Mathématiques pour l’économie et la gestion · 5. Intégration II. Algèbre 1. Polynômes et...

$: Mathématiques pour l’économie et la gestion · 5. Intégration II. Algèbre 1. Polynômes et fractions rationnelles 2. Espaces vectoriels 3. Applications linéaires, matrices$
Skander Belhaj

Mathématiques pourl’économie et la gestionAnalyse et algèbre

Constitué d’un cours complet et de 75 exercices corrigés, ce manuelprésente l’ensemble du programme d’algèbre et d’analyse des filièresSciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à lagestion. Il introduit de façon simple et pédagogique les techniques et lesrésultats des mathématiques de base que les étudiants en première annéede Licence doivent maîtriser.

-:HSMDLB=UUW\X\:ISBN 978-2-311-00273-7

WWW.VUIBERT.FR

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LICENCE 1SCIENCES DE GESTIONSCIENCES ÉCONOMIQUESINFORMATIQUE APPLIQUÉEÀ LA GESTION

Skander Belhaj

Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques,économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie), Skander Belhaj est docteur en mathématiquesappliquées et spécialiste d’algèbre matricielle rapide. Chercheur à l’université de Tunis El Manar (ENIT-LAMSIN) et à l’université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l’institutsupérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l’université libre de Tunis.

Sommaire

I. Analyse

1. Fonctions d’une variable réelle

2. Développements limités

3. Fonctions réelles à deux variables

4. Optimisation et recherche d’extremumsde deux variables

5. Intégration

II. Algèbre

1. Polynômes et fractions rationnelles

2. Espaces vectoriels

3. Applications linéaires, matrices

4. Systèmes d’équations linéaires,déterminant

5. Diagonalisation d’une matrice carrée

• Cours complet• Plus de 70 exercices• Tous les corrigés détaillés

Mathématiquespour l’économie et la gestionAnalyse et algèbre

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Mathématiquespour l’économie

et la gestion

Cours & exercices corrigés

Skander Belhaj

LICENCE 1SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUESINFORMATIQUE APPLIQUÉE À LA GESTION

Analyse et algèbre

Lim_EcoGestion:EP 19/10/11 16:47 Page I

Déjà parus dans la nouvelle collection de manuels universitaires scientifiques

Anne CORTELLA, Algèbre. Théorie des groupes. Cours et exercices corrigés – L3 & Master, 224 pages

Bruno AEBISCHER, Introduction à l’analyse. Cours et exercices corrigés – L1, 288 pages

Bruno AEBISCHER, Analyse. Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique. Cours et exercices corrigés – L2, 448 pages

Bruno AEBISCHER, Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective. Cours et exercices corrigés – L3, 288 pages

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David LANGLOIS, Introduction à la relativité. Principes fondamentaux & conséquences physiques. Cours et exercices corrigés – L2 & L3, 192 pages

Bernard DELCAILLAU, Géomorphologie. Relations tectonique, climat, érosion. Cours et exercices corrigés – L3, M1 & M2, 304 pages

Matthieu ROY-BARMAN & Catherine JEANDEL, Géochimie marine. Circulation océanique, cycle du carbone et changement climatique. Cours et exercices corrigés – L3, M1 & M2, collection « Interactions », 368 pages

et des dizaines d’autres livres de référence, d’étude ou de cultureen mathématiques, informatique et autres spécialités scientifiques

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En couverture : Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican.© Sylvain Sonnet/Corbis

Maquette intérieure : Sébastien Mengin/Edilibre.netComposition et mise en page de l’auteurCouverture : Linda Skoropad/Prescricom

ISBN 978-2-311-00273-7

Registre de l’éditeur : 595

La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductionsstrictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et lescourtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans leconsentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation oureproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants duCode pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au Centre français d’exploitation dudroit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70

© Vuibert – novembre 2011 – 5, allée de la 2e DB 75015 Paris

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et la gestion


Skander Belhaj



Analyse et algèbre












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ISBN 978-2-311-00273-7






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Analyse et algèbre












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Table des matières

Introduction VII

Analyse 1

1 Les fonctions numériques d’une variable réelle 31.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Différentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Développements limités 292.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Fonctions équivalentes, définition et opérations . . . . . . . . . . . . . 372.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fonctions réelles à deux variables 433.1 Généralités et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Optimisation et recherche d’extremums de deux variables 534.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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IV Table des matières

