Mathématiques SN

Mathématiques Mathématiques SNSN

L’L’OPTIMISATIONOPTIMISATION

Rappel sur les inéquationsRappel sur les inéquations

Mathématiques Mathématiques SNSN- - OPTIMISATIONOPTIMISATION - -

A) TraductionA) Traduction

Exemple # 1 :Exemple # 1 : À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties de hockey de À chaque année, Sébastien joue au moins 5 parties de hockey de plus que de parties de football.plus que de parties de football.À chaque année, Sébastien joue À chaque année, Sébastien joue au moinsau moins 55 parties de parties de hockeyhockey de de plusplus que de parties de que de parties de footballfootball..

x : Nombre de parties de x : Nombre de parties de hockeyhockey

y : Nombre de parties de y : Nombre de parties de footballfootball

x x ≥≥ y y + 5+ 5

VariablesVariables

InéquationInéquation

Exemple # 2 :Exemple # 2 : À chaque année, Sébastien joue au plus le double de parties de À chaque année, Sébastien joue au plus le double de parties de hockey que de parties de football.hockey que de parties de football.À chaque année, Sébastien joue À chaque année, Sébastien joue au plusau plus le doublele double de parties de de parties de hockeyhockey que de parties de que de parties de footballfootball..

x : Nombre de parties de x : Nombre de parties de hockeyhockey

y : Nombre de parties de y : Nombre de parties de footballfootball

x x ≤≤ 22yy

VariablesVariables


Exemple # 3 :Exemple # 3 : Chez HMV, je dispose de 150 $ pour acheter des CD de musique Chez HMV, je dispose de 150 $ pour acheter des CD de musique à 10 $ chacun et des DVD de film à 18 $ chacun.à 10 $ chacun et des DVD de film à 18 $ chacun.Chez HMV, je dispose de Chez HMV, je dispose de 150 $150 $ pour acheter des pour acheter des CD de musiqueCD de musique à à 10 $10 $ chacun et des chacun et des DVD de filmDVD de film à à 18 $18 $ chacun. chacun.

x : Nombre de x : Nombre de CD de musiqueCD de musique

y : Nombre de y : Nombre de DVD de filmDVD de film

1010x + x + 1818y y ≤≤ 150150

VariablesVariables



B) Représentation graphiqueB) Représentation graphique

Exemple # 1 :Exemple # 1 : Représenter graphiquement -2y Représenter graphiquement -2y 4x + 6 . 4x + 6 .

Mathématiques Mathématiques SN SN - - OPTIMISATIONOPTIMISATION - -

Exemple # 1 :Exemple # 1 : Représenter graphiquement l’ensemble-solutions deReprésenter graphiquement l’ensemble-solutions de

-2y -2y ≥≥ 4x + 6 . 4x + 6 .

11

11

y y -2x – 3 -2x – 3

y = -2x – 3

y = -2x – 3

Ensemble-solutions Ensemble-solutions de y de y -2x – 3 -2x – 3

(-2, -7)(-2, -7)

Pour vérifier de quel côté de la droite Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un doit-on hachurer, prenons un pointpoint

quelconque et vérifions-le quelconque et vérifions-le dans dans l’inéquationl’inéquation..

y y -2x – 3 -2x – 3

Avec le point (-2, -7) :Avec le point (-2, -7) :

-7 -7 -2(-2) – 3 -2(-2) – 3

-7 -7 4 – 3 4 – 3

-7 -7 1 1 VRAIVRAI

Donc le point Donc le point (-2, -7)(-2, -7) fait partie de fait partie de l’l’ensemble-solutionsensemble-solutions..

Exemple # 2 :Exemple # 2 : Représenter graphiquement l’ensemble-solutions de y Représenter graphiquement l’ensemble-solutions de y x + 3 . x + 3 .

11

11

y = x

+ 3

y = x

+ 3

Ensemble-solutions Ensemble-solutions de y de y x + 3 x + 3

Pour vérifier de quel côté de la droite Pour vérifier de quel côté de la droite doit-on hachurer, prenons un doit-on hachurer, prenons un pointpoint

quelconque et vérifions-le quelconque et vérifions-le dans dans l’inéquationl’inéquation..

y y x + 3 x + 3

Avec le point (4, 3) :Avec le point (4, 3) :

3 3 4 + 3 4 + 3

3 3 7 7 FAUXFAUX

Donc le point Donc le point (4, 3)(4, 3) ne fait pas partie ne fait pas partie de l’de l’ensemble-solutionsensemble-solutions..

