MAINTIEN D’ALTITUDE D’UN

UNIVERSITE D’ ANTANANARIVO *****************************

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

*****************************

MENTION ELECTRONIQUE

Mémoire en vue de l’obtention

du diplôme de Master

Domaine : Sciences de l’ingénieur

Parcours : Electronique Automatique

MAINTIEN D’ALTITUDE D’UN

QUADRIROTOR

Présenté par : RAMILIARIMANANA Karl Brandt

Soutenu le : 25 Septembre2019

n° d’ordre : 204/EN/M2/EA/2019 Année universitaire : 2017-2018

UNIVERSITE D’ ANTANANARIVO *****************************

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

*****************************

MENTION ELECTRONIQUE

Mémoire en vue de l’obtention

du diplôme de Master

Domaine : Sciences de l’ingénieur

Parcours : Electronique Automatique

MAINTIEN D’ALTITUDE D’UN

QUADRIROTOR

Présenté par : RAMILIARIMANANA Karl Brandt

Devant le jury composé de :

- Monsieur RAKOTOMIRAHO Soloniaina, Président

- Madame RAMANANTSIHOARANA Harisoa Nathalie, Examinateur

- Monsieur RANDRIAMAROSON Rivo Mahandrisoa, Examinateur

- Monsieur RAZAFY Rado, Examinateur

Encadreur : Monsieur RATSIMBA Mamy Nirina

Soutenu le : 25 Septembre 2019

n° d’ordre : 204/EN/M2/EA/2019 Année universitaire : 2017-2018

i

TENY FISAORANA

Isaorana voalohany indrindra Andriamanitra tamin’ny fanatontosana an-tsakany sy

an-davany izao asa izao, satria na toy inona na toy inona finiavana sy fahazotoana tamin’ny

zavatra natao, dia tsy ho tanteraka izany raha tsy teo ny famindrampony. Ho Azy irery anie

ny dera sy ny laza ary ny voninahitra! Amena.

Manaraka izany, isaorana ihany koa Ramatoa RAMANANTSIHOARANA Harisoa

Nathalie, tompon’andraikitra voalohany eto anivon’ny “Mention Electronique” ary

anisan’ny mpitsara izao asa izao.

Tolorana fisaorana ihany koa Andriamatoa RATSIMBA Mamy Nirina, noho ireo

toro-hevitra marobe natolony ahy. Misaotra indrindra tompoko fa ianao no vy nahitana sy

angady nananana nahafahako nanatontosa izao asa izao.

Tsy adino koa ny fisaorana anareo rehetra mpitsara izao asa izao dia:

Andriamatoa RAKOTOMIRAHO Soloniaina izay nitarika izany,

Andriamatoa RANDRIAMAROSON Rivo Mahandrisoa

Andriamatoa RAZAFY Rado.

Misaotra anareo mpampianatra rehetra ato anivon’ny “Mention Electronique” ihany koa

noho ireo fahaizana amam-pahalalana natolotrareo ho ahy. Mankasitraka indrindra

tompoko!

Mankasitraka anareo Ray aman-dreny ihany koa tamin’ny fanohananareo ahy, na ara-

kevitra izany na ara-bola. Teo ihany koa ny fankaherezanareo sy ny fitondranareo am-bavaka

ka nahatonga ahy tonga amin’izao dingana izao.

Ary farany, misaotra anareo tapaka sy namana rehetra tamin’ny fanohananareo ara-

kevitra izay nanampy ahy tamin’ny fanatontosana izao asa izao. Misaotra indrindra

tompoko!

ii

REMERCIEMENTS

Ce travail de mémoire de Master n’aurait pu être réalisé sans la grâce du Seigneur, son

amour, son aide qui m’a accompagné tout au long de mes études, que la Gloire Lui soit rendue

éternellement.

Mes vifs remerciements s’adressent tout particulièrement au chef de la mention

Electronique Madame RAMANANTSIHOARANA Harisoa Nathalie, qui s’est toujours

montrée soucieuse pour le bon déroulement de notre formation et a accepté de faire partie des

examinateurs.

Je remercie également tous les membres du Jury qui ont accepté d’examiner ce travail,

à savoir :

• Monsieur RAKOTOMIRAHO Soloniaina, président

• Monsieur RANDRIAMAROSON Rivo Mahandrisoa, examinateur

• Monsieur RAZAFY Rado, examinateur

J’adresse mes plus sincères remerciements à mon encadreur Monsieur RATSIMBA

Mamy Nirina, qui m’a partagé ses connaissances et son temps pour l’élaboration à terme et à

bien de ce travail.

J’exprime ma reconnaissance envers tous les membres du corps professoral de la mention

Electronique, qui ont transmis de précieuses connaissances.

Mes profondes gratitudes s’adressent à mes parents et à mes frères pour leurs soutiens

moraux, affectifs et financiers, en dépit des circonstances qui se sont survenues dernièrement.

Enfin je remercie mes collègues, mes proches et toutes les personnes qui ont contribué

de prêt ou de loin à la réalisation de ce manuscrit.

iii

RESUME

La conception d’un asservissement consiste à ajuster la fonction de transfert du

correcteur de manière à obtenir les propriétés et le comportement désiré en boucle fermée. On

applique ce principe au quadrirotor afin de pouvoir atteindre et maintenir de manière

automatique une altitude.

Dans ce travail de mémoire, des méthodes pour mener à bien l’étude d’un

asservissement ont été présentées. On a parlé ensuite de quelques généralités sur les drones et

on s’est focalisé sur le quadrirotor. Divers calculs ont été effectué pour la modélisation

dynamique du quadrirotor et pour obtenir sa fonction de transfert en sous-système vertical. Le

quadrirotor étant instable, on a utilisé un correcteur PID pour y remédier. Des simulations sous

Matlab/SIMULINK ont ensuite été faites pour vérifier l’efficacité du correcteur PID pour le

maintien d’altitude.

iv

SOMMAIRE

TENY FISAORANA .................................................................................................................. i

REMERCIEMENTS .................................................................................................................. ii

RESUME ................................................................................................................................... iii

SOMMAIRE ............................................................................................................................. iv

LISTE DES ABREVIATIONS ................................................................................................ vii

LISTE DES FIGURES ............................................................................................................ viii

LISTE DES TABLEAUX .......................................................................................................... x

INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................ 1

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION A L’AUTOMATIQUE ...................................................... 2

1.1 NOTION SUR L’AUTOMATIQUE ................................................................................ 2

1.1.1 Introduction à l’automatique ...................................................................................... 2

1.1.2 Notion de système ...................................................................................................... 3

1.2 STABILITE ET PRECISION DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS ................. 10

1.2.1 Critère de stabilité .................................................................................................... 10

1.2.2 Marge de stabilité ..................................................................................................... 14

1.2.3 Précision des systèmes linéaires asservis ................................................................. 15

1.3 CORRECTION DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS ....................................... 23

1.3.1 Cahier des charges d’un asservissement .................................................................. 23

1.3.2 Principe général de correction d’un système ........................................................... 24

1.3.3 Différents type de correcteurs .................................................................................. 25

CHAPITRE 2 : GENERALITES SUR LE DRONE ................................................................ 34

2.1 Description des drones .................................................................................................... 34

2.1.1 Définition du drone .................................................................................................. 34

2.1.2 Forme et fuselage ..................................................................................................... 34

2.1.3 Systèmes de navigation et charge utile .................................................................... 35

v

2.2 Les différentes catégories de drones ............................................................................... 36

2.2.1 Classification en fonction de R. E.A ........................................................................ 36

2.2.2 Classification selon le mode de vol ......................................................................... 37

2.3 Applications .................................................................................................................... 38

2.3.1 Applications militaires ............................................................................................. 38

2.3.2 Applications civiles .................................................................................................. 39

2.4 Les différents mouvements du quadrirotor : Cas de notre étude .................................... 40

2.4.1 Généralités ............................................................................................................... 40

2.4.2 Les mouvements de rotation du quadrirotor ............................................................ 41

2.4.3 Les mouvements de translations du quadrirotor ...................................................... 43

2.4.4 Le vol stationnaire .................................................................................................... 44

2.5 Repérage d’un quadrirotor dans l’espace ....................................................................... 44

2.5.1 Les repères utilisés ................................................................................................... 44

2.5.2 Matrice de rotation ................................................................................................... 45

2.6 Modèle dynamique ......................................................................................................... 48

2.6.1 Hypothèses simplificatrices ..................................................................................... 48

2.6.2 Modélisation avec le formalisme de Newton-Euler ................................................. 48

CHAPITRE 3 : SIMULATION DU MAINTIEN D’ALTITUDE DU QUADRIROTOR ...... 54

3.1 Outils de simulation : MATLAB / SIMULINK ............................................................. 54

3.2 Choix du modèle du quadrirotor ..................................................................................... 54

3.2.1 Choix des moteurs .................................................................................................... 54

3.2.2 Dimensionnement .................................................................................................... 56

3.2.3 Calcul des paramètres de la simulation .................................................................... 57

3.3 Déroulement de l’étude .................................................................................................. 60

3.3.1 Modélisation du quadrirotor .................................................................................... 60

3.3.2 Modélisation électro-mécanique des moteurs .......................................................... 70

3.3.3 Présentation de la fonction de transfert du quadrirotor sous-système vertical ........ 72

vi

3.4 Principe d’asservissement d’altitude .............................................................................. 72

3.5 Application de ce principe pour notre système quadrirotor ........................................... 73

3.5.1 Schéma bloc sous Simulink ..................................................................................... 73

3.5.2 Vérification de l’instabilité du système non corrigé ................................................ 73

3.5.3 Vérification de la stabilité du système corrigé avec un PID .................................... 75

CONCLUSION GENERALE .................................................................................................. 77

ANNEXES : TABLE DES TRANSFORMEES DE LAPLACE ............................................. 78

REFERENCES ......................................................................................................................... 80

vii

LISTE DES ABREVIATIONS

FT : Fonction de Transfert

FTBO : Fonction de Transfert Boucle Ouverte

FTBF : Fonction de Transfert Boucle Fermé

HALE : Haute Altitude Longue Endurance

MALE : Moyenne Altitude Longue Endurance

MAV : Mini Air Vehicle

PD : Proportionnel Dérivée

PI : Proportionnel Intégrale

PID : Proportionnel Intégral Dérivé

R.E.A : Rayon d’action, Endurance et Altitude

TUAV: Tactical Unmanned Aerial Vehicle

UCAV: Unmanned Combat Air Vehicles

viii

LISTE DES FIGURES

Figure 1.1 : Domaine d'application de l'automatique ................................................................. 3

Figure 1.2 : Représentation schématique d’un système ............................................................. 4

Figure 1.3 : Système de commande ........................................................................................... 4

Figure 1.4: Schéma d'un système en boucle ouverte .................................................................. 5

Figure 1.5 : Schéma d'un système en boucle fermée.................................................................. 5

Figure 1.6 : Schéma fonctionnel d’un système asservi .............................................................. 6

Figure 1.7 : Propriétés des systèmes asservis ............................................................................. 7

Figure 1.8 : Représentation du signal d’entrée et de sortie d’un système .................................. 7

Figure 1.9 : Critère de revers .................................................................................................... 13

Figure 1.10 : Stabilité dans le diagramme de Black ................................................................. 13

Figure 1.11 : Stabilité dans le lieu de BODE ........................................................................... 14

Figure 1.12 : Marge de stabilité dans les plans de Black et Bode ............................................ 15

Figure 1.13 : Système asservi à retour unitaire ........................................................................ 16

Figure 1.14 : Erreur statique ou erreur de position .................................................................. 17

Figure 1.15 : Erreur de traînage ou erreur de vitesse ............................................................... 18

Figure 1.16 : Allures des erreurs en fonction de la classe du système ..................................... 19

Figure 1.17 : Système lent et rapide ......................................................................................... 20

Figure 1.18 : Rapidité et situation des pôles ............................................................................ 21

Figure 1.19 : Temps de réponse et situation des pôles ............................................................. 21

Figure 1.20 : Rapidité avec des pôles complexes ..................................................................... 22

Figure 1.21 : Précision / amortissement et situation des pôles ................................................. 22

Figure 1.22 : Compromis rapidité/précision/stabilité dans le plan complexe .......................... 23

Figure 1.23 : Schéma général d’une boucle de régulation corrigée ......................................... 24

Figure 1.24 : Action du correcteur P sur la réponse indicielle ................................................. 25

Figure 1.25 : Schéma fonctionnel d’un correcteur PI .............................................................. 26

Figure 1.26 : Action du correcteur sur la réponse indicielle .................................................... 27

Figure 1.27 : Schéma fonctionnel d’un correcteur PD ............................................................. 28

Figure 1.28 : Action du correcteur sur la réponse indicielle .................................................... 28

Figure 1.29 : Structure mixte d’un correcteur PID ................................................................... 31

Figure 1.30 : Structure série d’un correcteur PID .................................................................... 31

Figure 1.31 : Structure parallèle d’un correcteur PID .............................................................. 31

Figure 1.32 : Action du correcteur PID sur la réponse indicielle ............................................. 32

ix

Figure 2.1 : Quelques types de drones ..................................................................................... 35

Figure 2.2 : Drone avec différents modes de vol ..................................................................... 38

Figure 2.3 : Vol d’inspection sur accident du trafic réalisé par un micro-drone ...................... 40

Figure 2.4 : Sens de rotation des rotors du quadrirotor ............................................................ 40

Figure 2.5 : Mouvement de tangage de quadrirotor ................................................................. 41

Figure 2.6 : Mouvement de roulis de quadrirotor .................................................................... 42

Figure 2.7 : Mouvement de lacet de quadrirotor ...................................................................... 42

Figure 2.8 : Translation verticale de quadrirotor ...................................................................... 43

Figure 2.9 : Translation horizontale de quadrirotor ................................................................. 44

Figure 2.10 : Repérage du quadrirotor ..................................................................................... 45

Figure 2.11 : Rotation autour de l’axe X (Roulis) .................................................................... 46

Figure 2.12 : Rotation autour de l’axe Y (tangage) .................................................................. 46

Figure 2.13 : Rotation autour de l’axe Z (Lacet) ...................................................................... 47

Figure 2.14 : Les couples aérodynamiques .............................................................................. 51

Figure 3.1 : Schéma simplifié du quadrirotor .......................................................................... 61

Figure 3.2 : Paramétrisation de l'orientation du drone dans l'espace ....................................... 68

Figure 3.2 : Schéma bloc de l’asservissement d’altitude ......................................................... 73

Figure 3.3 : Schéma bloc du système étudié sous Simulink .................................................... 73

Figure 3.4 : Réponse temporelle de la FTBF du système non corrigé ..................................... 74

Figure 3.5 : Diagramme de Bode de la FTBO du système non corrigé ................................... 74

Figure 3.6 : Schéma bloc du système avec correcteur PID ...................................................... 75

Figure 3.7 : Réponse indicielle de la FTBF du système corrigé avec PID sous Matlab .......... 75

Figure 3.8 : Réponse indicielle de la FTBF du système corrigé avec PID sous Simulink ....... 76

x

LISTE DES TABLEAUX

Tableau I : Les différents types de signaux de commande ........................................................ 9

Tableau II : Valeurs des erreurs en fonction de la classe du système ...................................... 19

Tableau III : Classification des drones ..................................................................................... 37

Tableau IV : Caractéristiques du moteur Park 480 Brushless Outrunner Motor ..................... 55

Tableau V : Le dimensionnement du drone ............................................................................. 57

Tableau VI : Les paramètres de la simulation .......................................................................... 60

Tableau A1 : Table des transformées de Laplace .................................................................... 79

1

INTRODUCTION GENERALE

Cela fait plusieurs années désormais que le ciel s’est vu accueillir un tout nouvel habitant

bien spécial : le drone. Ce terme « drone » est issu de la langue anglaise et signifie « faux

bourdon ». Il désigne un système pilotable à distance, capable d’emporter une charge utile. Le

drone, aussi considéré comme un petit avion télécommandé ou multirotor sans pilote, a été

adopté par un grand nombre de secteurs ; agriculture, armée, ingénierie, surveillance, mais aussi

photographie.

Les photographes ont apprivoisé cet objet volant bien identifiable entre tous. Le succès

croissant du drone n’est pas seulement lié à son côté gadget, car, son champ de compétences

est vaste. Muni d’une caméra, le mini drone a le pouvoir de capter des images en vue aérienne.

C’est pourquoi les vidéastes n’ont pas hésité longtemps avant de saisir l’opportunité de filmer

différemment ses scènes. Cependant, il s’avère difficile de guider en même temps le drone et la

caméra. En plus son instabilité rend les photos floues. La tenue en altitude d’un drone assurera

donc des meilleures prises.

Le présent mémoire intitulé : « Maintien d’altitude d’un quadrirotor » est orienté dans

ce sens. Pour ce faire, on va suivre le plan suivant

Tout d’abord, on va aborder dans le premier chapitre, l’introduction à l’automatique. Le

second chapitre est consacré au drone : sa définition, ses différents types, etc. Le troisième

chapitre montre la simulation du maintien d’altitude du quadrirotor.

