Mastére : Simulation d'écoulement cavitant

Université de Tunis El Manar

ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE TUNIS

Simulation d’écoulement

cavitant

Laboratoire de Modélisation Hydraulique et Environnement

Spécialité

Modélisation en Hydraulique et Environnement Option

Fluide et procédé environnementale

Elaboré par : Mr Hatem KANFOUDI Encadré par : Mr Ridha ZGOLLI

2007/2008

iii

Résumée

La présente étude est réalisée au sein laboratoire de modélisation

hydraulique et environnement de l’ENIT, dans le cas d’une mastère de

recherche. Le thème s’intitule simulation d’écoulement cavitant, dans la quelle

on présente le phénomène de la cavitation, son apparition, son évolution ainsi

ses conséquences tout en se basant sur une bibliographie enrichissante.

De ce fait, on tend de présenter les modèles permettant sa modélisation, et

les classifiés en fonction de leur type, la disponibilité des outils et le cas d’étude.

Enfin, on choisit un cas d’étude pour la simulation et comparé ses résultats avec

les mesures expérimentales et jugé sur le modèle opté.

L’écoulement cavitant se manifeste dans tous les systèmes hydrauliques,

ainsi il peut engendrer des dégâts très importants des matériaux d’une part,

d’autre par il peut être exploité dans des fins de développement et d’économie.

La prédiction de l'érosion du à la cavitation est un problème complexe qui a

naturellement conduit les chercheurs dans les domaines de l'hydrodynamique.

Mots-clefs

Cavitation, caractérisation, écoulement diphasique, modélisation, nucléation,

évaporation et condensation, dimensionnement de cavité, calcul numérique.

iv

Abstract

The present study is carried within hydraulic laboratory of modeling and

environment of the ENIT, in the case of a master of research. The topic is

entitled simulation of surging flow in which the phenomenon of cavitation is

presented, its appearance, its evolution thus its consequence all while being

based on an enriching bibliography.

So one tends to pass the models allowing his modeling, and classified

according to their type, the availability of the tools and the case of study. Lastly,

one chooses a case of study for simulation and compared his results with

experimental measurements and judged on the chosen model.

The surging flow appears in all the hydraulic systems, thus it can generate

very significant damage of materials on the one hand, of other by it can be

exploited in ends of development and economy.

The prediction of the erosion of to cavitation is a complex problem which

naturally led the researchers in the fields of the hydrodynamics.

Keywords

Cavitation, characterization, diphasic flow, modeling, nucleation, evaporation

and condensation, dimensioning of cavity, numerical calculation.

v

Remerciement

n premier lieu, je souhaite adresser mes remerciements les plus chaleureux

à Monsieur Ridha ZGOLLI qui m’a encadré, au jour le jour, avec une

grande disponibilité, tout au long de cette mémoire réalisée à l’ENIT. Sa

sympathie, son enthousiasme et ses encouragements m’ont été infiniment

précieux au cours de cette année.

Mes remerciements vont également à Zohaier HAFSIA qui m’a apporté son

expertise scientifique concernant le code industriel PHOENICS.

Merci à l’équipe de laboratoire de modélisation hydraulique et environnement,

ainsi que tous les enseignants de cette filière.

Je tiens aussi à remercier la direction du laboratoire et les personnels

administratifs qui ont contribué aussi à leur façon à ce travail.

E

vi

Sommaire

Résumée.......................................................................................................................................................... iii

Abstract .......................................................................................................................................................... iv

Remerciement ................................................................................................................................................... v

Sommaire........................................................................................................................................................ vi

Liste des Figures .......................................................................................................................................... viii

Liste des Tableaux ........................................................................................................................................ viii

Introduction générale .................................................................................................................................... 1

Chapitre I : Cavitation et modelisation ................................................................................................ 2

I.1 Introduction .................................................................................................................................................. 2

I.2 Description .................................................................................................................................................... 2

I.3 Causes d’apparition de la cavitation ......................................................................................................... 3

I.4 Conséquences ............................................................................................................................................... 4

I.5 Paramètres caractérisant la cavitation ....................................................................................................... 6

I.6 Similitude de la cavitation et les effets des échelles ............................................................................... 8

I.7 Qualité du liquide (Nucléation) ............................................................................................................... 10

I.7.1 Nucléation homogène..................................................................................................................... 12

I.7.2 Nucléation hétérogène .................................................................................................................... 13

I.8 Mise en équations ...................................................................................................................................... 14

I.8.1 Modèle à deux phases séparées ...................................................................................................... 14

I.8.2 Modèle à mélange homogène ......................................................................................................... 14

I.8.3 Modèle approuvé (Mélange homogène) ........................................................................................ 15

I.8.3.1 Les équations du mélange ................................................................................................. 16

I.8.3.2 Densité .............................................................................................................................. 16

I.8.3.3 Viscosité............................................................................................................................ 16

I.8.3.4 Equations de conservations dE mélange ........................................................................... 16

I.8.3.5 Modèle de fermeture ......................................................................................................... 17

I.9 Conclusion .................................................................................................................................................. 18

Chapitre II : Mise en équations et résolutions ..................................................................................... 19

II.1 Introduction ................................................................................................................................................ 19

II.2 Equation d’état ........................................................................................................................................... 19

II.3 Equation de transport ................................................................................................................................ 20

II.3.1 Les modèles des termes sources............................................................................................. 21

II.3.1.1 Modèles des termes sources avec une équation ................................................................ 21

II.3.1.1.1 Modèle de CHEN et HEISTER (1995)........................................................................ 21

II.3.1.1.2 Modèle d’ALAJBEGOVIC et al. (1999) ..................................................................... 21

II.3.1.1.3 Modèle de YUAN et al. (2001) ................................................................................... 22

II.3.1.2 Modèles des termes sources avec deux équations ............................................................ 23

II.3.1.2.1 Modèle de KUNZ et al. (2000) .................................................................................... 23

II.3.1.2.2 Modèle d’AHUJA et al. (2001) ................................................................................... 23

II.3.1.2.3 Modèle de SINGHAL et al. (2002) ............................................................................. 24

II.3.2 Comparaison des modèles de terme source ........................................................................... 24

II.4 Equation de RAYLEIGH-PLESSET ...................................................................................................... 26

II.4.1 Modèle de CHEN et HEISTER (1996) .................................................................................. 29

II.4.2 Modèle de KUBOTA et al. (1990), GIANNADAKIS et al. (2004) ...................................... 29

vii

II.5 Choix du terme source approprié............................................................................................................. 30

II.6 Etablissement du Modèle .......................................................................................................................... 31

II.7 Conclusion .................................................................................................................................................. 34

Chapitre III : Etude de cas ..................................................................................................................... 35

III.1 Introduction ................................................................................................................................................ 35

III.2 Présentation du code .................................................................................................................................. 35

III.2.1 Méthode numérique ............................................................................................................... 35

III.2.2 PHOENICS ............................................................................................................................ 36

III.3 Cas d’étude ................................................................................................................................................. 38

III.3.1 Maillage ................................................................................................................................. 38

III.3.2 Conditions aux limites ........................................................................................................... 41

III.3.3 Parois ..................................................................................................................................... 42

III.3.4 Plan de symétrie ..................................................................................................................... 42

III.3.5 Fraction massique .................................................................................................................. 42

III.3.6 Procédure de calcule .............................................................................................................. 43

III.4 Etude de l’hydrodynamique ..................................................................................................................... 44

III.4.1 Pression .................................................................................................................................. 44

III.4.2 Vitesse .................................................................................................................................... 45

III.4.3 Modèle de turbulence ............................................................................................................. 45

III.5 Etude de la cavitation ................................................................................................................................ 47

III.5.1 Effet de la fraction initial ....................................................................................................... 47

III.5.2 Effet de la densité des bulles .................................................................................................. 48

III.5.3 Comparaison .......................................................................................................................... 48

III.5.4 Conclusion ............................................................................................................................. 49

Conclusion générale .................................................................................................................................... 50

Références Bibliographiques ......................................................................................................................... 52

Annexe .......................................................................................................................................................... 55

Index .............................................................................................................................................................. 62

viii

Liste des Figures

Figure 1 : Diagramme des phases de l'eau pur. ............................................................................................... 2

Figure 2 : Manifestation de la cavitation. ........................................................................................................ 3

Figure 3 : Fluctuation de la pression lors de l’implosion d’une bulle. (BRENNEN, et al., 1995) .................. 4

Figure 4 : Conséquence de la cavitation. (WIKIPEDIA, 2008) ...................................................................... 4

Figure 5 : Dommage de cavitation sur la lame d’une pompe. (BRENNEN, et al., 1995).............................. 5

Figure 6 : Processus de sonoluminescence de gauche à droite (ANSWERS, 2008) ...................................... 5

Figure 7 : Hydrofoil (BRENNEN, et al., 1995) .............................................................................................. 6

Figure 8 : Tube de Venturi .............................................................................................................................. 7

Figure 9 : Classification de la cavitation en fonction de CN, Lcav : taille de la poche de vapeur. .................. 7

Figure 10 : Cavitation sur un injecteur de dimension réelle (a) de ф = 0.176 mm et cavitation sur un

injecteur (b) de dimension 20 fois l’injecteur (a), pour CN = 5.5 et Re= 12600.

(ARCOUMANIS, et al., 2000) ..................................................................................................... 9

Figure 11 : Nucléation dans les boissons gazeuses (ANSWERS, 2008) ...................................................... 11

Figure 12 : Répartition des pressions sur une bulle....................................................................................... 12

Figure 13 : Différent type de cavitation ( à gauche nucléation hétérogène et ............................................... 13

Figure 14 : Taux d’évaporation et de condensation en fonction de fraction volumique α pour les différents

modèles de termes source avec u∞=100 m/s, échelle de longueur l∞1mm et 𝚷 = 𝟏 . ............... 25

Figure 15 : Croissance et effondrement d’une bulle sphérique. .................................................................... 27

Figure 16 : Confrontation des fonctions de fraction volumique.................................................................... 31

Figure 17 : Cellule de contrôle, f face de la cellule, uf : vitesse, Af surface de la face f, nf normale de f ; P et

F centre des cellules ; Vp volume de la cellule. ........................................................................... 37

Figure 18 : Injecteur de type sac (BAUER, et al., 1999) ; (ROOSEN, et al., 1996) ..................................... 38

Figure 19 : Géométrie de l’injecteur. ............................................................................................................ 41

Figure 20 : Champ de pression. ..................................................................................................................... 44

Figure 21 : Profile de pression pour Y= 10-4

mm .......................................................................................... 44

Figure 22 : Champ de vitesse. ....................................................................................................................... 45

Figure 23 : Comparaison des modèles de turbulence. ................................................................................... 46

Figure 24 : Comparaison des fractions initiaux, (a) f0 =10-5

, (b). f0 =10-6

, (c) f0 =10-7

.................................. 47

Figure 25 : Comparaison des densités des bulles, (a) n =9.4 1013

(m-3

), (b). n =1.3 1014

(m-3

), ..................... 48

Liste des Tableaux

Tableau 1 : Équations de conservations ........................................................................................................ 17

Tableau 2 : Modèles de cavitation ................................................................................................................. 18

Tableau 3 : Equations d’état pour le domaine diphasique utilisées dans les modèles du mélange ............... 19

Tableau 4 : Structure du maillage ................................................................................................................. 40

Tableau 5 : Paramètres de cavitation pour modèle de ROOSEN, et al. 1996. .............................................. 49

Tableau 6 : Comparaison des données simulées et expérimentaux ............................................................... 49

Introduction générale

1

Simulation d’écoulement cavitant

Introduction générale

L’objectif de cette étude est la modélisation d’écoulement cavitant, autrement dit

l’étude de la cavitation, nous traiterons le cas d’un injecteur de type sac.

L’écoulement cavitant se manifeste dans tous les systèmes hydrauliques, ainsi il peut

engendrer des dégâts très importants des matériaux. Ce genre d'écoulements apparaît

dans un nombre incalculable de situations physiques : écoulements pétroliers,

écoulements intervenant dans l'industrie nucléaire, les moteurs de véhicules

automobiles, d'avions ou de fusées, les explosions, la chimie, etc…. Le développement

d'une poche de cavitation partielle attachée à l'entrée de l'aubage d'une turbomachine

hydraulique est souvent à l'origine d'une érosion sévère qui peut conduire à l'arrêt

prématuré de la machine avec des conséquences économiques considérables.

Les implosions répétées de ces poches dans la zone de recompression génèrent

localement des surpressions intenses qui sont à l'origine de l'arrachement de la matière.

Contenu de ce travail

Ce travail comporte trois chapitres décomposés comme suit :

Le chapitre 1, «Cavitation et modélisation », décrit l’aspect physique lié à l’apparition

du phénomène de cavitation, ainsi que ses conséquences et son évolution. Il présente

aussi les principaux paramètres caractéristiques de la cavitation et les différents

modèles et concepts.

Le chapitre 2, «Mise en équations et résolutions», traitera un modèle de fermeture des

équations du mélange, qui est l’équation de transport de fraction volumique de la

phase vapeur. On présentera les modèles de termes sources de cette équation, enfin on

applique un modèle de terme source qui celui de YUAN, et al. ( 2001).

