Topologie, graphes et analyse tensorielle des réseaux...

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samedi 22 mai 2010 Topologie, graphes et analyse tensorielle des réseaux pour la physique et la compatibilité électromagnétique en particulier Olivier Maurice Soizic Dubois – Alain Reineix Vincent Brindejonc 1

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samedi 22 mai 2010

Topologie, graphes et analyse tensorielle des réseaux pour la

physique et la compatibilité

électromagnétique en particulier

Olivier Maurice

Soizic Dubois – Alain Reineix

Vincent Brindejonc

1

Table des matières 1 Introduction............................................................................................................................................6 2 Mécanismes de l'ATR.............................................................................................................................7

2.1 Organisations................................................................................................................................7 2.2 Produits......................................................................................................................................... 7 2.3 fraction........................................................................................................................................ 10 2.4 Dérivation simple....................................................................................................................... 10 2.5 Critère de tensorialité................................................................................................................ 11 2.6 Ambiguïté de l'inversion lors de transformations.................................................................... 11 2.7 Trace, symétrie, antisymétrie....................................................................................................13 2.8 Dérivation de la connexion ........................................................................................................13 2.9 Exercices......................................................................................................................................14

2.9.1 Réarranger et réduire....................................................................................................... 14 2.9.2 Corrections.........................................................................................................................14

2.9.2.a Exercice 1................................................................................................................. 14 2.9.2.b Exercice 2................................................................................................................. 14 2.9.2.c Exercice 3..................................................................................................................15 2.9.2.d Exercice 4................................................................................................................. 15 2.9.2.e Exercice 5................................................................................................................. 15

3 Fondements et principes......................................................................................................................16 3.1 Invariant..................................................................................................................................... 16 3.2 Espaces communs et espaces physiques................................................................................... 17 3.3 Hybridation de tenseurs.............................................................................................................18 3.4 Exercices......................................................................................................................................19

3.4.1 Invariant............................................................................................................................19 3.4.1.a Gravitation...............................................................................................................19 3.4.1.b Invariance des h-tenseurs.......................................................................................19

3.4.2 Corrections.........................................................................................................................19 3.4.2.a Exercice 1................................................................................................................. 19 3.4.2.b Exercice 2................................................................................................................. 19

4 L'espace nodal...................................................................................................................................... 21 4.1 Principes fondamentaux............................................................................................................ 21 4.2 Expressions spatio-temporelles................................................................................................. 23 4.3 Sources de masses (charges) – équation nodale....................................................................... 23 4.4 Exercices......................................................................................................................................25

4.4.1 Théories sur l'espace nodal...............................................................................................25 4.4.1.a Nature contravariante de l'espace nodal............................................................... 25 4.4.1.b Traduction du champ scalaire en flux....................................................................25 4.4.1.c Métrique abstraite................................................................................................... 25 4.4.1.d Retrouver l'admittance............................................................................................25 4.4.1.e De la branche de Kirchhoff à l'équation nodale.....................................................25

4.4.2 Corrections.........................................................................................................................26 4.4.2.a Exercice 1................................................................................................................. 26 4.4.2.b Exercice 2................................................................................................................. 26 4.4.2.c Exercice 3..................................................................................................................27 4.4.2.d Exercice 4................................................................................................................. 27 4.4.2.e Exercice 5................................................................................................................. 27

4.5 Exercices d'électronique............................................................................................................. 27 4.5.1 Réseau de jauge.................................................................................................................27

4.5.1.a Exercice 1................................................................................................................. 27 4.5.1.b Exercice 2................................................................................................................. 28

4.5.2 Réseaux non symétrique...................................................................................................28

2

4.5.2.a Exercice 1................................................................................................................. 28 4.5.3 Cordes nodales...................................................................................................................29

4.5.3.a Exercice 1................................................................................................................. 29 4.5.4 Corrections.........................................................................................................................29

4.5.4.a Exercice 1, réseaux de jauge................................................................................... 29 4.5.4.b Exercice 2, réseaux de jauge................................................................................... 29 4.5.4.c Réseaux non symétriques : exercice 1.................................................................... 30 4.5.4.d Exercice sur réseau avec couplage nodal............................................................... 30

4.6 Forme covariante de l'équation nodale..................................................................................... 31 4.6.1 Détermination de l'incidence............................................................................................32 4.6.2 Expressions dans le domaine temporel .......................................................................... 33 4.6.3 Domaine harmonique........................................................................................................34 4.6.4 Domaine temporel avec processus harmonique..............................................................35 4.6.5 Exercices............................................................................................................................ 37

4.6.5.a Résolution suivant une méthode nodale covariante............................................. 37 4.6.5.b Correction.................................................................................................................37

4.6.6 Méthodologie nodale covariante.......................................................................................38 4.6.6.a Exercice 1 : reprise du schéma à deux branches................................................... 38 4.6.6.b Réponse.................................................................................................................... 38 4.6.6.c Exercice 2 : schéma à 4 branches............................................................................39 4.6.6.d Correction ................................................................................................................40

4.6.7 Domaines composites........................................................................................................41 4.6.7.a Démarche................................................................................................................. 41 4.6.7.b Transformée de dimension 1...................................................................................41 4.6.7.c Transformée de dimension 2................................................................................... 42 4.6.7.d Couplage par les coefficients de qualité.................................................................44 4.6.7.e Problème avec interaction rayonnée...................................................................... 46 4.6.7.f Expressions théoriques............................................................................................ 47

5 Espace nodal et dynamique générale ................................................................................................ 52 5.1 Dynamique du point................................................................................................................... 52 5.2 Paramètres S.............................................................................................................................. 55 5.3 Thermique...................................................................................................................................56 5.4 Traitement du bruit....................................................................................................................56

5.4.1 Définition d'un signal bruyant......................................................................................... 56 5.4.2 Définition d'un multiport bruyant................................................................................... 57 5.4.3 Expression de la matrice de corrélation ......................................................................... 58

6 L'espace vectoriel................................................................................................................................. 59 6.1 Étude des lignes en régime harmonique...................................................................................59 6.2 Relation de dispersion dans les guides..................................................................................... 61 6.3 Champ électrique total dans un guide interrompu..................................................................62 6.4 Impédance ou admittance d'onde.............................................................................................. 63 6.5 Champ magnétique total dans un guide interrompu...............................................................64 6.6 Schéma équivalent à la discontinuité....................................................................................... 64 6.7 Existence d'un mode majoritaire............................................................................................... 65 6.8 Egalité des champs sur la discontinuité................................................................................... 66 6.9 Extraction des potentiels........................................................................................................... 67 6.10 Amplitudes des champs évanescents...................................................................................... 69 6.11 Détermination des modes majoritaires...................................................................................69 6.12 Ecriture en braket & tensorielle..............................................................................................70 6.13 Utilisation dans une topologie................................................................................................. 70 6.14 Méthodologie.............................................................................................................................71 6.15 Approche par diffraction.......................................................................................................... 71 6.16 Obstacles en profondeur...........................................................................................................74 6.17 Calcul de l'impédance caractéristique équivalente................................................................ 74 6.18 Impédance caractéristique par le bilan de densité surfacique de puissance.......................77 6.19 Obstacles obliques.................................................................................................................... 81 6.20 Méthode systématique............................................................................................................. 84 6.21 Antenne dans le plan d'un mur et condition limite de court-circuit..................................... 86 6.22 Annexe I – chapitre 7: étude de l'évolution de l'impédance ramenée................................... 86 6.23 Annexe II – chapitre 7..............................................................................................................88

6.23.1 Listing du programme Python de calcul de la vitesse de groupe................................88

3

6.24 Annexe III – chapitre 7............................................................................................................ 88 6.25 Annexe IV – chapitre 7.............................................................................................................89

7 SPIN.....................................................................................................................................................90 7.1.1 Usage de la fonction d'onde.............................................................................................. 90 7.1.2 Amplitude de transition....................................................................................................91 7.1.3 Fonction d'onde..................................................................................................................91

7.1.3.a Fonction d'onde de Dirac.........................................................................................92 7.1.3.b Résumé..................................................................................................................... 94

7.1.4 Principe de la méthode perturbative............................................................................... 95 7.1.5 L'interaction champ matière............................................................................................ 95 7.1.6 Autre représentation.........................................................................................................98 7.1.7 Démarche...........................................................................................................................99

7.1.7.a Premières expressions.............................................................................................99 8 L'espace modal................................................................................................................................... 102

8.1 Matrice de la connexion vecteur vers modal...........................................................................104 8.2 Spécificités de l'espace modal.................................................................................................. 105 8.3 Définition de sources de flux dans l'espace modal................................................................. 106

8.3.1 Exemple simple............................................................................................................... 107 8.4 Expressions des couplages....................................................................................................... 108 8.5 Exercices....................................................................................................................................111

8.5.1 Exercice 1 : couplages..................................................................................................... 112 8.5.2 Exercice 2 : transformateur............................................................................................112 8.5.3 Exercice 3 : circuit hyperfréquence................................................................................112 8.5.4 Exercice 4 : induction......................................................................................................112 8.5.5 Exercice 5 : calcul théorique...........................................................................................112 8.5.6 Corrections des exercices................................................................................................112

8.5.6.a Exercice 1............................................................................................................... 112 8.5.6.b Exercice 2............................................................................................................... 113 8.5.6.c Exercice 3................................................................................................................114 8.5.6.d Exercice 4............................................................................................................... 116 8.5.6.e Exercice 5............................................................................................................... 117

9 Espace des moments.......................................................................................................................... 119 9.1 Expressions des opérateurs vectoriels en coordonnées curvilignes orthogonales................119 9.2 Cas des coordonnées sphériques..............................................................................................121

9.2.1 Fonctions de Legendre ...................................................................................................122 9.2.2 Dipôles électriques équivalents......................................................................................123 9.2.3 Dipôles magnétiques équivalents.................................................................................. 125

9.3 Modèle générique pour les interactions de champ lointain..................................................126 9.3.1 Vue lointaine d'un émetteur...........................................................................................126 9.3.2 Description des éléments................................................................................................126 9.3.3 Traitement du spin (polarisation)..................................................................................129 9.3.4 Localisation des réflecteurs............................................................................................129

9.4 Généralisation pour les modes en milieux confinés.............................................................. 131 9.5 Principe d'exploitation pour les lignes (propagation en 1 dimension)................................. 132

9.5.1 Introduction.....................................................................................................................132 9.5.2 Exemple simple en une dimension................................................................................ 132 9.5.3 Cas plus complexes......................................................................................................... 136 9.5.4 Charges réactives............................................................................................................ 139

10 H-tenseurs........................................................................................................................................ 141 11 Plans d'expériences.......................................................................................................................... 143 12 Transformations pour aller de l'essai équipement au risque système.........................................144

12.1 Concept de « virtualisation »..................................................................................................145 12.2 Les difficultés de la virtualisation.........................................................................................146 12.3 Du découpage des problèmes en sous-problèmes simples................................................... 147 12.4 Analyse tensorielle des réseaux comme fondement de la virtualisation............................148 12.5 Application aux essais en compatibilité électromagnétique................................................151 12.6 Un exemple simple illustratif................................................................................................ 152

13 Méthodologie pour la CEM : variations de la métrique, transformations et connexions...........154 14 Algèbre des h-tenseurs.................................................................................................................... 161

14.1 Dual......................................................................................................................................... 161 14.2 Invariant................................................................................................................................. 161

4

14.3 Transposition.......................................................................................................................... 161 14.4 Invariance de jauge................................................................................................................ 161 14.5 h-métrique...............................................................................................................................162 14.6 Espace socle............................................................................................................................ 162 14.7 h-connectivité..........................................................................................................................163

14.7.1 Interactions conduites.................................................................................................. 163 14.7.2 h-connectivité vers les espaces nodal et modal........................................................... 166 14.7.3 Transformations : dilatations.......................................................................................166 14.7.4 Transformations : rotations..........................................................................................167 14.7.5 Dérivations.................................................................................................................... 168

14.8 Elaborations de stratégies..................................................................................................... 170 15 Détermination des modes................................................................................................................170

15.1 Cycle hamiltonien et moindre action.................................................................................... 171 15.2 Processus de détermination d'un mode pour une source unique........................................ 172 15.3 Détermination de la matrice d'adjacence..............................................................................173 15.4 Automatisation de la recherche pour une source unique.................................................... 175 15.5 Automatisation générale.......................................................................................................178 15.6 Sous Annexe I......................................................................................................................... 184 15.7 Sous Annexe J.........................................................................................................................184 15.8 Sous Annexe K........................................................................................................................184 15.9 Sous Annexe L........................................................................................................................ 186

16 Annexe I............................................................................................................................................192 17 Annexe II.......................................................................................................................................... 192 18 Annexe III : listing du programme de calcul des modes en 3 dimensions................................... 193 19 Annexe IV......................................................................................................................................... 195

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1 Introduction

L'objet de ce cours est de présenter les correspondances entre l'analyse tensorielle des réseaux (ATR) développée originellement par Gabriel KRON, puis développée par bien d'autres auteurs et les équations de la physique des champs. A partir de ces correspondances, il devient facile de transposer l'outil topologique à divers problèmes de diverses physiques, voire des problèmes multiphysiques.

Nous allons tout d'abord acquérir les mécanismes du calcul tensoriel. Sans l'habitude de l'usage de ces mécanismes, les équations et leurs manipulation est lourde et obscure. Alors qu'une fois acquis ces systématismes, on peut profiter de toute cette algèbre pour discuter de la théorie. Ensuite on détaille les propriétés des différents espaces de description des champs et de leurs imbrications à l'infini. Ces imbrications mènent aux définitions de réseaux primitifs. On peut alors étudier les comportements et propriétés des différentes connexions possibles et discuter de l'apparition de ces connexions dans l'objectif d'optimisation du système.

L'analyse tensorielle des réseaux a pour objectif final de traiter des systèmes simplexes et complexes.

Les aspects mathématiques indispensables sont présentés au fur et à mesure des sujets traités

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2 Mécanismes de l'ATRNous présentons dans ce chapitre les techniques et règles de l'analyse

tensorielle des réseaux. Nous admettrons ces règles sans plus les justifier pour l'instant. Il existe d'ailleurs pour les personnes intéressées par ces justifications une exceptionnelle thèse du commandant A.Kaufmann : « mise en équation et résolution des réseaux électriques en régime transitoire par la méthode tensorielle », thèse aujourd'hui disponible sur le serveur TeL.

2.1 OrganisationsOn manipule des tenseurs d'ordres divers (de 0 : un scalaire à n). La

difficulté lorsque l'on débute est de bien prendre conscience de la signification de la notation indicielle. On utilise des indices qui simplifient et permettent les calculs. Mais ces indices sont dits « muets ». C'est à dire qu'ils ne représentent pas un élément mais un objet qui contient lui-même autant d'éléments que la dimension de l'espace à une puissance qui est l'ordre de l'objet. Ainsi l'objet V a fait-il référence à un vecteur dit « contravariant ». Mais cet objet contient par exemple 100 composantes dans un espace de dimension 100. Considérons pour faire plus simple en représentation un espace de dimension 5. Alors, si V1, v2, …, V5 sont les composantes du vecteur Va, il s'écrit :

V a=[V1

V 2

V 5]

Notez comment est organisé cet objet. Les éléments sont classés en colonne, l'indice placé en haut pointant des indices de lignes. On peut définir ainsi un autre vecteur « covariant », noté Vb est organisé en ligne :

V b=[V 1 V 2 V 5]

2.2 ProduitsConnaissant les règles du produit matriciel1 on voit immédiatement que

l'écriture avec indice muet (où l'on omet le signe somme sur l'indice qui est répété) :

V aV a=V1 V 1V 2 V 2V 5 V 5=V⋅V=∣V∣2

Il est important de noter que l'indice est répété. C'est une première application de l'indice muet. Il sert non seulement à renseigner sur l'organisation

1 On pourra lire à ce sujet la référence : « compléments de mathématiques » de André Angot, paru chez MASSON.

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des vecteurs utilisés, mais aussi à vérifier la possibilité d'effectuer la contraction par produit des deux objets, suivant les règles du produit matriciel. L'algèbre tensoriel, plus abstrait, admet une écriture dans l'ordre inverse. Je préfère quant à moi être plus rigoureux et veiller au respect de cet ordre, ce qui revient à gérer simultanément l'écriture algébrique tensorielle et son implémentation matricielle (le calcul matriciel permet d'effectuer les calculs des équations tensorielles).

Dans le cas où les deux vecteurs n'ont pas les mêmes indices. On effectue par exemple :

V a⋅W b=[V 1

V 5] [W1 W 5]=[V

1 W 1 V 1 W 2 V 1 W5

V 2 W 1 V 2 W5

V 5 W 1 V 5 W5]

L'écriture indicielle correspond à l'opération de produit tensoriel entre les deux vecteurs V et W : V W. Le résultat comme le montre l'opération, qui respecte toujours la règle du produit matriciel, est un tenseur d'ordre 2 a pour nombre de lignes la dimension de l'espace de V, et pour nombre de colonne, la dimension de l'espace de W. Ce tenseur s'écrit en gardant la mémoire de la position des indices des vecteurs dont il est issu. Il s'écrit ici V aWb = Ta

b.

L'opération de contraction consiste à réduire un tenseur d'une dimension en réalisant sur l'une de ses dimensions un produit scalaire. L'opération de produit tensoriel crée au contraire un tenseur d'ordre supérieur issu de toutes les combinaisons possibles de produits des composantes des vecteurs des espaces dont il est issu. Les natures de covariances ou contravariances sont gardées avec des tenseurs d'ordres supérieurs à 1. Ainsi, Tab est un tenseur 2 fois covariant. Tab est deux fois contravariant et Ta

b ou Tab sont 1 fois covariant,

1 fois contravariant.

Lorsque l'on va vouloir réaliser le produit contracté de trois tenseurs, les organisations vont imposer une règle sur la position et les indices pour pouvoir faire cette opération. Par exemple si l'on veut calculer : Zab ia ib. Tout d'abord on peut affirmer que l'on obtient un scalaire puisque l'on contracte deux fois Z qui est 2 fois covariant. Si l'on commence par faire Zab ia, on obtient :

Zabib=[Z11 Z12

Z21 Z22] [i1

i2]=[Z11 i1Z12 i2

Z21 i1Z22 i2 ]Le tenseur résultat est un vecteur de deux lignes. Z a deux indices. Le

premier pointe les lignes, le second les colonnes. Il en va de même de tout tenseur d'ordre supérieur à 1. L'organisation est de façon générale :

T ligne colonne ligneligne colonne ligne

Dans le produit contracté précédent, on fait bien un produit matriciel pour chaque ligne (a) de Z, donnant la ligne (a) du vecteur résultat. Mais le vecteur résultat doit garder la mémoire de l'organisation des indices. Il doit comporter un indice en bas, car le résultat est un vecteur covariant. Mais cet indice doit aussi indiquer que le vecteur est organisé en colonne. Or, lorsque

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l'indice est unique et en bas, nous avons vu qu'il pointe une organisation en ligne. Il faut donc indiquer que cet indice est maintenant lié à une organisation colonne. Or dès qu'il y a plus d'un indice, l'organisation précédente est très simple. Il faut donc pouvoir montrer que l'indice est le premier d'une paire de deux dont le deuxième est inexistant! On s'autorise alors l'usage d'un point ou d'un tilde pour indiquer cela. On écrit alors :

ea~=zabib

Le tilde (ou le point) agit comme s'il y avait un deuxième indice. Dans ce cas, (a) pointe un indice ligne et l'organisation est alors bien en colonne. Maintenant on veut réaliser avec le résultat une seconde contraction. Une première solution serait d'obtenir un vecteur en colonne et non en ligne. Pour cela il faudrait échanger les termes du produit, en transformant ia en vecteur ligne. Mais on ne peut transformer formellement un vecteur colonne (contravariant) en vecteur ligne (covariant) que par l'usage d'un tenseur particulier appelé tenseur métrique. Par contre, on peut garder le vecteur sous sa forme contravariante mais le transposer. On réalise cela par l'opération :

iaT=i~a

L'usage du tilde nous permet d'indiquer que l'indice pointe une organisation en ligne (indice colonne) et le vecteur ayant son indice en haut reste de nature contravariante. On peut alors calculer légitimement :

i~ a zab=[ i1 i2] [ z11 z12

z21 z22]=[i1 z11i2 z21 i1 z12 i2 z22 ]

On peut ensuite sans difficulté réaliser le second produit par un vecteur contravariant :

[i1 z11 i2 z21 i1 z12i2 z22 ][i1

i2]=i1 z11i2 z21 i1i1 z12i2 z22 i2

qui est bien un scalaire puisque nous avons contracté deux fois le tenseur z. On conclue donc qu'une double contraction d'un tenseur deux fois covariant peut s'exprimer par :

v~ a tabvb=s

Cette expression fait aussi soulever un autre aspect du calcul tensoriel. Les objets utilisés contiennent toute une quantité de valeurs reliées à des variables physiques. L'expression recèle tous les produits composés possibles qui amènent, sommés à un scalaire représentatif du monde sous-tendu par ces objets. Mais nous reviendrons sur ces aspects ultérieurement. Notons qu'en écriture tensorielle « classique » on pourrait écrire : tabia ib . Enfin, les tenseurs une fois covariant et une fois contravariant ont leurs indices qui suivent l'ordre des espaces utilisés dans le produit tensoriel. Ainsi le produit

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tensoriel : va wb donne-t-il un tenseur de type tab. Le second indice doit être

séparé par un espace du tenseur, indiquant qu'il intervient en second terme dans le produit tensoriel. Pour lever l'ambiguïté du blanc, on peut utiliser de même un tilde. Soit :

vawb=t~ ba

dans la plupart des ouvrages on trouve un espace. En écriture typographiques on peut montrer clairement l'ordre, en notation manuelle c'est moins évident.

2.3 fractionOn peut se demander en premier comment s'exprime l'inverse d'un tenseur?

Pour un vecteur, ce doit être un vecteur K tel que :

va K=I

K étant de fait un vecteur contravariant et I l'unité (ici réduite à 1 terme). On trouve K de la forme v'a. De fait, l'inverse d'un vecteur covariant est contravariant. On trouve de la même manière que l'inverse d'un vecteur contravariant est un vecteur covariant. Or un tenseur deux fois covariant résulte du produit tensoriel de deux vecteurs covariants. Son inverse doit résulter du produit tensoriel de deux vecteurs contravariants. On trouve alors la règle générale :

va−1=wb va−1

=wb zab −1= yba

L'opération d'inversion change la nature et la place des indices.

2.4 Dérivation simpleOn peut dériver un tenseur par rapport à l'une des variables des espaces dans

lesquels sont effectués les calculs. On peut aussi dériver par rapport à une composante particulière.

Si l'on veut dériver par rapport à une composante unique, on place cette composante (qui peut être abstraite) entre parenthèse. Par exemple on calcule :

∂ yab

∂q

On dérive toutes les composantes du tenseur par rapport à cette seule composante q.

Un tenseur peut être dérivé plus généralement par exemple s'il s'exprime via un scalaire (une matrice) en fonction d'un deuxième tenseur. Suivant une première relation :

x=b xb⇒

∂ x

∂xb=b

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Lambda est ici une matrice par exemple de changement de base. On remarque que suivant la règle de la fraction que nous avons vu précédemment, il est logique que cette matrice comporte b en indice colonne (indice en bas, seul).

2.5 Critère de tensorialitéIl y a des définitions de la tensorialité basées sur les changements de bases.

Ces définitions ne me satisfont pas personnellement, car elles ne mettent pas en évidence le but de l'usage même des tenseurs. L'idée du tenseur réside dans la volonté de représenter les propriétés d'objets indépendamment de l'espace de description dans lequel on les décrit. Ainsi une table a des propriétés intrinsèques qui ne doivent pas dépendre du mode que l'on utilise pour la représenter (mètres, pieds, photographie, peinture, …). Une matrice est une simple collection de nombres qui est non indépendante du référentiel dans lequel ils ont été calculés. Si l'on revient à notre table, les valeurs qui permettent de passer de mesures en mètres à des mesures en pieds sont intimement liées aux choix des deux référentiels métrique et Anglais. Par contre la table reste la même que l'on exprime ses dimensions dans l'un ou l'autre des systèmes de mesure. Le tableau de valeurs qui contient les facteurs de passage entre les deux systèmes est nécessairement une matrice. Le vecteur qui contient ces dimensions est un tenseur d'ordre 1. On peut étendre ce concept à des tenseurs d'ordre quelconque. Du coup, il est vrai que le critère de tensorialité peut s'exprimer au travers de propriétés sur les changements de bases. Mais l'invariance intrinsèque me semble une propriété plus pertinente au sens de la compréhension physique du sens des tenseurs. Cette invariance se traduit si l'on réalise le produit contracté d'un tenseur d'ordre n par n vecteurs de variances définies. Ce produit doit rester identique lors d'un changement de base. Soit :

t a ,b , cvawb kc= t , ,vwk

Mais l'on a :

va=Aav wb=B

b w kc=K ck

Alors :

t a ,b , c=Aa B

b K c t , ,⇒ t : tab

~~ c , t~~

Le changement de base inverse se ferait par le produit des inverses des matrices A, B et K. Ce serait le critère « usuel » de tensorialité. Remarquons que par rapport à nos règles précédentes, on doit écrire cette triple transformation sous la forme :

t~~ =F~ c

~~ D~~ a tab

~~ c E~b~

Écrite ainsi, la relation respecte les règles du produit matriciel.

