Magistère de mathématiques (l'ENS de Lyon), …panchish/Mag2015.pdf · Programme : certi cat...
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Magistre de mathmatiques (l'ENS de Lyon), 2006/2007
2e semestre "Algbre 2" Mardi de 10h15 12h15,
partir du 23 janvier 2007
A. A. Pantchichkine
Institut Fourier, B.P.74, 38402 St.Martin d'Hres, FRANCEe-mail : [email protected], FAX : 33 (0) 4 76 51 44 78
Rsum
Le prsent cours est centr sur les notions de l'algbre tensorielle, polynmeset fractions rationnelles, exemples et constructions de corps, exemples de groupes,groupes classiques, gomtrie projective. Ce sont les outils algbriques pour la go-mtrie (en particulier la gomtrie direntielle et la gomtrie algbrique), pourl'arithmtique (equations diophantiennes, reprsentations galoisiennes), pour l'ana-lyse (fonctions spciales de variables matricielles, quations direntielles et groupesde monodromie), pour la physique mathmatique (en particulier, la mcanique quan-tique), ainsi que pour beaucoup d'applications (codes gomtriques etc.)
Les corps nis donnent des exemples importants d'extensions de corps, et ontudie en dtail les polynmes irrductibles sur les corps nis.
Le cours est considr comme la suite du cours "Algbre 1", et on utilise commeprrequis les notions de thorie des ensembles, groupes, anneaux et corps, les notionsd'algbre linaire, y compris les formes quadratiques, gomtrie ane (euclidienne).
panchishText Box
Alexei PANTCHICHKINE (Institut Fourier)
PROGRAMME BREF 1. Algbre tensorielle. 2. Exemples et constructions de corps. Extensions algbriques, degr, polynme minimal, caractristique. Corps de rupture d'un polynme. 3. Corps finis. Applications aux codes correcteurs. 4. Exemples de groupes, groupes classiques. 5. Applications physiques*: Espace-temps de Minkowski. Groupe de Lorentz. 6. Gomtrie projective. Coniques, quadriques. 7. Varits affines (exemples). Courbes planes, points singuliers ---------------------*Si le temps le permet
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The 4th largest tree in the Mathematical Genealogy Project. Total 2130 mathematicians. Arrows point from a mathematician to his/her supervisor. Top 100 mathematicians with the most "off-springs" are circled. Data aquired in March 2008. Produced by Yifan Hu, AT&T Shannon Laboratory.
Markov
Somov
Seif
Burns
Krol
Friedel
Rearick
Sklar
Lu
Skarda
Gordon
Rumsey
Imamoglu
Goetze
Allen
Haverl
Selvavel
Cheng
Guerzhoy
McMIllanBasavaraj
McGlinn
Shoaff
Sarker
EubanksPark
Li
Edie
Helfman
LamDaVault
Tzanetopoulos
Jaroma
Kuruklis
Farrell Schultz
Qian
Rodrigues
Vlahos
Partheniadis
Sidani
Sedgewick
Jonah
Lehmer
Krall
Morsund
Smith
VehseGurney
Randels
Sedgewick
Rosskopf
Astrachan
Comfort
Dunford
Kales
Quade
Bernstein
O
Torrance
Royall
Forsythe
McFadden
Hedge
Eberhart
Tolsted
LiemanGupta
She
Ladas
Tamarkin
PesekHorowitz
Loan
Frazier
Leeman
Strube
Kammler
Cline
Crawford
Schryer
Groening
McLaughlin
Caughran
Sussmann
Tang
DarkenFerreyra Lafferriere
Schttler
Graham
Hurlbert
Liu
Tang Yang
Chitour
Rohatgi
Tsao
Unal
Ortland
Horstmann
Overholt
Keum
Andreev
Kim
Stanoyevitch
Cunningham
Kim
Goh
Elnitsky
Vukotic
Headley
IIIBrown
Leung
Borisov
Ciucu
Greiner
Huggins
Dolgachev
Duren
Rota
Moler
Sagan
Gurevich
Stembridge
Apostol
Fullerton
Braunschweiger
Neubauer
Race
Sutherland
Gragg
Hipp
YoonDillon
Becker
Jurotich
Kottmeyer
Sengupta
Kim
Smith
Friedberg
Franklin
Kung
Osher
White
Donovan
Nielsen
Yood
Luchins
Zur
Bailey
Silverman
McCoy
Leinbach
Johnsonbaugh
Pfaffenberger
Kervin
Putter
Littrow
Brashman
Chebyshev
Markov
Voronoy
Hoffstein
Strauss
Ling
Penner
Brace
Nielsen
CrapoStarr
SchwartzMcDonald
Causey
Castillo
Skubenko
Fomenko
Rannen
Stepanov
Miller
Belcastro
Schuster
Waugh
Bailey
Gumustop
Oliveira
Dongarra
Chattopadhyay
Shubov
Kapranov
Rukhin
Zlot
Clark
Dempsey
Readdy
Giraldo
Zhang
Pascal
Luttamaguzi
Nazareth
Nevzorov
Taylor
Hu
Xiang
Sun
Iyengar
Holder
Boyer
Lamoree
Vostokov
Gewirtz
Puydt
Dabrowski
Cecil
Davey
Kao
Kharlamov
Moulton
Foreman
Doedel
Varah
Billik
FeinbergGrossberg
O
Moroney
Freeman
Metas
Helgason
Lange
Whiteley
Doohovskoy
Braganca
Tanny
Doubilet
Holladay
Nguyen
Haiman
Zambrano
Schmitt
Loeb
Huang
Yang
Chen
ZhuangOliviera
EhrenborgKlainHawrylycz
ChanLosonczy
Taylor
Yan
Mainetti
Mowatt
Cheung
Tiong
Klimann
Gessel
Stanley
Fisk
Stein
Gansner
Edelman
Proctor
Walker
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Wagner
Reiner
Purtill
West
DuvalYang
V
Steingrmsson
Chan
Hetyei
Lam
Chow
Grabiner
Tesler
Okazaki
Athanasiadis
Bna
Postnikov
III
Magid
Park
Ree
Gasharov
Parker
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Dworkin
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Walker
Gillis
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Gohberg Griffiths
Rodriguez
Ophir
Sidilkover
Yavneh
Bai
Dinar
Ben
Greenwald
Dym
Ron
Ta
Mikulinsky
Intrator
Liron
Shimshoni
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Koltracht
LevinCohen
Sylman
Costiner
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Arian
McDonald
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Xin
Cheng
McLoughlin
Stolin
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Quang
Doubovitskaya
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Vazzana
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Brillhart
Friedman
Herreschoff
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Venit
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Johnson
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PooleChen
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Simon
Taylor
Ng
Le
Li
Feng
Liu
Lu
Day
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Reshetikhin
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Leyenson
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KuppermanAnastasio
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Coogan
Stopple
Yeung
Schwartz
Gove
Wang
TangedalWamelen
Miller
Carlson
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Skogman
Bihari
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Fedkiw
Jiang
Kang
Miller
Sussman
Hersh
Peterson
Sderbacka
Pliss
Kruse
Tsygan
Tamarkin
Kalikow
Rodnianski
Ryu
Peng
Noble
Abe
Ambro
Hu
Rojas
Ramero
Kambulov
Ray
Xiao
Xia
Moran
Abdel
Lehoucq
Zuo
Yang
Tzavelas
FierroLeborne
Montgomery
Saidi
Mcintosh
Robins
ChaderjianDarwin
Bowman
Ono
Brockman
Chang
Yang
Fatemi
Lafon
Donat
Bence
Liu
Okasha
Liang
Cantor
Shu
Krupnik
Lin
Foguel
Markus
Trajstman
Hajir
Zadeck
Marks
Shields
Farrow
Ramanathan
Warren
Cooper
Allen
KennedyRichter
Davids
Boldt
Krause
Ittrich
Kagan
Kapitanskii
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Byers
Linnik
Moore
Ortega
Stone
Beck
Chowdhury
Mata
Sze
BallotBlecksmith
RenkaMorgan
Lovejoy
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Kishore
Kubilius
Shim
Cheng
Fomin
Gonzales
Carter
Kirillov
Faddeev
Scorichenko
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Rosas
Cheltsov
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Fong
Skandera
Bytsko ClearyLangefeld
Stringham
Karnik
Hunter
Boehnke
Ozcan
Malisoff
Chough
WeeksDavis
Lepsky
Fan
Duzhin
Vinogradov
Fagarasan
Galyean
Gartenberg
Haralambis
Morrison
Noorvash III
Al
BrennerClayton
Cooke
Eggan
Friedlander
Gurak
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Hughes
Joseph
Kendig
Miller Miller
Mohanty
Rudman
Wayman
Dutt
Mostrel Sanders
SolomonTowers
Kaishev
Boneh
Butler
Haynatzki
Minicuci
Teixeira
Baron
Peszek
Shi
Mikosch
Hannan
Sobel
Sherman
Adams
Maschhoff
Yang
Strygin
Hockney
Richman
George
Stoutemyer
Malcolm
Elkin
Caspar
Stepleman
Voigt
Mor
Lambiotte
Romine
Poole
Falgout
Nayar
Freitag
Curfman
Stotland
Shoosmith
Thomas
Nour
Talbot Wittie
Athavale
Lee
Jones
Leclerc
Ely
Kaufman
BurrisSanderson Starner
Davis Jones
Dubrulle
Madrid
Brownigg
Benson
Cavers
Gonnet
McIntyre
Ng
Rashwan
Cheriton
Piquer
Finlayson
Goosen
Kanakia
Williamson
Deering
Kutter
Harty
Singhal
Greenwald
Zwaenepoel
GornLifshits
DavydovIbragimov
Plotkin
Nikitin
Orevkova
Lifshits
Siraya
Tikhomirov
Borodin
ErmakovBakirov
Zaitsev
Ginovyan
Radavicius
Panina
Petrova
Martynova
Shakh Gorodetskii
Gordin
Solev
Arak
Lyashenko
Pesochinskii
Yamrom
Vallander
Tsirelson
Gusev
Linnik
Eliseenko
Abbakumov
Barry
Leontiev
Pankrashova
Simonian
Kuo
Baushev
Rusakov
Zhukova
Podkorytova
PonikarovStepanova
Beghin
