Mathématiques 9ème

CHAP. 2 : VOCABULAIRE DE BASE DE LA GÉOMÉTRIE I. DES POINTS ET DES LIGNES 1 – Droite

Ø Définition : Une droite n’a pas de longueur : elle est illimitée ! On ne peut la mesurer ! On représente une droite par une ligne droite que l’on peut prolonger de part et d’autre. On ne représente alors qu’une partie à la règle. Une droite se note en plaçant les noms de deux de ses points entre parenthèses.

§ Exemple :

La droite passant par les points A et B se note (AB).

§ Remarque :

ü Une droite peut être aussi notée par une seule lettre entre parenthèses. Ø Propriétés :

Par un point, il passe une infinité de droite. Par deux points distincts, il ne passe qu’une seule droite.

§ Exemple :

Une seule droite passe par les points A et B : c’est la droite (AB).

Ø Propriété :

Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun.

§ Exemple :

Ø Définition : Des points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite.

§ Exemple :

Les points A, B et C sont alignés. Le point B appartient à la droite (AC) : on note B∈(AC).

§ Exemple :

Le point B n’appartient pas à la droite (d) ; on note B∉(d).

2 – Demi-droite

Ø Définition : Une demi-droite est limitée d’un côté par son origine et illimitée de l’autre. On ne peut pas mesurer une demi-droite.

§ Exemple :

La demi-droite d’origine A qui passe par B se note [AB).

3 – Segment

Ø Définition : Un segment est une portion de droite, il est limité des deux côtés. Un segment possède une longueur, on peut le mesurer.

§ Exemple :

Le segment d’extrémités A et B est la partie de droite (AB) délimitée par les points A et B. On note ce segment avec des crochets : [AB] ou [BA]. Ø Définition : La distance du point A au point B est notée AB, elle correspond à la longueur du segment [AB]. On peut la mesurer avec une règle graduée.

§ Exemple :

Le segment [AB] mesure .......... cm. On note : AB = .......... cm.

Ø Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.

Ø Méthode : Tracer un segment et construire son milieu

o Tracer un segment [RT] de longueur 6 cm puis construire son milieu A.

D’après Sésamath 6ème Ø Propriété : Dire qu’un point I est le milieu d’un segment [AB] signifie : I∈[AB] et IA = IB = AB ÷ 2.

II. POSITION RELATIVE DE DEUX DROITES

Ø Définition : Deux droites perpendiculaires (ou orthogonales) sont deux droites sécantes qui forment un angle droit.

§ Exemple :

Les droites (𝑑) et (𝑑’) sont perpendiculaires. Pour indiquer que les droites (𝑑) et (𝑑’) sont perpendiculaires, on utilise un codage. On note (𝑑) ⊥ (𝑑’) .

§ Remarques :

ü Par un point donné, il ne passe qu’une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

ü Deux droites perpendiculaires forment quatre angles droits, mais on en code un seul.

Ø Méthode : Construire la perpendiculaire à une droite passant par un point

o Construire la droite perpendiculaire à (𝑑) passant par le point 𝑀.

D’après Sésamath 6ème Ø Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.

§ Exemple :

Les droites (𝑑) et (𝑑’) sont parallèles. Les droites (𝑑) et (𝑑’) n’ont pas de point d’intersection. On note : (𝑑)//(𝑑!) .

§ Remarques :

ü Quand deux droites sont parallèles, elles ont un « écart constant ».

ü Deux droites confondues sont parallèles. ü Par un point donné, il ne passe qu’une seule droite parallèle à une droite donnée.

Ø Méthode : Construire la parallèle à une droite passant par un point

o Construire la droite parallèle à (𝑑) passant par le point 𝑁.

D’après Sésamath 6ème

III. MÉDIATRICE D’UN SEGMENT

§ Définition : La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement et en son milieu.

§ Exemple :

(𝑑) est la médiatrice du segment [𝐴𝐵].

Ø Méthode : Construire la médiatrice d’un segment à la règle et à l’équerre

o Tracer un segment [𝑂𝑆] de longueur 5 cm puis sa médiatrice à l’équerre.

D’après Sésamath 6ème Ø Méthode : Construire la médiatrice d’un segment au compas

o Tracer un segment [𝐴𝐵] de longueur 6 cm puis sa médiatrice au compas.

D’après Sésamath 9ème - PER

IV. CERCLE

§ Définition : Un cercle de centre 𝑂 est l’ensemble des points situés à la même distance du point 𝑂. Cette distance est le rayon du cercle.

