Les méthodes de simulation : modélisation et utilisation d’un tableur.

B. BALLAZProfesseur à l'Université P. Mendès-France de GrenobleEcole Supérieure des Affaires

Plan du chapitre :

1- Introduction

2- La simulation : méthode heuristique de résolution de problème2-1 Une méthode de résolution de problème2-2 Comment concevoir un modèle de simulation ?

2-2-1 L'identification du problème2-2-2 Comment construire un « bon » modèle ?2-2-3 Mise en oeuvre de la démarche de conception d'un

modèleEtape 1 : l’identification du problèmeEtape 2 : l'arbre d'analyseEtape 3 : le réseau ou graphe de dépendance Etape 4 : le modèle formel Etape 5 : le modèle programmé Etape 6 : validation du modèle

2-3 L’utilisation du modèle

3- Traitement de l’incertitude affectant l’information utilisée: évaluation de son impact sur les critères de décision

3-1 La génération de variables aléatoires3-2 Le calcul itératif avec EXCEL3-3 Mise en place des indicateurs statistiques permettant de caractériser la distribution du résultat3-4 Mise en oeuvre de la simulation

Bibliographie

1- Introduction

L'approche des problèmes par la simulation suscite un intérêt constant. Dans des domaines scientifiques très différents: physique, économie, gestion ... , elle apparaît comme une méthode efficace pour aborder l'étude du comportement des systèmes complexes (FORRESTER 1977). Sa contribution au progrès de la connaissance scientifique est importante et certains auteurs (MOLES 1990, LEVY 1991) n'hésitent pas à lui donner un statut épistémologique particulier.Les développements de la simulation sont étroitement liés aux progrès de l'informatique. Rappelons que VON NEUMANN a développé l'un des premiers ordinateurs (1947), l'ENIAC, pour traiter par simulation un problème de physique nucléaire (EKLAND 1991). Si l'emploi de la simulation pour l'étude des problèmes scientifiques nécessite des moyens informatiques puissants et l'utilisation de techniques de programmation avancée pour réaliser des modèles complexes (météorologie, physique atomique,...), nous allons voir qu’un simple tableur – l’outil de base disponible sur le poste de travail de tout gestionnaire - peut être utilisé de façon efficace et simple pour réaliser des modèles de simulation utiles pour l’aide à la décision.Les objectifs que l’on poursuit par la mise en œuvre de méthode de simulation sont les suivants :(1) résolution heuristique de problème,(2) étude de la sensibilité des facteurs de performance et des critères de décision à l'incertitude de l'information,(3) étude des processus régis par des phénomènes stochastiques (ex: file d'attente),(4) étude du comportement des systèmes complexes (Dynamique des systèmes : simulation de flux, Supply Chain Management,…).Dans ce chapitre, nous abordons les points (1) et (2).

2- La simulation : méthode heuristique de résolution de problème  Dans ce paragraphe nous allons présenter la démarche de mise en oeuvre de la simulation en tant que méthode de résolution de problème. Nous proposerons une approche méthodologique pour construire le modèle nécessaire à sa mise en œuvre, en l’illustrant par un exemple simple.

2-1 Une méthode de résolution de problème

La simulation repose sur une idée simple, qui a fait ses preuves dans les sciences expérimentales: on construit un modèle du système réel étudié, et sur ce modèle qui peut être un dispositif physique (maquette) ou numérique (modèle programmé), on expérimente des hypothèses, politiques ou scénarii qui pourraient constituer des solutions possibles au problème étudié. L'observation du comportement du modèle permet de répondre aux questions que l'on se pose au sujet du monde réel (Minsky). C'est ainsi qu'un pilote peut apprendre sur un simulateur de vol à faire face à une situation catastrophique éventuelle, que la maquette d'un port permet d'étudier l'influence du régime local des marées, ou que le modèle d'une économie nationale permet d’évaluer les conséquences du choix d’une politique économique.La mise en oeuvre d'une simulation va se faire selon une démarche radicalement différente des méthodes classiques de résolution de problème, méthodes que l'on peut schématiser de la façon suivante:

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De l’identification du problème à sa solution, cette approche est séquentielle et linéaire. La caractérisation du problème consiste à reconnaître le type général auquel il appartient : problème de prévision, problème d’optimisation sous contraintes, problème d’ordonnancement,… de choisir la méthode mathématique particulière qui semble la mieux adapée aux caractéristiques du problème et d’exprimer ce problème dans le formalisme proposé par la méthode retenue. La mise en oeuvre de l'algorithme de résolution associé à cette méthode va produire une solution, généralement optimale. Par exemple :

- un problème de planification de production pourra être exprimé sous la forme d'un programme linéaire (optimisation sous contraintes), la solution optimale sera obtenue par la mise en oeuvre de l'algorithme du simplexe, disponible dans le Solveur d’Excel.

- L'ordonnancement des opérations constituant un projet ( ex: lancement d'un nouveau produit) prendra la forme d'un réseau PERT, l'algorithme de Ford permettra d'obtenir le calendrier optimal.

La difficulté essentielle réside dans la bonne identification de la classe générique à laquelle appartient le problème et les approximations ou distorsions que l’on peut être conduit à appliquer à la description de la situation concrêtre étudiée pour qu’elle « rentre » dans le formalisme et les contraintes du modèle "prêt à porter".