2.6 Ambiguïté de l'inversion lors de transformationsLorsque Kron a fait usage de connectivités qui relient des bases de

dimensions différentes, il a introduit des changements de base non inversible

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classiquement, les matrices de ces transformations (terme plus correcte de fait que celui de changement de base) étant rectangulaires.

Lorsque l'on transforme un vecteur en un autre via une connectivité, on fait usage d'une matrice rectangulaire. En se raccrochant aux concepts usuels de transformation, on identifie des vecteurs covariants et contravariants auxquels sont attachés la matrice de passage et son inverse, mais ici l'inverse est la transposée. Pourquoi? Tout d'abord repartons de la relation originelle. La transformation s'écrit par exemple (en notant en gras les courants représentés dans l'espace des mailles) :

ia=C~a i (1)

On peut multiplier de part et d'autre par la matrice transposée :

C~a ia=C~a

C~a i (2)

Or le terme de gauche revient à une combinaison des courants de l'espace le plus petit (en variété). Prenons un exemple : soit le réseau suivant :

On trouve facilement la matrice de passage des branches vers les mailles :

C~a =[1 0

1 −10 1 ] (3)

En appliquant la relation 2 on trouve :

i1i2

i3−i2= 2 i1−i2

−i12 i2 (4)

Ces relations sont vraies mais n'apportent rien! Par contre on peut inverser la matrice du membre de droite, rendue carré par le produit par la transposée. On retrouve ici exactement

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la technique de la pseudo-inversion. On trouve :

D~ =C~a

C~a −1

=[ 2 −1−1 2 ]

−1

=[2/3 1 /31/3 2/3] (5)

En multipliant cet inverse par le vecteur de gauche de l'équation 4 et en égalisant au vecteur des courants de mailles on trouve :

{2i1i2i3=3 i1

i1−i22i3=3 i2(6)

Ce sont un petit peu les relations inverses des relations (1), mais retrouvées à un facteur près (ici 3). On voit finalement que par pseudo-inversion, la matrice de passage est bien inversible. L'opération mathématique d'inversion est en ce sens valide aussi et l'inverse existe.

2.7 Trace, symétrie, antisymétrieDe nombreuses opérations et propriétés sont applicables aux tenseurs. L'une

de ces opérations est le calcul de la trace d'un tenseur qui est la somme de ses composantes diagonales. On écrit cela usuellement par Ta

a. L'indice étant répété, on suppose la somme sur cet indice.

Un tenseur est symétrique si ses composantes extra-diagonales sont égales. Antisymétrique si elles sont opposées en signe.

2.8 Dérivation de la connexion Soit une relation tensorielle entre deux objets : e=∂ t f . Lors d'un

changement d'axes, le flux f se transforme suivant : f a=C a f . Par

remplacement on obtient :

Ca e=∂t C

a f =∂t Ca f C

a∂ t f= ,t

a f Ca f

Si la connectivité dépend du temps (pour cet exemple, dans le cas général le problème est de savoir si elle dépend des variables de dérivation) un terme s'ajoute à la dérivée ordinaire dépendant de la dérivée temporelle de la connectivité. Le terme rajouté gamma correspond à cette dérivation.

Imaginons de même que l'on ait :

e~= g x⇒∂ e~

∂ x =∂ g

∂ x xg

∂ x

∂ x= , xg

∂x

∂x

On voit de même apparaître une dérivation d'une métrique faisant apparaître ce que l'on appelle des coefficients de Christoffel.

13

2.9 Exercices

2.9.1 Réarranger et réduire

1. Soit l'écriture suivante : 1

2mabvavb−U=0 où U est une énergie

potentielle et m une masse, v une vitesse. La réécrire puis diviser par le vecteur vb pour faire apparaître la relation de l'impulsion. Quelle est, ainsi définie la nature de cette impulsion?

2. Soit la relation de Kirchhoff : −U a−zab ibea=0 . Cette relation est-elle correcte et calculable suivant nos conventions? Si Ua et ia sont duaux et liés par l'invariant : Ua ia= , on transforme i suivant la matrice de changements d'axes L avec l'usage de lettres grecques pour le nouveau système d'axes : ia=L

a i . Qu'en déduire pour la transformation de U sachant que U et i sont tensoriels? Par remplacement, comment se transforme la relation précédente de Kirchhoff?

3. Soit la relation par changement d'axes : A=∂ x

∂ xa

∂ x

∂ xbAab

. Cette

relation garderait-elle cette écriture avec nos conventions? Si non, comment devrions-nous l'écrire?

4. Soit une métrique gab. Si l'on veut transformer le vecteur contravariant fk en vecteur covariant, quelle opération doit-on réaliser? Idem pour transformer un vecteur covariant hk.

5. Montrer que L2=A~ p g pq Aq est un invariant. Montrer que L² peut

aussi s'écrire B p ypq Bq ~ .

2.9.2 Corrections

2.9.2.a Exercice 1

Pour retrouver nos conventions on écrit :

1

2v~a mabvb−U=0⇒ v~ a mab=2U nb avec : nb vb=

U étant un scalaire, l'impulsion ainsi déduite est de nature covariante.

2.9.2.b Exercice 2

i. Non car Ua et ea ne sont pas homogènes en organisation à zabib. Il faut écrire : −U a~−zabibea ~=0 .

ii. ia=L~a i⇒Ua ia=Ua L~

a i⇒U~=U a L~a =U

14

iii. Multiplions à gauche par La : −L~

~ aU a~−L~~ a zab ibL~

~a ea~ . On remplace ensuite ib par son expression dans la base grecque : −L~

~ aU a~−L~~ a zab L~

b iL~~a ea~⇔−U ~−zie~=0 . On note

qu'entre la transformation de U et celle de i les matrices de changements d'axes sont inverses l'une de l'autre. De cette opposition vient la terminologie de co et contravariance. Les vecteurs covariants se transforment comme les vecteurs de base. Les contravariants se transformant par l'intermédiaire de la matrice inverse. On remarque que la relation de Kirchhoff est invariante par changement d'axes.

2.9.2.c Exercice 3

En notant : ∂ x

∂ x a=a

et∂ x

∂ xb=b

, on écrit : A=~ a

~ Aabb~~ d'où

il faut écrire : A=∂ x

∂ xaAab ∂x~

∂x~ b .

2.9.2.d Exercice 4

La seule façon de changer la variance est de passer par la métrique. On multiplie donc f par la métrique pour changer sa variance : g jk f k= f j~ . De

même pour un vecteur covariant uk : g jkuk~=u j . Mais on utilise cette fois la métrique inverse de la métrique précédente.

2.9.2.e Exercice 5

Posons : Aq=~q A A~ p=A~~

~ p , on remplace dans l'expression de L² pour obtenir :

L2=A~ p g pq Aq=A~~~ p g pq~

q A= A~ ~~ p g pq~

q A= A~ g A . On trouve

que l'expression de L² est invariante par changement d'axe.

Posons maintenant une relation entre les duaux A et B : Aq=ak Bk ~ A~ p=Bmmp . En remplaçant dans l'expression de L² on trouve :

L2=Bmmp g pqqk Bk~=Bm ymk Bk~ , il suffit de vérifier ymk=mp gpq

qk .

15

3 Fondements et principesFort d'une compréhension de l'écriture, nous allons pouvoir aborder les

concepts et techniques de l'analyse tensorielle.

3.1 InvariantL'élément central des théories tensorielles est un invariant. C'est autour de

cet invariant que les changements d'axes gardent une observable constante qui rend les résultats toujours interprétables. Cet invariant est toujours en relation avec l'énergie. Ce peut être l'énergie directement, ou son débit, etc. Pourquoi? Parce que logiquement l'énergie est une des rares observables qui ne dépend pas de la physique traitée.

On part d'un espace de dimension quelconque dans lequel on définit une base u. Dans cette base, les vecteurs « naturels » se développent comme combinaison linéaire des vecteurs de base qui sont les directions de l'espace :

f =f = f kuk

On note que les vecteurs naturels sont des vecteurs contravariants. Or le produit tensoriel de flux doit mener à un débit d'énergie cinétique. On écrit :

E= g f k f m

Ce débit d'énergie E étant un scalaire, la fonction g doit être bilinéaire de la forme :

E= f ~ k gkm f m

Dans ce produit on peut considérer le premier produit et écrire :

gkm f m=ek ~

Le terme employé est covariant. C'est un vecteur dual du vecteur flux puisqu'il lui est relié par une métrique g. On doit de fait pouvoir le développer sur une base duale de la base de l'espace :

e=ek e* k

les vecteurs duaux ont une propriété par définition :

uk e* k=k~ k

Alors :

f e=ek e* kuk f k=ek f kuk e* k=Sk~k=S

S est une sorte de puissance dans tout le monde étudié et couvert par les vecteurs e et f. On va vérifier que S est un invariant. Effectuons un changement d'axes. Ce changement est défini par rapport à l'un des vecteurs. Partons du flux.

16

On écrit :

f k=M ~k f

M est la matrice de changement de base. On applique ce changement de base à la relation entre l'invariant et les flux :

S= f ~ k gkm f m= f ~ M ~~ k gkm M~

m f = f ~ g f

On voit que la transformation appliquée aux flux se reporte sur la métrique. En définissant de fait la nouvelle métrique issue du changement d'axes on retrouve la formulation de l'invariant transportée dans un nouvel espace. C'est autour de l'invariant qu'on a pu définir cette métrique et les espaces duaux. De même c'est par l'existence de l'invariant que l'on peut travailler dans des espaces différents tout en gardant une observable commune.

3.2 Espaces communs et espaces physiquesOn peut définir plusieurs espaces liés à différentes physiques :

électromagnétisme, électronique, thermique, hydrodynamique, etc. Mais tous ces espaces ont pour point commun l'espace géométrique des coordonnées de l'espace-temps. Ainsi les flux sont définis d'une part dans un espace des flux (espace des branches). Mais par l'incidence, ces branches sont liés à des paires de nœuds. Chaque nœud a ses coordonnées dans l'espace-temps. On relie le nœud à la géométrie par :

qk=qk xux=qk 0 t−qk1

x

c−qk 2

y

c−qk 3

z

c

Je propose lorsque l'on veut travailler sur deux espaces simultanément de placer entre parenthèse l'objet pour rajouter les indices de l'espace supplémentaire. Entre deux nœuds, les champs suivent les géodésiques de l'espace local. On admet que la courbure locale g est connue et définie. L'incidence donne le lien entre nœud et branche. Pour chaque branche la courbure de l'espace est connue. De fait :

l n1 , n2=∫n1

n2

x b∣b∈B[n1, n2]b

On projette localement dans le référentiel de la branche allant du nœud n1 au nœud n2, la force externe qui provoque la variation d'impulsion pour une particule isolée et par suite la variation de position. On joue sur deux espaces simultanés : l'espace de la branche concernée (Bb

[n1,n2]) et la direction curviligne pour cette branche ().

Si l'on désire indiquer que l'on associe à un objet une projection sur l'espace géométrique, on peut effectuer ce que j'appelle une « vectorisation » signifiée par une flèche placée au-dessus du tenseur. Par exemple, on peut s'intéresser au flux fk

en tant que vecteur contravariant dans l'espace des flux. J'appelle aussi cet espace « vectoriel » non sans raison. On peut effectivement montrer que l'on veut aussi s'intéresser au vecteur sous-tendu par la branche (k), composante du flux fk. Pour ce faire, on écrit : f k . Ce flux « vectorisé » se projette sur la base géométrique

17

locale sous la forme : f k= f kxux f kyu y f kzuz pour trois dimensions. En tenseur et suivant ce que nous avons indiqué précédemment, on peut aussi écrire : f k= f kx où x est un indice pointant un vecteur contravariant dans la base

géométrique.

3.3 Hybridation de tenseursOn peut créer (proposition d'Olivier Maurice et Alain Reineix2) des tenseurs

hybrides qui contiennent plusieurs tenseurs réels mais de variances et natures différentes. Cependant, le regroupement de ces tenseurs permet de décrire complètement un problème en le projetant sur plusieurs espaces différents, alors que sa résolution sur un espace unique obligerait pour certains processus à se projeter dans un espace qui n'est pas le plus adapté au problème. Le fonctionnement est exactement le même que pour les tenseurs « classiques » si ce n'est qu'il ne sont pas invariants strictement par changements d'axes et ne sont donc pas a proprement parler des tenseurs. Imaginons dans le cas de la mécanique la création de deux espaces. Un espace des déplacements en translation :

f a~= yab pb

et un espace des déplacements en rotation :

m=zr ~

On peut joindre les deux équations pour d'une part rajouter un couplage éventuel entre translation et rotation et d'autre part traiter l'ensemble du problème simultanément. On écrit :

{f a~

m }={yab a ~~

~ b z }{ pb

r~}

On peut appliquer un changement de base et trouver l'invariance de ces objets. Reste qu'ils ne sont pas tensoriels, puisqu'ils ne sont pas homogènes en nature. Par ailleurs une connexion peut exister entre les éléments même de ces objets. Nous verrons des applications concrètes de ces objets ultérieurement. S'il est peu pratique de les écrire tel que nous l'avons fait, cette notation reste encore la plus claire et explicite pour leur emploi. On appelle ces objets des « h_tenseurs ».

2 Article accepté au congrès CEM2010 et en proposition à « International Electronic Journal of Theoretical Physic »

18

3.4 Exercices

3.4.1 Invariant

3.4.1.a GravitationQuand l'espace est curviligne, la projection de l'espace global sur l'espace

local est réalisée par la métrique :

x~=g x

La distance spatio-temporelle résulte du produit scalaire des deux vecteurs co et contravariant. Calculer cette distance et vérifier son invariance.

3.4.1.b Invariance des h-tenseurs

Considérer le h-tenseur suivant : {yab ~a

~ b z} . Considérant la connexion

suivante : {~ af 0

0 ~} , montrer que le h-tenseur est invariant par changement

d'axes.

3.4.2 Corrections

3.4.2.a Exercice 1

On écrit : ds2=x~ x~=x~ g x . Pour montrer l'invariance de cette

distance on envisage un changement d'axes pour x : x~=x~ L~~ . Par

remplacement dans la relation du ds² on trouve : ds2=x~L~~ g L~

x , on

pose alors : g=L~~ g L~

pour trouver : ds2=x~ g x qui montre l'invariance du ds² dans un changement d'axes.

3.4.2.b Exercice 2

Effectuons l'opération : {~ af 0

0 ~}{ yab ~

a

~ b z

}{b~ g 0

0 ~ } . Le premier

produit donne : { y fb ~f

~ b z

} . En remultipliant cet objet (qui n'a pas de sens

19

physique) par la connexion on trouve enfin : { y fg ~f

~ g z

} qui est bien invariant.

20

4 L'espace nodalLes grands principes précédents nous donnent les outils de base nécessaire

et souvent suffisant pour aborder de premières réflexions sur les liens entre la topologie et les champs, quels que soient ces champs.

4.1 Principes fondamentauxL'espace nodal est l'espace construit autour de l'entité topologique « nœud ».

Le nœud est le point de départ de toute construction. Il y a nécessité d'échantillonner la réalité en points de raccordements. Ces points sont les nœuds. Ils portent une information riche. En physique classique, le centre de gravité est symbolisé par un point qui porte la masse et permet de suivre la trajectoire d'un solide. Le nœud porte comme on l'a déjà souligné, les coordonnées spatio-temporelles locales. Par ailleurs, un champ divergent est attaché au nœud. Le nœud portant une masse, une charge, rayonne un champ lamellaire que nous noterons d'une manière générale G. Il vérifie :

∇ xGkx=qk

La contraction du champ par l'opérateur nabla s'effectue sur les coordonnées locales attachées au nœud k. La densité de masse (au sens large) qk est pondérée d'une constante . Dans le cas de l'électromagnétisme, est la permittivité diélectrique. Dans le cas de la gravitation, elle vaut 4g où g est la constante de la gravitation universelle.

En intégrant le champ, c'est à dire en admettant que ce champ dérive d'un potentiel Uk (soit qu'il y est lié par une métrique ∂aa), on peut trouver une relation entre ce potentiel et la masse. Cette relation apparaît plus clairement lorsque l'on exprime les relations précédentes sous forme intégrale :

−1 ∯

S

∂ii U i⋅ dS=qi

De cette relation on peut déduire l'expression d'un opérateur que l'on nommera condensateur (provenant d'une condensation locale de masse) C tel que :

qh=Chh Uh Ce champ divergent doit apparaître dans le bilan des flux qui alimentent et

débitent sur le nœud. Le nœud est un centre sur lequel viennent s'accrocher différents flux. Le nombre de flux accrochés au nœud constituent ce que l'on appelle le degré du nœud. Le degré d'un nœud est visible dans la matrice d'incidence. Pour un nœud, donc une colonne donnée, le nombre d'éléments non nuls de la matrice pour cette colonne sont les branches connectées au nœud, donc son degré.

Le nœud apparaît bien comme un lieu de convergence de flux auquel se

21

rajoute l'énergie contenue dans un champ divergent. La figure 1 représente ce concept.

Entre les flux arrivant et sortant du nœud et la masse qu'il contient (avec le champ lié) il y a une relation de conservation de l'énergie – appelée conservation de la charge dans le cas de l'électromagnétisme. En associant en chaque point de connexion du nœud un vecteur normal fuyant, les flux entrant ont un produit scalaire avec ce vecteur négatif, et les flux sortant un produit scalaire positif. Figure 1 : connexion sur un nœud

Le bilan de débit se traduit par l'égalité entre la variation dans le temps de la masse contenue dans le nœud :

∑Sk

f n k⋅nk=−∂qk

∂ t

Le signe moins provient des signes des produits scalaires précédents. La matrice d'incidence donne les relations (connexions) qui existent entre les flux et les nœuds. Pointer les branches du nœud (n) revient à explorer la matrice d'incidence B pour la colonne n : Bk

(n). L'ensemble des vecteurs normaux au nœud sont alors une image des branches connectées au nœud. Pour l'ensemble des k branches reliées au nœud m, pointé par l'objet Bk

(m) on trouve :

∑k

Bmk ⋅n=

−∂qm

∂ t

La normale est partout définie, fuyante au nœud en tout point de connexion de branches.

Or la variation de masse est concrétisée topologiquement par une branche « capacitive », c'est à dire portant un condensateur comme métrique. Cette branche doit apparaître dans l'incidence B comme une autre branche de flux de conduction (matière conduite). Ce que l'on représente figure 2. La branche qui traduit l'énergie stockée dans le champ se rajoutant à l'incidence, cette dernière contient tous les flux conduits ou de champ scalaire. Mais la matrice d'incidence est une connexion non pondérée. C'est à dire qu'elle ne contient pas les poids des masses apportées par les flux ou stockées dans le champ. De fait, en un nœud (m), le bilan des débits de masses s'exprime sous la forme :

22

Bm~ k f k=0

Cette équation est l'équivalent topologique de l'équation de conservation de la charge que l'on peut écrire pour un nœud k :

1 dSm⋅f

m∈Bk m m∈Sk

∂qk

∂ t=0

Figure 2 : branche pour la conservation de la masse

La relation topologique est beaucoup plus synthétique que la relation de conservation de la charge. Cela vient du fait que cette relation tensorielle sous-tend des objets et des opérations beaucoup plus riches que ne le permet la représentation vectorielle classique.

4.2 Expressions spatio-temporellesLes techniques précédentes peuvent être étendues sans difficulté

particulière, puisque cette technique est générale, à un système de coordonnées en 4 dimensions telles que usuellement employées en relativité. On aura alors par exemple pour un vecteur nœud :

dsqk2=c2 {qkt }2−{qkx }

2−{qky }

2−{qkz }

2

Le nœud portant ici l'information de position dans l'espace et le temps.

4.3 Sources de masses (charges) – équation nodaleL'espace nodal cherche avant tout à décrire des bilans d'échanges de masses

effectués aux niveaux de nœuds. L'équation de conservation du bilan que nous avons vu traduit déjà la loi de Kirchhoff des nœuds appliquée en électricité. Mais on retrouve des lois similaires en mécanique des fluides. Dans le cas de l'électromagnétisme, on va partir de cette conservation pour établir une relation fondamentale dont on pourra déduire les potentiels aux nœuds. Les potentiels étant les intégrales premières du champ, il s'agit ici des potentiels scalaires. On verra que la notion de nœud peut être étendue au réseau, mais avec un champ vectoriel et non plus seulement scalaire.

23

Imaginons une source de charges (ou de masses). Cette source apporte sur un nœud un certain volume de charge par seconde noté par le vecteur contravariant sa. Nous convenons de noter avec un indice latin compris entre a et m les objets de l'espace des nœuds. Ce débit apporté doit être égal au bilan des débits de branches. Cette égalité est même intrinsèque car elle est à la base d'une connexion que nous verrons ensuite. Nous pouvons écrire pour l'instant que le volume de charge apporté est égal à une somme des courants ib de branches alimentés par le même nœud. Étendue à tout l'espace cette relation s'écrit :

sa=B~ ba ib

Les courants de branches peuvent s'exprimer au travers de l'inverse de la métrique Y et des tensions de branches. Ces tensions sont des différences de potentiels U. Soit :

sa=B~ ba Y bd Ud ~

Or, et c'est là que la connexion est évidente, on peut exprimer ces différences de potentiels en fonctions de ces potentiels eux-mêmes, où la connexion apparaît comme le gradient :

Ud ~=Bd ~~ e e ~

Par remplacement on obtient :

sa=B~ ba Y bd Bd ~

~ e e ~

Comme vu dans les fondamentaux, on peut alors réutiliser la double transformation centrale pour employer cette transformation appliquée à l'inverse de la métrique et exploiter ainsi la relation :

Y ae=B~ ba Y bd Bd ~

~ e

Finalement, la transformation d'espace apparaît comme une conséquence de la connexion entre potentiels et différences de potentiels d'une part, et du fait du bilan de charges entre nœuds et courants d'autre part. La relation nodale s'écrit alors très élégamment sous la forme :

sa=Y aee ~

Les sources étant définies et l'inverse de la métrique également, on résout les potentiels de nœuds par inversion avec :

e~=zea sa

Notez la cohérence dans les variations de position des indices lors de ces différentes opérations. En respectant les règles énoncées, dont l'échange lors de l'inversion, les expressions se retrouvent naturellement avec les bons objets et les bonnes organisations. Cette relation ne peut prendre toute sa consistance qu'au travers d'exemples concrets. C'est pourquoi l'étape suivante consiste à l'appliquer.

24

4.4 Exercices

4.4.1 Théories sur l'espace nodal

4.4.1.a Nature contravariante de l'espace nodalOn a écrit une relation entre des sources nodales et des potentiels de nœuds.

Cette relation fait intervenir un inverse d'une métrique. En partant du champ, justifier de la nature covariante du potentiel, puis de fait de la nature contravariante de son espace dual. En se raccrochant alors à la définition originelle de la métrique expliquer pourquoi Y en est l'inverse.

4.4.1.b Traduction du champ scalaire en fluxPour une masse m concentrée sur un nœud k on peut calculer le potentiel

scalaire P lié à cette masse. Sur quels critères peut-on construire une représentation heuristique du champ sous forme de flux associé à la métrique entre masse et potentiel? Pourquoi décider d'une représentation sous la forme de N flux ou d'un seul?

4.4.1.c Métrique abstraiteL'objet BYB qui transforme l'admittance Y dans l'espace des flux exprime de

fait cette admittance dans l'espace des nœuds. Cette métrique a-t-elle un sens? Et si oui lequel?

4.4.1.d Retrouver l'admittanceA partir de la relation nodale, justifier le caractère deux fois contravariant de

l'admittance.

4.4.1.e De la branche de Kirchhoff à l'équation nodale

En regardant la figure ci-dessous qui représente la branche de Kirchhoff. Exprimer, en généralisant, les relations entre potentiels, courant et impédance pour cette branche.

Que faut-il faire pour retrouver la relation nodale?

Quelle différence y a-t-il entre la source nodale sa et la source de courant ip?