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§ Vocabulaire :

D’après Sésamath 6ème

Ø Méthode : Tracer un cercle

o Tracer le cercle de centre 𝑇 passant par le point 𝑈.

D’après Sésamath 6ème

V. ANGLES 1 – Notation et vocabulaire

§ Définition : Un angle est délimité par deux demi-droites de même origine. Les deux demi-droites sont les côtés de l’angle. L’origine commune aux demi-droites est le sommet de l’angle.

§ Exemple :

L’angle ci-contre peut se nommer :

- 𝑥𝑂𝑦9 ou 𝑦𝑂𝑥9 ; - 𝐵𝑂𝐷; ou 𝐷𝑂𝐵; ; - 𝑥𝑂𝐷; ou 𝐷𝑂𝑥; ; - 𝐵𝑂𝑦; ou 𝑦𝑂𝐵;.

Les côtés de l’angle sont les demi-droites [𝑂𝑥) et [𝑂𝑦).

§ Remarque :

ü La lettre du « milieu » indique le sommet de l’angle.

2 – Différents types d’angles

Il faut retenir les mesures des angles particuliers :

Angle nul Angle aigu Angle droit Angle obtus Angle plat

Il mesure 0°.

Mesure comprise entre 0° et 90° (« moins ouvert » qu’un angle droit).

Il mesure 90°.

Mesure comprise entre 90° et 180° (« plus ouvert » qu’un angle droit).

Il mesure 180°.

Ses côtés sont confondus.

Ses côtés sont perpendiculaires.

Le côté de l’un est dans le prolongement de l’autre.

§ Remarques :

ü Un angle dont la mesure est comprise entre 0° et 180° est un angle saillant. ü Un angle dont la mesure est comprise entre 180° et 360° est un angle rentrant. ü Un angle dont la mesure est de 360° est un angle plein.

3 – Angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires

§ Définition : Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté en commun et sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

§ Exemples :

Les angles 𝐴𝑂𝐵; et 𝐵𝑂𝐶; sont adjacents car :

- ils ont le même sommet : le point 𝑂 ; - ils ont un côté en commun : la demi-droite [𝑂𝐵); - ils sont situés de part et d’autre du côté en commun.

Les angles 𝐴′𝑂′𝐵′; et 𝐴′𝑂′𝐶′; ne sont pas adjacents car ils ne sont pas situés de part et d’autre du côté en commun.

§ Définition : Deux angles dont la somme vaut 90° sont complémentaires. Deux angles dont la somme vaut 180° sont supplémentaires.

§ Exemple :

Les angles 𝐽𝐾𝑀; et 𝑀𝐾𝐿; sont supplémentaires car 123° + 57° = 180°.

On dit alors que les points J, K et L sont alignés car l’angle 𝐽𝐾𝐿9 est un angle plat.

4 – Mesurer et construire un angle

L’unité usuelle de mesure des angles est le degré. L’instrument de mesure des angles est le rapporteur. C’est un instrument qui possède en général :

- une graduation extérieure (qui se lit de gauche à droite) ; - une graduation intérieure (qui de lit de droite à gauche) ; - un centre.

ü Méthode : Utiliser le rapporteur pour mesurer un angle

o Mesurer l’angle 𝐶𝐴𝐵;.

D’après Sésamath 9ème - PER

ü Méthode : Utiliser le rapporteur pour construire un angle

o Construire un angle 𝐵𝑈𝑇; de 108°.

D’après Sésamath 9ème - PER

§ Remarques : Quelques moyens suffisent à éviter les erreurs grossières : ü Un angle à tracer dont la mesure est comprise entre 0° et 90° est forcément plus petit qu’un angle

droit.

ü Un angle à tracer dont la mesure est comprise entre 90° et 180° est forcément plus grand qu’un angle droit.

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VI. BISSECTRICE D’UN ANGLE

§ Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

ü Méthode : Construire la bissectrice d’un angle avec un rapporteur

o Construire la bissectrice de l’angle 𝑀𝑂𝑁; avec un rapporteur.

D’après Sésamath 6ème

ü Méthode : Construire la bissectrice d’un angle avec un compas

o Tracer un angle 𝑥𝑂𝑦9 et construire sa bissectrice au compas.

D’après Sésamath 9ème - PER

§ Remarque :

ü Pour indiquer que deux angles ont la même mesure, on porte sur chacun des deux angles le

même petit symbole.

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