Le chapitre 3, « Cas d’étude», on essayera de présenter les résultats des simulations

des écoulements cavitants pour un cas d’étude, injecteur de type sac, et le confronté

avec les résultats expérimentales.

Chapitre I : Cavitation et modélisation

2


CHAPITRE I : CAVITATION ET MODELISATION

I.1 Introduction

Ce chapitre sera la clef de cette étude, il introduit et décrit le phénomène de la cavitation. De

plus il présente les concepts et les modèles de sa modélisation.

I.2 Description

La cavitation est un phénomène qui se manifeste dans les écoulements des fluides et

généralement attribuée à l’apparition des poches de vapeur ou gaz, provoquée par

l'abaissement de la pression sans apport de chaleur (voir figure n°1). Cette chute de pression

conduisant à l’évaporation de liquide, est souvent suivie, au sein du même écoulement, de

retour à l’augmentation de la pression, ce qui va engendrer l’implosion de la bulle et donc

l’enclenchement de la phase de condensation.

Le diagramme d’état présenté par la figure n°1

illustre les différentes phases de l'eau pure ; la courbe

reliant le point triple Tr au point critique C sépare

l’état liquide de l’état vapeur.

La résistance à la traction d'un liquide dépend de la

présence des petites particules, qui forment les

nucléations (voir section I.7). Puisque la densité de la

phase de vapeur est habituellement beaucoup plus

petite que la densité de liquide, la quantité de la

chaleur consommée localement pour l'évaporation

peut être négligée de sorte que la cavitation puisse

être considérée isothermique (voir figure n°1).

Dans un sens plus général une cavitation est un processus de formation et également de

conséquence d'effondrement (implosion) des bulles dans un liquide sous une diminution de la

pression local. (KNAPP, et al., 1970)

Figure 1 : Diagramme des phases de l'eau pur.


3


La cavitation est un phénomène hydrodynamique, qui peut apparaître dès que le liquide se

déplace au dessus d'une vitesse critique. Lorsqu' un fluide est en mouvement est rencontre un

obstacle, il doit le contourner, ce contournement s'accompagne d'une accélération du fluide

donc engendrement d'une dépression, dans cette zone au cœur du fluide vont se développer

des structures de vapeurs qui vont grossir, c'est le phénomène de cavitation. En quittant la

zone de dépression ces structures vont s'effondre sur elles mêmes vont imploser,

schématiquement cette implosion provoquent des conséquences néfastes à savoir le bruit en

premier lieu, les vibrations et lorsqu'elle se produit prés de la paroi on aura érosion de ce

dernier.

I.3 Causes d’apparition de la cavitation

Les situations typiques dans lesquelles la cavitation peut se manifester sont classées selon les

causes :

La géométrie du domaine peut provoquer

une augmentation de la vitesse ainsi une

chute de la pression local ceci se résulte

dans un écoulement permanent (voir

figure n°2). C’est le cas d'une restriction

dans la section des conduites (tube de

venturi, injecteur…), ou en raison de la

courbure imposée aux lignes profilées

d'écoulement par la géométrie locale

(courbures dans l'écoulement dans une

conduite, aux côtés supérieurs des aubes

dans les propulseurs et aux pompes).

(JEAN-PIERRE, et al., 2005)

La cavitation peut également se produire dans des écoulements de cisaillement dus à

de grandes fluctuations turbulentes de la pression (injecteur, sillages...). (JEAN-

PIERRE, et al., 2005)

Le régime transitoire dans les circuits et systèmes hydrauliques (coup de bélier) peut

avoir comme conséquence une accélération de la vitesse du liquide ce qui a pour effet

la production instantanée de basses pressions à quelques points dans l'écoulement

conduisant à l’apparition de la cavitation. (JEAN-PIERRE, et al., 2005)

Figure 2 : Manifestation de la cavitation.

(BRENNEN, 1994)


4


Comme conséquence du mouvement

vibratoire des parois (par exemple

refroidissement de liquide des moteurs

diesel) la création des champs

d'oscillation de la pression. Si l'amplitude

d'oscillation est assez grande, la

cavitation peut apparaître quand

l'oscillation est négative (pression locale

au dessous de la pression de vapeur

saturante)( voir figure n°3). (JEAN-

PIERRE, et al., 2005)

I.4 Conséquences

Quelle qu'en soit son origine, la cavitation a deux principales conséquences :

Les bulles de vapeur changent

complètement le comportement

hydrodynamique. La cavitation détruit

le rendement de l'hélice ou de la

pompe. L'énergie n'est plus transformé

en mouvement (par exemple), mais elle

reste dans l'engin (moteur, propulseur),

soit elle est diffusé sous forme

incontrôlé et donc probablement

nuisible (voir figure n°4) ;

(WIKIPEDIA, 2008)

Le plus souvent la bulle de vapeur est transitoire : son apparition élimine

instantanément les conditions (dépression) qui lui ont donnée naissance. Il se produit

donc une implosion de la bulle. Cette dernière peut–être si violente que la pression et

la température, à l'intérieur de la bulle peuvent atteindre des valeurs très élevées

(plusieurs milliers de bars, plusieurs milliers de Kelvin). En implosant, la bulle peut

émettre une onde de choc dans le liquide, qui permet de casser des gouttes

(émulsification), ou briser des particules solides, ou encore de nettoyer ou éroder des

surfaces solides. (WIKIPEDIA, 2008)

Figure 3 : Fluctuation de la pression lors de

l’implosion d’une bulle. (BRENNEN, et al., 1995)

Figure 4 : Conséquence de la cavitation.

(WIKIPEDIA, 2008)

Pre

ssio

n (

kPa)

Temps (µs)


5


C'est pourquoi le contrôle du phénomène de la

cavitation est essentiel en hydrodynamique, il

représente une limite, à cause de la perte du

rendement voir la destruction (des hélices, des

turbines) (voir figure n°4 et figure n°5). Pour la

plupart des concepteurs des machines hydrauliques,

la cavitation est un problème prépondérant.

Fréquemment, on commencera son étude afin de

l’éliminer.

La bonne compréhension du phénomène peut permettre de l'exploiter. De plus la densité

d'énergie ainsi atteint dans certaines bulles donne lieu à des réactions chimiques

inhabituellement, ce qu'on l'appelle "Sonochimie", et même dans certains cas l'émission de

lumière, phénomène sonoluminescence1 (voir figure n°6).

Cependant, la cavitation est également utilisée dans quelques processus industriels pour

concentrer l'énergie sur de petites surfaces. À ces fins, des dispositifs ultrasoniques sont

souvent utilisés.

Les exemples de telles applications positives incluent :

Le nettoyage des surfaces par des ultrasons ou avec les gicleurs cavitants,

La dispersion des particules dans un milieu liquide,

La production des émulsions,

La limitation des débits dans des écoulements confinés dus au développement de

super-cavitation (voir section I.5).

1 La sonoluminescence est le phénomène par lequel des photons sont émis par des bulles de gaz.

Figure 5 : Dommage de cavitation sur la

lame d’une pompe. (BRENNEN, et al., 1995)

Figure 6 : Processus de sonoluminescence de gauche à droite (ANSWERS, 2008)

moulin://encyclopedia/fr/Photon

moulin://encyclopedia/fr/Gaz


6


I.5 Paramètres caractérisant la cavitation

Pour prévoir ce phénomène, on introduit les paramètres de cavitation suivant :

Net Positive Suction head : (NPSH) est le supplément minimal de pression qu’il faut

ajouter à la pression de vapeur saturante Pv, au niveau de l’entrée de la pompe, pour

que la pression à l’intérieur de celle-ci ne puisse être inférieure à Pv. Le NPSH est

défini par la relation suivante :

Indice de cavitation : (CI) est appliqué pour identifier les conditions d'écoulement,

lorsque la cavitation commence, cet indice permet d'établir la frontière entre

l'écoulement cavitant et non cavitant. C’est une caractérise de l’écoulement et du

liquide, il permet de déterminer quand la cavitation commencera ;

Nombre de cavitation : (CN) il peut être défini comme étant paramètre décrivant la

nature de l'écoulement. Il est considéré comme paramètre interne de l'écoulement, qui

relit la chute de pression aux pressions statiques locales.

Un nombre critique peut marquer le commencement de la cavitation et permet la

classification des écoulements en tant que cavitant ou non cavitant.

Des diverses définitions du nombre de la cavitation ont été appliquées. Ainsi, la formulation

du CN dépend du domaine d’étude :

Cas d’une pompe

Cas d’un hydrofoil (voir figure n°7)

g

P

g

PNPSH va

avec

Pa : Pression à l’aspiration;

ρ, g : densité de fluide et gravité. (I-1)

2

p

va

V

PPCN

avec Pa : Pression à l’aspiration;

Vp : Vitesse de la roue.

2

0

2

1U

PghPCN v

avec

P0 : Pression à la surface;

U,h : Vitesse de l’écoulement et profondeur d’immersion. Figure 7 : Hydrofoil

(BRENNEN, et al., 1995)

(I-2)

(I-3)


7


La présente étude emploie la définition de BERGWERK, 1959 et appliqué par NURICK,

1976 et SOTERIOU, et al., 1995 :

Les études expérimentales de la cavitation réalisée au niveau des orifices et les injecteurs ont

révélé qu'il existe un rapport entre le nombre de cavitation CN et la région de la cavitation,

ceci à pour conséquence la classification des régimes d'écoulement de la cavitation (SATO,

2001) (STINEBRING, et al., 2001) :

Sous-cavitation (CN < 2.0) ;

Transition (2.0 <CN <4.0) ;

Super-cavitation (CN >4.0).

La sous-cavitation, corresponde à une poche de vapeur de taille petite, alors que la super-

cavitation la taille de la poche est importante, elle permet dans certain cas l’atomisation totale

de la phase liquide. La super-cavitation est la résultante d’une chute de pression importante

entre la pression à l’amont P1 et la pression à l’aval P2.

La figure traduit ces différents paramètres de la cavitation :

P1, P2 : Pression à l’amont et à l’aval (voir figure n°8);

Pv : Pression de vapeur saturante.

vPP

PPCN

2

21 avec (I-4)

Figure 9 : Classification de la cavitation en fonction de CN, Lcav :

taille de la poche de vapeur.

écoulement

Figure 8 : Tube de Venturi


8


I.6 Similitude de la cavitation et les effets des échelles

Lorsque le domaine d’étude est de taille petite, on aura un problème de visualisation de la

cavitation, ceci exige l'application de méthodes spéciales. Pour surmonter ceci, des mesures

théoriques sont appliquées, de sorte que de plus grands modèles puissent être employés. Les

résultats de ces expériences à grande échelle seront alors extrapolés afin de se rapprocher des

mesures réelles du domaine étudié. Ces mesures théoriques sont reconnues sous le nom de

similitude.

Les paramètres suivants s’avèrent significatifs dans la description de l’écoulement cavitant :

les densités et les coefficients de viscosité dynamique des phases liquide et vapeur ρl, ρv, µl et

µv, coefficient de la tension superficielle σ, célérité du son dans le liquide c, échelle de

longueur de l’écoulement l∞, pressions à l’amont et à l’aval P1 et P2 et l’échelle de vitesse de

l'écoulement v∞ (LECOFFRE, 1999). L’application de l’analyse adimensionnelle

(BATCHELOR, 1980) a induit aux groupes sans dimensions suivants :

Nombre de cavitation, pour décrire l'intensité de la cavitation :

Nombre de Reynolds, pour décrire les effets visqueux sur l'écoulement :

Nombre de Weber, pour décrire l'effet de la tension superficielle :

Nombre de Froude, pour décrire l'effet de la force de pesanteur :

Nombre de Mach, pour décrire l'effet de compressibilité :

vPP

PPCN

2

21

l

l

v

Re

2vlWe

g

Frv

cM

v

(I-4)

(I-5)

(I-6)

(I-7)

(I-8)


9


Coefficient de décharge, pour décrire l'effet de la dissipation visqueuse :

Nombre de Strouhal, pour décrire l’instationnarité de l'écoulement, quand il peut être

caractérisé par mouvement périodique de fréquence normale F :

En ajoutant les rapports : ρl/ρv et µl/µv aux groupes adimensionnels, on aura l’équation de

similitude suivante :

Cette formulation décrit la similitude hydrodynamique et néglige l'échelle thermique dans

l'écoulement, toute en incluaient la géométrie et la structure diphasique.

)(2

v

21

2

PPCd l

v

FStr

0,/,/,,,,,Re,, vlvlStrCdMFrWeCNf

(I-9)

(I-10)

(I-11)

Sens d’écoulement

Poche de cavitation Poche de cavitation

a

b

Figure 10 : Cavitation sur un injecteur de dimension réelle (a) de ф = 0.176 mm et cavitation sur un

injecteur (b) de dimension 20 fois l’injecteur (a), pour CN = 5.5 et Re= 12600. (ARCOUMANIS, et al.,

2000)


10


Lorsque la vitesse de l’écoulement est élevée, le privilège est au force d’inertie, les termes We

et Fr sont négligés dans l‘équation (I-11). Les études expérimentales des écoulements de

cavitation réalisées dans les injecteurs (BERGWERK, 1959) (NURICK, 1976) ont confirmé

que le nombre de cavitation CN et nombre de Reynolds sont les critères les plus importants

pour la similitude.

