Ilfaut pour cela faire

| (-2m )= b

hm *- n3 = c

Ilvient :

b

m=-5

m *- c = n ,

dans la deuxième expression, remplaçons m3 parsavaleur :

m3 =

b

2

- b

2

//] - b m ,=-

alors ! "* 2 --> h)2

m *- c = n , n --c

Exemple(page suivante) :passage de y =x* ày = x *- 6x - 5

-- , --

A formule de transformation :

y= y2 -- F1 ,

Y X = X3- F13

' - b

"1 m=-5

*, **** jy2

F1 ,= 7 - *

*.&,

|

y= x

A

() --

y = x *- 6x + 5

-- *

Généralisation auxparaboles quelconques

Dans lesdeuxcasvusprécédemment, si on part de laforme

X . _ __ 2 r | v - * b C

y= ax*+ bx+ c oùa n'estpas égal à l, il faut remplacerbpar a et c par a

J/] = b //] = b

-- - 2a 2a

On a ainsi dansle premier cas : -2 c *** 4ac-b*

" I " , n - TE

W1 ,= - b JW ) = - b

• v * 2a * " " 2a

dans le deuxième cas p,2 *-* b*-4ac

* 4a a * - 4a

Symétrie des paramètres m et m2 ; n et n,

On remarque que n3=-n etque m3=-m

Cela correspond bien au fait que l'on a , dans le deuxième cas, une

transformation inverse de laprécédente.

Sommet de la parabole d'équation y=x*

Le sommetO de laparabole fondamentale d'équation : y= x* , viendra, après

déplacement ,se confondre avec le sommetD de la parabole d'équation : y =

ax + bx + c , représentative de la fonction étudiée. Cela nous permettra

d'avoir les coordonnées de ce sommet dans leplan(YOx).Cette connaissance

nous renseignera sur l'existence des racines, et en cas d'existence sur leur

valeur.

Les coordonnées dupointOsont : x =0 ; y= 0

Les coordonnées dupointtransforméDseront :

X3 = X -- m3

y =y- n2

d'où

JX2 =()+ m3= m3

y =0- n3 =- n3

Remplaçons m , et n,par leur valeur :

b

m ,=- -

2a * w b b*-4ac

JV] b*-4ac d'où D(-* ; * 4a )

* -4a

-- , --

Exemple : Déplacement deOpourlaparabole d'équation y = x *- 6x -- 5

A

v xb4ae Nb4ae

2a | 2a

4 |

--«

A 1 r- C E f r,

{ 1 T7 T3 " A1 / ─--

- 1

|

-2

b2-4ac

- 4E2

- 3

y, = x2 -5x+ 5

--- b --*_________________

- 4 2a : D

-

-

- E

r , , b , b*-4ac

Coordonnéesde D :(- 2a* 4a )

Aveca= 1 ;b=-6; c=5,soit : D(3 ; -4).

-- *

Existence des racines

On voit sur la figure ci-dessous que la parabole représentant la fonction étudiée telle

que y2 = ax2²+ bx

2 + c (qui a les mêmes racines que l’équation ax2²+ bx

2 + c = 0)

ne peut couper l’axe (Ox) (y = 0) que si le point transformé du point O se trouve en

dessous de l’axe (Ox), c’est à dire qu’il faut que n2 soit positif.

b²-4ac4a² ≥ 0. Cette expression est positive quand son

numérateur est positif. C’est à dire quand : b²- 4ac ≥ 0.

On appelle discriminant et on note Δ ce numérateur ( Δ = b²- 4ac).

Il y a donc des racines quand

Il y aura deux racines distinctes quand on aura le discriminant strictement

positif. Aucune racine si le discriminant est strictement négatif et deux racines

confondues si le discriminant est nul.

Valeur des racines

Sur la figure ci-dessous, le sommet de la parabole d’équation

y2 = ax2²+ bx

2 + c est repéré par D. L’axe de symétrie est (CD), C étant sur

l’axe (Ox).

Les racines, de valeur r1 et r2 sont en A et en B.

Le segment [CD] a une longueur n2 .Du fait qu’il s’agit d’une parabole, les

segments [AC] et [CB] auront une longueur n2.

L’abscisse du point C est la même que celle du point D, c’est à dire m2.

Les valeurs des deux racines seront donc :

r1= - b2a - b²-4ac2a et r2= - b2a + b²-4ac

2a

Exemple : soit la parabole d’équation y = x² - 2x – 8 déjà rencontrée plus

haut.

b²-4ac = (-2)²- 4.1.(-8) = 36 or 36 ≥ 0 donc l’équation x² - 2x – 8 = 0

admet deux racines distinctes qui sont :

b²-4ac- b

2a - 2a=2

2

b²-4ac

2a=2

2

r1 = = - 2-6

2

+62

et r2

=-b2a+ = 4


Les racines : autre démonstration

Il existeune suite d'opérationspurement algébriques (voir la feuille de calcul

ci-dessous).Onvoit commentonpeut agir en effectuant les mêmes opérations

des deux cotés dusigne égal. Donnonsun exemple :

Partons de : Ajoutons des deux cotés la quantité-a

2b-- a= c

2b--a-a=c-a -- On déplace un terme de la somme de

2b= c-a l' autre coté du signe égal en changeant son

signe.

2b c = a Divisons des deuxcôtéspar2

2 2

b= -- -- On déplace un facteur d'un produit ou

2 d'un quotient de l'autre côté du signe égal en

passant du numérateur au dénominateur, ou

inverSement

Par cette méthode,on arrive évidemmentauxmêmesrésultats que ci-dessus.

dx2 + bx + c = ()

h) C • ww r r

<= > X2+ * " , () (avec a différent de zéro)

-- x 2 x - é - o-xe 2 x --2a Cl 2a

h) R)2 h)2 c

<= > 2 -- - -- - --_ -JX 25 x 4q* 4a* a

h) P)2 b* 4ac<= > /Y-2 - -p =-_-

(x +2 * " IE 4q* 4q*

Or, on reconnaît dans le membre degauche le carré de (x + ,

- b 2 b*-4ac<= (x+ / - 4a

b , .. |b-4ac b , b*-4ac

( 57 - \ / ou ( 57 --\|

- b | Nb-4ac - b Nb-4ac= _-+-- OU1 jx = ----

2a 2a 2a 2a

= -b + V|b*-4ac = -b - v|b*-4ac

-- , -- , 7

Calculons π...

L’hexagone de côté 1

On part d’un hexagone régulier inscrit dans uncercle de rayon 1.

On construit cet hexagone en faisant tourner six fois

un triangle équilatéral de côté 1.Le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral a des angles de 60°. Sixfois 60° = 360°.Par ailleurs, une hauteur menée à partir d’un

sommet B du triangle ABC découpe sur le côtéopposé [AC] deux segments égaux. Dans notre

cas, chacun de ces segments aura un longueur

½ ½

1

30°

B

C

A

égale à ½.

C’est autour du sommet B que nous avons fait tourner le triangle.

Valeurs successives de π.

La valeur exacte de π sera égale à la longueur de l’arc de 180° pris sur notre

cercle de rayon 1.Une première valeur très approchée sera obtenue en prenant la somme des 3

premiers côtés de notre hexagone. On aurait ainsi 3.

Mais un double emploi du théorème de Pythagore permet d’opérer sur un

demi-polygone ayant un nombre double de côtés, c’est à dire sur six segments

qui auront tous une longueur légèrement supérieure à un demi.

La même opération peut être répétée un grand nombre de fois, n fois. On

double chaque fois le nombre de côtés appartenant au demi-polygone, on

obtient chaque fois une longueur de côté légèrement supérieure à la moitié du

côté précédent, ce qui améliore chaque fois la valeur de π.


S1

2 = - Sl)2 . - S1BC2= 1 + 1 2\ | 1

AC = s = AB + Bc = #2 -- | -- 1--2 - d'ou

s =AC=\/2-2N | 1- :2

en généralisant : s,=\12-2\|1- =N2-v4-(s)

Tableau des5premiers dédoublements

( )

On voit sur les figures comment se fait la double application successive du

théorème de Pythagore.

Dans le tableau qui suit, chaque ligne montre les calculs qui permettent de

passer d'un côté si d'un polygone au côté sn d'un polygone de nombre de

côtés double. Le paramètre n correspond au nombre de doublement

successifs.

La ligne n part de la longueur du polygone précédent pour aboutir à la

longueur sn .. la formule quipermet de passer de s à sn estla suivante :

sn = \2-V4-(s )

La ligne n=3 du tableau, qui aboutit à un sn = s3 = 0.26l l correspond à un

polygone de 12 côtés, ce qui suppose deux doublement depuis le demi

polygone de3 côtés.

On aainsi nombre de côtés pour s,égale 3 ×2**.

Lavaleur de 7t pourn=3sera 12× 0.2611= Ts=3.1332

On avait s3 = 0.5177 qui correspondait à s, = 0.5177, qu'il fallait multiplier

par6pour obtenir lavaleurprécédente de T, T =3.1062.

Letableauvajusqu'à n=5.

-- *

n Sn4 Sn * 4-S * 4-Sn* 2- 2NIs S, côtés JUn

V4-S*

1 1 1 3 3 0000

2 1 1 3 1 7321 02679 05177 6 3 1062

3 05177 02680 3 7320 1 9319 00681 02611 12 3 1332

4 02611 0 0681 3 9319 1 9830 00170 0 1306 24 3.1344

5 0 1306 0 0170 3 9830 1 9957 00043 006545 48 3 1416

Remarque :

Les résultats ci-dessus ne sontpas rigoureusement exacts carils ont été établis

avecun nombre limité de décimales. De ce fait, on a la chance detomberplus

tôtqueprévusur lavaleur Ts=3.1416.

( T=314159265358979 à1o"près)

50 -- , --

CHAPITRE 3

LE SIXIEME ETAT - LES NOMBRES COMPLEXES

« ETAT 6 »

Les nombres complexes

Contrairement aux nombres vus précédemment, qui ne dépendaient chacun

que d’une seule variable, les nombres ressortissant du sixième état dépendent

chacun de deux variables séparées ce qui rend les opérations d'addition et de

multiplication très différentes de ce qu'elles étaient précédemment.

Par contre, les critères auxquels ces nombres à deux variables sont soumis

sont exactement les mêmes que ce qu'ils étaient dans les cinq premiers états.

Notamment le critère « distributivité de la multiplication par rapport à

l'addition ». Cette question sera développée au cours des pages suivantes et

des figures correspondantes.

Les vecteurs

Les vecteurs ont été utilisés depuis longtemps en mécanique pour représenter

les forces. Ils sont figurés par de petites flèches, originaires du point O du

plan (YOx), et caractérisées par leur longueur ρ et par l'angle θ qu'elles font

avec l'axe (Ox). Le vecteur peut se déplacer dans tout le plan sans changer de

valeur, à condition de rester toujours parallèle à une même direction. Parti du

point O, chaque vecteur peut être caractérisé par deux variables ρ et θ. Il peut

aussi être défini par les coordonnées x et y de son extrémité.