Il existe de nombreux problèmes de gestion pour lesquels on ne dispose pas d’un modèle-type, ou , s’il existe, sa mise en œuvre peut être difficile : les outils informatiques nécessaires ne seront pas toujours disponibles, les méthodes mathématiques d’optimisation peuvent être complexes et d’un abord difficile pour le gestionnaire qui n’aura pas été formé à leur utilisation. D’ou l’idée de mettre en œuvre une approche de type expérimental, procédant par simulation sur un modèle, plus proche de nos mécanismes naturels de résolution de problème : on essaie pour voir ce que cela donne (What if ?)…

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Cette démarche de type heuristique met en oeuvre une approche itérative procédant par essais et erreurs successifs. L'analyste détermine à priori les valeurs d’une première solution (scénario ou hypothèse) et l’expérimente sur son modèle. Les résultats obtenus sont comparés à des critères d'acceptation, si les critères sont vérifiés, la solution est acceptée : il a obtenu une solution « satisfaisante ». Si les critères ne sont pas vérifiés, la solution est rejetée. Utilisant l'information résultant de ce test, l’analyste imagine un nouvel ensemble de valeurs possibles pour les variables caractéristiques d’une nouvelle solution et renouvelle son expérimentation sur le modèle, jusqu’à ce que, par essais et erreurs successifs , il finisse par trouver une solution satisfaisante. Par ces expérimentations successives, l’analyste rentre dans un processus d’apprentissage qui lui permet de comprendre de mieux en mieux son problème et améliore sa capacité à imaginer les caractéristiques de solutions qui auront plus de chance d’être des solutions satisfaisantes. Le couple analyste/modèle utilise au mieux, d'une part la capacité de l'ordinateur à calculer rapidement des résultats correspondant à de nouvelles hypothèses, et d'autre part, les aptitudes de l'analyste: intuition, déductions, pour imaginer les caractéristiques d'une solution satisfaisante.

Par rapport à la démarche classique, on remarque:- que la solution est déterminée à priori : par intuition, par des heuristiques

simples, voire générée aléatoirement (méthode de Monte-Carlo) sans utilisation d'outils mathématiques complexes, à la différence des algorithmes d'optimisation;

- qu'il n'y a pas de recherche d'optimisation: la notion d'optimum est une notion peu robuste, il est en général instable et transitoire. Un optimum est sur la frontière du domaine des solutions possibles, il est donc de ce fait fortement dépendant du contexte du problème. Or ce contexte est changeant, perturbé, les informations utilisées présentent une forte incertitude;

- que l'on peut facilement introduire plusieurs critères d'acceptation, sans complication particulière, si ce n'est que cela réduit l'espace des solutions acceptables, alors que l'optimisation multicritère est beaucoup plus délicate.

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2-2 Comment concevoir un modèle de simulation ?L'intérêt des résultats que l'on peut obtenir par la mise en oeuvre d'une approche par la simulation va dépendre très étroitement :

- d'une bonne identification du problème- de la capacité à construire un « bon » modèle de la situation problématique.

2-2-1 L'identification du problème

C'est évidemment la première étape, nous renvoyons le lecteur à la littérature qui traite des méthodes de résolution de problème (« problem solving ») (SIMON, LEMAITRE,... ). Nous rappellerons simplement la définition usuelle en management : un problème est un écart entre, d'une part une situation actuelle perçue insatisfaisante, et d'autre part une situation future désirée. Résoudre un problème, c’est tendre à réduire cet écart. C'est l'analyse de chacune de ces deux composantes qui permet une bonne identification du problème. L'analyse en profondeur de la situation actuelle par une analyse systématique des causes permet d'éviter le travers habituel qui consiste à traiter les symptômes apparents plutôt que le vrai problème. La situation analysée est la situation perçue : l'analyste doit en permanence conserver à l'esprit qu'il ne peut pas saisir la réalité dans toute son objectivité et qu'il doit essayer de limiter les biais d'interprétation :

- en travaillant avec rigueur, - en multipliant les points de vue : tous les acteurs concernés par ce problème doivent

être impliqués dans sa formalisation, - en pratiquant une critique systématique des informations recueillies.

La définition de la situation future désirée renvoie à la nécessité d'une réflexion sur les objectifs, de les placer dans la perspective des buts stratégiques, de les hiérarchiser, de les exprimer sous une forme qui permettra de les quantifier et de fixer leur horizon. La conduite séparée de ces deux analyses permet d'éviter de formuler le problème en terme de solution et préserve en principe un espace de solutions le plus ouvert possible. L'analyste doit en particulier attacher beaucoup d'importance à la "contextualisation" du problème(Morin). Le contexte facilite l'intelligibilité de la situation analysée et permet de mieux définir le périmètre du problème en limitant le risque de traiter un problème partiel…

2-2-2 Comment construire un « bon » modèle ? Le processus de construction d’un modèle doit mettre en correspondance une situation concrête de gestion avec une représentation conceptuelle qui aura la forme d’un ensemble de variables et de relations entre ces variables et dont l’utilisateur devra être convaincu qu’il permet de répondre de façon pertinente aux questions qu’il se pose quant au sujet du monde réel. Ce processus d’abstraction est familier au monde de l’informatique. Mais dans le domaine de la construction de modèle pour l’aide à la décision, la maîtrise du cycle de développement du modèle est plus délicate. A la différence de la modélisation informatique de processus opérationnels : gestion d’une commande client, suivi d’un ordre de fabrication,… il est pratiquement impossible de définir à priori et complètement les spécifications de réalisation d'un modèle d’aide à la décision, du fait des difficultés de structuration de la situation à modéliser. Cela nous conduit vers une démarche de type incrémental, qui conduit l'analyste qui travaille étroitement avec son "client-utilisateur", à parcourir plusieurs fois un cycle de développement qui va faire passer le modèle du stade initial de maquette, à celui de prototype, puis enfin de système finalisé, valide, fiable et commode d’utilisation.

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Le cycle de développement que nous proposons passera par les principales étapes suivantes:

Cette procédure est séquentielle, mais itérative, à chaque étape, l'analyste peut être conduit à revenir à n'importe quel niveau antérieur pour reprendre ou compléter son analyse. Nous allons illustrer cette démarche à l'aide de l'exemple suivant.

2-2-3 Mise en oeuvre de la démarche de conception d'un modèle

Etape 1 : l’identification du problèmeLes problèmes du monde réel se caractérisent par un nombre élevé de variables. Comme notre but ici est de présenter en détail la méthode de développement du modèle, nous nous limiterons à un exemple sommaire afin de ne pas trop alourdir la présentation.La situation problématique:Le responsable d’une unité de production doit redéfinir, pour l'année prochaine, sa politique de prix pour l'un de ses produits, la Direction Générale ayant récemment rappelé que la politique de l'entreprise doit reposer clairement sur la recherche de la rentabilité maximum.