2

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION A

L’AUTOMATIQUE

1.1 NOTION SUR L’AUTOMATIQUE

1.1.1 Introduction à l’automatique

a) Définition

L’automatique est une discipline scientifique qui comprend, après l’assimilation d’un

certain bagage mathématique, une phase théorique fondée sur la connaissance des lois de la

physique, de la mécanique, de la chimie, de la biologie afin d’analyser l’évolution du processus

au cours du temps. Il s’agit de l’étude des systèmes dynamiques. [1]

En d’autres termes, c’est l’ensemble de théories, de techniques, d’outils utilisés pour

rendre les systèmes autonomes, indépendants de l’intervention humaine, afin de réduire la

fréquence et la difficulté des tâches humaines. [2]

Cette étude des systèmes dynamiques nécessite une certaine connaissance de ceux-ci

basée sur des notions intimement liées : l’analyse du modèle, sa commande en vue d’en faire la

synthèse, puis sa réalisation.

- Modéliser, c’est écrire les équations du système, déterminer, dans un contexte donné, un

certain nombre d’équations qui régissent le comportement analysé : équations différentielles

linéaires ou non linéaires pour les systèmes à données continues, équations aux récurrences

pour les systèmes discrets, équations logiques ou séquentielles, etc.

- Analyser, c’est étudier le comportement de ces équations, de ce modèle, pour en déduire

celui du système dans le même contexte. Les méthodes d’analyse du comportement des

systèmes sont très puissantes, mais bien souvent il convient, certains éléments de la chaîne étant

imposés, de concevoir les autres éléments de la chaîne de façon à assurer à l’ensemble les

performances désirées. Il s’agit alors d’effectuer la synthèse de l’asservissement.

Elle a aussi pour fondements théoriques : les mathématiques, la théorie du signal,

l’électronique et l’informatique.

3

b) But

L’automatique a pour objet le contrôle automatique de procédés industrielles ou

d’appareillage divers dans le but de supprimer ou de faciliter l’intervention humaine. Il a pour

but la conception des systèmes de commande [2]

La représentation des systèmes linéaires et de leurs principales caractéristiques constitue

la base de toute étude d’automatique. [3]

c) Domaine d’application

- Dans les systèmes à événements discrets, on parle d’automatisme (séquence d’actions

dans le temps), dont les exemples d’applications se trouvent dans les distributeurs automatiques,

les ascenseurs, le montage automatique dans le milieu industriel, les feux de croisement, les

passages à niveaux. (Fig 1.1)

- Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs physiques de

façon précise et sans aide extérieure, dont les exemples d’application se trouvent dans l’angle

d’une fusée, la position du bras d’un robot, le pilotage automatique d’un avion. (Fig 1.1)

1.1.2 Notion de système

L’automatique peut s’appliquer à tout ce qui bouge, fonctionne, se transforme. L’objet

d’application de l’automatique est appelé système.

4

Un système se caractérise par ses grandeurs d’entrée et de sortie. Les grandeurs d’entrée

sont les grandeurs qui agissent sur le système. Il en existe de deux types :

Commandes : celles que l’on peut maîtriser

Perturbations : celles que l’on ne peut pas maîtriser.

On schématise un système par un bloc possédant une ou plusieurs entrées et une ou

plusieurs sorties ; les autres grandeurs ayant une action non désirée sont des perturbations

(entrées parasites). Un système est dit monovariable s’il ne possède qu’une seule entrée et une

seule sortie ; il est appelé multivariable s’il possède plusieurs grandeurs d’entrée et/ou de sortie.

(Fig 1.2)

a) Système de commande

Un système commandé est composé d’un système de commande et du système à

commander. (Fig 1.3)

Commander : C’est organiser un système dans un but fixé.

Le système à commander : c’est le système sujet à la commande (four, moteur,

réacteur, etc)

Les paramètres d’un système sont en général les suivants :

- l’ordre : signal d'entrée, le but fixé (habituellement appelé consigne)

5

- l’action de commande : action susceptible de changer l’état du système à commander.

Elle est élaborée en fonction des ordres.

- les perturbations : variables aléatoires dont on ne connaît pas l’origine

- la sortie : signal de sortie, variable à contrôler

b) Système en boucle ouverte et boucle fermée

On distingue deux classes de systèmes de commande : système en boucle ouverte et

système en boucle fermée.

i) Système en boucle ouverte :

Le signal de commande est indépendant du signal de sortie. Autrement dit, la commande

est élaborée sans l’aide de la connaissance des grandeurs de sortie : il n’y a pas de feedback.

(Fig 1.4)

ii) Système en boucle fermée :

Le signal de commande est lié au signal de sortie c’est à dire que la commande est alors

fonction de la consigne (la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. (Fig 1.5)

Exceptionnellement, le système de commande peut opérer en boucle ouverte à partir du

seul signal de consigne. Mais la boucle fermée (contre réaction) est capable de :

- stabiliser un système instable en boucle ouverte

- compenser les perturbations externes (vent, houle, etc)

- compenser les incertitudes internes au processus lui-même (modèle imparfait)

6

c) Fonctions, composants et propriétés d’une commande

i) Fonction

Un système de commande peut réaliser deux fonctions distinctes

- l’asservissement : un système asservi est un système dit suiveur, c’est la consigne qui

varie ; comme par exemple la commande d’un missile qui poursuit une cible.

- la régulation : dans ce cas, la consigne est fixée et le système doit compenser l’effet des

perturbations. Nous citerons comme exemple le réglage de la température dans un four

ii) Composants

Comme vu sur la Fig. 1.6, un système de commande est généralement composé de

- Capteur : organe de transformation d’une grandeur physique à une grandeur de type

électrique ou pneumatique (capteur de température, de position, de vitesse, etc).

- Détecteur d’écart : comparateur, système à deux entrées (sorties des capteurs) et une

sortie proportionnelle à l’erreur ou l’écart entre les deux entrées.

- Actionneur : élément qui commande le système à asservir. Sa fonction principale est donc

l’exécution. Il travaille souvent à de très hautes puissances.

- Amplificateur : Il se situe entre le détecteur d’écart et l’actionneur. C’est lui qui donne

qui délivre la puissance d’entrée nécessaire à ce dernier.

- Correcteur : il se place entre le détecteur d’écart et l’amplificateur. Il permet d’améliorer

les performances du système à asservi

7

iii) Propriétés

Le rôle d’un automaticien est de concevoir un système automatique qui soit :

- Stable : La grandeur de sortie doit converger vers une valeur finie si le signal d’entrée

est aussi limité

- Précis : La grandeur à mesurer doit être la plus proche de celle désirée à l’état statique

- Rapide : Il doit répondre rapidement à une excitation.

Les propriétés des systèmes asservis peuvent être observées comme sur la Fig. 1.7.

d) Signaux de commande

i) Définition

C’est une grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un capteur (tension,

température, débit, etc.) [1]. Le signal est donc la représentation physique à transmettre. [4]

Le signal d’entrée et de sortie sont représentés usuellement comme sur la Fig. 1.8.

Pour un système donné, on distingue :

- e(t) : signal d’entrée qui est indépendant du système, il se décompose en commandable et non

commandable (perturbations)

8

- s(t) : signal de sortie qui est dépendant du système et du signal d’entrée. On distingue deux

sortes de sorties : observable et non observable

ii) Classification phénoménologie

La première classification est obtenue en considérant la nature profonde de l'évolution

du signal en fonction du temps. Elle fait apparaître deux types fondamentaux de signaux :

- le signal déterministe : c’est un signal dont l’évolution au cours du temps est complètement

connue, parfaitement prévisible. Il peut être décrit par un modèle mathématique [4].

- le signal aléatoire : c’est un signal non parfaitement connu à l’avance et par suite non

complément prédictible. Sa description est basée sur les propriétés statistiques qui fait appel à

la théorie des probabilités [4].

iii) Classification morphologique

Un signal peut se présenter sous différentes formes selon que son amplitude est une

variable continue ou discrète et que la variable libre t (considérée ici comme le temps) est elle-

même continue ou discrète. On distingue donc ainsi quatre types de signaux :

- le signal analogique : C’est un signal à amplitude continu et à temps continu

- le signal quantifié : C’est un signal à amplitude discrète et à temps continu

- le signal échantillonné : C’est un signal à amplitude continue et à temps discret

- le signal numérique : C’est un signal à amplitude discrète et à temps discrets appelé

aussi improprement digital car il est représentable par une suite de nombres ou série

temporelle.

iv) Les différents types de signaux de commande

Pour analyser le comportement d’un système, on utilise un ensemble de signaux d’entrée

(signaux type). L’évolution de la sortie du système soumis à ces signaux type

permettra de caractériser le système, et facilitera la comparaison des résultats obtenus. On ne

cite que quelques signaux de commande qui sont fréquemment utilisés. (Tableau I)

9

Tableau I : Les différents types de signaux de commande

Signaux de commande Equations Figures Utilités

Signal en échelon

e(t)= Eo.u(t)

Avec u(t) : Fonction de

Heaviside définie par :

1 si t > 0

u(t)=

0 si t < 0

Cette fonction permet

de soumettre un

système à une entrée

constante.

Signal en rampe

e (t) = t. u(t)

Avec u(t) : Fonction de

Heaviside définie par :

1 si t > 0

u(t)=

0 si t < 0

Ce signal permet

d’analyser la réponse

d’un système en

poursuite

Signal sinusoïdal

e (t) = K sin (ωt).u(t)

Avec K : Amplitude du signal

u(t) : Fonction de Heaviside

ω : Pulsation du signal

Ce signal permet

d’analyser la réponse

fréquentielle d’un

système.

Impulsion ou

distribution de Dirac

1 si t = 0

δ (t) =

0 ∀ t ≠ 0

Ce signal permet de

simuler l’effet d’une

action s’exerçant

durant un temps

très bref (impulsion,

choc)

10

1.2 STABILITE ET PRECISION DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS

1.2.1 Critère de stabilité

a) Critère mathématique

i) Énoncé du critère de stabilité

Un système bouclé est stable si et seulement si sa sortie, autrement dit la grandeur

physique réelle à réguler reste bornée lorsque l’on injecte un signal borné à son entrée. Dans la

pratique, on exige que le signal de sortie converge effectivement vers une valeur finie. D’une

manière plus générale, aucun signal dans la boucle de régulation, ne doit osciller ou tendre vers

l’infini.

La stabilité d’un système asservi est une condition obligatoire : l’instabilité est en

général synonyme de destruction du système.

La condition mathématique de stabilité s’énonce ainsi :

Un système asservi est stable si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermée ne

possède aucun pôle à partie réelle positive. [5]

ii) Inconvénients du critère mathématique

Le critère mathématique énoncé précédemment possède l’avantage d’être

inconditionnel et universel. Toutefois, il possède un certain nombre d’inconvénients :

- Il nécessite non seulement la connaissance de la fonction de transfert mais il suppose

également que l’on soit capable de calculer ses pôles. Cette tâche peut être aisée pour des

systèmes d’ordres peu élevés, mais elle devient très vite ardue pour des systèmes d’ordres

élevés ou qui possèdent de nombreux paramètres.

- La fonction de transfert n’est qu’un modèle qui peut parfois, pour des raisons de

simplifications nécessaires, être éloigné de la réalité physique de l’objet qu’il décrit. Le critère

mathématique diagnostique la stabilité ou l’instabilité d’un système correspondant au modèle

choisi et l’on ne peut jamais être sûr que le système réel, quant à lui, est stable ou pas.

- Pour finir, les lois qui régissent les systèmes physiques peuvent évoluer dans le temps : des

pièces peuvent s’user ou des éléments peuvent être sensibles à des variations des conditions de

l’environnement extérieur. Un système stable aujourd’hui peut très bien devenir instable par la

suite.

Il résulte de ces considérations, d’une part que le critère mathématique est la plupart du

temps difficile à utiliser dans la pratique et d’autre part, qu’il possède un caractère trop

« binaire ».

11

Dans les pages qui suivent, nous nous intéresserons à des critères plus faciles à mettre

en œuvre et surtout à ceux qui introduisent une notion de marge de stabilité, autrement dit qui

permette de quantifier la stabilité comme une performance en faisant apparaître la notion de

système plus ou moins stable. Plus un système sera stable, plus il aura des chances de le rester

et les imprécisions de modélisation seront bien évidemment moins dangereuses.

b) Critère algébrique de Routh

Le critère algébrique de Routh ne permet pas de définir une telle notion de marge de

sécurité, mais il autorise le diagnostic de stabilité pour des systèmes d’ordre élevé et possédant

de surcroît, un ou plusieurs paramètres :

Soit H(p) la fonction de transfert en boucle fermée et soit D(p) le dénominateur de H(p). D(p)

est un polynôme de degré n :

D(p) = an pn + an−1 pn−1 + an−2 pn−2 + · · · + a1p + a0. (1.01)

Le critère de Routh s’applique comme suit : placer la suite de coefficients ai dans un

tableau, sur deux lignes, dans l’ordre des n décroissants, alternativement une ligne sur deux.

Effectuer ensuite un calcul pour créer une ligne supplémentaire, selon l’algorithme présenté ci-

dessous. [5]

an an-2 an-4 …. a1

an-1 an-3 an-5 …. a0

an−1an−2−anan−3

an−1

an−1an−4−anan−5

an−1 ….

an−1a1−ana0

an−1 …

On dispose alors d’un tableau de trois lignes, la troisième ligne possédant moins de

termes que les précédentes. Compléter alors cette troisième ligne, à droite, par des zéros.

an an-2 an-4 …. a1

an-1 an-3 an-5 …. a0

bm bm-1 bm-2 b0 a0

Recommencer ensuite le même calcul sur les deux dernières lignes pour créer une

quatrième ligne.

12

an an-2 an-4 …. a1

an-1 an-3 an-5 …. a0

bm bm-1 bm-2 b0 a0

bman−3−an−1bm−1

bm

bman−5−an−1bm−2

bm ….

Itérer enfin le processus jusqu’à ce qu’il n’y a plus que des 0 sur la ligne.

Le nombre de pôles à partie réelle positive, de la fonction de transfert H(p) est égal au

nombre de changements de signe dans la première colonne.

En conséquence, le système est stable en boucle fermée si tous les coefficients de la première

colonne sont de même signe.

Remarque : Le nombre maximal de lignes est égal au nombre de termes dans le

polynômes D(p), autrement dit à l’ordre du système, plus 1.

c) Critère graphique

Les critères graphiques permettent d’étudier la stabilité d’un système en fonction de

transfert en boucle fermé (FTBF) à partir de l’analyse fréquentielle de la fonction de transfert

en boucle ouverte (FTBO).

Les critères graphiques permettent de déterminer une marge de stabilité.

i) Critère du revers

La pulsation critique où arg(T) = -π, le lieu de Nyquist peut présenter 3 configurations :

- Il passe par le point critique -1 : le système oscillera si on le boucle, l’asservissement est

instable et inutilisable ;

- Le module T est inférieur à 1, le démarrage de l’oscillation n’est pas possible, le système est

stable en boucle fermée ;

- Le module T est supérieur à 1, l’oscillation démarre et croit, le système est instable en boucle

fermée.

Critère du revers :

Si la fonction de transfert en boucle ouverte G(p) d’un système asservi ne

possède aucun pôle à partie réelle positive, alors ce système est stable en boucle fermée si, en

parcourant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le sens des 𝜔

croissants, on laisse toujours le point critique C à gauche de la courbe. [5] (Fig. 1.9)

13

Remarques : - Ne jamais perdre de vue que l’on trace toujours le lieu de Nyquist du système

en boucle ouverte pour étudier sa stabilité en boucle fermée.

- Une augmentation du gain de la chaîne directe se traduit par une homothétie de

centre O sur le diagramme de Nyquist et conduit forcément à l’instabilité.

ii) Stabilité dans diagramme de Black

Un système asservi linéaire est stable si en décrivant le lieu de transfert en boucle

ouverte dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique (-180°,0dB) à droite.

Dans le cas contraire, il est instable (Fig. 1.10). [5]

Le point critique est à droite Le point critique est à gauche

Le système est stable en BF. Le système est instable en BF.

14

iii) Stabilité dans le lieu de BODE

Dans la représentation de BODE, le point critique a pour module 0 dB et pour argument

–180°.

Un système est stable en boucle fermée si le lieu de BODE de sa fonction de transfert

en boucle ouverte contient un point de module 0 dB et d'argument supérieur à –180°. [5]

𝐺=0 pour 𝜔 = 𝜔(𝐺𝑂) et 𝜑 = −180° pour 𝜔 = 𝜔(−180)

Enoncé du critère :

Un système est stable en boucle fermée si :

- Pour la pulsation définie par 𝜔0 argument[H(j𝜔0)] = -180°, le gain de la fonction de transfert

en boucle ouverte |𝐻(𝑗𝜔0)| 𝑑𝐵<0𝑑𝐵.