Le fait que les vecteurs dépendent de deux variables fait qu'ils peuvent

naturellement représenter les nombres complexes, objets du sixième état.

Addition des vecteurs

On vérifie expérimentalement, en mécanique que deux forces non parallèles

agissant sur le même point et représentées par deux vecteurs sont équivalentes

à une seule force qui serait représentée par la diagonale du parallélogramme

construit sur les deux vecteurs concourants. L'extrémité de ce vecteur

« résultante » coïncide avec l'extrémité du deuxième vecteur qui serait placé

de façon à avoir son origine à l'extrémité du vecteur numéro un.


Multiplication des vecteurs

La multiplication consiste à associer une troisième grandeur à deux grandeurs

qui sont les deux facteurs de la multiplication. Une procédure décrit ce qu’il

faut faire pour obtenir cette troisième grandeur.

En ce qui concerne les vecteurs, il y a deux procédures possibles, que l’on

appelle, l’une, le produit scalaire, dans lequel la troisième grandeur est un

nombre réel, et l’autre, le produit vectoriel, dans lequel la troisième grandeur

est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les deux premiers. Ces deux

multiplications font donc « sortir du domaine », et ne peuvent être utilisées

pour multiplier des nombres complexes.

Multiplication des nombres complexes

On définit une nouvelle procédure de multiplication pour les nombres

complexes, qui puisse donner un résultat compris dans le domaine des

nombres complexes, et satisfaire tous les critères, notamment celui de la

distributivité.

La multiplication des nombres complexes est obtenue : en additionnant les

angles θ (qu’on appelle « arguments ») et en multipliant les longueurs ρ

(qu’on appelle « modules »).

On a ainsi : ρ(a.b) = ρ(a) . ρ(b) en notant ρ(a) : module de a

et θ(a.b) = θ(a) + θ(b) en notant θ(a) : argument de a

Dans ces conditions, on va vérifier que, si on prend trois nombres a, b, c, on a bien :

a.(b + c) = a. b + b . c

Exemple

Les figures qui suivent présentent trois nombres complexes a, b et c caractérisés

chacun par ρ et par θ et repérés aussi chacun par les coordonnées x et y. On laisse

provisoirement de côté ce repérage par x et y et on ne considère que les paramètres

ρ et θ , qu’on appelle aussi module ρ et argument θ.

Les figures qui suivent montrent successivement :

les trois nombres a, b, c,

le vecteur s = b + c (s pour somme),

le vecteur a . b = b’le vecteur a . c = c’le vecteur a . s = s’

On vérifie que b’ + c’ = s’, ce qui montre que le critère de distributivité est satisfait.

Cette vérification est facile à faire en utilisant les figures. Et en utilisant uniquement

les paramètres ρ et θ .


(l ,I

:f

. l5

s ss se

Somme s=b+c :

Y

* | 1Spour somme)

| | | |

s- f + .

Sfx :) -----

-- ) 82

- - 1 76

-

-

--

-----

|--

(} &2

b '= q b

,

Y'

|

|---------

-

|--

----

------- .--

- --

--

a | 5 5

*- ( 5 _ 9- f * _ - f 4

t - 3 | t - 5g | * - 3

- A(x : - Bx: - B tx :

x- ( 43 | x- f5 | x- f)f6

-t.25 1 - 6 | | -- .39

-

-

-

x

-- , --

{S pour somme)

x-- , y

:fS

-:

-

/

-'#

x

---

---

--

-

(.32 ( 43- ( g9

s s s ss

La multiplication par a, qui transforme s en s’transforme de la même façon b

en b’ et c en c’.

On retrouve s’ = b’+ c’ qui correspond à : a.s = a.(b + c)

Toute la figure initiale subit la rotation de 30° ( valeur de l’argument θ de a)

et la multiplication par 0.5 (valeur du module ρ de a).

Conclusion :

La multiplication sous la forme : ρ(a.b) = ρ(a). ρ(b)

et : θ(a.b) = θ(a) + θ(b)

satisfait le critère de distributivité et est donc confirmée !


On arrive alorsautrèsimportant résultat suivant :

Considérons le nombre complexe i(p= 1 , 6 = % et multiplions lepar lui

même(élevons le au carré).

On obtient : ii= i*(p= 1 ; 6= 7t)

On revient alors aux cordonnéesen x ety

On a i (x =0; y= 1)

i(x=-1 ; y= 0)

autrement dit :

p* = - 1

On aun carré qui est négatif, chose impossible dans les étatsprécédents.

Réciproquement, on a : N—1 = i .

1

i2

: s : 7

Nouvelleprésentation

Onpeut représenter maintenanttout nombre complexez sous laformex + iy

x s'appelle la«partie réelle dez» etys'appelle la«partie imaginaire dez».

Multiplions(p + iq)par (r + is) on obtient :

Produit=(pr- qs)+ i(ps-qr)

Un tableau reprend sous cette forme les opérations effectuéesprécédemment

avec lesp et les 6

On retrouve le résultatimportants'= b' + c'.

Exemple :

a= 0,43+ i.0.25 b= 0.50+i061

p C] 1 S

b' =a.b

=(043050-025061)+i ..(043061+0,250,50)

=0.06+i. 039

a= 0,43+ i.0.25 c= 0,32+i.1,15

p C] I S

c'= a.c

=(0.43 . 0.32 -025 .. 1,15)+i.(0.43 .. 1,15+0.25.032)

=-0,15+i. 057

a= 0,43+ i.0.25 s= 0,82+i.1.76

p C] Ir S

s' = a.s

=(0.43 . 082 -025 .. 1,76)+i.(0.43 .. 1,76+0.25.082)

=-0,09+i. 0,96

b +c =(006+i. 039)+(-0,15+i. 0.57)

=(006-0,15)+ i. (039+0,57)

=-0,09+i.096

- S'

53 -- , --

Equation du second degré : solutions complexes

Les nombres complexes permettent d’obtenir une solution dans tous les cas,

même quand le discriminant est négatif.

Prenons pour exemple l’équation suivante :

x² - 2x + 10 = 0

Calculons le discriminant

Δ = 4 – 40 = - 36

Le discriminant étant négatif, l’équation n’admet pas de solution réelle. Il est

pourtant possible de trouver deux nombres complexes solution de cette

équation, puisque, dans le domaine complexe, √Δ = 6i.

Ces nombres sont :

x1 = 1 + 3i et x2 = 1 – 3i


CHAPITRE 4

CUBES ET PYRAMIDES

Pyramides : quelques propriétés

Une pyramide est polyèdre (une forme géométrique 3D comprenant plusieurs

faces planes) dont une face, la base, est un polygone de n côtés, et dont toutes

les autres faces sont des triangles reliant chaque côté à un point constituant le

sommet de la pyramide, appelé apex.

Quand on ne précise pas, la base de la pyramide est supposée rectangulaire,

ou carrée.

Observons les coupes réalisées dans une pyramide : le plan de coupe est

perpendiculaire à la base, qui est fixe, et passe par le sommet A, qu’on

déplace d’une figure à l’autre, horizontalement puis verticalement.

Sur la première pyramide, trois plans parallèles à la base ont découpé 3

surfaces dont on voit les traces 1, 3, 4. Ces traces se déplacent

horizontalement, mais conservent une même longueur, si A se déplace


horizontalement. Elles s’écartent mutuellement ou se rapprochent, toujours en

conservant la même longueur, si A se déplace verticalement.

Il en résulte :

- Que l’on peut déplacer le sommet A d’une pyramide dans un plan parallèle

à sa base sans changer le volume.

- Que pour les pyramides de base identique et de hauteurs différentes, les

volumes sont uniquement proportionnels aux hauteurs.

Il résulte également de ceci qu’une pyramide à base carrée a deux fois le

volume d’une pyramide de même hauteur construite sur le triangle obtenu en

coupant le carré par sa diagonale.


Lestroisvolumes pyramidaux du cube

On peut décomposerun cube en troispyramidesidentiques.

Dans le cubeABCDEFGH,on inscritla En appliquant,auvolume 1,un quart detour

pyramide debaseABCDetdesommetH, suivantl'axe(CD)suivid'un quart detour

c'est levolume 1. suivantl'axe(DH),on obtientlevolume2.

A

G

En appliquant,auvolume 1,un quart detour

suivantl'axe(AD)suivi d'un quart detour suivant

l'axe(DH),

on obtient levolume3.

B3

Enjuxtaposant les trois pyramides, de telle sorte que les faces colorées dans le

tableau ci dessous coïncident exactement, on reconstitue bien un cube : celui

dans lequels'inscrivait la pyramide de départ.

Volume | Base Base Base autresfaces

1 ABCD HBA HDA HBC HDC

2 A2E32C2D2 H2B2C2 |H2D2C2 |H2B2A2 | H2D2A2

3 A3E33C3D3 H3B3C3 | H3D3C3 |H3B3A3 |H3D3A3

1+2+3 | ABCD ABFE E3C(F HIDAE HEFG HDCG

5 -- , --

Calculons levolume despyramides :

Levolume l est donc égal autiers duvolume ducube :

v - xvrw 3

Pourun cube d'arête a,on a : V=a

Pour chaquepyramide de hauteur a et de base carrée d'aire a*on a :

v - x a-× a*× a

- 1

Autrement dit :V = 3 x surface de base× hauteur.

s Ess ce

CHAPITRE 5

SINUS ET COSINUS

Définitions : sinus, cosinus, radians

Dans un triangle rectangle OMH, d’angle droit en H, on appelle θ l’angle

(OH, OM) et on définit les grandeurs sinus de θ et cosinus de θ, notées :

sin(θ) et cos(θ) par les quotients MH/OM et OH/OM :

sin θ =MHOM et cos θ =

OH

OM

Nous avons vu au chapitre 3 qu’un vecteur⎯⎯→OM

issu d’un point O du plan

YOx pouvait être défini de deux façons différentes, par ρ et θ d’une part, et

par x et y d’autre part. L’introduction des sinus et des cosinus permet d’établir

dans tous les cas la relation qui existe entre ces deux groupes de variables.

x = f1 (θ)

y = f2 (θ)

On écrit

x = ρ . cos (θ)

y = ρ . sin (θ)

Les angles se mesurent communément en degrés : sur un cercle, une

circonférence complète représente 360°. Cependant, les mathématiciens

préfèrent le plus souvent exprimer la valeur d’un angle par la longueur de

l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon R = 1. L’unité de mesure est alors

le radian. On a l’équivalence entre 360° et 2π.R, donc entre 360° et π puisque

R = 1. De même : 180° eq. π, 90° eq. π/2, 60° eq. π/3,45° eq. π/4, 30° eq. π/6.

Valeur de sinus et de cosinus aisées à calculer

Nous pouvons facilement déterminer les valeurs de cosinus et de sinus, pour

trois valeurs d’angle, dans les figures qui suivent, dans lesquelles ρ = 1 :

3 = 1cos 30° = 2 sin 30° 2

cos 45° = 22 sin 45° =2

2

cos 60° = 12 sin 60° = 32


Ces résultats ont été obtenus facilement, en appliquant le théorème de

Pythagore au triangle OMH rectangle en H., H étant la projection du point M

sur l’axe Ox.