5 Intégration 595.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Algèbre 67

6 Polynômes et fractions rationnelles 696.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Espaces vectoriels 817.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 847.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Applications linéaires, matrices 918.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Systèmes d’équations linéaires, déterminant 1119.1 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10 Diagonalisation d’une matrice carrée 12510.1 Élément propre d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.2 Diagonalisation d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Corrigés 133

Corrigés du chapitre 1 135





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Table des matières V






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Introduction

L’ouvrageLe but de ce cours est d’introduire de façon simple et élémentaire les techniques et lesrésultats mathématiques de bases en algèbre et en analyse que l’étudiant en premièreannée de SG (Sciences de Gestion), SE (Sciences Économique), et IAG (InformatiqueAppliquée à la Gestion) doit maîtriser et qu’il pourra réutiliser dans d’autres coursd’enseignement. Il ne s’agit pas de démontrer les théorèmes ou les résultats énoncésmais d’expliquer leurs utilisations et leurs règles de calcul.À la fin de chaque chapitre, de nombreux exercices corrigés, permettant aux étudiantsde tester leurs connaissances, complètent et illustrent le cours.

L’auteurDocteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre ma-tricielle rapide. Chercheur à l’école nationale d’ingénieurs de Tunis (ENIT-LAMSIN)et à l’université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l’institutsupérieur des arts du multimédia de la Manouba (université de la Manouba, Tunisie)et l’université libre de tunis. Il a été élu directeur de département des méthodesquantitatives et aussi enseignant à la faculté des Sciences juridiques, économiques etde gestion de Jendouba (Tunisie).

Le publicÉtudiants en première année des Licences de Sciences de Gestion, Sciences Économiqueet Informatique Appliquée à la Gestion (hors prépas hec).

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Première partie

Analyse

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CHAPITRE 1

Les fonctions numériques d’une variable réelle

Soitf : Df

x−→7−→

Rf (x)

une fonction numérique d’une variable réelle telle que Df = {x ∈ R / f(x) a un sens}est le domaine de définition de f .

1.1 Limite d’une fonctionDéfinition 1.1.1 On dit qu’une fonction f , définie au voisinage 1 de x0 ∈ R, sauf

peut être en x0, admet une limite l ∈ R quand x tend vers x0 et on écrit :lim

x−→x0f (x) = l

si ∀ε > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que |x− x0| < η alors |f (x)− l| < ε.

Remarque 1.1.1 Une fonction peut avoir une limite quand x tend vers x0 sans qu’ellesoit définie en x0.

Remarque 1.1.2 Dire que x tend vers x0 c’est-à-dire que x s’approche de x0 sansjamais l’atteindre.

Remarque 1.1.3 On définit la limite à droite et à gauche de f comme suit :1. Limite à droite :

limx−→x0x>x0

f (x) = l si ∀ε > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que 0 < x−x0 < η alors |f (x)− l| < ε,

et on notelim

x−→x+0

f (x) = l.

1 Un voisinage d’un point x0 ∈ R est un intervalle ouvert qui contient ce point.

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4 Chapitre 1. Les fonctions numériques d’une variable réelle

2. Limite à gauche :

limx−→x0x<x0

f (x) = l si ∀ε > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que 0 < x0−x < η alors |f (x)− l| < ε,

et on notelim

x−→x−0f (x) = l.

Proposition 1.1.1 La limite d’une fonction, lorsqu’elle existe, est unique.Preuve. Supposons que

limx−→x0

f (x) = l et limx−→x0

f (x) = l′ avec l 6= l′.

Ainsi, ∀ε > 0, ∃η > 0; ∀x ∈ R tels que |x− x0| < η alors |f (x)− l| < ε et∀ε′ > 0, ∃η′ > 0; ∀x ∈ R tels que |x− x0| < η′ alors |f (x)− l′| < ε′. On a|l − l′| = |l − f (x) + f (x)− l′| ≤ |f (x)− l|︸︷︷︸

<ε

+ |f (x)− l′|︸︷︷︸<ε′

. Alors, |l − l′| < ε+ ε′︸︷︷︸ε′′

.