Nikuline
Nowak
Karoblis
Smorodina
Thilly
Terdik
Noquet
Papp
Jiang
Quillen
Wong
Christofi
Gottlieb
Shi
Franecki
Elkham
Bauer
Ekisheva
Babayan
Lagunova
II
Bernardin
RothStege Storjohann
Ladyzhenskaya
Solonnikov
Uraltseva Oskolkov
Sobolev
Arkhipova
Nazarov
Apushkinskaya
Rozhkovskaya
Ivochkina
Denisova Pileckas
ErunovaFrolova
Mogilevskii
Karazeeva
Bizhanova
Smirnov
Wolf
Weck
Bikelis
Treskunov
Sahaev
Andreev
Buslaev
Takhtajan
Kalantarov
Lin
Gunter
Korkin
Korepin
Badalov
Budylin
Goganov
Gulec
Gumbatov
Houshiyari
Isaeva
Iskenderov
Ivanov
Steklov
Tarasov
Ugurly
Atta
Breton
Courtieu
Jory
Nguyen
Potemine
Ivrii
Eisenstein
Boylan
Bobenko Bordag
Babich
Kitaev
Matveev
Perel
Its
Mulbregt
Kulish
Kavalieris
Surma
Quinn
Tanaka
Anderson
Cameron
Solo
Saunders
Pickard
Maller
Henstridge
Dunsmuir
Pollard
Chant
Wilson
Thomson
Robinson
Nicholls
Heyde
Zarhin
Chipchakov
Sunik
Heinig
Rowan
Jungnickel
Jankowski
Maslennikova
Adhikary
Rhodes
Moran
Steiger
Langerman
Barth
Dhillon
Harkin
Hazlewood
Tysdal
Prokup
Petitet
Casanova
LiebrockKimBarquero
Merkurjev
Nguyen
Harrington
Yakimov
Weir
Warren
Choi
Wu
Pushin
Dong
Drozd
Bekkert
Tolstykh
Zhu
Reading
Enright
Voronov
Cojocaru
McKeeman
Pilyugin
Fel
Yurchenko
Murray
Quine
ElliasLevine
Chmakova
Belskii
Berkovich
Danilov
Demidov
Frumkin
Geronimus
Hushi
Iskovskih
Kanevskii
Kaufmann
Kii
Kolmykov Kurchanov
Lebedev
Levin
Martynov
Minh
MustafinPanchishkin PenkovRoitman
Shabat
Shermenev
Skorobogatov
Tschinkel
Tsfasman
Vainberg
Verevkin
Vldu
Saidak
Camouzis
Kleiner
Tyler
Martikainen
Ribando
Johnson
Kitaev
Hayen
SenetaWarren
Ku
Chen
Kang
O
Amosova
Sega
Martin
Pappacena
Panin
Zainoulline
Sobolev
Bekmetjev
Leung
Guendelman
Sheboul
Ritzner
Khatzkevitch
Collette
Venkov
Thatcher
Jiang
Park Tupan
Delgado
Joseph
Monagan
Baeza
Ziviani
Chu
Liu
Neufeld
Vasudevan
Gill
Izhboldin
Barta
Harper
Gueron
Wang
Yuan
Wright
Florentino
Paerna
Liu
Clouse
Tsai
Mortenson
Alkan
Cardetti
Jayawant
Xu
Zhou
Chow
Hecker
Arinkin
Roiter
Yeo
Pearce
Watterson
McNeil
Ewens
Smith
Nadel
Salowe
Lo
Streinu
Dumitrescu
KingBridson
Ryan
Braman
Pozzo
Holbrook
Laughlin
Stone
Duda
Li
Ardila
Zhang
Makaroff
CoattaActonUmarov
Yong
McNamara
Schechtman
Grave
Florence
Dey
Sebbar
Krein
Chebotarev
Bahtin
Burd
Chechik
Kolesov
Levin
Perov
Pokorny
Pugachev
Rutitskii
Sabirov
SobolevskiiZabreiko
Sadovskii
Iohvidov
Krasnoselskii
Rutman
Uhalov
Pustylnik
Ladyzhenskii
Povolotskii
Naimark
Yaglom
Delone
Bobylev
Klimov
Dashnits
Glazman
Finkelshtein
Zhou
Melamed
Yartsev
Bezsmertnyh
Roublev
Muhamadiev
Potapov
Kats
Livshits
Lifshits
Sobolev
Povzner
Esayan
Kibenko
Nurekenov
Guseinov
Zadorozhnii
Katsaran
Berkolaiko
Blair
Schmegner
Meiman
Birkgan
Chaplygin
Kozyakin
Semenov
Evhuta
Barkova
Abdulazizov
Kovalenok
Diallo
Kats
Isakov
Berezhnoi
Kruglyak
Makarevich
Moroz
Nguen
Tretiakova
Mazel
Shirokanova
Nguen
Lysenko
Strygina
Smirnov
Zafievskii
Maiorov
Kaschenko
Shebarshina
Alexeev
McIntyre
Teo
Vologodsky
Calderhead
Baskakov
Zinchenko
Borzdyko
Azizov
Stetsenko
Kaschenko
Kubyshkin
Shmulian
Milman
Uskova
AdoTsapyrin
Dorodnov
Morozov
Glyzin
Shtraus
Lyubarskii
Gantmacher
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Pokrovskii
Klivans
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Shmidt
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Fomenko
Izmailov
Semenov
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Raupov
Hidirov
Pendyur
Nevsky
Timofeev
McLaughlin
Kopylov
Faddeev
Emelin
Kamenskii
Grantcharov
Velmin
Savytska
Che
Nazarova
Li
Yu
Epstein
Douglas
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Fingerlin
Schadt
Sobel
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Nur
Perfilev
Novikov
Kurbatov
Smagin
Brubaker
Predescu
Berrier
Kakosyan
Rodkina
Kusakin
Dyadchenko
Zalgaller
Adamyan
Bakelman
Trubnikov
Kulikov
SemkoPeretruhin
Egorov
Erugin
Gray
Pepe
Frolov
Yanovsky
Korolev
Briden
Valicenti
Feuer
Lange
McCreight
Hjouj
Sakhnovich
Rekhtman
Shvartsman
Sominskii
Billevich
Sobolevskaya
Brodskii
Svirskii
Borisov
Schork
Reshetnyak
Garkusha
Yumagulov
DeLong
Potapov
Frolov
Generalov
Clifford
Elizalde
Rachinskii
Kucher
Buzinov
Uteshev
Zubov
Yan
Martynenko
Early
Vishik
Greif
Zakharov
Chaplygina
Kropanov
El
Tsai
Mitchell
Griffin
Fesenko
Choe
Kondratiev
Springborn Matthes
Kutoviy
Sastry
Bodik
Ammons
Molino
Jagadeeshan
Lbekkouri
Tu
Zinger
Eidlin
Tartakovski
Volkovich
PetrovSokolov
Shtaerman
Ahiezer
KravchukNikitenko
Belyaev
Meister
Khruscheva
D
Orlov
Pergel
Rozovsky
Shergin
Galstyan
Inzhevitov
Skovoroda
Ananievskii
Pozdnyakov
Melamed
Skitovich
Shalaevsky
Statulevicius
Dzhafarov
Tultebaev
Gribkova
Brown
Shmulian
Vaintrob
TopolyanskyBelonovsky
Latysheva
Olshevsky
Ovsienko
Bondarenko
Otrashevskaya
Plakhotnik
Sergeichuk
Yakovlev
Sorokin
Encheva
Gordeev
Lisitskij
Borovskii
Volkov
Pimenov
Sen
Perelman
Burago
Cohen
Shimanskii
Karaali
Kuschev
Kalitvin
Erzakova
Sobolevskii
Drobchenko
Owens
Xu
Puthenpurakal
Sezer
Doros
Kim
Radchenko
Ishwaran
Pavlyuk
TereschenkoClaesson
Dedagich
Blumenfeld
Zolotukhina
Kalinin
Kirichenko
Zavadskij
Skopin
Borevich
Venkov
Goloveshko
Ivanyuk
Tasmambetov
PetrovaSevastyanova
Shvartsman
Dolbilin
Shtogrin
Akhmerov
Helenius
Shatashvili
Bekker
Arov
Bodin
Mitrofanova
Khusu
Kuo
Kuramkote
Zhang
Andrianov
Vagurina
Akhundov
Shmileva
Chulanovsky
Mamay
RomanovskayaRichter
Gol
Makshanov
Hovanov
Rozkov
Basalikas
Steadman
Kotelyansky
Borovskikh
Fedotov
Zilberberg
Feldzamen
Kornikov
Aksjanova
Aratskaja
Dovgal
Korsakov
Saakyan
Ginzburg
Litvinova
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Li
Raskin
Kurpel
Luchka
Mukhtarov
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Brodsky
Tiunchik
Titensky
Shvartsman
Neimark
Manstavi
Guts
LaurincikasGarunkstis
Bashmakov
AbbasMuthana
Timoshin
Furchin
Numi
Hon
Lie
Iziumchenko
Khibina
Zeldich
Golovaschuk
Grigirenko
Faisov
Sakalos
Turchin
Futorny
BavulaHallouf
RoganovMazorchuk
Zacharovas
Weingartner
Kalafati
Skryabin
Paulauskas
Rackauskas
Maciulis
BelovasIgnataviciute
Kacenas
Kacinskaite
Siauciunas
Slezeviciene
Laukaitis
Lapinskas
Rowe
Okunev
Senchakova
Gaigalas
Stankus
Protasov
Lagutina Anufrienko
Sandakova
Stepanauskas
Siaulys
Palant
Misevicius
Merkuriev
Alimov
Rybakina
Sukhanov Chernenko
Kaliteevskii
Dmitrieva
Fedotov
Grinina
Pozharskii
Skriganov
Vakulenko
Incitti
Marietti
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Ananjev
Dahl
Mahmudov
Seregin
GametskiiZamorzaeva
Vladimirov
Shvartsman
Vaitkevicius
Mitalauskas
Harlamov
Rasskazov
Aleskiaviciene
Lebedev
Ramasamy
Medovikov
Neverov
Bloznelis
Pap
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Mecay
Chatterjee
Dagg
Maloletkin
Sakalauskas
Bernotas
Skucaite
Juozulynas
Jukneviciene
Bakstys
Liubinskas
Norvaisa
Steisunas
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Galun
Krasnov
Varga
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Feldman
Shi
Anagnostakis
Kovalenko
Kulakov
Chunikhin
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Kudryavtseva
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Imomnazarov
Simonov
Fomin
Nguyen
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Derguzov
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Brndn
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Martynov
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Huy
Ta
Boulet
Roitberg
Sheftel
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MarkelovRyabtseva
WittkopfRivkind
Chikin
Budyanu
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SkrabutenasKryzius
Lazakovich
Stakenas
Bareikis
Kantor
Jabrailova
Briggs
Lyapin
Shneperman
Lozinsky
Murzaev
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Litver
Sukallo
Smith
Stasinski
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Martin
Goldenshtein
Massman
Xu
Xu
Gasanov
D
Knyazev
Jung
Orlov
Argentati Jujunashvili
Skorokhodov
Goncharov
Kamyshnikov
Reshetnikov
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Egle
Nazarov
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Orlov
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Anosov
Evzerov
Semenov
Smirnitskii
Agranovich
Ashuralyev
Blatov Safonov
Yesipenko
Fridman
Fridman
Gorelova
Alibekov
Primakova
Lezhenina
Zagorodnikov
Hoang
Sviridyuk
Sukacheva
Bokareva
Efremov
Keller Dudko
Fedorov
Kuznetsov
Yakupov
Brychev
Zagrebina
Zamyshlyaeva
Provotorova
Karelina
Mustafokulov
Savinkov