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Afin dévaluer la sensiblité de ses clients au prix de vente du produit, actuellement commercialisé à 130 K€, il commande une étude de marché à un cabinet d’études Marketing:

- le marché global annuel est estimé à 100000 unités.- pour un budget de publicité de 50000 K€, et compte tenu des hypothèses faites sur les

actions des concurrents, l'étude de l'élasticité de la demande au prix de vente donnerait les résultats globalisés suivant :

Prix de vente 100 110 120 130 140 150Part de marché 0,20 0,18 0,15 0,10 0,07 0,05

La capacité de production actuelle est de 15000 unités par an, le budget des investissements, fixé pour l'année prochaine est de 100000 K€, ce qui permettrait un accroissement de capacité éventuel d'une tranche supplémentaire de 5000 unités.La problématique générale pourrait être la suivante : la pratique d’un prix de vente élevé, si elle dégage une marge unitaire importante limite la pénétration du marché et à l’inverse, un prix bas, s’il donne une marge unitaire faible permet une plus grande pénétration de marché ; la rentabilité globale résulte donc de la composition de deux variables : marge unitaire, ventes en volumes, qui varient en sens contraire pour une variation donnée du prix de vente. Dans cette situation, il existe probablement un prix de vente qui dégagerait une rentabilité globale optimale. C’est ce prix de vente que l’on va chercher à établir en évaluant, sur un modèle, la formation de la marge globale.A partir de cette description générale et grossière de la situation « problématique », qui comporte nécessairement des "trous" d'information qu'il faudra combler, on passe à la deuxième étape qui consiste à construire un arbre d'analyse du problème. La démarche de modélisation est par elle-même une démarche de structuration, puis de résolution du problème.

Etape 2 : l'arbre d'analyseL'objectif est de faire apparaître les variables "pertinentes ", nécessaires à la description de la situation étudiée.La construction de l'arbre repose sur les principes généraux suivants:

- la racine de l'arbre est constituée par le critère associé à l'objectif : dans notre cas, une mesure de rentabilité, qui reste à préciser. Il convient de remarquer qu’il s’agit d’un objectif au sens managérial, c’est à dire ce qui permet de qualifier les politiques ou solutions testées, de dire, dans ce cas, qu’une politique de prix est meilleure qu’une autre au sens du critère retenu.

- l'arbre se développe à partir de cette racine par un processus de décomposition des variables qui suit les principes des modèles généraux proposés par les "sciences de gestion ": analyse des coûts, finances, marketing,..... Chaque concept du modèle générique choisi définit une variable. Toute activité de gestion ne pouvant échapper à l’évaluation du coût qu’elle représente, le choix d’un modèle d’analyse des coûts constitue en général une des toutes premières étapes du processus de modélisation. Il convient de privilégier le choix du modèle qui permet le mieux de remonter aux causes des coûts, ce qui recommanderait une méthode de type « Activity based Costing ». A défaut de disposer des informations correspondantes et compte tenu du niveau d’analyse très global auquel nous nous plaçons, nous allons suivre dans notre exemple les principes du "direct costing", qui supposent une séparation des charges variables et des charges fixes. En cohérence avec ce choix, il convient donc de retenir comme mesure de l’objectif, la marge nette globale annuelle, qui définit la racine de l’arbre d’analyse à partir de laquelle le processus de décomposition est amorcé : le calcul de la marge nette globale passe par le calcul de la marge globale sur coûts variables et celui des charges fixes ; le calcul de la marge globale

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sur coûts variables nécessitent la connaissance du chiffre d’affaires et des charges variables globales,…. (voir figure n° 4)Ce processus se poursuit jusqu'à ce que l'on atteigne le degré de détail jugé adéquat par l'analyste. La profondeur du processus d’analyse par décomposition successive définira la granularité (ou finesse) du modèle. Difficile à spécifier à priori, elle dépend :- de la disponibilité des informations : il est inutile de faire apparaître des variables composantes pour lesquelles faute d’informations, il n’y a pas de mesure disponible, par exemple : marché global connu, segments de marché non connus.- de la nécessité de limiter la complexité du modèle - qui croit avec le nombre de variables - en retenant des niveaux d'agrégation de variables adaptés aux objectifs recherchés par l'étude du problème. Il est inutile de différencier les composantes d’une variable, si cette différenciation n’est pas prise en compte dans la problématique : par exemple décomposer un marché global en segments de marché si l’on ne différencie pas la politique de prix ou les actions marketing en cohérence avec ces segments.Par exemple, l’analyse d’un marché peut se faire au niveau du marché global, ou par segment de marché, mais également, pour certains produits, au niveau le plus atomique, celui du consommateur final, grâce au développement des entrepôts de données (datawarehouse) qui permettent d’enregistrer les comportements d’achat au jour le jour. Un autre principe général est à respecter : il convient de décomposer le plus tôt possible les variables globales valorisées en variables mesurant l’activité « physique » : volume de ventes, production, stock de produits finis, … des variables qui évaluent le prix unitaire de ces grandeurs de type flux ou stocks : les charges variables se décomposent en production vendue (mesurée en nombre de produits) et en coût variable unitaire d’un produit vendu.Cette démarche appliquée à notre exemple peut conduire à l'arbre suivant:

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Etape 3 : le réseau ou graphe de dépendance

Si l'arbre d'analyse sert à faire émerger les variables pertinentes, le réseau va servir de support pour établir une typologie de variables qui favorisera la structuration du modèle et la conduite de l’expérimentation par simulation, il permettra également l'identification des relations qui lient les variables. Pour passer de l'arbre au réseau, on appliquera les règles suivantes:

- chaque branche de l'arbre est remplacée par un arc orienté selon le sens de détermination de la variable (sens de causalité et de calcul), par exemple : pour pouvoir calculer du chiffre d’affaire, il faut connaître les quantités vendues et le prix de vente,…