(4, 3)(4, 3)


B) Représentation graphiqueB) Représentation graphique

En RÉSUMÉ…En RÉSUMÉ…

ou ou ----------> Droite frontière ----------> Droite frontière pointilléepointillée

ou ou ----------> Droite frontière ----------> Droite frontière pleinepleine

y y ou y ou y ----------> Ensemble-solutions ----------> Ensemble-solutions au-dessusau-dessus de la droite frontière de la droite frontière

yy ou y ou y ----------> Ensemble-solutions ----------> Ensemble-solutions en-dessousen-dessous de la droite frontière de la droite frontière


Polygone de contraintesPolygone de contraintes

Exemple # 1 :Exemple # 1 : Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au moins 2 fois plus d’instruments à cordes que d’instruments à vent. moins 2 fois plus d’instruments à cordes que d’instruments à vent. De plus, il y a au plus 30 musiciens.De plus, il y a au plus 30 musiciens.

Tracer le polygone de contraintes de cette situation.Tracer le polygone de contraintes de cette situation.

Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a Dans un orchestre, il y a des instruments à cordes et à vent. Il y a au au moinsmoins 22 fois plus d’instruments à fois plus d’instruments à cordescordes que d’instruments à que d’instruments à ventvent. . De plus, il y a De plus, il y a au plusau plus 3030 musiciensmusiciens..

x : Nombre d’instruments à x : Nombre d’instruments à cordescordes

y : Nombre d’instruments à y : Nombre d’instruments à ventvent

VariablesVariables

ContraintesContraintes

x x ≥≥ 22yy

x + y x + y ≤≤ 3030

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0Contraintes de non-négativitéContraintes de non-négativité


x : Nombre d’instruments à x : Nombre d’instruments à cordescordes

y : Nombre d’instruments à y : Nombre d’instruments à ventvent

VariablesVariables


x x ≥≥ 22yy

x + y x + y ≤≤ 3030

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

Isoler yIsoler y

y ≤y ≤

y y ≤ 30 – x≤ 30 – x

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

xx

22

55

55


y ≤y ≤

y y ≤ 30 – x≤ 30 – x

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

xx

22

x : Nombre de gâteaux au x : Nombre de gâteaux au chocolatchocolat

y : Nombre de gâteaux aux y : Nombre de gâteaux aux carottescarottes

VariablesVariables


x + y x + y ≥≥ 1212

x + x + 22y y ≤≤ 1818

Isoler yIsoler y

y ≤y ≤ 9 – 9 –

y y ≥ 12 – x≥ 12 – x

x x ≥ 7≥ 7

y y ≥ 2≥ 2

xx

22

11

22


Exemple # 2 :Exemple # 2 : Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolat et aux carottes. Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolat et aux carottes. Disposant d’un maximum de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le Disposant d’un maximum de 18 œufs, il a besoin de 2 œufs pour le gâteau aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat. Il doit faire au gâteau aux carottes et de 1 œuf pour celui au chocolat. Il doit faire au moins 12 gâteaux, dont au moins 7 au chocolat et au moins 2 aux moins 12 gâteaux, dont au moins 7 au chocolat et au moins 2 aux carottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation.carottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation.

Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au Un pâtissier prépare 2 types de gâteaux : au chocolatchocolat et aux et aux carottescarottes. . Disposant d’un Disposant d’un maximummaximum de de 1818 œufsœufs, il a besoin de , il a besoin de 22 œufsœufs pour le pour le gâteau aux gâteau aux carottescarottes et de et de 11 œufœuf pour celui au pour celui au chocolatchocolat. Il doit faire . Il doit faire auau moinsmoins 1212 gâteauxgâteaux, dont , dont au moinsau moins 77 au au chocolatchocolat et et au moinsau moins 22 aux aux carottescarottes. Trace le polygone de contraintes de cette situation.. Trace le polygone de contraintes de cette situation.