Lubashevskii
Tokareva
Shtraus
Gango
Sventsitskaya
Akkalainen
Fetisov
Zilberberg
Morozova
Kozhaev
Gulevich
Redlich
Abushaev
Milovidov
Utepkaliev
Valkova
Ilolov
Muratov
Polichka
Bulatov
Cioaba
Mocanasu
Krasnosel
Yanin
Kotenko
Bogatyrev
Sirunyan
Karpenko
Feldmann
Riauba
Korpaev
Goudy
Semenov
Evdokimov
Gritsenko
ZharkovskayaKalininStrelkov
Jenkins
Butler
Schepakina
Abramochkin
Zharikova
Ozersky
Sirochenko
Kurganov
Kitaeva
Gorelov
Pendyukhova
SchetininaAndreev
Pogrebyssky
Panda
Abramovich
Zhilinsky
Har
Bentkus
Rudzkis
Saulis
Griniuviene
Kaminskiene
Kryziene
Naudziuniene
Svetuleviciene
Kazbaras
Maliukevicius
Statulevicius
Susinskas
GarbaliauskieneGenys
KalinauskasKrikstolaitis
Avdejenkova
Deltuviene
Aksomaitis
Aleskevicius
Antoszewski
Banys
Gudynas
Gylys
Jakimavicius
Jokimaitis
Kalinauskaite Katkauskait
Liutikas
Padvelskis
Pipiras
Plikusas
Raudeliunas
Seputis
Sunklodas
Survila
Vilkauskas
Zalys
Kolosov
Rabotnikov
Naumov
Woo
Tchirina
Lindstrom
Paraska
Kano
Delgado
Pinkse
Lobato
Iacone
Markstein
Liu
Gil
Hualde
Arteche
Busarkin
Busarkina
Leonov
Burkin
Likhtarnikov
Lee
Hellinger
Hidalgo
Xu
Zaffaroni
Tzanaki
Rudolph
Velasco
Risch
Zhukov
Semenova
Gagrande
Marcus
Nesterov
Skachek
Allen
Starostin
Ghebremeskel
Plotkin
Movshits
Ditsman
Prasolov
Pai
Whistler
Nishiyama
Silveira
Shah
Gawron
Drozd
Feitelson
Gibou
Cheng
Chou
Qiu
Yuan
Marksaitis
TurkinKolyankovskii
Prokofiev
Petropavlovskaya
Fuks Grushko
Papkov
Samko
Assaf
Mochulskii
Melik
Kaschenko
Kaim
Lazarova
Frisk
Getz
Ahiezer
Garthwaite
Martin
Kal
Kostenko
Obraztsov
Buslaev
Pozin
Harrelson
Pelley
Quinn
Stipins
Tarasenko
Rozado
Chen
Korovkin
Rouse
Winkler
Sifakis
Dezin
Irving
Kondrashov
Petterson
Aleksandryan
Weinstein
Krause
Roberts
Bucur
Kazanci
Speight
Webster
Martin
Kadioglu
Click
Grosul
Wienskoski
Lu
Schielke
Simpson
He
Cai
Bebu
Lichtenstein
Myers
Fodden
Chavez
Castillo
Navarro
Cane
Myers
Fomin
Petrov
Xiang
Dasgupta
Waterman
Xu
Zuniga Wildstrom
Christian
Park
Averick Vaughn
McKinley
Barczy
Young
Lusnikov
Ovcharenko
Yavryan
Spitkovsky
Mkhitaryan
Orlov
Popov
Gubreev
Kostyukov Sizov
Iskenderov
Qasam
PyrkovaSkrynnikov
Eletskikh
Semiletov
Hobbs
Okamoto
Portnov
Vernik
Ibragimova
Beloglazova
Perlovskaya
Shabrov
Sergeant
Yurgelas
Li
Guy
Evchenko
Penkov
Karaman
Serbest
Pan
Lasak
Beck
Tenenbaum
Schwell
Dimitrov
Burlachko
Fedorov
Manakova
SagadaevaShafranov
Vinokur
Kazak
Shemetova
Uskova
Zagorsky
Garkavenko
Gulykina
Plyuta
Kirillova
Johnson
Filikhin
Kopytin
Roudnev
Garshin
CitronFrachtenberg
Talby
Tsafrir
Plet
Grobova
Pavlova
Kubekova
Sergeeva
Escanciano
Vincent
Kokoreva
Kostenko
Ladchenko
Pilyavskaya
Tsupiy
Kovaleva
Polyakova
Kostic
Araiza
Kim
Maxwell
Taskin
Azarnova
Shelkovoi
Ul
Oseledets
Chertkov
Vavilov
Koibaev
KrupetskiiPashchevskii
DenisovaHamdan
Holubowski
Khatib
MitrofanovNesterov
PetrovSemenovStepanov
Schmidt
Bondarenko
Dybkova
Kolotilina
Mysovskikh
Panin
Plotkin
Roloff
Rosenbaum
Vostokov
Kopeiko
Tulenbaev
Stakhov
Yablonski
Kovalchuk
Kashnikova
LepeyevNavakhrost
Rozin
StashulionakKarimova
Zvereva
Grischeko
Sirota
Glotov
Khyong
DaiRay
Karlovich
Azhorkin
Chernykh
Gusev
Karpov
Valikova
Volotov
Zobov
Pokornaya
Zui
Gudovich
Souza
Piontkovski
Livne
Dyk
Tkhan
Amburg
Andrianov
Suvorov
Besedina
Vidilina
Walthoe
Cozzi
Vizitei
Chebotaru
Hambartsumyan Leiterer
Brodskii
Eni
Frolov
Zolotarevskii
Lerer
Soltan
Prigorskii
Barkari
Sigal
Shpigel
Levchenko
Sementsul
Zambitskii
Benartzi
Rodman
Shalomi
Perelson
Rubinshtein
Zuker
Wicks
Williams
Mao
Tovbin
Chong
Prabhu
Wilson
Lashuk
Chen
Shakin
Liskevich
Berger
Clare
Borisov
Fields
Gani
Bauman
Dorn
Makarenkov
Pop
Lezama
Tzafriri
Shlapak
Kaur
Norkuniene
Beecher
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ProfesseurInstitut Fourier, UMR 5582 du CNRS
Universit de Grenoble IBP 74, 38402 Saint-Martin d'Hres, France
Bureau 33 CTl. : 04 76 51 43 16Fax : 04 76 51 44 78
E-mail : [email protected]
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Domaine de recherches : thorie des nombres, algbre
Janvier 2008 : Expos au Sminaire de thorie des nombres de Jrusalem"L-Functions of Modular Forms, Their Families and Holomorphic Lifting Conjectures"Octobre 2007 : Expos au Colloque International de Oberwolfach"L-Functions of Siegel Modular Forms, Their Families and Lifting ConjecturesJanvier 2007 : Expos l' Institut Weizmann (Rehovot, Isral)On p-adic families of L-functionsFvrier 2007 : Expos en assemble plnire au Colloque International "Diophantine and AnalyticalProblems in Number Theory" Moscou l'occasion du centenaire de A.O. GelfondZeta Functions of Siegel Modular forms and Rankin's Lemma of Higher Genus(a joint work with Kirill Vankov).Novembre 2006 Expos pour le Sminaire de thorie des nombres de ChevaleretLemme de Rankin de genre suprieur et le calcul symbolique dans les algbres de Hecke locales (un travail avec Kirill Vankov);Septembre 2006 : Confrence au Colloque International Zeta functions en septembre 2006, l'Universit Indpendente de Moscou.Janvier 2006 Prsentation du groupe de travailCarrs symtriques, formes modulaires arithmtiques et fonctions L p-adiques{Bertrand GORSSE, Fabienne JORY-HUGUE, Alexei PANTCHICHKINE, Julien PUYDT,Gilles ROBERT)Novembre 2005"Produits triples de familles de Coleman"(en russe)Confrence en assemble plnire du Colloque international Moscou``International Workshop on Computer Algebra and Informatics'' (November 9-11, 2005)Septembre 2005``Produits triples de familles de Coleman" Expos auColloque Intrnational Hakuba, Japon (``Periods and related topics from automorphic forms'')Septembre 2005 Expos au Colloque Intrnational Kyoto, Japon
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``Problme de Coleman-Mazur''Problem of Coleman-Mazur on p-adic families of L-functionsDecember 2004 Colloque Intrnational Soul, Core du Sud``KIAS-POSTECH-SNU International Number Theory Workshop(Modular forms and related topics)'',
On the numerator of the symplectic Hecke series of degree three avec Kirill Vankov (math.NT/0604602) p-adic Banach modules of arithmetical modular forms and triple products of Coleman's families,math.NT/0607204 [pdf] :Triple products of Coleman's families(en russe, To dear Kostya BEIDAR in memoriam), math.NT/0607161 [pdf]On Zeta Functions and Families of Siegel Modular FormsarXiv:0709.1645 [pdf]Modular forms and $p$-adic numbers (in Russian)arXiv:0709.1611 [pdf]Local and global methods in arithmetic (in Russian)arXiv:0709.1606 [pdf]
2007/20081e semestreTD de Cours MAT 237, Licence de lUJF, 2007/2008)Cours Mathmatiques des codes correcteurs d'erreurs(Master-2 de mathmatiques, "Cryptologie, Scurit et Codage d'Information", 2007/2008)2e semestreMaster 2 Professionnalisant International"Security and Cryptology of Information Systems"("Securit et Cryptologie de Systmes d'Information").
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"Courbes algbriques et cryptologie avance""Mathmatiques des codes correcteurs d'erreurs".
Cours Introduction aux systmes dynamiques et la modlisation(MAT 127, Mathmatiques pour les biologistes, Licence de lUJF, 2007/2008)
Annes prcdentesMathmatiques des codes correcteurs d'erreurs(Master-2 de mathmatiques (M2P, 506a), "Cryptologie, Scurit et Codage d'Information", 2005/2006)Cours Malg1(MASTER-1,MAT 401i) (lInstitut Fouruer, 2004/2005)Modules de Drinfeld et Cryptologie lENS Lyon, 2003/2004Codes gomtriques (lInstitut Fouruer, 2004/2005)Familles de formes modulaires et thorme de Fermat (cours de DEA l'IF , 2001-2002)Familles de formes modulaires et thorme de Fermat (programme du cours de DEA l'ENS de Lyon, 2000-2001) Formes modulaires et courbes elliptiques (cours de DEA l'Institut Fourier 1993/94)Thorie gomtrique des formes modulaires (cours de Magistre l'ENS (rue d'Ulm) 1994/95)
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panchishText Box De quoi s'agit-il? Les plus connus groupes classiques (sur les complexes) sont GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(2n).De point de vue de la gomtrie, ce sont certaines groupes de transformations du C-espace vectoriel V=C^n ( savoir, soit les transformations linares inversibles, soit les transformations linaires spciales, orthogonales, ainsi que les transformations unitaires ou symplectiques), donnes par X->AX (A une matrice, X un vecteur colonne de V).