Triangle équilatéral

O

M

Carré et diagonale

45°

cos60°

= 12 sin 60° = 3

2

cos30°

= 3

2

sin30° = 12 cos

45°= 2

2

sin 45° = 2

2

3

2

60°

30°1

1

2

1

1

HO 2

2

22 22 2

22

2

2

2

1 1 1

1

1²+1² = 2

Autres valeurs

Nous verrons plus loin, mais pas dans ce chapitre comment on peut calculer

les sinus et cosinus de tous les angles compris entre 0 et 2 π radians.

Pour le moment, on admettra qu’on dispose d’une calculatrice ou d’une table

donnant toutes les valeurs en fonction de l’angle.

Valeurs déduites

On peut ajouter aux valeurs données plus haut les valeurs suivantes qui se

déduisent de symétries :

sin(α

+ π2) = cos α

cos(α

+ π2) = - sin α

sin (α + π) = - sin α

H

M


Angle nul, angle droit et angle plat

On constate

cos 0

cos π/2

cos π

= 1 sin 0 = 0

= 0 sin π/2 = 1

= -1 sin π = 0

Ajoutons encore les valeurs déduites

sin (π2- α) = cos α et cos (π2- α) = sin α

Expression de cos (α + β) et de sin (α + β).

Nous allons montrer, grâce aux nombres complexes, que :

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

On a vu (a + ib) ( c + id) = (ac – bd) + i (ad + bc)

posons (1) = a + ib = nombre complexe z1

(2)= c + id = nombre complexe z2

Le résultat de l’égalité ci-dessus, le produit (1) . (2) représente en variables x

et y, avec i = vecteur de longueur 1 sur l’axe Oy, un vecteur (ac – bd) + i (ad

+ bc) que nous noterons (3) + i (4).

Les parenthèses (3) et (4) représentent les projections de ce vecteur produit

respectivement sur les axes Ox et Oy.

Remplaçons maintenant les variables x et y par les variables ρ et θ.

Remplaçons

(1) devient

(2) devient

(3) devient

(4) devient

a par ρ1 cos (α)

b par ρ1 sin (α)

c par ρ2 cos (β)

d par ρ2 cos (β)

ρ1 cos (α) + i ρ1 sin (α)

ρ2 cos (β) + i ρ2 sin (β)

ρ1 cos (α) ρ2 cos (β) - ρ1 sin (α) ρ2sin (β)

ρ1 cos (α) ρ2 sin (β) + ρ1sin (α) ρ2 cos (β)


En application des règles du produit des nombres complexes, le vecteur

produit s’écrira :

x = ρ1ρ2 cos (α + β) , y = ρ1ρ2 sin (α + β)

x = (3) , y = (4)

on a donc

ac – bd = (3)

ad . bc = (4)

soit cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

et sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

On retrouve les formules d’addition.

Cas où β est très petit (β noté ε)

On introduit les équivalences sin ε = ε et cos ε = 11

sin (α + ε)

cos (α + ε)

= sin α cos ε + cos α sin ε

= sin α + cos α . ε

= cos α cos ε - sin α sin ε

= cos α - sin α . ε

On utilisera plus tard, au chapitre des dérivées, ces résultats importants.

Tracé mécanique d’une sinusoïde.

On peut imaginer facilement un dispositif mécanique fournissant un tracé de courbe

sinus ou cosinus.

On peut voir ci-après le schéma d’un tel dispositif où un crayon trace

mécaniquement une courbe y = sin x (en bleu) ou cos x (en rouge).

cosinus(angle)

sinus(angle)

0.8661

45

0.707

0.5

2

3

π

2 angle

- en radian0

9060 120

135

π

150 180

225 315 2π

360

- en degré

π

30

-0.5

-0.707

-0.866

-1

1Une justification eût été bienvenue...


OA= cos(c + f)

Projection deOM surOX= projection deOB+projection de B

O TE TA

y M

Y \ sin f

O

Axes auxiliaires Y"OX"

y

Y

O

F

O

Axes auxiliaires Y"OX"

X"

53 -- , --

O

3

F -* \ O

OH = OG -- GH

OH= sin(c +f)

: s : ec

Calculs correspondantà la figure D( cos(O + [3))

Angle aupointD= : - OU cos* - O )=sin O

ComposantesdeOM:OB etBM

OB=cos[3

BM=Sin ()

Projection deOMsur l'axeOx -

Projection deOB moins la Projection deBM

Projection deOB =OB cOS O.

=cos[3 cos O

Projection deBM =BM cOS é* - O )

=BMSin O

=sin [3 sin O

Projection deOMsur l'axeOx =cos[3 cos O -sin [3 sin O

cos(C +f3)=cos f3 cos O -sin f3 sin O

7() -- , --

Calculs correspondantà la figure F( sin(o + 3))

angle aupointE=o (côtésperpendiculaires)

ComposantesdeOM:OB etOF

OB=cos[3

OF=BM=sin 3

Projection deOMsur l'axeOY -

Projection deOB plus la Projection deOF

Projection deOB =OE =OB cOS O

=cos[3sin O

Projection deOF =GH=BM cOS O

=BMSin O

=sin 3 cos O

Projection deOMsur l'axeOY =cos[3sin O -sin [3 cos O

sin(O + [3)=cos [3 sin O - sin 3 cos O

: s : 7

CHAPITRE 6

LES INTEGRALES SANS LES DERIVEES

Dans ce chapitre, il n’est pas fait appel à la notion de dérivée...

Retour sur les collections

Un nombre caractéristique est associé à chaque objet d’une collection.

Une intégration consistera à faire la somme de ces nombres caractéristiques

individualisés, les objets étant choisis d’une certaine façon.

Alignement des objets

Les objets de la collection sont alignés sur un segment horizontal [OM], pris

sur l’axe (Ox) du plan (YOx). Le centre de chaque objet se trouve à une toute

petite distance dx du centre de son voisin. Tous les objets sont contigus et ils

occupent la totalité du segment [OM]. A chaque objet est associé un nombre

y, qui est représenté par un segment vertical passant par son centre et partant

de l’axe (Ox). Le nombre caractéristique attribué à chaque objet est défini

comme étant égal au produit y.dx. La valeur de ce produit est représentée par

l’étroite bande verticale ayant une base égale à dx et une hauteur égale à y.

Chaque objet peut être surmonté ainsi d’une bande verticale étroite

représentant par la valeur de sa surface le nombre caractéristique qui lui est

attribué.

Chaque objet est repéré sur le segment [OM] par un nombre x qui est égal à la

distance qui le sépare du point O.

Les nombres y varient d’une façon progressive en passant d’un objet à l’objet

voisin. Supposons que l’on retouche un peu les sommets des petites bandes

verticales jointives de façon à obtenir une courbe continue. On ne modifiera

pas sensiblement la surface de chaque bande, ni la surface totale qu’elles

forment quand on les réunit toutes ensemble.

Limitation du nombre des objets.

On commence à ne considérer que les objets situés sur le segment [Ox].

Comme à chaque x correspond un objet et qu’à chaque objet correspond un y,

on peut écrire y = f(x). Cette fonction de x définit la courbe formée par les

sommets des bandes verticales.

La surface limitée par le segment [Ox], par cette courbe, et par les verticales

passant par les points O et x représente la somme des surfaces y.dx, c’est à

dire la somme des nombres caractéristiques des objets considérés.


On écrit : Valeur de l’intégrale = ⌡⌠0x

f(x) dx.

Appelons I cette valeur. On voit que I dépendra et de la fonction f et des deux

bornes : 0 et x. La première borne 0 peut être remplacée par une autre borne x1

et on écrira alors :

I = ⌡⌠x1x f(x)

dx.

Mais le plus souvent, la première limite sera le point zéro.

La valeur y = f(x) peut représenter une grandeur quleconque :

a - un nombre sans dimension,

b - une longueur,

c – une surface,

d - un prix par unité de longueur, (tissu)

e - une consommation par km, (automobile)

f - etc...

Dans cas b, et celui-là seulement, la surface définissant l’intégrale sera

représentative d’une vraie surface puisque f(x) est multipliée par une longueur

dx.

Dans les autres cas, il faudra considérer que c’est le nombre d’unités de

surface contenues dans la surface réelle limitée par la courbe d’équation y =

f(x) qui est égale aux nombres d’unités exprimées par la valeur de l’intégrale.

Les unités mesurant le résultat des intégrales ci-dessus seront respectivement

des unités :

a - de longueur,

b - de surface,(on l’a vu)

c - de volume,

d - de prix,

e - de consommation,

f - etc.

... et, de manière générale, dx peut représenter toute autre chose que la longueur

d’un très petit segment, mais nous restons pour l’instant dans cette situation.

Résolution des intégrales

On dit qu’une intégrale est résolue quand on peut donner la valeur en fonction

de la variable x de l’expression.

⌡⌠0xf(x) dx.

Dans ce chapitre, quelques exemples où la valeur de l’intégrale a déjà été

déterminée par ailleurs d’une façon directe.


Exemples

Plusieurs objets géométriques peuvent être décomposés en petits éléments

partiels dépendant d’une variable x et multipliés par une petite valeur dx.

Par exemple, un triangle dont la base est égale à la hauteur peut être

décomposé en petites bandes parallèles à la base ayant chacune une surface

x.dx.La surface totale du triangle pourra être exprimée par la somme ⌡⌠0x

x dx

Le volume d’une pyramide ayant pour base horizontale un carré de coté x et

une hauteur également égale à x peut être décomposé en petits éléments carrés

de côté x variable et de hauteur dx, la surface de chaque élément étant égale à

x² et le volume à x²dx.

Le volume total de la pyramide, dans ces conditions, est égal à la somme

⌡⌠x x² dx.

0

Or on connaît la surface du triangle du début de ce paragraphe et le volume de

la pyramide que nous venons de considérer.


Conne dx est trèspetit,

la plaquette apour :

surface S= x*

volume V= x*dx

- -

3

Pyramide de Volume V= | x*dx=

()

2 3

Letriangle a, comme surface, * et lapyramide apourvolume * (voir le

chapitre cubes etpyramides).Onpeut alors écrire les résultats :2 3

| x de - et | de -

Le cercle

De la mêmefaçon,la constructiongéométrique donnéesur la figure ci-après

montre que l'on a | " sin oz doz= 1- cos oz

()

AA -

y -- -

--

-:

- dC | sign C. , dC , yinC.

()

*S, &/ -- -| si,2C dC

- t)

- , S /

si,C. "

* c, T,

-- – - C3

- : 2 *

| |A v7 ; -

(Q| | | r «-- 1 Y

| | | | | -

l - cosC.

| | | | |

- un C » bre TSij * éSf lij j 0 j'g dx= dC , cosf--C

- d* est une longueur (5 )

- dx est une longueur dx= dC , sinC(.

