CONTRIBUTION A L'ETUDEDU «COMPORTEMENTMATHEMATIQUE"D'ELEVESDE LACLASSE DE TROISIEME

RÉSUMÉ

L'analyse factorielle des résultats à un test deconnaissances en algèbre et géométrie, proposé à 2856élèves des classe de 3° (niveaux 1 et Il, établissementsurbains et ruraux). fait apparaTtre des comportements etdes stratégies différents, spécifiques à chaque type declasse.

Trois facteurs séparateurs sont isolés dans ['ordredécroissant de leur importance dans le comportement.Ce sont:

1°) un facteur lié à la forme (ouverte ou fermée) desquestions;

2°) un facteur relatif au niveau des classes;

3°) un facteur Hé aux notions mathématiques elles­mêmes.

Certaines hypothèses d'ordre « étho-pédagogique »

sont formulées et discutées tout au long de ce travail.

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1. - INTRODUCTION

Malgré la véritable (( révolution copernicienne» intro~

duite dans la didactique des mathématiques, à la suitenotamment des travaux de J. Piaget et de l'Ecole gene­voise, on sait que persistent de nombreuses difficultés auniveau de la mise en œuvre pédagogique, tant il est vraiqu'un changement structurel, même fondé sur une recher~

che fondamentale préalable, ne saurait se suffire et opérerJ'économie d'un prolongement heuristique.

Il est désormais reconnu que l'épistémologie géné­tique, ayant montré de façon radicale l'inadéquation d'unenseignement classique fondé a priori sur une axioma_tique linéaire, a condamné dans le même temps une pra­tique pédagogique verbale et dogmatique, aux principeshérités d'un behaviorisme plus que sommaire.

L'objet du présent travail ne se situe donc pas dansle cadre d'un problème de psycho-pédagogie génétique,mais bien plutôt dans la perspective d'une recherched'ordre éthologique: étant connues les étapes de l'onto­genèse « mathématique» (ordre de succession des stadeset état d'« équilibre» car<:lctéristique de l'adolescent etde J'adulte), et étant posé 1'« environnement mathéma­tique» (dans le cadre de sa nouv,?lle et récente définitioninstitutionnelle), il se propose de tenter l'appréhensionde certaines difficultés comportementales et relationnel­les, susceptibles de gêner, de retarder, voire d'inhiberl'acquisition de certains «schèmes» fondamentaux.

Toutefois, dans l'intention d'éclairer ce qui suit, unrapide détour nous parait nécessaire à propos de lanotion d'environnement.

Qu'est-ce que l' C( environnement pédagogique" ausens large? Qu'est-ce que ]' l< environnement mathéma­tique» ? Quelles sont les finalités de ce dernier? Quelscomportements cherche-t-il à structurer, et à quelles atti­tudes vise-t-il ?

On peut remarquer d'une façon générale que la spé·cificité de l'action pédagogique, par rapport à tout autretype de relation interhumaine, se situe essentiellementdans la création d'un environnement particulier ou.. modèle» (1)·, cherchant (notamment par « tampon·nage" des stimulations - parasites -, à éveiller, faciliteret renforcer (2) certaines catégories de réponses qu'exigela réalité sociale globale de laquelle participe l'institutionscolaire,

Toutefois - et cela nous paraît fondamental -,quelles que soient [es finalités sociales posées a priori,la structuration du modèle «disciplinaire " revient enpropre au pédagogue, qui se voit dès lors confronté à

• Les appels de notes renvoient à la bibliographie en find'article,

une nouvelle série de contraintes, essentiellement psycho~

logiques" psycho~sociales, didactiques et épistémologiques.C'e-st sur cer ensemble~ ou' ensemble « psycho~péda~

gogiquè 'l, non disjoint de' l'ensemble «'social ", mais pré­sentant sa structure interne propre (3), que portera notreanalyse. Quels en sont les éléments pertinents -en ce quiconcerne la' mathématique?

Catégorisées de façon parfois arbitraire, et formuléesdans une perspective strictement opératoire, les proposi­tions qui suivent, tirées de documents élaborés dans lecadre de l'I.R.E.M. (4-5) de Rennes, si elles peuventéclairer notre propos, rie 'pnitendent nullement à l'exhaustl~

vité.

a) Problématique psychologique: formation' à l'obser­vation «active» et ft critique ", à l'analyse, à l'appréhen~

sion des structures, à « l'économie" de pensée : dévelop~

pement et contrôle de l'int,uition, etc.b) Problématique psycho-sociale: amélioration de la

communication interîndividuelle et de groupe par larecherche de la vraisemblance, de l'exhaustivité, par lapratique de la formulation algorithmique; formation à laprise de décision, sensibilisation et o'uverture à un lan­gage interdisciplinaire, etc.

c) Problématique didactique: enseignement de ft struc~

tures,. et -non de « contenus >l, utilisation de supports àla fois thématiques, manipulatoires et technologiques,minimisation du nombre de notions et de termes primi~

tifs --? refus d'une axiomatisation globale et linéaire~ pratique de chaînes déductives à l'intérieur de « mini­théories ", etc.

dl Problématique épistémologique : statuts différen­tiels de l'existentiel et de l'unlversël, des situations"ouvertes" et « fermées ", de l'observation~formalisation,

de l'axiomatisation, de la déduction-vérification, de laprédiction des modèles; rejet de la dichotomie arbitraireintroduite entre algèbre 'et géométrie, etc.

L' « environnement mathématique,. étant défini dupoint de vue des stimuli, éléments ou schémas «déclen­cheurs" et ft orienteurs" qu'il tend à promouvoir (6), tantau niveau du système qu'à celui de la conscienceréflexive du pédagogue-praticien, nous nous centreronsalors sur quelques-uns des comportements induits, selonles perspectives ouvertes par l'éthologie, en tentant, pourle cas où nous nous trouverions en présence d'écarts oude distorsions comportementales de la part des sujets,de formuler quelques hypothèses relatives à' leurs causes.

li. - MATËRIEL EXPËRtMENTAL.UNIVERS ET MODALITËS DE LA RECHERCHE

La recherche s'est déroulée en mars 1973, c'est~à~

dire à un moment de l'année scolaire relativement favo-

rable, à partir d'un test ·de connaissances collectivementélaboré par les enseignants~chercheurs de l'I.R.E.M. deRennes, le traitement Informatique -ultérieur étant effectuépar B. Cordier-Escoffier et A. Le Roux grâce à "ordinateur(Cil '10070) du centre interuniversltaire de calcul.