En gros, on dfinie ces sous-groupes de GL(n) (ou de GL(2n)) par une condition d'invariance de sorte B(AX, AY)=B(X,Y), o B soit une forme bilinaire (symtrique ou alterne), soit une forme ssquilinaire (hermitienne) connue des cours d'algbre linaire comme des transformations orthogonales, unitaires etc. B(X,Y) et X->AX sont des examples de la notion de tenseur. De plus, au lieu du corps k=C on considre un corps quelconque, y compris k=R, Q, un corps fini F_q (ou une extension de tels corps).
panchishText Box Algbre (cours de Magistre du second semestre 2014/15,bas sur mes cours Algbre-2 l'ENSL en 2007 et Groupes classiques, algbre gomtrique et applications l'Institut Fourier 2010 et 2014).
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Programme : certicat "Algbre 2"
1. Algbre tensorielle
2. Polynmes et fractions rationnelles
3. Exemples et constructions de corps
4. Exemples de groupes. Groupes classiques
5. Gomtrie projective. Coniques, quadriques
Programme bref
Algbre tensorielle. Polynmes et fractions rationnelles, Exemples et constructions decorps. Extensions algbriques, transcendance, degr, polynme minimal, caractristique.Corps de rupture d'un polynme. Corps nis. Exemples de groupes, groupes classiques.Gomtrie projective. Coniques, quadriques. Varits anes (exemples). Courbes planes,points singuliers
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panchishText Box Sommaire Cours N1. Lundi 19 janvier 2015 p.6 Cours N 2. Lundi 26 janvier 2015 p.13 Cours N 3. Lundi 2 fvrier 2015 p.19 Cours N 4. Lundi 9 fvrier 2015 p.44 Cours N 5. Lundi 23 fvrier 2015 p.51 Cours N 6. Lundi 2 mars 2015 p.58 Cours N 7. Lundi 9 mars 2015 p.70 Cours N 8 L undi 16 mars 2015 p.84 Cours N 9 Lundi 23 mars 2015 p.90 Cours N 10 Lundi 30 mars 2015 p.95 Cours N 11 Lundi 20 avril 2015 p.107 Cours N 12 Lundi 27 avril 2015 p.115 Examen 4 mai 2015 (?) Exercices p.122
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panchishInserted TextCalendrier de l'anne universitaire
Dbut du second semestre : partir du 26 janvier 2015
Interruptions pdagogiquesHiver : du samedi 14 fvrier 2015 au lundi 23 fvrier 2015 matinPrintemps : du samedi 11 avril 2015 au lundi 20 avril 2015 matint : partir du samedi 11 juillet 2015
Jours frisLundi de Pques : lundi 6 avril 2015Fte du travail : vendredi 1er mai 2015Anniversaire 1945 : vendredi 8 mai 2015Ascension : jeudi 14 mai 2015Lundi de Pentecte : lundi 25 mai 2015
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Table des matires
I Algbre tensorielle 40.1 Formalisme d'applications polylinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Rappels sur la notion d'anneau, exemples 61.1 Structure d'anneau et idaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Idaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modules et espaces vectoriels 102.1 Rappels sur les modules et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Exemlples de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Sous-A-modules, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Produit tensoriel de modules 113.1 Existence et l'unicit du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Exemples et proprits du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Algbre symtrique d'un module 144.1 Applications multilinaires symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Dnition et proprits de l'algbre symtrique d'un module . . . . . . . . 164.3 Exemples de l'algbre symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Algbre extrieure d'un module 185.1 Application multilinaires alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Dnition et proprits de l'algbre extrieure d'un module . . . . . . . . 19
II Polynmes et fractions rationnelles 21
6 Polynmes une variable 216.1 Anneau de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Division euclidienne sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Valeurs et racines d'un polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 Formule d'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.5 Polynmes irrductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Fractions rationnelles 297.1 Corps des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Rappel : caractristique d'un corps, sous-corps premier . . . . . . . . . . . 307.3 Dcomposition des fractions rationelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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8 Polynmes plusieurs variables 348.1 Anneau de polynmes plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Polynmes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.3 Calculs avec des polynmes symtriques. Rsultant et discriminant . . . . 37
III Extensions des corps commutatifs 42
9 Extensions et algbricit. Exemples et constructions de corps 429.1 Extensions, degr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.2 lments algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.3 Corps de rupture, corps de dcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10 Clture algbrique (voir [Lang], Ch.VII, 2) 4710.1 Prolongement d'isomorphismes sur les extensions algbriques . . . . . . . 4710.2 Extensions algbriquement clses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11 Morphisme de Frobenius, structure des corps nis 4911.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2 Polynmes sur les corps nis. Nombre de polynmes irrductibles . . . . . 51
IV Exemples de groupes. Groupes classiques 56
12 Structure de groupe 5612.1 Complments sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.2 Rappels sur l'action d'un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 5712.3 Groupes rsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.4 Groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.5 Groupe orthogonal G = SO(3) et les angles de Euler . . . . . . . . . . . . 5912.6 Homomorphisme remarquable de SU(2) dans SO(3) . . . . . . . . . . . . 6112.7 Groupes nis des rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.8 Groupes de polydres rguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.9 Groupes classiques (dnition prliminaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6912.10Simplicit du groupe SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.11Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.12Espace d'Euclide et mcanique quantique* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912.13Espace-temps de Minkowski* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8212.14Rotations euclidiennes et boosts* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13 Algbre gomtrique 8813.1 tude gomtrique du groupe GL(n) et de ses sous-groupes . . . . . . . . 8813.2 Formes bilinaires et formes hermitiennes, groupes classiques. . . . . . . . 9313.3 Thorme de Witt et l'extension d'isomtries . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V Gomtrie projective. Coniques, quadriques 105
4
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14 Gomtrie projective 10514.1 Espace projectif Pn, varits algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.2 Courbes planes projectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Fonctions anes et quadratiques, et quadriques anes . . . . . . . . . . . 10614.4 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
15 Applications projectives et leurs utilisations 10915.1 Groupes projectifs et projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10915.2 Congurations de Pappus et de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.3 Thorme fondamental de la gomtrie projective* . . . . . . . . . . . . . 113
16 Courbes planes* 11516.1 Points singuliers des courbes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11516.2 Equations cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
VI Annexes 122
A Exercices 122A.1 Examen du mardi 15 mai 2007, 9h12h, AMPHI A . . . . . . . . . . . . . 122A.2 Corrig de l'examen du mardi 15 mai 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A.3 Contrle continu du mardi 13 mars 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.4 Corrig du partiel du mardi 13 mars 2007* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.5 Contrle continu du mardi 14 mars 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
J'ai signal avec une * ce qui peut tre saut en premre lecture.
5
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Cours N1. Mardi 23 janvier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
Motivations et contenu du cours
Le prsent cours est centr sur les notions de l'algbre tensorielle, polynmes et frac-tions rationnelles, exemples et constructions de corps, exemples de groupes, groupesclassiques, gomtrie projective. Ce sont les outils algbriques pour la gomtrie (en par-ticulier la gomtrie direntielle et la gomtrie algbrique), pour l'arithmtique (equa-tions diophantiennes, reprsentations galoisiennes), pour l'analyse (fonctions spciales devariables matricielles, quations direntielles et groupes de monodromie), pour la phy-sique mathmatique (en particulier, la mcanique quantique, voir [Coq02], Partie IV de[KosMan]), ainsi que pour beaucoup d'applications (codes gomtriques etc.)
Les corps nis donnent des exemples importants d'extensions de corps, et on tudieen dtail les polynmes irrductibles sur les corps nis.
Le cours est considr comme la suite du cours "Algbre 1", et on utilise commeprrequis les notions de thorie des ensembles, groupes, anneaux et corps, les notionsd'algbre linaire, y compris les formes quadratiques, gomtrie ane (euclidienne).
Premire partie
Algbre tensorielle
Motivation : algbre polylinaire
0.1 Formalisme d'applications polylinaires
Cette partie est consacre l'tude systmatique des constructions polylinaires pourles espaces vectoriels V sur un corps commutatif K, et pour les modules M sur unanneau commutatif A. Ici on introduit la notion du produit tensoriel qui sert de base auxconstructions algbriques ; on l'tudie en dtails.
Cependant, les applications principales de ce formalisme se trouve l'extrieure del'algbre linaire, notammement, dans la gomtrie direntielle, thorie des reprsenta-tions de groupes et dans la mcanique quantique, voir Partie IV de [KosMan] et [Coq02].
Soit V1, . . ., Vr une famille nie de K-espaces vectoriels, et soit V1 Vr leurproduit cartesien.
Dfinition 0.1.1 Une application
f : V1 Vr V
du produit cartesien V1 Vr dans un autre K-espace vectoriel V est dite polylinaire,si elle est linaire pour tous les arguments vi Vi, i = 1, r. Notation :
f L(V1 Vr, V ).
6
panchishText BoxCours N1. Lundi 19 janvier 2015
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panchishSticky NotePLAN du 19/1/15:-Algbre tensorielle Motivation : algbre polylinaire -Formalisme d'applications polylinaires, proprit universelle, exemples-Rappels sur les anneaux, Modules et espaces vectoriels-Sous-modules, sous-espaces vectoriels, exemples
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On va constrire une application polylinaire universelle
g : V1 Vr V1 Vr,
dont l'image T = V1 Vr est dit le produit tensoriel de V1, . . ., Vr.
Dfinition 0.1.2 (Proprit universelle) il existe une application K-polylinaireg : V1 Vr T , telle que toute application K-polylinaire f : V1 Vr V sefactorise par g : f = f g pour une unique application K-linaire f : T V :
V1 Vrg //
f))RR
RRRRRR
RRRRRR
R T
f
V
C'est--dire, que L(V1 Vr;V ) = L(V1 Vr, V )(l'identication canonique).
Notation : v1 vr = g(v1, . . . , vr)tenseur dcomposable
On appelle les vecteurs v1 vr lments dcomposables de l'espace vectorieldes tenseurs gnrales V1 Vr. Le produit tensoriel T est engendr par les tenseursdcomposables, et on le construire sur les corps et sur les anneaux commutatifs.
Ides de base du calcul tensoriel
Dualit : on considre les vecteurs v V comme des applications K-linaires surl'espace V des formes K-linaires ` : V K
v : ` 7 `(v) K, de plus, V = (V ) si dimV
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Notation classique
Soit V = e1, . . . , en unK-espace vectoriel d'une base {e1, . . . , en}, donc dim(V ) = n.On note e1, . . . , en la base duale de V , c'est--dire, ej(ei) = ij . Alors tout tenseur
F Tpq(V ) = V p V q = L(V p V q;K)
est dtrmin par ces composantes F j1 ,jqi1 ,ip = F (ei1 , , eip , ej1 , ejq). De plus
F =i1 ,ipj1 ,jq
Fj1, ,jqi1 ,ip e
i1 eip ej1 ejq = Fj1, ,jqi1 ,ip e
i1 eip ej1 ejq ,
(selon la convention d'Einstein, on omet le symbole de sommation d'indices rptants).