- Pour la pulsation 𝜔1 définie par |𝐻(𝑗𝜔1)|𝑑𝐵=0𝑑𝐵 le déphasage de la fonction de transfert en

boucle ouverte, est supérieur en module à 180° (argument[H(j𝜔1)] < -180°) . (Fig. 1.11)

Si pour 𝜔 = 𝜔(𝐺𝑂), 𝜑>−180° Si pour 𝜔 = 𝜔(𝐺𝑂), 𝜑<−180°

ET que pour 𝜔 = 𝜔(−180), G < 0 OU que pour 𝜔 = 𝜔(−180), G > 0

Alors le système est stable en boucle fermée. Alors le système est instable en boucle fermée.

1.2.2 Marge de stabilité

La force des méthodes graphiques est dans la possibilité de définir des réserves de

stabilité sous forme de distance entre le lieu de la FTBO et le point critique. La distance qui

sépare le lieu des points de T(jω) avec le point critique, permet de juger du degré de stabilité du

système.

15

Plus ces lieux sont éloignés du point critique, plus le système retrouvera rapidement le

régime permanent. On définit la marge de Gain et la marge de Phase.

a) Marge de gain

C’est la différence entre 0 dB et la valeur du gain pour lequel la phase est égale à -180°.

b) Marge de phase

C’est la différence entre la valeur de la phase pour laquelle le gain est égal à 0 dB et –

180°.

Les valeurs usuelles de marge de gain et de phase sont : de 10 à 20 dB pour la marge de

gain et de 45° à 60° pour la marge de phase.

Ces marges sont nécessaires pour prendre des distances de sécurité par rapport aux

résultats des calculs afin de se prémunir d’une modélisation approximative, de l’évolution des

systèmes, et des utilisations imprévues.

La Figure 1.12 montre comment on peut mesurer les marges de gain et de phase dans

les plans de Black et de Bode.

Diagramme de Black Diagramme de Bode

1.2.3 Précision des systèmes linéaires asservis

a) Définition

Un système asservi (donc en boucle fermée) sera d'autant plus précis si sa sortie s(t) est

proche de la consigne (valeur désirée) e(t). La précision d’un système asservi est définie par

l’erreur qu’on peut quantifier entre la consigne et la sortie [6].

16

휀(𝑡) = 𝑒(𝑡) − 𝑠(𝑡) (1.02)

Cette erreur sera significative de la précision de l'asservissement :

- Pendant le régime transitoire, on parlera de précision dynamique qui est l’écart instantané

entre la sortie et l’entrée ;

- Une fois le régime permanent atteint, on parlera de précision statique.

b) Précision statique

La précision statique d’un système asservi est définie par l’écart constaté lorsque 𝑡→∞,

c’est-à-dire qu’on s'intéresse plus particulièrement au comportement asymptotique. Autrement

dit, On s'intéresse à la différence, en régime permanent entre la consigne et la sortie.

i) Expression générale de l’erreur permanente

Soit un système asservi à retour unitaire (Fig. 1.13) :

휀(𝑝) correspond à la transformée de Laplace du signal d'erreur de l’Eq. 1.02.

On a: 휀(𝑝) = 𝐸(𝑝) − 𝑇(𝑝)휀(𝑝) ⟹ 휀(𝑝)[1+𝑇(𝑝)] = 𝐸(𝑝) (1.03)

Donc l’erreur peut s’exprimer en fonction du signal d’entrée E(p) et de la fonction de

transfert en boucle ouverte T(p) par 휀(𝑝)=𝐸(𝑝)1+𝑇(𝑝). Par conséquent si l'on écrit la fonction

de transfert en boucle ouverte sous la forme générale suivante [7] :

𝑇(𝑝) = K

pα (

1+b1p+b2p2+⋯

1+a1p+a2p2+⋯) Où 𝛼 est appelé classe du système. (1.04)

On obtient :

휀(𝑝) = E(p)pα(1+a1p+a2p2+⋯ )

pα(1+a1p+a2p2+⋯ )+K(1+b1p+b2p2+⋯ ) (1.05)

Donc :

휀(∞) = limp→0

pε(p)=limp→0

E(p)pα+1

pα+K (1.06)

17

L'erreur permanente dépend donc de l'entrée et de la classe du système, c'est à dire du

nombre d'intégrateurs (termes en pα) présents dans la chaîne directe.

ii) Erreur statique

Lorsque la consigne est du type échelon, l'erreur 휀(∞) est appelée erreur statique ou

erreur de position ou encore erreur permanente d'ordre 0 (Fig. 1.14).

Dans ce cas : E(p) = E0

p , donc l’Eq. 1.06 devient :

휀(∞) = limp→0

E0p∝

p∝+K (1.07)

Donc :

E0

1+K pour α=0

휀(∞) = (1.08)

0 pour α>0

L'erreur de position est donc nulle pour tout système de classe supérieure ou égale à 1.

iii) Erreur de traînage

Lorsque la consigne est du type rampe, l'erreur 휀(∞) est appelée erreur de traînage ou

erreur de vitesse ou encore erreur permanente d'ordre 1 (Fig. 1.15).


p2 , donc l’Eq. 1.06 devient :

휀(∞) = limp→0

E0p∝−1

p∝+K (1.09)

18

Donc :

∞ pour α = 0

휀(∞) = E0

K pour α = 1 (1.10)

0 pour α > 1

L'erreur de traînage est donc nulle pour tout système de classe supérieure ou égale à 2.

iv) Erreur d’accélération

L'erreur d'accélération est l'erreur dans le cas d'une entrée en t². On parle aussi d'erreur

permanente d'ordre 2 ou erreur en régime d'accélération.


p3 , donc l’Eq. 1.06 devient :

휀(∞) = limp→0

E0p∝−2

p∝+K (1.11)

Donc :

∞ pour α = 0 ou 1

휀(∞) = E0

K pour α = 2 (1.12)

0 pour α > 2

L'erreur en régime d'accélération est nulle pour tout système de classe supérieure ou

égale à 3.

v) Erreur d'ordre quelconque

En règle générale, l'erreur permanente d'ordre m est nulle pour tout système de classe

supérieure à m + 1, finie (constante) pour tout système de classe m et infinie pour tout système

de classe inférieure à m.

19

vi) Résumé

Le tableau II donne les valeurs des erreurs en fonction de la classe du système :

Tableau II : Valeurs des erreurs en fonction de la classe du système

Les allures des erreurs pour les classe 0 et 1 sont représentées par la Fig. 1.16 :

Classe

𝛼 = 0 𝛼 = 1 𝛼 = 2 𝛼 = 3

Ecart de position

E0

1 + K

0 0 0

Ecart de traînage

∞

E0

K

0 0

Ecart en accélération

∞

∞

E0

K

0

20

c) Précision dynamique

La précision dynamique concerne la valeur atteinte par l’écart pendant les régimes

transitoires qui dépendent eux-mêmes de la nature des sollicitations imposées au système.

Pour évaluer cette précision dynamique, on va observer la rapidité et le dépassement pendant

le régime transitoire.

Si c'est lent, on parlera d'une mauvaise précision dynamique. Si c'est rapide avec

beaucoup d'oscillations, on parlera encore d'une mauvaise précision dynamique. Si c'est rapide

et pas ou peu d'oscillations, on parlera d'une bonne précision dynamique.

i) Rapidité

La rapidité est caractérisée par le temps de réponse du système (Fig. 1.17) : autant par

le temps que le système met à atteindre son régime permanent que par le temps que le système

met pour rejeter les perturbations.

Le temps de réponse à 5% d'un système est le temps mis pour que sa sortie atteigne et

reste dans l'intervalle [95% ; 105%] de la valeur finale stabilisée.

C'est l'inertie propre du processus physique qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc

espérer rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande.

Sur la Fig. 1.17, le système 2 peut paraître plus rapide au départ mais son caractère trop

oscillatoire lui donne un temps de réponse élevé. Donc, le système 1 est plus rapide que le

système 2.

La nature (l'allure) de la réponse (indicielle par exemple) dépend des pôles. Ainsi, les

pôles :

- Réels correspondent à des modes apériodiques ;

- Complexes conjugués à des modes oscillants.

21

Dans le cas de pôles réels, il suffit de les éloigner de l'axe imaginaire pour augmenter la

rapidité. Dans le cas des pôles complexes, c'est plus délicat puisque les pôles ne se déplacent

plus seulement horizontalement (sur l'axe des réels) mais aussi verticalement (axe des

imaginaires). Il reste alors à considérer les constantes de temps associées à chaque pôle [7].

La durée des transitoires (termes exponentiels) d'un système d'ordre quelconque est déterminée

par l'ensemble des constantes de temps associées à chaque mode/pôle. Imposer une condition

du type 𝜏𝑖 < 𝜏𝑚𝑎𝑥 revient à placer les pôles à gauche d'une verticale −1/𝜏𝑚𝑎𝑥 dans le plan

complexe (Fig. 1.18).

Le temps de disparition de la composante transitoire associée à un mode définit la

rapidité de ce mode 𝜏𝑖=−1/𝑅𝑒(𝑝𝑖). Les modes les plus rapides sont donc ceux associés aux pôles

les plus éloignés de l'axe imaginaire (Fig. 1.19).

22

Pour considérer uniquement la rapidité, on se place à amortissement constant (sur une

diagonale sur laquelle se déplacent les pôles). Les éloigner de l'origine revient à augmenter la

rapidité comme le montre la Fig. 1.20.

ii)Amortissement

La précision dynamique est caractérisée par le régime transitoire, donc par l'amplitude

du dépassement dans le cas des pôles complexes. (Fig. 1.21)

23

Assurer une bonne précision dynamique revient à garantir un dépassement de quelques

% en fonction du cahier des charges. Au plus l'amortissement est faible, au plus le dépassement

est important. Le temps de réponse (rapidité) est minimal pour un facteur d'amortissement

𝜉=0.7. On cherchera alors à placer les pôles dans la zone non hachurée délimitée par les demi-

droites à 45 degrés (qui représentent le meilleur compromis dépassement/rapidité) comme le

montre la Fig. 1.22.

Remarques :

- Il ne faut pas conclure trop hâtivement qu’il suffit de rajouter une intégration pour que

le système soit précis, en effet chaque intégration ajoute aussi un déphasage de – 90° ; le

système risque donc de devenir instable.

- On peut considérer que pour améliorer la rapidité d’un système, il faut augmenter le

gain statique de la FTBO.

1.3 CORRECTION DES SYSTEMES LINEAIRES ASSERVIS

1.3.1 Cahier des charges d’un asservissement

En règle générale, le cahier des charges d’une boucle de régulation impose, en boucle

fermée, quatre performances :

- la précision, matérialisée, par exemple, par une valeur maximale de l’erreur de position :

휀p < seuil ; une erreur de traînage maximale peut aussi être requise ;

- la rapidité, matérialisée, en général, par une valeur maximale du temps de montée : tm < seuil;

- la marge de stabilité, matérialisée par une valeur minimale de la marge de phase : Δϕ<seuil ;

- la limitation du dépassement : d % < seuil, ce qui se traduit par une valeur minimale du

coefficient d’amortissement en boucle fermée, donc, étant donné que ξBF ≈ Δϕ°

100 , par une valeur

minimale de la marge de phase. Entre cette valeur et celle dictée précédemment, on prend bien

sûr la plus élevée.

Meilleur compromis

dépassement/rapidité

24

1.3.2 Principe général de correction d’un système

L’idée consiste à introduire dans la chaîne directe, en amont du système A(p), un

dispositif supplémentaire de fonction de transfert C(p), appelé correcteur et dont le rôle essentiel

doit consister à modifier les performances du système initial (Fig. 1.23).

Cela revient à dire que nous transformons les fonctions de transfert en boucle ouverte et

en boucle fermée de manière à imposer à l’ensemble de fonctionner selon le cahier des charges

voulu.

Si Gi(p) et Hi(p) sont les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée du

système initial et Gc(p) et Hc(p) les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée

du système corrigé, on aura :

Gi(p) = A(p)B(p); Hi (p) =A(p)

1+A(p)B(p) (1.13)

et : Gc(p) = A(p)B(p)C(p) ; Hc(p) =A(p)C(p)

1+A(p)B(p)C(p) (1.14)

Tout l’art de la correction des systèmes consiste à choisir la bonne fonction de transfert

C(p) pour ce correcteur de manière à régler chaque performance sur sa valeur requise, sans

perturber, bien sûr, le fonctionnement du système. Ces correcteurs sont en général constitués

de dispositifs électroniques qui peuvent souvent être très simples.

Néanmoins, lorsque le cahier des charges est très exigeant, il faut parfois faire appel à des

correcteurs plus sophistiqués donc plus coûteux et, il faut l’avouer, qui peuvent s’avérer délicats

à régler.

Correcteur

25

1.3.3 Différents type de correcteurs

a) Correcteur proportionnel P

Le correcteur proportionnel ne permet pas toujours d’obtenir des performances très

élevées mais il peut suffire dans certains cas si le cahier des charges n’est pas trop contraignant

ou si le système a un comportement assez simple. Expérimentalement, son réglage peut se faire

directement en partant d’un gain faible et en augmentant petit à petit jusqu’à atteindre un

comportement satisfaisant. Pour un gain trop élevé, le système deviendra instable ce qui se

manifestera d’abord par des oscillations de plus en plus importantes [8].

Le correcteur à action proportionnelle, est le correcteur le plus simple, puisque défini

par un simple gain 𝐾𝑝. La sortie du correcteur est donnée par :

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝휀(𝑡) (1.15)

La fonction de transfert du correcteur est donc :

𝐶(𝑝) = U(p)

ε(p) = 𝐾𝑝 (1.16)

Le gain 𝐾𝑝 permet de régler la précision mais aussi la stabilité du système.

Effet du correcteur :

- Il augmente le gain du système et donc sa rapidité et sa précision (Fig. 1.24).

- Diminution de la stabilité (𝐾𝑝),

- Diminution de l'erreur statique (Fig. 1.24).

- Impossibilité de régler en même temps des performances de précision et de dynamique

b) Correcteur intégral I

On dit qu'une correction est intégrale lorsque le signal de commande est proportionnel

à l'intégrale du signal d'écart ε(t). La fonction de transfert C(p) du correcteur à action intégrale

s'écrit : 𝑢(𝑡) = K ∫ ε(t)dtt

0 ⟹ 𝐶(𝑝) =

K

T𝑖p (1.17)

26

Le choix de la constante de temps d’intégration 𝑇𝑖 est important.


L’intérêt principal de ce correcteur est d’ajouter dans la chaîne de commande une

intégration, la présence d’une intégration dans la FTBO annule l’erreur statique pour une entrée

en échelon.

L’intérêt principal de ce type de correcteur est donc d’améliorer la précision, il introduit

malheureusement un déphasage de -90° et risque de rendre le système instable (diminution de

la marge de phase). Il ralentisse aussi le système.

c) Correcteur dérivé D

On dit qu'une correction est dérivé lorsque le signal de commande est proportionnel à la

dérivée du signal d'écart ε(t). La fonction de transfert C(p) du correcteur à action dérivée s'écrit :

𝑢(𝑡) = Kdε(t)

dt ⟹ 𝐶(𝑝) = 𝐾𝑇𝑑 𝑝 (1.18)


L’action dérivée permet d’améliorer de façon significative la stabilité (augmentation de

la marge de phase) et l’amortissement d’un système.

Remarque :

Les actions, intégrale et dérivée, ne s'emploient jamais seules, mais toujours en

combinaison avec l'action proportionnelle ou ensemble.

d) Correcteur proportionnel-intégral PI

Ce correcteur (de classe 1) représente l'association de deux actions proportionnel P et

intégral I et est représenté par le schéma fonctionnel de la Fig. 1.25.

27

Le correcteur à actions proportionnelle et intégrale (PI) est défini par l'équation

différentielle suivante : Kpdε(t)

dt+ Ki ε(t) =

du(t)

dt (1.19)

Où 휀(𝑡) est le signal d'entrée du correcteur (ou signal d'erreur) et u(t) est le signal de sortie du

correcteur (ou signal de commande).

On peut naturellement écrire la fonction de transfert de ce correcteur PI :

C(p) =du(t)

dt= Kp +

Ki

p= K(1 +

1

Tip) = K/Tip(1 + Tip) (1.20)

Avec K = Kp et Ti =Ki

p


L'introduction d'un correcteur PI permet d'améliorer la précision et de rejeter les

perturbations de type échelon. Par contre, ce type de correcteur possède certaines limitations

sur l'amélioration de la rapidité et peut même introduire une instabilité du système en boucle

fermée. L’action du correcteur sur la réponse indicielle montre l’annulation de l'erreur statique,

stabilité insuffisante et temps de réponse élevé (Fig. 1.26).

e) Correcteur proportionnel-dérivé PD

Le signal de commande est réalisé à partir de l'association d'un terme d'action

proportionnelle et d'un terme d'action dérivée, on emploie pour ces correcteurs l'expression de

correcteur PD.

L’instabilité d’un système asservi est liée au fait que la phase de la fonction de transfert

en boucle ouverte soit inférieure à -180˚ lorsque le gain passe par 0 dB. Une des possibilités

pour augmenter la phase de la boucle ouverte est d’utiliser un effet dérivé. Ce type de correcteur

possède la structure sur la Fig. 1.27.