Les expériences ont prouvé que les écoulements réels n’obéissent pas toujours à des théories

classiques. La raison de ceci est les effets des échelles provoqués par la qualité du liquide (la

présence de gaz dissous dans le liquide, des particules…), défaut de la géométrie due à la

fabrication, la rugosité, écoulement particulier, mouvement turbulent. (BERGWERK, 1959)

(NURICK, 1976)

La qualité du liquide est associée à la présence des noyaux de cavitation. Ils peuvent être

décrits en utilisant la théorie des bulles dynamiques.

Les effets d’écoulement dépendent de la géométrie du domaine, du nombre de Reynolds et les

paramètres de mouvement turbulent (effet de la viscosité). Ils déterminent le régime de

l’écoulement (laminaire, turbulent, zone de recyclage…).

I.7 Qualité du liquide (Nucléation)

Beaucoup d'expériences ont montrés l'effet des nucléation sur CN. (BILLET, 1985) (ROOD,

1991) (GINDROZ, et al., 1997)

Dans la pratique, pour rendre deux écoulements cavitants semblables, on doit procéder à la

réduction des échelles liée à la qualité du liquide et la nature de la viscosité de l'écoulement.

Beaucoup d'observations ont montré que la cavitation se produit dans le liquide en bloc,

presque sur tout le liquide, (BRENNEN, et al., 1995) ou les bulles de vapeur-gaz fournissent

la force qui contribue au processus de la nucléation (voir figure n°11).

Dans n'importe quelle expérience ou application pratique la "rupture2", rupture de la phase

liquide, est engendrée typiquement par deux formes :

Les mouvements thermiques dans le liquide forment temporairement des vides

microscopiques qui peuvent constituer les noyaux nécessaires pour la rupture et la

croissance macroscopique des bulles, c'est ce qu'on appelle nucléation homogène ;

2 Rupture : rupture de la phase liquide et enclenchement de la phase de vapeur.


11


Dans des situations pratiques on y'observe beaucoup des ruptures se produisent à la

frontière entre le liquide et les parois ou encore entre le liquide et de petites particules

suspendues dans le liquide. Quand la rupture se produit à des tels emplacements, on

parle alors de la nucléation hétérogène.

Dans les sections suivantes nous passons en revue brièvement la théorie de la nucléation

homogène et certains résultats expérimentaux conduits dans les systèmes très propres, aux

laboratoires, qui peuvent être comparés à la théorie.

En abordant le sujet de la nucléation homogène, il est important de se rappeler que le

traitement classique employant la théorie cinétique de liquide permet un seul type de rupture.

Les vides éphémères se produisent en raison des mouvements thermiques des molécules.

Dans n'importe quel vrai système (exemple : réseau hydraulique, pompe….) plusieurs autres

types de ruptures sont possibles. D'abord, il est possible que la nucléation puisse se produire à

la jonction de la frontière entre le liquide et les parois.

Les théories cinétiques ont été développées pour couvrir une telle nucléation hétérogène. Il est

important de se rappeler que la nucléation hétérogène pourrait également se produire sur les

petites particules (de taille sous-micro), expérimentalement il serait difficile de distinguer ce

de la nucléation homogène.

Une autre forme importante de rupture est la présence des microbulles de gaz, qui pourrait

être présente en crevasses (fissures) dans les parois, ou suspendu librement dans le liquide.

Dans l'eau, les microbulles d'air semblent persister presque indéfiniment et presque

impossible à les enlever complètement. Elles semblent résister à la dissolution, peut être en

raison de la contamination de leurs interfaces.

Figure 11 : Nucléation dans les boissons gazeuses (ANSWERS, 2008)


12


R

n.PB

n.2σ/R

n.P

P

PB

Liquide

I.7.1 NUCLEATION HOMOGENE

L’étude de la nucléation homogène et la formation des vides de vapeur dans le corps d'un

liquide pur remontée au travail pilote de GIBBS (GIBBS, 1961). La théorie moderne de la

nucléation homogène revienne aux VOLMER, et al., 1926; FARKAS, 1927; BECKER, et al.,

1935; ZELDOVICH, 1943 et autres. Nous présentons dans ce qui suit une version simplifiée

de la théorie de la nucléation homogène.

Dans un liquide pur, la tension superficielle est la manifestation macroscopique des forces

intermoléculaires qui tendent à tenir des molécules ensembles et empêchent la formation des

grands vides.

Tension superficielle

A l’interface entre deux fluides, il existe des interactions

moléculaires, en général de répulsion : les milieux

n’étant pas miscibles, l’existence d’une force à la surface

de contact permet de séparer les deux fluides et éviter

leur imbrication ou leur mélange.

On appelle tension de surface ou tension capillaire cette

force surfacique permettant de maintenir deux fluides en

contact le long d’une interface commune. On la note σ et

elle a la dimension [Pa.m].

L’équilibre de la bulle, de rayon R et de pression interne

PB, au sein du milieu environnant qui est le liquide à la

pression P, est régi par l'équation (I-12) suivante :

Si la température, T, est uniforme et la bulle contient seulement la vapeur, alors la pression

intérieure de la bulle, PB, sera la pression de vapeur saturante Pv (T).

Cependant, la pression du liquide, P = PV-2σ/R, devrait être moins que la pression de vapeur

saturante, Pv (T), afin d'assurer l'état d'équilibre. En conséquence, si la pression du liquide est

maintenue à une valeur constante juste légèrement moins que "PV-2σ/R", la bulle se

développera, R augmentera, la dépression causera la croissance des bulles.

Figure 12 : Répartition des pressions

sur une bulle.

R

PPB

2 (I-12)


13


I.7.2 NUCLEATION HETEROGENE

Dans le cas d'une nucléation homogène, nous avons considéré des vides microscopiques du

rayon R, qui se développe entraînant la rupture quand la pression du liquide est réduite au

dessus de la valeur critique " PV-2σ/R ".

Considérons maintenant un certains nombre des situations analogues des interfaces

solide/liquide (Figure n°4). L'angle du contacte entre le liquide/solide/vapeur est noté θ. Il suit

que la résistance à la traction dans le cas d'une surface hydrophobe plate est donnée par

2σsinθ /R ou R est la dimension maximale du vide. Par conséquence, en théorie, la résistance

à la traction peut être nulle dans la limite θ π.

D'autre part, la résistance à la traction par une surface hydrophile est comparable à celle de la

nucléation homogène si bien sur les dimensions des vides sont comparables.

On a pu donc conclure que la présence d'une surface hydrophobe causerait la nucléation

hétérogène et réduit la résistance à la traction.

Naturellement, à l'échelle microscopique par laquelle nous sommes concernés, les surfaces ne

sont pas plates, ainsi nous devrons considérer les effets de la géométrie de la surface locale.

Bulle

Bulle

Bulle

Surface plate hydrophobe

θ > π/2

Surface plate hydrophile

θ < π/2

Figure 13 : Différent type de cavitation ( à gauche nucléation hétérogène et

et à droite homogène).


14


I.8 Mise en équations

I.8.1 MODÈLE À DEUX PHASES SÉPARÉES

Le modèle à deux phases séparées, se caractérise par le fait que les deux phases sont

présentes au même endroit spatio-temporel, ainsi il se peut qu’il y ait différence de vitesse et

de température entre les deux phases, c'est-à-dire qu’ils ne sont pas en équilibre. Ce modèle

est habituellement appliqué pour la simulation des écoulements séparés et non équilibré. De

plus, la validation des rapports de fermetures pour ce modèle est difficile en raison du manque

de l’information expérimentale sur la cavitation.

I.8.2 MODELE A MELANGE HOMOGENE

Des innovations significatives ont étés réalisé récemment dans le développement du modèle à

mélange homogène pour la simulation, en tridimensionnelle et en transitoire, les écoulements

cavitants. (CHEN, et al., 1995)

Un concept alternatif pour la modélisation des écoulements cavitants est l’approche de simple

fluide à mélange homogène, ou l’ensemble des lois de conservation est appliqué à un seul

fluide. Ce modèle suppose que les deux phases sont uniformes et bien mélanger et la frontière

interphase peut être identifié dans l’écoulement. De ce fait, notre étude sera basée sur ce

modèle.

Les mesures des écoulements cavitants dans des petits domaines (capillaire sanguins, orifice

d’injecteur…) sont difficiles en raison des dimensions, car on ne dispose pas de nos jours des

équipements permettant les mesures pour ces petites dimensions (de l’ordre de 0.1 mm).

Les modèles numériques offrent des moyens alternatifs pour l’étude du phénomène de la

cavitation, ainsi des études expérimentales ont indiqué que les effets des échelles peuvent être

inclues dans les méthodes numériques (voir chapitre n°III).

Récemment, un progrès a été accompli dans le développement des modèles numériques pour

les écoulements cavitants. Bien que les modèles puissent différer en termes de réalisation (en

utilisant l’approche multi-fluide, fluide homogène, Eulérienne3, Lagrangienne

4…).

3 Approche Eulérienne : consiste à se placer en un point fixe du milieu de l'étude et à observer les modifications des

propriétés du fluide qui défile en ce point. 4 Approche Lagrangienne : consiste à observer les modifications des propriétés d'une particule fluide que l'on suit dans son

mouvement.

moulin://encyclopedia/fr/Fluide


15


La modélisation des écoulements diphasiques5 se base essentiellement sur les deux concepts

suivants :

Le concept interpenetrating continua ;

Le concept non-interpenetrating continua.

Le concept non-interpenetrating continua : décrire les écoulements diphasiques avec une

interface bien définie entre les deux phases vapeur et liquide. Plusieurs concepts techniques

pour le calcul numérique ont été conçus, cependant, ces méthodes n’ont pas été largement

adoptées pour le calcul des structures tridimensionnelles de la cavitation.

Le concept interpenetrating continua : ce concept utilise une approche de volume moyen de

la fraction de phase pour un endroit spatio-temporel dans l’écoulement. Beaucoup de modèles

développés en littérature sont basés sur ce concept.

I.8.3 MODELE APPROUVE (MELANGE HOMOGENE)

Ce modèle permet l’application des équations de conservations pour le mélange, sans

augmenter le coût informatique dû à l’augmentation de nombre d’équation tout en appliquant

le concept d’écoulement diphasique.

Ce modèle se base sur certains critères qui sont :

Assume que les phases sont dans l’équilibre thermique ;

Adopte le concept interpenetrating continua, dans les propriétés du mélange sont

fortement affectées par le champ de pression ;

Les effets de la tension superficielle et le glissement entre les deux phases sont

négligés ;

Le taux d’évaporation et le taux de condensation sont gouvernés par la différence de

pression entre le liquide et vapeur ;

Dans la phase vapeur, la pression est égale à la pression critique Pcr, sera traité dans

chapitre n°II, pour une température donnée.

5 Diphasique est le domaine de la mécanique des fluides (gaz ou liquide) qui consiste à étudier ce qu'il se passe lorsque l'on a

affaire à deux fluides qui s'écoulent ensemble.

moulin://encyclopedia/fr/M%C3%A9canique_des_fluides


16


I.8.3.1 LES EQUATIONS DU MELANGE

Les propriétés physiques du mélange sont en fonction du paramètre appelé dans notre cas

fraction volumique noté α. De nombreux auteurs à savoir YUAN, et al., 2001; SAUER, J.

(2001) ; SCHNERR, G.H. (2001) utilisent les relations linéaires suivantes :

I.8.3.2 DENSITE

avec :

I.8.3.3 VISCOSITE

avec :

I.8.3.4 EQUATIONS DE CONSERVATIONS DE MELANGE

Les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l’énergie, ainsi

que l’équation de bilan de l’entropie, constituent les équations de base de la mécanique et de

la thermodynamique, régissant l’équilibre du fluide en écoulement diphasique. Leurs formes

locales peuvent être représentées par l’équation paramétrée suivante :

ρ : densité du mélange;

α : fraction volumique de la phase vapeur [0..1];

ρv : densité de la phase vapeur;

ρl : densité de la phase liquide.

µ : viscosité dynamique du mélange (Pa.s);

µv : viscosité dynamique de la phase vapeur (Pa.s) ;

µl : viscosité dynamique de la phase liquide (Pa.s) ;

lv )1( (I-13)

lv )1( (I-14)

inexJv

t

).( (I-15)


17


Le tableau (1) donne les expressions de ψ6, J

7, φex

8 , φin

9 correspondant à chaque équation de

conservation :

Tableau 1 : Équations de conservations

Grandeurs ψ J φex φin ID

Masse 1 0 0 0 (I-16)

Quantité du mouvement 𝑣 𝑝𝛿 − 𝜏 𝐹 0 (I-17)

Energie cinétique 𝑣2 2 𝑝𝑣 − 𝜏. 𝑣 𝐹𝑣 𝑝∇. −𝜏: 𝑢 I-18)

Energie interne 𝑒 𝑞 𝑟 −𝑝∇. +𝜏: 𝑢 (I-19)

Energie 𝑣2 2 + 𝑒 𝑝𝑣 − 𝜏. +𝑞 𝐹𝑣 + 𝑟 0 (I-20)

Entropie 𝑠 𝑞/𝑇 𝑟/𝑇 𝜑𝑠 ≥ 0 (I-21)

I.8.3.5 MODELE DE FERMETURE

En introduisant, le paramètre α aux équations hydrodynamiques, il en résulte une inconnue,

les modèles de fermeture permettent de calculer ce paramètre.