1 Rappels sur la notion d'anneau, exemples
1.1 Structure d'anneau et idaux
Dfinition 1.1.1 Un anneau est un groupe ablien A muni d'une loi interne
AA A, (x, y) 7 xy = x y
appel produit ou multiplication, qui est associativeAn1 x, y, z A, x(yz) = (xy)z,
et distributive droite et gauche pour l'addition :An2 x, y, z A, x(y + z) = xy + xz,
An3 x, y, z A, (y + z)x = yx+ zx,On prendra galement la convention que tout anneau est unifre, c'est--dire que la mul-tiplication est munie d'un lment neutre 1 :
An4 x A, 1x = x1 = x.L'anneau est dit commutatif si la loi de multiplication est commutative :Comm. x, y A, xy = yx.
Dfinition 1.1.2 Un morphisme d'anneau : A B est une application telle queMorAn x, y, z A,(xy + z) = (x)(y) + (z) A,(1A) = 1B
SAn Une partie A B est dit un sous-anneau, si l'inclusion A B est un morphismed'anneau.
Exemple On pose B = ZZ = {(x1, x2) | x1, x2 Z}, alors A = {0}Z est un anneau,mais non un sous-anneau de B.
Dfinition 1.1.3 Soit A un anneau commutatif. Une partie I A est dit un idal sic'est un sous-groupe additif pour l'addition, stable par la multiplication externe (par unlment quelconque a A).
Idal x I,a A, ax I.
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Oprations sur les idaux
Dfinition 1.1.4 (a) Soient I, J deux idaux de A. Leur somme
I + J = {x+ y | x I, y J}
est le plus petit idal de A contenant I et J .La somme d'une famille d'idaux (I) est forme par toutes les sommes nies
I =
{
x, x I
}
o x = 0 sauf un nombre ni de .(b) L'intersection ensembliste
I
d'une famille d'idaux (I) est toujours un idal de A.(c) Soit X une partie d'un anneau A. L'intersection de tous les idaux de A, conte-
nants X, est dit l'idal engendr par X(d) Le produit
I1 I2. . .Ind'un nombre ni d'idaux est l'idal engendr par
{x1 x2. . .xn | x1 I1, x2 I1, , xn In}
En particulier, l'idal In est engendr par
{x1 x2. . .xn | x1, x2 I1, , xn I}
Exemple
a) Si A = Z, I = (m), J = (n), alors
I + J = (pgcd(m,n)), I J = (ppcm(m,n)), I J = (mn).
Remarque
L'idal, engendr par une famille x, concide avec la somme
(x)
de tous les idaux principaux (x) = xA.
Remarque Montrer en exercice que l'union d'une famille d'idaux (I) n'est pas unidal en gnral, mais c'est le cas si les idaux I sont totalement ordonns par l'inclusion :
, , soit I I , soit I I.
9
-
1.2 Anneau quotient
Dfinition 1.2.1 Soit A un anneau commutatif, I A un idal de A. Alors il existesur le groupe quotient additif A/I une unique structure d'anneau telle que la projectioncanonique : A A/I est un morphisme d'anneaux.
Proposition 1.2.2 (a) Soit A un anneau commutatif, I A un idal de A. Alors ilexiste une bijection entre l'ensemble
{J A | J I}
d'idaux contenants I, et l'ensemble {J A/I
}d'idaux de A/I, donne par J = 1(J), o : A A/I est la projection canonique.
(b) Soit : A B un morphisme d'anneaux, alors I = Ker := 1(0) est un idalde A, (A) = C est un sous-anneau de B, et il y a un isomorphisme d'anneaux
: A/I C.
On critx y mod I x y I.
Exercice Soit A = Z[X], I = 5A = (5). Trouver tous les idaux de A contenant I.
Diviseurs de zro, lments nilpotents et units
Dfinition 1.2.3
(a) Un x A\{0} est dit diviseur de zro, s'il existe un y A\{0} tel que xy = 0. Unanneau A 6= {0} sans diviseurs de zro est dit intgre.
(b) Un lment x A\{0} est dit nilpotent, si xn = 0 pour un n 1.(c) Un lment x A esi dit inversible (ou une unit) de A s'il existe y A, xy = 1.
On notera x A.
Dfinition 1.2.4 Un corps est un anneau commutatif A, non rduit {0} dans lequeltout lment non-nul est inversible :
Corps x A, x 6= 0,y A, xy = 1
Proposition 1.2.5 (a) Soit A un corps, alors A est un anneau intgre.(b) Soit A un corps, I un idal de A. Alors soit I = {0} soit I = A.
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1.3 Idaux premiers
Dfinition 1.3.1
(a) Un idal I 6= A est dit premier, si
x, y A, x y I x I ou y I,
i.e. l'anneau quotient A/I est intgre.(b) Un idal I 6= A est dit maximal, si
idal J A, I J I = J, ou J = A
Proposition 1.3.2
(a) Un idal I 6= A est dit maximal, si et seulement si A/I est un corps(b) Tout idal maximal est premier.
Preuve (a) On suppose I maximal. Si x 6 I, on considre l'idal (x, I) engendr par x etI. Alors (x, I) 6= I donc (x, I) = A ; ceci dit, il existe a A et b I tels que ax+ b = 1 ;ceci dit, ax = 1 dans A/I.
Rciproquement, si A/I est un corps, les seuls idaux de A/I sont {0} et A/I. Parla proposition 1.2.2, a), il existe une bijection entre l'ensemble
{J A | J I}
d'idaux contenants I, et l'ensemble {J A/I
}d'idaux de A/I. Donc il n'y a pas d'idaux stricts intermdiaires entre I et A, i.e. I estmaximal.
(b) Un corps est toujours un anneau intgre, donc I est premier.
Exemple
Dans l'anneau A = C[X,Y ] l'idal I = (X,Y ) est maxmal, A/I C.L'idal J = (X) n'est pas maxmal, mais premier :A/J C[Y ].
Exercice ( faire en TD) Montrer que tous les idaux maximaux M de l'anneau A =Z[X] sont de la forme :M = (p, f), o f Z[X] est un polynme tel que f mod p Fp[X]est irrductible. Ici Fp = Z/pZ est le corps de p lments.
L'idal J = (p) n'est pas maxmal, mais premier :A/J Fp[X].
Exercices
1.1 Trouver tous les diviseurs de zro dans les anneaux
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.2 Trouver tous les lments nilpotents dans les anneaux
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.3 Trouver tous les lments inversibles dans les anneau
Z/100Z,Z/72Z,Z/pnZ.
1.4 Montrer qu'un anneau ni A est intgre si et seulement s'il est un corps.
1.5 Trouver tous les lments inversibles dans les anneau Z[i] et Z[j].
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-
2 Modules et espaces vectoriels
2.1 Rappels sur les modules et espaces vectoriels
Dfinition 2.1.1 Si A est un anneau commutatif. Un A-module est la donne d'ungroupe ablien M , muni d'une loi externe
: AM M, (a,m) 7 am M (multiplication externe)
satisfaisant les proprits suivantes :Mo1 a A, x, y M , a(x+ y) = ax+ ay,Mo2 a, b A, x M , (a+ b)x = ax+ bx,Mo3 a, b A, x M , a(bx) = (ab)x.Si A = K est un corps, un espace vectoriel sur K est un K-module.
Dfinition 2.1.2 Soit A un anneau commutatif, et soient M , N deux A-modules. Uneapplication : M N est dit un morphisme de A-modules (ou une application A-linaire)si c'est un morphisme de groupe abliens, et si elle vrie la condition suivante :
Mor. A,m M,(m) = (m)
Un isomorphisme de A-modules est un morphisme A-modules qui est bijectif. Soninverse est alors un morphisme A-modules.
2.2 Exemlples de modules
Exemple La notion de Z-module concide avec celle de groupe ablien :
: ZM M, (a,m) 7 am M
Exemple 2.2.1 Si A est un anneau commutatif, et n N, An est un A-module pour lalois externe
: AAn An, (a, (a1, , an)) 7 (aa1, , aan) An
Exemple 2.2.2 Soit A un anneau commutatif, et soit M un A-module. Si X est unensemble, alors pour tout a A et pour toute application f : X M on pose
x X, (af)(x) = a(f(x)) M.
L'ensembleMX de toutes les applications f : X M est un A-module avec la loi externe
: AMX MX , (a, f) 7 af MX
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-
2.3 Sous-A-modules, sous-espaces vectoriels
Dfinition 2.3.1 Soit A un anneau commutatif, et soit M un A-module. Un sous-groupe ablien N M est dit un sous-A-module si il vrie la condition suivante :
Sousmodule A,x N,x N.
Si K est un corps, un sous-K-module d'un espace vectoriel sur K est dit un sous-espace vectoriel sur K.
Exemple 2.3.2 Soit A un anneau commutatif, et soient M , N deux A-modules. L'en-semble L(M,N) des applications A-linaires : M N est un sous-A-module du moduleNM de toutes les applications de M vers N . En particulier, si K est un corps, et E unK-espace vectoriel, le dual de E, not E est l'espace vectoriel L(E,K).
Cours N2. Mardi 6 fvrier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
3 Produit tensoriel de modules
3.1 Existence et l'unicit du produit tensoriel
Soient M,N,P trois A-modules.
Dfinition 3.1.1 a) Une application f : M N P est dite A-bilinaire, si pour toutx M , l'application y 7 f(x, y) de N P, et pour tout y N , l'application x 7 f(x, y)de M P, sont des homomorphismes de A-modules.
b) Un A-module T est dit le produit tensoriel M A N s'il satisfait la proprituniverselle suivante : il existe une application A-bilinaire g : M N T , telle quetoute application A-bilinaire f : M N P se factorise par g : f = f g pour ununique homomorphisme f : T P de A-modules.
M Ng //
f((PP
PPPPPP
PPPPPP
T
f
P
Remarque 3.1.2 En gnral, g n'est pas surjective ! Mais Im(g) engendre T .
Proposition 3.1.3 (l'existence et l'unicit du produit tensoriel) a) Pour tousles A-modules M et N il existe un couple (T, g), o g : M N T une applicationA-bilinaire avec la proprit universelle de Denition 3.1.1, b).
b) Le A-module T fourni avec l'application g : M N T est unique un isomor-phisme prs : pour tout autre tel couple (T , g) on a g = j g, pour un isomorphismej : T T de A-modules.