L'épreuve comprend 2 subtests, l'un portant sur l'algè_bre et l'autre sur la géométrie (voir annexes 1 et Il; ques­tionnaires et réponses). Aussi exhaustive 'que possible,c'est-à-dire reproduisant aussi exactement que possibledans sa structure la progression pédagogique effective,elle porte sur l'ensemble des prpgrammes en vigueurdans les classes de 4° et de 3°.

Le questionnaire relatif à l'algèbre comporte 45 ques­tions à choix multiples, (Q.C.M.) 3 questions formellementproches des Q.C.M. et 28 questions ouvertes (réponses àconstruire). Nous verrons par la suite tout "l'intérêt decette différenciation formelle. Le questionnaire de géo~

métrie propose 5 Q.C.M. ou « apparentées" et 12 ques­tions « ouvertes ".

Les résultats sont comptabilisés par classe et nonpar sujet.

Les hypothèses ou interrogations ayant présidé à laconstruction de l'épreuve sont les suivantes:

a) il existe un écart entre les objectifs psycho­pédagogiques précédemment esquissés et le comporte­ment effectif de certains élèves;

b) parmi les supports notionnels enseignés visant àstructurer les .. attitudes" recherchées par l'enseignementde la mathématique,

- certains ne sont pas mémorisables ou mémorisés,- d'autres ne sont pas compris,- d'autres ,enfin ne sont pas Intégrables à des

« schèmes opératoires formels .. ;

c) des corrélations existent entre ce qui précède etcertains types de sujets;

d) il existe des difficultés pour l'ensemble des sujetsquelle que soit leur place dans la typologie retenue.

L'enquête a porté sur les départements d'Ille-et-Vilaine(35) et du Morbihan (56) de l'académie de Rennes. Elle atouché 2856 sujets répartis en 115 classes pour l'algèbre,et 102 pour la géométrie. En fait, ces résultats ont étéextraits d'un ensemble initial de 165 classes, à la suited'une difficulté non négligeable et risquant d'introduire un« biais .. dans l'analyse ultérieure. En effet, tandis que l'Ins­pection Académique du Morbihan rendait obligatoire lapassation du test, celle d'Ille-et-Vilaine choisissait de lais­ser la liberté de réponse ou non-réponse aux enseignantsconcernés. (Ce qui montre, soit dit en passant. le typed'obstacles auxquels se confronte souvent la recherchepédagogique dans notre pays.) Par suite les deux ensem-

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bles ont dO se trouver différenciés sans que cette parti­tion affine pour autant l'analyse (7), le fait de retenir,respectivement 115 et 102 classes étant fonction des possi­bilités d'exploitation de la fiche récapitulative du profes­seur responsable de la correction, et fonction de lanetteté d'appartenance de la classe à l'un des élémentsde la partition.

Pour ce qui concerne cette dernière, les variablesretenues sont les suivantes:

a) environnement soclo-culturel de la classe, d'aprèsle lieu d'Implantation de l'établissement:

- classe de type urbain (U),- classe de type rural (R);

b) niveau de la classe, selon les critères actuellementen vigueur dans l'enseignement secondaire:

- classe de type l,- classe de type JI;

c) département.

C'est ainsi, pour prendre un exemple, qu'une classerurale, de type l, du Morbihan, sera codée R. 1. 56. (Voirannexe III, tableau des classes. et annexe IV, statistiques.)

Ajoutons, enfin, qu'un prolongement à cette recher-che a été programmé pour les deux années à venir. Il sepropose d'Intégrer les variables:

- d'âge,- de sexe,- d'appartenance socio-professionnelle des parents,

et sous réserve de leurs possibilités de repérage et deformalisation,

- les données les plus pertinentes relatives àl'anamnèse ou histoire des sujets,

- les données relatives à l' te histoire pédagogique»des enseIgnants,

- et surtout le te climat", de la classe selon la typo­logie proposée par K. Lewin (climats te autocratique "'.«démocratlque« et • laissez-faire «) (8) (9) (10) (11).

III, - TRAITEMENT MATHÉMATIQUE DES DONNÉESRECUEILLIES

La méthode utilisée est, nous l'avons vu, l'analysefactorielle des correspondances, mise au point par J.P.Benzecrl et B. Cordier-Escoffier (12) (13) (14) en 1965.Nous en rappellerons brièvement les principes.

D'une façon générale, comme le formule avec bon­heur A. Prost (15), « l'analyse factorielle consiste à dégagerdes données, une série d'axes tels que le premier résumela plus grande partie de l'information, le second la plusgrande partie de l'information restante et ainsi de suite(p. 6) ». Toutefois, l'auteur prend bien soin, et à juste

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titre, de préciser : te Il est difficile d'Imaginer ce quesignifient ces axes: ce sont en effet de pures construc_tions mathématiques où "on ne saurait rechercher concrè.tement telle ou telle des données Initiales (p. 6-7). '"

Toutefois, plus que de poursuivre l'explicitation théo­rique de la méthode que l'on trouvera par ailleurs (16),Il nous parait de beaucoup préférable de tenter mainte­nant de montrer sa mise en œuvre dans la présenterecherche.

Soit le tableau de données à double entrée:

s -------- J --------classe

1 11 1

1 -------- 1 --------1 11 1

1 1

n1 -------- 1 --------

J-1 1

1 --------- 1 --------1 11 1

où ntJ est l'effectif des élèves de la classe i à avoirrépondu avec exactitude à la question j.

Ce tableau donne des nuages de points pondérés,NI, NJ", Nu (1 ensembles des classes, J ensemble desquestions d'algèbre, par exemple) sous-ensembles res~

pectifs d'espaces à 115, 76 et 191 dimensions: chaqueclasse, chaque question, chaque couple classe-questiondéfinit un espace à 1 dimension. L'étude de la correspon­dance 1~ J s'effectue ici dans l'espace RI x RJ munid'une forme quadratique et donc d'une distance, aprèsque l'on ait muni chaque espace RI et RJ de distances« conditionnelles»: ainsi RJ est, par exemple, muni dela distance dJ (1) « conditionné» par la distribution sur RJ

des points-questions, compte tenu des réponses fourniespar les classes et du poids (Le. des effectifs) de celles-cl.Deux questions seront d'autant plus «voisines»selon dJ (1) que les fréquences d'exactitudes des réponsesà ces deux questions le sont pour l'ensemble des classes.L'étude des coordonnées, rendant compte des proximités,des points questions et des points classes se pratiqueà la suite de l'extraction des vecteurs et des valeurspropres de différentes formes bilinéaires symétriques défi-

nies par les distributions '( conditionnelles ». On montrequ'il suffit de connaître, par exemple, les valeurs propresde la forme Mso OS(I), où OS(I) est la forme qui a définid:(l) et MJ la matrice centrale d'inertie de NJ, pour obtenlrles coordonnées recherchées pour le nuage Ns : lesvaleurs propres sont des expressions de l'inertie desnuages pour les facteurs que l'on veut mettre en évidence.Ces facteurs correspondent aux axes principaux d'inertiedes nuages. L'allongement du nuage (moment d'inertieimportant), suivant un axe principal, traduira un rôleessentiel (<< grande» valeur propre) du facteur qu'ils'agira, dans l'analyse, de reconnaître...