La classification des modèles de fermeture des équations (I-13) et (I-14) est en fonction des

types d’équations employées, à savoir algébrique ou différentielle.

Au totale on compte trois principaux modèles de fermeture à savoir :

Modèle d’équation d’état ;

Modèle d’équation de transport avec terme source artificiel ;

Modèle de Rayleigh-Plesset.

Remarque, généralement ces modèles sont liés entre eux, c'est-à-dire par exemple il se peut

que le modèle de l’équation de transport incorpore le modèle de Rayleigh-Plesset.

6 Terme du flux convectif ; 7 Terme du flux diffusif ; 8 Terme des échanges extérieurs ; 9 Terme des échanges intérieurs.

10 En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius dans le cadre du second

principe, elle se traduit comme une mesure de l'homogénéité du système.

𝑣 : composant de la vitesse ; 𝑞 : flux de chaleur ;

𝑝 : composante de pression; 𝑟 : rayonnement ;

𝛿 : tenseur unitaire ; 𝑢 : vitesse de déformation ;

𝜏 : tenseur de contrainte ; 𝑠 : entropie10

;

𝐹 : force ; 𝑇 : composante de la température ;

𝑒 : énergie intérieure ; 𝜑𝑠 : taux de production d’entropie par unité de

masse.


18


Dans ce qui suit nous essayerons d’illustré une comparaison entre ces modèles. Tout d’abord

nous allons définir quelques définitions des deux termes qui sont les clés et les bases des

formulations de ces modèles :

Approche barotropique : fluide barotropique, pour lequel la variation de la pression ne

dépend que de la variation de la densité, P=f(ρ) ;

Approche baroclinique : fluide baroclinique .Dans ce cas la variation de la pression est en

fonction de la densité et de la température (ou bien d’un terme source).

Le tableau (2) permet une comparaison de ces types de modèles.

Tableau 2 : Modèles de cavitation

Phénomènes Équation d’état

Équation du

transport avec terme

source

Équation de

Rayleigh-Plesset

Type d’équation Algébrique Différentielle Différentielle

Approche du modèle Barotropique Baroclinique Baroclinique

transition entre les deux phases Equilibre des

phases Pas d’équilibre Pas d’équilibre

Effet de la nucléation N’est pas décrit Décrit Décrit

Ces modèles seront traités individuellement dans le chapitre n°II.

I.9 Conclusion

La modélisation des écoulements cavitants est basée sur des concepts et techniques qui sont

en fonction du cas d’étude, la disponibilité des équipements et des outils.

Chapitre II : Mise en équations et résolutions

19


CHAPITRE II : MISE EN EQUATIONS ET RESOLUTIONS

II.1 Introduction

Comme nous l’avons cité dans la section I.8.3 la fermeture des équations (I-13) et (I-14)

nécessite bien une équation permettant ainsi le calcule de la variable α, fraction volumique de

la phase vapeur. Nous essayerons dans ce qui suit d’illustré ces modèles.

II.2 Equation d’état

Les modèles algébriques assurent un effet instantané de la pression local sur la densité du

mélange.

Certains auteurs ont développés des équations en se basant sur ce modèle, le tableau (3)

dévoile quelques équations :

Tableau 3 : Equations d’état pour le domaine diphasique utilisées dans les modèles du mélange Équation d’état Auteurs ID

𝑫𝝆

𝑫𝒕= 𝑪(𝑷 − 𝑷𝒗) (CHEN, et al., 1996) (II-1)

𝝆 =𝑷(𝑷 + 𝑷𝒗)

𝑲 𝟏 − 𝒀 𝑷 𝑻 + 𝑻𝟎 + 𝒀𝑹(𝑷 + 𝑷𝒗)𝑻 (IKOHAGI, et al., 1994) (II-2)

𝝆 = 𝝆𝒗 + ∆𝝆 𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 𝑷 − 𝑷𝒗

∆𝝆𝒄𝒎𝒊𝒏𝟐 (DELANNOY, et al., 1990) (II-3)

P = Pl,s +ρv − ρl

ρvρl

+1

ρlCl −2 + ρv Cv

−2log

ρCm

ρlCl

2

(SCHMIDT, et al., 2001) (II-4)

Nous essayerons de présenter les différentes étapes qui ont engendré l’équation (II-4), tout

d’abord en simplifiant l’équation d’énergie, SCHMIDT et al., 1997 ont obtenus l’équation

barotropique suivante :

Pour le modèle de mélange homogène, la célérité du son peut être calculé à partir du modèle

suivant (MINNAERT, 1933 ; WALLIS, 1969) :

Cm : célérité du son (m/s) dans le mélange.

Dt

DP

Dt

DCm

(II-5)

)

avec


20


avec :

L’intégration de cette équation (II-6) produit le rapport de pression-densité qui gère les

modèles algébriques de la cavitation (SCHMIDT, et al., 1999; SCHMIDT, et al., 2001; QIN,

2001; DUMONT, et al., 2001) :

avec :

En considérant que les densités et les célérités du son des phases liquide et vapeur des

constantes, l’équation (II-4) permet de déterminer la densité du mélange () à partir de la

pression, ainsi la fraction volumique de la phase vapeur α.

L’avantage de l’équation algébrique c’est qu’il est explicite, ces modèles ont été développés

pour la simulation des écoulements avec des bulles homogènes. L’inconvénient c’est qu’elle

ne peut pas décrire les effets de la qualité du liquide dans les écoulements cavitants.

II.3 Equation de transport

L’équation de transport de la fraction volumique de la phase vapeur, α, avec un terme source

est définie ci-dessous :

Le terme source Sα est en fonction de la propriété du mélange du fluide et de la phase de

transition (évaporation /condensation).

Beaucoup d’Auteurs ont développé des termes sources (nous les citerons ultérieurement), afin

d’assurer une comparaison entre ces termes on a recourt à la transformation de l’équation du

transport (II-7) en forme adimensionnelle, l’équation est comme suit :

Cv : célérité du son (m/s) dans la phase vapeur ;

Cl : célérité du son (m/s) dans la phase liquide ;

Pl,s : pression de vapeur saturante.

22

11

llvvm CCPC

(II-6)

(II-4)

S

x

v

t j

j ~~

~

~

(II-8)

)

2

22, log1

)(ll

m

vvlllv

lvsl

C

C

CCPP

S

x

v

t j

jvv

(II-7)


21


Le détail de la transformation (II-7II-8) est comme suit :

avec t∞ et ℓ∞ respectivement échelle du temps et de longueur.

On remplace les termes (II-9) dans l’équation (II-7) est en multiplie par (ρv)-1

, on obtient :

L’équation (II-8) n’est pas généralement appliqué dans les calcules, car elle estompe les

échelles hydrodynamique.

II.3.1 LES MODELES DES TERMES SOURCES

II.3.1.1 MODELES DES TERMES SOURCES AVEC UNE EQUATION

II.3.1.1.1 MODELE DE CHEN ET HEISTER (1995)

Ce modèle est suggéré par CHEN et HEISTER (1995) pour l’équation (II-8) :

avec : C : constante empirique adimensionnelle ; Pv : pression de vapeur ;

u∞ : échelle de vitesse d’écoulement.

CHEN et HEISTER (1995) ont souligné qu’avec une grande valeur de la constante « C », on

aura comme conséquence une variation rapide de la densité du mélange lorsqu’on a une petite

variation de la pression locale. Alors pour une valeur de cette constante petite l’écoulement du

mélange se comporte comme équilibré (les deux phases sont en équilibre).

II.3.1.1.2 MODELE D’ALAJBEGOVIC ET AL. (1999)

Pour appliquer les interactions entre les phases dans les écoulements cavitants, une approche

multiphasique a été appliquée. Le terme source de l’équation (II-8) est calculé à partir de la

corrélation suivante :

tuu

xx

t

tt jj

~;~;~ (II-9)

S

tS

x

v

t vj

j ~~

~

~

(II-8)

2

2

)(

~

u

PPCS

l

v

vl

l

(II-10)


22


avec

nB : la densité volumique, le nombre des bulles cavitants dans le liquide (m-3

);

R : rayon de la bulle lié à la fraction du volume de la phase vapeur, donné par la formule

(II-12) ;

Le taux de croissance / d’effondrement de la bulle a été calculé selon le modèle de Rayleigh

(voir section II.4). La densité volumique, nB, a été modélisée comme suit :

avec n0 la densité volumique initiale dans le liquide (n0=1012

bulles/m3, d’après (FUJIMOTO,

et al., 1994).

En substituant les équations (II-12) et (II-13) dans l’équation (II-11), le terme source sera

exprimé en fonction de α.

avec

II.3.1.1.3 MODELE DE YUAN ET AL. (2001)

Dans ce modèle, YUAN et al. (2001), l’évaporation et la condensation se produisissent dans

les bulles sphériques dans le liquide. Le terme source pour l’équation (II-8) est :

avec

= n0 si α < 0.5 ;

nB = 1+2(n0-1)(1- α) si α > 0.5 ;

dt

dRRnS Bv

24~

(II-11)

3

3

4RnB (II-12)

(II-13)

2)(

~2

u

PPfClS

l

v

Aev

(II-14)

30

0

3

43

/)( 32

31

nC

nnf

ev

BA

(II-15)

(II-16)

2)(

~2

u

PPCflS

l

v

(II-17)

),,,(

1)( 32

34

RnfC

f

lv

(II-18)

(II-19)


23


Ce modèle suppose que le nombre de densité des bulles cavitantes est un paramètre intégré de

l’écoulement n=constante. La taille initiale des bulles R0 est également considérée comme

paramètre de ce modèle.

« R0 » et « n » peuvent décrire les noyaux (la nucléation, effet de la qualité de liquide) et ses

effets sur l’écoulement cavitant.

Puisque la qualité du liquide peut changer d’un liquide à un autre, les valeurs de ces deux

paramètres citées ci-dessus ne sont pas uniques.

II.3.1.2 MODELES DES TERMES SOURCES AVEC DEUX EQUATIONS

II.3.1.2.1 MODELE DE KUNZ ET AL. (2000)

KUNZ, et al. (2000) ont utilisé différente équations pour l’évaporation et la condensation

avec Cev et Cco des constantes.

Les équations (II-20) et (II-21) ont été appliquées pour la simulation des poches de cavitation

dans les écoulements autour d’un corps cylindrique (ROUSE, et al., 1948), pour les aubes des

pompes centrifuges, les tubes du venturi (STUTZ, et al., 1997). Pour converger vers les

données expérimentales, les paramètres de la cavitation, Cev et Cco, doivent être ajusté. Ainsi

dans la version originale KUNZ, et al. (2000) ont employés Cev = Cco=100 dans les

écoulements cavitants autour d’un corps cylindrique. Plus tard, pour le même type

d’écoulement, LINDAU, et al., 2001 ont appliqués

Cev =105;Cco=1.

II.3.1.2.2 MODELE D’AHUJA ET AL. (2001)

Les taux d’évaporation et de condensation tous les deux ont été approximés par une fonction

linéaire de pression.

pour P > Pv 2)1(~

coCS

2)1(

~2

u

PPCS

l

vev

pour P < Pv (II-20)

(II-21)

2)1(

~2

u

PPCS

l

v

v

lev

pour P < Pv

pour P > Pv

2

~2

u

PPCS

l

vco

(II-22)

(II-23)

)


24


avec Cev = Cco=1000.

Ces valeurs sont ajustables en fonction des données expérimentales, paramètres du calage, en

régime permanent pour la poche de cavitation autour d’un corps cylindrique (ROUSE, et al.,

1948). Le modèle de turbulence est k-ε pour Re petit.

II.3.1.2.3 MODELE DE SINGHAL ET AL. (2002)

Le modèle de terme source suggéré par SINGHAL, et al. (2002) peut être représenté sous

cette forme :

avec :

v∞ : échelle de vitesse ;

Pcr : pression critique, pression séparant le liquide et le vapeur

Les valeurs des paramètres de ce modèle recommandé :

Cev= 0.02 m2s/Kg ;

Cco= 0.01 m2s/Kg .

La pression critique dans les équations (II-24) et (II-25) tient compte de l’effet de la pression

turbulente avec :

II.3.2 COMPARAISON DES MODELES DE TERME SOURCE

On procède à une comparaison des différent modèles de terme source cités dans les sections

II.3.1.1 et II.3.1.2. Au niveau de la condensation, tous à moins le modèle de KUNZ, et al.