Pour ε′′ << 2, on peut écrire |l − l′| < ε′′. Donc, l = l′. Ce qui est absurde. �

1.1.1 Opérations sur les limitesSupposons que lim

x−→x0f (x) = l1 et lim

x−→x0g (x) = l2 et soit λ ∈ R, alors on a :

1. limx−→x0

(f + g) (x) = l1 + l2

2. limx−→x0

(f × g) (x) = l1 × l2

3. limx−→x0

|f (x)| = |l1|

4. limx−→x0

(λf) (x) = λl1

5. limx−→x0

(fg

)(x) = l1

l2, (l2 6= 0)

6. Si f ≥ g au voisinage de x0 alors l1 ≥ l2.Exemple 1.1.1 Vérifier que

limx−→ 1

2

4x2 − 12x− 1 = 2.

En effet, il suffit de simplifier : 4x2−12x−1 = (2x−1)(2x+1)

2x−1 = 2x+ 1.

1.1.2 Formes indéterminéesLes quatres formes indéterminées les plus connues sont :

00 ,∞∞, ∞−∞, 0×∞.

D’autres formes indéterminées seront exposées dans le chapitre suivant.

2 Négligeable.

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1.2 Fonctions continues 5

Exemple 1.1.2 Trouver que

limx−→+∞

√x+

√x+√x−√x = 1

2 .

En effet, multipliant√x+

√x+√x−√x par son conjugué. On a

√x+

√x+√x−√x =

(√x+

√x+√x−√x

)(√x+

√x+√x+√x

)√x+

√x+√x+√x

= x+√x+√x− x√

x+√x+√x+√x

=√x+√x√

x+√x+√x+√x.

Ensuite, mettant√x en facteur :√

x+√x+√x−√x =

√x(√

1 + 1√x

)√x

(√1 +

√1x + 1

x√x

+ 1) .

Ainsi, quand x −→ +∞,(√

x+√x+√x−√x

)−→ 1

2 .

Exercice 1.1.1 Montrer que

limx−→0

sin (3x)− 3 sin (x)tan (2x)− sin (2x) = −1.

1.2 Fonctions continuesSoit

f : Dfx

−→7−→

Rf (x)

et x0 ∈ R.Définition 1.2.1 On dit que f est continue en x0 ∈ R si :

1. f est définie en x0 (x0 ∈ Df) ,2. lim

x−→x0f (x) = f (x0) .

Remarque 1.2.11. On dit que f est continue sur une partie A ⊆ Df si f est continue en tout point

de A.2. Soient f et g deux fonctions continues en x0 et soit λ un réel alors (f + g) ,

(f × g) , (λf) , fg (g (x0) 6= 0) et |f | sont aussi continues en x0.

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Exemple 1.2.1 1. Étudier la continuité de la fonction f : R −→ R définie commesuit :

f (x) ={

0 si x = 0sin 1

x si x 6= 0

2. Étudier la continuité de la fonction g : R −→ R définie comme suit :

g (x) ={

1 si x = 0sin xx si x 6= 0

1.2.1 Propriétés des fonctions continuesThéorème 1.2.1 Soit I = [a, b] , a < b, un intervalle fermé borné sur R. Toute fonction

continue sur I est bornée et atteint ses bornes.Théorème 1.2.2 (des valeurs intermédiaires) Soit f : I−→ R continue sur I et soient

a et b deux points de I tels que f (a) f (b) < 0. Alors, il existe c compris entre aet b tel que f (c) = 0.

Exemple 1.2.2 Montrer que x5 + x3 + 1 = 0 admet une solution unique compriseentre −1 et 0.

Théorème 1.2.3 L’image d’un intervalle de R par une fonction continue est un inter-valle de R.

Définition 1.2.2 (Prolongement par continuité) soit f : I−→ R une fonction et soita /∈ I. Si f admet une limite l en a, alors la fonction f̃ : I ∪{a}−→ R définie par

f̃ (x) ={f (x) si x 6= al si x = a

est continue sur I ∪ {a} . Cette fonction est appelée prolongement de f parcontinuité en a.

Exemple 1.2.3 Soit f (x) = sin xx . Puisque limx−→0

sin xx = 1. On peut vérifier que

f̃ (x) ={f (x) si x 6= 01 si x = 0

est le prolongement par continuité de f en 0.