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥≥ 77

y y ≥≥ 22

y ≤y ≤ 9 – 9 –

y y ≥ 12 – x≥ 12 – x

x x ≥ 7≥ 7

y y ≥ 2≥ 2

xx

22

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

Polygone de contraintes Polygone de contraintes BORNÉBORNÉ (ou (ou ferméfermé))

2020

2020

Polygone de contraintes Polygone de contraintes NON-BORNÉNON-BORNÉ (ou (ou ouvertouvert))

2020

2020

Fonction à optimiserFonction à optimiser

Exemple :Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total.total.

La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table.La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $ par table.

Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire Combien de chaises et de tables la compagnie doit-elle produire pour maximiser ses profits ?pour maximiser ses profits ?

Chaque semaine, une compagnie fabrique Chaque semaine, une compagnie fabrique au moinsau moins 2020 tablestables et et 8080 chaiseschaises. De plus, elle fabrique . De plus, elle fabrique au moinsau moins 44 fois plus de fois plus de chaiseschaises que que de de tablestables et peut produire et peut produire un maximumun maximum de de 200200 chaises et tableschaises et tables au au total.total.



x : Nombre de x : Nombre de chaiseschaises

fabriquéesfabriquées

y : Nombre de y : Nombre de tablestables

fabriquéesfabriquées

VariablesVariables Fonction à optimiserFonction à optimiser

P = 15x + 25yP = 15x + 25y

But : But : maximisermaximiser

Règle qui traduit le but visé par une fonction.


x : Nombre de x : Nombre de chaiseschaises fabriquées fabriquées

y : Nombre de y : Nombre de tablestables fabriquées fabriquées

VariablesVariables

Isoler yIsoler y

2020

2020

Polygone de contraintesPolygone de contraintes ContraintesContraintes

x x ≥≥ 44yy

x + y x + y ≤≤ 200200

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

y y ≥≥ 2020

x x ≥≥ 8080

y y ≤ 200 – x≤ 200 – x

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

y y ≥ 20≥ 20

x x ≥ 80≥ 80

y ≤y ≤ xx

44


P = 15x + 25yP = 15x + 25y


Exemple :Exemple : Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 Chaque semaine, une compagnie fabrique au moins 20 tables et 80 chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que chaises. De plus, elle fabrique au moins 4 fois plus de chaises que de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au de tables et peut produire un maximum de 200 chaises et tables au total.total.



Chaque semaine, une compagnie fabrique Chaque semaine, une compagnie fabrique au moinsau moins 2020 tablestables et et 8080 chaiseschaises. De plus, elle fabrique . De plus, elle fabrique au moinsau moins 44 fois plus de fois plus de chaiseschaises que que de de tablestables et peut produire et peut produire un maximumun maximum de de 200200 chaises et tableschaises et tables au au total.total.



y y ≤ 200 – x≤ 200 – x

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

y y ≥ 20≥ 20

x x ≥ 80≥ 80

y ≤y ≤ xx

44

Recherche de la solution optimaleRecherche de la solution optimale


2020

2020

Coordonnées des sommetsCoordonnées des sommets

AABB

CC

A :A : y = 20y = 20

x = 80x = 80A (80, 20)A (80, 20)

B :B : y = 200 – xy = 200 – xy =y = xx

44

(1)

(2)

(1) = (2) :

200 – x =200 – x = xx

44

200 =200 = 5x5x

44

160 = x160 = x (3)

(3) dans (1) :

y = 200 – 160y = 200 – 160

y = 40y = 40

C :C : y = 20y = 20

y =y = 200 – x 200 – x

(1)

(2)

(1) = (2) :

200 – x = 20200 – x = 20

- x = - 180- x = - 180

x = 180x = 180

C (180, 20)C (180, 20)

B (160, 40)B (160, 40)


Tableau-solutionsTableau-solutions

SommetsSommets P = 15x + 25yP = 15x + 25y ProfitsProfits

A (A (8080, , 2020))

B (B (160160, , 4040))

C (C (180180, , 2020))

P = 15(P = 15(8080) + 25() + 25(2020))

P = 15(P = 15(160160) + 25() + 25(4040))

P = 15(P = 15(180180) + 25() + 25(2020))

1700 $1700 $

3400 $3400 $

3200 $3200 $

MaximumMaximum

SolutionSolution

Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit fabriquer Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit fabriquer 160160 chaises chaises et et 4040 tables. tables.