25

4.4.2 Corrections

4.4.2.a Exercice 1

Partons de la densité de courant dont nous savons qu'étant un flux, elle est contravariante. L'équation de Maxwell relie densité de courant et champ par des admittances. Que ce soit pour la conduction ou le déplacement :

J x= xx E x J x=xx∂ Ex

∂ t. Les admittances ne peuvent être des matrices

puisque le produit champ – densité de courant doit redonner suivant l'équation de Poynting une densité de puissance. En faisant : E x~

xx E x= E2 qui confirme que la conductivité est deux fois contravariante et de fait, le champ une fois covariant (sous cette représentation), on en déduit que le potentiel qui est une intégration du champ est lui-même covariant. Le potentiel étant lié à son dual, le flux, par la métrique : V a ~=zaa ia par définition, on en déduit que la relation nodale fait appel à l'inverse de cette métrique : Y.

4.4.2.b Exercice 2Physiquement, la métrique qui relié le potentiel du champ à la masse du

nœud est une surface sphérique qui entoure le nœud de façon homogène. Le condensateur symbolique qui traduit ce champ est aussi sphérique vers un infini dont le potentiel est supposé nul. La représentation de l'énergie stockée sous cette forme peut être ramenée à un flux unique, cela n'a pas d'importance puisqu'il ne s'agit que d'une représentation symbolique. Seule l'égalité de l'énergie stockée est une contrainte (CV²).

Par contre, si l'on approche la charge portée par le nœud d'une charge image d'un conducteur proche, le condensateur évolue et la répartition spatiale des lignes de champ n'est plus divergente sur un angle solide de 4. Dans ce cas, le flux représente avant tout le lien électrostatique entre les deux nœuds qui représentent les conditions limites de ce champ sur les surfaces métalliques en regards. Si plusieurs surfaces sont approchées, N flux seront créés.

26

4.4.2.c Exercice 3L'admittance dans l'espace des nœuds donne la distance (son inverse) entre

la charge (masse) et le potentiel de nœud. Cette admittance doit donc être un opérateur qui redonne la relation entre charge et potentiel. Si l'on considère l'équation de Poisson : q=CV L'admittance C est ici définie dans l'espace des nœuds et correspond à l'admittance déduite de l'espace des flux.

4.4.2.d Exercice 4Dans la relation précédente, q=CV, nous avons vu que q est contravariante et

V covariant. C (Y) est donc forcément deux fois contravariante.

4.4.2.e Exercice 5

La relation de Kirchhoff généralisée s'écrit : −V p−Z pp ipe p=0 . Pour retrouver la relation nodale, il faut annuler ep. En inversant le sens choisi pour Vp

on retrouve alors la relation nodale sous sa forme covariante : V p=Zpp i p . L'équation nodale est donc une équation aux forces électromotrices nulles. La relation précédente est cependant définie dans l'espace des flux. Il faut donc transformer la source de courant ip en source de charge sa puis inverser Z et lui appliquer les transformations utilisant l'incidence.

4.5 Exercices d'électroniqueLa particularité de l'espace nodal est d'être déterministe à une jauge près.

Effectivement, les solutions obtenues sous sa forme contravariante sont des potentiels de nœuds. Les tensions de flux s'en déduisent en prenant le gradient de

ces potentiels : V a=∂∂n

=b Bab . De fait on peut obtenir le même gradient pour

une constante arbitraire près qui serait appliquée à tous les potentiels de nœuds. Ainsi V=1−2=1k −2k . Dans certains cas comme nous le verrons, ce décalage d'offset simplifie les problèmes. Cette relativité sur la jauge est logique puisqu'elle se vérifie en théorie des champs.

4.5.1 Réseau de jauge

4.5.1.a Exercice 1

Considérons le graphe donné ci-dessous. Établir la connexion d'incidence puis en déduire le système nodal. Changer alors de jauge pour résoudre directement l'inconnue.

27

4.5.1.b Exercice 2

Même question que l'exercice 1 avec un nouveau réseau.

4.5.2 Réseaux non symétrique

4.5.2.a Exercice 1

Résoudre le réseau suivant et vérifier l'absence d'équations proportionnelles dans le système d'équations obtenu.

28

4.5.3 Cordes nodales

4.5.3.a Exercice 1

On considère le réseau ci-après pourvu d'une interaction entre les nœuds 1 et 3. Si C31 est cette interaction; exprimer l'inverse de la métrique depuis le graphe et l'espace des branches puis transposer dans l'espace nodal et rajouter cette interaction. Que peut-on remarquer pour résoudre le système obtenu? Peut-on utiliser le concept de jauge par parties? Quelle condition supplémentaire peut-on rajouter pour résoudre le système?

4.5.4 Corrections

4.5.4.a Exercice 1, réseaux de jauge

B=[ 1 −1−1 1 ] Y=[0 0

0 a] . La source se déduit de sa=B~ ka Jk=[ 1

−1]J étant le vecteur des sources dans l'espace des branches. On obtient pour le système à résoudre :

{1=a1−a2

−1=−a1a2

. On peut choisir comme jauge k=2 et poser pour

tous les potentiels : j= j−2 . Le système se réduit alors à :

1=a 1−2 qui est directement la solution. Il suffit d'imposer 2=0 pour en déduire le potentiel du nœud 1.

4.5.4.b Exercice 2, réseaux de jaugePar la même méthode que l'exercice 1 on trouve :

29

B=[ 1 −1−1 1−1 1 ] Y=[0 0 0

0 a 00 0 b] s=[ 1

−1]En prenant comme jauge k=2 et en forçant 2=0 comme

précédemment on obtient :

s1=ab1 qui est solution du problème.

4.5.4.c Réseaux non symétriques : exercice 1On obtient pour l'incidence et Y :

B=[1 0 −1−1 0 1−1 0 1−1 1 00 −1 10 −1 1

] Y=diag [0 a b c d ] s=[ 10−1]

Avec ces objets on obtient le système d'équations suivant :

{1=ab 1−b2−a3

0=−b1bcd2− cd 3

−1=−a1−cd2acd3

Ce système ne fait pas apparaître de propriété de jauge. On le vérifie en calculant son déterminant qui n'est pas nul. On trouve ici une solution par inversion avec 3 potentiels de nœuds. Ceci dit le concept de jauge reste applicable, et l'on peut décaler les potentiels d'une valeur constante commune.

4.5.4.d Exercice sur réseau avec couplage nodalOn part de l'admittance des branches dont on déduit par l'incidence

combinée des deux réseaux l'admittance nodale (j'ai inversé le sens de la branche

4) : Y=[ a −a 0 0−a a 0 00 0 bd −bd0 0 −bd bd

] . A cette admittance on ajoute le

couplage nodal :

30

Yc=[ 0 0 0 00 0 0 0

C31 0 0 0

−C31 0 0 0] . Le vecteur des source est : [ 1

−100

] . En résolvant

l'équation nodale on trouve alors :

{1=a1−a2

−1=−a1a2

0=C 311bd3−bd 4

0=−C311−bd3bd4

. On dédouble les équations mais

l'ajout d'une jauge ne suffit pas. On force à zéro le potentiel 2=0 pour

résoudre 1 . Ce potentiel est alors une source pour le deuxième réseau pour

lequel on décale les potentiels de 4 que l'on peut aussi forcer à zéro pour

résoudre 3 . Notons que par ces truchement, la résolution du système ne pose plus de condition de causalité entre la résolution du premier potentiel et celle du second. L'interaction peut devenir instantanée et autorise l'emploi de toute jauge scalaire, y compris celle de Coulomb. Sans cette adaptation, il aurait fallu un temps d'interaction pour pouvoir résoudre le premier potentiel, puis le second.

4.6 Forme covariante de l'équation nodaleL'expression précédente de l'équation nodale est dite forme contravariante

puisque chaque membre de cette équation est contravariant. On peut par une autre approche trouver une expression covariante des termes de l'espace nodal.

Le point de départ de cette expression est l'équation de Millmann. Cette équation fait le bilan des courants pour une branche de Kirchhoff telle que représentée ci-dessous.

Pour cette branche qui est transposable pour de nombreuses physiques, on peut écrire cette relation :

V=∑

k

uk Y k∑k

ik

∑k

Y k

31

On transpose cette relation en la généralisant :

Y ab V b=Y abVsbIsa

Is et Vs étant les sources de courant et de fém de la branche. Or YabVb n'est rien d'autre que le courant total de branche (c'est d'ailleurs le principe d'élaboration du théorème de Millmann). Soit :

ia=Y ab VsbIsa

On peut multiplier les deux membres par l'incidence, puisqu'entre courant de branche et flux de nœud on a pour connexion cette incidence :

iq=B~ aq ia=B~ a

q Y ab VsbB~ aq Isa

Le flux de nœud est lui-même exprimable en fonction des potentiels de nœuds via l'admittance de nœud. On écrit :

yqmm~=B~ aq ia=B~ a

q Y ab VsbB~ aq Isa

On en déduit les potentiels de nœud par inversion de l'inverse de la métrique de nœud :

m~= yqm −1B~ a

q Y ab Vsb yqm −1B~ a

q Isa

C'est l'équation nodale sous sa forme covariante. L'intérêt de cette forme est qu'elle regroupe les sources de branches en flux et effort. Remarquons qu'en forçant les sources de fém de branche nulles on retrouve l'équation nodale contravariante.

Par contre elle comporte le même défaut que la forme contravariante, à savoir que l'inversion de l'admittance nodale est compliquée lorsque des couplages existent entre des branches. La difficulté provient de ce qu'il faut inverser l'admittance de nœud et non celle de branche. Ce dernier cas serait très simple! On retrouverait directement directement la métrique de l'espace des branches.

Remarquons enfin que l'on peut trouver des expressions de l'équation nodale covariante différentes de la précédente en signe, parce que les auteurs choisissent un sens de différence de potentiels opposé.

4.6.1 Détermination de l'incidenceLa matrice d'incidence est avant tout une connexion entre les potentiels de

nœuds et les différences de potentiels des branches. Partant de cette relation on écrit en respectant les décalages d'indices :

V n ~=Bn~~

On peut multiplier de part et d'autres par l'admittance de branche, utilisant les indices grecques pour l'espace des nœuds et les lettres latines minuscules pour l'espace des flux.

Y qn V n ~=Y qn Bn~~

Or le produit admittance – ddp est le flux de branche. On peut alors

32

multiplier chaque membre par l'inverse de l'incidence pour obtenir :

B~ q iq=B~ q

Y qn Bn~~

Le produit triple central est la transformation de l'admittance des branches en admittance nodale. On trouve donc :

B~ q iq=Y ~

Or le produit de l'admittance par le potentiel dans l'espace des nœuds est le flux nodal. D'où :

B~ q iq=i

Qui est la relation inverse de celle établie précédemment pour l'établissement de l'équation nodale covariante.

4.6.2 Expressions dans le domaine temporel

Le problème est de résoudre l'équation nodale en différences finies dans le domaine temporel. Notons mq l'inverse de l'admittance nodale. L'équation à résoudre est :

m~=mqB~aq Y abVsbmq B~ a

q Isa

La métrique est un opérateur dans le domaine du temps. Les composantes de zêta peuvent être des opérateurs de dérivation, intégration, convolution, etc. On précise ce caractère d'opérateur en écrivant :

m~=mq B~ aq Y ab Vsb mq B~ a

q IsaOn décompose l'opérateur suivant les différentes formes qu'il peut

emprunter :

mq=RmqCmq∂∂ t

Dmq∫t

dt Amq

Où A est un opérateur regroupant les opérateurs différents des trois premiers. R est l'opérateur constant, C les facteurs des dérivations temporelles et D l'opérateur d'intégration. En ajoutant l'indice de temps on crée un vecteur dans le temps pourvu d'une seule composante de l'espace-temps qui est le temps! En fait il est plus pratique de créer un vecteur d'ordre dont les composantes sont les multiples de l'intervalle de temps élémentaire dt, qui est aussi le pas de temps de calcul en numérique et commun à tout l'espace de travail. On écrit en utilisant nos notations pour l'admittance :

{RqmCqm ∂∂ t

Dqm∫t

dt Aqm}[ m~t ]=B~ a

q Y ab Vsb tB~ a

q Isa t

Or si t est un indice qui pointe une composante qui est un ordre dans le temps (ce qui revient à dire que t → xt=t.dt) on peut indiquer une composante particulière par la mise entre parenthèse de cet indice de façon à se référer à l'instant courant ou à d'autres instants relatifs de l'instant courant. Or :

33

∂ m~t

∂ t=m~

t −m~t−1

tou

m~t +−m~

t

t

En se rappelant que suivant notre convention, lorsqu'un indice est mis entre parenthèse, cela signifie qu'on lui alloue une valeur précise et qu'il perd sont rôle d'indice muet. Pour simplifier la suite des écritures on pose :

Sqt=B~ aq Y ab Vsb

tB~ a

q Isat Alors (on fait une intégration par la méthode des rectangles) :

Rqmm~ t+

Cqm

t {m ~ t+ −m~

t}t Dqm{m~t+∑

0

N

m~t}=Sqt +

En regroupant les termes on obtient :

{RqmCqm

t t Dqm}m~

t +=Sqt +Cqm

tm~

t− t Dqm ∑ t=0

N

m~t

Si d'autres types d'opérateurs interviendraient, on procèderait de même pour les rajouter dans cette dernière expression. On pose alors :

W qm={RqmC qm

t t Dqm} T qt=

C qm

tm ~

t−t Dqm∑t=0

N

m~ t

L'équation à résoudre s'écrit alors :

W qm m~t +=Sqt +T q0t

On inverse alors le tenseur admittance W pour trouver les potentiels de nœuds :

m~t +=[W qm ]−1 {Sqt +T q0t }

qui donne le vecteur solution du problème.

4.6.3 Domaine harmoniqueL'équation de départ peut être exprimée dans le domaine harmonique

directement, si les opérateurs sont limités aux dérivateurs, intégrateurs. On peut utiliser le formalisme de Laplace pour écrire :

{Rqm pCqmDqm

pAqm p }[ m~

]=Sq

La résolution est immédiate, où l'on peut toujours poser :

W qm p ={Rqm pCqmDqm

pAqm p }

L'inversion de W donne pour chaque composante de pulsation les valeurs des potentiels.

34

4.6.4 Domaine temporel avec processus harmonique

Dans la majorité des cas, on travaille en physique dans le domaine temporel, mais au sein duquel des processus harmonique engendre ou régissent les formes temporelles. C'est le cas de la mécanique quantique, des fonctions de transferts, etc. On a dans ce cas, un système de décomposition suivant une série de Fourier qui s'inclut dynamiquement dans une séquence temporelle. On détaille ici ce processus.

On part de l'idée que toute fonction peut se décomposer en somme de fonctions dont les supports sont tous identiques mais chaque fonction élémentaire n'existe que sur un portion réduite du support. On peut par exemple choisir de décomposer les fonctions en somme de gaussienne. On écrit la fonction de départ comme :

f t = f 1t f 2 t f 3 t f n t

Chaque fonction fn(t) est définie par :

f n t=Anexp −t−n2

2 Cette fonction a l'allure suivante :

Si on somme cette fonction avec un pas égal à sa largeur, suivant par exemple un coefficient fixe, on trouve le résultat donné figure suivante.

On peut également moduler l'amplitude en fonction du temps (pour chaque pas de temps d'échantillonnage de f(t)). L'objectif est alors de retrouver la fonction de départ par cette somme modulée. Le passage dans le domaine harmonique est alors immédiat. On peut écrire :

F [ f t]=F [∑n

f nt]=F [∑n

An exp− t−n2

2 ]=∑n

An F [exp −t−n2

2 ]A chaque pas d'échantillonnage n le spectre instantané est le spectre de la

gaussienne à l'instant d'échantillonnage déphasé de la valeur de retard n si est le pas d'échantillonnage. La courbe suivante montre un exemple de fonction obtenue

35

par sommation de gaussiennes retardées.

La fonction temporelle est reconstruite à chaque pas de temps par sommation du dernier spectre modifié par la fonction de transfert courante. Les processus qui restent en temporel appliquent les opérateurs aux sommes des fonctions élémentaires. A l'instant N on a :

f [0N]=∑n=0

N

An gn t

Les fonctions gn(t) étant définies par :

gnt =exp − t−n2

2 Les fonctions gn peuvent être développées en série de Fourier :

gn t =∑q

Gnqq=⟨G∣⟩n

et :

f [0N]=∑n=0

N

An ⟨G∣ ⟩n

Lors d'une interaction définie en harmonique, les coefficients G sont pondérés d'une fonction de transfert H. On a alors :

f [0N]=∑n=0

N

An ⟨G∣H∣ ⟩n

H pouvant dépendre de l'instant n ou de ses prédécesseurs on précise :

f [0N]=∑n=0

N

An ⟨G∣H n ,n−1,∣ ⟩n

On peut par ce procédé calculer des fonctions de transferts et les interactions liées dans le domaine harmonique, au sein d'un système résolu dans le domaine temporel.

36

4.6.5 Exercices

4.6.5.a Résolution suivant une méthode nodale covariante.

On considère le circuit représenté figure suivante. Calculer la fonction de transfert de ce circuit par la méthode nodale.

4.6.5.b CorrectionOn trouve facilement la matrice d'incidence. Remarquez que l'on peut

considérer la branche de la source de courant comme une branche ou l'exclure. Cela ne change rien au résultat. On lui associe une admittance nulle si on la considère, même si cela ne semble pas physique. On trouve avec cette hypothèse pour incidence et admittance :

B=[ 1 −11 −1−1 1 ] Y=[0 0 0

0 g 00 0 Cp]

Les vecteurs des sources sont aussi très simples :

es=[0 e 0 ] is=[ i0

00 ]

L'équation nodale covariante se traduit par les produits suivant :

[ gCp −g−Cp−g−Cp gCp ][1

2]=[ ge

− g e][ i0

−i0]

Comme précédemment, le système est surdimensionné et non solvable en l'état. On exploite alors la propriété de jauge pour forcer 2 à zéro. Le système se réduit alors à :

{ gCp1= g ei0

− gCp1=−g e−i0

Ce système reste surdimensionné, mais est facilement résolu en n retenant que la première équation. On trouve :

37

1=1

gCp{g ei0}

qui redonne bien l'équation de Millmann. Elle est obtenue après transformation de l'espace des branches vers l'espace nodal de l'admittance Y suivant :

Y nm=B~n Y B

~ m

4.6.6 Méthodologie nodale covarianteL'expression covariante couvre le plus de cas possible en physique et

redonne l'équation contravariante après simplification. On peut donc considérer que l'équation covariante est l'équation à résoudre. Mais on a vu que cette équation conduit à des systèmes surdimensionnés. La résolution de ces systèmes passe par l'emploi d'une technique d'inversion particulière appelée pseudo-inversion.

En partant de l'expression pour laquelle on veut inverser une matrice dégénérée, on multiplie des deux côtés par la même matrice transposée :

Y qnn=B~ pq i pB~ p

q Y pk ekY tq Y qnn=Y tq B~ pq ipY tq B~ p

q Y pk ek

soit : W tnn=Y tq B~ pq i pY tq B~ p

q Y pk ek

Finalement : n=Y tq

W tnB~ p

q i pY tq

W tnB~ p

q Y pk ek

Le terme Y tq

W tn est appelé pseudo-inverse de la matrice Y. La pseudo

inversion va lever l'indétermination de jauge et résout le problème de la dégénérescence du système à résoudre.

4.6.6.a Exercice 1 : reprise du schéma à deux branchesEn reprenant un schéma constitué de deux impédances et une source de

courant en parallèle, les trois étant en parallèle, exprimer l'admittance dans l'espace des nœuds après l'incidence, puis calculez le pseudo-inverse et résolvez le problème pour le cas où les deux impédances sont des résistances de 1k et la source de courant délivre 1mA, la source de tension donnant 1V.

4.6.6.b Réponse

Pour l'orientation la plus logique on trouve l'incidence suivante :

[ 1 −11 −1−1 1 ]

L'admittance est définie par (on considère la branche de la source de courant) :

38

Y=[0 0 00 y1 0

0 0 y2]

Les vecteurs sources : es=[0 e 0 ] is=[ io00 ]On calcule BYes et Bis puis BTYB (pour y1, y2 les deux admittances des deux

branches) :

B~ pq Y pk ek=[ y1 e

−y1 e] B~ qp iq=[ io

−io] B~a Y B

~ b=[ y1y2 −y1−y2

−y1−y2 y1y2]

Posons y1+y2=g, on a :

Y ab=[ g −g−g g ]Y da Y ab=W db=[ 2g 2 −2g 2

−2g 2 2g2 ]On en déduit le système d'équations :

{1=1

2gy1 e

1

2gio

2=−12g

y1 e−12g

io

On en déduit : 1−2=y1

e

g

io

g qui est la solution du problème.

4.6.6.c Exercice 2 : schéma à 4 branches

On reprend le circuit à 4 branches étudié précédemment donné ci-dessous. Pour ce circuit calculer la fonction de transfert de la tension aux bornes de l'admittance d en fonction du courant de source i1=io.

Pour cela, calculer les tenseurs admittance, l'incidence puis réaliser une pseudo-inversion pour en déduire le vecteur des potentiels.

39

4.6.6.d Correction On définit facilement :

B=[1 0 −1−1 0 1−1 1 00 −1 10 −1 1

] Y=[0 0 0 0 00 a 0 0 00 0 b 0 00 0 0 c 00 0 0 0 d

]Comme il n'y a pas de source de fém on trouve pour seul vecteur source :

B~mq im=[ io

0−io]

On veut résoudre l'équation : Y pqq ~=B~mp imY np Y pqq~=Y np B~m

p im

L'admittance dans l'espace nodal est : Y=[ab −b −a−b bbd −c−d−a −c−d acd]

On calcule : q~=Y np

Y np Y pqB~ m

p im avec B~ mp im=[ io

0−io] . Sous Maxima

par exemple on peut calculer facilement ce système pour trouver :

40

{1= ba

ba2b2a2 io− aaacd−b −c−d −aba

io

2=b

−b dcb −a−d− c−b baio

dc

−d− cd cb −d−cdcaabio

3=−a

−ad ca−b−d−c−abaio−

dca

d ca2−d−c 2a2io

Connaissant les trois potentiels on en déduit la tension aux bornes de d :

V dio

= 1io

2−3

4.6.7 Domaines composites

4.6.7.a DémarcheSi l'on considère un domaine ayant 1 dimension spatiale. Sur ce domaine on

peut pratiquer une réflectométrie pour explorer l'espace électriquement. Pour cela on se positionne en lieu et place d'un émetteur pour générer un échelon d'énergie – échelon de champ. Cette technique est régulièrement pratiquée sur les lignes pour détecter des imperfections sur la distance. Si l'on dérive la réponse à l'échelon, on obtient la réponse impulsionnelle du domaine à laquelle on peut appliquer toute excitation harmonique par convolution. Si l'on calcule la transformée de Fourier de la réponse à l'impulsion on obtient la fonction de transfert du domaine à laquelle on peut appliquer toute amplitude d'excitation harmonique. Partant du même principe, on considère que l'on a déterminé par une excitation ad æquat la réponse à l'impulsion de Dirac d'un domaine a 2 dimensions : p(x,y). Une fois déterminée cette réponse on en calcule la transformée de Fourier en 2 dimensions pour lui appliquer des amplitudes d'excitations harmoniques modales Emn. La seule difficulté est que dans un volume fermé, cette réponse à l'impulsion comporte trois plans de polarisation d'ondes guidées. Il faut projeter dans chaque direction de guidage le champ d'excitation 3D pour obtenir la réponse dans les trois directions modales possibles : (m,n), (m,p), (n,p).

4.6.7.b Transformée de dimension 1Revenons sur la série de Fourier. Le domaine de calcul étant périodique de

période T, on calcule toujours des séries de Fourier. Pour un vecteur de valeurs

dans le domaine temporel : pt , on crée une base modale k~ t=e−i 2k

t

T .

Les coefficients de Fourier sont donnée par :

Ak=1

Tk~ t pt

La sommation s'effectue sur le temps. Chaque composante du coefficient de Fourier est obtenu après contraction sur le temps. Cette expression peut être écrite différemment en usant des braket. Il faut faire attention et se rappeler que les

41

braket conjuguent les vecteurs contravariants. On écrit :

∣A ⟩= 1

T∣ ⟩~t p t

Les braket portent sur le domaine harmonique. Les parenthèses sur le terme du ket indiquent que c'est sur cet objet que s'applique l'indice temporel. Une fois les coefficients de Fourier calculés, on peut recomposer le signal temporel. Le signal est retrouvé en calculant :

pt=ℜ { A~ k g tt*kt }g étant la métrique de l'espace pour la composante temporelle. En braket

cette relation s'écrit :

pt= g tt ⟨ A∣* ⟩ t

L'annexe I donne le script d'un programme SCILAB qui calcule la série de Fourier d'une fonction porte et sa recomposition.