1.2.2 Théorème des fonctions réciproquesSoit I un intervalle de R.

Théorème 1.2.4 Toute fonction f : I−→ R, continue et strictement monotone admetune fonction réciproque, notée f−1, qui est continue, strictement monotone etde même sens de variation que f .

Remarque 1.2.2 Le graphe de f−1 s’obtient à partir de celui de f par la symétrie parrapport à la première bissectrice.

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1.3 Dérivabilité 7

• Exemples de fonctions réciproques :Les fonctions Exponentielle et LogarithmeIl existe une fonction notée e (ou exp) définie sur R comme suit :

e : Rx−→7−→

Rex

continue et strictement croissante sur R avec e(R) = R∗+, donc il existe une fonctionnotée log telle que :

log : ]0,+∞[t

−→7−→

Rlog (t)

vérifiant log(ex) = x ∀x ∈ R et exp(log(t)) = t, ∀t ∈ R∗+.Exercice 1.2.1 Étudier la continuité en 0 de la fonction f : R −→ R définie par :

f (x) =sin( 1x

)e

1x + 1

si x 6= 0 et f (0) = 0.

1.3 DérivabilitéSoit f : Df ⊆ R −→ R une fonction continue en x0 ∈ Df.Définition 1.3.1 On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si la fonction

x 7−→ f (x)− f (x0)x− x0

admet une limite finie quand x tend vers x0. Lorsque cette limite existe et finie,elle sera notée f ′(x0) et elle est appelée la dérivée de f en x0.

1.3.1 Opérations sur les fonctions dérivablesSoit f : Df ⊆ R −→ R et g : Dg ⊆ R −→ R deux fonctions dérivables en x0 ∈ Df∩Dg,et soit λ ∈ R.Théorème 1.3.1

1. (f + g) est dérivable en x0 et on a (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).2. (λf) est dérivable en x0 et on a (λf)′(x0) = λf ′(x0).3. (f × g) est dérivable en x0 et on a (f × g)′(x0) = f ′(x0)× g(x0) + f(x0)× g′(x0).4. Si g(x0) 6= 0, fg est dérivable en x0 et on a

(f × g)′(x0) = f ′(x0)× g(x0)− f(x0)× g′(x0)g2 (x0) .

5. Si de plus f est dérivable en g(x0), alors (f ◦ g) est dérivable en x0 et on a :(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0))× g′(x0).

Exemple 1.3.1 Calculer la dérivée de la fonction

f (x) =log(x2 + 1

)x

.

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1.3.2 Règle de l’HopitalSoit f et g deux fonctions dérivables sur un voisinage de x0 avec f(x0) = g(x0) = 0 etg′(x0) 6= 0, alors

limx−→x0

f (x)g (x) = f ′ (x0)

g′ (x0) .

Exemple 1.3.2 limx−→0cos x−1

x = 0, pour f (x) = cosx− 1 et g (x) = x, on a f(0) =g(0) = 0 et g′(0) 6= 0. Donc, limx−→0

cos x−1x = f ′(0)

g′(0) = 0.

• Dérivée d’une fonction réciproqueSoit f :]a, b[⊆ R −→ R une fonction continue et strictement monotone, on note f−1

sa fonction réciproque.

Théorème 1.3.2 Si f est dérivable en x0 ∈ ]a, b[ et si f ′(x0) 6= 0 alors f−1 est dérivableen y0 = f(x0) et on a :

(f−1)′ (y0) = 1

f ′ (f−1 (y0)) .

Exemple 1.3.3 (ex)′ = 1log′(ex) = 1

1ex

= ex, ∀x ∈ R.

1.3.3 Propriétés des fonctions dérivablesLemme 1.3.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I ⊆ R. Si f admet un

extrêmum local en x0 ∈ I et si f est dérivable en x0 alors f ′(x0) = 0.Remarque 1.3.1 La réciproque est fausse (contre exemple f(x) = x3).Théorème 1.3.3 (Rolle) Soit f : [a, b] −→ R (a 6= b) continue sur [a, b], dérivable sur

]a, b[. Si on a f(a) = f(b) alors ∃c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.Corollaire 1.3.1 (Formule d’égalité des accroissements finis) Soit f : [a, b] −→ R,

(a 6= b) continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors ∃c ∈]a, b[ tel que :

f(b)− f(a)b− a

= f ′ (c) .