- | sn c *-| a - t - cos *- f) 1

- (1- cos ** est une longueur)

- -

: s : s

C’est encore un cas de résolution directe d’intégrale. Ce résultat sera utilisé

pour le calcul de la surface d’une sphère.

On le vérifie en comparant une surface prise sur le cercle de rayon 1 avec une

surface prise sur la courbe y = sin α. Sur la figure apparaît une surface égale à

⌡⎮⌠0αsin² α dα. On n’a pas , pour elle de valeur directe, mais on peut la vérifier

en la comparant à la surface correspondante prise sur la courbe y = sin²α.


Courbes y = f(x) et Y = ⌡⎮⌠ f(x) dx

0

x

On présente souvent ces deux courbes ensemble dans le même système

d’axes.

Reprenons l’exemple de la pyramide, on a y =x² et Y =x33, on vérifie sur la

figure que la surface hachurée limitée par la courbe y contient le même

nombre d’unités de surface que la verticale Y correspondante contient

d’unités de longueur.

Exemple pour une borne x = 2, y = 4,

Y =83 = 2 + 2

3

La surface hachurée contient bien deux petits carrés de côté 1 plus deux tiers d’un.

Comparaison des surfaces.

Pour vérifier l’égalité des surfaces, on peut les mesurer avec un appareil de

précision appelé planimètre, dont le fonctionnement repose sur plusieurs

résultats du calcul intégral.

Mais on peut aussi comparer, sur une balance de laboratoire, le poids de ces

surfaces découpées dans une même feuille de papier.


FigureC

1 - cos C.

T 3 1 E

Pour 6 ' 24 8

y=sin C

le carréABDCapour surface l

t | * 1

Pour * = * : «sin * d*- ;1 f)

8

- -

() ( T) |

|AA B

Les deux surfaces ont méne aire

le carréABDC apour surface l | * sin c d = 1

E f)

y= sin C*

| -- ' --

CHAPITRE 7

ANALYSE COMBINATOIRE

Permutation

Soient n objets alignés sur une planche d’étagère. Nous voulons les déplacer

sur une autre planche et les aligner également mais en les rangeant dans un

ordre différent. Cette opération a pour nom « permutation ».

Combien peut-on réaliser de permutations différentes ? Le but de l'étude, des.

permutations est la détermination de ce nombre de possibilités différentes.

Pour effectuer le déplacement des objets d'une planche sur l'autre, on peut agir

de la façon suivante...

On choisit au hasard un premier objet sur la première planche et on le dépose

sur la deuxième planche de l'étagère, où il sera le premier objet du nouvel

alignement.

Il y a n façons d'opérer le choix de ce premier objet.

On choisit au hasard un deuxième parmi les objets restés sur la planche, et on

le met sur la deuxième planche, en deuxième position dans le nouvel

alignement. Il y a n-1 façons d’opérer ce deuxième choix.

On opère de la même façon, en choisissant toujours au hasard, et quand on a à

déplacer l'objet numéro p du premier alignement, il y a toujours n-p

possibilités de choix.

On voit qu'à la fin de l'opération il y aura eu en tout n (n-1) ( n-2) … 2.1

possibilités de choix.

La quantité : n (n-1) (n-2) … 2.1 s’appelle « factorielle n » et s’écrit n!

Arrangements

Cette fois-ci on ne déplace pas l’ensemble des objets de la première planche,

mais seulement un nombre p de ces objets. On crée ainsi un deuxième

alignement limité à p objets. Comme les choix se font de la même façon que

ci-dessus, on aura toujours n possibilités pour le premier choix qui donne le

premier objet du nouveau groupement, ( n – 1) pour le choix du deuxième

objet et (n – (p-1)) pour le choix du dernier objet du groupe de p. L'ensemble

des possibilités, de choix sera donc égal au produit n(n - 1)(n – 2)…(n – (p-1))

Le nombre des arrangements possibles de n objets pris p à p est donc égal à

l'expression ci-dessus.

Remarquons que ce nombre est égal au produit de tous les entiers de 1 à n,

dont on aurait retiré tous les termes de 1 à (n-p) :

n !n (n - 1)(n – 2)…(n – (p-1)) =

(n-p)!


Combinaisons

Remarquons que parmi tous les arrangements possibles, il y en a d'une

catégorie particulière, ceux qui contiennent les mêmes objets, simplement

rangés dans un ordre différent. Dans un groupe de p objets, il y a p! façons de

ranger les objets les uns par rapport aux autres. Le nombre de ces

arrangements particuliers sera donc égal au nombre des arrangements

ordinaires divisé par p!

On appelle « combinaisons » ces rangements p objets parmi n, où on

considère comme équivalents les groupes constitués par p objets, quel que

soit l'ordre où ils sont rangés. On notera le résultat : C(n,p) et il vaut :

n (n - 1)(n – 2)…(n – (p-1))p! = n !

p !(n-p)!

(a+b)n avec n plus grand que 3

Nous avons déjà utilisé

( a + b)² = a² + 2ab + b² et

( a + b )3 = a3 + 3 a²b + 3ab² + b3

Nous allons déterminer le mode opératoire permettant de calculer ( a + b)n

dans tous les cas.

Développement de (a+b)5

On a à multiplier cinq parenthèses :

( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )

Le terme en a5 est fourni par la multiplication des a pris dans les cinq

parenthèses. Il n’y a qu'un seul choix possible. On aura 1 fois a5.

Chaque terme en a4 sera obtenu en choisissant au hasard quatre parenthèses

sans tenir compte de l’ordre dans lequel on les prendra. Le coefficient de a4

sera donc égal à 5. On aura 5 a4.

Le terme en a3 sera obtenu en prenant chaque fois au hasard trois parenthèses

dans le groupe de 5, ceci sans tenir compte de l'ordre dans lequel on les

prendra. Le coefficient de a3 sera donc égal au nombre de combinaisons de 5

objets pris 3 à 3 : c’est à dire à C(5,3) = 5.4.33.2.1= 10.

Pour des raisons de symétrie, un coefficient de a2 sera également égal à 10. le

coefficient de a étant égal à 5. Les coefficients des b sont évidemment déduits

de ceux des a pour donner des produits du 5° degré.

Finalement on a

( a + b )5= a5 + 5a4b + 10 a3b² + 10a²b3 + 5ab4 + b5


Vérification

Vérifions que dans le calcul des coefficients de l'exemple ci-dessus, les

coefficients, que nous connaissons par ailleurs, correspondent bien à ce que

donnent lescombinaisonsindiquées.

5.4.3.2.l

5432 1

5.4.3.2

= 5

= 1()

Coefficientde a* : C(55)= |

Coefficientde a" : C(54)=

:Coefficientde a* :C(53)=

*

1

.1

= S

Coefficientde a* :C(52)=-= 10

Coefficientde a : C(5,1)=

Exemple

(3+2)*=5*=3125

( a+b) =a +5ab+ 10a'b + 10ab +5ab"+b*

a=3 : b=2

a°=243

(3+2)* =3*+53"2+10 3*2 +10322 +532 +2

=243+5 81 2+ 1() 27 4+ 1() 9 8+53 16+32

=243 -- 81()-- 1()80--720 --240+ 32=3125

on retrouve bien (3+2)*=3125

3 -- , --

CHAPITRE 8

DERIVEES PLUS INTEGRALES

La tangente en trigonométrie

On donne comme définition le rapport du sinus au cosinus.

sin a

cos a

Dans le cas d’un triangle OMB de coté OB = 1 et d’angle en O = a, [OB]

étant horizontal et [BM] vertical, la tangente est représentée par MB.

a

O MB

Deux quantités infiniment petites, divisées l’une par l’autre peuvent

parfaitement donner un résultat de division non nul.

On écrit : tg a =

Notion de dérivée

Premier exemple. Prenons une sécante sur une courbe tracée dans, le plan

(YOx). Appelons dx la projection de cette sécante sur l'axe (Ox) , et dy cette

projection sur l'axe (OY) . Si dx et dy sont des grandeurs ordinaires, non

infiniment petites, le rapport dydx sera une grandeur ordinaire. Supposons

maintenant que les deux points qui déterminent la sécante sur la courbe se

rapprochent infiniment de façon à transformer la sécante en tangente. Les

deux quantités dy et dx deviendront infiniment petites, mais leur rapport

restera parfaitement défini. Ce sera la tangente trigonométrique de l’angle a

que la tangente géométrique fait avec l'horizontale. Ce sera la dérivée de la

courbe d’équation y = f(x) au point de contact. On écrira

y’=f’(x)= dy

dx

Deuxième exemple.

Soit S la surface limitée par une courbe d’équation y = f(x), par l’axe (Ox) et

par une verticale (AM) partant de l’axe (Ox) d’un point A d’abscisse x.

On aura AM = f ( x ) . Déplaçons légèrement la verticale (AM) d'une petite

quantité dx

On crée une petite bande verticale de hauteur AM et de largeur dx. La surface

de cette bande est AM.dx = y dx.= dS.

Cette bande verticale empiète sur la surface S. La surface restante de S après

le déplacement de la verticale (AM) sera S – dS. On dira que S a varié de dS.


Si on divise la surface de la petite bande verticale par dx, on aura un résultat

de division égal à AM ( à très peu de chose près ). Si dx devient infiniment

petit, le résultat de la division sera toujours égal à AM.

AM sera la dérivée dSdx . Rappelons que dans l'exemple précédent, la dérivée

de f pouvait également être représentée par un segment, le segment limité sur

une verticale passant à une longueur unité du point de contact par son

intersection avec la tangente au point de contact, et l'horizontale issue de ce

point de contact.

Nous avons représenté surune

figure une courbe d’équation y = x² et une

x3autre courbe d’équation y = 3 qui est l’intégrale de la première, c’est à dire

qui représente la surface S.

On vérifie sur la figure que les segments représentatifs de la même dérivée

sont bien égaux.

Par ailleurs, sur la même figure, se trouve représentée une deuxième surface

xégale à la surface S = ⌡⌠0 f(x) dx.

C'est un rectangle dont le petit côté est l’unité de longueur et le grand côté est

égal à l’intégrale ⌡⌠0xf(x) dx.


Dérivée d'une fonction composée

Soit y=f(u) et u =g(x)

-- e -On cherche la dérivéef(x)= dix

dy dy du

Or on a*- : *

On multiplie la dérivée defpar rapport à upar la dérivée degpar rapport à x.

Dérivée Successives

Onpeut dériverune dérivée.On obtientalorsune dérivée seconde.

On peut dériverun certain nombre defois et obtenir ainsi des dérivées d'ordre

n notéesf"()

Quand il s'agit depuissances de x,à chaque dérivation, le degré diminue d'un

point.On arrivevite àune constante,puis à unzéro.

Exemple

Sur la feuille de calcul ci-après, on trouve les dérivées successives de

y=(3+ 2x)*

On peut penser que cette expression peut être représentée par un

développement :

A + Bx+ Cx + Dx

Les coefficientsA,B,C,etDpeuvent être obtenus en appliquant laformule :

(a+b)*= a +3ab+ 3ab*+ b*

Maisilspeuvent aussi être déterminésparune méthode basée sur l'emploi des

dérivées successives.

