ACT2025 - Cours 9

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Neuvième cours

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Rappel:

• Annuité différée

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Rappel:

• Annuité différée

• Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes

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Rappel:

• Annuité différée

• Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes

• Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement

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Rappel:

• Annuité différée

• Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes

• Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement

• Valeur d’une annuité au me paiement

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Rappel:

• Annuité différée

• Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes

• Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement

• Valeur d’une annuité au me paiement

• Rente perpétuelle

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Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m

périodes:

Rappel:

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Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m

périodes:

Rappel:

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Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement:

Rappel:

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Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement:

Rappel:

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Valeur d’une annuité au me paiement:

Rappel:

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Valeur d’une annuité au me paiement:

Rappel:

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Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de fin de période

Rappel:

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Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de fin de période

Rappel:

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Cicéron a laissé en héritage 400 000$ placé dans un fonds de placement rémunéré au taux effectif d’intérêt de 6.75% par année. Dans ses dernières volontés, il a exprimé le souhait que son organisme de charité favori: « la Société pour l’amélioration du discours » recoive une rente perpétuelle consistant en des paiements de X dollars à tous les ans pour toujours, le premier paiement débutant un an après sa mort.

Déterminer X.

Exemple 1:

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 1: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison : le début de la première année est

X/(0.0675) = 400 000

Nous obtenons ainsi que X = 27 000$ par année.

Exemple 1: (suite)

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Nous allons maintenant considérer une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais et ceux-ci sont faits au début de chaque période.

Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement.

Rente perpétuelle de début de période :

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Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle de début de période par

Notation:

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Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

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Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que

où d est le taux d’escompte équivalent au taux d’intérêt i

Valeur actuelle:

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En effet,

De cette dernière formule, nous obtenons le résultat.

Valeur actuelle: (suite)

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où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1.

Interprétation de la formule:

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Nous avons

Interprétation (suite):

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Interprétation (suite)

est donc égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de

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Notons que ce dernier paiement

est approximativement égal à k dollars.

Interprétation (suite)

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où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1.

Interprétation de la formule:

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Nous avons

Interprétation (suite):

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Interprétation (suite)

est donc égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

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Les notions précédentes sont utiles afin de déterminer le nombre de paiements d’une annuité lorsque nous connaissons le taux d’intérêt, les versements de l’annuité et soit sa valeur

actuelle, soit sa valeur accumulée.

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Par exemple il n’existe pas nécessairement un entier n qui permette de résoudre l’équation

dans laquelle P, R et i sont donnés.

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Cependant il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre l’équation

dans laquelle P, R et i sont donnés.

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En effet, nous obtenons

où est le taux instantané constant de l’intérêt équivalent au taux d’intérêt i

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Un capital de 125 000$ doit être utilisé pour faire des paiements de 1 000$ à tous les mois. Ce placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt i(12) = 9% par année capitalisé à tous les mois et les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Le premier paiement est fait à la fin du premier mois.

Combien de paiements peut-on faire?

Exemple 2:

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Le taux d’intérêt par mois est

Exemple 2: (suite)

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Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

Exemple 2: (suite)

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Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

Exemple 2: (suite)

La solution de cette équation est n + k = 371.0630643 mois. Ici n = 371 et k = 0.0630643

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Cette solution signifie que nous pourrons faire un paiement de 1000$ à la fin de chaque mois pendant 371 mois et un dernier paiement fait 0.0630643 mois (approximativement 2 jours) après le dernier paiement de 1000$ et ce dernier

paiement sera au montant de

Exemple 2: (suite)

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L’exemple précédent illustre une des difficultés lorsque ceci a à être mis en application. L’idée de faire un paiement de 62.84$ environ 2 jours après le dernier paiement de 1000$ n’est pas très pratique. La solution est plutôt de gonfler le dernier paiement ou encore de faire un paiement réduit à la fin du mois suivant.

Remarque 1:

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Nous allons illustrer ceci dans l’exemple 2. La solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons ainsi 370 paiements de 1000$ et un dernier paiement de X dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer X.

Exemple 3:

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

Exemple 3: (suite)

Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X = 1062.81$ et est fait à la fin du 371e mois.

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Nous allons illustrer l’autre solution, celle du dernier paiement réduit dans l’exemple 2. Nous ferons ainsi 371 paiements de 1000$ et un dernier paiement de Y dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer Y.

Exemple 3: (suite)

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Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

Exemple 3: (suite)

Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y = 63.28$ et est fait à la fin du 372e mois.

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Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de paiements dans le cas de la valeur actuelle peut aussi être utilisé pour le

calcul du nombre de paiements dans le cas de la valeur accumulée.

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Ainsi il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre l’équation

dans laquelle A, R et i sont donnés.

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En effet, nous obtenons

où est le taux instantané constant de l’intérêt équivalent au taux d’intérêt i

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Anatole veut accumuler un capital de 40 000$ en faisant des versements de 800$ à toutes les semaines dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i(52) = 5% par année capitalisé à toutes les semaines.

Combien de versements doit-il faire?

Exemple 4:

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Le taux d’intérêt par semaine est

Exemple 4: (suite)

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Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

Exemple 4: (suite)

ACT2025 - Cours 9

Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

Exemple 4: (suite)

La solution de cette équation est n + k = 48.85873717 semaines. Ici n = 48 et k = 0. 85873717.

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Cette solution signifie que Anatole fera un versement de 800$ à la fin de chaque semaine pendant 48 semaines et un dernier versement fait à 0. 85873717 semaine (approximativement 6 jours) après le dernier versement de 800$ et ce dernier versement sera au montant de

Le montant accumulé lors de ce dernier versement sera alors de 40 000$.

Exemple 4: (suite)

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Si nous considérons plutôt la situation d’un dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48 versements: les 47 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de X dollars fait à la fin de la 48e semaine. Le diagramme de ce flux est

Exemple 4: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est:

Exemple 4: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est:

Exemple 4: (suite)

Nous obtenons ainsi que le dernier versement est X = 1519.38$ et est fait à la fin de la 48e semaine.

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Si nous considérons plutôt la situation d’un dernier versement réduit, alors Anatole fera 49 versements: les 48 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de Y dollars fait à la fin de la 49e semaine. Le diagramme de ce flux est

Exemple 4: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est:

Exemple 4: (suite)

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L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est:

Exemple 4: (suite)

Nous obtenons ainsi que le dernier versement est Y = 681.61$ et est fait à la fin de la 49e semaine.