4.6.7.c Transformée de dimension 2La série de Fourier de dimension spatiale va nous permettre ensuite de

projeter des champs sur des bases modales en deux dimensions, suivant une polarisation donnée. Le principe est le même, étendu à deux dimensions. On se donne une fonction de deux paramètres p(x,y) et une périodicité double : X, Y. On calcule alors les coefficients à deux dimensions :

A=1

XY~ x pxy~ y~

La notation braket est ici peu intéressante et compliquée pour des tenseurs. Les bases modales sont :

~ x=e−i2

x

X ~y~=e−i2

y

Y

On trouve comme précédemment la transformation inverse par :

pxy=ℜ {* ~x A *~~ y}L'annexe II donne le script d'un programme SCILAB qui, comme

précédemment, calcule la transformée inverse d'une porte cubique et sa recomposition.

Si l'on veut calculer un champ polarisé dans un plan qui n'est pas parallèle à l'un des murs d'un volume confiné, on décompose le champ suivant les axes de stationnarités du volume. A ce moment là on projette chaque composante du vecteur de champ source sur les plans de stationnarité du volume pour calculer le champ total stationnaire ou propageant en tout point du volume. Considérons la figure suivante :

42

L'antenne disposée dans un coin du volume émet le champ oblique montré en rouge sur la figure. On peut décomposer ce champ en deux composantes a et b perpendiculaires aux plans d'ondes stationnaires du volume. Déterminant les modes dans chaque direction on obtient en appliquant le théorème de superposition le champ total stationnaire. Les trois plans possibles pour un volume cubiques sont (x,y), (x,z) et (y,z). Pour chacun de ces plans on définit une fonction potentiel pxy pxz p yz . De ces trois fonctions on déduit trois groupes de coefficients de Fourier que nous nommerons A, B et C, le groupe A étant rattaché au plan (x,y), le groupe B au plan (x,z) et le groupe C au plan (y,z) :

A , B , C . Dans l'expression : pxy=ℜ {*~x A*~~ y} , on réalise une connexion par l'intermédiaire des fonctions de bases modales qui finalement transforment les composantes harmoniques en répartition spatiale du champ. La répartition pour un mode est donnée par :

E 0 ,0xy=ℜ {*~x A

00*~~ y}Le champ composite appartenant aux modes en (x,y) étant implicitement

orienté suivant z. Soit :

E z x , y=E0, 0xy

uz

La difficulté est bien que le champ composite total (projeté sur les trois plans d'ondes) ne s'accroche pas à une période unique mais à une multiplicité de périodes. C'est cette multiplicité qui rend difficile l'interprétation du champ composite dans le volume, d'autant que des modes peuvent être dégénérés. Ce champ est abstrait. Par ailleurs, on remarque que, par définition de l'onde stationnaire, le temps n'intervient pas dans les expressions de ce champ comme il n'intervient pas dans celles du champ réel. Partant du champ composite, on retrouve le spectre réel par contraction du spectre composite par le vecteur des fréquences autorisées par l'équation de Helmholtz appliquée au domaine. Ainsi, pour des composantes m, n, p des coefficients dans les trois plans d'ondes, on trouve :

43

E= c

2 m

X2

n

Y2

p

Z

2 {E yz uxE xz uyExyuz}

Comme il n'y a pas forcément concordance entre l'échantillonnage choisi pour le domaine du potentiel et les valeurs discrètes données par les dimensions, on doit travailler par intersection des bandes passantes pour reconstruire le champ composite et les fréquences discrètes déduites de l'équation de Helmholtz. Le coefficient est un coefficient de normalisation.

La détermination de la base des modes propres peut être plus compliquée. Mais une technique dans ce cas consiste à étudier la réponse de Dirac (fonction de Green) en potentiel sphérique de la structure vue d'un point d'excitation, pour ensuite par déconvolution en déduire les modes propres par analyse des distances temporelles entre les impulsions. Quelle peut être alors pour un mode propre l'intensité du champ dans le volume? L'amplitude est proportionnelle à la norme du vecteur :

I f m ,n , p= Amn2 Amp2Anp2

I est le spectre de réponse du volume.

Une fois le spectre propre déterminé, on peut faire coupler la structure avec un autre réseau en s'appuyant sur la théorie des réseaux couplés et des fonctions de couplage liées aux coefficients de qualité.

Dans le cas des champs où l'on recherche un potentiel, comme le potentiel est une intégrale première du champ, on exploite directement la réponse à l'échelon – comme il est fait en mécanique quantique pour l'étude du puits de potentiel par exemple.

4.6.7.d Couplage par les coefficients de qualité

Un couplage entre deux milieux se définit comme le rapport des énergies consommées à l'extérieur et à l'intérieur de chaque milieu. Rappelons les relations entre les expressions des puissances et les potentiels. D'une manière générale si A et sont deux potentiels, la puissance active Q est donnée par :

Q=14

{A*A* }

Alors que la puissance réactive est donnée par :

=14j

{A*−A* }

On trouve alors facilement que :

∣u∣2=2Z *W +=2 ZW -

Avec :

44

W+=Q j W -=Q− j

Mais surtout et inversement si l'on peut mesurer le potentiel et connaître par ailleurs les puissances moyennes, on en déduit la métrique :

a=∣u∣2

4 { 1

W - 1

W + } b=∣u∣2

4 { 1

W -− 1

W + }La métrique une fois déduite, les potentiels s'en déduisent.

L'énergie totale du système considéré, incluant l'énergie externe et interne au système est conservée. L'hamiltonien doit être égal à une constante. Ses dérivées sont donc nulles. Soit si W1 et W2 sont les deux énergies de deux milieux couplés plus l'énergie source S :

∂w1

∂ t∂w2

∂t∂S

∂ t=0

Si de plus, du fait du couplage les énergies des deux milieux sont liées on peut écrire par exemple : w2=w1 , d'où :

1∂w1

∂tw1

∂∂t

S=0

L'intégration de cette équation pour un type de couplage donné donne le débit d'énergie du premier milieu dont on déduit ensuite celui du second.

Généralisons en détaillant le résultat précédent. Supposons deux circuits couplés, dont un est résonant. Ce peut être le volume précédent, sélectionné à l'une de ses fréquences propres. Le schéma équivalent au montage est donné figure ci-dessous. On peut calculer le métrique de ce couplage dans l'espace modal que nous abordons ultérieurement. En inversant cette métrique pour déterminer les courants des deux réseaux on trouve :

i2=gpV 1

RLp R2L2p1

Cp −gp2

On met les résistances en facteur pour obtenir :

i2=gpV 1

R R21 Lp

R 1L2 p

R2

1

R2 C p −gp2

Les termes de coefficients de qualité apparaissent que nous nommons Q 1

pour le premier réseau et Q2 pour le second.

45

i2=gpV1

R R2 1 jQ1 12jQ2− gp2

g est le coefficient de couplage entre les inductances. On déduit de cette relation une admittance de couplage exprimée par :

i2

V 1

=Y 21=gp

R R2 1 jQ1 12jQ2−gp2

On voit que ce couplage fait intervenir les coefficients de qualité des deux réseaux. Ce constat est généralisable. Connaissant les coefficients de qualité des réseaux séparés, on peut en déduire l'admittance (ou l'impédance) de couplage entre les deux réseaux.

4.6.7.e Problème avec interaction rayonnée

On imagine deux réseaux très simples constitués chacun de deux branches. A chaque réseau on peut associée un rayonnement accroché à une seule branche (nous verrons plus tard d'autres espaces plus adaptés pour le rayonnement). La fonction de transfert entre deux branches – la branche 2 émettrice et la branche 3 réceptrice, est donnée par :

A3=i2 dx

4R23

e−ikR23u2

On peut alors en déduire le champ magnétique au proche de la branche 3 :

B3=∂ A3

∂R23

=−i2u2

dx

4 { 1

R232

e−ikR

23ik1

R23

e−ikR

23}={ Pi M }i2u2

La force électromotrice s'en déduit :

e3=−i S3~ 3⋅B3

Le couplage, exprimé en fréquences, est donné par e3

i2=−iS3

~ 3 P32i M 32 =−i Q32 .

46

On va résoudre un problème où le premier réseau est alimenté par un générateur dans le domaine temporel. On décomposera la forme d'onde en série de gaussiennes. Puis pour chaque pas de temps, une série de Fourier permettra de calculer l'interaction en fréquence. La transformation inverse déterminera le générateur qui alimente le deuxième réseau.

4.6.7.f Expressions théoriques

La première branche est pourvue d'une résistance R1 et d'un générateur définit par une fonction du temps : e(t). Prenons :

e t =1−e−t

a e−t

b

Sous SCILAB on peut créer facilement un tel générateur. L'instruction suivante trace une forme d'onde cohérente avec cette expression :

plot2d([0:100],(1-exp(-[0:100]/50)).*exp(-[0:100]/10));

La fonction est ici définie pour un pas de temps normalisé. Pour un pas de temps dt on écrira :

plot2d([0:100],(1-exp(-[0:100]*dt/(50*dt))).*exp(-[0:100]*dt/(10*dt)));

Inséré dans un script on obtient le détail suivant :

clear;clf(0);//création de la forme d'onde sourcedt=1E-6;t=[0:100]; //on va de 0 à 100 use=(1-exp(-t*dt/(50*dt))).*exp(-t*dt/(10*dt)); //e est une double exponentielles=e/max(e); // on normalise escf(0);plot2d(t,s);xgrid(9);xtitle('forme onde source','s','V');

L'étape suivante consiste à développer e(t) sur la base des gn(t). Dans ce cas on construit la fonction cible à partir de la somme des fonctions de base gaussiennes. Le programme suivant réalise cette opération. Notons que l'expression est indépendante du pas de temps.

clear;clf();g=zeros(100,100);for tau=[10:100] for t=[1:100] g(tau,t)=(1-exp(-t/20))*exp(-t/10)*exp(-(t-tau)^2/5); end,end,

for k=[1:100]subplot(1,2,1);plot2d([1:length(g(k,:))],g(k,:));end,

u=sum(g,'r');w=u/max(u);xgrid(9);xtitle('g(5)','s','V');subplot(1,2,2);plot2d([1:length(u)],w);

Le programme trace le cumul des fonctions de base et la fonction somme, montrées ci-dessous.

47

La fonction g est ici une matrice dont chaque ligne est un instant dans le domaine temporel et pour chaque ligne le développement dans la gaussienne courante de la fonction est le vecteur d'indice colonne. On définit ainsi :

g , t = f t e−t−2

2

=g t

La fonction global s'obtient par contraction :

ut =∑

g t

Les opérations temporelles s'effectuent sur u(t) et des fonctions de transfert en fréquences opèrent sur g(t,x).

L'admittance (nous appellerons dorénavant admittance l'inverse de la métrique) pour les 4 termes propres vectoriels (des branches) est définie avant tout à partir de la métrique. Pour simplifier le problème du sur-dimensionnement on peut choisir pour chaque réseau un nœud de référence. La matrice de connexion regroupant les deux connexions des deux réseaux découplés est alors donnée par :

℘=[1 −1 0 00 0 1 −1 ]

La métrique dans l'espace des branches est donnée par :

Z=[Ro 0 0 00 L1 p 0 0

0 − pQ32 L2 p1/C2 p 0

0 0 0 R2]

Il nous faut inverser Z pour ensuite transformer l'admittance dans l'espace nodal puis exprimer le système d'équations considéré en différence finie en faisant apparaître la partie harmonique. La première tâche peut être exécutée sous

48

Maxima. La figure ci-dessous en montre la programmation et les résultats. L'admittance nodale traduite ne opérateur temporel a la structure suivante :

y=[1

R1

1

L1∫

t

dt 0

ℒ−1 { −pQ32

L1pL2p1

C2 p . } 1

R2

1

L2

Cos t

L2C 2]

Notons que nous avons laissé l'une des expressions comme fonction inverse de Laplace, car c'est cette interaction que nous voulons traiter dans le domaine harmonique et non dans le domaine temporel. On déduit de cette admittance le système d'équation à résoudre :

{s1=1

R1

1 t 1

L1∫

t

dt1 t

0=ℒ−1 1 t [1R2

1

L2

Cos tL2C 2]2t

49

On veut résoudre ce système en différences finies en utilisant nos fonctions développées sur deux dimensions en série de Gaussienne. De fait, tout les vecteurs doivent être étendus à deux dimensions. En posant :

=1

1

R1

L1

=1R2

1L2

Cos t

L2 C2

On trouve, étant le pas de temps ordinaire (on appellera pas de temps gaussien le pas de temps de chaque gaussienne du développement en somme de gaussienne) en plaçant tous les indices de temps ordinaire et gaussien après les parenthèses :

{1T~ t= { gT

~ t−L1

∑k=1

t−1

1T~ k}

ℒ−1[ − jQ32

jL1 jL21jC2 1T

~t ]=2 T~ t

50

L'objet surmonté d'un tilde est la transformée de Fourier de la fonction sous-jacente. En calculant la transformée inverse on autorise ici le calcul en régime harmonique de l'interaction de rayonnement au sein d'un noyau temporel. En réutilisant les techniques que nous avons détaillé précédemment, on écrit la transformation de Fourier de départ sous la forme :

1T~t= Ak~ t=

1

Pk~ T 1T ~

~ t

P est la période du domaine temporel sous-jacent. La transformée inverse est :

p' T~t=ℜ {A~ k~ t*kT }

ℜ est l'opérateur partie réelle. On peut alors réécrire le système précédent sous la forme :

{1T~ t= { gT

~ t−L1∑k=1

t−1

1T~ k}

ℜ [ 1P

~ k ~T 1 T ~

~ t*kT ]=2T

~ t

avec : =− jQ32

jL1 jL21

jC2 La résolution de ce système répond au problème. En ré-exploitant les

briques qui ont été données précédemment, son implémentation numérique ne doit pas poser de difficulté.

51

5 Espace nodal et dynamique générale

La dynamique du point gère l'évolution des coordonnées des nœuds. De ces coordonnées, on déduit ensuite les déformations des solides et le mouvement des solides dans l'espace global. De fait, la dynamique des milieux se place dans l'espace nodal tout au moins pour les opérations de translation. Nous verrons au départ comment se décompose le mouvement en général et comment il se projette sur les espaces de descriptions et leurs variétés.

5.1 Dynamique du pointOn définit un vecteur des coordonnées, x. Lorsqu'un point subit une force

dans la direction de sa vitesse d'origine, la loi de Newton (reformulée) s'écrit au début du mouvement, pour une force dirigée suivant l'axe x avec une vitesse initiale vi :

x f=xivi1

2a2

Les points où l'objet en mouvement est repéré sont les coordonnées des nœuds. A ce mouvement de translation s'ajoute un mouvement de rotation :

f=ii1

22

Dans les deux cas, est l'intervalle de temps. Le réseau se construit avec le déplacement du mobile. Mais on peut le voir autrement, le mobile suit un réseau préexistant et défini par les forces extérieures appliquées. Reprenons la première équation en considérant les instants successifs entre parenthèse :

x 1=x 002

valant a/2. L'instant suivant on a :

x 2=x 1v11 2=x 002x 1−x 0

12

Soit :

x 2=x 10212

Continuons à l'instant suivant :

x 3=x 2v2 22=x 2 ∑0

2

k2

Finalement à l'instant n on trouve :

52

x n=∑0

n

k2

Par un raisonnement similaire on trouve :

n=∑0

n

k2

Où =/2.

On voit que, sous ces nouvelles expressions, les termes de droite définissent les incréments de distance et d'angle à chaque instant, soit indirectement les géodésiques de la trajectoire. Déterminons d'abord ces termes. Dans le cas de la translation nous avons la première loi de Newton :

mdv

dt=F ⇒ 1

2a dt= 1

2

F

mdt= 1

2mm dv = 1

2mdp

D'où pour le mouvement de translation :

x n=1

2m∑0

n

pk tk

L'incrément d'impulsion à chaque lieu de la trajectoire détermine cette trajectoire. La relation précédente peut s'écrire :

{ x0= p0

2m t00 t10 t2

x1=0 t 0 p1

2m t10 t20 t3

x2=0 t00 t1 p2

2m t2

Ce système d'équation se reproduit dans les trois directions de l'espace. En sommant sur les trois directions on obtient le déplacement en translation pour une impulsion également définie dans les trois axes :

uk= ykm tm

En reproduisant la même démarche pour le déplacement angulaire on trouve :

=z t

Comme entre la distance angulaire et la distance tangente on a pour métrique le rayon de courbure, cette dernière est covariante quand la distance est contravariante.

La métrique z est définie à partir du moment angulaire : Li

2I

On rappelle que le moment d'inertie I est le moment résultant des toutes les

53

masses constituants le corps mobile : I=∑i

mir i2

. Le moment cinétique étant

donné par le produit de la vitesse angulaire par le moment cinétique.

Dans le cas d'une étude limitée à l'espace nodal nous ne nous intéresserons qu'aux mouvements de translations : soit uk= ykm tm . Il nous faut reformuler un peu cette relation. La distance parcourue est la distance de Pythagore donnée par :

uk= xk 2 yk 2 zk 2= ykm2 zkm2vkm2 tm

On peut définir une métrique qui résulte de la moyenne quadratique des métriques dans les trois directions de l'espace (posons y affilié à x, z à y et v à z). Alors, si :

km= ykm2 zkm 2vkm2

On retrouve :

uk=km tm

Comme la métrique contient toutes les impulsions sources intervenant à chaque instant, c'est bien elle qui détermine la trajectoire. Contrairement aux problèmes modaux de Kirchhoff la résolution est ici directe. On connait le temps propre tm. On calcule directement les trajectoires uk. La métrique s'exprime en fonction de l'impulsion :

k∈[ , ] , m=1

2m pk∈[] ,m~ g pk∈[] ,m

Les indices k se réfèrent à un segment dans l'espace total dans une direction x, y ou z donnée. Les directions et font références aux directions en générale, sans préciser un lieu, un segment particulier (il faut se rappeler que k est le numéro de l'incrément suivant un direction dans le système d'équations reliant l'espace et le temps alors que et se rattachent à la direction en général. Dans le cas d'une métrique Euclidienne, ces directions sont identiques dans tout l'espace. Si la métrique est riemanienne, elles vont dépendre à ce moment là de l'indice k. Il en va de même de l'indice t pointé par l'indice m.). L'impulsion, si elle provient d'un champ peut résulter d'une transformation complexe. On peut écrire :

p ki= pf− pi=m v f−vi =m∫i

f

dtt =∫i

f

dt F t

La transformation de la force est celle d'une double dérivation. Considérons la force comme une double dérivation de l'espace. Si nous trouvons comment cet espace se transforme nous pourrons appliquer la même transformation à la force. On part d'une transformation des coordonnées généralisées qk :

qk=~uk xu

En appliquant une première dérivation on trouve :

54

dqk

dt=

d

dt~ u

k xu = d~ uk

dtxu~ u

k dxu

dt

La transformation de coordonnées peut être décrite suivant :

ddt

~ uk =

∂2 xk

∂ t ∂xu=~ u ,t

k

On trouve alors pour l'expression précédente :

dx k

dt=~ u ,t

k xu~ uk dxu

dt

Alors par voie de conséquence :

d2 xk

dt2=

ddt

~u ,tk xu~ u , t

k dxu

dt~ u ,t

k dxu

dt~ u

k d2 xu

dt2

On admet qu'une force se transforme suivant le même schéma :

Fkm=d2 jkm

dt2={ d

dt~ u ,t

k f um~ u ,tk df um

dt~ u , t

k df um

dt f km}

La force suit d'une manière générale les transformations du champ lors d'un changement de référentiel. La détermination de la métrique incluant les forces transformées donne le lien entre les distances et les instants. Dans le cas où des éléments non diagonaux existent dans cette métrique, cela signifie qu'un produit de convolution agit dans l'expression du calcul des distances. L'effet est dans ce cas non linéaire.

5.2 Paramètres S

Dans l'espace nodal, l'expression des échanges d'ondes sous forme de paramètres S généralisés est très simple. En chaque nœud on peut relier les ondes entrantes et sortantes :

W O=S W I

Où W(I) sont les ondes entrantes et W(O) les ondes sortantes. S est l'ensemble des paramètres entre ces ondes. Par ailleurs les ondes entrantes sont égales aux sources additionnées des ondes réfléchies par les nœuds précédents. Soit :

W I =W sW O

A partir de ces deux équations on trouve :

55

W O=S {W s W O }⇒W O [1−S ]=SW s

En inversant la matrice 1-S on obtient les ondes sortantes qui sont les inconnues. On remarquera que cette expression est entièrement exprimée par des matrices. La méthode dite « BLT » pour Baum Liu Tesh qui ont écrit cette équation, est une méthode scalaire qui ne nécessite aucun des mécanismes de l'algèbre tensoriel. Ceci vient du fait que l'on ne crée pas de lien ici entre des nœuds, des branches ou d'autres variétés. Les nœuds n'apparaissent ici que dans la recherche du bilan des ondes, et comme les quantités qui apparaissent de chaque côté de l'égalité sont homomorphes, aucune métrique n'est utilisé ici.

5.3 ThermiqueEntre la variation de température t et la puissance électrique engendrée par

effet Joule P nous avons une relation nodale simple :

Pk=Y kmm~ q tq

Cette équation suit exactement le modèle nodal que nous avons vu précédemment. L'admittance comprend des opérateurs réels et dérivateurs. Cette équation est nodale parce que la température est un scalaire et doit donc s'exprimer au niveau des nœuds. La puissance elle, est à l'origine vectorielle. Cette équation résulte donc d'une transformation. La transformation la plus simple est opérée au niveau du scalaire dont on prend le différentiel par la matrice d'incidence . On relie ainsi les paires de nœuds en température à la puissance électrique dégagée.

5.4 Traitement du bruitLe traitement du bruit est un aspect intéressant des calculs de circuits. La

physique du bruit est générale et s'applique à tous les signaux de nature aléatoire.

5.4.1 Définition d'un signal bruyantConsidérons un signal s(t)3. On peut calculer la puissance moyenne dans un

intervalle 2T autour de l'instant t suivant :

⟨ P ⟩= 1

2T ∫t−T

tT

dti∣sti ∣2

Si en augmentant la taille de l'intervalle 2T, la puissance moyenne tend vers une limite stable indépendante de l'instant ti, alors le signal s(t) est dit stationnaire. La puissance moyenne d'un tel signal stationnaire est définie par :

3 Je reprends ici la démarche présentée dans l'article de Peter Russer paru dans les revues de l'URSI, 1993-1996, page 361.

56

⟨ P ⟩=limT ∞ { 1

2T∫t−T

tT

dt i∣sti ∣2}

De cette définition on peut déduire celle de la fonction de corrélation :

c ij=limT∞ { 1

2T∫t−T

tT

dt si t s j* t−}

L'exposant en étoile indiquant une conjugaison. On peut ici utiliser judicieusement les notations en braket. Le bra est un vecteur covariant conjugué, le ket étant un vecteur contravariant direct. Ainsi la relation précédente peut-elle être écrite :

c ij=limT∞

{ 12T

⟨s∣s⟩ij }Un expression similaire peut être obtenue en prenant les développements en

série de Fourier des signaux impliqués.

Cij = limT∞

{ 12T

⟨ S∣ S ⟩ ij }Les tildes indiquant les transformées de Fourier des vecteurs temporels

sous-jacents. La matrice Cij ou cij est la matrice de corrélation incluant les coefficients d'auto-corrélation et d'inter-corrélation.

5.4.2 Définition d'un multiport bruyant

On considère un multipôle pourvu de n ports d'accès. On note a les ondes incidentes et b les ondes réfléchies. On relie les ondes aux potentiels par les deux relations canoniques :

{i~= gij a jb j ki=h~ j

i a j−b j Sous cette forme, le potentiel d'effort est dual des ondes alors que le potentiel

de flux est de même nature que ces ondes. Ceci est tout à fait logique dans la mesure ou sous la forme d'ondes guidées, les courants par exemple sont dans la même direction vectorielle que les ondes, alors que le potentiel leur est transverse. En admettant que la matrice h admet un inverse on peut calculer le rapport des potentiels :

i ~

ki=

gij

h~ ji

a jb j

a j−b j =zii

a jb j

a j−b j

Si y et t sont respectivement les métrique et matrice inverses de g et h on peut écrire :

57

{y jii ~=a jb j

t~ ij ki=a j−b j

D'où l'on déduit immédiatement :

a j=1

2 y jii ~t~ i

j ki b j=1

2 y jii ~−t~ i

j ki Les deux systèmes d'équations précédents permettent de passer

alternativement des ondes aux potentiels et réciproquement.