28

𝑇𝑑 représente le temps d'avance de la sortie du correcteur PD sur celle du correcteur P,

dans le cas d'une entrée en rampe.

Un correcteur PD peut être décrit par une équation différentielle de type :

u(t) = Kp ε(t) + Kddε(t)

dt= K(ε(t) + Td

dε(t)

dt ) (1.21)

Avec : K = 𝐾𝑝 et 𝐾𝑇𝑑 = 𝐾𝑑.

La fonction de transfert de ce type de correcteur est donnée par :

𝐶(𝑝) = 𝐾(1+𝑇𝑑𝑝) (1.22)


- Il augmente la marge de phase et stabilise le système asservi.

- Il peut aussi augmenter la rapidité.

- Diminution mais pas suppression de l’erreur statique.

- Sensibilité au bruit (amplification de haute fréquence).

La figure 1.28 montre l’amélioration de la rapidité, la stabilité suffisante et l’erreur

statique toujours présente.

29

f) Correcteur à avance de phase

Le correcteur à avance de phase est une forme approchée du correcteur PD. Introduction

d'un déphasage positif d'où le nom de correcteur à avance de phase. Il a pour objet d'augmenter

localement la phase de la fonction de transfert du système. Il s'écrit sous la forme :

𝐶(𝑝) = K (1+kTp)

(1+Tp) (1.23)

Avec k>1; T>0 ; T est la constante de temps et a le facteur d'avance de phase du

correcteur.

La phase positive maximale de ce correcteur est 𝜑𝑀 et se trouve à la pulsation 𝜔𝑀 données par

ϕ𝑀 = arcsin (k−1

k+1) ; 𝜔M =

1

T√k (1.24)

i) Effet du correcteur

Comme pour l’effet dérivé, ce correcteur permet d’augmenter la bande passante à 0dB

d’un système en ajoutant de la phase à la boucle ouverte c’est-à-dire le système est plus rapide

en BF. Il a l'avantage d'avoir une phase positive dans une gamme de fréquences. Bien placée,

cette phase positive aura comme effet de stabiliser le système à asservir en augmentant sa marge

de phase.

L'inconvénient de ce correcteur est qu'il ajoute un gain pour les hautes fréquences donc

sensibilité aux bruits [6]. Le réglage de ce correcteur consiste à utiliser l'effet avance de phase

proche du point critique et faire en sorte que le gain soit apporté aux fréquences qui n'auront

pas d'effet néfaste sur la stabilité.

ii) Eléments de réglage du correcteur

Le correcteur à avance de phase est plus complexe à régler de par la dépendance de

chaque paramètre vis-à-vis de chaque marge.

- Calculer k pour avoir l'avance de phase ϕ𝑀 désirée ;

- Calculer T de façon à placer la cloche à la pulsation de coupure 𝜔𝑐𝑜 désirée c’est-à-dire

𝜔𝑀 = 1

T√k = 𝜔co

- Le gain fréquentiel est augmenté de 20loga à partir de ω = 10/𝜏. Ceci décale la pulsation 𝜔𝑐𝑜

du système corrigé en BO.

- Calculer K pour ramener 𝜔𝑐𝑜 à la bonne valeur.

30

g) Correcteur à retard de phase

Le correcteur à retard de phase est une forme approchée du correcteur PI. L’introduction

d'un déphasage négatif d'où le nom de correcteur à retard de phase. Il réalise une action intégrale

(augmentation du gain en basses fréquences) sans introduire d'intégrateur. La fonction de

transfert de ce correcteur s'écrit sous la forme : 𝐶(𝑝) = K (1+Tp)

(1+kTp) (1.25)

Avec T>0;k>1 ; b est le facteur d'avance de phase et 𝜏 la constante de temps du

correcteur. La phase négative maximale de ce correcteur est 𝜑𝑀 et se trouve à la pulsation 𝜔𝑀

donnés par : 𝜙𝑀 = arcsin (−k−1

k+1) ; 𝜔𝑀 =

1

T√k (1.26)

A cette pulsation, on a un gain de |𝐶(𝑗𝜔𝑀)| = 1

√k. Pour les pulsations élevées (𝜔≫𝜔𝑀) le

gain du correcteur est de 1/k.

i) Effet du correcteur

Ce correcteur présente un gain plus élevé en basse fréquence qu’en haute fréquence. Son

action est comparable à celle d’un correcteur PI dont le gain en basse fréquence est limité. Il a

l'avantage d'avoir une atténuation en hautes fréquences pouvant améliorer la marge de gain sans

pour autant changer le gain statique donc la précision de l'asservissement. L'inconvénient de ce

correcteur est qu'il apporte une phase négative qui pourrait déstabiliser le système si ce

correcteur est mal réglé. Le réglage va donc consister à apporter l'atténuation proche du point

critique, en choisissant T suffisamment grand pour que la phase négative soit apportée bien

avant la pulsation de résonance.

ii)Eléments de réglage du correcteur

- Introduire dans le correcteur un gain K qu'on calcule pour avoir la marge de phase désirée.

- Calculer K = k pour obtenir la précision imposée.

- Choisir la constante de temps T telle que 1

T ≪𝜔𝑐𝑜 (

1

T ≤ 0.1 𝜔𝑐𝑜) pour ne pas modifier la marge

de phase et les performances dynamiques.

h) Correcteur proportionnel-intégral-dérivé PID

C'est le correcteur le plus connu et aussi le plus complet car il associe les trois types de

corrections proportionnel, intégral et dérivée ; il permet de bénéficier des avantages du

correcteur PI qui permet d’avoir une erreur statique nulle, de ceux du correcteur PD qui permet

de ne pas diminuer la bande passante du système en boucle ouverte et donc de conserver un

temps de réponse correct en boucle fermée.

31

i) Structure d’un correcteur PID

On le trouve sous plusieurs formes : mixte, série et parallèle.

- La structure mixte est représentée sur la Fig. 1.29 :

La fonction de transfert de ce correcteur est :

C(p) = Kp(1 +1

Tip+ Tdp) (1.27)

- La structure en série est représentée sur la Fig. 1.30 :


C(p) = Kp(1 +1

Tip)(1 + Tdp) (1.28)

- La structure en parallèle est représentée sur la Fig. 1.31 :


C(p) = Kp +1

Tip+ Tdp (1.29)

32

ii) Effet du correcteur

Ce correcteur est difficilement réglable (amplification des hautes fréquences), mais il

permet de conjuguer les avantages des 3 modes vus précédemment :

- Intégral : augmentation de la précision (ajout de gain en basse fréquence) ;

- Proportionnel : amélioration de la précision et de la rapidité pour des gains >1 ;

- Dérivé : amélioration des marges de stabilité (ajout de phase près du point critique) ;

- Causalité : atténuation du bruit (moins de gain en haute fréquence).

La figure 1.32 montre l’amélioration de la rapidité, la stabilité suffisante et l’annulation

de l'erreur statique.

:

iii) Méthode de réglage du correcteur PID

L’objectif du réglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsation

de résonance du système non corrigé, l’avance de phase soit positive et suffisante pour ne pas

rendre le système instable. Il n’y a pas de réelle méthode analytique permettant de calculer les

composantes du correcteur, par contre des méthodes pratiques permettent une évaluation

correcte des coefficients du correcteur, entre autres on peut :

- Etudier le système en boucle ouverte et ses caractéristiques (marges, précision, rapidité...),

- Régler le gain proportionnel Kp afin d’obtenir un premier asservissement satisfaisant (en

termes de marges, dépassement, oscillations, rapidité),

- Régler la constante de temps de l’action intégrale de sorte qu’elle n’agisse qu’en basse

fréquence (pour ne pas pénaliser les marges),

33

- Régler la constante de temps de l’action dérivée de sorte qu’elle n’agisse qu’autour du point

critique (pour ne pas pénaliser la précision).

Dans ce premier chapitre, on a présenté l’introduction à l’automatique, les notions sur

le système linéaire asservi et les différents correcteurs utilisés. Tout cela est nécessaire pour

l’étude d’un asservissement. Passons maintenant dans le chapitre suivant où nous allons voir

les généralités sur le drone.

34

CHAPITRE 2 : GENERALITES SUR LE DRONE

2.1 Description des drones

2.1.1 Définition du drone

Le terme « drone », aussi connu sous l’acronyme UAV (Unmanned Arial Vehicle), est

utilisé pour désigner un engin volant, ou aéronef, capable de voler, de se diriger, et d’effectuer

une mission sans la présence d’un pilote à bord.

Le concept fait référence aux avions, aux hélicoptères, ou mêmes aux missiles de

croisière, pourvu seulement qu’il y ait autonomie de pilotage. Pour certains types de drone,

l’assistance au sol est requise durant certaines phases de vol notamment le décollage et

l’atterrissage, ou face à des situations de vol imprévues. Pour d’autres, l’autonomie de pilotage

peut s’étendre jusqu’à la prise de décision opérationnelle pour réagir face à tout événement

aléatoire en cours de vol. [9]

Tous les drones requièrent la présence au sol d’au moins un opérateur dont la fonction

sera de recueillir en temps réel les informations transmises par le drone. Les informations seront

ensuite analysées et enregistrées. De ce point de vue, le drone lui-même n’est qu’un élément

d’un système plus étendu et plus complexe dans lequel plusieurs éléments interagissent

ensemble pour remplir une fonction. On parle alors de « systèmes drones »

2.1.2 Forme et fuselage

Comme les drones reprennent les concepts des avions standards (avions, hélicoptères,

avions de chasse, etc.), il n’est pas surprenant que les concepteurs de drones s’inspirent de ces

derniers pour la forme de leurs engins. Néanmoins, la différence avec les avions standards

réside dans le fait que, la forme du drone sera conçue sans qu’on ait à se soucier d’un

quelconque fuselage pour abriter les pilotes. Ceci offre une multitude de possibilités de

configuration. (Fig. 2.1) [9]

Cette souplesse de configuration est très pratique car la forme d’un drone est le plus

souvent déterminée par la nature et le profil de sa mission, ainsi que la charge utile qu’il doit

embarquer. Ce qui fait qu’à une mission correspond un drone spécifique dont la forme serait

destinée à répondre au mieux aux besoins de la mission.

35

La configuration adoptée sera celle qui pourra intégrer les éléments nécessaires à la

mission. La cellule devrait embarquer tous les équipements nécessaires.

La motorisation a elle aussi un impact sur la forme du drone. Selon les besoins de la

mission, il faut choisir la meilleure configuration qui assure l’intégration du système de

motorisation.

2.1.3 Systèmes de navigation et charge utile

Des systèmes destinés à la navigation et à faciliter le pilotage sont embarqués sur les

drones, ceci pour répondre aux besoins de stabilité et de maniabilité. [9].

a) Systèmes de navigation

Ils remplissent les fonctions d’organes de prise de décision et de contrôle des drones.

Ces équipements sont généralement constitués de :

- Capteurs, nécessaires à la mesure des paramètres de vol, et au contrôle des éventuelles

erreurs et disfonctionnements au niveau des autres équipements

- Calculateurs, éléments indispensables à la navigation et au pilotage.

- Mémoires, dans lesquelles sont préenregistrées la programmation de vol, et les critères

de décision pour l’autonomie de pilotage

- Actionneurs, agissant sur les commandes de vol.

36

Les systèmes de navigation assurent l’exécution de la chaîne d’asservissement de

l’ensemble des équipements afin de fournir au drone une autonomie de décision proche du

pilote automatique d’un avion.

b) Charge utile

La charge utile est l'élément indispensable au drone pour mener à bien sa mission. Elle

est embarquée à bord avec différents équipements permettant :

- L’acquisition des données, via des capteurs,

- Le traitement des données, par les calculateurs,

- La sélection des informations utiles à transmettre au sol

D’importants systèmes de transmission de données sont mis en œuvre pour permettre la

communication entre le drone et la station au sol. Comme l’échange de données doit s’effectuer

en temps réel pour certaines informations (le téléguidage par exemple), les équipements de

communication embarqués dans la charge utile doivent garantir vitesse et performance.

L’ensemble est alimenté par de l’énergie électrique produit par la rotation des moteurs,

notamment pour les drones de petite taille. Pour les drones de plus grande envergure, un

système d’alimentation supplémentaire est embarqué à bord. Ceci peut avoir un impact sur la

taille, et les performances du drone et ainsi que sur sa classification.

2.2 Les différentes catégories de drones

Chaque catégorie de drone a un nombre de caractéristique qui le distingue ; nous

pouvons alors proposer une classification des drones en se basant sur différents critères :

- Classification générale des drones en fonction de leur rayon d’action, l’endurance et l’altitude

(R.E.A).

- Classification selon le mode de vol.

2.2.1 Classification en fonction de R. E.A

Le tableau III classifie les drones en fonction de R.E.A [10] [11] [12] [13] [14].

37

Tableau III : Classification des drones

Nom Rayon d’action Endurance Altitude

Drones HALE

(Haute Altitude

Longue Endurance)

Plusieurs milliers de

kilomètres

Trentaine d’heures

20 000 mètres

Drones MALE

(Moyenne Altitude

Longue Endurance)

Milliers de

kilomètres

Trentaine d’heures

5 000 -15 000 mètres

Drones de combat 2 800 km Dizaine d’heures 12 200 mètres

Drones tactiques

TUAV (Tactical

Unmanned Aerial

Vehicle)

Plus de 100 Km

Dizaine d’heures

200- 5000 mètres

Mini drones MAV

(Mini Air Vehicle)

30 km

Quelques heures

300 mètres

Micro/Nano drones Dizaine de

kilomètres

Vingtaine de minutes Centaines de mètres

2.2.2 Classification selon le mode de vol

a) Drones à voilure fixe

Ce genre de drone est constitué d’une paire d’ailes, un fuselage, un empennage et un

ensemble d’hélices. Les configurations de ce genre donnent plus d’autonomie au drone mais

présentent quelques inconvénients comme [12] la nécessité d’une piste de décollage, la non

autorisation du vol stationnaire et l’impossibilité du vol à basse vitesse et à basse altitude.

38

b) Drones à voilure tournante

Ce genre de drone a la capacité de décoller, voler et atterrir verticalement, ils utilisent

des voilures tournantes ou rotor multiples pour voler en état stationnaire, ils n’ont pas besoin

d’une piste de décollage/atterrissage et ils peuvent réaliser une très grande variété de missions

irréalisables par des drones à voilure fixe. [15]

Parmi ces types de drones à voilure tournante, on trouve les hélicoptères classiques (Fig.

2.2) [11], les engins à rotor tandem, les engins à rotors coaxiaux et les engins à rotors engrenant.

d) Drones à aile battante

Le guidage et le pilotage de ce genre de drones se fait grâce à des ailes battantes. Ils

imitent les insectes, ils peuvent aussi faire des vols stationnaires à basse vitesse et effectuées

des missions dans des espaces très réduits. [16]

2.3 Applications

Exploités depuis toujours par les militaires, on retrouve aujourd’hui les drones dans

différents secteurs civils.

2.3.1 Applications militaires

Les drones ont été plusieurs fois utilisés durant les grands conflits historiques (guerres

mondiales, guerre du Golfe) comme matériels militaires. Partant de la particularité que le drone

n’a pas besoin de pilote à bord, son utilisation se révèle très avantageuse pour la surveillance et

le collecte de renseignements. Au combat le risque de perte de vies humaines est réduit à zéro.

a) Surveillance et reconnaissance

L’endurance, le rayon d’action, la discrétion ainsi que la grande capacité d’observation

des drones permettent de recueillir de renseignements précis, continus et en temps réel. Grâce

aux différents capteurs utilisés, on peut avoir des informations en image de la zone surveillée,

des vidéos montrant les activités de l’armée ennemie et renseignant l’évolution de la situation.

39

b) Au combat

Le plus souvent, les drones sont utilisés comme support au combat [9]. Dans ce cadre,

on leurs assigne des missions comme :

- Désignation d’objectifs en vue d’une destruction par des attaques aéroportées, par des avions

ou hélicoptères de combat.

- Relais de communication

- Soutien aux opérations : utilisés par des commandos évoluant en territoire ennemi comme

engin de reconnaissance.

- Brouillage de communication

- Support au déploiement par évaluation de l’environnement des zones de déploiement des

forces

- Transport d’armes et de packs de survie (les vivres, trousses médicales, etc.).

Toutefois, les drones peuvent aussi servir d'engins de combat en amenant à son bord

tout l’armement nécessaire. Ils sont comparables aux avions de combat standards avec la seule

différence que, il n’y a pas de pilote à bord.

Le drone peut renseigner l’emplacement exact de l’ennemi, le désigner comme cible et

avec un avion de combat, ou un drone de combat, une frappe aérienne est possible. L’utilisation

des drones en tant qu’avion de combat est encore très restreinte.

2.3.2 Applications civiles

Différents secteurs dans le domaine civil ont recours aux drones, certains ne peuvent

même plus s’en passer. Sans compter les missions de surveillance et d’observation, les

applications sont nombreuses dont voici quelques-unes :

- Missions de surveillance : surveillances du trafic routier et du transport (Fig. 2.3) [17],

surveillance maritime, inspection d’immeuble en feu, surveillance des lignes hautes tensions.