Structure d’un problème d’optimisation completStructure d’un problème d’optimisation complet

VariablesVariables


Isoler yIsoler y





SolutionSolution


Exemple :Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulards et des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des des chandails. Un foulard demande 8 heures pour la préparation des modèles et 4 heures pour l’impression. Quant aux chandails, il faut modèles et 4 heures pour l’impression. Quant aux chandails, il faut 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour 2 heures pour concevoir les modèles et 15 minutes pour l’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards l’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de 20 à 80 foulards et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 et de 100 à 250 chandails. Il y a 30 personnes qui travaillent 40 heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes heures par semaine : 22 personnes pour les modèles et 8 personnes pour l’impression.pour l’impression.

L’entreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail.L’entreprise fait des profits de 20 $ par foulard et de 4 $ par chandail.

Combien d’articles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre Combien d’articles de chaque sorte la compagnie doit-elle vendre pour maximiser ses profits ?pour maximiser ses profits ?

Une entreprise confectionne 2 produits différents : des Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulardsfoulards et et des des chandailschandails. Un . Un foulardfoulard demande demande 88 heuresheures pour la préparation des pour la préparation des modèlesmodèles et et 44 heuresheures pour pour l’impressionl’impression. Quant aux . Quant aux chandailschandails, il faut , il faut 22 heuresheures pour concevoir les pour concevoir les modèlesmodèles et et 15 minutes15 minutes pour pour l’impressionl’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de . Chaque semaine, il faut fabriquer de 2020 à à 8080 foulardsfoulards et de et de 100100 à à 250250 chandailschandails. Il y a 30 personnes qui travaillent . Il y a 30 personnes qui travaillent 40 40 heuresheures par semaine : par semaine : 22 personnes22 personnes pour les pour les modèlesmodèles et et 8 personnes8 personnes pour pour l’impressionl’impression..



x : Nombre de x : Nombre de foulardsfoulards produits par semaine produits par semaine

y : Nombre de y : Nombre de chandailschandails produits par semaine produits par semaine

VariablesVariables


P = 20x + 4yP = 20x + 4y


Exemple :Exemple : Une entreprise confectionne 2 produits différents : des Une entreprise confectionne 2 produits différents : des foulardsfoulards et et des des chandailschandails. Un . Un foulardfoulard demande demande 88 heuresheures pour la préparation des pour la préparation des modèlesmodèles et et 44 heuresheures pour pour l’impressionl’impression. Quant aux . Quant aux chandailschandails, il faut , il faut 22 heuresheures pour concevoir les pour concevoir les modèlesmodèles et et 15 minutes15 minutes pour pour l’impressionl’impression. Chaque semaine, il faut fabriquer de . Chaque semaine, il faut fabriquer de 2020 à à 8080 foulardsfoulards et de et de 100100 à à 250250 chandailschandails. Il y a 30 personnes qui travaillent . Il y a 30 personnes qui travaillent 40 40 heuresheures par semaine : par semaine : 22 personnes22 personnes pour les pour les modèlesmodèles et et 8 personnes8 personnes pour pour l’impressionl’impression..



Isoler yIsoler y ContraintesContraintes

y y ≥≥ 100100

y y ≤≤ 250250

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥≥ 2020

x x ≤≤ 8080

88x + x + 22y y ≤≤ 880880

44x + x + 0,250,25y y ≤≤ 320320

22 personnes x 40 heures 22 personnes x 40 heures = 880 heures= 880 heures

8 personnes x 40 heures 8 personnes x 40 heures = 320 heures = 320 heures

y y ≥ 100≥ 100

y y ≤ 250≤ 250

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥ 20≥ 20

x x ≤≤ 80 80

y y ≤ 440 – 4x≤ 440 – 4x

y y ≤ 1280 – 16x≤ 1280 – 16x

Isoler yIsoler y

y y ≥ 100≥ 100

y y ≤ 250≤ 250

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥ 20≥ 20

x x ≤≤ 80 80

y y ≤ 440 – 4x≤ 440 – 4x

y y ≤ 1280 – 16x≤ 1280 – 16x

Isoler yIsoler y

y y ≥ 100≥ 100

y y ≤ 250≤ 250

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x x ≥ 20≥ 20

x x ≤≤ 80 80

y y ≤ 440 – 4x≤ 440 – 4x

y y ≤ 1280 – 16x≤ 1280 – 16x

100100

1010


100100

1010

Polygone de contraintesPolygone de contraintes Coordonnées des sommetsCoordonnées des sommets