IV. - LES RÉSULTATS OBTENUS

Etant entendu que nous trouverons de toute évidence,pour les deux questionnaires, respectivement 76 et 17valeurs propres, nous ferons d'emblée les remarques su:­vantes:

1) pour ce qui concerne j'algèbre:

La première valeur propre (différente de 1) représenteà elle seule 25 % de l'inertie (17) totale. Ceci revient àdire que nous nous trouvons ici en présence d'un facteurjouant un rôle important puisqu'il intervient pour un quartdans la relation «question-classe ".

En inertie cumulée, les trois premières valeurs repré­sentent 41 % de l'inertie totale.

2) pour ce qui concerne la géométrie:

La première valeur propre absorbe cette fols 35 %

de l'inertie totale, les trois premières valeurs propresreprésentant près de 60 J/o de cette inertie.

Ouels sont donc ces facteurs responsables de la plusgrande partie du «comportement relationnel» ? C'est ceque nous allons essayer de montrer ci-dessous en neretenant que les trois principaux facteurs mis en évidencepar l'analyse et qui, globalement, «induisent" plus de lamoitié" du comportement des classes,

Pour ce faire, nous projetterons les nuages suivantdeux axes factoriels â. la fois (ou axes centraux d'inertie).,qui se trouvent déterminés par les vecteurs propresassociés aux valeurs propres, par exemple de la formebilinéaire MJO OJ(I) s'agissant du nuage Ns. Seuls nousintéressant les trois premiers facteurs, nous projetteronsdonc Nt et N.r dans R.t sur les plans définis par les 1c~

et 2c axes ($1 et $"l~), puis par le 1~" et le 3" axes (,'Plet ,'73).

A) Le premier facteur:

Disons d'entrée que ce premier facteur sépare nette­ment, zussi surprenant que cela puisse paraitre, les ques­tions OCM des questions "ouvertes >l, et semble donc

non essentiellemenl lié à la difficulté même de la question,mais à la manière de la formuler.

On connaît depuis longtemps déjà, en scienceshumaines, l'impact de la forme de la question sur laforme et le contenu de la réponse, au point que lestechniques de l'entretlen et du questionnaire on faitl'objet de recherches spécifiques aboutissant à une métho­doiogie précise (18) (19) (c'est~à·dire à une « codification"rigoureuse du comportement de l'interviewer - cf.L' «attitude non directive)· etc.). Ce résultat n'était toute­fois pas prévisible a priori dans les mathématiques.

Comme le montrera l'analyse ci-dessous, il comporteles corollaires suivants:

a) les classes de type 1 réagissent mieux que cellesde type 11 aux questions ouvertes;

b) la différence entre les deux types est moins netteeil milieu rural qu'en milieu urbain.

Cet ensemble de propositions qui s'ouvrent sur desnombreux problèmes psycho-pédagogiques, sera discutéau niveau de la conclusion. Nous nous limiterons pourl'lnstant à leur analyse mathématique,

a) Algèbre

Considérons le schéma 1 (projection dans R~~ dunuage NJ d.es questions d'algèbre sur le plan $'/1 ::;;~,

dans lequel chaque croix représente une ou plusIeursquestions ouvertes et chaque cercle une ou plusieursquestions OCM).

Il y est bien clair que le premier facteur $/1 sépareles OCM (abscisses positives) des autres questions(abscisses négatives). Nous noterons en particulier laprésence - dans la partie du nuage relative aux ques­tions atteIntes en fin d'épreuve - des questions 5, 6, 10,11, 12, 13,14, auxquelles les sujets ont da répondre endébut d'épreuve. Ceci infirme donc l'hypothèse qui consis­terait â voir dans $fI un facteur chronologique mettant enévidence une typologie «lenteur-rapidité» dans l'exécu­tion du test. (Ce qui n'est toutefois pas à négliger etapparaît vraisemblablement par un autre facteur.)

Notons encore à l'appui de ce qui précède: la proxi·mi;é des coordonnées sur le 1er axe, des questions 58.61, 62 (ouvertes), alors que les questions 59 et 60,(QCM), qui préparent les questions 61 et 62 en sont trèséloignées.

Par ailleurs, les questions 1, 2, 3, 4, 7 et 8, non OCl\-lSO:1t les seules de ce type à figurer dans le nuage QCM.N'est-ce pas tout simplement parce que leur formulations·avère bien proche d'une OCM ?

On pourrait enlin être tenté de soutenir que la diffi·culté mathém<'ltique de la question s'avère l'argumen.sépara!eur du 1'" axe, Etant entendu qu'il se më!e coniu-

45

031024034

><57

F,

21

1026 301 )(2 00 0

0 59

023

015

0000

047 046

F,

sément à celui de la formulation, il ne parait cependantni dominant, ni suffisant pour caractériser &'J 1. Sinon,comment expliquer, entre autres, la distance entre 63et 58?

b) Géométr;e

(Voir schéma Il, des projections dans R" du nuage Nides questions de géométrie sur le plan !!7Jl, $f~, avecles mêmes conventions que précédemment.)

Le nombre de questions étant ici plus réduit, l'hypo~

thèse s'avère moins solidement fondée, bien que soitencore confirmée la séparation QCM - non QCM : les5 QCM ont en effet des abscisses positives et la majoritédes questions ouvertes des abscisses négatives ou voi­sines de zéro.

nuage--+-'-'-"--"--'--+;~~~--c~l-a-ss::e-s---'\---g;;

type Il

Les positions très à gauche, de la question 15 (cf.Annexe), et assez loin de la droite de cette dernière,des questions 16 et 17 dont les réponses ,dépendaientthéoriquement de la précédente, et dont les coefficientsde réussite sont supérieurs - si elles rassurent surl'aptitude des élèves à percevoir et à dessiner, puisqu'ils'agissait de trouver dans la nouvelle graduation, uneabscisse et une distance -1 confirment plus sérieusementnotre hypothèse.