On voit sur la feuille de calcul que les deux méthodes fournissent bien les

mêmes coefficients.

Méthodebasée sur l'emploi des Application de laformule :

dérivées successives :

f)=A + Bx+Cx + Dx3 ( a+b) =a +3ab+3ab*+b

=(3+2x)* avec a=3 et b=2x

f()=B+ 2Cx+3Dx

=6(3+ 2x)*

f*()=2C+ 6Dx

=24(3+ 2x)

f* )= 6D

=48

6D=48 D=8

2C=24.3=72 | C=3

B= 6 3 =54 Ti B=5

A=3*=27 A= 27 SOif

f()=

27+ 39.2x+33(2x)*+ (2x)*

f)=27+ 54x+ 36x*+ 8x f)=27+ 54x+36x + 8x

: s : s

X j

j = | 2 dx= 2x

()

* 2 dx = 2x )-2 = 2 - = - I.3 |

r - s - r f - l ; dl

dérivée de I = OUI -

X7- X ; dx

r - r 2 ( -x r - r di 2dxdérivée de l = 2 ( xl = 2 ou dérivée de I = --=- 2

X7- X ; dx dx

35 -- , --

INTRODUCTION AUX DERNIERS CHAPITRES

Les 8 premiers chapitres ont surtout servi à nous fournir des « Outils de travail »

(Propriété des nombres, Intégration et dérivation). Nous allons les utiliser pour

entreprendre un passionnant voyage d’exploration dans l'immense et mystérieux

domaine peuplé par les Objets Mathématiques. Nous allons visiter plusieurs de ces

sites choisis arbitrairement, sites qui abritent chacun des Objets Mathématiques

possédant des propriétés remarquables. Ces objets doivent naturellement provoquer

de l'admiration pour les mathématiciens d'autrefois auteurs de leur découverte, et

aussi de l’étonnement. Comment ceci peut-il exister ?On la chance, chaque fois de

pouvoir présenter des explications logiques permettant de comprendre leur

existence et leur fonctionnement .

Le premier site abordé (chapitre 9) sera celui qui abrite le fait, a priori

extraordinaire, que n'importe quelle fonction peut, au voisinage d’un point, être

développée en une suite infinie de puissances de x, divisées chacune par un nombre

n! qui augmente jusqu'à l'infini, et multipliée chacune aussi par un coefficient

approprié. Les termes successifs deviennent de plus en plus petits et peuvent ainsi

être rapidement négligés.

Le deuxième site (chapitre 10) contient une application du précédent. Il montre un

moyen pratique de calculer tous les cosinus et tous les sinus.

Le troisième site (chapitre 11) laisse découvrir une fonction E(x) qui est un véritable

phénomène. Cette fonction possède 3 propriétés tout à fait remarquables qui seront

considérées tour à tour.

Le site suivant (chapitre 12) contient la plus belle découverte qui couronne notre

exploration. Il montre une spirale composée de segments de plus en plus petits, en

nombre infini, qui finit par s’enrouler autour d’un point du plan (YOx). Ce point du

plan est indiqué par ailleurs par un vecteur partant du point origine 0 et déterminé

par sa longueur et par l’angle qu’il fait avec l'axe (Ox).

Nous montrons un exemple sur une grande feuille. La spirale est tracée en bleu et le

vecteur en rouge. On voit comment ils vont à la rencontre l’un de l’autre. On donne

la formule qui est à l’origine de ce tracé et on donne les calculs qui expliquent le

secret de ce qui se passe.


CHAPITRE 9

FORMULE DE TAYLOR

Sur ce premier site rencontré dans notre exploration, nous allons faire une

découverte plus que surprenante… et qu’il nous faudra interpréter avec soin.

Nous allons commencer par un petit problème qui est résolu à tout instant par les

calculatrices graphiques ou par les outils de représentation de données utilisés dans

les tableurs comme Excel, le problème du « lissage » : comment représenter

graphiquement une fonction dont on ne connaît que quelques points ?

Soit une fonction F dont le tracé nous est inconnu entre les points correspondant

aux abscisses a et b. La fonction F existe, mais nous ignorons son « expression

analytique », c’est à dire la relation entre x et F(x), notamment lorsque x est compris

entre a et b, ce qui nous empêche par exemple de tracer une représentation « vraie »

de la fonction.

Par contre, nous connaissons quand même la valeur de F pour quelques points

(appelons k leur nombre) sur ce tronçon.

Cherchons à remplacer la partie [a ; b] de ce tracé par une fonction algébrique

simple de la forme :

f(x) =f(a) + A1(x - a)+ A2(x – a )2+ … + Ak(x – a)k

dans laquelle on va déterminer les k coefficients A1, A2 ... , Am, ... Ak. de manière à

ce qu’il y ait égalité vraie en k points différents. Ainsi, cette nouvelle expression

donne un tracé passant par k points différents et connus, pris sur le tronçon. Ce

nouveau tracé ne coïncide pas, en dehors des k points donnés avec le tracé réel de F,

mais si le nombre des points k est grand, il pourra y avoir une coïncidence

acceptable.

Exprimer la fonction algébrique telle que y = f (x) nécessite de connaître les

coefficients Am.

Pour chacun des k points connus, x et f(x) deviennent, dans la relation précédente,

de simples valeurs numériques, comme le sont a et f(a) . De même, les termes : (x

a), (x-a)², etc., sont à leur tour de simples valeurs numériques multipliant A1, A2, etc.

avec des valeurs différentes.

En appliquant la relation précédente à chaque point connu de l’intervalle [a ; b],

nous obtenons donc k équations différentes, dans lesquelles apparaissent partout A1,

A2, …Am, Ak , avec des facteurs multiplicatifs différents.

Un tel système comportant autant d’équations qu’il y a d’inconnues donne en

général une solution, c’est-à-dire un ensemble de valeurs A1,…, Ak.


Courbe d'équationy= F(x) et courbe d'équation y=fx)

passantpar3points de la courbe d'équation y = F(x)

A

V

= FT» * -- ' (x)

à d—- A1(x3- a) +A2Cxs- a)*+As(x -a)'

/ E A1(x2- a) +A (x - a) +As(x -a)'

( A(x - a)+A(x -a) +As(x - a)'

F(a)

F(0)-

() a JX | Xo JX3 b *

Fx )=Fa)+A(x -a)+A (x - a) +As(x - a)'

F(x )=F(a)+ A (x -a) +Ax - a) +As(x - a)'

Fx)=F(a)+ A(x,-a)+A(x,- a) +As(x - a)'

Inconnues : les 3A

Connues : les (x,-a)" et lesF(x)

Sanstrop entrer dans le détail, nous allons voir comment on peut résoudre ce

système avec des outils modernes, quiutilisent des méthodesvieilles de trois

siècles, et à quel point on obtient rapidement une coïncidence satisfaisante

entre la fonction approchée f obtenue par cette méthode et la fonction

«vraie»F,au moins dans le domaine considéré.

Mais nous allons employer aussi une autre méthode pour trouver les

coefficients A, recherchés, méthode basée sur les dérivées successives

multiples. Mieux, nous allonstout simplement considérer que le nombre k de

points est infini ! Autrement dit, cette fois, la fonction f représente

véritablementF...

POSOnS :

F()=F(a)+ A(x- a) +A(x- a)* ... +A,(x- a)"+

A,(x- a)" A, (x- a)" ". + A(x- a)* + .

jusqu'à l'infini.

Et dérivonsmfois de suite des deuxcôtés du signe«=».On désigne par F"

la dérivée de rangm.

F"(x)= 0+ 0+ 0+ ... + mlA,+(m + 1)A, (x- a)+ ... + (k)(k-1)(k

2). (k-m).(-a)*"

Lestermessitués avant leterme de degré m sont nuls,à cause du nombre de

dérivations qui dépasse le degré. Leterme de degré m est conservé. Il ne

dépend plus de x. Lestermessuivants dépendent encore dex

: s : gc

Pour les éliminer, il faut faire x = a. Il reste alors :F(m)(a) = m! Am ce qui donne : Am= F(m)(a)

m!

On a ainsi toute la suite cherchée :

F(x) = F(a) + F’(a)(x - a) + F(2)(a)

(x–a

)22 + F(3)(a) ( x – a )3

3!

+ … + F(n)(a)

(x– a

)n

n!

Cette équation extraordinaire, établie par le mathématicien anglais Brook

Taylor (1685-1731) à ne pas confondre avec le célèbre américain créateur au20ème siècle de « l’organisation scientifique du travail» (... du travail à la

chaîne), donne le « développement » d’une fonction F au-delà d’un point,

d’abscisse a, où la fonction est encore connue.

Arrêtons-nous sur ce qu’elle nous dit : pour connaître la valeur d’une fonction

en une abscisse x différente de a, il suffit de connaître pour l’abscisse a la

valeur de la fonction et de toutes ses dérivées successives.

Ainsi donc, la connaissance d’un grand nombre de paramètres, relatifs à

l’abscisse a, suffit à complètement déterminer « l’avenir » de la fonction F

quand on s’écarte de a. Nous avions le tracé exact de F jusqu’au point

d’abscisse a, et grâce à Taylor, nous pouvons le prolonger au-delà de a.

Vue sous cet angle, la formule de Taylor nous incite à croire que l’avenir est

totalement inscrit dans le passé ! Plutôt surprenant, cet implacable

déterminisme…

En fait, utiliser la formule de Taylor pour déterminer l’avenir de la fonction

(au delà de a) suppose qu’on connaît déjà… l’avenir de la fonction !

Simplement, celui-ci est exprimé sous une autre forme, masquée : par les

dérivées.

En effet, la dérivée première F’(a) nous dit comment la fonction F varie,

linéairement, autour de a : elle nous indique comment nous pourrions

prolonger la courbe représentative de F, par un tronçon rectiligne tangent à la

courbe représentative au point d’abscisse a. Bien-entendu, le tracé ainsi

prolongé devient manifestement faux quand on s’écarte sensiblement de a. La

dérivée seconde F(2) est là pour corriger, en indiquant comment la dérivée

première elle-même varie au-delà de a, quand on s’écarte assez pour ne plus

tolérer l’approximation par la tangente. Et ainsi de suite, la dérivée d’ordre

trois indiquant comment varie à son tour la dérivée seconde.

Chacune de ces dérivées correspond à une vision de plus en plus large, et sa

valeur en a ne peut être connue avec une précision satisfaisante qu’à la seule


condition d’avoir une vision de la fonction F sur des horizons d’autant plus

larges autour de a que l’ordre de la dérivée est important.

Il n’y a donc pas d’avenir dicté par le passé : il y a une fonction F qui peut se

calculer à l’abscisse x :

soit par sa forme analytique, si on connaît l’expression F(x),

soit par son prolongement à partir d’une abscisse a, à condition de connaître

en a une infinité de données (les dérivées successives) qui « condensent » en

ce point toute l’information sur l’avenir (et le passé) de la fonction.