13
panchishInserted TextCours N 2 du 26/1/2015 pp.16-> -Rappel:l'existence et l'unicit du produit tensoriel, exemples-l'algbre symtrique d'un module-l'algbre exterieure d'un module-Proprits, exemples-Polynmes de n variables et l'algbre symetrique
panchishText Box
-
Preuve : Existence. Soit C = A(MN) le A-module libre de base
{ex,y | (x, y) M N} , i.e. les lments de C sont
C =
{ni=1
iexi,yi |i A, xi,M,yi N},
(toutes les combinaisons A-linaires nies formelles ; on remarque que e0,0 6= 0).On identie C avec l'ensemble des vecteurs innis (x,y)(x,y)MN tels que x,y A
sont prsque tous nuls (sauf un nombre ni),
ex,y ( , 0, 1(x,y)place
, 0 ).
On considre le sous-A-module D de C engendr par tous les lments de type
ex+x,y ex,y ex,y, ex,y+y ex,y ex,y ,eax,y aex,y, ex,ay aex,y.
Puis on pose T = C/D et on note x y la classe ex,y +D dans T .Le module T est engendr par
x y = ex,y +D,
de plus
(x+ x) y = x y + x y, x (y + y) = x y + x y,(ax) y = a(x y), x (ay) = a(x y).
On pose g(x, y) = x y, alors f (x y) = f(x, y) est bien dnie comme une uniqueapplication A-linaire avec la proprit f = f g.
Remarque a) On a e0,0 0e0,0 D, donc 0 0 = 0 dans T .b) Le produit x y dpend de choix de modules M 3 x, N 3 y.Il se peut que x M M , y N N , x y = 0 dans M N mais
x y 6= 0 dans M N .
Exemple Soient A = Z, M = Z, M = 2Z, N = N = Z/2Z = y, alors 2 y = 1 2y
dans M N mais 2 y 6= 0 dans M N , puisque {2} est une base du Z-module libre,M = Z, donc ZN = N par la proprit universelle.
Exercice Montrer que An M = Mn pour tout n N.Preuve de b) (l'unicit de T ). Par la proprit universelle 3.1.1, b), il existe j, j, j :T T , j : T T tels que j j = idT , j j = idT :
T j //_______hh
g PPPPPP
PPPPPP
PP TOOg
j //_______ T 66
gnnnnnn
nnnnnn
nn
M N
, Tj //_______gg
g PPPPPP
PPPPPP
PP T OO
g
j //_______ T77
gnnn
nnnnnn
nnnnn
M N
14
-
puisque j et j sont dtrmines par la proprit universelle 3.1.1, b).Dans notre construction de T = M A N on pose g(x, y) = x y T , mais en
pratique on n'utilise que l'existence de M A N , et non la construction ci-dessus.De plus, pour les espaces vectoriels de dimension nie sur un corps k = A il existe
une autre construction deM kN comme Bil(MN, k) = kmn oM = km, N = kn.
Remarque
a) On dnit le produitM1AM2A AMn partir d'applications A-multilinaireavec une proprit universelle analogue 3.1.1, b) (formuler en exercice).
b) Si M = M , N = N , alors M A N = M A N ,
3.2 Exemples et proprits du produit tensoriel
Exemple 3.2.1 Soit A = Z, M = Z/mZ, N = Z/nZ. Alors (Z/mZ) (Z/nZ) = Z/dZavec d = pgcd(m,n).
En eet, il sut de vrier la proprit universelle pour l'application
(Z/mZ) (Z/nZ) Z/dZ, g(a, b) = ab mod d.
pour toute application Z-bilinaire f : (Z/mZ) (Z/nZ) P . On pose f(1, 1) = p P ,alors f(a, b) = abp.
De plus f(m, 1) = f(1, n) = 0 = mp = np. Ceci dit, dp = 0 puisque d = mu + nv(u, v Z), et f se factorise par
(Z/mZ) (Z/nZ) g //
f**TTT
TTTTTTTT
TTTTTTT
Z/dZ
f
P
, (1, 1) 7 1 mod d
1(modd) 7 p est unique
Proposition 3.2.2 (proprits du produit tensoriel)
Soient M,N,P trois A-modules. Il existe les isomorphismes canoniquesa)
M A N = N AM, x y 7 y x,b)
(M A N)A P = M A (N A P )A PM A N A P ,
(x y) z 7 x (y z) 7 x y zc)
(M N)A P = (M A P ) (N A P ),(x y) z 7 (x z) (y z),
d)AAM = M,a x 7 ax,
Preuve. Dans tous les cas on vrie que les applications existent (elles sont bien dnies),et qu'elles sont dtrmines.
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panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Remarque . Le produit tensoriel T = MANAP est donn par la proprit universelled'applications A-trilinaires f : M N P Q de A-modules.
a) On construit d'abord les A-homomorphismesf : M A N = N AM, x y 7 y x,g : N AM = M A N, y x 7 x x.
En eet, l'application : (x, y) 7 yx est A-bilinaire puisque (ax, y) = (x, ay) =a(y x) donc il existe un seul A-homomorphisme f(x y) = y x ; la mme chose pourg.
La compose f g : N AM N AM , x y 7 x y est donc IdNAM .Puis, g f : M A N M A N est IdMAN .
On construit les A-homomorphismesh : (M A N)A P M A N A P , k : M A N A P A P (M A N)A P ,
en utilisant de nouveaux les proprits universelles : l'application A-bilinaire : (x, y) 7x y z (pour tout z P , induit
hz : (M A N M A N A P, hz(x y) = x y z.
Puis : (t, z) 7 hz(t), (M A N)A P M A N A P est A-linaire.A partir de : (M AN)AP M AN AP on obtient une application cherche
h : (M A N)A P M A N A P.
Pour construire k : M A N A P (M A N) A P , on considre l'application A-trilinaire
: M A N A P (M A N)A P,(x, y, z) = (x y) z,
qui induit k : MANAP AP (MAN)AP ci-dessus La construction implique :h k = IdMANAP , k h = Id(MAN)AP (sur les gnrateurs !).
Ceci dit, h et k sont des isomorphismes de A-modules.Preuve de c) et d) de Proposition 3.2.2 est en exercice faire.
4 Algbre symtrique d'un module
4.1 Applications multilinaires symtriques
Dfinition 4.1.1 (Application multilinaire symtrique) Une application r-multilinaire
: M M N est dit symtrique, si pour toute permutation =(
1 2 ri1 i2 ir
)et pour tous x1, , xr M on a
(x1, , xr) = (xi1 , , xir)
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panchishText BoxCours N 2. Lundi 26 janvier 2015
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
panchishInserted Text(b)
panchishHighlight
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Exemple .a) Soit M = N = A, on pose
(x1, , xr) = x1. . .xr
(le produit dans l'anneau A). Alors est multilinaire et symtrique puisque A estsuppos commutatif.
b) Soit M = A[X,Y ], N = A[X], xi = fi(X,Y ) M . On pose
(f1, , fr) = (f1. . .fr)(X, 0) N.
c) Soient l1, l2, , lr : M A,N = A. On pose
(x1, , xr) =
=
(1 2 ri1 i2 ir
)Sr
l1(xi1). . .lr(xir)
Alors l'application est r-multilinaire et symtrique
Proposition 4.1.2 (l'existence et l'unicit du produit symtrique multiple)
a) Il existe un A-module T = Sr(M) et un A-homomorphisme symtrique : M M T telle que toute application r-multilinaire symtrique : M M N sefactorise de faon unique par : il existe une unique application A-linaire f : T Ntelle que = f :
M M //
))RRR
RRRRRRRR
RRRRR T
fxxq q
q qq q
q
N
(4.1)
b) L'unicit de T = Sr(M) ( un A-isomorphisme prs).Preuve de b) dcoule directement de la proprit universelle (4.2) comme dans Propo-sition 3.1.3 (en exercice faire).Preuve de a) L'existence de (Sr(M), ) : on pose d'abord
Mr = M A AM (r fois), m(x1, , xr) = x1 xr,
et on dnit
Sr(M) = Mr/
x1 xr xi1 xir | =
(1 2 ri1 i2 ir
) Sr, xi M
,
(on factorise pas le sous-A-module Rsym engendr par les relations de symtrie). Puis onpose
(x1, , xr) = la classe (x1 xr +Rsym) Sr(M).
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-
Vrication de la proprit universelle (4.2) : pour toute application A-multilinairesymtrique : M M N il existe g : Mr N (un unique homomorphisme deA-modules) tel que (x1, , xr) = g(x1 xr), = g m.
Par la symtrie de , Ker g Rsym puisque g(x1 xr xi1 xir) =(x1, , xr)(xi1 , , xir) = 0, alors il existe un seul homomorphisme de A-modulesf : Sr(M) = Mr/Rsym N tel que g = f , o : Mr Sr(M) la projectionnaturelle.
Mr55pr
kkkkkk
kkkkkk
kkk
))RRRRR
RRRRRR
RRR
g
M M //
))SSSSSSS
SSSSSSSS
SST = Sr(M)
fuul l
l ll l
l l
N
(4.2)
De plus, = m, donc
f = f m = g m = ,
puisque g = f . Ceci dit, f est un unique homomorphisme de A-modules tel quef =
4.2 Dnition et proprits de l'algbre symtrique d'un module
Notation
S(M) =r0
Sr(M), S0(M) = A, (4.3)
T (M) =r0
T r(M), o T r(M) = Mr =r fois
M A AM . (4.4)
On montre que S(M) est une A-algbre commutative et que T (M) est une A-algbrenon-commutative.
Rappels
Dfinition 4.2.1 Soit A un anneau commutatif. Une A-algbre B est un anneau fournid'un homomorphisme d'anneau : A B tel que pour tout a A et pour tout b B ona (a)b = b(a)(= ab).
Exemple
a) Soit A = R, B = C, : R C l'inclusion d'anneau. Alors C est une R-algbre.
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panchishCross-Out
panchishReplacement Textm
panchishHighlight
-
b) L'algbre des quaternions (de Cayley)
H ={a+ bi+ cj + dk
a, b, c, d R, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j,i2 = j2 = k2 = 1
}Alors : a 7 a+ 0i+ 0j + 0k est un homomorphisme, H est une R.
Attention :
H n'est pas une C-algbre (pour : C H, a+ bi 7 a+ bi+ 0j + 0k).
Proposition 4.2.2 (description du produit) Pour tout r1, r2 N, il existe uneunique application A-bilinaire
t : T (M)r1 T r2(M) T r1+r2 ,
telle que
t(x1 xr1 , y1 yr2) = x1 xr1 y1 yr2 ,
et il existe un unique application A-bilinaire
s : S(M)r1 Sr2(M) Sr1+r2 ,
telle ques(x1. . .xr1 , y1. . .yr2) = x1. . .xr1 y1. . .yr2 ,
o x1. . .xr = (x1, , xr).b) Les applications t = tr1,r2 , s = sr1,r2 fournissent
T (M) =r0
T r(M), S(M) =r0
Sr(M)
des structures de A-algbres telles que T 0(M) = S0(M) = A donnent les morphismes destructure
A T (M), A S(M).
Cours N3. Mardi 13 fvrier 2007
(disponible sur : http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr /panchish)
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panchishText Box
panchishInserted Text-algbre
panchishInserted Text(M)
panchishCross-Out
panchishReplacement Texta corriger!