5.4.3 Expression de la matrice de corrélation

Comme précédemment on peut relier les ondes sortantes aux ondes entrantes :

b j=S~ jj a j

Les ondes entrantes sont égales aux ondes sortantes réfléchies additionnées des sources de bruit n :

a j=~ jj b jn j

On déduit de ces deux équations :

b j [1−~ jj S~ j

j ]=S~ jj n j

On passe alors en notation braket pour ensuite faire apparaître plus facilement la corrélation par produit des ket par les bra :

∣b ⟩ j [1−~ jj S~ j

j ]=S~ jj ∣n ⟩ j

On peut alors multiplier par les bra :

⟨n∣b⟩ jk [1−~ jj S~ j

j ]= ⟨n∣S~ jj ∣n⟩ jk

On peut diviser par les matrices S et , puis par le domaine temporel et tendre vers l'infini pour obtenir :

limT ∞

12T { ⟨n∣b ⟩ jk }= lim

T∞

12T

⟨n∣S~ jj ∣n⟩ jk

[1−~ jj S~ j

j ]Le terme de gauche est la définition de la matrice de corrélation. Nous

trouvons ainsi sa définition généralisée sous la forme :

ckj=limT ∞

12T

⟨n∣S~ jj ∣n ⟩ jk

[1−~ jj S~ j

j ]

58

6 L'espace vectorielL'espace vectoriel est l'espace d'où partent toutes les définitions et c'est

l'espace qui contient les inconnues exploitables. Une des physiques étudiées dans l'espace vectoriel, mis à part la mécanique classique, est la physique des phénomènes ondulatoires. Nous allons de fait étudier les propagations guidées qui sont une base essentielle pour la résolution de toutes les interactions entre réseaux passant par des structures de guidage d'ondes. Pour ce chapitre nous numériserons les équations.

6.1 Étude des lignes en régime harmonique

Figure 1 : Schéma de la ligne considérée

On se pose le problème de la répartition des ondes dans une ligne dont les conditions limites sont désadaptées. Le début de toute réflexion démarre par l'écriture des tensions et courants en un point z quelconque de la propagation. Supposons la ligne de longueur L et de nombre d'onde k. On a :

V z=V + e−ikzV - e ikz et l'on pose z=z−L

On en déduit :

V z=V + e−ikzV - e−ik 2L−z 1

L'onde de courant s'en déduit, la relation entre les ondes incidentes ou réfléchies et le courant étant par définition, l'impédance caractéristique de la ligne Zc.

59

i z=V +

Zce−ikz−

V -

Zce−ik2L−z 2

L'onde réfléchie V- est déterminée par la condition limite en L. Le coefficient de réflexion harmonique définit le rapport entre V+ et V-. On peut le définir en L et en z :

L=ZL−ZcZLZc

z=V - zV + z

=V - e−ik 2L−z

V + e−ikz=

V -

V +e−i2k L−z 3

ZL est la charge de la ligne au point z=L. On peut alors exprimer V+ et i+ en utilisant cette propriété de condition limite :

{V z=V + e−ikz [1L e−i2kL−z ]i z=

V +

Zce−ikz [1− L e−i2kL− z] 4

On trouve immédiatement l'impédance présentée à l'abscisse z :

ZR z=V zi z

=V +e−ikz [1L e−i2kL−z ]V +

Zce−ikz [1−L e−i2kL−z ]

=Zc[1 L e−i2k L−z][1− L e−i2k L−z] 5

On peut calculer l'impédance ramenée en z=0 et l'onde de tension en z=0 de laquelle on déduit l'onde incidente. On peut ensuite calculer l'impédance ramenée du côté charge, sur l'argument de symétrisation du modèle, puis en déduire l'expression du générateur reporté côté charge.

{V 0=V + [1 Le−i2kL ]⇒V +=V 0

[1 L e−i2kL ]

ZR0=Zc{1L e−i2kL

1−L e−i2kL }6

En remplaçant (L) par son expression (3) dans la dernière équation, on

60

retrouve facilement l'écriture classique de l'impédance ramenée en entrée de ligne :

ZR0=ZcZLiZc.tg kLZciZL.tg kL

7

La ligne est complètement décrite par un système de deux réseaux couplés de chacun une maille si l'on sait définir le générateur reporté sur l'extrémité opposée au générateur source. Si l'on place une source côté charge, on va calculer du même côté une impédance ramenée en inversant l'axe de propagation. Le générateur que l'on recherche doit donc débiter au travers de cette impédance. On peut calculer le courant transmis en z=L :

i L=1− L V +

Zce−ikL=

1− L1Le−i2kL

e−ikL

Zc8

Si Z'R est l'impédance ramenée vue du côté charge, le générateur reporté doit être tel que le courant soit donné par :

i L=eL

Z 'RZL ⇒eL= Z 'RZL iL 9

Cette dernière équation définit complètement le modèle harmonique de ligne homogène sans pertes. Le modèle avec pertes est strictement similaire en remplaçant la dispersion k par la transmission complexe =+ik et le terme itg() de l'impédance ramenée par une tangente hyperbolique.

6.2 Relation de dispersion dans les guidesAvant d'attaquer la propagation dans les guides, il est nécessaire de

redétailler la détermination des relations de dispersions pour les ondes guidées. Considérons un guide rectangulaire. On détermine un mode de propagation premier TE01 (par exemple), dans un guide rectangulaire de hauteur x, largeur y et axe de propagation z. Ce mode s'exprime par :

E x y , z ,t =E0x Sin y

a ei0t−k

zzux 10

61

Partant des deux équations de Maxwell dans l'espace libre :

∇∧E=−iB ∇∧B=1

c2iE 11

On peut appliquer l'opérateur nabla vectoriel des deux côtés de la première équation, puis remplacer par l'expression de nabla vectoriel B de la deuxième équation pour obtenir :

{∇∧∇ E=2

c2E

∇∧∇∧V=∇∇⋅V−∇2 V et ∇⋅E=0

⇒∇2 E2

c2E=0 12

En remplaçant par l'expression du champ électrique E donné en 10, on trouve :

2

c2−kz

2−a 2

=0 13

Cette relation est la relation de dispersion qui définit complètement le coefficient de propagation kz. On opèrera suivant la même approche pour tous les modes :

1. extraction depuis les équations de Maxwell de l'équation de Helmotz

2. remplacement par l'expression modale du champ

3. résolution de l'équation de dispersion

6.3 Champ électrique total dans un guide interrompuOn considère un guide de hauteur x, largeur y et axe de propagation z. Au

sein de ce guide, au point z=a on place une interruption. Ce peut être un iris, un diaphragme, ou tout objet qui interrompt l'homogénéïté de la propagation. En un point z situé avant cette discontinuité on peut écrire la somme des ondes incidentes et réfléchies, en prenant la même démarche que pour la ligne :

62

E=∑n

an {e−ikzn z n e−ik

zn2a−z} n ∑

m=n1

N

am e−ik

zm2a−z m 14

Le champ décrit ici est un champ transverse. La base n est la fonction Sin(ny/L) si L est la largeur du guide par exemple pour un mode TE, complétée de la direction vectorielle du champ électrique pour ce mode (par exemple ux). Le coefficient an est alors l'amplitude du champ pour ce mode. La fonction (n) est la fonction de réflexion de la discontinuité, qui assure l'équation de conservation de l'énergie. La somme des termes d'indice m représente tous les modes qui sont excités par l'onde incidente sur la discontinuité et qui se propagent vers la source. On a : n=uxn

x , où xn est une fonction trigonométrique et de projection.

6.4 Impédance ou admittance d'ondePour un mode donné, on peut déterminer ou on pose arbitrairement les

expressions des champs électriques. A partir de l'expression du champ électrique pour un mode on ne peut calculer que deux dérivées de ce champ en fonction de deux directions, car ce champ est suivant une direction vectorielle (par exemple x dans le cas cité précédemment) et dépend deux deux autres directions (une fonction de base en y et une propagation suivant z). De fait pour un mode sur Ex on peut calculer :

∂ E x∂ y

∂ Ex ∂ z

15

L'équation de Maxwell qui relie ces dérivées du champ électrique au champ magnétique est celle donnant le rotationnel du champ électrique à la dérivée temporelle du champ magnétique :

∇∧E=−i H⇒{−i H z=−∂E x

∂ y

−i H y=∂E x

∂ z

16

Si l'on ne s'intéresse qu'aux champs transverses et pour la structure que nous avons défini, nous pouvons calculer le rapport entre les champs transverses E x et Hy

par exemple pour le premier cas cité en mode TE01 :

H y=−1i

∂ Ex

∂ z=

ik

iE0x Sin y

a e−ikz⇒E x

H y

=10=k

17

63

6.5 Champ magnétique total dans un guide interrompuConnaissant l'impédance de l'onde électromagnétique pour le mode (n), on

en déduit facilement l'expression du champ magnétique pour ce mode en exploitant l'admittance de l'onde qui est l'inverse de l'impédance :

H=∑n

Y nan {e−ikzn z−n e−ik

zn2a− z}n ∑

m=n1

N

Y mam e−ik

zm 2a−zm 18

6.6 Schéma équivalent à la discontinuitéLa réorganisation des fonctions d'ondes en éléments de circuits dépend du

choix de circuit que l'on effectue au départ. Par exemple un circuit pourra imposer la recherche d'expressions en admittances, d'autres en impédances, etc. Nous choisissons ici un schéma en T en impédances. Ce schéma est constitué classiquement de trois branches et trois nœuds. Il correspond au système d'équations :

{V 1=Z11 i1−Z12 i 2

V 2=Z 21 i1−Z 22 i2

Figure 2 : Schéma équivalent de la discontinuité

Pour retrouver ces relations, la première impédance du réseau en T doit être Z11-Z12. La branche centrale est Z12 et la branche de droite Z22-Z12. On retrouve alors pour une convention des courants rentrant à gauche, sortant à droite : V1 = (Z11-Z12)i1 + Z12(i1-i2) = Z11i1-Z12i2, V2 = Z12(i1-i2) – (Z22-Z12)i2=Z12i1-Z22i2. On suppose dans ces relations que Z12=Z21.

Pour faire le lien entre ces relations et celles en champ, il faut ajouter le terme de mode provenant de la droite de la discontinuité, qui est transmis à gauche de cette même discontinuité. On doit ajouter aux deux équations en champ ces termes supplémentaires. On obtient ainsi une première équation en champ

64

électrique :

E=∑n

[ {e−ik zn zne−ik zn2a− z}anT21 bne−ik zn2a− z ]n

∑m=n1

N

ame−ik zm 2a−zm

20

Et en champ magnétique :

H=∑n

[ {e−ikz n z− n e−ikz n 2a−z }an−T 21bn e−ikz n2a−z ]Y nn

∑m=n1

N

am e−ikz m 2a−z

Y mm

21

Le champ ayant à l'origine une phase arbitraire, nous pouvons mettre en facteur e-ikz et définir des coefficients de réflexion et transmission de phase e -i2(a-z) y compris pour les modes de la discontinuité excités ((m)) qui sont purement imaginaires pour obtenir :

E=∑n

[ {1 n}anT 21bn ] n ∑m=n1

N

mamm 22

Et en champ magnétique :

H=∑n

[ {1−n} an−T21 bn ]Y nn ∑m=n1

N

mamY mm 23

6.7 Existence d'un mode majoritairePour une source de pulsation unique, un mode de propagation est privilégié.

Au niveau de la discontinuité cela peut se montrer en considérant le développement en série de Fourier du potentiel sur la discontinuité. Les coefficients de Fourier donnent alors les amplitudes relatives pour chaque mode forcées par la discontinuité. Le produit scalaire de ces coefficients par l'amplitude du mode incident est maximum pour le mode correspondant. Soit E(y) la répartition d'amplitude transverse pour un mode sur la discontinuité et Eo(y) celle du mode incident, nous calculons :

P=0r

2∫z

∫y

∫x

dzdy dx E0x y⋅Ex y 24

65

L'intégrale sur la hauteur peut être réduite à une multiplication par la hauteur si l'on considère les modes du champ transverse en x par exemple, et l'intégration sur z se réduit à la longueur de la discontinuité. La puissance est donc principalement déterminée par l'intégration sur y. Réécrivons ce produit en précisant sur le champ de la discontinuité les modes n possibles :

p n=∑n∫y

dy E0x y⋅ Enxy 25

La sommation sur n peut être exprimée en créant une distribution de champ En comme une série en y contenant toutes les distributions de tous les modes possibles. Dans ce cas, la fonction p(n) se réduit à l'intégrale qui est un produit d'intercorrélation en y. On sait que ce produit est maximum lorsque les distributions en y de E0 et En sont identiques. Pour ce mode, l'induction sur la discontinuité est donc maximum à son tour. Le mode E0 est dit mode majoritaire. De fait nous pouvons associer à l'indice 1 ce mode et réécrire les équations en champ sous la forme :

E=[ {11 }a1T21 b1] 1∑m=2

N

mamm 26

H=[ {1−1} a1−T 21b1]Y 1 1∑m=2

N

mamY mm 27

Il est important de noter la condition incontournable pour travailler dans l'hypothèse d'un mode majoritaire : la distance entre les discontinuités doit être grande devant la distance d'évanescence des champs proches. Dans le cas contraire, ces champs se connectent d'une discontinuité à l'autre et l'hypothèse de mode majoritaire n'a plus de sens. Dans les chapitres suivants nous supposerons cette condition remplie et l'existence effective d'un mode majoritaire.

6.8 Egalité des champs sur la discontinuitéL'étape suivante consiste à écrire l'égalité entre les ondes à droite et à gauche

de la discontinuité. Notons que cette approche permet de tester toutes les discontinuités, les discontinuités épaisses étant représentées par deux frontières de continuité des champs. D'un côté à l'autre de la discontinuité, les facteurs a et b s'échangent pour donner, en champ électrique :

66

[ {11} a1T 21b1] 1∑m=2

N

mamm=

[ {1 '1}b1T 12a1] 1∑m=2

N

' mbmm

28

Et en champ magnétique, compte-tenu des choix de signes du courant :

[ {1− 1}a1−T21b1]Y 1 1∑m=2

N

mam Y mm=

−[ {1− ' 1}b1−T12 a1]Y ' 11−∑m=2

N

' mbm Y ' mm

29

6.9 Extraction des potentielsChaque membre des équations 28 et 29 expriment les champs électriques

x(y) et magnétiques hy(y) totaux sur la discontinuité. Ils apparaissent comme des séries de Fourier développés sur les bases et à gauche et à droite de la discontinuité. De fait on peut exprimer les coefficients de cette série. Par ailleurs, les tensions et courants sur la ligne équivalente ne dépendent que des champs du mode principal, les modes évanescents (d'ailleurs purement imaginaires) définissent l'impédance Z12 ou Z21. Les tensions et courants sont alors liés aux amplitudes des modes principaux. On peut alors écrire pour les tensions :

V 1

∫x

dx=[ {11} a1T 21b1]

V 2

∫x

dx=[ {1 ' 1}b1T 12 a1 ] 30

Et pour les courants :

I1

∫x

dx=[{1−1}a1− T 21b1 ]Y 1

I2

∫x

dx=−[{1− '1}b1T12 a1 ]Y ' 1 31

On peut réécrire nos relations à la frontière en utilisant les potentiels :

V 1

∫x

dx 1∑

m=2

N

mamm=V 2

∫x

dx 1∑

m=2

N

' mbmm 32

67

I1

∫x

dxY 11∑

m=2

N

mam Y mm=

I 2

∫x

dxY '1 1−∑

m=2

N

' mbm Y 'mm

33

On peut intégrer sur x tous les termes pour avoir des équations en potentiels, et s'apercevoir que V et I sont les coefficients de Fourier des développements ainsi obtenus des potentiels en (y). On peut par ailleurs écrire une relation de composition entre le potentiel en y et les courants :

V y=I 1 g1 y−I 2 g2 y 34

V1 et V2 se développent suivant :

V 1=∫y

dyV y1y V 2=∫

y

dyV y1y

35

En remplaçant V(y) dans 35 par son expression dans 34 et en comparant avec 19 on trouve que :

Z11=∫y

dy g1 y 1y Z12=∫

y

dy g2 y1y

Z21=∫y

dy g1 y 1y Z22=∫

y

dy g2 y1y 36

Notre schéma est complètement déterminé si nous connaissons g1, g2 et 1y,

1y.

g1 et g2 sont simplement les fonctions d'impédance dans la direction x et suivant y à la discontinuité (pour les modes en y). A partir de profils en tension et courants sur la discontinuité on peut développer les fonctions g en série de Fourier. En écrivant :

g1 y =∑n

g1nny g2 y=∑

n

g2nny

37

g1 et g2 sont des facteurs qui dépendent de n. On obtient :

68

Z11=∫y

dy∑n

g1nny1

y Z12=∫y

dy∑n

g2nny1

y

Z21=∫y

dy∑n

g1nny1

y Z22=∫y

dy∑n

g2nny1

y 38

6.10Amplitudes des champs évanescentsLe développement de Fourier 32 donne aussi accès aux coefficients an et bm.

On a, comme pour V1 et V2 :

an=∫y

dyV yx0 nny bm=∫

y

dyV y x'0 'mm

y

39

x0 et x'0 étant la hauteur de propagation. On peut remplacer comme précédemment V(y) par son expression en fonction de I1 et I2 :

an=∫y

dy [ I1 g1 y−I2 g2 y ] x0 nny

bm=∫y

dy [ I 1 g1 y−I 2 g2 y ] x '0 ' mm

y

40

6.11Détermination des modes majoritairesA partir de l'équation 33 on peut extraire la différence des courants :

I 1 Y 11y−I 1 Y '11

y=

∫y

dy {∑2

N

nan Y nny∑

2

M

' mbmY ' mmy } 41

En remplaçant an et bm par leurs expressions dans 40 et en égalisant les facteurs des courants I1 et I2 on trouve :

1y=

1Y 1

∫y

∫y '

dy dy' {∑2

N

2ng1 y'x0 ny2Y n}

{∑2

M

'2 m g1 y' x'0 my 2 Y 'm}

1y=

1Y '1

∫y

∫y '

dydy '{∑2

N

2 n g2 y ' x0ny2 Y n}

{∑2

M

'2 m g2 y ' x'0 my 2 Y 'm}

42

69

6.12Ecriture en braket & tensorielleL'écriture en braket se base sur la définition des bases modales. On peut

ainsi définir un vecteur de base comprenant toutes les composantes des deux bases à gauche et à droite de la discontinuité. Les fonctions de base peuvent être prises comme fonctionnelles et composantes d'un vecteur covariant puisque, comme nous l'avons noté plus haut, la projection sur les vecteurs de base naturelle conduit simplement à définir le vecteur de départ comme covariant. Les fonctions g amenant aux impédances sont deux fois covariantes. Les admittances de modes sont deux fois contravariantes et suivant la définition des espaces de Kron, les courants sont contravariants et les fém covariantes. Le potentiel vecteur est covariant, et de fait le champ électrique qui en dérive également. Le champ magnétique est plus complexe dans sa nature. L'induction magnétique B est un spineur issu d'un tenseur deux fois covariant, résultant du rotationnel du potentiel vecteur. De fait, la perméabilité étant deux fois covariante, le champ magnétique h est une fois contravariant. Le produit contracté de la perméabilité par le champ h donnant le moment du spineur, une fois covariant B . Les impédances se réécrivent avec cette convention :

Z11=∫y

dy ⟨ny∣gn1∣1

y⟩ Z12=∫y

dy ⟨ny∣gn2∣1

y ⟩Z21=∫

y

dy ⟨ny∣gn1∣1

y⟩ Z22=∫y

dy ⟨ny∣gn2∣1

y⟩ 43

Cette expression peut être reportée pour tous les modes majoritaires envisagés. Les termes d'impédances étant eux-mêmes des composantes particulières du tenseur métrique sous le formalisme de Kron. On généralise ainsi les modèles disponibles aux cas des ondes guidées dans des structures interrompues. Par exemple l'équation 33 s'écrira :

H xux=1xuxY

11 I 1mm am Y mmmx ux=1

xuxY '11 I 2 'mmbm Y 'mmmx ux 44

L'écriture tensorielle permet ainsi de généraliser les relations et de les incorporer dans une structure plus globale et complexe. Les fonctions de base modales sont déterminées par la géométrie dont on peut estimer à l'avance l'évolution en fonction des modifications apportées dans un système. De fait, les connexions topologiques au niveau des interactions d'ondes guidées en trois dimensions impliquent obligatoirement l'espace géométrique présent dans les relations via les fonctions gij et les vecteurs du référentiel choisi ux.

6.13Utilisation dans une topologieLe schéma choisi se simplifie remarquablement si l'on calcule les

impédances dans l'espace des mailles. L'impédance de chaque maille se trouve réduite au terme Z11 ou Z22 alors que l'impédance de couplage est Z12 ou Z21.

70

Ainsi, l'impédance de charge de la structure d'onde guidée est Z11 à gauche et Z22 à droite. Un terme extra-diagonal dans le tenseur des impédances : Z12 ou Z21 prend en charge les couplages entre les structures d'ondes guidées à gauche ou à droite. L'impédance ramenée au mode principal traduit l'impédance présentée par la structure en vis à vis de celles de la discontinuité. Les étages d'électronique en source ayant souvent des circuits d'interface aux sorties des signaux, l'impédance de sortie de ces sources est en général facilement déterminable également. On trouve pour un guide et sa discontinuité un ensemble constitué de Zo charge source, ZR1 impédance ramenée par la discontinuité et fixée par Z11, ZR2 impédance ramenée par la source Zo, le schéma en T de la discontinuité, ZR3 impédance ramenée par la charge, ZR4 impédance ramenée côté charge par Z22 et enfin la charge finale ZL. Dans l'espace des mailles, la métrique a l'allure suivante :

Z=[ZoZR1 0 0 00 Z11ZR2 Z12 00 Z21 Z22ZR3 00 0 0 ZLZR4

] 45

Les expressions des Zij étant données par 42. Cette structure locale de métrique peut être facilement insérée à son tour dans une métrique plus grande incluant d'autres éléments et structures de propagations. Les ports d'accès de cet ensemble sont finalement la source Zo et la charg ZL. Ces sources et charges pourraient à leur tour être des impédances de mailles de structures en T d'une autre propagation guidée.

6.14MéthodologieLa démarche utilisée pour résoudre le problème de la discontinuité suit les

étapes suivantes :

1. on exprime les champs dans le volume

2. on choisit un schéma équivalent

3. on exprime les potentiels (V et i)

4. on donne la relation entre les potentiels

5. on remplace et on résout

Avant d'aborder quelques exemples, on regarde une autre approche qui conduit au même résultat.

6.15Approche par diffractionConsidérons le champ incident arrivant sur une discontinuité. En tout point

(y) de la discontinuité, un champ est réfléchi suivant le coefficient de réflexion de la discontinuité en (y). En reculant en un point a où les champs évanescents sont

71

nuls, on peut écrire :

Er y'=∫y

dy E oxSin n y

L ei kn ⋅r yy ' n 46

La fonction de diffraction renvoi vers une abscisse y qui n'est pas forcément celle de l'onde locale incidente. Cela dépend de la réflexivité de la discontinuité en ce point. Elle se développe sur la base modale de propagation :

yy ' n=∑

q

yqy ' q

y

47

Par remplacement on obtient pour le champ réfléchi :

Er y' =∫y

dy E oxSin n y

L eik n a2 y '2∑q

yqy ' nq

y 48

En incorporant la fonction exponentielle comme phase de la fonction de diffraction et en reprenant le premier mode on obtient :

Er y' =∫y

dy E ox∑q yq

y ' nqy1

y

49

En procédant de même en champ magnétique, en faisant le calcul des champs totaux et leur rapport et en faisant apparaître l'impédance d'onde on trouve :

Z11=0

1∫y dy∑q

yqy ' nq

y1y

1−∫y dy∑q

yqy ' nq

y1y

50

La même démarche peut être utilisée pour déterminer les impédance Z12, Z21 et Z22. L'avantage de cette méthode est qu'elle est plus intuitive que la précédente. Les coefficients y'

yq sont déterminés par une méthode inverse. Le champ incident, pour un mode majoritaire, induit en chaque point de la discontinuité un générateur de courant sy donné par :

sy=i∫z∫y

dy dz Einc

x y , z 51

72

On peut caractériser la discontinuité en injectant un courant normalisé en tout point y de cette discontinuité et en étudiant le champ réémis ensuite. On procède de même avec le champ magnétique :

ey=i∫z∫x

dx dz Hinc

y y , z 52

A partir de ces générateurs, on déduit les courants induits et les différences de potentiels induites qui engendrent le champ diffracté. Mais le champ dans la discontinuité doit lui-même suivre les modes possibles autorisés par la géométrie de la discontinuité. Ainsi pour un mode incident, l'intensité autorisée pour un type de propriété de matériau est donnée par le coefficient de la série de Fourier du profil de cette propriété dans la base modale. L'idée est la suivante : imaginons une condition limite entièrement métallique. Sa décomposition en série de Fourier dans la base modale donne un coefficient -1 en champ électrique pour tous les modes du champ incident puisque ce dernier est développé dans la même base. Si maintenant la discontinuité est pourvue d'une fente. La valeur moyenne de la série de Fourier du profil de conductivité correspondant est bien la moyenne de la conduction que l'on trouverait en excitant par un courant continu toute la largeur de la discontinuité. Le coefficient au fondamental (qui est forcément le premier mode du guide puisque la période géométrique est similaire) représente la valeur équivalente de la discontinuité en conductivité pour ce mode. C'est donc bien l'impédance équivalente en résistance pour le premier mode. La sélection des modes commun entre la discontinuité et le guide s'effectue via les produits scalaires des bases de chaque milieu. Mais ces produits scalaires ne redécomposent les impédances (ou admittances) dans chaque mode que si les composantes des bases modales sont bien vectorielles. Pour conserver dissociés les termes il faut considérer les vecteurs de base comme des matrices de connectivités. Détaillons ce point.