Enfin pour ce qui concerne les «types» de classes,nous constatons sur les projections (schéma III ci­dessous) du nuage NI sur les mêmes plans que précédem­ment, la « ressemblance» des classes de type Il, de parleur proximité des QCM et leur éloignement des non­QCM. Le phénomène est cette fois très net en géométrie.

1,'

---\---.,iR---4---f,'

Schéma III

Une dernière remarque s'impose: si nous soumettonsles classes de type Il au critère séparateur urbain-rural,nous nous rendons compte que les classes rurales detype Il s'opposent moins, selon cet axe, aux types 1que les classes urbaines de type 11.

B) Le deuxième facteur:

Ce facteur sépare nettement cette fois les classesde type 1 de celles de type Il. Il s'agit donc ici d'un pro­blème de NIVEAU. Si l'on représente les moyennes des

ensembles de classes suivant ce facteur, on obtient leschéma suivant (1 ". ligne: en géométrie; 2° en algèbre):

RII56 RI35 RI56M: K )( lEM: iii; " ~ j

UII56 UIl35 RII35 UI35 UI56

IlUII35 RII35 U!35 R!56 Rl35

Il Il Il M Il Il.' JI

47

Nous retiendrons les schémas précédents, qui indi­quent la position des projections des points de Nr et deN, suivant le 2" facteur. Oans l'ensemble - la remarqueétant plus nette en géométrlé -, le 2" facteur (:92 ou:7'2) sépare encore les types 1 et Il. Devant la difficultéà différencier plus finement le phénomène question, nousavons recherché les barycentres des fragments de nuagesrelatifs' à la partition des ensembles des 115 et 102classes testées respectivement en algèbre et géométrieselon les 3 variables prédéfinies.

Les partitions comprennent donc chacune ~ élémentsreprésentés par des croix ci-dessous (schéma V): ainsIC( R Il 35« signifie barycentre dans l'espace des deuxpremiers facteurs des projections des classes rurales detype Il d'Hle-et-Vilaine. Les distributions suivant les troispremiers axes des points dans chaque élément des parti­tions étudiées sont apparemment gaussiennes et li n'estpas illégitimes d'interpréter le comportement des typesà l'aide de leur moyenne, lorsque leur effectif est « assez l>

important.

f;'

~I

Test GéométrieSchéma V

Test Algèbre

Nous remarquons alors que les différences selon cede~xième facteur, sont sIgnificatives. En outre, pour ceqUI concerne la géométrie, les types 1 urbains obtiennentde ?,ei~leurs résultats que leurs homologues ruraux. EnpartICulier les types Il urbains (généralement plus faiblesque les types Il ruraux, du fait de la co-présence fré­que~te des deux types dans Jes mêmes établissementsurbains - C.E.S. -, plus rare dans les établissementsrura~x - C.E.G. -), sont très éloignés des types 1urbains.

D'où notre précédente hypothèse d'un facteur niveau.

48

Il resterait à étudier si cette hypothèse n'est pasinfirmée par la superposition des nuages questions etclasses. Nous ne le pensons pas. Toutefois la dispersion,selon ce deuxième facteur, des projections des points­questions est telle, aussi bien en algèbre qU'en géométrie,que toute induction risquerait d'être hâtive ou artificielle.Par exemple, les questions 61 et 62 d'algèbre, sont trèsséparées des questions 70 et 75 (cf. Schémas précédents).Un phénomène perturbateur lié à une mémorisationrécente des notions par rapport au moment Où s'est i

déroulé le testing (voire en raison de leur étude posté-

rieure à l'épreuve dans certaines classes), a pu égalementjouer, et serait susceptible de rendre compte de cettedifférence inattendue, puisque s'opposent ainsi des ques­tions relatives aux' systèmes, d'équations à celles quiportent sur les polynômès et fractions rationnelles.

Certains sujets de type Il ont répondu au test parrejet spontané des questions «difficiles »,

Nous formulons donc l'hypothèse d'une trajectoirespécifique (cf. schéma VI), qui proposerait une réponseaux questions ci-dessus.

De la sorte, les individus ayant cherché à résoudreles items dans l'ordre de leur numérotage (comportementplus fréquent en type 1) ont-ils un coefficient de réussiteplus faible dans les dernières questions que ceux qui ont Schéma VI. - Algèbre,

trajectoire type 1

trajectoire type Il

équations

fractions --

.... zéro

5i ... 'alor$Fonctionspolynomes

mise en facteurssimplification,

intervalles de R---ISchéma VII. - Test algèbre

(projection du nuage des points-questions).

49

4

court~circuité certains items (par exemple les questionsrelatives aux équations)? Il" Y aurait par conséquentmoins à s'étonner de voir l'ensemble des cinq dernièresquestions avec des coordonnées. suivant &f:. de mêmesigne que pour la majorité des classes 11.

C) Le troisième facteur:

Que ce soit en algèbre ou en géométrie, il parait tra­duire cette fois. et le plus clairement, les notions mathé­matiques elles~mêmes, en séparant:

questions où la préparation par exercices didactiquesrépétitifs est aisée.

Ceci peut être montré grâce à la projection des bary~

centres des points~images des classes dans l'espacedéfini par les 1nr et 3n facteurs (cf. schéma IX), montranten algèbre une nette séparation:

- au centre (voisinage de l'origine du 3n axe) setrouvent les projections des barycentres de types urbains;

- tandis qu'aux extrémités de l'axe figurent les pro­jections des barycentres de types ruraux.

fi: 1:35,de mise en facteur, de valeuralors », celles de "zéro ",

polyn6mes et d'intervalles de R

a) en algèbre:

Les notions d'équation.absolue, la notion "si«2" + 21'", de fonctions(cf. schéma VII).

b) en géométrie:

Le 3~ facteur y sépare la géométrie de la droite affine(graduations, "mesure algébrique ») et Thalès, de l'en­semble des questions de la fin de ce programme: géo~

métrie des transformations afflnes (symétries-translations),parallélogrammes et vecteurs (cf. schéma VIII).

r,

géométrie d~$ vecl':'-'I~

~~- l)arallélo\1rilmm( ssrr.\cit~io . :rJnsiiltLons

Schéma VIII. - Test géométrie.

Co::;i SCtilC';û bien montrer que les questioi~S COi '·(~:'~'::s

par une notion, le demeurent au niveau de la réponse dossujets, et réduisent d'autant la part du hasard que l'onpouvait légitimement craindre au niveau de notre hy;:o­thèse A (20).

D'une façon générale, en milleu rural, le ccmport8~

,1isnt e.1 a!G8bre des classes est meilleur vis~à-vis des

~. i::; "'.'