(2000) considérent l’effet de la gouvernance de la pression locale sur la formation et la

destruction du vapeur.Dans la formulation adimentionel cet effet est décrit par le paramètre

locale suivant :

pour P > Pcr

pour P < Pcr (II-24)

(II-25)

kPP vcr 2

39.0

(II-26)

22

u

PP

l

v

(II-27)

l

crl

ev

PPtvCS

3

21

~2

2

l

crl

co

PPtvCS

3

2~2

2


25


Ce qui peut être exprimé en terme CN (voir équation I-4) de la cavitation :

Remplaçant l’équation (II-29) dans l’équation (II-27) :

avec :

La figure (5), visualise le terme source pour différent modèle :

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

1,0E+05

1,0E+06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

α

Taux d'évaporation

ALAJBEGOVIC et al. (1999)

YUAN et al. (2001)

KUNZ et al. (2000)

AHUJA et al. (2001)

SINGHAL et al. (2002)

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

α

Taux de condensation

CNp

1~ (II-28)

l

PPu

)(2 21 (II-29)

CNp

PP

PPPPv 1~

21

22

(II-28)

21

2~

PP

PPp

(II-30)

S~

S~

Figure 14 : Taux d’évaporation et de condensation en fonction de fraction volumique α pour les

différents modèles de termes source avec u∞=100 m/s, échelle de longueur l∞1mm et 𝚷 = 𝟏 .


26


La figure (14) montre le taux d’évaporation et de condensation calculés à partir des différents

modèles de terme source pour les mêmes paramètres. Les modèles développés par KUNZ, et

al. (2000); ALAJBEGOVIC, et al. (1999) et YUAN, et al. (2001) peuvent prévoir la

cavitation sur une gamme limité des paramètres d’écoulement. En même temps, les modèles

d’ AHUJA, et al. (2001) et SINGHAL, et al. ( 2002) produisent des termes sources d’ordre de

grandeur plus grand si on les compares aux autre modéles.

Tous les termes de l’équation du transport passées en revue sont basées sur le modèle de

cavitation empirique à un certain degré et exige la justification des lois de condensation et

d’évaporation qu’elles emploient.

II.4 Equation de RAYLEIGH-PLESSET

Les modèles de l’équation du transport de la cavitation suggéré par ALAJBEGOVIC, et al.(

1999) et YUAN, et al.( 2001) utilisent le modèl de RAYLEIGH-PLESSET (équation II-31).

Ce modèle décrit le cas de la limitation de la croissance d’une bulle sphérique dans un liquide

sous une variation de la pression environnante.

Pour expliquer les effets de l’inertie, viscosité, la tension superficielle du liquide et la

compressibilité du gaz-vapeur, l’équation de RAYLEIGH-PLESSET peut étre appliquée

(BRENNEN, et al., 1995) :

avec :

PB : pression à l'intérieur de la bulle (voir figure 12);

P : pression du liquide;

R : rayon de la bulle ;

μl : viscosité dynamique du liquide ;

σ : tension superficielle du liquide (voir I.7.1).

Rdt

dR

Rdt

dR

dt

RdR

tPtP

l

l

l

B

24

2

3)()(2

2

2

(II-31)


27


La démonstration de l’équation de RAYLEIGH-PLESSET (BRENNEN, et al., 1995) est

comme suit :

avec :

PB(t) : pression à l'intérieur de la bulle (voir figure 12);

TB(t) : température à l'intérieur de la bulle;

R(t) : rayon de la bulle ;

r : distance entre u point du liquide et la bulle ;

P(r,t) : pression locale du liquide ;

T(r,t) : température local du liquide ;

u(r,t) : vitesse de l’écoulement.

La conservation de la masse du liquide (l’équation I-16) requière que :

ou F(t) est relié à R(t) par la cinétique de la condition limite de la surface de la bulle, pour

r =R on aura :

et ainsi :

Si assume l’évaporation et la condensation au niveau de la bulle, le taux de volume de

production de vapeur doit être égale au taux d’augmentation de la taille de la bulle,

4πR2dR/dt, et donc le taux de masse d’évaporation est :

avec ρv(TB) la densité de vapeur pour une température donnée.

Figure 15 : Croissance et effondrement d’une bulle sphérique.

2

)(),(

r

tFtru (II-32)

dt

dRtRu ),( (II-33)

dt

dRRtF 2)( (II-34)

dt

dRRTBv

24)( (II-35)


28


Si considère la vitesse au niveau de l’interface de la bulle l’équation (II-36) sera écrite comme

suite :

et

Dans le cas générale ρv(TB) < ρl(T) ; soit ce liquide newtonien et ρl(T) =constante, l’équation

de la quantité du mouvement est comme suit :

Remplaçant u par u=F(t)/r2 équation (II-32) :

On remarque la disparation du terme de viscosité. L’intégration de l’équation (II-39) donne :

Si on considère les pressions exercées sur la surface de la bulle (voir figure 12) multiplié par

ρl-1

, on aura :

Le terme 4𝜇 𝑙

𝑅

𝑑𝑅

𝑑𝑡 traduit la répartition de la pression sur la surface de la bulle en fonction de son

évolution.

En combinant les équations (II-40) et (II-41), et en remplaçant par l’équation (II-33) on obtient

l’équation de RAYLEIGH-PLESSET :

L’équation de RAYLEIGH-PLESSET (II-31) a été employée pendant longtemps pour

incorporer les effets de la bulle dynamique dans les modèles unidimensionnelle pour les

écoulements cavitants. Récemment la progression des vitesses des processeurs et l’extension

l

Bv

l

Bv T

dt

dR

dt

dRT

dt

dRtRu

)(1

)(),( (II-36)

dt

dRR

TtF

l

Bv 2)(1)(

(II-37)

2

2

2

211

r

u

r

ur

rrr

uu

t

u

r

Pl

l

(II-38)

5

2

2

211

r

F

dt

dF

rr

P

l

(II-39)

4

2

2

1

r

F

dt

dF

r

PP

l

B

(II-40)

Rdt

dR

R

PP

l

l

l

B

24

(II-41)

Rdt

dR

Rdt

dR

dt

RdR

tPtP

l

l

l

B

24

2

3)()(2

2

2

(II-31)


29


des mémoires offre l’utilisation de cette équation en deux dimensions et même en trois

dimensions (KUBOTA, et al., 1990; CHEN, et al., 1996).

Nous citons dans ce qui suit deux modèles des équations de fermeture employant l’équation

de RAYLEIGH-PLESSET.

II.4.1 MODELE DE CHEN ET HEISTER (1996)

Le modèle développé par CHEN et HEISTER (1996) utilise le concept de fraction volumique,

α, qui est calculé à partir de l’équation (II-12), il assume la présence des noyaux de bulles du

rayon R et de densité nB similaire aux modèles de ALAJBEGOVIC, et al.( 1999) et YUAN, et

al. (2001). Les analyses de CHEN et HEISTER (1996) ont eu comme conséquence l’équation

suivante :

avec :

: voir les équations (II-9) et (II-27) ;

: échelle de longueur de la cavitation, elle peut être calculée par l’équation

suivante :

n : densité des bulles par unité de volume ;

Les fonctions f1(α) et f2(α) sont définis comme suit :

II.4.2 MODELE DE KUBOTA ET AL. (1990), GIANNADAKIS ET AL. (2004)

Ce modèle est un modèle avancé de la cavitation, il utilise l’équation de la bulle dynamique

avec un rayon R et nombre de densité n dérivé par KUBOTA, et al. (1990).

2

21

2

2

2

~)()(~

tD

Dff

tD

D

cav

(II-42)

ett ,~

cav

3

3

4ncav (II-43)

)1)(2(6

41

)1(6

111)(

)1)(2(

)1(6)(

32

31

31

32

32

31

31

32

31

31

32

31

31

2

2

1

f

f

(II-44)

2

2

2

222

3

0

2

2

2

22

24

2

3

dt

dRnRR

dt

dR

dt

dn

dt

RdnRr

R

RP

Rdt

dR

R

PP

dt

dR

dt

RdR

gB

(II-45)


30


avec :

Pg : pression du gaz à l'intérieur de la bulle (voir figure 12);

R0 : rayon initial de la bulle;

γ : exposant polytrophique.

Le dernier terme simule la dynamique de la bulle sur des échelles sous la grille de maillage.

Ce dispositif devient utile en utilisant des mailles brutes, ou la pression est partagée entre

plusieurs bulles dans une cellule informatique.

Après avoir passé en revue les différents modèles de fermetures (équation d’état, équation de

transport et équation de Rayleigh-Plesset), nous optons pour le second modèle qui est

l’équation du transport. Ce choix est en fonction de plusieurs critères, le premier la disposition

des formulations mathématiques des équations, le second l’implantation de l’équation de

transport dans les bibliothèques des CFD.

II.5 Choix du terme source approprié

D’après la figure 14, les modèles de terme sources les plus prédicatrices des taux

d’évaporation et de condensation sont celle de ALAJBEGOVIC, et al. (1999) et YUAN, et al.

(2001) .On essayera dans ce qui suit de comparer ces deux modèles, puisque ces deux

modèles sont semblables on s’intéressera au terme de fraction volumique :

Si on compare ces deux modèles, on remarque que la seule différence est la fonction de la

fraction volumique. On trace ces deux fonctions en fonction de la fraction volumique (voir

figure 16).

ALAJBEGOVIC, et al. (1999) YUAN, et al. (2001)

32

31

0/)( nnf BA

(II-15) 32

34

1)( f (II-18)

2)(

~2

u

PPfClS

l

v

Aev

2

)(~

2

u

PPCflS

l

v


31


Cette figure permet la visualisation le comportement des fonctions volumiques, il est claire

que le modèle de YUAN, et al. (2001) est moin sensible au niveau de la variation par rapport

à l’autre, de plus sa fonction est non conditionnel, c'est-à-dire calculable quelque soit la valeur

de fraction volumique, après discusion, on a adopté le modèle de YUAN, et al. (2001) comme

étant le terme source de l’équation du transport.

II.6 Etablissement du Modèle

Comme il a été indiqué dans la section précédente, l’équation de fermeture des équations

(I-13) et (I-14) est l’équation du transport avec le terme source de YUAN, et al. (2001).Il est

impératif pour l’utilisation de ce modèle qu’il soit bien formulé pour pouvoir l’introduire dans

le code CFD. L’aboutissement à ce modèle peut être représenté par le parcours suivant :

La définition de la fraction volumique est celle de SCHNERR, et al. (2001) :

0,0E+00

1,0E-01

2,0E-01

3,0E-01

4,0E-01

5,0E-01

6,0E-01

7,0E-01

8,0E-01

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f(α)

α

Comparaison des deux modèles

ALAJBEGOVIC et al. (1999)

YUAN et al. (2001)

Figure 16 : Confrontation des fonctions de fraction volumique.

3

3

3

41

3

4

nR

nR

(II-46)


32


avec :

R : rayon de la bulle (m) (voir figure 12);

n : densité des bulles par unité de volume (m-3

);

Le taux de production de fraction volumique du vapeur est donnée par la dérivé de α :

Afin de faire face à la difficulté numérique du à la variation brutale de la densité entre le

liquide et la vapeur, SCHNERR, et al.( 2001) on reformulé l’équation de continuité du

mélange (I-16) :

Si on dérive l’équation de la densité du mélange (I-13) par rapport à α on aura :

En remplaçant la dérivée de l’équation de la densité du mélange (II-50) dans l’équation

(II-49) on obtient :

L’éqaution du transport de fraction volumique α est comme suit :

En remplçant les équations (II-47) et(II-51) dans l’équation (II-52) :

Le terme source de cette équation est :

dt

dR

nR

nR

dt

dR

nR

nR

dt

dR

nR

nR

dt

dR

dR

d

dt

d

3

2

3

2

3

2

3

41

4)1(

3

41

4

3

41

4

(II-47)

dt

d

xv

tx

v

xv

x

v

tx

v

t

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

11

00

(II-48)

(II-49)

lvd

d

(II-50)

dt

d

dt

d

d

d

x

vlv

j

j

)(1

(II-51)

j

j

j

j

j

j

j

j

x

v

dt

d

x

v

xv

tx

v

t

(II-52)

dt

dR

nR

nR

x

v

t

l

j

j

3

2

3

41

4)1(

(II-53)


33


Puisque on a adapté le concept concept interpenetrating continua et le modèle de

l’écoulement cavitant est celui de mélange homogène (voir section I.8.3), il faudra exprimer

ce terme source en fonction de la pression.

La pression sera introduite par l’équation de RAYLEIGH-PLESSET (II-31) qui subirera

quelque simplification qui sont en fonction du modèle de l’écoulement ( on néglige la tension

superficielle, les forces d’inertie et de la viscosité (voir section I.8.3) :

La pression de la bulle sera assimilée à la pression de vapeur saturante toute en négligeant la

contamination des bulles par des gaz (voir section I.7.1). Si on remplace l’équation (II-55)

dans l’équation (II-54) le terme source sera exprimé comme ci :

avec

Le contrôle de l’évaporation et de la condensation est en fonction de signe, en effet on

obtient :

Le chapitre suivant traitera un domaine d’étude et présentera les méthodes et la technique

numérique permettant la résolution des ces équations et la validation des résultats numériques

via les résultats expérimentaux.

dt

dR

nR

nRS l

3

2

3

41

4)1(

(II-54)

2

2

3)()(

dt

dRtPtP

l

B

(II-55)

)()( PPsignePP

fCS v

l

vlcav

(II-56)

32

34

)1()(

3

463

f

nCcav(II-57)

(II-58)

l

vlcav

l

vlcav

PPfCS

PPfCS

)(

)( pour P < Pv, Evaporation

pour P > Pv, Condensation

(II-56)


34


II.7 Conclusion

Le modèle qui sera traité est celui de l’équation de transport avec un terme source, le terme

source modélisé est celui de YUAN, et al. (2001). La méthode de résolution est celle des

méthodes numériques (voir chapitre n° III).