Théorème 1.3.4 (Formule d’inégalité des accroissements finis) Soit f : [a, b] −→ R(a 6= b) continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et s’il existe deux réels m et M telsque ∀x ∈ ]a, b[ , m ≤ f ′ (x) ≤M alors

m (b− a) ≤ f(b)− f(a) ≤M (b− a) .

Remarque 1.3.2 ∀x ∈ ]a, b[ , |f ′ (x)| ≤ M alors |f(b)− f(a)| ≤ M (b− a) et plusgénéralement,

∀x, y ∈ [a, b] , |f (x)− f (y)| ≤M |x− y| .

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1.4 Fonctions convexes 9

1.4 Fonctions convexesDéfinition 1.4.1 Une fonction f est convexe sur un intervalle I de R si ∀ (x, y) ∈ I2

et λ ∈ [0, 1] ;f (λx+ (1− λ) y) ≤ λf (x) + (1− λ) f (y) .

Remarque 1.4.1 La fonction f est concave si (−f) est convexe.Géométriquement : f convexe c’est-à-dire quelque soit A et B deux points degraphe de f, la droite (AB) est située au "dessus" de l’arc AB.Remarque 1.4.2 Si f est convexe définie sur I intervalle de R alors ∀ (x, y) ∈ I2, on a

f

(x+ y

2

)≤ 1

2 [f (x) + f (y)] .

Exemple 1.4.1 f (x) = |x| est convexe. En effet, soient x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1] ,

f (λx+ (1− λ) y) = |λx+ (1− λ) y|≤ |λx|+ |(1− λ) y|≤ λf (x) + (1− λ) f (y) .

D’où, f est convexe.Théorème 1.4.1 Si f est deux fois dérivable sur I alors f convexe sur I si et seulement

si ∀ x ∈ I, f ′′ (x) ≥ 0.Exemple 1.4.2 f (x) = x2, f ′ (x) = 2x, f ′′ (x) = 2 > 0. Alors, f est convexe.Exemple 1.4.3 f (x) = log x, f ′ (x) = 1

x , f′′ (x) = − 1

x2 < 0. Alors, (−f) est convexe.D’où, f est concave.

1.5 Formules de Taylor1.5.1 Dérivée d’ordre nSoit une fonction f : I−→ R. On pose f (0) = f et on définit par récurrence la fonctiondérivée n-ième de f sur I, notée f (n), comme la dérivée de f (n−1) si elle existe.Exemple 1.5.1 f (x) = xn, f ′ (x) = nxn−1, f ′′ (x) = n (n− 1)xn−2, . . . , f (n) (x) =

n (n− 1) · · · 1 = n!.Exemple 1.5.2 f (x) = sin x, f ′ (x) = cosx, f ′′ (x) = − sin x, . . . , f (n) (x) = sin

(x+ nπ2

).

Exemple 1.5.3 f (x) = cosx, f ′ (x) = − sin x, f ′′ (x) = − cosx, . . . , f (n) (x) =cos(x+ nπ2

).

Théorème 1.5.1 (Formule de Leibnitz) Soient f, g deux fonctions n fois dérivablesur I alors f × g est n fois dérivable sur I et on a :

(f × g)n =n∑p=0

Cpnfpgn−p.

Remarque 1.5.1 On dit que f est de classe Cn si et seulement si f (n) (x) est continue.On dit que f est de classe C∞ si elle est indéfiniment et continûment dérivable.

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1.5.2 Formule de Taylor-LagrangeThéorème 1.5.2 Soit f une fonction de classe Cn sur un intervalle [a, b] de R et telle

que f (n+1) soit définie sur ]a, b[ , alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que

f (b) = f (a) + (b− a) f ′ (a) + · · ·+ (b− a)n

n! f (n) (a)︸︷︷︸Partie régulière du développement de Taylor-Lagrange de f

+ (b− a)n+1

(n+ 1)! f (n+1) (c)︸︷︷︸Reste de Lagrange

.

1.5.3 Formule de Taylor-YoungThéorème 1.5.3 Soit f une fonction de classe Cn sur un intervalle I contenant x0,

alors ∀x ∈ I, on a

f (x) = f (x0) + (x− x0) f ′ (x0) + · · ·+ (x− x0)n

n! f (n) (x0) + 0 ((x− x0)n)︸︷︷︸Quantité négligeable

.