1i, S:"

Schéma IX

D'où notre remarque précédente, consistant à Ife'·€'n miiieu rural une plus forte propension « pédagogique"à répéter les exercices où domInent les mécan!s:~~s~·;

(équations, fractions, degré de fonctions polynomi?:es,etc.) dans l'intention d'améliorer l'assimi~;)tion de côsno~ions. Ma!heuI"8~ISement CE) comportement s·eccC'm:.;~'>

gnerait vra is8:nblab!ement d'" impssses pZlrtie!les" CO!;';·;'!0

'lendraient à !ïndiq~er les positions extrêmes des b:~iY'

centres ruraux.

QUJ:nt à la gGo8étrie (schéma X) il esi appa:e:·'l:·. ;,:,\aise de formuler une hypothèse relativement t !8 88p;·.:"l­:10n,. inter~dêparlemcntate révélée par !e 3" lac·'(exception faite toutefois d'U Il 35 dont l'elic:;~i1 (an;;':::.:;Iii) pnr2ît trop f1ib!e pour être très sionific:''.tifL

50

UIT35x

le U135

le R135

le R!56

V. - CONCLUSION

Au terme de cette étude, et dans l'attente d'Une Loid'Orientation de l'Enseignement Secondaire unificatrice del'environnement et des comportements (<< homogénéisa­tian" de la formation des enseignants notamment etdissolution de la typologie actuelle au niveau des élèves)(21), quelles sont les remarques générales qui s'imposent?Avec la prudence qui doit les accueillir, nous formuleronsles propositions suivantes:

1) La pédagogie - cf. supra - se caractérise parla structuration d'un environnement finalisé. Toutefois,une définition objective - au niveau des textes, instruc­tions, voire des colloques d'enseignants -, ne saure.itsuffire en J'occurrence.

En effet, comme pour toute relation interhumaine,vont intervenir des «systèmes d'attitudes» visant à unétat d'équilibre des individus et des groupes. Cet é<:ui··libre ne se superpose pas nécessairement à l'équi!:brevisé par le système pédagogique, et seule une élucida:iondes inter-relations en jeu, peut espérer, le cas échéant,réduire les écarts par une prise de conscience des phô­nomènes socie-affectifs qui viennent distordre l'adhési:):lindividuelle reflexive à des objectifs rationnels.

2) De l'anaiyse qui précède, il semb:zrait 2n sUaique, pour tout eu partie de la population étudiée, sr; .;ré­sentent certaines difficultés aux niveaux suivants, (;;':~~e

autres:

Schéma X. - Test géométrie.

Nous rerewrq;.lOns que les types 35 sont «vois:ns:>des noUons de ia fin da programme de 4~, les types SC(sauf U 1 56) étant très voisins des notions relatives à 1:1droite a:finc et à Thg:ts.

Nous pouvons en con:::iure - et cela se trou\:8confirmé par de nombrGt~x enseignants des deux dot;pai'­tBments -, que la p~ogress:on induit le phénomène.

Pour les deux dépa'-~0ments, cn effet, les notio.. s pluslents ment introduites et pour lesquelles le recul est o;"}:i­mal (ni trop fo.ib!e pour l'assimilation, ni trop lmpoitc::-:tpour la rétentio:l mnémenique) cvnduisenl à de bo~:r'lE';,~

réactions ces Guiots.AU'~r8rM;n\ dit intervient ici l'e.spe:":t tem~)orel aV8C les

facilitations ou eWcu!tés mnésiques et int6gratricc:: qu'ilvéhicule.

Air'.si, 3',ec ~e tGln;;2, pour les individus de type 35se sont .:::1fa:biies tes mal'ques résidue!1es de Tha:ès et8. foriiot"Î de fn droit'3 nHine, de ia même in8.nière q:Je ID.trop courte distz.:ll(;s tcmporûl:e p8i" rapport aux n::>tionsvectorielles a pu handicaper les sujets de type 56.

formation à l'observation "cri'dqu0»:à l'appréhension des "stïüctU:'es" ;z:.u traitement des situations «ouvertes»à la saisie d'une mathématique unitaire, etc.

3) En raison du procédé choisi, c'est-à-dire !a t:;:2~i­

sation des réponses par classe, le facteur" m8.Îtr"e" n'npu être, de façon stricte, mis en évidence. t'>lous '::',<::·.'ssignalé qu'une recilercilEl en cours tentait de le fE.:~'::

ressortir de façon pius c;8i78.

T0utefois, bien que le comp0~temen-t g:obal d,-; 12class0 2it 6té notre p!'Ojet initial, et que nous nous l:·.:"J­vions dev",nt des résu;tats niveiant les cOll'":p:)r!er:1c;";~'3

:ndivkLtets, il est clair que la ~f)iation ma\trc-cisssc s ~

retrouV8 C!81~S chacu:1 c1'2s focteurs mis en 8vide:".cG:

a) aU nÎ'J.2l3U du f:.:ctcur "forrnuiat:on de :D qU:':;S'l!.~"

----,'" !nduction de types de j"f.ponses" ;

b) dôlns :18 facteur "niveau" par suite d') :8 ç~r'_ ;'.t'JïC nctueHe de l'institution scolaire;

c) enfin p~lr voio de ccnséql!snce, da.-,o> :,J ':3::0',';'

" notior:s ".Neus ne reviendrons pas sur les é!êmen;s dég;:;.',~.,~"

par cette enquête, et nous nous conlerr~erO:1S ce sc:ui:C:-:-:ïimport2nce de ce q:...:e nOLIS avons arp:}~j "" !'~s:,J.· .

51

pédagogique» des maîtres - avec ces deux paramètresfondamentaux que nous ont permis de dégager des obser­vations ou études antérieures, à savoir leurs aptitudesrelationnelles générales, et pour ce qui concerne l'aspectdidactique stricto sensu, leur plus ou moins grande« aisance" ou «distance» (en relation directe avec leurniveau de connaissance) dans la discipline enseignée.

Sans préjuger du contenu de la prochaine <c Réformedu secondaire,. (21), nous ne pouvons que nous réjouir devoir ce problème explicitement formulé. Nous espéronsqu'il contribuera à l'éclatement du cercle:

absence d'« aisance» disciplinaire de l'enseignant ~élèves d'un certain type ----,) comportement spécifique dumaître ----,) réponses spécifiques des élèves -7 absenced' "aisance,. disciplinaiie de ces derniers (cf. <c les im­passes partielles .. , les <c trajectoires spécifiques, etc. sus­mentionnées).