- Prise de vue aérienne : prise d’image pour les émissions télévisées, prise de vue pour le

cinéma, photographie aérienne, cartographie, évaluation des dégâts d’une catastrophe naturelle

- Etudes scientifiques [9] : étude de l’atmosphère, études et prévisions météorologiques

40

- Autres : recherche et sauvetage, transport de vivre et de médicaments vers les endroits

frappés par des catastrophes naturelles, relais de communications pour la télécommunication.

2.4 Les différents mouvements du quadrirotor : Cas de notre étude

2.4.1 Généralités

Le drone quadrirotor est un aéronef de la classe des drones à voilures tournantes.

Il est constitué de quatre rotors fixés à l’extrémité d’un corps rigide en forme de croix. Sa charge

utile est placée au centre de la croix.

Les deux rotors diamétralement opposés tournent dans un sens et deux autres tournent

en sens inverse afin d’éviter que l’appareil ne tourne sur lui-même sous l’action des couples

créés par les moteurs (figure 2.4).

41

Le pilotage de l’appareil se fait par actions sur les moteurs. Les différentes commandes

permettront d’obtenir le mouvement désiré.

Des réglages spécifiques conduisent aux différents mouvements de vol du quadrirotor

suivant ses axes de rotation et permettent les translations. On distingue ainsi les mouvements

angulaires et les mouvements de translations.

2.4.2 Les mouvements de rotation du quadrirotor

La combinaison des forces 𝑖 et des couples résistants Ci produit les mouvements

angulaires autour des axes du quadrirotor. Ces axes représentent les axes d’attitude du

quadrirotor. Les mouvements angulaires sont définis selon l’axe. On a alors le mouvement de

lacet, le mouvement de roulis et le mouvement de tangage.

a) Mouvement de tangage

Ce mouvement est assuré par la différence des forces (F2, F4) produites par les moteurs

droite et gauche c’est à dire que les moteurs M1 et M3 vont tourner avec la même vitesse de

rotation tandis que M2 et M4 vont tourner avec deux vitesses différentes. Par conséquent cette

différence de forces produit un couple autour de l’axe y. La figure 2.5 présente une illustration

d’un mouvement de tangage pour un quadrirotor.

b) Mouvement de roulis

Ce mouvement est assuré par la différence des forces (F1, F3) produites par les moteurs

avant et arrière. C’est le même principe que pour le mouvement de tangage mais le couple créé

42

par la différence des forces sera autour de l’axe de roulis. La figure 2.6 présente une illustration

d’un mouvement de roulis pour un quadrirotor.

c) Mouvement de lacet

Ce mouvement peut être effectué si on provoque une différence de vitesse entre les

moteurs tournant en sens opposé puisque ce mouvement est assuré par la somme des couples

de trainée Ωi produites par chaque moteur.

Par conséquent, les couples résistants provoquent un couple autour de l’axe de lacet z.

La figure 2.7 présente une illustration d’un mouvement de lacet pour un quadrirotor.

43

Les commandes de mouvements angulaires sont envoyées au quadrirotor afin de

permettre des déplacements dans les différentes directions : gauche/droite, avant/arrière,

haut/bas.

2.4.3 Les mouvements de translations du quadrirotor

Les mouvements de translations sont classés en deux : les translations verticales et les

translations horizontales.

a) Translation verticale

Ce mouvement est un déplacement suivant l’axe z. Il peut être effectué en faisant

augmenter la vitesse de rotation des 4 moteurs de façon à avoir une force de poussée FT > mg

tandis que si FT < mg donc nous allons avoir un mouvement vertical vers le bas suivant l’axe z.

La figure 2.8 présente une illustration de translation verticale pour un quadrirotor

b) Translation horizontale

Il a le même principe que pour la translation verticale mais cette fois-ci dans le plan x y.

Il faut augmenter les vitesses de rotation de façon à ce que la force de poussée maintient

le quadrirotor à une hauteur constante par rapport au sol et en appliquant une force le long de x

ou y, le système effectue un vol connu dans la littérature sous le nom de « vol en palier » . La

figure 2.9 présente une illustration de translation horizontale pour un quadrirotor.

44

2.4.4 Le vol stationnaire

A part les différents mouvements décrits précédemment, le quadrirotor possède un autre

état de vol qui est le vol stationnaire. Ce type de vol est l’une des caractéristiques marquantes

des drones à voilures tournantes. Durant cette phase de vol, le quadrirotor reste à une hauteur

constante par rapport au sol et sa vitesse de translation est nulle. Les quatre moteurs tournent à

une certaine vitesse, et à vitesse égale pour permettre à la force de sustentation 𝑇 d’équilibrer

le poids du quadrirotor. Pendant le vol stationnaire, le quadrirotor a la liberté de faire des

rotations autour de l’axe z (mouvement de lacet).

Les commandes des mouvements sont envoyées à la suite des informations reçues qui

spécifient que le drone doit effectuer tel ou tel mouvement (par exemple lorsqu’il rencontre un

obstacle). Ces informations sont délivrées par la centrale inertielle qui est intégrée dans le

système de contrôle embarqué.

2.5 Repérage d’un quadrirotor dans l’espace

2.5.1 Les repères utilisés

Un quadrirotor nécessite deux trièdres pour le repérer dans l’espace, ces repères

sont (Fig. 2.10) [18] :

- Le repère terrestre : Il est noté : R0(O0, X0, Y0, Z0). C’est un repère lié à la terre supposé

immobile (Fig. 2.10).

45

- Le repère lié au corps du quadrirotor : Le repère lié au corps du quadrirotor Il est noté :

R1(O1, X1, Y1, Z1). C’est un repère dont l’origine O1 coïncide avec le centre de gravité G du

quadrirotor.

Donc les paramètres qui permettent de décrire le mouvement du quadrirotor sont : (φ,

θ, ψ, x, y, z, Ω, V) avec :

- φ (angle de roulis) : rotation autour de X1(−π < φ < π)

- θ (angle de tangage) : rotation autour de Y1(−2π < θ < 2π)

- ψ (angle de lacet) : rotation autour de Z1(−π < ψ < π)

- x : coordonnée du centre de gravité G du quadrirotor suivant X0.

- y : coordonnée du centre de gravité G du quadrirotor suivant Y0.

- z : coordonnée du centre de gravité G du quadrirotor suivant Z0.

- ω : [p,q,r] T ∈ R0 : la vitesse de rotation du quadrirotor par rapport repère inertiel.

- V : [u,v,w] T ∈ R0 : la vitesse linéaire liée du quadrirotor par rapport repère inertiel.

2.5.2 Matrice de rotation

On considère que les centres O0 et O1 des deux repères sont confondus, ce qui signifie

que le repère R1 ne fait que des rotations par rapport au repère R0. Trois paramètres

indépendants sont nécessaires pour décrire complètement l’orientation du repère R1 par rapport

à celle de R0. Le passage du repère R1 vers le repère R0 se fera par trois rotations en utilisant

deux repères intermédiaires Ri et Rj [19].

46

a) Passage du repère R0 vers le repère Ri

La rotation se fait autour de l’axe xi = x0. On passe du repère R0 vers Ri en faisant une

rotation d’angle φ appelé angle de roulis (Fig. 2. 11) .

La représentation se fait par des figures planes, à partir desquelles nous construisons les

matrices de passage, nous avons ainsi la matrice :

𝑅 (𝑋0, φ) = [

1 0 00 cos(φ) − sin(φ)0 sin(φ) cos(φ)

] (2.01)

b) Passage du repère Ri vers le repère Rj

La rotation se fait autour de l’axe yj = yi. On passe du repère Ri vers le repère Rj en

faisant une rotation d’angle θ appelé angle de tangage (Fig. 2. 12) .

47

Nous avons ainsi la matrice :

𝑅 (𝑌0, θ) = [cos(θ) 0 sin(θ)

0 1 0− sin(θ) 0 cos(θ)

] (2.02)

c) Passage du repère Rj vers le repère R1

La rotation se fait autour de l’axe z1 = zj. On passe du repère Rj vers le repère R1 en faisant

une rotation d’angle ψ appelé angle du lacet (Fig. 2. 13) .

Nous avons ainsi la matrice :

𝑅 (𝑍0, ψ) = [cos(ψ) − sin(ψ) 0sin(ψ) cos(ψ) 0

0 0 1

] (2.03)

Le passage du repère R1 vers le repère R0 ou inversement se fait par trois rotations

successives de telle sorte que tous les axes de R1 occupent des positions différentes de celle de

R0. La matrice de passage de R1 vers R0 est donnée par le produit des trois matrices successives,

on obtient :

R = R (φ, θ, ψ) = R (Z0, ψ) ∗ R (Y0, θ) ∗ R (X0, φ)

= [

cos(θ)cos(ψ) − cos(φ)sin(ψ) + sin(φ)sin(θ)cos(ψ) sin(φ)sin(ψ) + cos(φ)sin(θ)cos(ψ)

cos(θ) sin(ψ) cos(φ)cos(ψ) + sin(φ)sin(θ)sin(ψ) −sin(φ)cos(ψ) + cos(φ)sin(θ)sin(ψ)−sin(θ) sin(φ)cos(θ) cos(φ)cos(θ)

]

(2.04)

48

2.6 Modèle dynamique

Dans cette section, nous présentons le modèle dynamique du quadrirotor développé dans

la littérature selon la modélisation de Newton-Euler.

2.6.1 Hypothèses simplificatrices

Les hypothèses suivantes sont prises en compte pour établir le modèle dynamique du

quadrirotor [20] :

- La structure du quadrirotor est supposée rigide et symétrique.

- Les hélices sont supposées rigides pour pouvoir négliger l’effet de déformation lors de la

rotation (battement).

- La matrice d’inertie J est supposée constante (il n’y a pas de changement de poids).

- Les forces de portance et de trainée sont supposées proportionnelles au carré de la vitesse de

rotation des rotors.

- Le repère lié au corps du quadrirotor est supposé confondu avec son centre de gravité

2.6.2 Modélisation avec le formalisme de Newton-Euler

a) Dynamique de translation

D’après la première loi de la dynamique de Newton :

𝑑(𝑚𝑉)

𝑑𝑡= ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡⟶𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒

La vitesse exprimée dans le repère inertiel est :

𝑑(𝑚𝑉)

𝑑𝑡= 𝑚

Les forces extérieures appliquées au quadrirotor sont :

- le poids

- la force de trainée

- la force de portance

i) Le poids

La force de gravité est donnée par :

𝑃 = −𝑚𝑔𝑧0 (2.07)

(2.05)

(2.06)

49

ii) La force de trainée

C’est la résultante des forces qui s’opposent au mouvement du quadrirotor dans l’air, de

même direction que le mouvement du quadrirotor mais de sens opposé.

Elle représente en quelque sorte les forces de frottement visqueux sur l’objet, elle est donnée

par :

𝐹𝑡 = −1

2 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑘𝑉2 (2.08)

En posant 𝐶 =1

2 𝜌𝑎𝑖𝑟𝑘, l’Eq. 2.08 devient :

𝐹𝑡 = −𝐶𝑉2 (2.09)

iii) La force de portance

Elle est perpendiculaire à l’écoulement d’air, dirigée vers le haut c’est-à-dire qu’elle a

tendance à faire élever le quadrirotor.

Elle représente la force totale produite par les quatre hélices, elle est donnée par :

𝐹𝑝 = (∑ 𝑓𝑖)𝑧1

4

𝑖=1

Où :

fi est la force de portance produite par la rotation de l’hélice i, elle est donnée par :

𝑓𝑖 = 𝑎𝜔𝑖2 (2.11)

Avec a : coefficient de portance.

Donc la force de portance totale est :

𝐹𝑝 = 𝑎(𝜔12 + 𝜔2

2+𝜔32+𝜔4

2)𝑧1 (2.12)

On doit exprimer cette force dans le repère inertiel, pour cela on utilise la matrice de

rotation R :

𝐹𝑝 = (∑ 𝑓𝑖)(𝑅𝑧0)

4

𝑖=1

En remplaçant les expressions des forces, l’Eq. 2.05 devient :

= 𝑔𝑧0 −𝐶𝑉2

𝑚+

𝐹𝑝

𝑚 (𝑅𝑧0

)

(2.10)

(2.13)

(2.14)

50

En développant l’Eq. 2.14, on obtient le système d’équation :

= 𝑢

= 𝑣

= 𝑤

= −𝐶𝑢

𝑚 𝑢2 +

𝐹𝑝

𝑚 (sin(φ)sin(ψ) + cos(φ)sin(θ)cos(ψ)) (2.15)

= −𝐶𝑣

𝑚 𝑣2 +

𝐹𝑝

𝑚 (−sin(φ)cos(ψ) + cos(φ)sin(θ)sin(ψ)

= −𝑔 −𝐶𝑤

𝑚 𝑤2 +

𝐹𝑝

𝑚 (cos(φ)cos(θ))

b) Dynamique de rotation

D’après la deuxième loi de la dynamique de Newton :

𝑑𝐽Ω

𝑑𝑡= ∑ 𝜏𝑟𝑒𝑝⟶𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒

Et comme la vitesse angulaire est exprimée dans le repère lié au quadrirotor, alors :

𝑑𝐽Ω

𝑑𝑡= 𝐽Ω + Ω ∧ 𝐽Ω

Les couples extérieurs sont :

- les couples aérodynamiques

- le moment gyroscopique

i) Les couples aérodynamiques

Ils sont produits par les forces de trainée et de poussée créées par la rotation des quatre

hélices (Fig. 2.14), ils sont notés 𝜏𝑖 :

𝜏𝑥 = 𝑙𝑎(𝜔4² − 𝜔2²)

𝜏𝑦 = 𝑙𝑎(𝜔3² − 𝜔1²) (2.18)

𝜏𝑧 = 𝑏(−𝜔12 + 𝜔2

2 − 𝜔32 + 𝜔4²)

Avec : b : coefficient de trainée ; l : distance entre le centre de gravité du quadrirotor et l’axe

du rotor et a : coefficient de portance

(2.16)

(2.17)

51

ii) Le moment gyroscopique

Il se crée dans les systèmes physiques en mouvement avec des parties rotatoires et tend

à résister aux mouvements du quadrirotor. L’expression générale de ce moment est donnée par :

𝜏𝑔𝑦𝑟𝑜 = ∑ Ω

4

𝑖=1

∧ 𝐽𝑟 [00

(−1)𝑖𝜔𝑖

]

La matrice d’inertie de chaque rotor est supposée diagonale :

𝐽𝑟 = [

𝐽𝑟𝑥 0 00 𝐽𝑟𝑦 0

0 0 𝐽𝑟𝑧

] (2.20)

A partir des Eq. 2.01 et 2.20 on obtient :

𝜏𝑔𝑦𝑟𝑜 = ∑[(−1)𝑖𝜔𝑖𝐽𝑟𝑧]Ω

4

𝑖=1

∧ 𝑧1

En remplaçant l’expression de l’Eq. 2.21 dans l’Eq. 2.18 :

𝐽Ω + Ω ∧ 𝐽Ω = 𝜏𝑎 + ∑[(−1)𝑖𝜔𝑖𝐽𝑟𝑧]Ω

4

𝑖=1

∧ 𝑧1

Comme la structure du quadrirotor est supposée symétrique, la matrice d’inertie J est

diagonale :

𝐽 = [

𝐽𝑥 0 00 𝐽𝑦 0

0 0 𝐽𝑧

] (2.23)

(2.19)

(2.21)

(2.22)

52

Donc, l’Eq. 2.22 devient :

=𝐽𝑦−𝐽𝑧

𝐽𝑥𝑞𝑟 +

𝐽𝑟𝑧

𝐽𝑥(𝜔1 − 𝜔2 + 𝜔3 − 𝜔4) +

𝜏𝑥

𝐽𝑥

=𝐽𝑧−𝐽𝑥

𝐽𝑦𝑝𝑟 +

𝐽𝑟𝑧

𝐽𝑦(𝜔1 − 𝜔2 + 𝜔3 − 𝜔4) +

𝜏𝑦

𝐽𝑦 (2.24)

=𝐽𝑥−𝐽𝑦

𝐽𝑧𝑝𝑞 +

𝜏𝑧

𝐽𝑧

c) Relation entre les angles d’Euler et les vitesses angulaires :

Si un solide tourne à une vitesse constante, sa vitesse angulaire est constante, par contre

les variations des angles d’Euler seront variables car elles dépendent des angles instantanés

entre les axes des deux repères.

La séquence des angles d’Euler est obtenue à partir de trois rotations successives : roulis,

tangage et lacet.