-
4.3 Exemples de l'algbre symtrique
Proposition 4.3.1 (structure de l'algbre symtrique) Soit M = x unA-module engendr par une famille d'lments x M , avec un ensemble totalementordonn, par exemple = {1, 2, , n}, alors
Sr(M) = x1 . . .xr | (1, , r) r
(avec un systme de gnrateurs redondant), de plus
Sr(M) = xn11 . . .xnss| , n1 + + ns = r, 1, , s distincts avec 1 < < s
(un systme rduit de gnrateurs).b) Si M = A() est libre alors S(M) =
r0
Sr(M) est une A-algbre commutative
isomorphe l'anneau des polynmes (commutatifs) sur A :
S(M) = A[X].
Exercice Montrer que si M = Am est libre de rang m, alors
Sr(M) = A(m+r1
r ).
5 Algbre extrieure d'un module
5.1 Application multilinaires alternes
Dfinition 5.1.1 (Application multilinaire alternes) Une application r-multilinaire : M M N est dite alterne, si (x1, , xr) = 0 pour tous les xi M avecla proprit qu'un lment parat plus qu'une fois : dans ce cas
(x1, , xi1, xi + xj , xi+1, , xj1, xi + xj , xj+1, ) = 0
donc
(x1, , xi1, xi, xi+1, , xj1, xj , xj+1, )+(x1, , xi1, xj , xi+1, , xj1, xi, xj+1, ) = 0.
Ceci implique que pour toute permutation =
(1 2 ri1 i2 ir
)et pour tous x1, , xr
M on a(x1, , xr) = ()(xi1 , , xir),
c'est--dire, que est antisymtrique.
Remarque Si A = F2, M = N , alors (x1, , xr) = x1 + + xr n'est pas alterne,mais est antisymtrique !
20
panchishCross-Out
panchishReplacement Textproduit symtrique
panchishHighlight
panchishCross-Out
panchishReplacement Text-
-
Proposition 5.1.2 (l'existence et l'unicit du produit alterne multiple)
a) Il existe un A-module T = r(M) et un A-homomorphisme altern r : M M T tel que toute application r-multilinaire alterne : M M N se factorisede faon unique par : il existe une unique application A-linaire f : T N telle que = f :
M M r //
))RRR
RRRRRRRR
RRRRR T
fxxq q
q qq q
q
N
(5.1)
b) L'unicit de T = r(M) ( un A-isomorphisme prs).
Preuve de a) L'existence de (r(M), r) : on utilise de nouveaux
Mr = M A AM (r fois), m(x1, , xr) = x1 xr,
et on dnit
r(M) = Mr/ x1 xi1 x xi+1 xj1 x xj+1 ) | xl, x M ,
(on factorise pas le sous-A-module Ralt engendr par les relations d'alternance). Puis onpose
r(x1, , xr) = la classe (x1 xr +Ralt) r(M).Vrication de la proprit universelle (4.2) : pour toute application A-multilinairealterne : M M N il existe g : Mr N (un unique homomorphisme deA-modules) tel que (x1, , xr) = g(x1 xr), = g m.
5.2 Dnition et proprits de l'algbre extrieure d'un module
Pour dnir l'algbre extrieure, on pose
(M) =r0r(M), o 0 (M) = A,1(M) = M. (5.2)
On montre que (M) est une A-algbre non-commutative (en gnral). On dnit pourtout r, s N, une unique application A-bilinaire
r,s : (M)r s(M) r+s,
telle quer,s(x1 xr, y1 ys) = x1 xr y1 ys,
b) Les applications = r,s fournissent
(M) =r0r(M)
de structure d'une A-algbre telles que 0(M) = A donnent les morphismes de structure
A (M).
Notation . Pour x r(M) et y s(M) on pose x y = r+s(x, y) r+s(M).
21
panchishCross-Out
panchishReplacement Text,
panchishSticky NotePLAN du 3/2/14:-algbre extrieure d'un module p.21-Morphisme de Frobenius -structure des corps finis p.51-Polynmes sur les corps finis. Nombre de polynmes irrductibles. Exemples p.53-Applications aux codes-correcteurs.Gnralits sur les codes. Distance de Hamming. p.56-Codes linaires. Codes de Hamming. p.61-Codes cycliques. Codes de Golay. p.66
panchishHighlight
-
Proposition 5.2.1 (proprit d'algbre extrieure) Soit x r(M), y s(M),z t(M). Alors
a) x y = (1)rsy x (la symtrie gauche du produit extrieure)b) (x y) z = x (y z) (l'associativit du produit extrieure)
Proposition 5.2.2 (puissance extrieure) Soit M = Ar libre de base e1, , er M .
Alors r(M) = ei1 eir | 1 i1 < < ir n est libre de rang(nr
).
Exercice Soit A = k[x, y], k un corps, I = (x, y) = Ax+ Ay. Alors 2I 6= 0 : il existeune application : I I A/I alterne non nulle : (x, y) = (f,g)(x,y) =
fx
gy
fy
gx .
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panchishReplacement Textn
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panchishReplacement Textn
panchishSticky Note=> p.44 => p.51 => p.57
panchishSticky Notef=xu_1+yv_1, g=xu_2+yv_2 =>phi(f,g)=det(u_1, v_1;u_2,v_2) mod I
panchishCross-Out
panchishReplacement Textphi(f,g)
panchishSticky NotePLAN du 2/2/2015-Algbre extrieure d'un module (fin) p.22-Corps fini comme extensions algbriques de F_p p.51-Polynmes irrductibles, polynmes primitifs, leurs nombres.-Applications aux codes-correcteurs, Distance de Hamming et capacit de correction d'un code, [n,k,d ]_q-codes. Decodage optimal-Codes linaires, code de Hamming-Codes cycliques, codes de Golay de type [23, 12, 7]_2, [11, 6, 5]_3
-
Cours N4. Mardi 27 fvrier 2007
Rappels : 5 Algbre extrieure d'un module
Deuxime partie
Polynmes et fractions rationnelles
6 Polynmes une variable
6.1 Anneau de polynmes
Sur un corps ni, il convient de distinguer les polynmes et les fonctions polynmes.Nous revenons donc sur la dnition des polynmes.
Dfinition 6.1.1 Si A un anneau commutatif, l'anneau des polynmes une variableX sur A est l'anneau A[X] form des suites (ai)iN d'lment de A telles que ai = 0 saufun nombre ni d'entiers i. Cet ensemble est muni de la somme
(ai)iN + (bi)iN = (ai + bi)iN
et du produit
(ai)iN (bi)iN =
i=j+k
ajbk
iN
On a une application injective A A[X] qui envoie a sur (a, 0, ), et on identie Aavec son image. Tout lment de A[X] s'crit de faon unique
iN aiX
i, o on note parX la suite :
(0, 1, 0, 0, ).
Soit A un anneau. Il est commode de voir un polynme f(X) coecients dans Aune expression formelle du type
f(X) = anXn + an1Xn1 + + a0
qui est donne par la suite de ces coecients a0, a1, . . . , an A, n N telle que presquetout an (sauf un nombre ni) est nul.
Si tous les coecients ai sont nuls on appelle f(X) un polynme nul : f = 0. Si f(X)est non-nul, alors an 6= 0 pour un n.
Dfinition 6.1.2 Le plus grand indice n avec cette proprit est appele le degr def(X) et il est not deg f . Le degr du polynme nul n'est pas dni, mais parfois on posedeg 0 = .
L'anneau A[X] est dni donc comme l'ensemble des expressions f(X) ci-dessus avecdes oprations donnes par les rgles suivantes : si
f(X) = anXn + an1Xn1 + + a0, an 6= 0
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-
g(X) = bsXs + bs1Xs1 + + b0, bs 6= 0
deux polynmes et si par exemple n s, on appelle leur somme le polynme
(f + g)(X) = f(X) + g(X) = cnXn + cn1Xn1 + + c0,
dont les coecients sont obtenus par l'addition des coecients correspondants de X dansf et dans g, c'est dire ci = ai + bi, i = 0, 1, . . . , n, o pour i > s les coecients bi sontconsidrs comme nuls.
Le produit des polynmes f(X) et g(X) est le polynme
(fg)(X) = f(X) g(X) = dn+sXn+s + dn+s1Xn+s1 + + d0,
odi =
k+l=i
akbl,
et les coecients ai, bj sont considrs comme zros pour i > n, et j > s, d0 = a0b0,d1 = a0b1 + a1b0, . . . , dn+s = anbs.
Thorme 6.1.3 Si l'anneau A n'a pas de diviseurs de zro, l'anneau des polynmesA[X] aussi n'a pas de diviseurs de zro. Le degr du produit des polynmes non nuls estgal la somme de ces degrs.
La dmonstration est directement implique par les formules ci-dessus, en particulirdn+s = anbs , o n = deg f , s = deg g.
L'anneau A peut tre identi un sous-anneau de A[X] form par des constantes(polynmes de degr nul et polynme nul). Ceci implique que la multiplication des lmetsa A par f(X) A[X] est aussi dnie. En particulier, si A = K est un corps,l'anneau K[X] est aussi un space vectoriel. Du point de vue de la structure algbrique,l'anneau K[X] devient un algbre de dimension innie sur K, c'est dire un anneauet un espace vectoriel en mme temps dans lequel la multiplication d'lments commuteavec la multiplication par des constantes.
6.2 Division euclidienne sur les anneaux
Division des polynmes avec reste
Proposition 6.2.1 Soit A un anneau commutatif intgre. On se donne un polynme
P (X) =di=0
aiXi
coecients dans A tel que ad soit un lment inversible de A. Alors pour tout polynmef(X) de A[X] il existe une unique paire (Q,R) A[X]2 telle que
f = PQ+R avec R = 0 ou degR < degP
24
-
Preuve de l'existence. Nous allons procder par rcurrence sur le degr de f . Si deg f 1 alors 1 2 2N < 2. On a ni 212 1
1ni< 1, donc k doit
tre gale 2 ou 3.Consirons deux cas :Cas 1. k = 2.On a
2 2N
=(
1 1n1
)+(
1 1n2
)o
2 =N
n1+N
n2= m1 +m2.
Ceci implique m1 = m2 = 1, n1 = n2 = N , c'est dire il y un seul axe de rotation etG = CN est le groupe cyclique d'ordre N .
Cas 2. k = 3. On peut supposer que n1 n2 n3. Si n1 3 on aura3i=1
(1 1
ni
)(
1 13
)= 2,
ce qui est impossible. Alors n1 = 2 et l'quation (1) s'crit sous la forme
12
+2N
=1n2
+1n3.
Il est clair que n2 1n2 +1n3 12 . Alors n2 = 2 ou 3.
Si n2 = 2 alors n3 = N2 = m (N doit tre impair) et m1 = m2 = m, m3 = 2. Cesdonnes correspondent au groupe du dydre Dm.