Considérons un vecteur de base modale du guide G et un vecteur de base modale de la discontinuité D. Le bra de G est le vecteur de ses composantes conjuguées. Le ket étant le vecteur direct, idem pour D. Pour une impédance on peut réaliser l'opération : Gb zba Da , ce qui s'écrit en braket : ⟨G∣z∣D ⟩ . En

admittance, le produit va s'écrire : D.aY ab Gb. , que l'on traduit en braket par :

∣D ⟩Y ⟨G∣ . Mais tous ces produits donnent des scalaires, sauf à ce que les vecteurs regroupent des termes identifiés par des vecteurs de modes. Matriciellement ces relations se traduisent toutes par quelque chose de la forme :

[a b] [ x 00 y ][ c

d]=axcbyd 53

Pour que les modes apparaissent dissociés, il faut que les composantes x et y soient vectorielles. On a alors :

73

[a b] [ xu1 0

0 y u2] [ cd]=axu1 cbyu2 d 54

On comprend qu'il faille rajouter des vecteurs sur les composantes de la métrique pour garder l'identification des modes, et la seule solution est de reporter ces directions sur les impédances (ou admittances) sans quoi les produits scalaires les annulent de nouveau. Cette première solution a ceci d'élégant que les vecteurs de base restent des vecteurs classiques.

Une autre solution consiste à rendre les vecteurs matriciels par diagonalisation. Dans ce cas les produits prennent la forme :

[a 00 b][ x 0

0 y ][ c 00 d ]=[axc 0

0 byd] 55

Le résultat devient matriciel et conserve de fait les identifications de modes. C'est le choix de représentation utilisé pour les spineurs par exemple. La correspondance entre vecteurs et matrices est implicite. En rajoutant à l'indice de mode la direction d'espace considérée (q

y) nous avons opté plutôt pour cette deuxième représentation qui est aussi plus proche des structures de matrices de connectivités.

Ces réflexions nous ramènent aux expressions 43 ou 44 et servent de guide à l'établissement de ces expressions.

6.16Obstacles en profondeurNous avons étudié les obstacles en deux dimensions, obstacles définis dans le

plan transverse à la direction de propagation des ondes guidées. Il peut se trouver que l'obstacle soit parallèle à cette dimension. Dans ce cas, la propagation s'effectue suivant une nouvelle base modale et une nouvelle impédance d'onde. Un obstacle quelconque se décompose donc en discontinuités transverses et en zones de propagation longitudinale.

6.17Calcul de l'impédance caractéristique équivalentePour calculer des interfaces d'adaptation entre une structure coaxiale par

exemple et un guide, on a besoin de prédire le coefficient de réflexion à l'interface entre les deux structures de propagation, l'une modale et l'autre TEM. Un moyen simple est de pouvoir calculer une impédance caractéristique équivalente pour la structure modale et se ramener ainsi à un problème d'adaptation entre lignes.

Collin souligne que toute structure de propagation peut être modélisée comme un agencement de lignes. Ceci recoupe complètement le fait que le champ peut être étudié sous la forme modale ou comme combinaison d'onde TEM. Notons

74

que cette équivalence ne présage en rien d'une plus grande validité ou d'une préséance quelconque de l'un des deux modèles sur l'autre.

L'approche consiste donc à regarder le guide comme un agencement de lignes, pour un mode donné. Dans le cas d'un guide rectangulaire, l'agencement le plus simple est une mise en parallèle de lignes biplaques. Pour obtenir l'impédance caractéristique, on doit calculer le potentiel en tout point dans la direction du travail du champ électrique du mode considéré, puis le courant en tout point perpendiculaire à la direction du champ magnétique du mode considéré.

On part d'un guide rectangulaire, au mode TE01. La tension développée en un point y de la largeur du guide est :

Vx y=−∫x

dx {E0xSin y

L e−ikz}=−x0 E0x Sin y

L e−ikz 56

On pose x0 comme étant la hauteur du guide. Le courant que l'on veut calculer est le courant dans la direction de propagation du mode, donc suivant z. Par définition :

J z y=−∂H y

∂ x=

H y

e=

iz y

e dy⇒ iz y=H y dy 57

Dans cette expression, e est l'épaisseur de peau. Le gradient de champ magnétique de part et d'autre de la paroi se réduit à la valeur du champ de surface divisée par l'épaisseur de peau, le champ magnétique étant supposé nul de l'autre coté de la paroi. Peu importe son expression puisque l'on voit qu'elle se simplifie. En remplaçant on obtient :

iz y=dy−k

E0xSin y

L e−ikz 58

Des équations 56 et 58 on déduit l'expression de l'impédance caractéristique locale d'une « microligne » située en y :

dZc y =V x y×

i z y=

x0 E0xSin y

L e−ikz

dyk

E0x Sin y

L e−ikz

=x0

dyk

59

L'impédance caractéristique de la structure complète étant la mise en

75

parallèle de toutes les lignes élémentaires, on calcule l'admittance caractéristique :

Yc=∫y

dyk

x0=

L

x0

k

60

Soit finalement :

Zc=

2

L2−2

c2

x0

L= c

x02

g

2 2

−L2

=vg

x0

L 61

Du point de vue des dimensions, ce résultat est très satisfaisant, car comme pour une ligne, on trouve que l'impédance caractéristique s'exprime comme le produit d'un rapport de grandeurs géométriques par une impédance d'onde dans le vide. La vitesse de groupe évolue brutalement entre le premier mode TE01 et le mode suivant TE02. En-deçà de TE01 la vitesse s'annule et l'impédance caractéristique devient infinie, indiquant que pour cette juste valeur, il n'y a pas d'énergie qui se déplace dans le guide. Pour une longueur d'onde légèrement inférieure, la vitesse de groupe chute brutalement jusqu'au mode suivant où elle rejoint pratiquement la célérité, puis rechute, etc. On peut faire un petit programme en python pour tracer cette évolution entre les deux premiers modes TE. On donne annexe II le listing de ce programme et ci-dessous la courbe obtenue. La courbe est tracée en utilisant gnuplot. On normalise la longueur d'onde en fonction de la longueur d'onde de coupure.

Figure 3 : courbe de la vitesse de groupe en fonction de la longueur d'onde

Pour une longueur d'onde égale à la longueur de coupure divisée par 1.01, la vitesse de groupe est proche de 1.5108. Elle augmente linéairement jusqu'au mode suivant. L'impédance caractéristique varie de la même façon, pour les seuls modes TE0x.

76

6.18Impédance caractéristique par le bilan de densité surfacique de puissanceEntre la puissance incidente et la puissance transmise, la relation définissant

le coefficient de réflexion précise :

Pt=1−2 Pi 62

Or la puissance incidente est connue : elle est donnée par l'intégration du champ d'une onde TEM sur la surface de flux d'onde plane. Soit pour une ligne de largeur L et hauteur x0 :

Pi=∫x

∫y

dx dyE0

2

0

=x0 LE0

2

063

On calcule sans difficulté l'impédance d'onde du mode TE01 pour en déduire la densité surfacique de puissance intégrée de ce mode dans le guide :

Pt=∫x

∫y

dx dy E0x2 Sin2 y

L 101

01=k 1

k 1=2

L2−2

c2 64

Si /c est inférieur à /L le mode est évanescent. On intègre pour obtenir :

Pt=E0x

2

01

x0

2L 65

Le coefficient de réflexion est donné par définition par : =Zc−Zo

ZcZo.

D'où finalement après remplacements et développements :

ZcZo

=2−21−

−=

0

201

66

On peut tracer l'évolution de l'impédance caractéristique normalisée pour les pulsations autour de la pulsation de coupure du premier mode. On réalise ce tracé en python avec le programme donné en annexe III, et l'on trace la courbe sous Gnumeric. Le résultat est montré figure 4.

77

Figure 4 : tracé de Zc/Zo

On note que par cette méthode, l'impédance caractéristique recherchée tend vers l'infini à la coupure. Cette singularité se retrouve dans les équations. Le guide doit être utilisé en fait légèrement au-dessus de la fréquence limite. Ensuite, l'impédance caractéristique tend vers 10 fois l'impédance de source. Cette tendance semble se conserver en fréquence. Ce point est à vérifier expérimentalement. On trouve une valeur de Zc plutôt supérieure à ce qu'elle peut être avec la formulation précédente.

La courbe précédente montre une violente augmentation de l'impédance caractéristique vue à l'entrée du guide à la fréquence de coupure. On se demande quel est le processus qui conduit à ce résultat. Vue depuis une source de champ centrée à l'entrée du guide, les ondes se réfléchissent pour partie sur les murs et reviennent vers la source suivant un critère de réflexion de Fermat, ou partent vers la fin du guide dans une direction droite ou oblique par rapport à l'axe longitudinal z de propagation de l'énergie. La réflexion sur les murs induit une impédance ramenée de part et d'autre de la source donnée par :

Zr

Zc= j tg k y

L

2 67

Cette impédance est complexe et assimilable à une inductance Lm. En parallèle de cette inductance on trouve un condensateur qui traduit la charge induite par la source au point d'injection. Cette charge est telle que localement, q=CV. La valeur de charge est donnée par la divergence du champ électrique local, et la tension par son travail sur la hauteur x0. Soit :

78

C=qV=

0∫y

dy dz E0xSin y

L e−ik 1z

∫x

dx E0xSin y

L e−ik 1 z

68

Le condensateur du modèle équivalent des télégraphistes pour le guide en mode TE01 est donné par mètre de longueur de propagation. La variation de la charge dans le temps entre les murs horizontaux (dans les plans (y,z)) engendre un champ magnétique dont le flux redonne l'inductance série Lp de propagation du modèle des télégraphistes : =Li. Pour avoir l'inductance totale en y on calcule d'abord l'expression de la susceptance élémentaire :

1dLp

={∫x dx dzk 1

E0x Sin y

L e−ik 1 z

dyk1

E0x Sin y

L e−ik 1 z }−1

69

Comme précédemment, la susceptance est obtenue par mètre de longueur de propagation, dz. En sommant et en intégrant on trouve l'inductance totale :

1Lp

=∫y

1dLp

=∫y

dy

x0 dz⇒Lp=

x0

Ldz 70

On peut calculer tous ces éléments, mais cela présente peu d'intérêt, car à mesure que l'on veut monter dans les ordres de modes, les schémas équivalents deviennent compliqués à obtenir. Par contre, sur les modes TE0x, cela répond à notre interrogation. Le schéma des « télégraphistes » équivalent obtenu a l'allure présentée figure 5. La vue de ce schéma équivalent montre que l'impédance présentée par la structure va, à la résonance LmC, présenter une impédance qui tend vers l'infini au nœud d'injection. On retrouve intuitivement le comportement calculé en 66. Dès lors, pour une fréquence légèrement supérieure à la fréquence de coupure, l'impédance se stabilise très rapidement vers une valeur qui semble rester constante quand la fréquence augmente. Rappelons que dans ces modèles, on ne prend pas en compte les pertes dans les parois du guide.

Dès lors, lorsque l'on se positionne à une fréquence légèrement supérieure à fo (par exemple 1.2 fo), on se demande comment va évoluer cette impédance caractéristique sachant que l'onde part en partie vers les murs latéraux comme à la coupure, mais aussi vers la fin du guide suivant des directions obliques. On peut déjà se demander quel est le point de Fermat sur les murs latéraux pour cette fréquence particulière, et comment « fonctionne le guide ». Pour cela on calcule le champ en un point z quelconque comme somme du champ direct et comme des champs réfléchis par les parois au point de Fermat. Le programme scilab est donné

79

annexe IV.

Figure 5 : schéma des télégraphistes équivalent au mode TE01

Nous avons représenté une cellule type avec le début de la suivante. La figure 6 montre le résultat obtenu. On trouve que le champ est maximum au point pour lequel la demi longueur d'onde joint la source au point de Fermat (à 18cm pour un guide de 10cm de largeur). Ce n'est pas un hasard, en ce point, le champ respecte les conditions de nullité sur les parois parfaitement conductrice et la réduction optimale de l'énergie potentielle accumulée à la source.

Figure 6 : champ sur l'axe longitudinal en fonction de la longueur

L'impédance caractéristique se stabilise, étant égale aux impédances ramenées pour des fréquences augmentant additionnée des impédances réelles de l'énergie transmise dans le guide. Cette somme tend vers une constante tend que la part transmise reste grande devant celle stockée en entrée (donc de forte admittance). Cela reste vrai pour le mode suivant car lorsque la longueur d'onde s'étale sur toute la largeur, les champs réfléchis par les murs s'opposent, et ne ramène plus d'impédance influente.

80

De toutes les analyses que nous avons pu faire, il nous reste à définir la meilleure méthodologie pour le cas général, après avoir détaillé le cas d'obstacles obliques.

6.19Obstacles obliquesNous avons étudié les obstacles parallèles à la surface d'onde. Ces surfaces

induisent des conditions limites qui se développent dans les directions transverses de propagations rétrogrades, soit que ces conditions sont dans des plans parallèles aux surfaces d'ondes. Lorsque les surfaces de conditions limites homogènes sont parallèles à la direction de propagation, elles construisent des milieux de propagation eux-mêmes homogènes. Dans le cas où une fonction de condition limite homogène est oblique, le champ dans un plan parallèle au plan d'onde va être projeté en partie sur le plan incident et en partie sur un plan perpendiculaire. Les produits scalaires entre les bases de modes du guide et de la discontinuité vont calculer ces projections. En fait ce comportement est imposé par la continuité du champ sous forme de courant dans les matériaux. Suivant la loi de l'induction de Faraday, une plaque métallique va être parcourue par des courants du fait d'une variation du flux du champ magnétique local. Mais si la plaque est inclinée, l'induction est réduite. Les relations 51 et 52 donnent ces inductions. Par contre, un champ est diffracté dans une direction oblique et peut exciter des modes appartenant au plan transverse au plan du mode majoritaire de propagation. Considérons la figure 7 qui représente un plan d'onde incident sur une discontinuité oblique. En considérant toujours notre onde incidente en mode TE01 comme exemple, on peut vouloir réutiliser les résultats précédents obtenus pour une discontinuité dans le plan d'onde. Pour se faire il faut projeter l'onde incidente dans le plan oblique de la discontinuité. Le changement de base entre le système de coordonnées x et le système x' oblique par rapport à x fait intervenir les projections et les déphasages liés aux retards de propagation. L'analyse de la puissance transmise à la discontinuité par le mode majoritaire passe donc par ce changement de repère. A la vue de la figure 7 on déduit l'expression du changement de repère à gauche de la discontinuité équation 71. Ce changement de repère s'applique à toutes les variables d'ondes définies dans le plan (x,y) et se propageant en z pour décrire comment ces ondes sont perçues dans le plan (x',y') se propageant en z'. La méthode est utilisable pour n'importe quel changement de plan d'onde et pour la réévaluation des champs évanescents. En effet, l'obliquité du plan de discontinuité va rapprocher et modifier les plans conducteurs changeant de même la configuration des lignes de champ proche de la zone évanescente. Cependant l'évaluation des puissances de flux devant la discontinuité reste valable et on peut espérer par ce bilan en déduire automatiquement la variation de configuration des champs évanescents.

{x=x' Cosaz 'Sin ay= y'z=z 'Cos a −x' Sin a

71

81

Figure 7 : discontinuité oblique

Des formules de transformations 71 on déduit la matrice de changement de base:

.a =[Cosa 0 Sin a

0 1 0−Sin a 0 Cosa] 72

On convient d'utiliser les lettres latines pour le plan droit et les lettres grecques pour le plan oblique. La base modale incidente peut toujours être développée pour chaque composante suivant les trois directions de l'espace. Ainsi la composante qui nous intéresse pour le mode TE01 peut s'écrire :

ny=Sin n

Ly 73

Le champ s'écrit de fait (a, b ... valant x, y ou z):

Eb=ebana e

−i k. an x a

74

eaa est une amplitude dépendant de toutes les directions de bases. Le vecteur d'onde est covariant puisqu'il est proportionnel à l'inverse de la vitesse, laquelle est une dérivation temporelle de la distance, qui est contravariante. Par ailleurs kn est une composante dans la base n. L'expression 74 est beaucoup plus générale que la précédente. On applique alors la transformation de base pour obtenir :

.b Eb=

.b eba.a . a

nae

−i k . an .

a x

75

Le changement de base n'affecte pas les composantes n ce qui est logique puisque l'inclinaison ne change pas la série de Fourier du profil de conditions limites appliqué au champ incident. On a donc de fait, ce que l'on remarque immédiatement à la vue de la matrice 73 par la seule dépendance en y de la base:

82

=a 76

On obtient finalement l'expression du champ incident dans le référentiel de la discontinuité :

E=en e

−i k. an .

a x

77

L'inclinaison n'affecte que la phase pour ce modèle sans pertes.

Une fois déterminé le champ dans le plan de la discontinuité on procède comme précédemment :

1. par développement en série de Fourier du coefficient de réflexion on déduit la base de la discontinuité;

2. on effectue le produit scalaire de cette base par celle du champ incident projeté dans le plan de la discontinuité;

3. chacun de ces produits scalaires est en facteur de l'intégrale du flux de puissance incident;

4. on déduit le flux de puissance transmis dans chaque mode « commun » et le flux de puissance réfléchi;

5. on retranscrit ces flux dans le référentiel du mode majoritaire d'origine.

Comme on a pu le constater avec les calculs précédents, le raisonnement en champ est plus simple que ses passages en potentiels qui nécessitent un effort particulier d'intégration. Néanmoins, comme pour les antennes, il est évident que les interfaces se régissent en potentiels. Il apparaît donc intéressant de formaliser ce changement d'observables physiques de façon plus systématique.

L'impédance caractéristique d'accès peut se déterminer par le calcul des puissances ramenées aux différentes directions des vecteurs d'ondes au point d'alimentation. Cette approche permet d'évaluer directement cette quantité d'où l'on déduit ensuite les potentiels V et i suivant le circuit qui d'alimentation. Les fonctions de dispersion se calculent en champ comme les propagations de modes, etc. Il faut remarquer que dans le cas d'un obstacle oblique, le changement de référentiel induit des vecteurs d'ondes dans d'autres directions que la direction de l'onde majoritaire. C'est la raison de justification des brasseurs obliques dans les CRBM. Le coefficient de réflexion sur un plan d'onde se calcule aisément à partir des caractéristiques des matériaux.

La technique de passage en général entre les champs et les potentiels (V,i) passe par des intégrations. En réception on a vu que les équations de la divergence et du rotationnel du champ électrique suffisent à définir les générateurs équivalents à reporter sur le circuit récepteur. En émission, le gradient de potentiel et les courants donnent toute l'information pour calculer les champs induits dans le plan de l'interface circuit – structure d'onde guidée. Dans la topologie, les structures d'onde guidée sont similaires aux structures d'ondes rayonnées : ce sont des cordes. Elles vont permettre, de la même façon que les interactions rayonnées, un découpage facile du système, une « diakoptique évidente ».

83

6.20Méthode systématiqueDe toutes les techniques explorées précédemment, on peut en décrire une

qui devrait pouvoir fonctionner dans tous les cas de discontinuité envisageable. Elle utilise les fondements des processus de couplage. Rappelons ces processus. Partant de la divergence du champ électrique on peut écrire :

divE= 0

⇒0∮S

dS⋅E=q⇒ i0E= q 78

La variation de flux du champ électrique engendre une source de courant. Or d'après la troisième équation de Maxwell nous avons :

1c2

∂ E

∂ t=∇∧B⇒ iE=c2∮

k

dl⋅B⇒ i0E=I 79

Le champ incident engendre un courant. Ce courant engendre à son tour un champ opposé au champ incident. Ce courant est un courant de déplacement. Le schéma équivalent du processus de couplage est donc un générateur de courant donné par 78, en parallèle à un condensateur définit par 79. Effectivement :

i0E=I⇔h

i0 SI= 1

iCI=V=∫

l

dl⋅E 80

Le courant circulant dans la charge constitue lui la part transmise du champ. Dans le cas de l'induction issue du champ magnétique, le champ de réaction est concrétisé par une inductance. La fém d'induction est donnée par : −iB . Le courant induit réémet un flux qui constitue le produit de l'inductance par le courant. De la même façon, le champ réfléchi est représenté par l'inductance et la tension développée aux bornes de la charge constitue le champ transmis. Ces processus sont transposables tout le long de la discontinuité. Pour un mode donné, on peut calculer sur toute la largeur de la discontinuité, dès lors que l'onde incidente atteint la zone de champ évanescent, les potentiels et courants induits totaux. On en déduit les champs réémis à partir de ces dipôles électriques et magnétiques, de part et d'autre de la discontinuité. Par ailleurs, en développant les expressions des impédances dans la base modale de la discontinuité, on fait apparaître les produits scalaires des modes incidents et de la discontinuité.

Prenons l'exemple d'un mode TE01. Imaginons une discontinuité en z=a comme un court-circuit. Nous voulons résoudre le système suivant :

{sa= i0∫z

dzdy E0xSin y

L e−ika

e .=−i∫z

dzdxk

E0x Sin y

L e−ika}={Y ab y 00 Z y}{b. y

J y } 81

Si la discontinuité est d'une conductivité infinie, la différence de potentiels à ses bornes est nulle. Cette différence de potentiels étant le travail du champ transmis on en déduit :

∫x

dx 1n E x=0⇒ n=−1 82

84

Dans le cas général, le coefficient de réflexion ne s'obtient pas aussi facilement. En repartant des équations 81, on essaie d'ajuster les indices pour faire apparaître les projections sur les différentes directions d'espaces :

{dsx= ixx y∫z

dzdy ex1=Y xx ydx. y

dex.=−ixxy∫z

dz dxvg ex1=Zxx y dJ x y

84

On peut dans un premier temps multiplier par les inverses de la h-métrique pour obtenir :

{iZ xxy xx y∫

z

dzdy ex1=dx. y

−iY xx yxx y∫z

dzdx vg ex1=dJ x y

85

En multipliant de part et d'autre par, respectivement, l'admittance ou l'impédance du milieu on trouve, respectivement, le courant ou la force électromotrice dans l'interface :

{ 1

ixx y dx. y=Z xxy ∫

z

dz dy ex1

1

ixx y dJ x y =−Y xx y∫

z

dzdxvg ex1

86

On peut alors développer l'impédance et l'admittance de la discontinuité en série de Fourier pour obtenir :

{ dx. y

i xxy =∫

z

dzdy∑n

n zxxn ex

1

dJ x y

ixx y =−∫

z

dz dxvg∑n

n yxxn ex1

87

La différentielle du premier terme (=(x0)-(0)) donne la tension développée sur l'interface, et la différentielle du deuxième (J(z<z0)-J(z>z0)) donne le courant dans l'interface. 1/L fois l'intégration de la seconde équation conjuguée donne la fém totale qui, multipliée par le courant en tout point y donne la puissance totale dans l'interface. Soit :

PT=1

2L ∫y ∫z dz dy∑n

n zxx ex1∫x ∫z dz dxvg∑

n

n* y*xx ex

1* 88

Connaissant la puissance incidente, l'équation de conservation permet d'en déduire le coefficient de réflexion sur la discontinuité : PT=1−∣∣2 P i .Enfin de 87 on peut déduire les dipôles électriques et magnétiques dans l'interface, et de là, calculer les champs diffractés par :

85

Ax.={xx J x−∂t

c2∇ x. } 88

Il reste à définir comment coupler une interface, une discontinuité, avec un guide. En résolvant les exercices on pourra évaluer la meilleure démarche de définition de la notion de réseau primitif appliquée à ce type d'objet.

6.21Antenne dans le plan d'un mur et condition limite de court-circuitCette première application consiste à considérer une chambre réverbérante

sans brasseur, pourvue d'une antenne dans le plan de l'un des murs. On veut calculer le champ dans le volume en utilisant la méthode systématique décrite précédemment.