La variation φ nécessite une rotation, θ nécessite deux rotations et ψ nécessite trois

rotations [21] :

Ω = 𝑅(𝑋0, 𝜑) [00

] + 𝑅(𝑋0, 𝜑)𝑅(𝑌0, 𝜃) [00

] + 𝑅(𝑋0, 𝜑)𝑅(𝑌0, 𝜃)𝑅(𝑍0, 𝜓) [00

] (2.25)

Ce qui donne :

[𝑝𝑞𝑟

] = [1 0 − sin 𝜃0 cos 𝜑 sin 𝜑 cos 𝜃0 −sin 𝜑 cos 𝜑 cos 𝜃

] [

] (2.26)

Donc la relation entre Φ = [, , ]𝑇 𝑒𝑡 Ω = [𝑝, 𝑞, 𝑟]𝑇 est :

Φ = 𝑇𝑟 ∗ Ω (2.27)

Avec :

𝑇𝑟 = [

1 sin 𝜑 tan 𝜃 cos 𝜑 tan 𝜃0 cos 𝜑 −sin 𝜑

0sin 𝜑

cos 𝜃

cos 𝜑

cos 𝜃

] (2.28)

53

En développant l’équation précédente, on aura :

= 𝑝 + sin 𝜑 tan 𝜃 𝑞 + cos 𝜑 tan 𝜃 𝑟

= cos 𝜑 𝑞 −sin 𝜑 𝑟 (2.29)

=sin 𝜑

cos 𝜃𝑞 +

cos 𝜑

cos 𝜃𝑟

Nous avons parlé de la forme, les différentes catégories et les diverses applications du

drone. Les différents mouvements du quadrirotor ont ensuite été présentés dans ce chapitre afin

de mettre en place son modèle dynamique. Ce dernier est indispensable pour le calcul de la

fonction de transfert du quadrirotor qui sera utilisé prochainement dans le dernier chapitre où

l’on montrera la simulation faite sur Matlab.

54

CHAPITRE 3 : SIMULATION DU MAINTIEN

D’ALTITUDE DU QUADRIROTOR

3.1 Outils de simulation : MATLAB / SIMULINK

Matlab (Matrix Laboratory) est un produit de la firme The Mathworks Inc. La première

version de ce logiciel a été élaborée il y a plus de 20 ans de cela. Son développement et son

perfectionnement se font d’une façon continue et parallèle à ceux de la technique de calcul. Le

nom du logiciel MATLAB vient du groupe de mots anglais « Matrix Laboratory », il est orienté

en un premier lieu sur l’élaboration des massifs de données (des matrices et des vecteurs). C’est

pour cela, malgré une évolution rapide de la technique de calcul, Matlab est toujours parvenu à

se maintenir au plus haut niveau de l’évolution de cette technique. Comme résultat, de nos jours

Matlab est une bibliothèque très riche en fonctions (plus de 800). L’unique problème pour

l’utilisateur de ce logiciel est de savoir où prendre les éléments nécessaires pour la résolution

d’un problème concret. Matlab est un logiciel de calcul scientifique ayant pour objectif de

préparer l’étudiant aux travaux pratiques d’automatique, de mécanique et d’analyse numérique

dans lesquels cet outil est intensivement utilisé pour la mise en application et la simulation des

principes théoriques. Simulink, quant à lui, est un ensemble de logiciels pour la modélisation,

la simulation et l’analyse des systèmes dynamiques. Il supporte les systèmes linéaires ou non

linéaires modélisés en temps continu ou en temps discret.

3.2 Choix du modèle du quadrirotor

Les équations vues précédemment représentent le modèle dynamique du quadrirotor et

permettent d’obtenir la fonction de transfert du quadrirotor sous-système vertical afin

d’analyser sa stabilité sous MATLAB/SIMULINK.

3.2.1 Choix des moteurs

Le choix des moteurs pour drone se tourne habituellement vers les moteurs de type

Brushless, ou moteurs à courant continu sans balais [22]. Les caractéristiques du moteur choisi

sont résumées dans le Tableau IV.

55

Tableau IV : Caractéristiques du moteur Park 480 Brushless Outrunner Motor

Paramètres Valeur

Tension nominale 7.4 – 12 V

Gain par V 1020 tr/min/V

Courant continu 10 A

Courant maximal 15 A

Longueur sans axes 33 mm

Résistance interne 0.6Ω

Inductance interne 40 µH

Poids 87 g

Diamètre cage 35 mm

Diamètre axe 4mm

Charge supportée 700-2000g

Hélices 10’’ x 7’’ à 12’’ x 6’’

La fonction de transfert d’un moteur électrique s’écrit sous la forme [23] :

𝐻(𝑝) =𝐾𝑚

𝐾𝑚2 + (𝑅 + 𝐿𝑝)(𝑓 + 𝐽𝑝)

Avec :

𝐾𝑚 : gain du moteur [V.s/rad]

𝑅 : résistance interne du moteur [Ω]

𝐿: inductance [H]

𝑓: frottements [N.m]

𝐽 : moment d’inertie du rotor [kg.m2]

(3.01)

56

Comme l’inductance d’un moteur est négligeable devant sa résistance, et les frottements

sont négligeables devant l’inertie, la fonction de transfert peut s’écrire :

𝐻(𝑝) =𝐾𝑚

𝐾𝑚2 + 𝑅𝐽𝑝

Etant donné que le gain K donné par le constructeur est :

𝐾 =1

𝐾𝑚

On obtient :

𝐻(𝑝) =𝐾

1 + 𝜏𝑝

Avec : gain en [rad/s/V] et 𝜏 : constante de temps du moteur.

Dans notre cas, avec les caractéristiques du Park 480 Brushless Outrunner Motor :

K = 1020 tr/min/V soit K = 106.81 rad/s/V

La constante de temps du moteur a été déterminée en effectuant une mesure sonore de

la réponse du moteur à un échelon de tension, on a trouvé [24] :

𝜏 = 0.1𝑠

La fonction de transfert de notre moteur sera :

𝐻(𝑝) =106.81

1 + 0.1𝑝

3.2.2 Dimensionnement

En tenant compte des caractéristiques du moteur, on a pu établir le dimensionnement

nécessaire pour modéliser notre drone dans le but d’assurer sa stabilisation.

La masse totale du quadrirotor (M) est la somme de la masse de la croix (mc), les masses

des quatre rotors considérés comme identiques (mi, i Є 1; 2; 3; 4) et la masse de la batterie

m’ et de la charge utile (mbc):

M = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mbc (3.06)

La masse des quatre moteurs est : ∑ 𝑚𝑖 = 4 ∗4𝑖=1 87g=348g

(3.02)

(3.03)

(3.04)

(3.05)

57

La masse de la croix est : mc= 452g

La masse de la charge utile fait en tout environ mbc=1.7 kg maximum. On obtient la

masse totale du quadrirotor : M=2.5 kg.

Ce qui nous laisse une large marge vue que les quatre moteurs peuvent supporter en tout

une masse totale de 4*2000g=8 kg.

Le dimensionnement de notre drone est résumé dans le Tableau V :

Tableau V : Le dimensionnement du drone

Envergure du drone d=0.5 m

Rayon du moteur 𝑟𝑚 = 17.5 mm = 1.75 ∗ 10−2m

Longueur du moteur 𝑝𝑚 = 33 mm = 3.3 ∗ 10−2m

Distance entre le centre et le rotor 𝐼 = (𝑑2⁄ ) − 𝑟𝑚 = 2.32 ∗ 10−3m

Masse de la croix 𝑚𝑐 = 4.52 ∗ 10−1kg

Masse du moteur 𝑚𝑖 = 8.7 ∗ 10−2kg

Masse de la charge utile et de la batterie 𝑚𝑏𝑐 = 1.7kg

Dimension du support de la charge utile Longueur 𝑎𝑏 = 0.1m, largeur 𝑤𝑏 = 0.1m

hauteur ℎ𝑏 = 0.05m

Distance de la charge utile au centre de la

croix

𝑙0 = 0m

3.2.3 Calcul des paramètres de la simulation

Il s’agit des paramètres nécessaires pour la synthèse de la fonction de transfert et ainsi

pour la simulation.

a) Coefficient de poussée a

En utilisant l’Eq. 2.11 et le principe de la dynamique, avec une alimentation de 12V

(Tableau IV), on a : 𝐹 = 𝑀𝑔 = 𝑎𝜔2 (3.07)

58

Avec :

M : Masse du quadrirotor

g : Intensité de la pesanteur

a : coefficient du poussée

𝜔 : Vitesse angulaire du moteur

Soit 𝑎 = 1.2 ∗ 10−5 𝐾𝑔. 𝑚. 𝑟𝑎𝑑−2

b) Coefficient de traînée b

Pour calculer le coefficient de traînée, on effectue l’expérience suivante : on pose le

drone sur un support permettant une rotation libre selon l’axe vertical c’est-à-dire le lacet, puis

on entre une consigne de puissance connue dans deux des quatre moteurs (ici les moteurs 1 et

3) et on chronomètre le temps mis par le drone pour effectuer un quart de tour.

La relation entre l’angle de lacet et les vitesses des moteurs est la suivante :

ψ =(𝐽𝑥 − 𝐽𝑦)

𝐽𝑧 +

𝑏(𝜔12 + 𝜔3

2 − 𝜔22 − 𝜔4

2)

𝐽𝑧

Le drone étant libre seulement selon l’axe de lacet, il ne peut y avoir de roulis ou de

tangage, ce qui implique que le terme (𝐽𝑥−𝐽𝑦)

𝐽𝑧 soit nul.

On a alors :

ψ =𝑏(𝜔1

2 + 𝜔32 − 𝜔2

2 − 𝜔42)

𝐽𝑧

En intégrant à deux reprises, on obtient la loi de l’angle de lacet (en considérant les

conditions initiales nulles, ce qui est le cas si on rentre des échelons comme consignes moteurs)

ψ(t) =𝑏(𝜔1

2 + 𝜔32 − 𝜔2

2 − 𝜔42)

𝐽𝑧

𝑡2

2

Lors de l’expérience, on met les moteurs 1 et 3 à mi- puissance, c’est-à-dire 510 tr/min

et les moteurs 2 et 4 à l’arrêt. On effectue un quart de tour.

𝜋

2=

𝑏𝜔2𝑇2

𝐽𝑧

(3.08)

(3.09)

(3.10)

(3.11)

59

D’où :

𝑏 =𝜋𝐽𝑧

2𝜔2𝑇2

D’après le calcul d’inertie ci-dessous, on aura 𝐽𝑧 = 7.08 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2 et en prenant T=1.5s

D’où la valeur de b :

𝑏 = 1.73 ∗ 10−6𝐾𝑔. 𝑚2. 𝑟𝑎𝑑−2

c) Calcul des inerties

Les inerties de la charge utile suivant les axes x, y, z s’expriment après calcul par :

𝐽𝑥 =𝑚𝑏𝑐(𝑤𝑏

2 + ℎ𝑏2)

12+ 𝑚𝑏𝑐𝑙0 2

𝐽𝑦 =𝑚𝑏𝑐(𝑎𝑏

2+ℎ𝑏2)

12+ 𝑚𝑏𝑐𝑙0 2

𝐽𝑧 =𝑚𝑏𝑐(𝑤𝑏

2+𝑎𝑏2)

12

Avec :

𝑚𝑏𝑐 : représente la masse de la charge utile [kg]

𝑎𝑏 : la longueur de la charge utile [m]

𝑤𝑏: la largeur de la charge utile [m]

ℎ𝑏 : la hauteur de la charge utile [m]

𝑙0 : la distance entre l’intersection de la croix et la charge utile s’accrochant en dessous.

Ici la charge utile se trouve au centre de la croix donc 𝑙0 = 0m .

On obtient les valeurs des inerties de la charge utile :

𝐽𝑥 = 1.77 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

𝐽𝑦 = 1.77 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

𝐽𝑧 = 7.08 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

L’inertie de notre moteur est de 𝐽𝑟 =1

2𝑚𝑖𝑟𝑚

2 , on trouve 𝐽𝑟 = 1.33 ∗ 10−5𝑘𝑔. 𝑚2

(3.12)

(3.13)

60

Le Tableau VI est un récapitulatif des paramètres de la simulation.

Tableau VI : Les paramètres de la simulation

Constante Valeur

Coefficient de portée 𝑎 = 1.2 ∗ 10−5 𝐾𝑔. 𝑚. 𝑟𝑎𝑑−2

Coefficient de trainée 𝑏 = 1.73 ∗ 10−6𝐾𝑔. 𝑚2. 𝑟𝑎𝑑−2

La demi-envergure du quadrirotor 𝐼 = 0.25 𝑚

Inertie 𝐽𝑟 = 1.33 ∗ 10−5𝑘𝑔. 𝑚2

Inertie suivant x 𝐽𝑥 = 1.77 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

Inertie suivant y 𝐽𝑦 = 1.77 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

Inertie suivant z 𝐽𝑧 = 7.08 ∗ 10−3𝑘𝑔. 𝑚2

Masse de l’engin 𝑀 = 2.5 𝐾𝑔

Gravité 𝑔 = 9.8 𝑚𝑠−2

L’objectif est donc de déterminer la forme, puis les valeurs numériques de la fonction

de transfert (FT) du correcteur qui permettra d’obtenir un système stable dans toutes les

configurations.

3.3 Déroulement de l’étude

Cette étude sera faite à l’aide du logiciel Matlab et Simulink. Le quadrirotor est modélisé

par un système du 3e ordre. Il s’agit de la fonction de transfert du quadrirotor, obtenue par la

transformée de Laplace des équations dynamiques du sous-système vertical du système

quadrirotor.

3.3.1 Modélisation du quadrirotor

L’objectif de cette partie est de modéliser le quadrirotor en exploitant les équations de

la dynamique du drone et les équations électromécaniques des 4 moteurs.

Ce modèle est indispensable pour concevoir les algorithmes de pilotage de haut niveau.

61

a) Les différents paramètres

Un schéma simplifié du quadrirotor est donné sur la Fig. 3.1. Les différents paramètres

nécessaires pour la modélisation du drone sont décrits ci-après :

i) Paramètres géométriques

On associe :

- Le repère 𝑅0 = (𝑂0, 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ) au sol noté 𝑆0 supposé être un référentiel galiléen

- Le repère 𝑅 = (𝑂, , , 𝑧) au corps du drone noté S, de centre d’inertie 𝐺𝑠. Les axes et

sont dirigés selon les bras du drone orthogonaux, l’axe étant dirige vers l’avant du drone

- Le repère 𝑅𝑖 = (𝐺𝑖 , 𝑖 , 𝑖 , 𝑧𝑖) à chaque hélice notée 𝑆𝑖, de centre d’inertie 𝐺𝑖 avec 𝑖 ∈

1,2,3,4. O est le centre géométrique des centres d’inertie des 4 hélices. Ainsi

𝑂𝐺 1 = −𝑂𝐺

3 = 𝑙 et 𝑂𝐺 2 = −𝑂𝐺

4 = 𝑙 (3.14)

On pose alors 𝐺𝑠0 = ℎ𝑧 . On note G le centre de gravité de l’ensemble 𝐸 = ⋃ 𝑆𝑖𝑖=4𝑖=1 .

ii) Paramètres cinématiques

Le mouvement du corps S par rapport au sol 𝑆0 est donné par le torseur cinématique

62

𝑉𝑆/𝑆0 =

Ω𝑆/𝑆0

V𝐺,𝑆/𝑆0

𝐺

avec Ω𝑆/𝑆0= Ω = 𝑝 + 𝑞 + 𝑟𝑧 et V𝐺,𝑆/𝑆0

= V = 𝑢 + 𝑣 + 𝜔𝑧 (3.15)

Chaque hélice est en liaison pivot d’axe (𝐺𝑖 , 𝑧) avec le corps du drone S. On pose

𝜃𝑖 = (, 𝑖) = (, 𝑖) pour 𝑖 ∈ 1,2,3,4. On note alors Ω𝑆𝑖/𝑆 = 휀𝑖𝜔𝑖 𝑧 la vitesse angulaire de

l’hélice 𝑆𝑖 par rapport à S , avec 𝜔𝑖 la vitesse angulaire strictement positive de chaque hélice et

휀𝑖 = ±1 en fonction du sens de rotation de chaque hélice (compte tenu du pas de l’hélice).

iii) Paramètres cinétiques

On peut donner comme ci-dessous les caractéristiques de la masse :

- La masse de l’ensemble du quadrirotor 𝐸 = 𝑆 ⋃ 𝑆𝑖𝑖=4𝑖=1 est notée M

- La masse d’une hélice 𝑆𝑖 est 𝑚𝑖 = 𝑚 (supposée identique pour les 4 hélices).

- La masse du corps S est notée 𝑚𝑠.