Si n2 = 3 on a16
+2N
=1n3,
et il y a les trois possibilits suivantes :
2) n3 = 3, N = 12, m1 = 6, m2 = 4, m3 = 4;2) n3 = 4, N = 24, m1 = 12, m2 = 8, m3 = 6;2) n3 = 5, N = 60, m1 = 30, m2 = 20, m3 = 12;
On a donc
Thorme 12.7.1 Soit G un sous-groupe ni de SO(3) qui n'est pas cyclique ou dydral.Alors |G| = 12, 24 ou 60.
65
panchishInserted Text3
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Fig. 1 Polydres reguliers
12.8 Groupes de polydres rguliers.
L'existence de groupes d'ordre 12, 24, ou 60 dans SO(3) est facile de voir : il est connudepuis longtemps qu'il existe exactement cinq polydres rguliers convexes dans R3 :
1) thtradre 442) cube 63) octadre 484) dodecadre ?125) icosadre 420Si l'on pose le centre d'un polydre rgulier l'origine de R3, alors les rotations de
ce polydre vont former un sous-groupe ni de SO(3).De telle manire on obtient tout de mme que trois groupes nis non-isomorphes,
car les groupes correspondants du cube et du octadre, et aussi ceux du octadre et dudodecadre sont les mmes.
Exercices
12.1 (Classes de conjugaison du groupe Sn)
(a) Deux cycles = (j1, , jk) et = (j1, , jk) ont dit indpendants si
{j1, , jk} {j1, , jk} = .
Montrer que toute permutation Sn se dcompose en produit 1 2 . . . r des cyclesindpendants de longueur k1 k2 kr > 1 . On dit que est de type cyclique(k1, k2, , kr, 1, , 1) avec une partition k1 + k2 + + kr + 1 + + 1 = n.
(b) Soit =(
1, , ni1, , in
), = (j1, , jk) un cycle d'ordre k dans le groupe Sn des
permutations de l'ensemble Xn = {1, , n}. Montrer que la permutation 1 coincideavec le cycle (ij1 , , ijk) d'ordre k.
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panchishInserted Text (corriger sur la figure: cube et thtradre sont inverss!)
panchishSticky NoteS_4
panchishSticky NoteA_4
panchishSticky NoteS_4
panchishSticky NoteA_5
panchishSticky NoteA_5
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(c) Soit = (12)(345), = (16)(234) deux lments de S6 de type cyclique (3, 2, 1).Trouver toutes les S6 telles que
1 = .
(d) Montrer que deux lments et de Sn sont conjugs si et seulement si ils ont lemme type cyclique.
(e) En dduire que le nombre de classes de conjugaison de Sn est gal au nombre p(n) despartitions de n. Trouver p(3), p(4), p(5), p(6).(f) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe Sn. Pour n = 3, 4, 5, 6 dterminerle nombre d'lments dans chaque classe.
(g) Dmontrer l'identit de Euler : on pose p(0) = 1, alorsn0
p(n)xn =m1
(1 xm)1.
12.2 On considre le groupe de didre Dn d'ordre 2n present par deux gnrateurs a, b et parles relations suivantes
Dn = a, b | an = b2 = baba = e.
(a) Montrer queDn =
{blak | k = 0, 1, , n 1, l = 0, 1
}.
(b) Trouver toutes les classes de conjugaison de Dn (il faut traiter sparement le cas den = 2m pair et de n = 2m+ 1 impair).
12.3 Soit An le sous-groupe des permutations paires de Sn.
(a) Trouver toutes les classes de conjugaison des groupes A4 et A5.
(b) En dduire tous les sous-groupes distingues de A4 et de A5.
12.4 (a) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GLn(C).(b) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe SLn(C).(c) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GL2(F3).
12.5 (a) Pour tout nombre complexe C on pose
Jn() =
1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0
= In +Nn, Nn = Jn(0).
Montrer une condition ncessaire et susante pour qu'une matrice complexe A Matn(C)soit conjuge la matrice Jn() (c'est--dire, il existe une matrice C GLn(C) telle queC1AC = Jn()) est que A n'a qu'un seul vecteur colonne propre ( proportionnalitprs), de valeur propre gale .
(b) On admet que toute matrice complexe A Matn(C) est conjuge une matrice
B = diag{B1, , Br}
diagonale bloc par bloc avec tout bloc donne par une matrice Jnj (j) (c'est--dire, onadmet qu'il existe une matrice C GLn(C) telle que C1AC = B). Montrer que
C1AmC = Bm = diag{Bm1 , , Bmr }.
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(c) Montrer que
rk(Jn())k =
n, si 6= 0n k, si = 0 et k < n0, si = 0 et k n(d) On suppose qu'il existe une matrice C GLn(C) telle que C1AC = B est une matricediagonale bloc par bloc
B = diag{B1, , Br}avec tout bloc donn par une matrice Jnj (j). On note par Nm(j , B) le nombre de blocsde B de type Jm(j), puis on dnit
rm(j , A) = rm(j , B) = rk(B jIn)m = rk(A jIn)m, et on pose r0(j , A) = n.
Montrer que pour tous les m = 1, 2, on a
rm(j , A) rm+1(j , A) = Nm+1(j , B) +Nm+2(j , B) + ,rm1(j , A) rm(j , A) = Nm(j , B) +Nm+1(j , B) + ,
doncNm(j , B) = rm1(j , A) 2rm(j , A) + rm+1(j , A).
(c) Soient A et A deux matrices telles qu'il existe C, C GLn(C),
C1AC = B,C 1AC = B
sont deux matrices diagonales bloc-par-bloc
B = diag{B1, , Br}, B = diag{B1, , Br}.
Montrer que A et A sont conjugues si et seulement si pour tous les m et j,
Nm(j , B) = Nm(j , B) rm(j , A) = rm(j , A).
En utilisant la forme normale B d'une matrice complexe A trouver toutes les classes deconjugaison du groupe GLn(C).(d) En utilisant la forme canonique d'une matrice orthogonale A trouver toutes les classesde conjugaison du groupe SOn(R).(e)En utilisant la forme normale d'une matrice complexe A trouver toutes les classes deconjugaison du groupe SLn(C).(f) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe GL2(F3).
12.6 Classes de conjugaison du groupe des quaternions de Cayley
Q8 = {1,i,j,k | ij = k = ji, jk = i = kj, ki = j = ik, i2 = j2 = k2 = 1}.
(a) Trouver toutes les classes de conjugaison du groupe Q8.
(b) Trouver le centre du groupe Q8.
(c) Montrer que les groupes Q8 et D4 d'ordre 8 ne sont pas isomorphes.
(d) Montrer que le groupe Q8 est isomorphe au groupe form par les matrices
(
1 00 1
),(i 00 i
),(
0 11 0
),(
0 ii 0
),
(comparer avec les matrices de Pauli) :
1 =(
01
10
), 2 =
(0i
i0
), 3 =
(10
01
)).
68
-
12.7 Soit K E une extension de corps. Montrer que KE = {x E, x est algbrique sur K}est un sous-corps de E.
12.8 Montrer qu'il existe des polynmes irrductibles sur Q de tout degr n 1, par exempleXn p, o p est un nombre premier.
12.9 Soit K un corps. En considrant l'ordre des lments d'un groupe cyclique, montrer quen =
d|n (d). En dduire une autre preuve que tout sous-groupe d'ordre n de K
estcyclique.
12.10 Soit K un corps q lments, q 4. Montrer que
xK x2 = 0. Plus gnralement,
calculer, pour s 1, la somme
xK xs.
12.11 Si H est un sous-groupe de C tel que C/H est ni, monter que H = C.12.12 Soit G un groupe ablien. Montrer que Hom(G,K) est un groupe ablien avec la multi-
plication 12(g) = 1(g)2(g)
12.13 Si |G|
-
Cours N9. Mardi 17 avril 2007
12.8.1 Simplicit du groupe projectif spcial PSL(2, F ) = SL(2, F )/{I2}
Thorme 12.8.1 Le groupe projectif spcial PSL(2, F ) = SL(2, F )/{I2} sur toutcorps de cardinal |F | > 3 est simple.
Preuve. On considre les sous-groupes et les lments suivants :
U ={u() =
(10
1
) F} ,U =
{u() =
(1
01
) F} ,D =
{d() =
(
001
) F } ,B = DU = UD =
{(
0
1
)}(le sous-groupe de Borel). On remarque que
d() = u( 1)u(1)u(1 1)u(),
donc le sous-groupe de Borel est engendr par les sous-groupes unipotents U et U . Onconsidre aussi l'lment
w = u(1)u(1)u(1) =(
01
10
).
2) Le groupe G = SL(2, F ) possde la dcomposition (dite dcomposition de Bruhat)suivante :
G = B BwB, B BwB = . (12.1)
3) Le sous-groupe de Borel B est maximal dans G.En eet, soit H B un sous-groupe, alors la dcomposition (12.1) implique que tout
lment h H, n'est pas contenu dans B, se trouve dans BwB, c'est--dire, h = b1wb2,d'o w H, et donc H = G.4) Si |F | 4, alors G = SL(2, F ) = G. On prend 0 6= F , 2 6= 1, ce qui est possiblepour |F | > 3. Puis, on utilise la relation de commutation
d()u()d()1u()1 = u((2 1)),
pour voir que B = U et G U . Puisque G / G, on a G wUw1 = U On a vu par1) et 2) que U et U engendrent G, donc G = G.5) Si |F | 4, alors PSL(2, F ) = SL(2, F )/Z est simple (o Z = {I2} est le centre).
On utilise l'galit (facile vrier)xG
xBx1 = Z.
70
panchishText Box Cours N 6. Lundi 2 mars 2015
panchishSticky NotePLAN du 23/2-Simplicit du groupe projectif spcial PSL(2, F), p.70-Groupes classiques sur un corps arbitraire, p.71. Exemples-Formes quadratiques et espaces quadratiques, p.78. Vecteurs isotropes et orthogonalisation.Suite:-Application physiques (mcanique quantique et relativit restreinte)-Structure des espaces quadratiques.-Plans hyperbiliques-Bases orthogonales. La signature-Mcanique quantique et espace euclidien-Espace-temps de Minkowski. Relativit restreinte-Ingalit de Cauchy-Schwarz inverse. Paradoxe des jumeaux-Coefficient de Lorentz-Quatre orientations de l'espace-temps -Groupe de Lorentz et boosts
-
Il faut montrer que si H / G = SL(2, F ), alors soit H Z, soit H G. La maximalitde B implique HB = B ou HB = G. Si HB = B, alors H B. Puisque H / G,H = xHx1 xBx1 pour tout x G, on a H Z.
D'autre part,HB = G = w = hb, h H, b B.
Dans ce casU = wUw1 = hbUb1h1 = hUh1 HU,
puisque H / G. L'inclusion U HU implique HU = G, puisque U et U engendrent G.Ceci implique que le groupe quotient
G/H = HU/H = U/(U H)
est ablien, d'o H G. Maintenant la simplicit du groupe PSL(2, F ) est vidente.
12.9 Groupes classiques (dnition