Corollaire 1.5.1 (Formule de Mac-Laurin) Dans le cas particulier où x0 = 0, onobtient la formule de Mac-Laurin suivante :

f (x) = f (0) + xf ′ (0) + · · ·+ xn

n! f(n) (x0) + 0 (xn) .

Exemple 1.5.4 ∀x ∈ R, ex = 1 + x+ · · ·+ xn

n! + o (xn)(f (n) (0) = 1

).

Exemple 1.5.5 ∀x ∈ R, sin x est de classe C∞ sur R et on a :

f (n) (x) = sin(x+ n

π

2

)alors f (2k) (0) = 0 et f (2k+1) (0) = (−1)k , k ∈ N. D’où, ∀x ∈ R,

sin x =n∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)! + 0(x2n+1)

= x− x3

3! + · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)! + 0(x2n+1) .

Exemple 1.5.6 ∀x ∈ R, cosx est de classe C∞ sur R et on a :

f (n) (x) = cos(x+ n

π

2

)alors f (2k) (0) = (−1)k et f (2k+1) (0) = 0, k ∈ N. D’où, ∀x ∈ R,

cosx =n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! + 0(x2n)

= 1− x2

2! + · · ·+ (−1)n x2n

(2n)! + 0(x2n) .

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1.6 Différentielle et approximation 11

1.6 Différentielle et approximationDéfinition 1.6.1 (Approximation affine) Soit f de classe C1 au voisinage V (x0). On

définit l’approximation affine de f au voisinage V (x0) par

f (x0 + h) ' f (x0) + hf ′ (x0)

avec h = x− x0︸︷︷︸≡∆x

−→ 0.

Définition 1.6.2 (Variation absolue) La variation absolue de f entre x0 et x0 + h estdéfinie par

∆f = f (x0 + h)− f (x0) ' f ′ (x0) ∆x.

Exemple 1.6.1 f (x) = log (1 + x) , x0 = 4 et ∆x = 2. ∆f = f (6) − f (4) = log 7 −

log 5 = log(

75

)︸︷︷︸

0.3364

' 15 × 2 = 0.4.

Définition 1.6.3 (Variation relative) La variation relative de f entre x0 et x0 + h estdéfinie par

∆ff (x0) = f (x0 + h)− f (x0)

f (x0) . (exprimée en pourcentage : sans unitée)

Définition 1.6.4 (Notion du différentielle) Soit f dérivable au voisinage V (x0) . Onappelle différentielle de f au voisinage V (x0) , la fonction linéaire

dfx0 : Rh−→7−→

Rdfx0 (h) = f ′ (x0) .h

Exemple 1.6.2 f (x) = log x, x0 = 1. df1 (h) = f ′ (1) .h = h.

Exemple 1.6.3 f (x) = ex, x0 = 1. df1 (h) = f ′ (1) .h = e.h.

Définition 1.6.5 (Fonction moyenne) On appelle fonction moyenne d’une fonctionpositive d’une variable x, la fonction notée fM est définie par

∀x > 0, fM (x) = f (x)x

.

Exemple 1.6.4 On suppose qu’un marchand fixe pour le bien A, les prix suivant :

10e pour une quantité18e pour deux quantités25e pour trois quantités

Quel est le prix moyen PM du bien A ?

PM = 10e +18e +25e

1 + 2 + 3 = 53e

6 ' 8, 8333e .

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Exercice 1.6.1 La fonction de production d’une entreprise utilisant le travail "L"comme seul facteur de la production est donnée par

f (x) = 12√x = production, notée p en économie.

1. Supposant qu’une entreprise utilise 900 unités pour produire 15 unités.Quelle sera l’augmentation de la production si l’entreprise décide d’utiliserune unité de travail supplémentaire.

2. On suppose que l’entreprise diminue l’effort du travail en passant de 900 à891 unités. Donner une estimation de la variation de la production qui enrésulte.

Corrigé 1. On a ∆x = 1, x0 = 900. L’augmentation du produit est

∆f = f (901)− f (900)

= 12√

901− 12√

900

= 8.331× 10−3 ' f ′ (900) .∆x = 1120 .