Nous terminerons en remarquant que cette analyseaura pu, malgré tout, contribuer à mettre en lumière l'im­portance relative et la hiérarchie des facteurs, le plusimportant n'étant pas a priori, le plus évident.

Si l'ordre dans lequel ils interviennent, et la partqu'ils prennent dans J'inertie totale peuvent légitimementsurprendre le théoricien pur de la mathématique, ilsprésentent cependant, au niveau pédagogique, t'avan­tage de situer la classe de mathématiques comme casparticulier de la relation interhumaine en général.

Daniet CHEVROLET,Régis GRAS,

Université de Rennes,Complexe scientifique universitaire de Beaulieu.

52

Notes bibliographiques

(1) Muchielli (R.). - Modèles sociométriques et formatlon descadres. - P.U.F .• 1963, pp. 51-65.

(2) Richelle (M.). - Le conditionnement opérant. - Delachaux etNiestlé, 1966 (voir à cet égard la véritable .. relecture» péda_gogique et les perspectives ouvertes en sciences de l'éducationpar le concept).

(3) Phillipot (M.) et Chevrolet (D.). - A propos de la formallondes étudiants en psychologie. Une cinquième faculté est-ellenécessaire 7 L'information psychologique, nO 30, Bruxelles,1968.

(4) Gautier (D.) et Gras (R.). Mathématiques dans le premiercycle. Objet et méthodes de la géométrie, ronéo, lREM deRennes.

(5) Gras (A.). - Colloque de Nice (14-15 décembre 1973). Compterendu de la commission O.P.C., ronéo, IAEM de Rennes.

(6) Cet ensemble de propositions nécessiterai! vraisemblablementde longues discussions, incompatibles avec le cadre el l'objetdu présent article. Répétons qu'il ne convient de lui accorderqu'un statut opératoire. '

(7) Etant donné la grande ressemblance de structure des deuxdépartements pour ce qui concerne l'aspect socio-économique(variables «urbain-rural »).

(8) Lewin (K.). - Experiments on autocratie and democra:ic atmo­spheres. - Soci. Frontier, 1968, 4, n° 37, pp. 316-319.

(9) Lewin (K.), Lippilt (R.) and White (A.-K.). - Patterns of agres­sive behavior ln experlmental1y created social cllmates. - J.soc. psycho!., 1939, 10, pp. 211~299.

(10) Lewin (K.) and Lippîlt (A.). - An expcrlmental approach tothe study of aulocraty and democraty: a prellmlnary note.Sociometry, 1939, 1, pp. 292-300.

(11) Cholette (P.R.) et Dupuis (P.). - Vers un nouveau style degestion: le leadership l'lxé sur le groupe. - Education atgestion, 25, Paris, 1971, p. 8.

(12) Benzecri (J.·P.) et coll. - Analyse des données, Dunod, 1(173,

(13) Cordier~Escofier (B.). - Analyse des correspondances. ­Thèse de 3~ cycle, Rennes, 1965.

(14) Gras (R.). - Une analyse de données j l'analyse factorielle descorrespondances, ronéo, IREM de Rennes, 1965.

(15) Prost (A.). - Les attentes de Jeunes enseignants au début deleur formation. - Revue Française de Pédagogie, n° 24, juil.­août-sept. 1973, pp. 5-18.

(16) Revue mathématiques et sciences humaines.

(17) Autrement dit, regroupe 25 % de l'information.

(18} Nahoum (C.). - L'entretIen psychologique, P.U.F., 1963.

(19) MuchielH (R.). - L'entretien de face à face dans la rela(iond'aide. - Librairies Techniques et E.S.F., 1966.

(20) Essentiellement pour ce qui concerne les réponses aux QCM.

(21) Ce compte rendu a été rédigé au moment où se discutait leprojet de réforme Fontanet. De l'eau a coulé sous le ponldepuis lors et l'on sait ce que risque de devenir la formationdes maîtres dans le projet Haby, à savoir, à notre sens, une"homogénéisation" par le bas (cf. notamment le corps des"brevetés »). Ouant à l'homogénéisation des classes, on saitége.lement ce qu'il en est.

ACAD~MIE DE RENNES ANNEXE 1

ÉPREuves NORMALISÉES - 3e MATHÉMATIQUES

AlGI;:BRE - Consignes de correction

(Mars 1973)

- les seules réponses possibles sont celles indiquées ci-dessous.- Chaque question numérotée de 1 à 76 sera notée 1 ou O.

1. - CALCULS NUMÉRIQUES.

Remplis chaque espace blanc par le nombre qui convient.

Exemple: 1 ,;. ( ) -c' -1 la bonne réponse est (-2), tu écris (_ 2) entre les parenthèses.Maintenant, essaie de remplir Jes espaces blancs des exercices sulvants, en simplifiant éventuellement les résullats

7 .-- 5 -- ( ) -15

8 15 ( )

9Vi V5 ( 1 "i 1'fi . If,ô-

2 - (3 - 2)

3 ( ) " (.- 1)

0,7 '-- 2,8

5 2 - () .'-

6 10-3 ,: 103

( )

- 4 :·3

10 ) ou (

Maintenant, essaie d'effectuer Jes calculs suivants, en donnant le résultat simplifié.3 3 3

Exemple: 2 La réponse simplifié0est -- - tu écris .- - après Je signe4 2 2

7 (2 1

( -'- )11 -) 6

3 4 13 (--)3 7

5.. V2 (If, - (\1,12 2 .. .() 14 ') 1)2 --15i2

Ci-dessous tu vas trouver des affirmations. Certaines son: vraies, d'autres sont fausses. S, :'affirmation est vraie, mets une croix dans la caseVRAI, si elle est fausse, mets une croix dans la case fAUX.

Exemple: 52 ~. 25 Vrai Faux 23 10' 10' 1025 Vrai Faux

15 102 "'" 20 Vrai Faux 24 105 2. 10' 3. 10' Vrai Faux

16 102 ,., 100 Vrai Faux 25 '3 " " Vrai Fa..:x

17 102 ~: 1()J ,-, 105 Vrai faux 26 (2l }4 (2~}J Vri'li Fau~.