- chaque variable n'apparaît qu'une seule fois dans le réseau, les occurrences multiples d'une variable sont remplacées par un arc dont l'origine est prise au niveau de la seule occurrence conservée, - la lisibilité du réseau est une vertu importante, on essaie de disposer les variables en minimisant les intersections d'arcs. Cela est facilité si l'on reprend l'arbre en disposant ses branches de façon à obtenir la meilleure proximité des variables liées. ce travail nécessite de toutes façons plusieurs itérations avant d'obtenir un réseau bien organisé.On obtient alors le réseau suivant:

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La typologie des variables Nous allons distinguer 4 groupes de variables:

1) Les variables contrôlables: elles définissent la solution ou le scénario qui sera testé sur la modèle, elles constituent les leviers d'action sur lesquels l'analyste va jouer pour obtenir des résultats satisfaisants. Dans notre exemple, il n'y a qu'une seule variable contrôlable : le prix de vente; cette notion est étroitement dépendante de la situation particulière à laquelle on s'intéresse et des objectifs que poursuit l'analyste. Dans un autre cas, le budget publicité, l'investissement auraient aussi bien pu être des variables contrôlables; "contrôlables" signifie que c'est l'analyste qui en fixe les valeurs qui seront testées sur le modèle, ces variables sont sous son contrôle.

2) Les paramètres : Ils caractérisent le contexte d'application du modèle. Par exemple la publicité, le coût variable, le marché global, ... Ils donnent une caractéristique générique au modèle: le même modèle pourrait être utilisé pour un autre produit dans une situation similaire. Il suffit alors d'ajuster les paramètres. Il ne doit jamais il y avoir de constante numérique dans un modèle, il n'y a que des variables, si elles ne prennent qu'une valeur constante, ce sont des paramètres qui seront ajustés par modification de leur valeur dans une table ou un fichier, sans que l’utilisateur n’ait à intervenir dans la structure même du modèle.

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Variables contrôlables et paramètres sont des points d'entrée du réseau : nœuds du réseau qui n'ont que des arcs émergents. L'identification des paramètres initie des investigations pour rechercher l'information nécessaire à leur évaluation. L’information disponible sur notre situation exemple nous donne les valeurs suivantes:

Paramètres :Capacité_actuelle = 15 000Tranche_supplémentaire = 5 000Investissement = 600 000Durée_d’amortissement = 10 Charges_de_structure_actuelle = 400 000Marché_global_annuel = 100 000 Publicité = 50000

En ce qui concerne le coût variable unitaire, on suppose que le produit fabriqué intègre une matière première achetée sur le marché mondial. Son cours d'achat subit des fluctuations aléatoires, caractéristiques des marchés à caractère spéculatif (métaux non ferreux, agro-alimentaire,...). L'étude historique de ces fluctuations conduit à l'hypothèse suivante, quant à leur impact sur le coût unitaire :

Coût variable unitaire en K€

60 65 70

Probabilité 0,2 0,5 0,3

Danc cette première étape, la valeur que l’on retiendra pour le coût variable unitaire sera sa valeur moyenne : 65,5 K€

3) Les variables auxiliaires : c'est l'ensemble des variables fonction d'autres variables, des paramètres et des variables contrôlables. Par exemple, la part de marché est fonction du prix de vente et de la publicité. Le seul problème qu'elles posent est celui de la détermination de la relation qui les lient aux variables dont elles dépendent.

4) Les critères : ce sont les variables qui mesurent l'objectif et qui permettront de savoir si les résultats obtenus par le test du scénario sont acceptables. dans notre exemple le critère retenu est la marge nette globale, et on recherche la politique qui lui donnerait la meilleure valeur.

Etape 4 : le modèle formel

C'est l'ensemble des relations liant les variables identifiées dans le réseau. Ce modèle peut être décrit dans un pseudolangage. Il est préférable de l'écrire selon la séquence logique des calculs, pour cela, on suit le réseau à partir des variables contrôlables comme point d'entrée. Les relations sont déterminées au fur et à mesure qu'elles se présentent. On obtient alors la séquence suivante, chaque variable auxiliaire constituant une ligne du modèle.

Part_de_marché = F(Prix_de_vente, Publicité)/* La détermination de la fonction F à partir de l’analyse des résultats de l'étude de marché sera faite ultérieurement.*/Demande = Part_de_marché * Marché_global_annuel

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Capacité_disponible = Capacité_actuelle + tranche_supplémentaire (SI Demande > Capacité_actuelle; Sinon 0)/* On n'augmente la capacité que si la demande le justifie */Production = Min ( Demande, Capacité_disponible)/* On ne peut pas produire plus que la capacité, il est inutile de produire plus que la demande */Ventes = Min ( Demande, Production)/* On ne peut pas vendre plus que la demande ou plus que le disponible */Chiffre_d'affaires = Prix_de_vente * VentesCharges_variables_globales = Production * Coût_variable_unitaireMarge_globale_sur_coûts_variables = Chiffre_d'affaires - Charges_variables_globalesAmortissement_supplémentaire = Investissement / Durée_d’amortissement (Si Demande > Capacité_actuelle; Sinon 0)Charges_fixes_annuelles = Charges_de_structure_annuelles + Amortissement_supplémentaireMarge_nette_globale_annuelle = Marge_sur_coûts_varaiables - Charges_fixes_annuelles

Etape 5 : le modèle programmé

Les quatre étapes précédentes sont indépendantes du choix du langage de programmation du modèle. Le tableur - "calculateur visible" – outil familier au gestionnaire, constitue un excellent outil de modélisation pour des problèmes de taille raisonnable, à condition de suivre quelques règles simples lors du développement. Le respect de ces règles de "bon usage" d'un tableur, s'il n'est pas impératif, est une condition nécessaire pour obtenir un modèle d'un bon niveau de qualité.Règles à respecter :

1 - Détermination d'une seule variable par cellule à partir des variables dépendantes, pour chaque variable auxiliaire. Il est possible de "tasser " les formules de calcul dans une seule cellule, mais on perd en lisibilité, en compréhension du développement, alors que de cette façon réalise un début d'auto-documentation du modèle.