Chapitre III : Etude de cas

35


CHAPITRE III : ETUDE DE CAS

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons aborder la modélisation numérique via les codes CFD, tout

d’bord on va adopter un demain d’étude, ensuite on introduit le modèle de fermeture adéquat

qui a été choisit dans le chapitre précédent, enfin une série de test, différents scénarios et

simulations pour justifier les paramètres hydrodynamiques choisies. Le choix du domaine

d’étude est en fonction des disponibilités des résultats des visualisations expérimentaux.

Puisque nous disposions des résultats expérimentaux d’un injecteur de type de sac, alors on

l’a choisit comme cas de notre étude (voir section III.3).

III.2 Présentation du code

III.2.1 METHODE NUMERIQUE

Les méthodes numériques offrent un outil indispensable pour les résolutions des équations.

Dans le domaine de la recherche, cette approche est l'objet d'un effort important, car elle

permet l'accès à toutes les informations instantanées (vitesse, pression, concentration) pour

chaque point du domaine de calcul, pour un coût global généralement modique par rapport

aux expériences correspondantes (KUNNAFONI, 2008).

De manière générale, la résolution d'un problème de mécanique de fluide, on passe par trois

grandes phases :

la préparation du problème : ceci passe par la définition d'une géométrie, d'un maillage

discrétisant le domaine de calcul, du choix des modèles et méthodes numériques

employés ;

la résolution numérique du problème qui passe par l'exécution d'un programme

informatique. Bien des problèmes suscitant un minimum d'intérêt nécessitent des

ordinateurs aux très grandes capacités ;

l'exploitation des résultats : ces derniers sont vérifiés afin de vérifier leur cohérence,

puis examinés afin d'apporter des réponses aux questions posées par le problème de

MFN de départ. Cette exploitation passe le plus souvent par des logiciels de post-

traitement scientifique utilisés dans de nombreuses branches de la physique, ou bien

par les modules de post-traitement disponibles dans certains logiciels commerciaux.


36


III.2.2 PHOENICS

Le code PHOENICS (abréviation de Parabolic Hyperbolic Or Elliptic Numerical Integration

Code Series) (ROSTEN, 1986) est utilisé en tant que instrument pour résoudre le problème de

mécanique de fluide en utilisant la méthode de volume fini (VERSTEEG, et al., 1995). La

bibliothèque de PHOENICS fournit un certain nombre de sous-programmes et algorithmes,

que l'utilisateur peut utiliser pour la simulation.

La bibliothèque incorporé permet de faire appelle aux fonctions et aux procédures déjà

implanté qui permette de résoudre les équations. La version en cours de PHOENICS n’a

aucune ressource intégrée pour calculer les écoulements cavitants. Par conséquent le modèle

de la cavitation décrit dans le chapitre précédent doit être introduit manuellement.

La résolution numérique est basée sur le volume fini. En analyse numérique, la méthode des

volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles,

comme la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Mais,

contrairement à la méthode de différences finies qui utilise des approximations de dérivées, la

méthode de volumes finis utilise, comme la méthode d'éléments finis, des approximations

d'intégrales. Toutefois, la méthode des éléments finis utilise une formulation variationnelle de

l'équation à résoudre (on parle aussi de forme faible), tandis que la méthode de volumes finis

est fondée directement sur la forme dite forte de l'équation (KUNNAFONI, 2008).

On résout l'équation aux dérivées partielles de manière approchée sur un maillage. Ce

maillage est constitué de volumes finis. Les volumes finis sont des petits volumes (en 3D, des

surfaces en 2D, des segments en 1D) dont la réunion forme le domaine d'étude. Les volumes

finis peuvent être construits autour de points d'un maillage initial, mais pas nécessairement

(KUNNAFONI, 2008).

Les méthodes de volumes finis ont été mises au point initialement pour des lois de

conservation, mais des développements récents permettent à présent de les utiliser pour des

équations elliptiques et paraboliques. Ces équations aux dérivées partielles contiennent des

termes de divergence. Les intégrales de volume d'un terme de divergence sont transformées

en intégrales de surface en utilisant le théorème de flux-divergence. Ces termes de flux sont

ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis. On utilise une fonction de flux

numérique pour faire une approximation des flux aux interfaces.

Comme le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces

méthodes sont conservatives. Ce qui est particulièrement important lorsqu'on résout des lois

de conservation.

Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu'elle est facilement utilisable avec

des maillages non-structurés. En effet, la formulation d'une méthode de volumes finis ne tient

aucun compte de la complexité du maillage, pour ce qui est de la discrétisation des lois de


37


conservation. En revanche les caractéristiques géométriques du maillage peuvent jouer un rôle

déterminant pour les flux diffusifs (KUNNAFONI, 2008).

Pour la fermeture des équations (I-13) et (I-14), nous avons optés pour l’équation de transport,

avec la méthode de volume fini et dans le code PHOENICS cette équation est modélisée

comme suit :

avec ϕf : fraction massique (voir section III.2.5) ;

S : terme source ;

Γ : coefficient de diffusion.

Dans la méthode de volume fini, les des différents termes sont discrétisées séparément. Cette

étude considère que l’écoulement est permanent e qui permet de réduire les termes qui sont en

fonction de temps.

La discrétisation de second ordre de terme de diffusion est comme suit :

Ce qui transforme l’équation (III-1) en :

acec : Cf = ρufAf ;

Df : propriété de la cellule f.

Figure 17 : Cellule de contrôle, f face de la

cellule, uf : vitesse, Af surface de la face f,

nf normale de f ; P et F centre des cellules ;

Vp volume de la cellule.

pf f

f

f

fffp

P

fVSA

nAuV

t..

PFf

PF

PFff

f

Dxx

AAn

pf PFfff VSDC .

(III-1)

(III-2)

(III-3)


38


III.3 Cas d’étude

L’injecteur est le composant du circuit qui transforme l’énergie potentielle de pression du

fluide en énergie cinétique dans la chambre de combustion. C’est l’élément clef du système

haute pression.

Les dimensions et le type de l’injecteur sont donnés par la figure suivante :

Le régime de l’écoulement est permanent, ce qui permet de réduire les termes en fonction du

temps.

III.3.1 MAILLAGE

Les résultats de calcul numérique sont influencés directement par la qualité du maillage, plus

le maillage est fin (voir tableau 4 (c)) plus les résultats sont cohérentes, plus précis mais ça

risque de diverger le système induisant des résultats erronées, par contre un maillage lâche

(voir tableau 4 (a)) permet la convergence et le système devient plus stable mais les résultats

peuvent parfois être non traitable.

Roosen et al (1996):

Liquide eau, 20oC

L=1mm, H=0.28 mm,

W=0.2 mm, rin=0.03 mm

Figure 18 : Injecteur de type sac (BAUER, et al., 1999) ; (ROOSEN, et al., 1996)


39


Le tableau 4, permet d’avoir une idée sur l’influence du maillage sur les résultats (pression,

vitesse, turbulence). On a remarqué pour le cas (a), que les erreurs des calcules sont faibles,

mais on n’obtient pas la valeur de condition limite (cas de la pression à l’entrée de l’injecteur

voir section III.3.2), donc on aura une problématique de confrontation avec les résultats

expérimentales, c’est pour cette raison on rejette ce maillage. Pour le cas (c) qui est un

maillage fin dans laquelle la dimension de la maille est de l’ordre 0.01 mm, les erreurs de

calcule sont remarquable, sur tout pour l’énergie dissipative qui influence directement sur la

turbulence est le système devient instable. Enfin pour le cas (b) qui est une intermédiaire entre

ces deux cas, il offre un meilleur maillage pour l’injecteur.


40


Tableau 4 : Structure du maillage

ID Maillage

Nombre total du

maillage

X,Y et Z

ΔZ (mm) Structure du maillage Convergence

(a) 1×6×37= 222 0.04545

(b) 1×9×52= 468 0.03125

(c) 1×16×90= 1440 0.01785

Nota : P= Pression ; VY = Vitesse selon Y ; VZ = Vitesse selon Z ; K= Energie turbulente ; E =Energie dissipative ; F= Fraction massique.

ΔZ

Erreur

P = 5.25 10-03

VY = 9.39

VZ = 1.41

K = 9.21 10-01

E = 9.57 10-01

F = 2.63 1003

Erreur

P = 1.72 10-01

VY = 1.16 1003

VZ = 2.22 1002

K = 8.75 1002

E = 1.12 1004

F = 6.78 1004

Erreur

P = 8.15 10-03

VY = 2.57 1001

VZ = 3.73

K = 1.38 1001

E = 1.13 1001

F = 1.25 1004


41


C’est pour cela nous recommandons, ceci a été approuvé par les simulations effectuées dans

cette étude.

III.3.2 CONDITIONS AUX LIMITES

Pour compléter le problème, les conditions aux limites sont nécessaires pour tous les

variables. Les conditions utilisées dans la présente étude sont :

Entrée de l’injecteur sur plan Y :

P = 8011

bars

ucrt = 0 m/s;

vcrt = 14 m/s ;

wcrt = 0 m/s;

k = 0,0784 m2/s

2 (voir annexe);

ε = 2.765 (voir annexe);

Remarque, la pression à l’entré n’est pas imposable, seulement la valeur de la vitesse elle y

est. Pour la valeur de la vitesse indiquée, Vcrt, on aura la pression recherché.

L’indice des vitesses c’est pour indiquer que nous travaillaient dans un plan cartésien. Les

valeurs de l’énergie turbulente ainsi que l’énergie dissipatif sont introduites par des formules.

Sortie de l’injecteur sur plan Z :

11 La valeur de la pression est variable selon l’utilisation.

P = 21 bars

ucrt = 0 m/s;

vcrt = 0 m/s ;

wcrt = 0 m/s;

Figure 19 : Géométrie de l’injecteur.


42


La pression à la sortie est imposable, sa valeur dépend des cas.

III.3.3 PAROIS

Au niveau de la paroi, la composante de vitesse est nulle. Les conditions aux limites de la

paroi ont été reformulés, elle emploie les fonctions standard d’équilibre de la paroi

(VERSTEEG, et al., 1995). Cette approche se base sur l’emploie de la couche turbulente

données par la formule suivante :

avec u+=u/ut, vitesse adimensionnelle, y

+=y ut /ν coordonné adimensionnelle de la parois,

constante de von-Karman : κ = 0.41 et le paramètre de la parois E = 9.8. La vitesse turbulente

est donnée par l’équation suivante :

III.3.4 PLAN DE SYMETRIE

Au niveau du plan de symétrie, la composante normale de la vitesse et toutes les autres

variables sont nulles, pas de d’échange de flux à travers le plan de symétrie.

III.3.5 FRACTION MASSIQUE

Comme nous l’avons mentionné, on cherche à calculer la fraction volumique de la phase

vapeur, comme le l’indique il s’agit d’un flux volumique, hors le modèle de fermeture ainsi

que tout les équations du mécanique du fluide implanté dans le code PHOENICS sont

résolues en tant que flux massique.

Dans ce cas on doit procéder à un changement de variables exprimant la fraction volumique

en fonction de la masse, on suppose alors la transformation suivante :

avec f la fraction massique.

)ln(1

Ey

y

u

y+≤ 11.63

y+> 11.63

kcut4

1

(III-4)

(III-5)

vf

(III-6)


43


Il en suit un changement de terme source qui est exprimé par l’équation (II-54). La

transformation de cette équation a aboutit à :

avec :

Le terme implanté dans le code est celle de l’équation (III-7), une fois la fraction massique est

calculée, on calcule la fraction volumique.

III.3.6 PROCEDURE DE CALCULE

On commence tout d’abord à introduire la formule de la densité initiale, tout en la paramétrant

en fonction de terme de faction volumique initiale. Ensuite on introduit les conditions limites

de la turbulence (voir annexe).

A l’aide de l’inform (input formula),, qui est une nouvelle méthode plus professionnelle

d’implantation du code sur le même fichier, on programme la densité et la viscosité de

mélange homogène, l’activation de l’inform est simple, il suffit de taper informNXXXX, avec

N numéro du groupe et XXXX égale BEGIN ou END, comme suit :

INFORM9BEGIN (N=9, XXXX=BEGIN)

Instructions et formules

INFORM9END (N=9, XXXX=END)

De même on introduit le terme source, dans l’inform 13 (N=13).