2. Une estimation de la variation de la production qui en résulte est uneestimation de f (900)− f (891) , pour ∆x = −9 est

f ′ (900) .∆x = 1120 × (−9) = −0.075.

Définition 1.6.6 (Notion d’élasticité) L’élasticité est un indicateur qui permet à unéconomiste ou gestionnaire d’évaluer l’effet d’une variation de ”x” (variableindépendant) sur une variable ”y” (dépendant) : y = f(x), variable endogène.Ainsi, l’élasticité de f par rapport à x au point x0 est donnée par

ef/x (x0) = x0f ′ (x0)f (x0) où f (x0) 6= 0.

Exemple 1.6.5 f (x) = x2, x0 = 100 donc, ef/x (x0) = 100× 2×1001002 = 2.

Remarque 1.6.1 L’élasticité ef/x donne une valeur approchée de la variation relativede f divisée par la variation relative de x :

ef/x (x0) '∆f(x0)f(x0)∆xx0

.

En effet, f ′ (x0) ' f(x)−f(x0)x−x0

au voisinage V (x0) alors

ef/x (x0) ' x0 ×(f (x)− f (x0)

∆x

)× 1f (x0)

' x0

∆x ×∆f (x0)f (x0) .

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“belhaj” — 2011/10/20 — 16:16 — page 13 — #19 ii

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1.7 Fonctions usuelles 13

Remarque 1.6.2 Si ef/x ' 0 alors la variation de x : ∆x à un effet négligeable sur lavariation de f : ∆f. Si ef/x ' 1 alors la variation de x : ∆x à un effet sur lavariation de f : ∆f qui lui est proportionnelle ou équivalente.

Exemple 1.6.6 Pour une fonction de la forme f (x) = axα, on a f ′ (x) = aαxα−1 alors

ef/x (x0) = x0 ×(aαxα−1

0αxα0

)= α.

Application 1.6.1 La loi de demande du coton pour 1914-1929 (d’après H. Schutz)est évaluée par la fonction : Q (p) = (0.11)

114 p−

114 .

1. Chercher l’élasticité.2. On suppose que le prix du coton varie de p0 = 50 à p1 = 51. Trouver la

variation de la demande, puis la calculer numériquement.

Corrigé 1. efQ/p = − 114 .

2. La variation de la demande est donnée par :

∆Q = Q (p1)−Q (p0)Q (p0)︸︷︷︸0.141%

' efQ/p ×∆pp0

= efQ/p ×(p1 − p0

p0

).

Numériquement,

∆Q ' − 114 ×

(51− 50

50

)= − 1

700 = 0.1428 %.

1.7 Fonctions usuelles1.7.1 Fonctions logarithmes et exponentielles• Logarithme népérienLa fonction x 7→ 1

x est continue sur ]0; +∞[, elle admet une unique primitive quis’annule en 1, c’est la fonction x 7→

∫ x1dtt (voir Chapitre 5).

Définition 1.7.1 L’unique primitive de la fonction x 7→ 1x sur ]0; +∞[ qui s’annule

en 1 est appelée logarithme népérien, elle est notée log ou ln . On a donc∀x > 0, log (x) =

∫ x1dtt . Cette fonction est donc dérivable sur I = ]0; +∞[ et

log′ (x) = 1x , elle est donc strictement croissante sur I.

Soit y > 0, la fonction f : x 7→ log (xy) et dérivable sur I et f ′ (x) = y 1xy = 1

x , onen déduit que f (x) = log (x) + c où c est une constante, on a log (y) = f (1) =log (1) + c = c, par conséquent on obtient :

Propriété 1.7.1 (fondamentale du logarithme)

∀x, y > 0, log (xy) = log (x) + log (y) .

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Conséquence 1.7.1

1. Si u est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors [log (|u|)]′ = u′

u .

2. ∀x, y ∈ R∗, log (|xy|) = log (|x|) + log (|y|) .

3. ∀x, y ∈ R∗, log(∣∣∣xy ∣∣∣) = log (|x|)− log (|y|) .

4. ∀n ∈ Z∗, ∀x ∈ R∗, log (|xn|) = n log (|x|) .