6.22Annexe I – chapitre 7: étude de l'évolution de l'impédance ramenéePartons de l'expression 5. Utilisons le développement en série suivant, qu'il

est important de connaître en physique ondulatoire :

1−x −n=1nx

nn1x2

2!

nn1n2 x3

3! A1

On obtient de fait pour une abscisse d :

ZR=Zc 1d e−i2kd {1 d e−i2kd2de−i4kd3d e−i6kd} A2

On développe le produit pour avoir finalement :

ZR=Zc {1d e−i2kd2 2d e−i4kd23 d e−i6kd} A3

Pour un indice p=2, 4, 6, …, cette somme admet un premier minimum réel quand pkd = n soit pour les distances multiples pairs de lambda sur deux, et quand pkd = n/2 soit pour les multiples impairs de lambda sur quatre. La condition d'adaptation est obtenue pour sigma = 0. Plus le coefficient de réflexion

86

est faible et plus la série peut être limitée aux premiers termes. Par contre, dans le cas de la désadaptation maximum, pour sigma = +/-1, tous les termes interviennent, indiquant tous les modes possibles. L'amplitude de l'impédance ramenée est liée à la possibilité de sommer la série sur un grand nombre de termes. Lorsque le coefficient de réflexion tend vers 1 en valeur absolue, la série cumulée tend vers l'infini ou zéro alternativement.

Un autre point important qui en découle, est que lorsque le coefficient de réflexion est réel pur et ne dépend pas de la fréquence, la désadaptation modifie l'amplitude des résonances et leur acuité, mais ne change pas les fréquences de résonances. A l'inverse si ce coefficient dépend de la fréquence, ces résonances vont être modifiées et ne plus dépendre seulement de la géométrie de propagation. Ce comportement soit se retrouver en cavité. Une cavité chargée par un absorbant pur doit redonner ses fréquences propres, mais avec un coefficient de qualité réduit. A l'inverse, une charge imaginaire au moins partiellement va modifier les modes propres de cette cavité par le couplage entre la cavité et l'objet.

On peut passer par une autre méthode utilisant la transformation conforme.

Partons de l'expression 7 :

∂ Z R0

∂=Zc

∂∂ [ ZLiZc.tg kL

ZciZL.tg kL ]=Zc∂∂ [ ZL iZc.tg L

c Zc iZL.tg L

c ] A4

Or ∂ tg ∂

=tg21= 1

cos2 . On en déduit donc une identité

remarquable :

tg2 L

c 1=0 soit tg L

c =i A5

On peut développer la tangente en exponentielle pour avoir finalement :

f =n c

4LA6

Ou encore :

L=n4

A7

87

On trouve sous la forme de multiples du quart de longueur d'onde toutes les solutions envisagées précédemment.

6.23Annexe II – chapitre 7

6.23.1 Listing du programme Python de calcul de la vitesse de groupe

# -*- coding: utf-8 -*-#programme de calcul de la vitesse de groupe en fonction de la fréquence#pour un guide rectangulaire.#importsfrom math import *from cmath import *#from Oxphys import *

c=3E8 ##vitesse de la lumièreLo=10E-2 #Lo est la largeur du guide et de fait, 1/2 fois lambda0#on se limite à l'analyse entre les deux premiers modes TE01 et TE02vg=[]for n in range(1,100): Lam=2*Lo/(1.0+n/100.0) vg.append(Lo/Lam) obFichier=open('/home/maurice/Documents/RECHERCHES/mecanique_ondulatoire/synthese_OndesGuidees/monfichier.dat','w')

for n in range(0,99): obFichier.write(str(n)+' '+str(abs(vg[n]))+'\n')

6.24Annexe III – chapitre 7Listing du programme de calcul de Zc à partir du bilan de puissance.

# -*- coding: utf-8 -*-#calcul de l'impédance caractéristique au premier modeimport mathfrom cmath import *

pi=math.pino=377u=4*pi*1E-7c=3E8L=10E-2Lo=2*L #longueur d'onde mode TE01fo=c/LoR=list()

88

for w in range(1,200): wx=2*pi*fo/100*w k=sqrt(pi**2/L**2-wx**2/c**2) no1=u*wx/k a=no/(2*no1) R.append((2-a+2*sqrt(1-a))/(-a))

mf=open('ZcsZoo.csv','w')for w in range(0,199): mf.write(str(w)+' '+str(abs(R[w]))+'\n')

mf.close()

6.25Annexe IV – chapitre 7Programme écrit sous SCILAB de calcul de l'intensité du champ dans le

guide pour une fréquence 1.2fo.

//programme d'étude de la propagation dans un guideclear;xbasc(0);c=3E8;L=10E-2;fo=1.2*c/(2*L);E=[];nbre=20000;

for zz=[1:nbre] k=2*%pi*fo/c; z=zz*1E-3*1E-2; E=[E;exp(-%i*k*z)-2*exp(-%i*k*2*sqrt((L/2)^2+(z/2)^2))];end,

plot2d([1:nbre]*1E-2,abs(E),logflag='nn');xgrid(9);xtitle('Champ en longueur','mm','V/m');

89

7 SPINL'espace vectoriel est l'espace des champs. Le potentiel vecteur est régi dans

l'espace vectoriel. Il est originellement covariant. Du potentiel vecteur on déduit dans une jauge de Coulomb le champ électrique (complété par le potentiel scalaire défini dans l'espace des nœuds) par une métrique temporelle, puis le champ magnétique par son rotationnel. Ce chapitre détaille la physique du spin pour ensuite proposer une représentation mais qui se situe elle dans l'espace des mailles qui fait l'objet du chapitre suivant. Il en constitue donc une bonne introduction.

Comprendre le champ est une tâche compliquée et peut-être illusoire. Parmi les questions auxquelles on aimerait trouver des réponses se trouve l'interaction entre champ et molécules puis cellules. Un autre aspect auquel on espère trouver quelques réponses et la rétroaction de processus qui arrivent à de grandes échelles (grands modes) sur des processus existants à de petites échelles (petits modes). On essaie de se donner une technique de raisonnement, une méthode de calcul pour ensuite l'appliquer à divers cas. Les réflexions présentées ici commencent par établir les formulations classiques de l'électrodynamique quantique pour ensuite voir leur transposition au formalisme topologique développé dans le cadre de l'analyse des systèmes complexes.

7.1.1 Usage de la fonction d'ondeL'interaction du champ avec des particules doit expliquer le passage d'une

fonction d'onde de la particule en interaction avec le champ depuis un état (ou une collection d'états) initial vers un état final.

On sait à partir de la fonction d'onde en déduire l'énergie moyenne sur un domaine donné. Au départ on utilise (au sens propre) la fonction d'onde de la façon suivante : la probabilité de trouver la particule entre les valeurs de x comprises entre x1 et x2 est donnée par l'équation 1.

P x∈[x 1 , x2]=∫x1

x2

dx∣∣2

∫∞

dx∣∣2(1)

Le dénominateur étant normalisé, l'expression de la probabilité se réduit au numérateur. En pratique le carré du module s'obtient à partir du produit de la fonction d'onde et de son conjugué : 2.

P x∈[x 1, x2]=∫x1

x2

dx* (2)

90

x est un domaine général que l'on va étendre ensuite en relativité à un intervalle d'espace-temps.

7.1.2 Amplitude de transitionLa fonction d'onde peut être la fonction d'onde « actuelle » : a. Cette fonction d'onde dans cet état peut résulter d'un opérateur H(.) agissant sur la fonction d'onde alors qu'elle était dans un état précédent : p. Dans ce cas, la probabilité pour que la fonction d'onde soit dans le domaine [x1,x2] dans l'état a s'exprime par l'équation 3.

P x∈[x1 , x 2]=∫x1

x2

d 4 xa* H p (3)

Où nous étendons le domaine au quadrivecteur (ct,x). Comme on calcule la probabilité pour que la fonction d'onde est l'état a alors qu'elle était précédemment dans l'état p, on parle pour cette expression d'amplitude de transition.

7.1.3 Fonction d'onde

La fonction d'onde s'écrit : =A eiℏ Et−p⋅x . Cette expression se déduit

directement de celle d'une onde où l'on a intégré la relation de Planck : E=h. La fréquence et phase de la fonction d'onde deviennent, sous l'action d'opérateurs, les

observables classiques. Par exemple si nous effectuons : ∫dx* ℏi∂∂t

nous

trouvons Ex qui est l'énergie sur le domaine x. Si l'énergie est partout la même et que x représente un dizième du domaine total, Ex est un dizième de l'énergie totale.

Exprimée avec les quadrivecteurs, la fonction d'onde prend une expression très élégante. L'exposant est, à un facteur près, le produit scalaire (au sens des quadrivecteurs) du quadrivecteur impulsion-énergie par le quadrivecteur espace-temps. Le choix des signes dans le produit scalaire est appelé signature du produit. En mécanique quantique on convient en général de la signature (1, -1, -1, -1). La fonction d'onde devient alors :

x=ct , x , y , z t= Ec

, p x , p y , pz =A.exp iℏ t x (4)

L'amplitude de transition va alors être l'amplitude pour que la particule passe du point de l'espace-temps au point . Si l'on sépare les composantes temporelles des composantes spatiales, on peut écrire les fonctions d'ondes sous la forme :

91

k=u k e−iℏ

p x (5)

7.1.3.a Fonction d'onde de DiracLa fonction d'onde précédente permet de résoudre tous les problèmes

abordables par l'équation de Schrodïnger. Mais elle ne permet pas de résoudre les problèmes relativistes. En fait l'équation 4 suggère déjà qu'il faut créer une « quadri fonction d'onde » pour répondre au formalisme relativiste des quadri-vecteurs. Par ailleurs, les phénomènes de spin sont intrinsèquement liés aux effets relativistes. On ne peut donc faire l'économie de cette fonction. Nous reprenons ici les notations utilisées dans la majorité des ouvrages cités en références de lectures.

L'hypothèse de Dirac démarre sur l'idée qu'à tout instant, l'état de l'électron libre (une particule libre) est décrit par une fonction d'onde à n composantes : t x t1 x t2 x tn x , les composantes étant complexes. A ce

vecteur s'applique la condition de normalisation, à savoir que la somme des carrés des modules des composantes vaut 1.

∫ℜ 3

∑k=1

n

∣tk x∣2 d3 x=1 (6)

Cette normalisation peut être exprimée en usant du produit scalaire sur l'espace des complexes en notant t x+=t1 x* t2x* tn x

* . Alors :

∫ℜ 3

d 3 xt x +t x=1 (7)

On définit immédiatement à partir de cette normalisation la densité de probabilité de présence de l'électron :

x , t =t x+t x (8)

Enfin on admet que la fonction d'onde se transforme dans une transformation de Lorentz suivant une matrice S qui ne dépend que de la transformation de Lorentz : ' t ' x ' =S t x .

Pour travailler en relativité, la fonction d'onde considérée doit se référer à l'espace-temps. On écrira donc ultérieurement : t xx, x=ct , x .

92

Dirac part de l'hamiltonien basé sur l'énergie-impulsion : H 2=mc2c p2 . Notre contrainte est que nous devons retrouver en final

l'hamiltonien général : H 2= p2 c2m2 c4 .

Développons l'expression précédente en revenant à une structure classique 3D:

H 2=mc2c p mc2c p H 2=c2 p p2mc 3 pm2 c42 (9)

Pour retrouver l'hamiltonien, on doit vérifier sur les matrice alpha et bêta :

{2=1

=

=0(10)

Dirac montra que ces matrices devaient être les matrices de Pauli et que la dimension de la fonction d'onde – le nombre d'états possible pour l'électron libre – est de 4 (n=4).

=[ [1] [0 ][0 ] −[1 ]] =[ [0]

[0] ] x=[0 11 0 ] y=[0 −i

i 0 ] z=[1 00 −1] (10)

Les matrices alpha et bêta sont de dimensions 4x4.

On peut alors écrire l'équation de Schrodïnger modifiée pour prendre en compte les effets relativistes :

ℏic

∂∂ t

x=mc2 Iℏi

c∇⋅ x (11)

Les expression peuvent varier d'un choix d'écriture à l'autre, mais on retrouve toujours peu ou prou la même allure d'équation. I est la matrice identité.

L'équation 11 peut être compactée en utilisant la notation quadrivectorielle. Dans ce cas, nabla devient le quadrivecteur dérivation incluant le terme de gauche, et en regroupant avec le terme de dérivation de droite on obtient :

93

∂ x =−mcℏ I x (12)

C'est l'équation de Dirac associée à la 4-fonction d'onde 5. Les matrices gamma jouent un rôle fondamental en mécanique quantique relativiste. Dans l'expression 5, le coefficient d'énergie u a 4 composantes. Les matrices gamma sont définies par :

4=−i c

k=−i k(13)

Les coefficients complexes u sont les ondes incidentes et rétrogrades de spins + ou – de la particule. Remarquons que l'équation 12 présente une forme très synthétique et particulièrement compacte. Par contre son obtention et sa compréhension sont difficiles. Il faut se remémorer les étapes de sa construction pour en maîtriser le sens.

7.1.3.b RésuméL'équation de Schrodïnger ne satisfait pas telle que au formalisme

relativiste :

1. La dérivation temporelle ne peut être remplacée directement par le dalembertien.

2. La fonction d'onde est une fonction complexe unique.

Dirac trouva une fonction d'onde à 4 composantes représentant 4 états d'une particule libre, associée à des matrice gamma qui assurent les transformations adéquats pour retrouver les bonnes relations (les bons vecteurs).

De nombreux auteurs écrivent : A=Ak k=At

t− Ax x−Ay

y− Azz .

Les deux fonctions d'onde qui engendre les 4 composantes de la fonction d'onde de Dirac sont 2 spineurs, c'est à dire deux fonctions a et b d'ondes telles que :

{= f a*bab

*

= f a*b−ab

*(14)

Inversement on retrouve et à partir de combinaisons des spineurs :

94

a= f ,* , ,* b= f ,* , ,* (15)

En électronique, on peut développer un spineur à partir des relations entre les potentiels (tension, courant) et les puissances active et réactive.

7.1.4 Principe de la méthode perturbative

On peut considérer un opérateur H(f) tel que : H f =∂ t ei pi⋅x e−i p f⋅xi

. Cet opérateur agit comme un déphaseur sur la fonction d'onde d'origine. L'équation 3 devient alors après développement du facteur exponentiel en série :

P x∈[ x1 ,x2]=∫x1

x2

d 4 x f* ∂t {1−i p f− pi⋅x−

[ p f− pi⋅x ]22

}i(16)

La dérivation temporelle du développement en série ne retient que les termes non constant en temps. En se restreignant au premier ordre on obtient

−∂ p f∂ t⋅x p f⋅v en supposant pi nul. Ces termes ne sont rien d'autre que les

travaux des forces appliquées et l'énergie cinétique, ce qui représente directement l'hamiltonien d'interaction. On doit donc les remplacer par le travail du champ d'interaction. Ecrivons eV cette interaction. On obtient :

P x∈[ x1 ,x2]=−e∫x1

x2

d 4 x f* V i , i= i

ℏ (17)

Le terme de second ordre est un produit de deux travaux successifs. Il correspond donc à deux interactions en série. Lorsque l'on passe à l'ordre 3 et au-delà, les probabilités calculés correspondent à des successions de plus en plus importantes d'interactions sur des chemins intermédiaires.

7.1.5 L'interaction champ matièreLa première question qui se pose est de définir l'expression du potentiel

d'interaction. Rappelons les expressions des matrices gamma.

95

t=[[1] [0 ][0] −[1]] =[[0]

[0 ]] x=[0 11 0] y=[0 −i

i 0 ] z=[1 00 −1] (17)

En remplaçant la dérivation temporelle dans le cas 3D par la dérivation d'espace-temps en 4D. Dans ce cas, la dérivation temporelle engendre un facteur en énergie divisée par une vitesse (4 impulsions énergie – impulsion) et les dérivations spatiales engendre des impulsions. Exprimé en impulsion, l'interaction du champ n'est plus qvA mais simplement qA. Pour être homogène à la fonction de Dirac, le potentiel d'interaction doit s'exprimer comme −q A . . Par ailleurs la fonction d'onde s'exprime par le produit d'énergie à 4 dimensions (spineur) et d'un terme de phase. Alors l'interaction s'écrit :

T fi=ie∫d 4 x u f+ e i p f⋅x A .ui e

−i pi⋅x (18)

En fait, tout le raisonnement est mené en impulsion. Dans l'expression précédente, on peut regrouper les exponentielles et sortir les fonctions d'ondes. Le champ sous l'intégrale est développé en transformée de Fourier avec q = p i-pf : Aµ(q). Alors :

T fi=ie u f+ ui A. q A.q=∫d 4x e−i qx A. x (19)

Si à l'échelle des processus le champ est constant dans l'intervalle de temps, on peut séparer les variables de temps et d'espace, q et x étant des 4-vecteurs :

A .q =∫dt e−i Ei−E f t∫d 3 x e iq⋅x A .x (20)

Le premier terme est l'impulsion de Dirac du saut d'énergie. Le deuxième terme peut être résolu en exploitant les équations de Maxwell : ∇ 2 A.x =−J x . Suivant le choix de variance que l'on a opéré sur le

potentiel vecteur, le terme de métrique unitaire apparaît ou pas. Pour retrouver l'expression 19, on intègre les deux membres :

∫d 3 x e iq⋅x A . x=∫d 3x ∇2 A. x ei q⋅x=− J q (21)

Intégrons par partie : ∫ uv=[u v] '−∫ u v=[u v ] '− [u v] '−∫uv . Comme par

96

hypothèse la dérivée du champ est nulle, ne reste que le dernier terme, et l'on obtient :

∫d 3 x A . x∇2 ei q⋅x=−∣q∣2 A .q (22)

Finalement on obtient, et c'est un résultat fondamental :

A .q=1

∣q∣2J q (23)

La loi de conservation de l'énergie implique que E i=Ef. L'impulsion de Dirac du coefficient d'interaction du premier terme de 20 est donc l'impulsion de Dirac centrée en 0. Et l'impulsion peut être réduite (l'impulsion qui rappelons-le est la différence des impulsions initiale et finale) à la seule partie spatiale : q2=−∣q∣2 . Le coefficient 19 peut alors s'écrire :

T fi=20 ieu f+ ui −i

q 2 −i J q (24)

L'équation 24 fait apparaître 3 termes correspondant à 3 lieux sur les diagrammes (on pourrait dire la topologie) de Feynman. Le premier terme fait apparaître les fonctions d'ondes de Dirac initiale et après interaction et le facteur de vertex : contrairement à la loi de Kirchhoff, le noeud n'est pas seul suffisant pour sommer les termes entrant et sortant. Le terme du milieu est un terme de propagation du photon et le terme de droite la source du champ (n'oublions pas que q est une impulsion relative). Le diagramme est représenté figure 1. Remarquons que l'expression du propagateur dépend du choix de jauge qui est effectué sur le champ (ici il s'agit du choix de Feynman).

97

Figure 1 : graphe de Feynman de l'interaction photon - électron

7.1.6 Autre représentationLors de travaux antérieurs j'ai tenté une autre représentation, plus proche

des modèles connus de propagation, où les fonctions bien sûr doivent être modifiées pour retrouver les expressions de la mécanique quantique. Dans le processus du graphe précédent, l'impulsion du photon est entièrement absorbée par la particule, il n'y a pas réémission. Le processus mis en jeu est un processus Compton. On retrouve d'ailleurs avec les conditions d'égalité d'énergie et conservation d'impulsion les relations classiques à partir de la résolution des phases de la fonction d'onde de Dirac. Dans la preprésentation que j'ai esquissé, l'électron est un résonateur élémentaire, pourvu d'une circulation fermée déterminant le signe du spin. La propagation de n'importe quelle particule s'effectue via des lignes virtuelles. Les conditions limites et phénomènes qui arrivent sur les extrémités de ces lignes traduisent les interactions de la particule avec l'environnement. Dans cette représentation, le vertex est déjà un réseau constitué de deux branches. On aurait pour le cas précédent le graphe représenté figure 2.

Dans cette représentation, comment est représentée la fonction d'onde de Dirac? On sait que le couple tension – courant constitue un spineur. Par ailleurs, contrairement à la topologie de Feynman, l'onde de Dirac se situe sur le réseau – vertex et non sur la ligne de propagation entre vertex. Au niveau d'un « vertex » on a deux inconnues résolues : les potentiels de noeuds et le courant de maille. Le spin de façon évidente est lié aux deux courants de mailles possibles suivant le sens de rotation choisit. On peut donc penser que deux couples (1,J+) et (2,J-) constituent les 4 composantes complexes de la fonction d'onde équivalente de Dirac. On peut aussi choisir les deux tensions et courants de branches du réseau vertex (RV) : (i1,e1) et (i2,e2). Il redonnent bien le spin en convenant d'une direction des fém et courants de branche. Les deux couples redonnent en final la même information. On peut essayer de travailler avec le premier type de variables et voir en final s'il convient au besoin, dans la mesure où ce sont les variables primaires. Le deuxième type comme le premier sont des spineurs de la puissance développée sur le RV.

98

Figure 2 : une autre représentation

7.1.7 DémarcheNotons Qk

k. ou Q la fonction d'onde (k. , Jk). La démarche consiste à faire propager la particule de fonction d'onde Q. On en déduit la source de branche (Vm , ib). A partir de (Vm , ib) on déduit la source (sm , em) qui engendre la fonction d'onde vers le pas suivant Q', etc.

7.1.7.a Premières expressions

Pour simplifier dans un premier temps l'établissement des expressions, on réduit la fonction d'onde de Dirac à deux composantes, donc à un spin unique et 1 noeud unique. La particule arrive avec la vitesse v. Vu du laboratoire, si elle se

déplace dans une direction x unique, son impulsion est m0 v x

1−2⇒m0 v x . Son

énergie est m0c². Nous pouvons en déduire une source équivalente de force donnée par : s1= f x . L'admittance doit, à partir de cette source, donner la fonction d'onde de laquelle sera déduite la probabilité de présence de la particule au nœud 1 en l'instant t. Comme :

{s1 }x={Y 11 }xy

{1}y et

∂ p∂ t

= ∂∂ t 1

* ℏi

∂∂ x

1 (25)

Par ailleurs l'état de spin de la particule est fixé par le moment source e qui engendre le spin J :

99

{e1 }z= {Z11 }zx{J 1}x et

∂M∂r

= ∂∂ r 1

* ℏi∂∂ t

1 (26)

r étant dans ce cas le rayon équivalent du moment magnétique de la particule. La fonction d'onde à l'origine : , J 1 est propagée pour se retrouver en 2. La propagation est traduite par le travail de l'impulsion par le déplacement :

e3=31 1 (27)

Le terme de gauche est la fém induite sur la branche du réseau-vertex récepteur. La fonction est une fonction de translation dans le temps de la fonction d'onde précédente. C'est une fonction de Green pour le trajet x. L'expression précédente reste inchangée.

31=[1 00 −1

]x (28)

La composante est l'impédance de propagation du champ dans le domaine 1. Par contre, au point 2, le champ vient induire une impulsion supplémentaire (ce champ qui avait son impulsion dans l'état précédent : une source s4 valant h0y). Si l'on suppose, comme dans le cas précédent, que le champ n'agit pas sur le spin mais sur l'impulsion, il ajoute une source en série avec e3 qui engendre ce supplément d 'impulsion. Mais la direction d'impulsion imprimée par le champ est en y et non en x. Les angles des deux particules après interactions sont et . On écrit de fait (s2

se déduisant de e3):

{s2}x= ∂∂ x

311

{s2}y=h1

c

(29)

Le spin restant inchangé, nous ne nous préoccupons pas ici de son expression qui reste similaire à la précédente. Au noeud 2 s'opère donc la transformation :

100

{sk}={Y km}{m.} (30)

En utilisant l'expression de 4-vecteur de l'équation 4 pour la fonction d'onde de Dirac, on peut déduire celle du tenseur admittance Y à partir des relations de conservation de l'impulsion :

m v1=h2

ccosm v2cos

h1

c=h

2

csin mv2 sin

(31)

Si les sources ont été déterminées précédemment, ces deux équations nous font comprendre qu'il faut définir une fonction d'onde globale et un opérateur tensoriel qui agisse sur cette fonction d'onde globale. Les fonctions d'onde étant des fonctions exponentielles, les termes d'énergie du photon et d'impulsion de la particule vont se retrouver dans l'exposant de cette fonction d'onde si on fait le produit des fonctions d'ondes séparées. La fonction d'onde globale est de fait un produit tensoriel des deux fonctions d'onde de départ :

= (32)

L'opérateur de Dirac valant 0 pour différent de . Sur cette fonction d'onde projetée dans les 3 directions d'espace et dépendant de l'espace-temps, on obtient le système d'équations 30 en posant :

Y mn=[cos ∂t cos ∂x 0 0

sin ∂t 0 sin ∂y 0

0 0 0 0 ] (33)

Le tenseur Y définit complètement le système étudié et les états de la fonction d'onde avant et après l'interaction. Le spin ici est inchangé. Le système d'équation 30 revient donc à l'équation de Dirac, formulées de façon topologique. L'avantage de cette deuxième formulation est de mettre plus en évidence les propriétés de spin et énergie séparément dans les expressions, tout en conservant l'unité des effets au niveau de la fonction d'onde.