Les valeurs de la relaxation doit être optimiser pour éviter la divergence, on recommande les

valeurs suivante :

RP = 2.000000E-01

RV = 8.000000E-04

RKE = 5.000000E-01

REP = 5.000000E-01

RF = 1.000000E-03

)()1( 32

34

32

31

PPsignePP

CffS v

l

v

cavvlf

(III-7)

v

l

l

ff

1(III-8)


44


III.4 Etude de l’hydrodynamique

III.4.1 PRESSION

La pression simulée par le code permet la visualisation des zones à basse pression ou la

cavitation est successible de naitre, elle atteint des valeurs presque négatives comme le

montre les figures 20 et 21.

Le profile tracé ci-dessous est représenté dans la figure suivante :

Figure 20 : Champ de pression.

Figure 21 : Profile de pression pour Y= 10-4

mm

Pression (bar)

Y ( m)

Z ( m)

Z ( m)

Pression (bar)


45


Les figures ci-dessus, présentent une zone ou la pression est négative, hors la pression n’est

jamais négative, ces valeurs sont dues à la diffusion numériques lors du calcul, c’est un

désavantage des méthodes numériques. Dans ce qui suit, nous affecterons ces valeurs

négatives à zéro.

III.4.2 VITESSE

On remarque bien, au niveau de la zone ou la pression est faible que la vitesse est plus

importante, c’est toute à fait normale suivant la loi de Bernoulli, à la sortie la vitesse voisine

107 m/s au niveau de l’axe de symétrie.

III.4.3 MODELE DE TURBULENCE

Concernant le modèle de turbulence, nous avons essayé plusieurs modèles qui sont déjà

implantés dans le code. Finalement on opte pour le modèle de k-ε RNG (abréviation en

anglais de Re-Normalisation Group) car le nombre de Reynolds est grand.

Le choix est en fonction surtout de calcule, de la géométrie… . On a remarqué que certaine

modèle de turbulence diverge les calcules, d’autres influences directement sur la pression et

surtout au niveau de la paroi de l’injecteur. On illustre dans la figure suivante une

comparaison entre de deux modèles :

Vitesse (m/s)

Figure 22 : Champ de vitesse.

Y (m)

Z ( m)


46


2kCt

Le modèle, de k-ε RNG, s'avéré efficace pour la prévision des écoulements turbulents dans la

géométrie complexe et ou il ya des recirculations. Le code PHOENICS le recommande pour

la simulation des écoulements confinés.

YAKHOT et ORSZAG (1986) ont dérivé un modèle de k-ε basé sur des méthodes du RNG

(Renormalization Group). Dans cette approche, des techniques de RNG sont employées pour

développer une théorie pour les grandes échelles dans lesquelles les effets des petites échelles

sont représentés par des coefficients modifiés.

Soit et

Modèle de turbulence k-ε

avec : σk=1; σε= 1.314; Cε1=1.44 ; Cε2=1.92 ; Cμ=0.09 : des constantes.

Modèle de turbulence k-ε RNG

avec : σk = 0.7194; σε= 0.7194 ; Cε1= 1.42; Cε2= 1.68; Cμ=0.0845

Figure 23 : Comparaison des modèles de turbulence.

jK

t

jj

jx

k

xG

x

kv

t

k

j

t

jj

jxx

CGCkx

vt

21

j

i

i

j

j

it

x

v

x

v

x

vG

jK

t

jj

jx

k

xG

x

kv

t

k

j

t

jj

jxx

CGCkx

vt

21

(III-9)

(III-10)

(III-11)

(III-10)

(III-11)

k-ε

k (m2/s

2)

Z (m) Z (m)

k-ε RNG Y (m) Y (m)

k (m2/s

2)


47


La différence entre ces deux modèles est due aux différentes valeurs des constantes.

Si on diminue le coefficient σε et on augmente σk, ça résulte une diminution de l’énergie

turbulente et augmentation de l’énergie dissipative, ce qui induit les résultats figurants dans la

figure 14.

III.5 Etude de la cavitation

Le modèle de cavitation a été introduit au code PHOENICS via une nouvelle procédure,

appelé l’inform, cette procédure est plus pratique, puisqu’elle permet l’introduction des

équations et les termes dans un seul fichier, autrement dit une meilleure hiérarchie du code et

facilité de lecture et de modification pour l’utilisateur.

III.5.1 EFFET DE LA FRACTION INITIAL

Concernant les calcules, toutes variables déclarer et qui n’est pas été initialisé, elles sont

automatiquement nulles. Ainsi, si on revient à l’équation de terme source de la fraction

massique (III-7), cette équation est le produit d’un terme et f, si on n’initialise pas cette

fraction le terme source sera nulle ainsi la fraction lui-même est nulle, il n’y a pas de calcul.

D’où nécessité d’intercaler une constante nommé fraction initiale f0 pour le terme source pour

ne pas être nulle au démarrage de calcul, bien sur il faut le retranché par la suite.

La figure suivante permette d’observé l’effet de la fraction initiale au calcul :

Figure 24 : Comparaison des fractions initiaux, (a) f0 =10-5

, (b). f0 =10-6

, (c) f0 =10-7


48


Comme le montre la figure, la valeur de la fraction n’a pas d’effet sur la poche de vapeur.

Ceci est expliquer par : lors de calcule on retranche cette valeur ce qui traduit la conservation

des résultats, c’est une astuce pour démarrer les calcules.

III.5.2 EFFET DE LA DENSITE DES BULLES

Mentionner dans le Tableau 2, ce modèle permet de décrire l’effet de la nucléation dans le

liquide. Le terme responsable de cette effet est la densité des bulles, n, qui est présent dans

l’équation de terme source, (III-7), sous forme de Ccav qui est calculé par l’équation (II-57).

Une série de valeur de « n » a été testé pour pouvoir observer l’effet de la nucléation dans la

cavitation, ces résultats sont classifiés dans la figure suivante :

La figure montre bien que le phénomène de la cavitation est en fonction de la qualité du

liquide. Plus le liquide est pur (cas a) moins ce phénomène est réduit et vise versa.

III.5.3 COMPARAISON

Pour valider les résultats numériques simulées, on doit procéder a un comparative avec des

résultats expérimentaux, d’où le choix de l’injecteur (voir section III.3).

Le tableau suivant exprime les paramètres du modèle de ROOSEN, et al., 1996 :

Figure 25 : Comparaison des densités des bulles, (a) n =9.4 1013

(m-3

), (b). n =1.3 1014

(m-3

),

(c) n =1.7 1014

(m-3

)


49


Tableau 5 : Paramètres de cavitation pour modèle de ROOSEN, et al. 1996. Régime

d’écoulement

Pression

d’entrée (bar)

Pression

de sortie(bar)

Vitesse

(m/s)

Nombre de

Reynolds

Nombre de

Cavitation

Cavitation 80 21 108.6 30 416 2.81

Super-cavitation 80 11 117.5 32 890 6.28

Tableau 6 : Comparaison des données simulées et expérimentaux

III.5.4 CONCLUSION

Le phénomène de la cavitation dans l'injection a été modélisé en utilisant les méthodes CFD.

Les résultats de la présente étude ont prouvé que le modèle de la cavitation peut décrire et

reproduire les effets et les dispositifs principaux des écoulements de cavitation. Le modèle à

mélange homogène cavitation assume l'égalité des vitesses des deux phases liquides et

vapeur, qui peuvent être justifiées seulement pour de petites bulles de cavitation.

Régime

d’écoulement

Auteurs Visulisation Pression

d’entrée (bar)

Pression

de sortie(bar)

Cavitation

Roosen et al

(1996)

80 21

LMHE

(2008)

80 21

Super-cavitation

Roosen et al

(1996)

80 11

LMHE

(2008)

80 11

Conclusion générale

50



a modélisation des écoulements cavitants s’avèrent un outil indispensable, vue que la

cavitation c’est introduite dans tout les systèmes hydrauliques. La cavitation comme

nous l’avons mentionné est un phénomène diphasique, ce dernier sa modélisation est

devenue possible dans ces derniers décennies grâce aux développements des méthodes

numériques ainsi les performances des ordinateurs.

Pour la modélisation, on a appliqué le modèle du mélange homogène pour le cas d’un

injecteur, est comme équation de fermeture de la fraction volumique l’équation du transport

avec un terme source de YUAN (2001).

Afin de décrire judicieusement les écoulements cavitants, permettant ainsi la confrontation

avec les résultats expérimentaux, on a introduit un paramètre, densité des bulles dans le

liquide, qui est responsable de la qualité du liquide, de ce fait se on aura une corrélation entre

la qualité et la cavitation, ceci permet de suivre l’effet de la qualité sur le phénomène de la

cavitation.

De point de vue la géométrie de la buse de l’injecteur de type sac, nous avons reproduit

presque les dimensions réelles de la buse ce qui a pour effet l’approche vers les résultats

expérimentaux déjà acquises. Nous avons aussi tenu compte des dimensions des rayons de la

courbure de l’entée du fluide afin d’assurer une prévision précise.

Il est a remarqué que les dimensions de l’injecteur sont très petites de l’ordre de 0.1 mm se

qui rend notre cas plus complexe, sur tout au niveau du maillage ou la taille de la maille

attient 0.01 mm ce qui est relativement très petit ce qui induit la divergence des calcules, d’où

des plusieurs tests et scénarios ont été appliqué afin de choisir les paramètres adéquat

(algorithme de résolution, paramètres de relaxation, schémas…).

Une modélisation est dite appréciable si seulement si on parvient à reproduire la réalité,

décrire plus précisément l’écoulement et ce qui se passe dans l’injecteur, pour ce la faire on a

choisit judicieusement le modèle de turbulence après des discussions avec les experts du

laboratoire et suite au test des différents modèles déjà implanté, de plus lors que nous avons

une variation importante de la densité et lorsque le domaine est de taille petite il est

recommandé d’utiliser le modèle k RNG.

Les résultats issues de la simulation sans cavitation révèlent, que la pression atteint des

valeurs négatives, en réalité il n’est pas des pressions négatives, ceci se traduit par la diffusion

numérique du aux méthodes numériques qui est inévitable, mais on la réduit on choisissant les

schémas convenables à notre cas.

L


51


Lorsqu’ on a introduit le modèle de la cavitation, on a eu fluctuation très importante de la

densité qui influence directement sur tous les autres résultats (vitesse, turbulence, pression…)

et le système est devenu instable ainsi eu une convergence inacceptable. Pour résoudre ce

problème nous avons optimisé les paramètres de relaxation de telle sorte on aboutira à une

meilleur convergence acceptable.

La fraction de masse initiale fo est un paramètre numérique du modèle, avec une petite valeur

(fo 106

), qui est exigé pour initialiser le terme source. On a constaté que le réglage de fo à

une petite valeur a eu un effet négligeable sur la solution finale.

Lors de la confrontation des résultats simulées avec celle mesurées, nous avons prouvés que

les CFD sont des outils fiables, précises permettant la prédiction de la cavitation.

Nous avons prouvés que le modèle de cavitation implémenté dans le code PHOENICS décrit

les écoulements cavitants tout en tenant compte de la qualité du liquide pour un régime

permanent. Pour obtenir des résultats plus précis une attention particulière devrait être

apportée aux paramètres numériques déjà cités au-dessus.

Le modèle du mélange homogène appliqué, considère l'égalité des vitesses des phases de

liquide et de vapeur, qui peuvent être justifiées seulement pour de petites bulles. Pour décrire

avec précision le comportement de grandes poches de cavitation, la vitesse de glissement

entre les phases devraient être prises en considération.

Les bulles pleines de gaz n'étaient pas décrites par notre modèle. Cet effet est important pour

la prévision des écoulements à grande échelle à de basses pressions de système. Le concept

pour le nombre la densité des bulles dans le liquide, suppose que la concentration des bulles

par volume unitaire du liquide ne change dans le domaine d’étude (n =const).