2 - Utilisation systématique du nom de variable pour référencer une cellule : les adresses absolues ou relatives sont peu lisibles, l'utilisation de nom de variable mnémonique renforce la lisibilité du modèle;

3 - Pas de constante numérique dans le modèle, mais des paramètres que l'on met à jour dans une zone de saisie réservée,

4 -Recalcul automatique chaque fois qu'une nouvelle variable auxiliaire est entrée, de façon à pouvoir s’assurer de la vraisemblance du résultat - y compris toutes les sorties de test logique - . C’est le principe de validation progressive du modèle, que seul le tableur permet de mettre en œuvre facilement.

5 - La feuille de calcul est organisée sur 3 colonnes: libellé descriptif clair de chaque variable dans la première colonne élargie à 40 caractères ou plus, nom mnémonique donné à cette variable dans la deuxième colonne, la 3ième colonne est réservée, soit à la valeur numérique du paramètre ou des variables contrôlables, soit à l'expression de calcul de la valeur de la variable auxiliaire;

6 - Développement séquentiel du modèle : les variables nécessaires à un calcul à un niveau donné doivent être déterminées dans les lignes précédentes. Ce principe n'est pas obligatoire dans un tableur, mais il préférable de le respecter, toujours dans l'optique de faciliter la compréhension du développement, cela favorise la maintenance et l'évolution du modèle, c'est un facteur de qualité.La mise en oeuvre de ces « bons principes » nous conduit au modèle suivant, programmé sur EXCEL, ou sur tout autre tableur.

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Soit en faisant afficher les formules:

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La réalisation de ce modèle appelle les remarques suivantes- la richesse fonctionnelle du tableur permet, sans sortir d'EXCEL d'obtenir rapidement

l'allure graphique de la loi Part_de_marché=f(prix_de_vente), et l'analyste peut alors juger du type de modèle d'ajustement. On retiendra ici un modèle linéaire de régression, en utilisant la fonction DROITREG du tableur. Cette approximation est grossière, mais l’imprécision inhérente à ce type d’information rend inutile la recherche d’un modèle d’ajustement sophistiqué. On pourra prendre en compte cette incertitude et redonner de l'élasticité à la relation en injectant un aléa de l'ordre de grandeur de l'écart-type des coefficients de la droite d'ajustement, voir le § suivant. Dans le modèle, la pente est nommée "Pente" et l'ordonnée à l'origine "Ordo", ces noms de variable sont utilisés dans la relation du calcul de la part de marché.

Etape 6 : validation du modèle

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Cette étape est essentielle, il est indispensable que le modèle réalisé fournisse une aide efficace à la résolution du problème étudié :

- (1) il doit fonctionner sans erreur d’analyse ou de programmation- (2) il doit se comporter de façon cohérente et fournir des solutions pertinentes

Le pemier point sera plus facilement atteint en respectant les règles indiquées précédemment. Des études ont montré que le taux d’erreur peut–être extrement élevé dans des feuilles de tableur : c’est souvent la conséquence de sa facilité d’emploi et d’une absence de rigueur dans le développement. A notre sens, le tableur est un excellent outil de modélisation, pour autant que son utilisateur ait été bien formé à son usage et qu’il en respecte les règles.Le deuxième point est plus délicat : la validation externe du modèle se fera par l’observation et l’analyse de son comportement. On peut juger de la fiabilité du modèle par sa capacité à reproduire des résultats de situation antérieures connues (validation par historique). En ce qui concerne des situations nouvelles, l’analyste doit comprendre, par l’analyse des valeurs des variables auxiliaires, comment se forme le lien entre les hypothèses qu’il teste (valeurs des variables contrôlables) et les valeurs correspondantes obtenues pour les critères d’évaluation.Nous illustrons ce point dans le paragraphe suivant, concernant l’utilisation du modèle.

2-3  L’utilisation du modèle

Conformément à la démarche indiquée (figure n°2), après avoir fixé les valeurs des paramètres, l’utilisateur doit déterminer une première valeur pour les variables contrôlables qui lui donneront un premier résultat. Dans notre exemple, il doit fixer un prix de vente, qui doit être choisi entre 100 et 150 K€ et, par essais successifs, identifier celui qui dégagera la meilleure marge nette.

1 – Une approche dichotomique : avec une seule variable contrôlable, cette approche permet à l’utilisateur d’explorer systématiquement l’espace du problème est de trouver la mailleur solution. Il procéde de la façon suivante : il fixe le prix de vente à 100  et obtient une marge nette de 239100, puis à 150, il obtient -75391. Il essaie ensuite 125 (le milieu de l’intervalle), il obtient 295000. La partie gauche de l’intervalle donne un meilleur résultat, ce que l’on vérifie pour (125+150)/2= 137, on obtient 167550, alors que pour (125+100)/2 = 112, la marge nette est de 268080. Un dernier esai à (112+125)/2= 118 donne 326376 de marge nette ce qui semble le meilleur résultat possible, ce que confirme l’essai à 119 et à 117.On récapitule les résultats obtenus dans le tableau et le graphe suivant :

Retour sur la validation du modèle :La validation externe repose sur une analyse des résultats fournis par le modèle. Cette analyse est plus facile si l'on dispose de données historiques que le modèle permet de reconstituer. Ce point est surtout intéressant dans les modèles qui simulent des processus. Sinon, il convient

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d'examiner avec attention la cohérence des résultats obtenus en fonction des hypothèses des divers scénarios testés. Dans l'exemple étudié, on peut par exemple observer la problématique suivante :Si l'on pratique un prix de vente élevé, la pénétration de marché doit être plutôt faible, alors que la marge unitaire est forte, la combinaison des deux composantes conduit à une certaine marge globale. Symétriquement, si le prix est faible, on compose une part de marché forte avec une marge unitaire faible, d'où une autre contribution à la marge globale. On se trouve donc avec une fonction marge globale dont les deux composantes varient en sens inverse par rapport à une même variable causale : le prix de vente. Cette situation, fréquente en gestion (ex problème du lot économique, série optimale de lancement en production,... ) est favorable à l'éventualité d'un optimum, et l'on doit vérifier que la marge globale croit avec le prix de vente, passe par un extremum, puis décroît. Les résulats obtenus semblent cohérents : la fonction de marge nette globale a bien une allure parabolique : la marge globale est une fonction quadratique du Prix de vente , et on observe une rupture dissymétrique à 117 : c’est à partir de ce prix de vente que l’augmentation de la demande déclanche l’investissement en capacité de production. On observe donc un effet de seuil sur les charges fixes par la prise en compte de l’amortissement suplémentaire induit par cet investissement.

