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ACT2025 - Cours 3

MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I

Troisième cours

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte

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Rappel:

• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte• Équivalence de taux

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Sur ce dernier point, nous avons vu que

Rappel:

où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectifd’intérêt et d, un taux effectif d’escompte.

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Exemple 1:

Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montanttotal de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deuxoffres:

1) soit qu’il paie 2400$ dans un an

2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deuxoptions est la plus avantageuse pour Alex?

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Exemple 1 (suite):

Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deuxoptions est la plus avantageuse pour Alex?

À quel taux d’escompte, les deux options sont équivalentes?

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Solution pour la première question:

Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payabledans un an est

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Solution pour la première question:

Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est

Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payabledans un an est

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Solution de la première question (suite):

Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plusavantageuse pour Alex.

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Solution pour la deuxième question:

Notons par d le taux d’escompte pour lequel les deux optionssont équivalentes. Alors nous avons

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Donc d = 9.9099099%.

Ceci est tout simplement la formule d’équivalence:

Solution pour la deuxième question:

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Cette dernière formule peut être interprétée de la façonsuivante:

Autres formules d’équivalence:

Nous avons

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Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période.Dans ce cas, sa valeur actuelle est

Explication de la formule:

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Nous avons vu que

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Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dansce cas, sa valeur actuelle est

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Nous avons

Capital investi au début de la période:

Explication de la formule: (suite)

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Nous avons


Capital accumulé à la fin de la période:


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Nous avons


Capital accumulé à la fin de la période:

Intérêt:


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Nous avons que

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Considérons deux prêts.

Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par leversement de (1 + i) dollar dans un an.

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Considérons deux prêts.

Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par leversement de (1 + i) dollar dans un an.

Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollardans un an et l’emprunteur recoit initialement (1 - d) dollar.

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La différence des montants prêtés est d

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L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

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L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id

Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêtdes deux prêts: i - d

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Il y a ainsi quatre formules à retenir:

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Escompte composé: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le taux effectifd’escompte est le même pour chaque période. Si nous notonsle taux d’escompte composé par d, alors nous pouvonscalculer la fonction d’actualisation

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Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)

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Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2

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Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2

En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, ilfaut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - d)2

dollars au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans une situation d’escompte composé:

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans une situation d’escompte composé:

et nous sommes en mesure de calculer la fonction decapitalisation:

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L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé.L’équivalence est obtenue par la formule:

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Escompte simple: (Description)

Dans cette situation, nous supposons que le montantd’escompte est le même pour chaque période. Si nous notonsle taux d’escompte simple par d, alors nous pouvons calculerla fonction d’actualisation.

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Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)

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Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)

En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, ilfaut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - 2d)dollars au début de la 1ère période.

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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans l’escompte simple:

Noter que nous devons supposer

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Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction decapitalisation:

L’escompte simple n’est pas équivalentà l’intérêt simple!

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En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt i telque

Le terme de droite de l’équation ci-dessus est une fonctionlinéaire, alors que le terme de gauche ne l’est pas.

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Exemple 2:

Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est4.75% par année.

Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des5 ans?

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Exemple 2: (suite)

Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payabledans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nousobtenons

4000(1 - 0.0475)5 = 3136.06 $

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Exemple 2: (suite)

c’est-à-dire que le taux d’intérêt équivalent est4.9868766%. Nous obtenons alors une autre approche.

Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composééquivalent au taux d’escompte 4.75% par année

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Exemple 2: (suite)

Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans5 ans au taux d’intérêt composé de 4.9868766% par année.Nous obtenons que Alex reçoit

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Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Ellerecoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt enversant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple dece prêt est 5% par année.

Quel est le montant remboursé L?

Exemple 3:

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Exemple 3: (suite)

Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeurest

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Comparaison:

Si nous comparons les fonctions d’actualisation dans les casde l’escompte simple et de l’escompte composé pour lemême taux d, nous obtenons le graphique suivant:

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ACT2025 - Cours 3 ACT2025 - Cours 3

Nous avons que

et

ACT2025 - Cours 3 ACT2025 - Cours 3

Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’uneseule fois par période. Il existe un autre type de

taux tant pour l’intérêt que l’escompte:le taux nominal

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Exemple 4:

Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il estindiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances):18.50% par année et 0.05068% par jour.

Comment interpréter ce taux de 18.50% par année?

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Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons lemontant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année,nous aurons

(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402

Exemple 4: (suite)

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Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons lemontant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année,nous aurons

(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402

Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuelde 20.3140402% par année et non au taux de 18.50% parannée.

Exemple 4: (suite)

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La raison est que le 18.50% est un taux nominal d’intérêt.Nous avons ici que

Exemple 4: (suite)

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Taux nominal d’intérêt:

Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) etque le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de périodeest

alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m)

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Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période decapitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

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Exemple 5:

Un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8%par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire i(4) = 8%par année.

Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montantdoit-il investir?

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Le taux d’intérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de

Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et l’intérêt seracapitalisé 20 fois

Exemple 5: (solution)

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Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payableaprès 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt estde 2%:

10000(1 + 0.02)-20 = 6729.71 $

Exemple 5: (solution)

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Équivalence de taux:

Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeuraccumulée au taux nominal d’intérêt i(m) par annéecapitalisé m fois par année, nous obtenons

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L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au tauxd’intérêt par m-ième de période égal à

Équivalence de taux: (suite)

et la valeur accumulée est

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Si le taux effectif d’intérêt i est équivalent au taux nominald’intérêt i(m), alors


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Donc

et


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Exemple 6:

Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré autaux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisémensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la finde la 2e année?

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominali(12) = 9%, i.e. que le taux d’intérêt par mois est

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisationest

24 = 12 x 2parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital estinvesti pour 2 années.

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Exemple 6: (suite)

Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisationest

24 = 12 x 2parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital estinvesti pour 2 années.

La valeur accumulée sera 2500(1 + 0.0075)24 = 2991.03 $

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Taux nominal d’escompte:

Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) etque le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes depériode est

alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m)

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Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dansun an au taux nominal d’escompte d(m), alors nous obtenons

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Équivalence de taux:

Supposons que les taux suivants sont équivalents

Taux effectif d’intérêt: i

Taux nominal d’intérêt: i(m)

Taux effectif d’escompte: d

Taux nominal d’escompte: d(p)

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En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin del’année, nous obtenons

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En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin del’année, nous obtenons

En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$pendant une année, nous obtenons

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L’équivalence de taux est obtenue par les formuleséquivalentes

et

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