Et si maintenant on fait a = 0, on obtient le développement :

F(x)=

F(0)+

F’(0)(x)+

F(2)(0)x22+ F(3)(0) x33!

+ … +F(n)(0)

xn

n!

La fonction F peut donc en particulier s’exprimer comme un simple

polynôme en x : le coefficient numérique multipliant le terme xn est égal à la

valeur à l’origine de la dérivée d’ordre n, divisée par factorielle n (n !).

En général, le développement reste limité, en nombre de termes parce que les

dérivées d’ordre n s’annulent au-delà d’une certaine valeur de n.

Vérifions sur un exemple :

F(x) = 5x3 + 4x2 – 3x + 7

F1(x) = 15x2 + 8x – 3

F2(x) = 30x + 8

F3(x) = 30

F4(x) = 0 et Fn(x) = 0 pour tout n supérieur à 3 .

Pour x = 0, F(0) = 7,

et ses dérivées valent respectivement : -3, 8,30, 0

Donc :

F(x) = (7) + x.(-3) + x2. (8)2!+ x3. 303! + x4. (0)

4!= 5x3 + 4x2 – 3x + 7

On retombe donc exactement sur l’expression analytique de F(x) lorsqu’on la

reconstitue à l’aide de la formule de Taylor.

Mais que se passe-t-il quand les dérivées successives ne s’annulent jamais ?

C’est là que nous allons franchir les plus beaux de nos « petits pas »…


On supposetracée la courbe d'équation y = F() entre les points a et b. Ceci,

c'estpour montrer qu'on peut admettre l'existence des coefficientsA ,A , A3,

.A

Une fois qu'on a montré leur existence, onpeut les calculer d'une autre façon

en utilisant les dérivéessuccessivesaupointde coordonnées(a F(a)).

On n'aplusbesoin alors dutronçon de la courbe d'équation y= F(x) entre les

points a et b, car F(x)peut alors être remplacée parf(x)« npoints ».

La courbe d'équation y =f()«troispoints» a étéprésentée uniquementpour

servir d'exemple simple.

Sur la courbe d'équation y= F(x) ci-dessous, onprélève troispoints

d'abscisses x ; x ; x3et d'ordonnées respectives F(x ) , F(x ) : F(x,). La

connaissance de ces coordonnées nouspermettra de déterminer les

coefficientsA , A3 ;A3qui vontservir à construire la courbe d'équation y=

f(x) *3 points'passant par lestrois pointsprélevés.

f() 3 points =f(a)+ A(x-a)+A(x- a)*-As(x- a)*

Pour lestroispoints considérés, on a donc :

f( )= f(a) + A(x -a) +A(x - a) +As(x - a)*

f(x)=f(a) + A(x -a) +A(x - a) +As(x - a)*

f(x,) =f(a) + A(xs-a) A(xs- a ) +As(xs - a)*

ce quipeuts'écrire :

f( )-f(a)= A(x - a) +A(x - a) +As(x - a )

f(x)-f(a)= A(x - a) A(x - a) +As(x - a )

f(x3)-f(a) = A (x3-a)+A (x3- a)*+ A3(x3- a)*

2VCC a =2f(a)=4

x = 3 f(x )= 6 (x - a)= 1

x =4 f(x )= 12 (x - a)= 2

x3= 5 f(x,)= 24 (x3- a)= 3

2=A ( 1)+A(1 ) + As( 1 ) 2 = A , .. 1 --A ,. 1 --A3.. 1

8= A(2) +A(2)* As(2)* <=>|8=A .2 +A,.4 As. 8 .

20= A,(3)+A(3) +As(3 )* 20= A) . 3 +A,. 9+As. 27

A,-#3

<=>J A ,= 1

4 #

e) -- , --

F(x,)24

22

20

18

16

14 1

" ,

10 |

8

F(x,) 6 : y=fx)

*3 points*

F(a) 4 -

2

(l X X X

O 05 1 1 5 2 25 3 35 4 4 5 5

Ala construction de la courbe d'équation y=f(x) *3points , on ajoute les

points x, ; x5 , x d'abscisses 2,5 : 3,5 : 4,5 et d'ordonnées respectives :f(2,5)

;f(35);f(45)

f(x) =f(a) + A(x,- a) A(x - a) + As(x,- a)*

f( ) =f(a) + A(xs- a) A(xs- a) + As(xs- a)

f( ) =f(a) + A(x - a) +A (x - a) + As(x - a )'

2VCC Cl = 2 f(a) =4

x 4 = 2,5 f(x ) = 133 (x - d) = 0,5 A, *

JX5 = 3,5 f(x ) =9,5 (x5- a) = 1,5 A = 1

x = 4,5 f(x,) = 18 (x - d) = 2,5 4 *

Onpeut donc calculer :

f(25)=4+ # 05 + 1 (05)*+ # 05 - 4 *

f45 -4 # 25 - 125 25 - 17:

On cherche lestangentesaux3points connus d'abscisses x , x2 et x3

f()= A +2 .A(x- a)+ 3.As(x- a)

--

f’(x1)= A1 + 2 . A2(x1 – a )+ 3.A3(x1 – a)2

f’(x2)= A1 + 2 . A2(x2 – a )+ 3 . A3(x2 – a )2

f’(x3)= A1 + 2 . A2(x3 – a )+ 3 . A3(x3 – a)2

avec a = 2 f(a) = 4

x1 = 3 (x1 – a) = 1

A1=23

x2 = 4 (x2 – a) = 2 A2= 1

x3 = 5 (x3 – a) = 3A3= 13

f’(x1

)= 23 + 2 .1(1 )+

3 . 13(1)2 = 3 2

3

f’(x2)= 23 + 2 .1( 2)+

3 .13(2)2 = 8 2

3

f’(x3)= 23 + 2 .1(3 )+

3 .1

3

( 3)2

=15

23

24.00

22.00

20.00

18.00

16.00

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00


CHAPITRE I()

DEVELOPPEMENTLIMITES

Noustrouvons sur ce siteune belle application du chapitre précédent.

Onytrouve le développement en série dusinus et du cosinus.

On est favorisé avec ces deux expressions car les dérivées successives sont

toujours,en alternance, des cosinus et des sinus, et aussipar le fait que l'on a

toujours sin 0égale 0etcos0égale 1 .

Les développements obtenus ont donc toujours des numérateurs ou bien nuls

oubien égauxà+1 et à-1 .. Ce chapitre esttrès court maistrèsimportant.

Cosinus

y no ro * / o / o : o2 3 J1

cos(x)= 1 + x cos (0) + * coso – * coso -- cos"o

2 3

prenons n = 6 : cosy - 1 - x coso - coso - cos"o

4 5 6

JX JX JX

T7 cos"(0) FT cos"(0) Z7 cos"(0)

coso 1 : emo : ecoso no # coso #e

sinO * ( cosO2 4 6

JX JX JX

Donc . cos(x)= 1 - 7 IT - 77

r • • fT

Vérifionspourunevaleur connue, x = I *

é * # * # *cosé - 1 --------- 1-- + --

Le résultat arrondià l'ordre4 estbien le même :

2 4 6

JX JX JX

JX cos(x) l - 24 720

- () 785398 / 6 () 707I()678 () 707I()32 / 5

: s : cs

Sinus

y no ro * o * o * o

sin(x)=0+ xsin'(0) + * sno – *no -- *mo

prenons n = 6

2 3 4 5 6

sin(x)= x sin'(0) + sino – sino sn"o sino *

sin"(0)

- x* . x* x" , x* x°

sin(x) = x (cos(0))+ E (-sin(0)) + * (-cosO IT (sin(0)) 5T (cos(0)) Z7

(-sin(0))

3 5

JX JX

sin(x) = x- ET ET

vérifionspourunevaleur connue, x= 4 *

TU\3 /TU5

,, 1 ' 'sin() - --- T5

à l'aide d'une calculatrice ou d'untableur, on a :

3 5

JX JX

JX Sin(x JY -----(x) 6 / 2()

- 078539816 0 70710678 070714305

Le résultat arrondià l'ordre4 estbien le même

-- , --

CHAPITRE 11

LA FONCTION EXPONENTIELLE

Nous avons annoncé que sur ce site on découvrirait un véritable phénomène.

C’est la fonction :

Exp(x) = 1 + x + x22 + x3

3! + … +

xn

n!

1

Nous verrons successivement trois propriétés remarquables.

Rappelons le sens de l’expression n ! (factorielle n)

n ! = n(n-1)(n-2)(n-3)…….3.2.1.Pour n infini, n! devient gigantesque et les termes successifs xn

n! deviennent

négligeables ainsi que les suites qu’ils peuvent former.Les numérateurs xn peuvent être soit des nombres ordinaires, soit des nombres

complexes.

Rappel sur la multiplication de deux nombres complexes :

On ajoute les angles et on multiplie les longueurs...

1 L’introduction de l’exponentielle à partir de son développement semble originale et bien

intéressante...

X

Y

OO

a

A

b

B

B’

b’


Première propriété : Dérivée de Exp(x) = Exp(x)

Cette première propriété n’a rien d'extraordinaire.

Elle résulte directement de la façon dont Exp(x) est constituée.

Exp(x) = 1 + x + + + … +

xnx3x2

2 3! n!x2 x3 x(n-1)

Exp’(x) = 0 + 1 + x + 2 + 3! + … +(n-1)!

Les termes sont simplement décalés d'un cran. Et Les termes correspondant à

n infini étant négligeables, on peut conclure que la dérivée en un point x est

bien égale à la valeur de la fonction pour ce même x.

Si on trace la courbe représentative de Exp(x), appelée « exponentielle », on

trace la dérivée au point d’abscisse x en menant de ce point une horizontale de

longueur 1, et à partir de l’extrémité de cette horizontale, une verticale de

longueur égale à l’ordonnée du point x considéré. On joint l’extrémité de cette

verticale au point d’abscisse x, et on a la tangente à la courbe en ce point.

7 y =E(x)

Exponentielle

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

E(1)

1

Deuxième propriété : Exp(a).Exp(b) = Exp(a+b)

On représente les trois expressions E par un développement :Exp(a)

= 1 + a + a22+ a3

3!+ … +

an

n!

Exp(b)= 1 + b + b22+ b33!+ … +

bn

n!

0

1

2

3

4

5

6


Exp(a+b) = 1 + a+b + (a+b)2

2

+ (a+b)3

3!+ … +

(a+b)n

n!

Soient

A = (1 + a + a2

2 +

a3

3! + … +

ann!)( 1 + b + b22 + b33! + … +

bn

n!)

et B = (1 +a+b

+(a+b)22 + (a+b)33! + … +

(a+b)nn!

)

Il faut montrer que A = B, terme à terme.

Sur la figure jointe, on a pris n = 4 et 2n = 8. Il faut se représenter la même

figure avec n et 2 n beaucoup plus grands, tendant vers l'infini.