2-Recherche de la solution par la méthode de Monte-Carlo : S’il y a plusieurs variables contrôlables, l’approche dichotomique n’est pas envisageable. On utilisera la méthode de Monte-Carlo qui consiste à générer des solutions de façon aléatoire. On constitue ainsi un échantillon de solutions, cet échantillon est représentatif de la « population » des solutions possibles puisqu’il est construit au hasard. La meilleure solution de l’échantillon sera une solution « satisfaisante » que l’on pourra conserver. Pour notre exemple, il s’agit de générer des prix de vente au hasard, supposons 10, celui qui donnera la meilleure marge globale nette sera le prix de vente retenu.Excel dispose d’un générateur de nombre pseudo-aléatoire, la fonction Alea() qui renvoie un nombre au hasard, sur l’intervalle [0 ;1], en densité uniforme.Pour obtenir un prix de vente au hasard, en densité uniforme sur l’intervalle [100 ; 150], il suffit d’écrire la relation suivante :

Prix_de_vente= Ent(100 + 50 * alea())

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A chaque re-calcul de la feuille (F9), un nouveau prix de vente est généré, d’où une nouvelle marge :

Prix de vente au hasard

Marge nette globale

138 152 725146 10 951124 301 369142 87 042108 256 288149 -52 816101 227 048113 269 402120 320 624117 268 231

Cette série de 10 tirages aléatoires donne comme meilleure solution, un prix de vente de 120 K€ pour une marge nette globale annuelle de 320 624 k€.

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3-Traitement de l’incertitude affectant l’information utilisée: évaluation de son impact sur les critères de décision

Certains paramètres et certaines variables auxiliaires peuvent avoir une composante aléatoire qui provient :

- soit du fait qu’il s’agit d’une information prévisionnelle et que la détermination de sa valeur est nécessairement affectée d’incertitude: par exemple le marché_global sera estimé à 100000 unités +/- 10%,

- soit d’une incertitude liée à la nature aléatoire de la variable : cours d’une matière première à caractère spéculatif, métaux non ferreux, pétrole, agro-alimentaire,…

- soit pour prendre en compte la distorsion de l’information résultant du caractère arbiraire de certaines procédures de traitement de l’information , comme par exemple les règles d’imputation de charges indirectes dans la détermination d’un coût de revient,

- soit d'une incertitude liée à l'estimation statistique de la relation de dépendance, par exemple l'estimation par régression de la relation part_de_marché=F(prix_de_vente) pour un buget de publicité fixé.

De la même façon que le physicien évalue l'incertitude des mesures qu'il réalise, il est intéressant pour le gestionnaire d'adopter une attitude analogue et de chercher à évaluer la fiabilité des informations qu'il utilise. Plutôt que de raisonner comme si il était dans un monde certain, le gestionnaire doit identifier les facteurs de risque, mesurer leurs effets sur les valeurs prises par les variables qu'il utilise, et évaluer l'impact de ces aléas sur les valeurs prises par les critères de décision. C'est à cette condition qu'il peut ensuite entreprendre des actions de réduction d'incertitude lorsque cela est possible et qu'il peut définir les niveaux de risque qu'il juge acceptable.La caractérisation de cette incertitude se fait en associant à chaque variable une densité de probabilité modélisée par une loi connue : loi Normale, loi de Poisson, loi Béta, ... ou une loi quelconque identifiée par des mesures de fréquence historique. En l'absence d'une forme particulière, on pourra toujours se placer dans des conditions d'incertitude maximum, en évaluant la plage des valeurs possibles pour la variable et en lui associant une densité uniforme, par exemple, une prévision du marché global annuel d’un produit estimé à 100000 unités plus ou moins 10%. Associer une mesure de l’erreur possible à l’estimation d’une grandeur économique différencie la prévision, fiabilisée, de la prédiction. Son utilité est importante, par exemple, la connaissance de l’incertitude sur des délais de livraison ou des niveaux de consommation permettra de mieux dimensionner des stocks de sécurité.Les langages de programmation et les tableurs disposent d'un générateur d'aléa qui permet de donner, à chaque variable affectée d'incertitude, une valeur obtenue au hasard et conforme à sa densité de probabilité, ces aléas sont propagés par le modèle qui évalue leurs contributions à la formation du critère de décision.

3-1 La génération de variables aléatoires

a) cas d'une variable aléatoire uniforme:C'est l'exemple du marché global dont on suppose que sa valeur future est de 100 000 +/- 10% : toute valeur comprise entre 90 000 et 110 000 est possible, on l'obtiendra par la relation linéaire

Marché_global = 90 000 + 20 000 *Alea()Si Alea() = 0, Marché_global = 90000; si Alea()=1, Marché_global= 110000 et pour toute valeur de l'aléa uniforme appartenant à [0;1] on obtient en équiprobabilité une valeur de marché global, par exemple si ALEA()=0,5, Marché_global=100000

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b) cas d'une densité de probabilité particulière : C'est l'exemple du coût variable unitaire, le principe est le suivant: on cumule la densité de probabilité pour obtenir la fonction de répartition.

Coût variable unitaire 60 65 70Probabilité 0,2 0,5 0,3Probabilité cumulée 0,2 0,7 1

On découpe le segment de longueur 1, sur lequel on tire un nombre aléatoire appartenant à [0;1], selon les probabilités cumulées.La probabilité d'obtenir un aléa <= 0,2 est égale à 0,2. Si cet événement se réalise - obtenir un nombre aléatoire entre 0 et 0,2 - on a simulé un événement dont la probabilité est de 0,2, on dira alors que le coût variable est égal à 60; puisque la probabilité qui est associée à cette valeur est 0,2. De même si l'on obtient un aléa compris entre 0,2 et 0,7, on a réalisé un événement dont la probabilité est de 0,5, le coût variable sera de 65; enfin si l'aléa est supérieure à 0,7, sa probabilité est de 0,7 et le coût variable sera de 70.