Limites du logarithme népérien

limx→+∞

log (x) = +∞; limx→0+

log (x) = −∞; limx→+∞

log (x)x

= 0; limx→1

log (x)x− 1 = 1.

x 0 1 +∞log′ (x) +

+∞↗

log (x) 0↗

−∞

y2

0

-2

-4

1 2 3 4 5 x

Inégalité de convexité ∀x > 0, log (x) ≤ x− 1.

• Logarithmes de base aThéorème 1.7.1 Soit f : ]0; +∞[→ R une application dérivable telle que ∀x, y > 0,

f (xy) = f (x) + f (y) , alors il existe une constante k telle que ∀x > 0, f (x) =k log (x) .

Lorsque k = 0 la fonction f est nulle, lorsque k 6= 0, il existe un unique réel a > 0différent de 1 tel que log (a) = 1

k , ce qui donne f (x) = log(x)log(a) .

Définition 1.7.2 Soit a ∈ R∗+\ {1} , on appelle logarithme de base a la fonctionnotée loga et définie sur ]0; +∞[ par loga (x) = log(x)

log(a) .

Remarque 1.7.1

1. ∀x, y ∈ R∗+, loga (xy) = loga (x) + loga (y) .2. loga (1) = 0 et loga (a) = 1.3. On note e l’unique réel strictement positif tel que log (e) = 1, on a alors

log = loge ≡ log .4. La fonction loga est dérivable et ∀x > 0, log′a (x) = 1

x log(a) .

5. log 1a

= − loga .

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1.7 Fonctions usuelles 15

• La fonction exponentielleLa fonction log est strictement croissante sur I = ]0; +∞[ , elle définit donc une bijection

de I sur J = Im (log) , comme elle est continue on a Im (log) =]lim

0log; lim

+∞log[

= R.

Définition 1.7.3 La réciproque est appelée fonction exponentielle et notée exp,elle est définie par :

exp : R −→x 7−→

]0; +∞[exp (x) = y tel que y > 0 et log (y) = x

Propriété 1.7.2

1. La fonction exp est strictement croissante sur R et continue, de plus exp (0) = 1et exp (1) = e.

2. La fonction log est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée ne s’annule pas, donc lafonction exp est dérivable sur R et exp′ (x) = 1

log′(exp(x)) = exp (x) .

3. Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction exp et celle de la fonctionlog sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

y

4

2

-2-4 2 4 x

-2

-4

exp

log

Soit x, y ∈ R, notons X = exp (x) et Y = exp (y) alors X et Y sont dans ]0; +∞[ onpeut donc écrire log (XY ) = log (X) + log (Y ) ce qui donne x + y = log (XY ) , parconséquent exp (x+ y) = XY = exp (x) exp (y) , on peut donc énoncer :

Propriété 1.7.3 (fondamentale de l’exponentielle)

∀x, y ∈ R, exp (x+ y) = exp (x) exp (y) .

Il en découle en particulier que exp (−x) = 1exp(x) .

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“belhaj” — 2011/10/20 — 16:16 — page 200 — #206 ii

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Skander Belhaj

Mathématiques pourl’économie et la gestionAnalyse et algèbre

Constitué d’un cours complet et de 75 exercices corrigés, ce manuelprésente l’ensemble du programme d’algèbre et d’analyse des filièresSciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à lagestion. Il introduit de façon simple et pédagogique les techniques et lesrésultats des mathématiques de base que les étudiants en première annéede Licence doivent maîtriser.

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LICENCE 1SCIENCES DE GESTIONSCIENCES ÉCONOMIQUESINFORMATIQUE APPLIQUÉEÀ LA GESTION

Skander Belhaj

Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques,économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie), Skander Belhaj est docteur en mathématiquesappliquées et spécialiste d’algèbre matricielle rapide. Chercheur à l’université de Tunis El Manar (ENIT-LAMSIN) et à l’université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l’institutsupérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l’université libre de Tunis.

Sommaire

I. Analyse

1. Fonctions d’une variable réelle

2. Développements limités

3. Fonctions réelles à deux variables

4. Optimisation et recherche d’extremumsde deux variables

5. Intégration

II. Algèbre

1. Polynômes et fractions rationnelles

2. Espaces vectoriels

3. Applications linéaires, matrices

4. Systèmes d’équations linéaires,déterminant

5. Diagonalisation d’une matrice carrée

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Mathématiquespour l’économie et la gestionAnalyse et algèbre

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