Sur la figure, les termes représentés par la produit A .B sont contenus dans le

carré ABCD.

Nous allons montrer plus loin que pour n suffisamment grand, tous les termes

situés sous la diagonale BD sont négligeables.

Appelons A' l'ensemble des termes contenus dans le triangle ABD situé au

dessus de la diagonale BD.

On aura à montrer l’égalité terme à terme, au dessus de la diagonale BD du

produit

termes de A’

(1 + a + a22 + a3

3! + … +

an

n!

)(1 + b + b22 + b33! + … +

bn

n!)

=(1+a+b

+(a+b)22 + (a+b)33! + … +

(a+b)nn!

)

Rappelons comment on obtient le développement de ( a + b )n

On considère les n parenthèses

( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )….. ( a + b )

On cherche le nombre p de façons de prélever p parenthèses afin d’obtenir un

terme en bp. On trouve n(n-1)(n-2)…(n-p) mais comme dans ce nombre

figurent les p permutations possibles que nous ne devons pas retenir, car

l’ordre des p parenthèses est indifférent, il faut diviser

n(n-1)(n-2)…(n-p+1) par p!. (n)(n-1) ….(n-p+1)

Résultat, le coefficient de an-pbp est p!

On peut multiplier en haut et en bas par (n-p) ! et on obtient le coefficient

n!plus commode actuellement pour nous, (n-p)!p!


( a + b)n

La suite B étant constituée par l’addition de termes n ! , on voit que

dans cette suite, le coefficient multipliant le terme an-pbp sera 1

(n-p) !p !

Appelons degré total d’un terme afbg la somme f+g.

Rangeons les termes de A’ ayant le même degré total n sur une même ligne, et

faisons leur correspondre, sur la même ligne, le terme de B (a+b)n

n! ayant le

même exposant n.

On constate que sur chaque ligne, à chaque terme de A’, il correspond un

terme de B de même valeur.

Remarquons notamment l’égalité, des deux côtés, de l’égalité et1

(n-p) !p !

1

(n-p) !p !

des coefficients du terme an-pbp.

Montrons maintenant que quand n est grand, les termes de A situés au

dessous de la diagonale BD sont négligeables.

Nous remarquons sur la figure que les termes de même degré total sont

alignés sur une oblique parallèle à la diagonale BD.

Poussons l’opération précédente de rangement sur une même ligne des termes(a+b)n

n ! et des termes correspondants de degré total n appartenant à l’ensemble

A.

Allons jusqu’à l’oblique correspondant aux termes de degré total 2n.

Les termes de A compris entre cette oblique et la diagonale BD ont une

somme

(a+b)(n+1) (a+b)(n+2) (a+b)(n+3) (2n)

+ + + …. +

(a+b)

(n+1) ! (n+2) ! (n+3) ! (2n) !=

Cette somme est une queue de développement en série qui peut être

considérée comme étant nulle.

E2n(a+b) - En(a+b)

Le triangle BCD, compris à l’intérieur de cette surface BEFD ne contient

donc que les termes qui peuvent être négligés, ce qui justifie la prise en

considération des seuls termes A’ contenus dans le triangle ABD.


A B E

3 4 5 6 7 8

/ Cl Cl Cl Cl Cl Cl Cl

2

Cl

2 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | 8 |

b ab a’b a’b a'b | a^b a^b a^b >

2 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | A´ 8/

b° ab’ a’b’ a’b’ a’b2 | a’b’ a“b” /^ a^b

2 2 2 2 2 3 / 2,4 ! 2 7 / 2 3 |

b° ab’ a’b’ a’b’ a’b’ b a b°

37 37 373 37 37 3747 3 | 7 | 3 | 8 |

b' ab’ a’b’ a’b’ a’b’ a b a b"

4 | 4 | 4 / 2 4 / 3 ! TAM 45 46 47 48

D b' ab’ a’b’ a’b’A´B C b a b a b a b

5 | 5 | 5 || 2 5/A3 | 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 5 | 7 | 5 | 8 |

b" ab" a b% b" a"b" a b" a "b" a b" a b"

6/ 6 | 3 | 6 | 4 | 6 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 | 6 | 8 |

b' ab^ a^b a^b a^b a^b a^b a^b a^b

7/ 2 7 | 3 | 7 | 4 | 7 | 5 | 7 | 6 | 7 | 7 | 7 | 31

b" ab a b a b a b a b a b a b a b

F 8/ 81 8/2 8/3/ 81.4 | 8 | 5 | 8 | 6 | 8 | 7 | 8 | 81

MA s pe pas 101

A" B

1 1

A + b (ab)

1

* ab - * a-b)*

E - ao - E 2/

a ab ab b a + b)*

3/ 2 2 3/ 3/

4 3 3 1 4 4

d' a'b , a*b* ab , b" (ab)

7 T : " T 7 4 !

p JV] - J]

d" , d'* b (ab)"

n/ (n-p)pl nl nl

1 1

A + b a + b

/

a2+2ab+b2 a2+2ab+ b2

2 2

a*+3ab+3ab*+b* a"+3ab+3ab*+b*

3! 3 !

a"+4a'b+6ab*+4ab +b" a"+4a'b+6ab*+4ab +b"

4! 4 !

j/7 n ! JV1

a -- : a * -- bnn!

10 -- , --

A B

Termesde l'oblique n+1 (ab"*

Termesde l'oblique n+2 (ab"

Termes de l'oblique n+3 (ab"

Termesde l'oblique2n (ab)*

(2n)!

Somme ducôtéA =Somme du côtéB

TermesdeAcompris entre la E,(a+b)- E,(a+b)= 0

diagonale BDet l'oblique EF

Tous cestermespeuventêtre

négligés, enparticulier les

termes contenus dans le

triangle BCD.

Il suffit doncde considérer les

termes dutriangleABD, c.à.d.

lestermesA'.

Vérification

Vérifions que Exp(2) Exp(3)= Exp(5)

Calculons,à l'aide d'un tableur,unevaleur approchée de Exp(1) : Exp(2) ;

Exp(3); Exp(5) ; Exp(2)Exp(3) et E(2)E(3)-E(5) en utilisant le

développement :3 JV1

JX JX JX

Expy - l - x -- * * -- 7 avec n = 16

-- , -- , 10

1 1 1 1 1 1 1

+ x x 1 2 3 4 5

+x22 x2

2 0.5 2 4.5 8 12.5+x33! x3

3! 0.1667 1.3333 4.5 10.667 20.833

+x44! x4

4! 0.0417 0.6667 3.375 10.667 26.042

+x55! x5

5! 0.0083 0.2667 2.025 8.5333 26.042

+x66! x6

6! 0.0014 0.0889 1.0125 5.6889 21.701

+x77! x7

7! 0.0002 0.0254 0.4339 3.2508 15.501

+x88! x8

8! 2E-05 0.0063 0.1627 1.6254 9.6881

+x99! x9

9! 3E-06 0.0014 0.0542 0.7224 5.3823

+

x1010! x10

10! 3E-07 0.0003 0.0163 0.289 2.6911

+x11

11!

x11

11! 3E-08 5E-05 0.0044 0.1051 1.2232

+x1212! x12

12! 2E-09 9E-06 0.0011 0.035 0.5097

+x13

13!

x13

13! 2E-10 1E-06 0.0003 0.0108 0.196

+x1414! x14

14! 1E-11 2E-07 5E-05 0.0031 0.07

+x1515! x15

15! 8E-13 3E-08 1E-05 0.0008 0.0233

+x1616! x16

16! 5E-14 3E-09 2E-06 0.0002 0.0073

= E(x) 2.7183 7.3891 20.086 54.598 148.41

Exp(2).Exp(3) ≈ 148.41 et Exp(2).Exp(3)- Exp(5) ≈ 0.0029

Nous pouvons constater que la différence Exp(2).Exp(3)- Exp(5) est

négligeable.

Le tableur nous donne également une valeur approchée de Exp(1) à l’ordre 4 :

Exp(1) ≈ 2,7183

Cette valeur de Exp(1) sera souvent utile dans la suite.

On désine par e cette valeur particulière : Exp(1) = e ≈ 2,7183 .

x 1 2 3 4 5


Troisième propriété : (Exp(x))a = Exp(ax)

Montrons cette propriété sur un exemple, en utilisant la deuxième propriété :

(Exp(x))3= Exp(x). Exp(x). Exp(x) = (Exp(x). Exp(x)). Exp(x) =

Exp(2x).Exp(x) = Exp(3x)

On a bien : (Exp(x))3= Exp(3x)

Exp(1) est donné par le développement. C’est un nombre e et non plus une

fonction.

e ≈ 2,7183

Il y a stricte équivalence entre Exp(x) et ex, le nombre e porté à la

puissance x, ce qui ouvre, nous le verrons, de nombreuses perspectives.


CHAPITRE 12

FORMULE DE MOIVRE

Nous arrivons sur ce site à une formule d'apparence magique dont la

découverte constitue le but avoué de l'ensemble de notre exploration.

C'est la formule de Moivre : "

[cos(b)+ i. sin(b)]"=[cos(n ×b)+i. sin(n ×b)]

ce qui s'écrit encore(e")"=e"

Moivre estun mathématicien anglais d'origine française. Il est né à Vitry-le

François en 1667. Il est mort à Londres en 1754. Il est assez étonnant de

penser quetout ce que nous avonsprésenté dans ce travail était déjà connu du

temps de LouisXV.

Reprenonsl'expression de l'exponentielle, maisavec le nombre complexe ix

en exposant,au lieu de x.

* , x ( ( ( ( (

e - 1 # ----------- :

x* ix * x" ix ° x °

57-57 T 57-7

lb b b b b b/ 2 / 3/ 4 / 5/ 6

e*= 1 + ix-

e" = I +

Or on avu que :2 4 6

JX JX JX

cosw = l ----*

x* x°

sin(x) = x- ET ET

Donc,si on multiplie sin(x)par i, et qu'on ajoute à cos(x) :

2 4 6 . 3 . 5

- - JX JX JX - IX IX

cos(x) + i sin(x) - l - T-7 - x - TFT

- I – - x x - ix ° x °

- 1 - x - 57-5T 7 FT - 7

- e*

C'est la formule d'Euler : e*= cos(x)+ i sin(x) xen radians

" Il est probable que Pierrevoulait surtout mettre en avant l'extraordinaire formule d'Euler,

dont celle de Moivre estune conséquence

10 -- , --

Dans ce dernier voyage, nous allons montrer deux chemins parvenant aumême résultat : atteindre un nombre ez dans le plan complexe :

- par la voie directe

- par la voie du développement de l’exponentielle en série de Taylor.

On prend donc : ez avec z = a + bi

ea+bi= ea. ebi= ea. (cos b + i sin b)

avec par exemple a = 2 et b = π/4 :

z=2+ π4 i

• Voie directe :

ea= e(2) ≈ 7.3891

ebi = cos b + i sin b = cos π + i sin π

4 4

ez = nombre complexe tel que ρ ≈ 7,3891 et θ = π

4

Par la suite, on prendra 2,5 cm pour une unité. Le nombre complexe ez sera

donc représenté par un vecteur incliné de 45° et de longueur : 7,3891.2,5 =

18,47 cm.