D'où le programme de calcul du coût variable en fonction de l'aléa obtenu : Aléa = Alea(); /* appel de la fonction Alea() */Si Aléa <= 0,2 Alors Coût_variable_unitaire = 60;

SinonSi (Aléa > 0,2 Et Aléa <= 0,7) Alors Coût_variable_unitaire = 65;

Sinon Coût_variable_unitaire = 70;Finsi;

Finsi;

c) Le cas d’une variable aléatoire suivant une densité de probabilité correspondant à modèle théorique connuSupposons que l’investissement d’une tranche supplémentaire de capacité de production conduise à l’installation d’un nouveau matériel pour lequel on peut penser qu’un certain nombre d’aléas : politique de maintenance, fiabilité, absentéisme du personnel,… vont induire une incertitude sur sa disponibilité réelle. Cette dernière est supposée distribuée selon une loi normale de moyenne 5000 et d’écart-type 200. Cela signifie que la disponibilité réelle de cet équipement sera comprise entre 5000- 2*200 = 4600 et 5000+2*200=5400 avec une probabilité de 0.95. On bornera les valeurs possibles dans la limite de +/- 3 écart-types.Excel dispose de la fonction Loi.Normale.Inverse qui renvoie la valeur de la variable aléatoire (capacité de la tranche supplémentaire) pour toute valeur de probabilité de la fonction de répartition, qui mesure la probabilité d’avoir une valeur de la v.a . inférieure ou égale à la la valeur obtenue pour cette v.a.. A toute valeur aléatoire de la fonction de répartition (probabilité cumulée) obtenue par la fonction alea(), on pourra ainsi associer une valeur particulière de la capacité supplémentaire, distribuée selon la loi normale identifiée. Les paramètres passés à la fonction – utiliser l’assistant fonction d’Excel – seront donc

- champ Probabilité : alea()- champ Espérance : 5000- champ Ecart_type : 200

La valeur de capacité renvoyée dans la cellule , ex : 4978, sera différente pour chaque valeur d’Alea().Le dispositif de génération des fluctuations aléatoires étant construit, on peut passer à son expérimentation. L’objectif est de tester la sensibilité de la politique optimale à l’incertitude de

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l’information utilisée pour évaluer certaines des variables qui ont contribué à la définir, sur la base de leur valeur moyenne (Figure n° 7). Les aléas générés en entrée sont propagés par le modèle et leur combinaison va disperser les valeurs du critère obtenues en sortie : pour chaque valeur aléatoire de marché global, de coût variable unitaire et de capacité de production, on obtiendra une marge nette globale différente. Il conviendra alors de caractériser cette distribution de marge nette globale aléatoire en mesurant sa valeur moyenne et son écart-type.

Comme nous l’avons indiqué précédemment, par la touche fonction F9 on obtient un recalcul de la feuille donc une génération de l’ensemble des aléas et une valeur aléatoire résultante de la marge nette globale. Afin d’automatiser ce processus, nous allons mettre la feuille Excel dans une boucle itérative que l’on va exécuter n fois (n=500, par exemple), en mettant en place un calcul automatisé de la valeur moyenne de la marge nette et de son ecart-type. A cette fin on utilise le mode calcul itératif d’Excel

3-2 Le calcul itératif avec EXCEL

a – Principe : Le principe du calcul itératif consiste à imposer le recalcul d'une feuille autant de fois qu'on le désire, les résultats de la nouvelle feuille (itération n) dépendent des résultats obtenus lors du recalcul de la feuille à l'itération précédente (n-1).le contrôle du calcul itératif se fait par la séquence de commandes suivantes du menu Outils:Options, Calcul où l'on coche la case "Itération" et où l'on précise le "Nb maximum d'itérations:". (ex : 500)La validation, bouton "OK", déclenche le calcul itératif qui effectue le nombre d'itérations spécifié.L'information "Ecart maximum" sera ignorée dans l'utilisation d'EXCEL pour la mise en oeuvre de la méthode de Monte Carlo.

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b-Les problèmes: en calcul itératif, le tableur descend systématiquement la colonne (ou la ligne) en recalculant séquentiellement toutes les cellules. EXCEL est un tableur optimisé qui ne recalcule que les cellules susceptibles de changer de valeur compte tenu des relations de dépendance qui les lient. En conséquence, les fonctions ALEA() des diverses cellules ne sont recalculées qu'une seule fois, à la première itération et ne sont pas recalculées aux itérations suivantes puisque rien ne les lie explicitement à l'itération précédente. Ce qui est gênant puisque notre objectif est de regénérer une valeur aléatoire pour ces variables, à chaque itération, afin d'en évaluer l'impact sur les critères de décision. ce qui lui permet de regénérer un aléa chaque fois que la fonction ALEA() est rencontrée dans une celluleLe deuxième problème tient au fait que la fonction qui contrôle le nombre d’itérations n’est plus accessible dans Excel, alors qu’elle l’était dans les tableurs de la génération précédente (Multiplan, Lotus, Quattro,…). Sa disponibilité facilitait le contrôle d’initialisation des différents cumuls que nous allons devoir faire : calcul de la valeur moyenne, de la variance ou d'une probabilité.

c-Les solutions : ces deux problèmes vont être résolus en créant un compteur d'itérations. On crée le nom de variable Compteur, on l’affecte à la cellule adjacente, dans laquelle on entre ensuite : =Compteur+1 EXCEL signale alors une référence circulaire puisque la nouvelle valeur de la cellule est l'ancienne valeur de cette cellule plus 1, mais le calcul itératif sait résoudre les références circulaires, - il calcule séquentiellement les différentes cellules - ce qui va permettre de faire des cumuls dynamiques.L'existence de ce compteur permettra :

1 - d'initialiser les cumuls (compteur=1)exemple: pour une cellule de la colonne C et de la ligne dans laquelle on veut cumuler les valeurs successives des marges nettes obtenues à chaque itération (cellule C ) pour pouvoir ensuite calculer la marge nette globale moyenne :

=si(Compteur=1;Res;Cumul+Res)C'est sur ce principe que l'on peut cumuler de façon dynamique les différentes valeurs de marge nette obtenues à chaque itération.