A :A : x = 20x = 20

y = 250y = 250A (20, 250)A (20, 250)

B :B : y = 250y = 250

y =y = 440 – 4x 440 – 4x

(1)

(2)

(1) = (2) :

250 = 440 – 4x250 = 440 – 4x

BB

CCAA

DDEE

47,5 = x47,5 = x

B (47,5 , 250)B (47,5 , 250)

C :C : y = 440 – 4xy = 440 – 4x

y =y = 1280 – 16x 1280 – 16x

(1)

(2)

(1) = (2) :

440 – 4x = 1280 – 16x440 – 4x = 1280 – 16x

12x = 84012x = 840

C (70, 160)C (70, 160)

x = 70x = 70 (3)

(3) dans (1) :

y = 440 – 4(70)y = 440 – 4(70)

y = 160y = 160

D :D : y = 1280 – 16xy = 1280 – 16x

y =y = 100 100

(1)

(2)

(1) = (2) :

1280 – 16x = 1001280 – 16x = 100

x = 73,75x = 73,75

D (73,75 , 100)D (73,75 , 100)

E :E : y = 100y = 100

x =x = 20 20E (20, 100)E (20, 100)


SommetsSommets P = 20x + 4yP = 20x + 4y ProfitsProfits

A (A (2020, , 250250))

B (B (47,547,5, , 250250))

C (C (7070, , 160160))

P = 20(P = 20(2020) + 4() + 4(250250))

P = 20(P = 20(47,547,5) + 4() + 4(250250))

P = 20(P = 20(7070) + 4() + 4(160160))

1400 $1400 $

1950 $1950 $

2040 $2040 $ MaximumMaximum

SolutionSolution

Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit vendre Pour réaliser un profit maximal, la compagnie doit vendre 7070 foulards foulards et et 160160 chandails. chandails.

D (D (73,7573,75, , 100100))

E (E (2020, , 100100))

P = 20(P = 20(73,7573,75) + 4() + 4(100100))

P = 20(P = 20(2020) + 4() + 4(100100))

1875 $1875 $

800 $800 $

Test formatif #1Test formatif #1

Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en train ou en autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, autobus. Cependant, la ville peut offrir un maximum de 30 transports par jour, dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de dont au plus 20 voyages en train par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus. voyages en train soit supérieur d’au moins 1 fois et demi ceux par autobus.

Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser autobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?ses revenus ?




Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en Dans une petite ville, on offre aux habitants 2 types de transport : en traintrain ou en ou en autobusautobus. Cependant, la ville peut offrir un . Cependant, la ville peut offrir un maximummaximum de de 30 30 transportstransports par jour, par jour, dont dont au plusau plus 2020 voyages en voyages en traintrain par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de par jour. De plus, elle souhaite que le nombre de voyages en voyages en traintrain soit soit supérieur d’au moinssupérieur d’au moins 1 fois et demi1 fois et demi ceux par ceux par autobusautobus. .

Comme elle tire des revenus de Comme elle tire des revenus de 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en 90$ par voyage en train et de 60$ par voyage en autobusautobus, combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser , combien de transport de chaque type doit-elle effectuer pour maximiser ses revenus ?ses revenus ?

x : Nombre de voyages en x : Nombre de voyages en traintrain par jour par jour

y : Nombre de voyages en y : Nombre de voyages en autobusautobus par jour par jour


R = 90x + 60yR = 90x + 60y


Isoler yIsoler y

33

22

Polygone de contraintesPolygone de contraintes ContraintesContraintes

x x ≤≤ 2020

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x + y x + y ≤≤ 3030

x x ≥≥ 1,51,5yy

x x ≤ 20≤ 20

y ≤y ≤ 30 – x 30 – x

y ≤y ≤ 2x2x

33

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

y ≤y ≤ 30 – x 30 – x

y ≤y ≤ 2x2x

33x x ≤ 20≤ 20





33

22



A :A : y = 2x / 3y = 2x / 3

x = 0x = 0A (0, 0)A (0, 0)

B :B : y = 2x / 3y = 2x / 3

y =y = 30 – x 30 – xB (18, 12)B (18, 12)

AA

BBCC

DD

(démarches incomplètes)