On introduit les formes générales des matrices d’inertie suivantes :

- Matrice d’inertie du corps S au centre de gravité global G dans le repère R :

𝐼𝐺(𝑆) = (𝐴 −𝐷 −𝐸

−𝐷 𝐵 −𝐹−𝐸 −𝐹 𝐶

)

𝑅

(3.16)

- Matrice d’inertie d’une hélice 𝑆𝑖 au point 𝐺𝑖 dans le repère 𝑅𝑖, 𝑖 ∈ 1,2,3,4 :

𝐼𝐺𝑖(𝑆𝑖) = (

𝐴𝑖 0 00 𝐵𝑖 00 0 𝐶𝑖

)

𝑅𝑖

(3.17)

iv) La modélisation des actions mécaniques

Le drone est soumis à :

- L’action de la pesanteur dont l’accélération est notée = −𝑔𝑧0

- L’action de l’air sur chaque hélice 𝑆𝑖 en mouvement, dont la forme est comme suit :

𝑇𝑎𝑖𝑟→𝑆𝑖 =

𝑖 = 𝑎 𝜔𝑖 2𝑧

𝑖(𝐺𝑖) = −𝑏 휀𝑖𝜔𝑖 2𝑧

𝐺𝑖

Avec 휀𝑖 = ±1 selon le pas de l’hélice considérée, a et b sont des constantes positives

(3.18)

63

- Les actions électromagnétiques intérieures aux moteurs produisant des couples sur chaque

rotor lié à une hélice Γ𝑖= 휀𝑖Γ𝑖𝑧 , ou le couple Γ𝑖 est toujours positif.

Par définition du centre de gravité G on a :

𝑂𝐺 =1

𝑀( 𝑚𝑠 𝑂𝐺

𝑠 + ∑ 𝑚𝑖 𝑖=4𝑖=1 𝑂𝐺

𝑖 =1

𝑀(−𝑚𝑠 ℎ𝑧 + 𝑚 ∑ 𝑂𝐺

𝑖𝑖=4𝑖=1 ) =

𝑚𝑠

𝑀(−ℎ)𝑧 (3.19)

Le corps du drone possède deux plans de symétrie, la matrice est donc diagonale en tout

point de l’intersection des plans, donc en G :

𝐼𝐺(𝑆) = (𝐴 0 00 𝐵 00 0 𝐶

)

𝑅

(3.20)

b) Modèle mécanique du drone

i) Equations de comportement dynamique du drone

On isole l’ensemble du drone soumis à : l’action de pesanteur sur l’ensemble, l’action

de l’air sur les 4 hélices. Le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen

𝑅0 au point G donne :

𝑀(𝐺, 𝐸/𝑆0) = −𝑀𝑔𝑧0 + ∑ 𝑎 𝜔𝑖 2

𝑖=4

𝑖=1

𝑧

𝛿(𝐺, 𝐸/𝑆0) = (𝑑(𝐺, 𝐸/𝑆0)

𝑑𝑡)

𝑆0

= ∑ −𝑏 휀𝑖𝜔𝑖 2𝑧

𝑖=4

𝑖=1

+ ∑ 𝐺𝐺

𝑖

𝑖=4

𝑖=1

∧ 𝑎 𝜔𝑖 2𝑧

𝛿(𝐺, 𝐸/𝑆0) = (𝑑(𝐺, 𝐸/𝑆0)

𝑑𝑡)

𝑆0

= ∑ −𝑏 휀𝑖𝜔𝑖 2𝑧

𝑖=4

𝑖=1

+ 𝑎𝑙((𝜔32 − 𝜔1

2) + (𝜔22 − 𝜔4

2)

Dans le cas d’un vol stationnaire, les éléments de cinétiques sont nuls. Ainsi :

𝜔12+𝜔2

2 + 𝜔32 + 𝜔4

2 =𝑀𝑔

𝑎

avec 𝜔42 = 𝜔2

2 , 𝜔32 = 𝜔1

2 , 휀1𝜔1 2 + 휀2𝜔2

2 + 휀3𝜔3 2 + 휀4𝜔4

2 = 0

Ainsi 2𝜔12+2𝜔2

2 =𝑀𝑔

𝑎 et (휀1 + 휀3) 𝜔1

2 + (휀2 + 휀4) 𝜔22= 0

(3.21)

(3.22)

64

Les 𝜔𝑖 ne peuvent pas être nuls (sinon le drone ne vole pas). Ainsi 휀2 + 휀4 ≠ 0 car sinon

𝜔1 = 0 . On a donc : 휀1 = 휀3 = 1 et 휀2 = 휀4 .Si 휀2 = 휀4 = 1 alors il n’y a pas de solution

d’équilibre possible (impossible de respecter les deux équations). Ainsi 휀2 = 휀4 = −1. Les

hélices 1 et 3 ont un pas à droite tandis que les hélices 2 et 4 ont un pas à gauche.

Dans ces conditions, 𝜔12 = 𝜔4

2 et 𝜔12 =

𝑀𝑔

4𝑎. Ainsi comme les 𝜔𝑖 > 0 , on obtient :

𝜔𝑖== √𝑀𝑔

4𝑎 Soit = 714.43 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1

ii) Calcul des éléments cinétiques

On peut exprimer le moment cinétique (𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0 ) en 𝐺𝑖 de 𝑆𝑖 par rapport à 𝑆0 dans la

base du repère R.

(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0) = 𝐼𝐺𝑖(𝑆𝑖). Ω𝑆𝑖/𝑆0

or Ω𝑆𝑖/0 = 𝑝 + 𝑞 + (𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )𝑧

Il est nécessaire d’exprimer le vecteur Ω𝑆𝑖/𝑆0 dans la base Ri pour pouvoir faire le produit

matriciel.

Sachant que = cos 𝜃𝑖𝑖 − sin 𝜃𝑖𝑖 et = cos 𝜃𝑖𝑖 + sin 𝜃𝑖𝑖

On obtient : Ω𝑆𝑖/0 = (𝑝 cos 𝜃𝑖+𝑞 sin 𝜃𝑖) 𝑖 + (𝑞 cos 𝜃𝑖 − 𝑝 sin 𝜃𝑖) 𝑖 + (𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )𝑧

Ainsi : (𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/0)=𝐴𝑖(𝑝 cos 𝜃𝑖+𝑞 sin 𝜃𝑖) 𝑖 + 𝐵𝑖(𝑞 cos 𝜃𝑖 − 𝑝 sin 𝜃𝑖) 𝑖 + 𝐶𝑖(𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )𝑧

En exprimant les vecteurs dans la base de R : 𝑖 = cos 𝜃𝑖 + sin 𝜃𝑖 et 𝑖 = cos 𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑖

On obtient : (𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0) =

𝐴𝑖(𝑝cos2𝜃𝑖 + 𝑞 sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖) − 𝐵𝑖(𝑞 cos 𝜃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 − 𝑝sin2𝜃𝑖)

𝐴𝑖(𝑝 cos 𝜃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑞sin2𝜃𝑖) + 𝐵𝑖(𝑞cos2𝜃𝑖 − 𝑝 cos 𝜃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖)𝐶𝑖(𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )

Soit : (𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0) =

𝐴𝑖𝑝cos2𝜃𝑖 + 𝐵𝑖𝑝sin2𝜃𝑖 + (𝐴𝑖 − 𝐵𝑖)𝑞 cos 𝜃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖

𝐴𝑖𝑞sin2𝜃𝑖 + 𝐵𝑖𝑞cos2𝜃𝑖 + (𝐴𝑖 − 𝐵𝑖)𝑝 cos 𝜃𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖

𝐶𝑖(𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )

L'expression précédente peut être simplifiée en considérant la moyenne temporelle de

(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0) sur une période Ti de rotation d'une hélice.

(3.23)

(3.24)

65

La vitesse angulaire d’une hélice étant de l’ordre de 12 240 tr/min, soit une période de

5ms ce qui est très faible par rapport au mouvement du drone, on peut approcher les quantités

à chaque instant par leur moyenne sur une période. Cette moyenne est définie de la manière

suivante :

⟨(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0)⟩ =1

𝑇𝑖∫ (𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0)𝑑𝑡

𝑇𝑖

0

La composante selon notée 𝜎𝑥 est :

⟨𝜎𝑥⟩ =1

𝑇𝑖∫ 𝐴𝑖𝑝cos2(𝜔𝑖𝑡) + 𝐵𝑖𝑝sin2(𝜔𝑖𝑡) + (𝐴𝑖 − 𝐵𝑖)

𝑞

2

𝑇𝑖

0

𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑖𝑡)𝑑𝑡

Or la moyenne des fonctions cosinus et sinus au carre vaut ½ sur une période et

l’intégrale de sin (2𝜔𝑖 𝑡) est égale à 0.

Ainsi la moyenne est ⟨𝜎𝑥⟩ =𝐴𝑖+𝐵𝑖

2

De la même manière, on établit le même résultat pour la composante selon (en prenant

q a la place de p).

Ainsi on obtient : ⟨(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0)⟩ = 𝐼𝑟𝑝 + 𝐼𝑟𝑞 + 𝐽𝑟(𝑟 + 휀𝑖𝜔𝑖 )𝑧

avec 𝐼𝑟 =𝐴𝑖+𝐵𝑖

2 et 𝐽𝑟 = 𝐶𝑖

Un calcul similaire permettrait de montrer que la moyenne temporelle du moment

cinétique en G de E par rapport à S0 est ⟨(𝐺, 𝐸/𝑆0)⟩ = 𝐼𝑝 + 𝐼𝑞 + 𝐽𝑟𝑧 + ∑ 𝐽𝑟 휀𝑖𝜔𝑖 𝑧 𝑖=4𝑖=1 où

I et J sont des constantes fonctions de Ir, Jr et des données géométriques et cinétiques défnies

lors du paramétrage.

Dans toute la suite du problème, on utilisera ces deux expressions en confondant les

moyennes sur une période avec les quantités défnies à l'instant t.

Développons les deux équations vectorielles obtenues lors de l'isolement du quadrirotor

et déduisons 6 équations scalaires projetées sur la base du repère R.

L’accélération de la pesanteur sur la base du repère R : = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3𝑧

Ainsi on obtient L’Eq. 3.27.

(3.25)

(3.26)

66

(𝑑(𝐺,

𝐸

𝑆0)

𝑑𝑡)

𝑅0

= 𝐼 + 𝐼𝑝 (𝑑

𝑑𝑡)

𝑅0

+ 𝐼 + 𝐼𝑞 (𝑑

𝑑𝑡)

𝑅0

+ (𝐽 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖4𝑖=1 𝜔𝑖 )𝑧 +

(𝐽𝑟 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖𝜔𝑖 4𝑖=1 ) (

𝑑𝑧

𝑑𝑡)

𝑅0

(𝑑 (𝐺,

𝐸𝑆0

)

𝑑𝑡)

𝑅0

= ∑ −𝑏휀𝑖𝜔𝑖 2

4

𝑖=1

𝑧 + 𝑎𝑙((𝜔3 2 − 𝜔1

2) + (𝜔2 2 − 𝜔4

2))

Or on a les relations suivantes :

(𝑑

𝑑𝑡)

𝑅0

= (𝑝 + 𝑞 + 𝑟𝑧) ∧ = −𝑞𝑧 + 𝑟

(𝑑

𝑑𝑡)

𝑅0

= (𝑝 + 𝑞 + 𝑟𝑧) ∧ = 𝑝𝑧 − 𝑟

(𝑑𝑧

𝑑𝑡)

𝑅0

= (𝑝 + 𝑞 + 𝑟𝑧) ∧ 𝑧 = −𝑝 + 𝑞

D’où :

𝐼 − 𝐼𝑞𝑟 + (𝐽𝑟 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖

4

𝑖=1

𝜔𝑖 ) 𝑞 = 𝑎𝑙(𝜔2 2 − 𝜔4

2)

𝐼 + 𝐼𝑝𝑟 − (𝐽𝑟 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖

4

𝑖=1

𝜔𝑖 ) 𝑝 = 𝑎𝑙(𝜔3 2 − 𝜔1

2)

(𝐽 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖

4

𝑖=1

𝜔𝑖 ) = −𝑏 ∑ 휀𝑖𝜔𝑖 2

4

𝑖=1

L’accélération est donnée par :

(𝐺, 𝐸/𝑆0) = + + 𝑧 + 𝑢(−𝑞𝑧 + 𝑟) + 𝑣(𝑝𝑧 − 𝑟) + 𝑤(−𝑝 + 𝑞)

Ainsi :

− 𝑟𝑣 + 𝑤𝑞 = 𝑔1

+ 𝑟𝑢 − 𝑤𝑝 = 𝑔2

− 𝑢𝑞 + 𝑣𝑝 = 𝑔3 +𝑎

𝑀∑ 𝜔2

𝑖4𝑖=1

(3.27)

(3.29)

(3.28)

67

Les équations scalaires défnies précédement modélisent le comportement du drone.

Ces équations étant non-linéaires, il est souhaitable de les linéariser afin de simplifier

l'élaboration des lois de contrôle du drone. Cette approximation est justifiée par le fait que l'on

s'intéresse dans cette étude à un comportement du quadrirotor proche d'un vol stationnaire. En

pratique, la linéarisation de ces équations donne des résultats expérimentaux très satisfaisants

même lorsque le drone se déplace à une vitesse raisonnable.

Pour cela, on suppose donc par la suite que l'on se place autour de la configuration de

vol stationnaire et que :

- 𝜔𝑖 = + 𝑖 est la variation de vitesse angulaire autour du point d'équilibre , 𝑖

étant un infiniment petit d'ordre 1 (positif ou négatif),

- les quantités u, v, w, p, q, r sont faibles et considérées comme des infiniment petits

d'ordre 1 (devant la vitesse des pales).

Afin de caractériser l'orientation du drone dans l'espace, une paramétrisation usuelle est

l'utilisation des angles décrits sur la Fig. 3.2. où ψ est appelé l'angle de lacet, φ l'angle de roulis

et θ l'angle de tangage.

De la même manière, on introduit les coordonnées du centre de gravité G du drone par

rapport au sol :

𝑂0𝐺 = 𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 𝑧𝑧0

Les hypothèses précédentes impliquent que θ et φ sont également des inniments petits

d'ordre 1. On montre alors que : θ = q, φ = p et ψ = r.

Aucune hypothèse n'est faite sur la valeur d'équilibre de notée, autour de laquelle est

linéarisé le système. On a donc les relations suivantes en ce qui concerne les vitesses :

u = cos(ψ) − sin(ψ)

v = − sin(ψ) + cos(ψ)

w =

(3.30)

(3.31)

68

On pose de la même manière que pour les vitesses de rotation des hélices :

Γ𝑖 = Γ𝑖 + Γ𝑖 où Γ𝑖 est la variation de couple moteur (infiniment petit d'ordre 1 devant Γ𝑖 )

autour de Γ𝑖, couple moteur nécessaire pour assurer le vol stationnaire et autour duquel se fait

la linéarisation des équations.

Déterminons les évolutions des couples Γ𝑖 en isolant chaque hélice Si.

On isole une hélice i soumise :

- à l’action de l’air

- a la pesanteur

- au couple moteur Γ𝑖

- à l’action de la liaison pivot

69

Le théorème du moment dynamique appliqué en 𝐺𝑖 dans le référentiel galiléen 𝑆0 en

projection selon 𝑧 donne :

𝛿(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0). 𝑧 = 휀𝑖Γ𝑖 + 𝑀𝑖

Or 𝛿(𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0). 𝑧 =𝑑((𝐺𝑖,𝑆𝑖/𝑆0).𝑧)

𝑑𝑡= 𝐽𝑟(휀𝑖𝑖 + )

En effet ((𝐺𝑖 , 𝑆𝑖/𝑆0).𝑑 𝑧

𝑑𝑡 𝑆0

= 0) ;

Ainsi : 𝐽𝑟(휀𝑖𝑖 + ) = 휀𝑖Γ𝑖 − 𝑏휀𝑖𝜔𝑖2

Avec la fig. 3.2. on obtient : = −𝑔(− cos 𝜑 sin 𝜃 + sin 𝜑 + 𝑧 cos 𝜑 cos 𝜃 )

Donc 𝑔1 = 𝑔 cos 𝜑 sin 𝜃 ; 𝑔2 = −𝑔 sin 𝜑 ; 𝑔3 = −𝑔 cos 𝜑 cos 𝜃

− 𝑟𝑣 + 𝑟𝑞 = 𝑔1 donne = 𝑔𝜃

+ 𝑟𝑢 − 𝑟𝑝 = 𝑔2 donne = −𝑔𝜑

∑ 𝜔𝑖²

𝑖=4

𝑖=1

= ∑( 𝑖 + )²

𝑖=4

𝑖=1

= ∑ 𝑖²

𝑖=4

𝑖=1

+ 2 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

+ ∑ ²

𝑖=4

𝑖=1

Soit au premier ordre :

∑ 𝜔𝑖²

𝑖=4

𝑖=1

= 2 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

+ ∑ ²

𝑖=4

𝑖=1

D’où : − 𝑢𝑞 + 𝑣𝑝 = 𝑔3 +𝑎

𝑀 ∑ 𝜔𝑖²𝑖=4

𝑖=1 donne = −𝑔 + (𝑎

𝑀)(2 ∑ 𝑖𝑖=4

𝑖=1 + ∑ 2𝑖=4𝑖=1 )

Comme = −𝑔 + (𝑎

𝑀) ∑ 2𝑖=4

𝑖=1 = 0 il vient = (2𝑎

𝑀) ∑ 𝑖𝑖=4

𝑖=1

De même :

𝐼 − 𝐼𝑞𝑟 + 𝑞(𝐽𝑟 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖𝑖=4𝑖=1 𝜔𝑖) = 𝑎𝑙(𝜔2² − 𝜔4²) donne 𝐼 = 2𝑎𝑙(2 − 4) car

∑ 휀𝑖𝑖=4𝑖=1 𝜔𝑖 = ∑ 휀𝑖𝑖 + 휀𝑖𝑖=4

𝑖=1 = ∑ 휀𝑖𝑖𝑖=4𝑖=1 compte tenu des signes 휀𝑖 .