16 10l > 10' 'oc 105 Vrai faux 27 (2l)~ '" Vrai Faux

19 103 > 10' , la Vrai Faux 28 (23)~ 27 Vrai F2IUx

20 103 _ 3000 Vrai Faux 29 2)' Vrai F2IUx

21 10' '·105 . 1010 Vrai F<luX 30 . 3 31 Vrai Fi1.li':

22 10' + 105 -~ 200 000 Vrai Faux 3i _... 3 131 Vrai fal.<~

53

32 13 - 51 =3-5 Vrai Faux 38 3 15 Vrai Fau;.:l!i<.,,· 4:::: ,-.,~

33 l' -- 51 "'" 5 -3 Vrai Faux , 1 Vrai Faux34 1'1 x 1- 51 _, 15 Vrai Faux 39 1 > -- ::>-

2 4,35 5 L Vrai faux V2r:. 1/3 Vrai fil,uxSr:. , 40

36 3 , Vrai Faux " -1/3~-1{i Vrai Fau)(

5~ 742 2,831 < 2,84 Vrai Faux

37 , 15 Vrai Faux4~ -T 43 - 4,54 < - 4,32 Vrai Faux

Quels que soient '" réels " b, e, x, y, , ,

" Si ," alors ( _. 3)a (-- 3)b Vrai Faux 48 Si a < 0 ,1 b < 0, alors ab < 0 Vrai Faux

45 Si 0 , - , :·0, alors a -~~ b Vrai Faux 49 , Y' (x .: y) (x .~. z) Vrai Faux

46 Si (, ..- b)c ~ 0, alors a'"" , Vrai Fau)( 50 " -\. yz (x";' y)z Vrai Faux

47 Si a < b, alors a -- 1 < b-1 Vrai Faux

Il. - ~QUATIONS.

Soit l'équation x , La solution dans R de cette équation est3

Cette équation

51 A·t-elle une solution dans N?

52 A-t-elle une solution dans Z?

53 A·t-elle une solution dans O?

------_._----

OUI NON Si oui, laquelle?

NONSi oui, laquelle?

OUI

Si oui, laquelle?OUI NON

54 Soit l'équation x3 2 3;.:; où x désigne un nombre réel. Fais une croix dans les cases correspondant à tous ceux des nombres suivantsqui sont solutions de l'équation

Résoudre '"' R

55"

L'équation " ·5

56 2. L'équation 3' -3 ,-, 4 -;. a

57 3. l'équation k (k + 1) "'" k(3 - k)

56 4, l'équation , 1,[ ~ 2

54

.- , o

L'ensemble des solutiolls est

L'ensemble des solutions est

L'ensemble des solutions est

"; 1

Soit l'équation 5K _ 3y 6 où chaque solution est un couple de réels (K, y).

59 L. nombre 3 '" est-il ""' solution? OUI NON

60 Lo couple (3, -3) '" est-il une solution? OUI NON

G1 Déterminer • afin ,CO (a, 8) en soit une solution

62 Déterminer b afin que (0, b) en soit une solution

63 Salt l'équation Ixl x ou x désigne un nombre réel.

L'ensemble des solutions est: (fais une croix dans la case correspondant à la bonne réponse).

(0) (0, 1) R+ R

64 Détermine l'intervalle de A cHrtè'nu par [0, 1,5 {A] 0.75, 2]

Résous sur R les inéquations suivantes, On désignera respectivement par A et 8 les ensembles solutions de ces deux inéquations

653x-4"';0

66 15 - x ( 0

Réponse:

Réponse

A -~

8=

Ill. - POLYNOMES.

-_.__._-------~~--~-_ ...================================--_.._-_...._---------

Quel est le degré des fonctions polynômes suivantes

67 x --!>1

5x2 --x,3'··x4

Réponse

68 x, - ---? (2x - 3) (x3 -- 2x . x(2)

1')9 x ----+ 2x,3 - 5x2 ,:_)(3.' x,.- 3x3

Réponse

Réponse

70 Factorise sous forme d'un produit de polynômes du 1"' degré

(3x - 4) (x -+ 2) ~. 3 (4 - 3x)

---- --.--------_.._-_._.-.

Maintenant pour chacun des exercices suivants, tu feras une croix dans la case correspondant à ta bonne réponse.

71 Quelle est la fonction polynôme, somme des fonctions polynômes f et 9 suivantes

f : x ----'? 3 _. 5x ~. x4

9 x ~ 2x_x3 . (2x2 ····3x)

f+ 9 , ---7 " _.- " .•- 2x2 +3 LJf -:,' 9 , ---+ "

_." -- ", - 6. :·3

1--1L .._]

f...;· 9 , -~ ., .. .' ,.' . 6• ·:·3 r-1L .. l

55

72 Quelle est la fonction composée des fondions polynômes suivantes :

On rappelle que 9 0 f s'effectue ainsi: x -_..-?- f (x) -----.-... g [f (x~

9 x ............,..)(+2

(g 0 f) (x).

9 0 f ,--? "

T, 0

go f x _3~ , 0go f : x _,. 3x2 .,~ 6:< 09 0 f ~ ------;>0 3~ '- 6 0

73 Quelle est la fonction polynôme f dt) 1er degré telle que

f (0) _., t et f (2) =31 ...~...,.. 3< +t 0~ _._-~

" 0,~ , ',1 0, --, -, .~. 5 0

74 On donne les tr,)is fonctions polynômes:

Quels sont les réels a et b tels que P,.~ al '. bg?

b

f; x -__-;... 3:< 9 x -4 x ~. 1 P: x . -.,.. 2:< ~.

a --, 3

1

3

oonL-l

75 Soit la fonction de R vers R :

Quel que soit x réel diffdrent de _ 2: et

Quel que soit x réel différent de -- 2: et

Quel que soit x réel

Quel que soit x r€lel différent de _ 2:

oooo-]

3,

:.2­,

[!(XlRéponse

)(2+4x+4

'. 2) (2:< ,'. 3),~

(,

Elle est définie

16 Simplifie f (x)

56

ACADÉMIE DE RENNES

NOM

Prénom

ANNEXE Il

ÉPREUVES NORMALISÉES. 3" MATHÉMATIQUES

Ecole :

Classe

GÉOMÉTRIE

(Mars 1973)

Catégorie

Date de naissance DateTotal des points

Tu répondras au~ questions posées en plaçant sur les pointillés de la colonne de droite les valeurs numériques demandées,Soit une droite affine réelle D munie d'une bijéction f de 0 sur R,Soit A, B, C et M quatré points de D d'abcisses respectives

Ouelle est l'abcisse du milieu 1 de CA, B)?

3 Quelle est la distance des points B et A?

1 (1)

dr (B, A)

----------~--

Sachant que les trois points E, G et F de la droite D sont tels que

GFI '-- 15 et EF!", -- 3

CJlcule EG~

Aux questions posées, tu répondras dans la colonne de droite par OU! ou par NON en cochant la case correspondante.