C :C : x = 20x = 20

y =y = 30 – x 30 – xC (20, 10)C (20, 10)

D :D : x = 20x = 20

y =y = 0 0D (20, 0)D (20, 0)






SommetsSommets R = 90x + 60yR = 90x + 60y RevenusRevenus

A (A (00, , 00))

B (B (1818, , 1212))

C (C (2020, , 1010))

R = 90(R = 90(00) + 60() + 60(00))

R = 90(R = 90(1818) + 60() + 60(1212))

R = 90(R = 90(2020) + 60() + 60(1010))

0 $0 $

2340 $2340 $

2400 $2400 $ MaximumMaximum

D (D (2020, , 00)) R = 90(R = 90(2020) + 60() + 60(00)) 1800 $1800 $

SolutionSolution

Pour maximiser ses revenus, la ville doit effectuer Pour maximiser ses revenus, la ville doit effectuer 2020 voyages en train voyages en train et et 1010 voyages en autobus. voyages en autobus.

Test formatif #2Test formatif #2

Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : à un maximum de 12 participants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure et coûte 16 $, et un cours avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête avancé, qui dure deux heures trente minutes et coûte 12 $. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour novices.cours pour novices.

Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il Si la municipalité souhaite maximiser ses revenus, combien de personnes faudrait-il accepter dans chacun des cours ?accepter dans chacun des cours ?




Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un à un maximummaximum de de 1212 participantsparticipants et participantes. Il y a deux types de cours offerts : et participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes un cours pour personnes débutantesdébutantes, qui dure , qui dure une heureune heure et coûte et coûte 16 $,16 $, et un cours et un cours avancéavancé, qui dure , qui dure deux heures trentedeux heures trente minutes et coûte minutes et coûte 12 $.12 $. La municipalité prête La municipalité prête l’équipement requis pour un l’équipement requis pour un maximummaximum de de 1818 heuresheures par semaine. Il a été établi que par semaine. Il a été établi que le nombre d’inscriptions au cours le nombre d’inscriptions au cours avancéavancé doit être doit être au plus égalau plus égal au au doubledouble de celui du de celui du cours pour cours pour novicesnovices..


x : Nombre d’inscriptions au cours x : Nombre d’inscriptions au cours débutantdébutant

y : Nombre d’inscriptions au cours y : Nombre d’inscriptions au cours avancéavancé


R = 16x + 12yR = 16x + 12y


Isoler yIsoler y

22

22



11x + x + 2,52,5y y ≤≤ 1818

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

x + y x + y ≤≤ 1212

y y ≤≤ 22xx

y y ≤ -0,4x + 7,2≤ -0,4x + 7,2

y ≤y ≤ 12 – x 12 – x

y ≤y ≤ 2x 2x

x x ≥ 0≥ 0

y y ≥ 0≥ 0

y ≤y ≤ 12 – x 12 – x

y ≤y ≤ 2x 2x

y y ≤ -0,4x + 7,2≤ -0,4x + 7,2





22

22



A :A : x = 0x = 0

y = 0y = 0A (0, 0)A (0, 0)

B :B : y = 2xy = 2x

y =y = -0,4x + 7,2 -0,4x + 7,2B (3, 6)B (3, 6)

(démarches incomplètes)

C :C : y = 12 – xy = 12 – x

y =y = -0,4x + 7,2 -0,4x + 7,2C (8, 4)C (8, 4)

D :D : y = 12 – xy = 12 – x

y =y = 0 0D (12, 0)D (12, 0)

AA

BB

CC

DD






SommetsSommets R = 16x + 12yR = 16x + 12y RevenusRevenus

A (A (00, , 00))

B (B (33, , 66))

C (C (88, , 44))

R = 16(R = 16(00) + 12() + 12(00))

R = 16(R = 16(33) + 12() + 12(66))

R = 16(R = 16(88) + 12() + 12(44))

0 $0 $

120 $120 $

176 $176 $

MaximumMaximumD (D (1212, , 00)) R = 16(R = 16(1212) + 12() + 12(00)) 192 $192 $

SolutionSolution

Pour maximiser ses revenus, il faut Pour maximiser ses revenus, il faut 1212 inscriptions au cours débutant et inscriptions au cours débutant et aucuneaucune inscription au cours avancé.inscription au cours avancé.

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