• Voie du développement de l'exponentielle en série:

2* 2" 2* -° -"

e*= / -- 2 ----+-- +-- +-- +---- +--

2 3/ 4/ 5/ 6/ n !

On calcule et on représente les différents nombres complexes de cette série et on

les ajoute comme desvecteurs, lesuns à la suite desautres.

- Encommençantpar l. Pourune échelle2,5cm pouruneunité, le premier

vecteur est donchorizontal et mesure2,5 cm enpartant de 0à 1:

- Ensuite,on représente z.On a :

z=p(cos 6 + i sin 6)= a+ i.b

a= 2

A l'échelle :

a : 2,5 .2=5 cm b :

- T

b -

() 1

p = \ | 2 + é) =2, 15

25 #- 1,98 cm p=25 \|(2 +é) - 537cm

p= 2,15

()

b=

%

a = 2

- Leterme suivant estz2 ,égalàz2 Il suffit de calculer son modulep* car

on saitqu'il est incliné d'un angle double duprécédent. Et ainsi de suite.

n n !11

[O

1l

[Oidem

(cm)

| | ()

2 26)

3 3()

4 24 40

5 120 SG)

6 720 66)

7 5040 7()

2 1487

4 6169

O) O202

21 315

45 8

98 41

21 1 45

p !

2 1487

2 3084

1 6534

() 8881

O 3817

(0 1367

()042

S 37

5 77

4.14

222

096-

0.34 -

(0 1 1 _

103 -- , --

Z. 7T . e

C avec :z=2+* i ,par deuxchemins

r- r- ,3 Il z=a bi - -- 1 , ,

Till 3l e = et - e". e* ·.. -, * --

r e*= cosb i sin b *. -- / &

d'où e = e* cosb isin b) rig gth : T - 1

ETLES DEUX PARCOURS

CONDUISENTAUMEMERESULTAT

LA DESTINATION FINALE DE NOTRE

BEAU VOYAGEENMATHEMATIQUE !

: s : oc

« Bonus de JM »

20 juin 2004 : Fête des Pères … et Fête des Randonneurs

Que dirais-tu, Pierre, d’ajouter à ton dernier chapitre deux parcours de

choix, qui sont présentés aux pages suivantes ?

Mais avant, petite vérification de la formule qui sert de boussole et de

charpente à ton livre, pour donner un nouvel exemple :

f(x)=

f(0)+ x.f1(0) + x2.

f2(0)

2!

+ x3.f3(0)

3!

+x4.

f4(0)+ … + xn.fn(0)n!

4!

Vérification avec :

f(x) = x3 – x

f1(x) = 3x2 – 1

f2(x) = 6x

f3(x) = 6f4(x) = 0 et fn(x) = 0 pour tout n supérieur à 3 .

Pour x = 0, f(0) = 0,

et ses dérivées valent respectivement : -1,0,6,0

Donc :

f(x) = (0) + x.(-1) + x2. (0)2!+ x3. 63! + x4. (0)

4!= x3 – x

OK ! La vérification pourrait aussi être faite avec l’équation de la parabole

utilisée dans les chapitres précédents.

- Maintenant, allons vers une autre valeur d’exponentielle complexe : eiπ/2

La voie du calcul direct, avec la formule d’Euler :

eiπ/2 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i

La voie de la formule de Taylor :

z2 z3 z4 z5 z6 znez = 1 + z + 2+ 3!

+ 4! + 5! + 6! + … + n!

avec z = iπ/2 = i.1,57 environ. Le tableur donne les valeurs successives de

chaque terme, alternativement imaginaire ou réel, et du cumul.


RE IM RE signé IM signé RE cumul

0 1,0000 1 1,0000 1,0000

1 1,5708 1 1,5708 1,0000

2 1,2337 -1 -1,2337 -0,2337

3 0,6460 -1 -0,6460 -0,2337

4 0,2537 1 0,2537 0,0200

5 0,0797 1 0,0797 0,0200

6 0,0209 -1 -0,0209 -0,0009

7 0,0047 -1 -0,0047 -0,0009

8 0,0009 1 0,0009 0,0000

9 0,0002 1 0,0002 0,0000

10 0,0000 -1 0,0000 0,0000

11 0,0000 -1 0,0000 0,0000

12 0,0000 1 0,0000 0,0000

13 0,0000 1 0,0000 0,0000

14 0,0000 -1 0,0000 0,0000

15 0,0000 -1 0,0000 0,0000

IM

Ce qui conduit à un parcours convergeant rapidement vers i :

Unité = 8 cm

- Et enfin, allons vers la belle valeur d’exponentielle complexe : eiπ

+1

+ i

0

La voie du calcul direct, avec la formule d’Euler :

eiπ = cos(π) + i sin(π) = -1

RE


On procède de même, avec z = i.π, soit z = i.3,14 environ :

RE IM RE signé RE cumul IM cumul

0 1,0000 1 1,0000 1,0000 0,0000

1 3,1416 1 1,0000 3,1416

2 4,9348 -1 -4,9348 -3,9348 3,1416

3 5,1677 -1 -3,9348 -2,0261

4 4,0587 1 4,0587 0,1239 -2,0261

5 2,5502 1 0,1239 0,5240

6 1,3353 -1 -1,3353 -1,2114 0,5240

7 0,5993 -1 -1,2114 -0,0752

8 0,2353 1 0,2353 -0,9760 -0,0752

9 0,0821 1 -0,9760 0,0069

10 0,0258 -1 -0,0258 -1,0018 0,0069

11 0,0074 -1 -1,0018 -0,0004

12 0,0019 1 0,0019 -0,9999 -0,0004

13 0,0005 1 -0,9999 0,0000

14 0,0001 -1 -0,0001 -1,0000 0,0000

15 0,0000 -1 -1,0000 0,0000

Et on aboutit cette fois à un parcours venant s’enrouler autour de la valeur -1 :

IM

RE

+1-1

0

Unité = 2 cm


ANNEXE

LA « PREUVEPAR9»

Utilité des vérifications1

Nous venons de faire un grand nombre de multiplications. Il est toujours utile de les vérifier. Il

n’est pas nécessaire de cela pour les refaire. On peut utiliser un important résultat d’arithmétique,

portant sur les nombres entiers :

Le reste de la division par n du résultat d’un produit est égal au produit des

restes des divisions par n des deux termes du produit.

Notons « reste() » tous les restes que nous allons rencontrer.

= reste(Anreste(ABn) ) . reste(Bn)

Ceci se démontre en posant A = n.a + a’ et B = n.b + b’, avec a et b quotients de la division de A

et de B par n et a’b’ restes de ces divisions.2Divisons par n (n.a + a’).(n.b + b’), il vient :

(n.a + a’).(n.b + b’)n=

n².ab + n.ab’ + n.a’b + a’b’n

le reste de cette division sera a’b’

n

En effet, les autres termes du numérateur sont divisibles par n et auront donc un reste nul.

On évalue donc séparément les restes du produit A.B et les restes de A et de B. Si le reste du

premier produit n’est pas égal au produit des deux autres restes, il est certain que la multiplication

effectuée A.B est fausse.

Exemple avec n = 4

Vérifions la multiplication :

14 . 23 = 322

On a successivement :

14 = 4 . 3 + 2 le reste est 2 (a’ = 2)

23 = 4 . 5 + 3 le reste est 3 (b’ = 3)

322 = 4 . 80 + 2 le reste est 2

on a bien reste(a’. b’) = reste( 6) = 2 car 6 = 4 . 1 + 2

Intérêt de n = 9

La preuve par neuf est la plus commode, car le reste de la division d’un nombre par neuf est facile

à obtenir.

La notation r(M) voudra dire maintenant : reste de la division par neuf du nombre M.

Il est très facile d’effectuer cette division par neuf, et surtout de connaître le reste de cette division.

Deux théorèmes utilisés.

Nous avons déjà vu :

r(A. B)= r(A). r(B)

1Pierre était très attaché aux vertus du calcul « à la main»... et aux vertus de ce qui peut

apparaître aujourd’hui tout à fait désuet. Il avait placé ce chapitre à la suite du calcul de π.

Il a paru plus logique de l’isoler, mais la position finale n’est guère satisfaisante car elle

masque quelque peu la fin officielle du parcours, page 109.

2 Il est utile de rappeler qu’une fraction N/D (N pour numérateur et D pour Dénominateur)

est égale à D. Q + R ( Q pour quotient et R pour reste) . JM


on admettra également que cela s'étend àunplusgrand nombre de facteurs :

r(A.B ..C)= r(A). r(B) . r(C)

Cherchons r(10).Onpose la division

_10|9

| | |

Ona donc r(10)= l

Cherchons r(7).Onpose la division

_ 7 |9

7|()

Ona donc r(7)=7

Cherchons maintenant r(20).

Ona r(20)= r(2 .. 10)= r(2) . r(10)=2.. l=2

Demême r(400)=r(4 .. l 0 .. 10)= r(4). r(10) . r(10)=4.. l .. l=4

En ajoutant, on obtient :

r(7+20+400)=7+2+4=13

Or,ce reste 13estencore divisibleparneuf

Onaun vrai reste r(13)=4 car 13=9.. l+4

Finalement,levrai reste sera donnépar : rr(427)=4.

Onvoit que dans certains cas, lorsque rM donneraun résultatsupérieur à neuf,ilfaudra remplacer

le symbole rpar rr.

On utilisera aussile symbole R quisignifie indifféremment,suivantlescas, rou rr.

Exemple

Prenons la multiplication de427x22, onveutvérifier le résultat9394

La somme des chiffres

Onanoté querM était égalà la somme obtenue en additionnant les chiffresdunombre M. Dans

ces conditions :

r(427)= 13

r(13)=4=R(427)

r(22)=4=R(22)

r(9394)=25

r(25)=7

rr(9394)= r(25)=7=R(9394)

on doitvérifier

R(9394)=R(427). R(22)

OrR(9394)=7

et R(427) .. R(22)=4.4= 16avec R(16)=7

donc on abien R(9394)= R(427) .. R(22)

En pratique

On obtient les rM enfaisant mentalement lasomme des chiffres, et en retirant de cette somme9

chaque fois que lasomme dépasse ce chiffre.

Une«croixdeSaint-André»(X)fournitquatre emplacementsoù l'oninscrit respectivement

R(A) : R(B): R(R(A) .. R(B))* etR(A. B)

* Le R devantla parenthèse n'a lieu d'être que si la quantité entreparenthèses estsupérieure à9

R(427)=4

R(9394)=7 R(22)=4

R(R(427)R(22))

=7R(R(A).. R(B))

11 -- , --

Pierre Gréhanten 1995, contemplant leMur d'Hadrien

s s s ans

Publication électronique

Dépôt légal automatique

ISBN 978-2-9527235-6-5

115 - --

Maths à Petits Pas

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