Si ta réponse est OUl, tu notes OUI

Si ta réponse est non, tu noies NON

Soit deux droites 0 et D' d'un mëme plan affine réel.

A, B et C sont trois points de 0 d'abcisses respecti,.es (- 2).,A', B' et C' sont trois poinls de D' tels que les droites (AA'),les abcisses de A' et B' sont respectivement (,. 1) et ( 4).

o "(BS',

,. 2).

et (CC', soient parallèles,

D

_-!'+---"+--"'f--- D'

L'abcisse de C' es! 5

6

j. 8

OUI

OUI

OUI

OUI

NON

NON

NON

NON

57

6 A, 8 ct C sont trois points de D d'abcisses respectives 2 ; 4 ; 9.A', B' et C' sont trois points de D' tels que les droites (AA'), (BB') et (CC') soient parallèles,

les abcisses de A' et B' sont respectivement 3 et 7,

C D L'abcisse de C' ost 10 OUI NON

A B.. 20 OUI NON

A' 0 OUI NONB' , C- 2 OUI NON

D'

------------------------ .----_._-------,

A, B, et C sont Irois points de D d'abcisses respectives ( ·2) ; (~.

A', S'et C' sont trois points de D' d'abcisses respectives (. 4,5)On sait en outre que les droites (AA ') et (BB') fiOnt parallèles,

La droite (CC') est-elle parallèle il (AA') el (8B')?

5) ; (~. 8)

( 1) et (- 0,4)

OUI NON

----------

8 M, N el P sont trois points distincts de O,

R, S et T sont trois points distincts de 0'.

Peux·tu affirmer que les droites (MR}. (NS) et

MN NP011 sait que

RS ST(PT) sont parallèles? OUI NON

Dans toute la suite, tu répondras en plaçant la réponse au·dessus des pointillés.A, B, et M sont trois points non alignés d'un même plan affine.C désigne le point du plan tel que B soit milieu de (A, C)

on note SA la symétrie do centre AS8 ia symêtrie de centre BSc la symétrie de centre C

Sachant que SA(M) = N et Se(N) = PSe(M) N' ilt SA(N') ,-" P'

10 Déterm'me l'image de M par l'application

9 Complète par « '"ou par"+ll

ScOSa_oSA

SBOSA (M). SAoSe (M)

SCOSeOSA (M)

!- 1

!

(A, B, C, D) définit un parallélogramme,

Ë désigne le point du plan tel que D soit le milieu de (A, El, tAè (A)

On notee tA"6 la translation de vecteur AB' tëë (A)c

/ 7(tAD 0 t;;:'D) (A)

11 Complète (t~ 0 1Ab) (A)

tëË (B)A D E_________________

A, B, C et D sont quatre points quelconques d'un même plan affir'le

12 Détermine le point-. ~DN ... (BN

58

N tel qu'"~ ~

. CAl DB~

ANN est le point

Le plan P est rapporté à un ropèro (0, -r. 0,A, B et C sont los trOis points du plan de coordonnées respectives

A: (1; 3,2) B: (4; 1) C (5,6; 2)

13 Calcule les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D)définisse un parallélogramme.

14 Calcule les coordonnées du centre 1 du parallélogramme,

Soit une droite affine réelle D munie d'une bijection 1 d. D '" R.Soit A, B et C Irois points de D, d'abciSses respectives

I(A) ,~ - 3 : I(B) \- 2 : I(C) -1Soit 9 la bijection de la même droite associée au repère (C, AI.

15 Trouve les deux réels a et b tels que pour tout pointM de 0: g (M) al (M) + b

16 Quelle est l'abcisse de B pour cette nouvelle bijection g?

D

,

b

9 (8) ,~,

'-'--"._---------------17 QueHe est la distance pour g des points B et A? dg (A, B) _o.

59

ANNEXE III

TABLEA.U OES CLASSES SUR LESQUELLES PORTE L'ANALYSE (1)

Morbihan: IIle·et-Vilaine :

Type 1 urbain (code U 1 56). Effectif : 19 classes (526 élèves). Type 1 urbain (code U 1 35). Effectif 17 classes (439 élèves).

Type 1 rural (code R 1 56}. Effectif: 11 classes (2$1 6Ièves). Type 1 rural (code R 1 35), Effectif 4 classes (119 élèves).

Type Il urbain (code U Il 56). Effectif 19 classes (410 élèves), Type Il urbain (code U Il 35). Effectif 7 classes (221 êlèves).

Type Il rural (code RI/55). Effec/if 19 classes (411 élèves>. Type JI rural (code R \1 35). Effectif 19 classes (469 élèves).

(1) La variabilitê des effectifs d'un type de classl: à i'autre ne repréS(lIltc qu'un élément fdiblement perturbateur dans la méthode d'analysefactorielle des correspondances.

60

"r,

1. R. E. M. DE RENNES

1. - Echan.tillonnage.

11. - Algèbre

ANNEXE IV

ÉPREUVES NORMALISÉES DE MATHÉMATIQUES

Classe de 3"

I:lc-el-Vililine Morbih"n Totaux

Nombre d'élèves 1 248 1 608 2 856

Nombre de classes. 47 68 115

(25-6-1973)

Questions RJponsasc:<3ctes/l00

1 89,42 803 sa,l4 74,45 53,1

16 ~4.1

7 85,5

18 SO,29 29,8

1 10 47,4, 11 53,612 4413 52,814 31,415 97,916 98,117 8418 82,319 72,2

III. - .Geometrie.

Questions Répon~~s 1 Q'Jcstions Réponses€xacteS'100 ünclos 100

20 !!:!1 " 85,321 53,3 40 80,122 49,4 47 54,923 83 42 86,5

" 60,1 ,1..1 7525 43 4~ 95,52~ 59,7 45 68.327 79,2 4G 67,12B 85,1 " 83,8

" 82.4 43 !;4,330 70,5 " 7931 58,3 50 8!l32 55,G 51 64,133 54,3 32 43,634 77 53 39,835 74,3 54 39.836 77 55

1

61,637 80,9

1

36 45,533 76,2 57

i6

Questions R(\pons~s

ex:actcs 100

58 50.-:59 32,560 13::61 8\1.262 ~lG.9

63 39.984

1

1;,565 :~;u

66 2J.~

67 M.':]68 39,569 23.310 27.211 53.412 31.913 5314 3ô.215 4016 31"

Questions Réponsesexactes.1OO

1 56,32 50,83 55,24 265 64,55 331 58,58 18,4

Questions R(\ponscsexactes 100

9 43,210 11,511 14,512 29,313 11.414 10,415 4"16 9,517 9,3

6