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Annexes

55


Annexe

Fichier Q1 du code PHOENICS

Fluide = eau TALK=T; RUN( 1, 1)

{------------------------------------------------------------------------}

{**********Déclaration des paramètres physiques**********}

{------------------------------------------------------------------------}

REAL(Uin,MFin,Pout,RHOIN)

Uin=14.0 {Vitesse d'entré pour pression 80:21 bar} PRESS0=0. {Pression relative} MFin = 0.00 {Fraction massique initiale} Pout=21.e+05 {Pression de sortie relative a Presso} Rg(1)=1000 {Densité de liquide} Rg(2)=1. {Densité de vapeur} Rg(3)=1.E-06 {viscosité cinématique de liquide} Rg(4)=1.E-05 {viscosité cinématique de vapeur} Rg(5)=2300 {Pression de vapeur saturante du fluide} Rg(6)=1.E-05 {f0}

Rg(7)=Rg(5)-PRESS0 {Pression de vapeur saturante relative a Presso} Rg(8)= 21976.29779 {Paramètre de qualité de fluide} Rg(9)=Rg(1)/Rg(2) {Rapport ρl/ρv} Rg(10)=Rg(3)/Rg(4) {Rapport ηl/ηv} RG(11)=Rg(2)/Rg(1) {Rapport ρv/ρl}

{------------------------------------------------------------------------}

{**********************Maillage*********************}

{------------------------------------------------------------------------}

INTEGER(NZI,NZE,NZC,NZN)

NY = 9 {Nombre des mailles selon Y} NZI = 5 {Nombre des mailles selon Z de Z->I} NZE = 12 {Nombre des mailles selon Z de Z->E} NZC = 3 {Nombre des mailles selon Z de Z->C} NZN = 32 {Nombre des mailles selon Z de Z->N} DX=0.1e-3 {Largeur de l’injecteur selon X} NZ=NZI+NZE+NZC+NZN

REAL(DX)

Annexes

56


{------------------------------------------------------------------------}

{**************CL du modèle de turbulence*************}

{------------------------------------------------------------------------}

RHOIN = 1./( (1.-MFin)/1000 + MFin/1)

REAL(TKEin,EPSin)

WALLCO=GRND2

TKEin = (0.02*Uin)**2

EPSin = 0.09*TKEin**2/(200*ENUL)

************************************************************

Q1 created by VDI menu, Version 3.6.1, Date 20/10/06

CPVNAM=VDI;SPPNAM=Core

************************************************************

Group 1. Run Title

TEXT(Injecteur de type sac)

************************************************************

Group 2. Transience

STEADY = T

************************************************************

Groups 3, 4, 5 Grid Information

BFC=T

NONORT = T

UUP = F ;VUP = F ;WUP = T

GSET(D,nx,ny,nz,0.1e-3,1e-3,3e-3)

{------------------------------------------------------------------------}

{*****************Points de l’injecteur*****************}

{------------------------------------------------------------------------}

XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 0.000000E+00;GSET(P,PI1 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.000000E-03;ZPO= 0.000000E+00;GSET(P,PI2 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.000000E-03;ZPO= 1.000000E-03;GSET(P,PI3 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 7.570001E-04;ZPO= 1.652000E-03;GSET(P,PEW )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.680000E-04;ZPO= 2.000000E-03;GSET(P,PE3 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.400000E-04;ZPO= 2.028000E-03;GSET(P,PC3 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 2.028000E-03;GSET(P,PN1 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 1.925000E-03;GSET(P,PC1 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 9.000000E-04;GSET(P,PE1 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.400000E-04;ZPO= 3.028000E-03;GSET(P,PN3 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 0.000000E+00;ZPO= 3.028000E-03;GSET(P,PN2 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 7.570001E-04;ZPO= 1.652000E-03;GSET(P,#6 )

XPO= 0.000000E+00;YPO= 1.484000E-04;ZPO= 2.008400E-03;GSET(P,#8 )

Annexes

57


{------------------------------------------------------------------------}

{*****************Lignes de l’injecteur*****************}

{------------------------------------------------------------------------}

GSET(L,L1I,PI1,PI2,Ny,1.0)

GSET(L,L1N,PC3,PN1,Ny,1.0)

GSET(L,L7I,PN3,PN2,Ny,1.0)

GSET(L,L2I,PI2,PI3,NzI,1.0)

GSET(L,L4I,PE1,PI1,NzI,1.0)

GSET(L,C1W,PI3,PE3,NzE,0.9,ARC,#6)

GSET(L,L4E,PC1,PE1,NzE,-0.9)

GSET(L,C2W,PE3,PC3,NzC,1.0,ARC,#8)

GSET(L,L4C,PN1,PC1,NzC,1.0)

GSET(L,L5I,PN1,PN2,NzN,1.0)

GSET(L,L6I,PC3,PN3,NzN,1.0)

{------------------------------------------------------------------------}

{******************Faces de l’injecteur*****************}

{------------------------------------------------------------------------}

GSET(F,F1,PI1,-,PI2,PI3.PE3,PC3,-,PN1,PC1.PE1)

GSET(F,F2,PN1,-,PC3,-,PN3,-,PN2,-)

GSET(M,F1,+J+K,1,1,1,LAP5)

GSET(M,F2,+J+K,1,1,Nz-NzN+1,TRANS)

GSET(C,I2,F,I1,1,Ny,1,Nz-NzN,+,DX,0,0)

GSET(C,I2,F,I1,1,Ny,Nz-NzN+1,Nz,+,DX,0,0)

************************************************************

Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd

NAME(C1) = MF

SOLVE(P1 ,V1 ,W1,MF )

SOLUTN(p1, Y,Y,Y,N,N,N)

SOLUTN(V1,Y,Y,Y,N,N,N)

SOLUTN(W1,Y,Y,Y,N,N,N)

SOLUTN(MF, Y,Y,Y,N,N,Y)

STORE(ENUT)

STORE(RHO1,ENUL)

TURMOD(KERNG)

************************************************************

Group 8. Terms & Devices

************************************************************

Annexes

58


Group 9. Properties

TERMS (MF ,Y,Y,N,N,Y,N)

RHO1 = 1.000000E+03

ENUL = 1.000000E-06

{------------------------------------------------------------------------}

{************INFORM 9 : Densité, Viscosité************}

{------------------------------------------------------------------------}

INFORM9BEGIN

char(form1,form2)

REAL(rap1,rap2)

rap1=:Rg(9):-1

rap2=1-:Rg(10):

form1=:Rg(1):/(1+:rap1:*mf)

form2=:Rg(3):/(1-:rap2:*mf)

(PROPERTY RHO1 IS :form1:)

(PROPERTY ENUL IS :form2:)

INFORM9END

************************************************************

Group 10.Inter-Phase Transfer Processes

************************************************************

Group 11.Initialise Var/Porosity Fields

FIINIT(P1 ) = 0.000000E+00 ;

FIINIT(W1 ) = 0.000000E+00

FIINIT(v1 ) = 0.000000E+00

FIINIT(KE)=TKEIN

FIINIT(ep)=EPSIN

********************************************

Group 12. Convection and diffusion adjustments

No PATCHes used for this Group

************************************************************

Group 13. Boundary & Special Sources

PATCH(liquid, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 1,11, 1,LSTEP)

coval(liquid,mf,fixval,0. )

{------------------------------------------------------------------------}

{*************INFORM 13 : Terme Source*************}

{------------------------------------------------------------------------}

Annexes

59


INFORM13BEGIN

PATCH(whole,cell,1,nx,1,NY,1,nz,1,LSTEP)

char(COC,VlE,ph1,ph0,ph2,alph,Pt)

ph0=abs(1-mf+:rg(6):)

(stored var ph0 at whole is :ph0:)

Ph1=ph0^(:4/3:)/((mf+:Rg(11):*(1.-mf))*(mf+:rg(6):)^(:1/3:))


pt=:Rg(5):

(stored var pt at whole is :pt:)

ph2=sqrt(abs(pt-p1)/:rg(1):)


COC=:RG(8):*ph2*ph1

VlE=:RG(8):*ph2*ph1

{*************Terme source Evaporation*************}

PATCH(Evapora, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 12,Nz, 1,LSTEP)

(SOURCE of mf at Evapora is :VlE:*(mf+:Rg(6):) with if(p1.lt.pt))

{*************Terme source Condensation************}

PATCH(Conden, VOLUME, 1,nx, 1,Ny, 12,nz, 1,LSTEP)

(SOURCE of mf at Conden is :COC:*(0-mf) with if(p1.ge.pt))

alph=mf*RHO1/:rg(2):

(stored var alph at whole is :alph:)

INFORM13END

PATCH(bfcIN,LOW,1,1,1,NY,1,1,1,lstep)

COVAL(bfcIN,P1 , FIXFLU, GRND1)

COVAL(bfcin,w1 ,onlyms, grnd1)

COVAL(bfcin,Wcrt ,onlyms, uin)

COVAL(bfcin,KE , ONLYMS , TKEin)

COVAL(bfcin,EP , ONLYMS , EPSin)

bfca=rho1

Parent VR object for this patch is: OUTLET_O

PATCH(OUTLET ,HIGH , 1, 1, 1, ny, nz, nz,1,LSTEP)

COVAL(OUTLET ,P1 , 1000, pout)

COVAL(OUTLET ,V1 ,onlyms, 0.000000E+00)

COVAL(OUTLET ,W1 ,onlyms, 0.000000E+00)

Annexes

60


COVAL(OUTlet,KE , ONLYMS , SAME)

COVAL(OUTlet,EP , ONLYMS , SAME)

PATCH(plate, NWall, 1, Nx, NY, NY, 1, nz, 1,LSTEP)

COVAL(plate, w1, WALLCO, 0.0)

COVAL(plate, KE, WALLCO, WALLCO)

COVAL(plate, EP, WALLCO, WALLCO)

************************************************************

Group 14. Downstream Pressure For PARAB

************************************************************

Group 15. Terminate Sweeps

LSWEEP = 3000

RESFAC = 1.000000E-03

************************************************************

Group 16. Terminate Iterations

************************************************************

Group 17. Relaxation

RELAX(P1 ,LINRLX, 2.000000E-01)

RELAX(V1 ,FALSDT, 8.000000E-04)

RELAX(W1 ,FALSDT, 8.000000E-04)

RELAX(KE ,LINRLX, 5.000000E-01)

RELAX(EP ,LINRLX, 5.000000E-01)

RELAX(MF ,LINRLX, 1.000000E-03)

************************************************************

Group 18. Limits

VARMAX(MF ) = 1.000000E+00-:rg(6): ;VARMIN(MF ) =0.0

VARMAX(KE ) = 1.000000E+08 ;VARMIN(KE ) =0.0

VARMAX(EP ) = 1.000000E+08 ;VARMIN(EP ) =0.0

VARMAX(P1 ) = 1.000000E+07 ;VARMIN(P1 ) =-1.000000E+07

************************************************************

SCHEME(VANL1,MF)

SCHEME(SMART,MF)

SCHEME(minmod,Ke,EP)

SCHEME(HQUICK,MF)

SCHEME(smart,V1,W1)

SCHEME(SUPBEE,MF)

SCHEME(LUS ,LSOL);sCHEME(FROMM ,);SCHEME(CUS ,); SCHEME(QUICK ,);

SCHEME(CDS ,); CHEME(SMART ,);SCHEME(KOREN ,); SCHEME(VANL1 ,);

SCHEME(OSPRE ,);SCHEME(VANL2 ,); SCHEME(VANALB,); SCHEME(MINMOD,)

************************************************************

Annexes

61


Group 19. EARTH Calls To GROUND Station

USEGRD = T ;USEGRX = T

PARSOL = T

************************************************************

Group 20. Preliminary Printout

ECHO = T

************************************************************

Group 21. Print-out of Variables

WALPRN = T

************************************************************

Group 22. Monitor Print-Out

IXMON = 1 ;IYMON = 5 ;IZMON = 13

NPRMON = 200

NPRMNT = 1

TSTSWP = -1

************************************************************

NZPRIN = 1

STOP

Index

62


Index

A

Approche baroclinique · 18

Approche barotropique · 18

B

Bulles · 4

C

Coefficient de décharge · 9

Concept interpenetrating continua · 15

Concept non-interpenetrating continua · 15

Concept non-interpenetrating continua · 15

Conditions aux limites · 41

D

Densité · 16

Description de l’écoulement cavitant · 8

E

Ecoulements de cisaillement · 3

Effet de la densité des bulles · 48

Effet de la fraction initial · 47

Effets de l‘échelle · 8

Equation d’état · 19

Equation de RAYLEIGH-PLESSET · 26

Equation de similitude · 9

Equation de transport · 20

Equations de conservations dE mélange · 16

Equations du mélange · 16

F

Fraction massique · 42

G

Géométrie · 3

H

Hydrofoil · 6

I

Indice de cavitation · 6

M

Maillage · 38

Méthode numérique · 35

Mise en équations · 14

Modèle à deux phases séparées · 14

Modèle à mélange homogène · 14

Modèle d’AHUJA et al. · 23

Modèle d’ALAJBEGOVIC et al. · 21

Modèle de CHEN et HEISTER · 21, 29

Modèle de fermeture · 17

Modèle de KUBOTA et al. (1990),

GIANNADAKIS et al · 29

Modèle de KUNZ et al. · 23

Modèle de SINGHAL et al. · 24

Modèle de turbulence k-ε · 46

Modèle de turbulence k-ε RNG · 46

Modèle de YUAN et al. · 22

Mouvement vibratoire · 4

N

Net Positive Suction head · 6

Nombre de cavitation · 6

Nombre de Froude · 8

Nombre de Mach · 8

Nombre de Reynolds · 8

Nombre de Strouhal · 9

Nombre de Weber · 8

Nucléation hétérogène · 13

Nucléation homogène · 12

O

Oscillation · 4

Index

63


P

Paramètres caractérisant la cavitation · 6

Parois · 42

PHOENICS · 36

Plan de symétrie · 42

Pompe · 6

Pression · 44

Pression turbulente · 24

Procédure de calcule · 43

Q

Qualité du liquide · 10

R

Régime transitoire · 3

Résistance à la traction · 13

Rupture · 10

S

Similitude · 8

Similitude hydrodynamique · 9

Sonochimie · 5

Sous-cavitation · 7

Super-cavitation · 7

Super-cavitation · 7

Surface hydrophile · 13

Surface hydrophobe · 13

T

Taux de condensation · 25

Taux d'évaporation · 25

Tension superficielle · 12

Transition · 7

V

Viscosité · 16

Vitesse · 45

Vitesse d’écoulement · 10

Mastére : Simulation d'écoulement cavitant

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