𝐼 − 𝐼𝑝𝑟 − 𝑝(𝐽𝑟 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖𝑖=4𝑖=1 𝜔𝑖) = 𝑎𝑙(𝜔3² − 𝜔1²) donne 𝐼 = 2𝑎𝑙(3 − 1)

𝐽 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖𝑖=4𝑖=1 𝑖 = −𝑏 ∑ 휀𝑖

𝑖=4𝑖=1 𝜔𝑖² donne 𝐽 + 𝐽𝑟 ∑ 휀𝑖

𝑖=4𝑖=1 𝑖 = −2𝑏 ∑ 휀𝑖

𝑖=4𝑖=1 𝑖

𝐽𝑟(휀𝑖𝑖 + ) = 휀𝑖Γ𝑖 − 𝑏휀𝑖𝜔𝑖² donne 𝐽𝑟(휀𝑖𝑖 + ) = 휀𝑖Γ𝑖 + 휀𝑖Γ𝑖 − 𝑏휀𝑖(2 + 2𝑖)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

70

En régime stationnaire : Γ𝑖 − 𝑏2 = 0 on a donc 𝐽𝑟(휀𝑖𝑖 + ) = 휀𝑖Γ𝑖 − 2𝑏휀𝑖𝑖

En soustrayant les équations de chaque hélice de l’équation de moment selon z, il vient :

(𝐽 − 4𝐽𝑟) = − ∑ 휀𝑖

𝑖=4

𝑖=1

Γ𝑖

De même, en soustrayant les équations des hélices 3 et 1 (휀1 = 휀3 = 1), on obtient :

𝐽𝑟( 3 − 1) = Γ3 − Γ1 − 2𝑏(3 − 1)

Et de même, en soustrayant les équations des hélices 4 et 2 (휀2 = 휀4 = −1), on obtient :

𝐽𝑟(2 − 4) = Γ2 − Γ4 − 2𝑏(2 − 4)

En additionnant les équations des hélices 1 et 3 et en soustrayant celles des hélices 4 et

2, on obtient :

𝐽𝑟 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

= ∑ Γ𝑖

𝑖=4

𝑖=1

− 2𝑏 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

Le sous-système d’équations pour obtenir un mouvement vertical fait intervenir la

somme des vitesses angulaires et des couples.

Le Sous-système vertical est régi par l’Eq 3.39 :

= (2𝑎

𝑀) ∑ 𝑖

𝑖=4𝑖=1 𝑎𝑣𝑒𝑐 = 𝜔

𝐽𝑟 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

= ∑ Γ𝑖

𝑖=4

𝑖=1

− 2𝑏 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

3.3.2 Modélisation électro-mécanique des moteurs

Chaque hélice est montée directement sur le rotor d'un petit moteur à courant continu

dont les caractéristiques sont données dans le Tableau IV. Les équations simplifiées qui

caractérisent le comportement dynamique et électrique des moteurs sont les suivantes :

𝑢𝑖 = 𝑅𝑚 I𝑖 + 𝐿𝑚

𝑑𝐼𝑖

𝑑𝑡+ 𝐾𝑚 ω𝑖

Γ𝑖 = 𝐾𝑚𝐼𝑖

𝐽𝑟𝑖 = Γ𝑖 − 𝑏𝜔𝑖²

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

71

Avec :

ω𝑖 : est la vitesse angulaire de l'hélice,

ui : la tension d'alimentation du moteur,

Γ𝑖 : le couple moteur,

Rm : la résistance interne,

Lm : l'inductance

Km : la constante de couple

Jr et b sont des constantes caractérisant la dynamique de l'hélice

On étudie les mouvements autour de la position vol stationnaire. On pose alors

u𝑖 = 𝑖 + u𝑖 où u𝑖 est la variation de la tension du moteur autour de 𝑖, tension du moteur

nécessaire pour assurer le vol stationnaire.

Tous les moteurs identiques, on pose 𝑖 = De la même manière on note

𝜔𝑖 = + 𝑖 et Γ𝑖 = Γ𝑖 + Γ𝑖 .

En régime stationnaire, on a donc les relations :

𝐾𝑚 = 𝑅𝑚 Γ𝑖 + 𝐾𝑚²

Γ𝑖 = 𝑏²

On en déduit : =𝑅𝑚𝑏

𝐾𝑚 ² + 𝐾𝑚

Linéarisation autour du point stationnaire de l’Eq 3.40:

𝑖 =𝑅𝑚

𝐾𝑚 Γ𝑖 +

𝐿𝑚

𝐾𝑚 Γ𝑖 + 𝐾𝑚 𝑖

𝐽𝑟𝑖 = Γ𝑖 − 2𝑏𝑖

On a : 𝜏𝑒𝑙 =𝐿𝑚

𝑅𝑚 : constante de temps électrique et 𝜏𝑚 =

𝐽𝑟

2𝑏 : constante de temps

mécanique constante de temps électrique négligeable devant la constante de temps mécanique,

on peut donc négliger le temps d’établissement du courant dans le circuit électrique. On a alors :

𝑖 =𝑅𝑚

𝐾𝑚 Γ𝑖 + 𝐾𝑚 𝑖

(3.41)

(3.42)

(3.43)

72

En injectant cette relation dans l’équation mécanique (Eq 3.42), on a :

𝐽𝑟𝑖 = (𝑖 − 𝐾𝑚 𝑖)𝐾𝑚

𝑅𝑚− 2𝑏𝑖

3.3.3 Présentation de la fonction de transfert du quadrirotor sous-système vertical

Le sous-système vertical est donné par l’Eq 3.39. Compte tenu de l’ Eq 3.44, on obtient :

𝐽𝑟 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

=𝐾𝑚

𝑅𝑚∑(𝑖 − 𝐾𝑚 𝑖)

𝑖=4

𝑖=1

− 2𝑏 ∑ 𝑖

𝑖=4

𝑖=1

En posant 𝜔𝑧 = ∑ 𝑖𝑖=4𝑖=1 , l’Eq 3.39 devient :

= 2𝑎

𝑀𝜔𝑧

𝐽𝑟𝑧 =𝐾𝑚

𝑅𝑚(𝑢𝑧 − 𝐾𝑚 𝜔𝑧) − 2𝑏𝜔𝑧

Par la transformée de Laplace on obtient :

s2Z = 2𝑎

𝑀Ω𝑧

(𝐽𝑟𝑠 + (2𝑏 +𝐾𝑚²

𝑅𝑚 ))Ω𝑧 =

𝐾𝑚

𝑅𝑚𝑈𝑧

Ainsi :

𝑍

𝑈𝑧= 2

𝑎𝐾𝑚 𝐽𝑟𝑀𝑅𝑚

𝑠²(𝑠+2𝑏+

𝐾𝑚²𝑅𝑚

𝐽𝑟)

Après calcul, on a donc la fonction de transfert suivante :

𝑉𝑧(𝑝) =𝑍(𝑝)

𝑈𝑧(𝑝)=

8.04

𝑝²(𝑝 + 196.84)

3.4 Principe d’asservissement d’altitude

On admet comme principe général de l’asservissement d’altitude les étapes suivantes :

- Présentation du schéma bloc (Fig. 3.2)

(3.45)

(3.44)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

73

- Vérification de l’instabilité du système non corrigé (sans correcteur)

- Insertion du correcteur et vérification de la stabilité du système corrigé

- Synthèse du correcteur pour respecter le cahier des charges

3.5 Application de ce principe pour notre système quadrirotor

On s’est imposé le cahier des charges suivant selon les normes d’un asservissement :

- Erreur statique nulle

- Dépassement < 10%

- Temps de réponse < 1s

3.5.1 Schéma bloc sous Simulink

La figure 3.3 représente le schéma bloc du système étudié sous Simulink.

3.5.2 Vérification de l’instabilité du système non corrigé

a) Vérification de l’instabilité sous Simulink

Après avoir fait la simulation sous Simulink du système étudié, on a le résultat sur la

Fig. 3.4.

74

On remarque tout de suite que le système est instable car il (trait rouge) ne suit pas la

valeur du consigne (trait bleu). Vérifions cela sur Matlab.

b) Vérification de l’instabilité sous Matlab

On trouve sur la Fig. 3.5 le diagramme de bode du système.

Interprétation du résultat : La phase à 0 dB est inférieure à -180° (marge de phase

négative Δϕ = −0.05°) donc le système est instable.

75

3.5.3 Vérification de la stabilité du système corrigé avec un PID

On propose de choisir le correcteur PID car c’est le plus utilisé dans ce genre de

problème. Le schéma sous Simulink du système utilisant le correcteur PID ayant une structure

parallèle est donné par la figure ci-dessous. On va trouver les valeurs du correcteur qui

peuvent stabiliser le système et de satisfaire le cahier des charges. La figure 3.6 représente le

schéma bloc du système avec un correcteur PID toujours sous Simulink.

Après avoir fait plusieurs tests, on obtient les valeurs suivant comme paramètres du

correcteur : Kp=9609 ; Ki=8409 et Kd=2745. On trouve le résultat sur la Fig. 3.7 :

76

Le système respecte le cahier de charge imposé avec un erreur statique nulle, un

dépassement de 9.58% qui est inférieur à 10% et un temps de réponse de 0.184 s < 1s.

On trouve le même résultat sur Simulink (Fig. 3.8) :

Ce dernier chapitre est consacré à l’étude du maintien d’altitude d’un quadrirotor. On a

présenté les outils de simulation et calculé les paramètres du quadrirotor. Le principe

d’asservissement d’altitude a été ensuite élaboré puis appliqué sur le quadrirotor modélisé en

sous-système vertical. On a ensuite effectué la simulation du système : montrer son instabilité

et le corriger à l’aide d’un correcteur PID afin d’assurer le maintien d’altitude.

77

CONCLUSION GENERALE

A l’origine, les drones ont été élaborés pour un usage purement militaire. En effet, avec

leur petite caméra, ils pouvaient surveiller certains sites. A l’heure actuelle, les drones tiennent

une place importante dans différents domaines. La plupart des photographes et des vidéastes

les utilisent pour plus d’originalité.

Le but de ce mémoire étant d’alléger le travail de ces usagers professionnels par le

maintien de l’altitude du drone, ce travail est divisé en trois chapitres. Dans le premier chapitre,

l’introduction à l’automatique a été présenté. On a vu quelques notions sur le système, plus

précisément le système linéaire asservi. On a aussi parlé de sa stabilité, de sa précision et des

différents correcteurs utilisés pour ce système. Cela nous aura permis de faire l’étude complet

d’un asservissement.

Le second chapitre s’est orienté sur les drones : sa forme, ses différentes catégories et

ses diverses applications. Le quadrirotor s’est démarqué des drones car il est bénéfique pour

plusieurs dans divers secteurs, on s’est donc concentré sur ce dernier et ses différents

mouvements qu’il peut faire. On a terminé le chapitre par la mise en place du modèle dynamique

du quadrirotor.

Dans le dernier chapitre est faite l’étude du maintien d’altitude d’un quadrirotor. Pour

cela, on a présenté les outils de simulation et calculé les paramètres du quadrirotor. Le principe

d’asservissement d’altitude a été ensuite élaboré puis appliqué sur le quadrirotor modélisé en

sous-système vertical. On a ensuite effectué la simulation du système : montrer son instabilité

et le corriger à l’aide d’un correcteur PID afin d’assurer le maintien d’altitude.

Pour améliorer le travail, on peut envisager d’intégrer un algorithme de guidage à l’aide

du GPS et des différents capteurs (ultrasons, baromètre, etc.). Couplée aux données capteurs,

l’implémentation de traitement d’images embarquées offrirait toute un panel d’activités que

l’on pourrait imaginer (ex : suivi de terrain évitement d’obstacles, tracking d’objets, etc.). Enfin,

l’intégration d’un algorithme décisionnel lié à de l’intelligence artificielle le rendrait

complètement autonome pour des missions plus pointues.

78

ANNEXES : TABLE DES TRANSFORMEES DE

LAPLACE

Transformées de Laplace :

Pour un signal à temps continu x(t), on définit sa transformée de Laplace par le signal

X(p) où p est appelée variable de Laplace, avec :

X(p) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡∞

0

A partir de X(p), on revient au signal de départ par une transformée de Laplace inverse :

x(t) =1

2𝑗𝜋∫ 𝑋(𝑝)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑝

j∞

−𝑗∞

En considérant que s = jω où ω est la pulsation, on peut considérer que la transformée

de Laplace est une généralisation de la transformée de Fourier. Il s’agit en tous cas d’une

transformée temps/fréquence qui à un signal temporel fait correspondre une représentation

fréquentielle.

On peut facilement trouver des abaques des transformées de Laplace usuelles comme le

Tableau A1. Contentons-nous pour l’instant de mentionner l’échelon unitaire u(t) qui a comme

transformée 1/𝑝 et le Dirac δ(t) qui a comme transformée 1.

79

Tableau A1 : Table des transformées de Laplace

Fonctions temporelles Transformées de Laplace

𝑢(𝑡) = 1 𝑈(𝑝) =

1

𝑝

𝑣(𝑡) = 𝑘𝑡 𝑉(𝑝) =

𝑘

𝑝2

𝑠(𝑡) = 𝑡𝑛 𝑆(𝑝) =

𝑛!

𝑝𝑛+1

𝑠(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡 𝑆(𝑝) =

1

𝑝 + 𝑎

𝑠(𝑡) = 𝑡𝑒−𝑎𝑡 𝑆(𝑝) =

1

(𝑝 + 𝑎)2

𝑠(𝑡) = 1 − 𝑒−𝑎𝑡 𝑆(𝑝) =𝑎

𝑝(𝑝 + 𝑎)

𝑠(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡 − 𝑒−𝑏𝑡 𝑆(𝑝) =

𝑏 − 𝑎

(𝑝 + 𝑎)(𝑝 + 𝑏)

𝑠(𝑡) = 𝑡 −1

𝑎+

𝑒−𝑎𝑡

𝑎 𝑆(𝑝) =

1

𝑝2(𝑝 + 𝑎)

𝑠(𝑡) = 1 +𝑏

𝑎 − 𝑏 𝑒−𝑎𝑡 −

𝑎

𝑎 − 𝑏 𝑒−𝑏𝑡 𝑆(𝑝) =

𝑎𝑏

𝑝(𝑝 + 𝑎)(𝑝 + 𝑏)

𝑠(𝑡) = 1 − 𝑒−𝑎𝑡 − 𝑎𝑡𝑒−𝑎𝑡 𝑆(𝑝) =

𝑎²

𝑝(𝑝 + 𝑎)2

𝑠(𝑡) = sin 𝜔𝑡 𝑆(𝑝) =𝜔

𝑝² + 𝜔²

𝑠(𝑡) = cos 𝜔𝑡 𝑆(𝑝) =𝑝

𝑝² + 𝜔²

𝑠(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡sin 𝜔𝑡 𝑆(𝑝) =𝜔

(𝑝 + 𝑎)² + 𝜔²

𝑠(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡cos 𝜔𝑡 𝑆(𝑝) =

𝑝 + 𝑎

(𝑝 + 𝑎)² + 𝜔²

80

REFERENCES

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l’informatique Industrielle ; 1992

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[4] : E432SDT ; signaux déterministes ; cours 2ème année ; Mention Electronique ; ESPA ;

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[5] : E711SAC ; systèmes asservis linéaires continus ; cours 4ème année ; Mention

Electronique ; ESPA ;2016-2017

[6] : J. Baillou, J.P. Chemla, B. Gasnier, M. Lethiecq ; Cours de Systèmes Asservis ;

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2005-2006

Titre : MAINTIEN D’ALTITUDE D’UN QUADRIROTOR

Auteur : RAMILIARIMANANA Karl Brandt

Nombre de pages : 81

Nombre de figures : 54

Nombre de tableaux : 7

RESUME

Dans ce travail de mémoire, des méthodes pour mener à bien l’étude d’un

asservissement ont été présentées. On a parlé ensuite de quelques généralités sur les drones et

on s’est focalisé sur le quadrirotor. Divers calculs ont été effectué pour la modélisation

dynamique du quadrirotor et pour obtenir sa fonction de transfert en sous-système vertical. Le

quadrirotor étant instable, on a utilisé un correcteur PID pour y remédier. Des simulations sous

Matlab/SIMULINK ont ensuite été faites pour vérifier l’efficacité du correcteur PID pour le

maintien d’altitude.

Mots clés : asservissement, quadrirotor, correcteurs, maintien d’altitude

Directeur de mémoire : Monsieur RATSIMBA Mamy Nirina

Contacts : [email protected] 0325085375

mailto:[email protected]

MAINTIEN D’ALTITUDE D’UN

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