2 - de lier explicitement le compteur à toute cellule dont on veut forcer le recalcul à chaque itération parce qu'elle contient un appel de la fonction Alea().Exemple pour obtenir un nouveau marché global à chaque itération:

Ent(90000+20000*alea()) + Compteur - CompteurCompteur étant le nom donné à la cellule qui contient le compteur d'itérations. Le fait d’ajouter et de retrancher la même valeur est un artifice qui ne modifie pas la valeur de la cellule, mais contraint Excel à ré-évaluer cette cellule qui dépend de la valeur du compteur, valeur qui change à chaque itération. C'est ce que l'on fait également pour la cellule dans laquelle on génère l'aléa pour le coût variable et celle du calcul de la capacité supplémentaire disponible.Pour lancer le calcul et assurer l'initialisation des variables, il suffit de placer le curseur sur la cellule contenant la valeur du compteur d'itérations, de faire F2 suivi de Retour.

3-3 Mise en place des indicateurs statistiques permettant de caractériser la distribution du résultat

A chaque itération, la feuille est recalculée, les aléas sont générés et donnent une nouvelle valeur de marché global, de part de marché et de capacité de production, donc on obtient un nouveau résultat économique. Naturellement, chaque nouvelle itération « écrase » les résultats de l’itération précédente. Afin de pouvoir conserver l’information permettant de calculer les

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paramètres caractérisant la distribution statistique du résultat, on utilise la possibilité de calcul de cumul en mode calcul itératif :

- la moyenne de la marge nette globale annuelle sera obtenue en cumulant les résultats obtenus à chaque itération et en le divisant par le nombre d’itérations (valeur du compteur)

- sa variance sera obtenue en cumulant les écarts centrés quadratiques et en le divisant par le nombre d’itérations

- on pourra également calculer la probabilité d’atteindre un objectif de résultat fixé à priori, en comptant le nombre de marge nette globale supérieure ou égael à cet objectif, divisé par le nombre total de résultats obtenus.

3-3-1 Calcul de la moyenne  :Soit Xi la marge nette de l’itération i : L’espérance mathématique de marge ou valeur

moyenne sera : , n est le nombre d’itérations, c'est-à-dire la valeur du compteur.

Soit dans Excel :On nomme la cellule dans laquelle on va faire le cumul des marges nettes : CumulOn programme le cumul en l’initialisant avec la marge nette obtenue Res à la première

itération (Compteur=1), soit :Cumul = Si (Compteur=1; Res ; Cumul+Res)D’où la valeur de la marge nette globale moyenne : EspmargeEspmarge = Cumul / Compteur

3-3-2 Calcul de l’écart-type  :

On calcule la variance Vx =

Soit après développement de la formule : Vx =

Et l’écart-type :

Soit dans Excel :On nomme Cumarge2 le cumul des marges nettes moyennes quadratiques, que l’on

initialise avec le carré de la première marge nette moyenne obtenue (Compteur=1) :Cumarge2 = Si (Compteur=1 ; Res * Res ; Cumarge2 + Res * Res)

D’où la variance VarVar =( Cumarge2 / Compteur) – Espmarge * EspmargeEt l’écart-type Sigma :Sigma= Racine (Var)

3-3-3 Calcul de la probabilité d’atteindre un objectif de résultat donné

Supposons que cette unité de production se voit assigner un objectif de marge nette globale annuelle de 250 000 K€. On peut évaluer la probabilité d’atteindre cet objectif en mesurant la fréquence expérimentale avec laquelle ce résultat sera obtenu dans la simulation: l’objectif est atteint chaque fois que le résultat d’une itération est supérieur ou égal à 250 000 K€. Pour mesurer cette fréquence on compte le nombre de fois que la marge est supérieure ou égale à l’objectif et on le divise par le nombre total de résultats obtenus.

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On nomme Cumres la cellule dans laquelle on programme le calcul du nombre d’itérations où la marge est supérieure ou égale à l’objectif, nommé Objectif que l’on a entré dans la zone des variables contrôlables. Comme pour les autres calculs de cumul, on utilise compteur =1 pour initialiser le cumul à la valeur 0, ce qui suppose que la première marge obtenue n’est pas supérieure à l’objectif. - Cette minoration éventuelle de la fréquence mesurée n’est pas significative -.Soit :Cumres = Si (Compteur=1 ; 0 ; Si ( Res >= Objectif ; Cumres + 1 ; Cumres))La variable Cumres est incrémentée de 1 si la marge Res est supérieure ou égale à Objectif.D’où la fréquence mesurée, que l’on assimilera, par définition, (le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles) à la probabilité d’atteindre l’objectif :Proba = Cumres / Compteur

3-4 Mise en oeuvre de la simulation 1. On fixe les paramètres et les valeurs retenues pour les variables contrôlables2. On fixe le nombre d'itérations : Outils, Options, Calcul, Itérations, nombre max

d’itérations=500, par exemple. Ce nombre maximum est revu par ajustement successif en examinant la stabilisation de la valeur moyenne du critère (marge_nette_globale_moyenne). Plus le nombre de variables aléatoire est élevé plus il faut envisager un nombre important d'itérations.

3. On initialise le compteur d'itérations en positionnant le curseur sur la cellule du compteur, puis F2 et Entrée, ce qui lance la simulation et réinitialise tous les cumuls.

4. Il peut-être intéressant d’introduire les variables aléatoires séparément, une par une, de façon à voir l’impact spécifique de chacune d’elles sur les critères (espérance mathématique, écart-type, Probabilité).

On pourra constater, ensuite, que chaque fois que l’on introduit une variable aléatoire supplémentaire, la dispersion du résultat augmente.

On trouvera ci-après, la feuille Excel (sans et avec formules) pour l’exemple support du cours.

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Bibliographie

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