101

8 L'espace modalOn « fabrique » un mode en construisant une circulation fermée de vecteurs

– de branches. Considérons un circuit comprenant une inductance, un condensateur et une résistance. La somme des énergies s'écrit :

H=12

L q212

q2

C

12

R q2 t

Cette expression donne bien l'énergie totale répartie sur l'ensemble du parcours. On peut calculer les expression suivantes :

∂H

∂ q=L qR q t

∂∂ t

∂ H

∂ q=L

∂ q

∂ tR q

∂ H

∂q=

q

C=V

Si l'on somme les différences de potentiels le long du même parcours on trouve :

L∂ i

∂ tRi 1

C∫

t

dt i=0

La fonction H est l'hamiltonien : on la construit facilement en sommant les énergies en présence. De cet hamiltonien on déduit le lagrangien par différence entre l'énergie liée à la variable d'état et l'hamiltonien. Ainsi :

L=2qV−H

On trouve alors facilement que les équations de Lagrange données par :

∂∂t

∂ L

∂ q−∂ L

∂ q=0

redonnent les équations du circuit. Exprimée dans le régime harmonique on obtient :

j Li1

jCiRi=0⇔−2 LCi jRC ii=0⇔−2 LC jRC1=0

Le déterminant vaut −R2 C24 LC et les racines :

=1

2LC[− jRC±4LC−R2 C2]

ces racines donnent les fréquences naturelles de résonance du circuit.

Si l'on part des équations de Maxwell, les natures rotationnelles ou non des champs apparaissent plus clairement. Les pertes sont définies par la loi d'Ohm. Écrivons sur un premier segment la relation du champ de pertes :

U R=1

l

J⋅=l E=lJ

102

Sur un deuxième segment, le courant de déplacement engendre une différence de potentiel V :

V=1C∫

t

dt∫S

dS⋅J

Si l'on relie les deux segments de façon à fabriquer une circulation fermée C, la circulation du courant dans cette spire va engendrer un flux du champ magnétique issu du courant et une force électromotrice définie par :

∮C=l1l2

dC⋅E=l2

0 S∫

t

dt∫S

dS⋅Jl1

J

La seule application des équations de Maxwell permet de comprendre le lien entre les flux li de branches et le flux de maille K1 avec :

[l1

l2]=[11 ]K1

Cette relation est utilisable chaque fois que l'on développe des travaux sur des segments vectoriels, que l'on vient sommer ces vecteurs les uns derrière les autres et que cette circulation engendre un champ rotationnel. Or les champs des segments non connectés sont des champs scalaires qui traduisent la présence d'énergie potentielle. Une fois connectés, l'énergie se transforme en mouvement et en énergie cinétique. Les équations de Lagrange égalisent la somme des énergies potentielles de départ à l'énergie cinétique résultant de la connexion. On retrouve ici les trois formes des transferts d'énergie (la troisième forme est l'objet du chapitre suivant) :

1. conduction – champ vectoriel,

2. convection – champ de circulation,

3. rayonnement – champ des moments.

On retrouve ces trois formes fondamentales dans l'équation de bilan de Poynting :

∂u

∂ t∇⋅S=−J⋅E

u étant l'énergie électromagnétique convective dans un volume v, S le vecteur de Poynting et le flux d'énergie rayonnée et le produit E.J l'énergie source conduite. Dans la maille que nous avons décrit précédemment, le terme d'énergie rayonnée n'est pas présent. Il est pris en compte dans l'espace des moments qui complète l'espace modal. Par contre, les termes de stockage (convectif) et source (conduit) sont présent et constitue le mode fondamental de la maille. Pour cette raison on peut appeler l'espace des mailles : espace modal.

La différence fondamentale dans les processus de couplages entre l'espace nodal et l'espace modal est que dans le premier, les couplages se traduisent principalement par une modification de l'incidence. Par contre, dans l'espace modal, ces couplages sont des matrices extra diagonales de la métrique. Nous allons détailler ces points après avoir rappelé la démarche générale de construction

103

de la matrice de connectivité entre les vecteurs et les modes.

8.1 Matrice de la connexion vecteur vers modalUn mode est une somme de vecteurs. De fait, la connexion reproduit cette

somme en indiquant quels vecteurs composent chacun des modes. Dans un espace pourvu de R réseaux, V vecteurs, M modes, N nœuds, on a la relation fondamentale de la théorie des graphes, à savoir :

M=V−NR

Considérons par exemple deux branches : une inductance avec pertes, l'autre comportant un condensateur. Reliée, ces deux branches constituent un mode de résonance connue. Si nous connectons une deuxième branche, que devient ce système couplé?

Dans l'espace des branches, la métrique pour deux branches est donnée par :

Z=[LpR 0

01

Cp ]Pour connecter ces deux branches, on exprime qu'elles appartiennent au

même mode :

C=[11] ia=C~a i

On utilise les indices grecques pour désigner les modes et les lettres latines pour les vecteurs. Si l'on rajoute une branche, on doit compléter la métrique vectorielle de la branche ajoutée :

Z=[LpR 0 0

01

Cp0

0 0 RLp]

La métrique nous dit comment l'espace est constitué. La connexion déforme cet espace pour le voir sous un jour particulier. La connexion nous permet de traduire les actions réalisées en connectant les branches 1 et 2, puis 2 et 3 ensembles.

C=[1 01 −10 1 ] ia=C~

a i

Les modes propres du circuit connecté sont alors donnés par :

Z=C~ a ZabC ~

b

104

8.2 Spécificités de l'espace modalPartons de l'équation de Kirchhoff sans sources de courants:

−ea ~Raa iava ~=0⇒ Raa iava~=ea ~

e est le vecteur covariant des sources de fém, v le vecteur covariant des différences de potentiels de nœuds et i le vecteur contravariant des courants. R est la métrique. Entre les courants de branches et de maille nous avons défini la matrice de connexion C. Nous pouvons de fait remplacer le courant par son expression dans l'espace modal :

Raa C~a iva~=ea ~

Multiplions de chaque côté par le pseudo-inverse de la connexion :

C~ a RaaC~

a iC~ ava ~=C

~ a ea ~

Or les différences de potentiels de nœuds sont des gradients dont le rotationnel est nul. Nous en déduisons :

C~ ava~=0

La transformation de gauche donne la métrique exprimée dans l'espace des mailles, celle de droite donne les sources pour cet espace. L'équation se réduit donc à :

e~=R i

Qui est remarquable de condensation. La difficulté inhérente à cet espace est qu'il suppose implicitement l'existence d'une connexion de type rotationnel entre les branches et les mailles. Or cette existence n'a rien d'évident. Pour des éléments non linéaires il n'est pas ainsi évident qu'existe une relation exprimant le courant dans un élément comme somme de courants modaux. Prenons un exemple. Imaginons un opérateur d'impédance défini comme le carré du flux. Si ce flux est projeté sur deux modes on doit avoir :

Z aa i a=i a2⇒Z aa C ~

a i2=ia 2

Imaginons que le flux soit somme de deux modes i() et i() la relation précédente impose de vérifier :

Z aa ia 2=Z aa [ i 2 i2]⇒2i i0

En effet lorsque l'on applique la relation précédente à un circuit en T pourvu de trois branches, une première branche résistive de valeur a et portant la source, une seconde d'opérateur d'impédance donnant le carré du flux et une troisième résistive de valeur b :

ZaaC~a i 2=ea

On trouve en développant le carré après application de la connexion transposée :

105

[1 1 00 −1 1 ][ ai1

i1−i22

bi2 ]{e1=ai1i12− i22−2 i1 i2

0=− i12− i222 i1 i2bi2

On constate que si effectivement les produits des flux sont négligeables devant les carrés des flux, on sait résoudre le problème par changement de variables. Dans le cas contraire il faut généraliser pour résoudre.

Posons :

e~=C~ a ZabC~

b i =A ii~ B i

On en déduit :

∂ e~

∂ i=Ai~ B

Le différentiel di correspond à la variation du courant entre deux instants. De fait, le différentiel des sources correspond à la valeur des sources entre ces deux mêmes instants. En créant un vecteur k représentant les valeurs passées du flux i, cette équation s'exprime :

e~={ A k~ B } i

L'écart de valeurs sur les sources est connu, on calcule à chaque pas de temps l'incrément de flux. L'avantage de cette méthode est qu'elle est exploitable quelle que soit l'expression des opérateurs de la métrique. Par contre, transposée dans l'espace modal elle suppose la création d'un tenseur trois fois covariant B. Dans l'espace nodal, cette complication n'apparaît pas. Supposons que les termes du circuit précédent soient des opérateurs d'admittances. Le circuit a deux nœuds. La matrice d'incidence est donnée par :

B=[ 1 −1−1 1−1 1 ]

En réalisant la transformation de vecteur vers nodal on trouve l'équation suivante en potentiels de nœuds, en forçant un potentiel de référence à zéro :

s1=a11 2b1

Cette équation ne fait pas apparaître de produits de potentiels de nœuds.

8.3 Définition de sources de flux dans l'espace modalUne source de flux dans l'espace modal est une partie du vecteur de flux qui

apparaît comme connu.

Dans un réseau S quelconque on injecte N sources de flux connues, de J1 à

106

JN. Dans le cas d'un courant électrique. On exprime les N flux de bras en fonction des M courants de maille ip, …, iq et des N courants extérieurs. Ces relations définissent une matrice de Connexion C telle que :

I p=C~ qp I q

avec :

I a=[ ia ib

⋮ ] I q=[iq

i r

⋮__J s

J t

⋮]

Lorsque l'on part de l'équation du réseau dans l'espace des branches : ZI+U=E et que l'on applique la transformation, les tensions provenant des sources de courants externes ne s'annulent pas car elles sont inconnues. En scindant le vecteur des tensions en deux parties, une fois transformé dans l'espace des mailles, on peut écrire la relation invariante sous la forme :

[Z ' 1 Z ' 2Z ' 2 Z ' 4] [ I ' 1

I ' 2][ 0V ' ]=[E ' 1

E ' 2 ]On résout dans un premier temps l'équation en courants usuelle, puis on en

déduit les tensions inconnues.

8.3.1 Exemple simpleCette technique de décomposition est essentielle pour comprendre

l'expression du lagrangien en présence de sources de flux externes.

Soit un simple réseau constitué de deux branches d'impédances a et b et d'une source de courant. Sa métrique est définie par deux termes correspondant aux deux branches. On choisit de faire circuler le courant externe sur la branche de droite du graphe. On en déduit la connexion suivante :

C=[1 01 1 ]

Appliquée à la métrique on trouve l'équation suivante :

ab bb b I 1

I 2 0V ' =e0

En supposant que la branche 1 porte l'unique source de fém e. On trouve le courant issu de la seule source e par (a+b) I1=e-bI2 : première équation. I2 étant connu, on écrit la deuxième équation : b(I1+I2)+V'=0. Connaissant I2 on en déduit

107

V' la tension de source en reportant I1 : V'=-b(I1+I2). Ainsi, toutes les inconnues du problème sont calculées.

8.4 Expressions des couplages

Dans la démarche diakoptique, on veut tout d'abord identifier des réseaux primitifs, qui ont des caractéristiques propres indépendamment de leurs connexions. Dans l'exemple suivant on considère un ensemble d'électroniques gérant le lancement d'un message via une antenne. La figure suivante montre le schéma électronique synthétique de cet assemblage.

Dans cette figure on peut mettre en évidence les 4 réseaux primitifs connectés via des liaisons :

chacun de ces réseaux est composé de branches et les couplages que l'on considère dans un premier temps sont les couplages entre branches. On visualise ces couplages par l'intermédiaire d'un graphe qui illustre les interactions supposées :

108

Lors de la construction de ces graphes, on numérote les branches mais on choisit aussi les modes et leurs sens de rotation. Ils sont aussi numérotés. La figure suivante montre les choix effectués pour ces modes, choix dont découle la définition de la connexion. Notez que, comme ici, on peut définir un sens constant arbitraire (par exemple un sens direct) pour la rotation des modes.

Les réseaux primitifs sont définis par leurs métriques. On donne par exemple pour les réseaux précédents (on suppose la métrique réelle pure) :

109

Z=[[Z1 0

0 Z2] 0 0 0 0

0 [Z3 0 00 Z4 00 0 Z5] 0 0 0

0 0 [Z6 0 00 Z7 00 0 Z8] 0 0

0 0 0 [Z9 00 Z10 ] 0

0 0 0 0 [Z1 00 Z12]

]On définit ensuite les couplages entre chacun de ces réseaux. Les matrices de

couplages ont des dimensions déterminées par les réseaux qu'elles mettent en relation. Les matrices de couplages peuvent ainsi être rectangulaires et non carrés. Pour le système précédent on peut avoir comme couplages dans l'espace vectoriel la métrique suivante :

Les couplages dans l'espace vectoriel sont définis comme le rapport d'une fém de branche sur un flux source. Les interactions de champ électrique lointain par exemple sont des interactions entre branches. On construit ensuite la connexion :

110

L=[1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1

]Une fois la métrique transformée, on ajoute les couplages définit dans

l'espace modal. Il peut s'agir de couplages liés à des champs rotationnels. Les couplages sont définis comme le rapport des fém de maille sur un flux de maille source. Les mutuelles inductances par exemple, sont des couplages définis strictement dans l'espace modal. Pour l'exemple cité on trouve :

Les couplages n'ont aucune obligation à être symétriques. L'ingénieur peut choisir de créer des couplages unidirectionnels, comme c'est le cas ici, parce que la réciproque est négligeable. On force ainsi et on clarifie l'organisation du calcul en limitant les effets d'instabilité par rétroactions.

8.5 ExercicesLa méthode peut être assez automatisée si l'on convient par convention que

toutes les mailles sont orientées dans le sens direct (sens de rotation des aiguilles d'une montre).

111

8.5.1 Exercice 1 : couplagesOn dispose de cinq réseaux primitifs réduits à une branche (vecteurs

élémentaires). On désire coupler les deux premiers ensemble et les trois autres ensembles. Comment organiser la connexion pour atteindre cet objectif?

8.5.2 Exercice 2 : transformateurOn connecte une source et une charge à un transformateur. Exprimer les

schémas des trois éléments et réaliser la connexion. Donner ensuite l'expression de l'équation à résoudre en différences finies temporelles.

8.5.3 Exercice 3 : circuit hyperfréquence

Soit un circuit constitué de trois ports. Chacun de ces ports est défini par son impédance d'entrée et sa fonction de transfert vis à vis des deux autres ports. Ces fonctions de transfert sont définies en ondes. Exprimer ces fonctions en impédances puis donner la métrique du système auquel on connecte trois charges ou sources. Traduire par la connexion les branchements de ces charges.

8.5.4 Exercice 4 : inductionUn bus constitué de deux charges représentant les drivers de source et

réception et d'une ligne dans un modèle de Branin est illuminé par un champ magnétique homogène sur la longueur de la ligne. Donner la métrique du système et l'expression des sources modales rapportées à chaque extrémités.

8.5.5 Exercice 5 : calcul théoriqueEn imaginant un système pourvu de n réseaux primitifs, avec ses sources

propres. Ce système est illuminé par des champs externes. La sensibilité du système est attachée à des valeurs seuils sur certains des ports aux bornes de composants électroniques existants dans les réseaux primitifs. Exprimer théoriquement le risque de perturbation de ce système en fonction d'hypothèses sur les sources externes, les seuils de sensibilité et les fonctions de couplages.

8.5.6 Corrections des exercices

8.5.6.a Exercice 1Pour coupler les deux premiers, il suffit d'indiquer dans la matrice de

connexion que les flux 1 et 2 sont reliés au seul mode 1 :

C1=[11]112

On crée de même une connexion pour les trois suivants, mais cette fois les flux dépendent de deux modes, et le flux 3 appartient à deux modes.

C2=[1 01 −10 1 ]

Les trois modes étant indépendants, la connexion de l'ensemble est la simple composition des connexions séparées :

C=C1∪C2=[C1 0

0 C 2]=[

1 0 01 0 00 1 00 1 −10 0 1

]Notons que l'on aurait pu ne pas se contraindre à une orientation fixe des

modes. La connexion des flux 4 et 5 suivait alors le même schéma que les deux précédentes connexions 1 et 2, 3 et 4. Dans ce cas, il suffisait de mettre un « 1 » pour les intersections de flux et modes pour obtenir en final :

C=[1 0 01 0 00 1 00 1 10 0 1

]8.5.6.b Exercice 2

La source connectée au transformateur est une impédance Zo et une source d'énergie µ. La charge est une impédance ZL. Le transformateur est constitué de deux inductances couplées avec une mutuelle inductance M, dans l'hypothèse de négligence des pertes et flux de fuite, etc. (le rajout de ces éléments ne complique en rien la topologie du problème). La métrique du transformateur est donc une métrique bimodale qui suit l'expression suivante (s est l'opérateur de Laplace) :

Z=[Z 0L1 s −Ms

−Ms ZLL2 s]La source est le vecteur : e=[ 0] . Le système est résolu par l'équation

modale e~=Z i . Écrivons le système en remplaçant les opérateurs de Laplace par les opérateurs temporels :

113

{=Z0L1

∂∂ t i1−M

∂∂ t

i2

0=−M∂∂ t

i1ZLL2

∂∂ t i2

On remplace les dérivations par leurs expressions discrètes :

{=Z0 i1L1

i1−k1 −M i2−k2

0=−M

i1−k1ZL i2

L2

i2−k2

est le pas de temps. k est le vecteur des valeurs passées du courant. En regroupant les termes en courant on obtient :

{=Z0L1

i1−L1

k1−M i2−

M k2

0=−M

i1−M k1ZL

L2

i2−L2

k2

On met à gauche tous les termes connus :

{L1

k1M k2=Z0

L1

i1−M i2

M k1

L2

k2=−M

i1ZLL2

i2

Définissons :

T~=[L1

k1M k2

M k1

L2

k2 ] w=[Z0L1

−M

−M ZL

L2

]

L'équation aux différences finies temporelles s'écrit finalement :

T~=w i

8.5.6.c Exercice 3En ondes, la représentation usuelle utilise les matrices de paramètres S :

b j=S~ ij ai

114

Cette relation s'étend à n ports, et en particulier à 3 ports. Pour un système à 3 ports, la matrice S est une matrice 3x3. Entre les tensions et courants transmis (v,i) et les courants et tensions propagées (w,q) nous avons les relations :

vk=k~ mm~ ik=−~ m

k qm

Les ondes transmises exprimées en tension résultent des combinaisons des tensions et courants transmis (théorème de Millmann) :

bk=1

y[kn ] y[kn ] ykn vn ~ ik

Dans cette écriture, on calcule la trace du tenseur admittance y. Cette trace s'écrit :

∑n

ynk ykn

On peut réduire les deux indices à un seul, obtenu suivant la règle :

s∈[1k∗n]

Alors la trace qui est la somme de tous les termes diagonaux s'exprime par : ys ys , que l'on peut symboliquement écrire en mettant les indices entre

crochets : y[kn ] y[kn ] indiquant par les crochets que l'on réduit les deux indices à

un seul. Par le théorème de Millmann nous avons exprimé les ondes transmises en fonction des tensions transmises. Remplaçons dans l'expression précédente, les termes v et i par leurs développements en fonction des termes propagés :

bk=1

ys ys yknn~ mm~−~ u

k qu

Les ondes propagées sont liées par une relation d'impédance caractéristique de propagation :

m~

qu=mu

En remplaçant on trouve :

bk=1

ys ys yknn~ mmu qu−~u

k qu = 1

ys ys yknn~ mmu−~ u

k qu

On peut identifier les ondes de courant propagées avec les ondes propagées comme nous avons identifié les ondes transmises avec les tensions transmises, pour obtenir en final :

V kbk aiqu S~ ji

1

y s ys yknn~ mmu−~u

k

La correspondance sur la matrice S est correcte, par contre il faut exploiter une métrique identitaire pour passer du vecteur contravariant des ondes b au covecteur V. Alors :

115

kkV k~=bk au=qu S~ uk =

1

ys ys yknn~ mmu−~u

k

et l'équation cherchée est :

kkV k~=1

ys ys yknn~ mmu−~u

k qu⇔kk V k~=S~ uk qu

8.5.6.d Exercice 4

Soit e0 la source fonctionnelle et Ro sa charge propre, RL la charge côté récepteur. La ligne est d'impédance caractéristique Zc. Dans un modèle de Branin, la ligne est représentée par deux charge Zc connectées aux sources et charge utiles. En plus de ces charges, on rajoute deux sources définies par g0 et gL, sources en entrée de ligne (g0) et en sortie (gL) données par :

{g0=V L−Zci LL

c

g L=V 0Zci0L

c

Les tensions VL et V0 sont données en fonction des courants modaux i0 et iL

ici égaux aux courants vectoriels aux même points :

V L=RL iL V 0=e0−R0 i0

On obtient alors :

{g0= RL−Zc iLL

c

g L=e0L

c

Zc−R0 i0L

c

La métrique modale attachée à ce modèle est :

Zbus=[R0Zc 0

0 ZcRL]

Les sources g sont aussi les sources modales et les relations précédentes donnent les fonctions de couplage qui définissent les formes d'ondes véhiculées par la ligne dans le schéma de Branin. Les courants du bus sont déterminés par l'équation : g=Zbus i . A ces générateurs on doit ajouter ceux issus du couplage entre le champ et la ligne. Le champ magnétique externe crée une fém globale sur l'ensemble de la ligne donnée par :

f =−hL ∂∂ t

B uh∧uL⋅uB

Comme la fém est donnée sans propagation, on doit calculer son report sur les charges des drivers de bus par un mode unique donné par la métrique :

ZB=RLR0

116

Le courant modal issu du champ est donné par : iB= ZB −1f .

La solution du problème est obtenue par superposition des deux solutions en courants modaux. Si le couplage avec le champ donne un courant modal iB, on a la connexion :

{i0 branche=i00iLiB

iLbranche=0i 0 iL iB⇒C=[1 0 1

1 0 00 1 00 1 1

]Les deux solutions en courants modaux sont obtenues pour deux métriques

et deux topologies différentes.

8.5.6.e Exercice 5Imaginons un système représenté par sa métrique Z, laquelle comprend les

termes de couplages avec les champs extérieurs. Ce système est soumis aux excitations de ses sources propres p additionnées des sources provenant des couplages avec le champ externe f. L'équation suivante traduit mathématiquement cette assertion :

p~ f ~=Zi

En résolvant cette équation on en déduit tous les courants modaux :

i= y p~ f ~Les parts issues des couplages externes sont données par :

i= y f ~

Les courants vectoriels aux entrées des composants sensibles j sont identifiés par une suite a et déterminés à partir des modes par une connexion partielle L telle que :

ja=L~a i

Les tensions développées aux bornes de ces composants et issues de couplages avec les champs sont données par :

V a=Zaa ja

Par remplacement avec les équations précédentes on trouve :

V a=Zaa L~a y f ~

Si l'on divise le covecteur V par le covecteur des tensions de seuils Vo aux bornes des composants qui provoquent les perturbations, on trouve un scalaire dont la valeur est supérieure à N si N est la dimension de V et que tous les rapports des tensions induites aux seuils sont supérieurs à 1. D'une manière générale on trouve que l'on peut exprimer un risque en calculant l'écart à la somme N de la somme des rapports entre tensions induites et seuils, soit :

117

R=1N

V a

Voa

=1N Zaa L~

a y f ~

Voa

notons la « transparence » S du système aux champs externes :

Sa~=Zaa L~

a y

Alors :

R=Sa

~ f ~

N Voa

Qui démontre que le risque de perturbation est proportionnel à l'intensité des sources, à une matrice image des échanges entre l'extérieur et le système et inversement proportionnel aux seuils NVo.

118

9 Espace des momentsL'émission de champ provient de densités de charges ou de courants

oscillants. En partant d'un système de charges et de courants temporellement variables on peut, par décomposition en série de Fourier, traiter chaque composante indépendamment. On traite donc en général de sources harmoniques :

x e−it J x e−it

Seules les parties réelles de ces expressions ont un sens physique. Par ailleurs on définit un champ créé par tout mouvement de charge. Son expression élémentaire est :

Aau point R =qvR

R

c

en utilisant l'égalité : qv=idx , en divisant numérateur et dénominateur par la section de transport du courant S et en faisant apparaître la densité de courant J=i/S on trouve avec quelques facteurs et en remplaçant le retard par le déphasage :

A x =0

4∭

dJ x '

∣x−x'∣e−ik∣x−x '∣

A partir du potentiel vecteur A on déduit le champ magnétique, invariant de jauge par : B=∇∧A . Du champ magnétique on peut déduire le champ électrique en espace lointain. Donc, si l'on connait la distribution de courant, on peut calculer le potentiel et de là en déduire les champs lointains. En effet, dans la zone proche, les champs ont des comportements quasi-statiques avec des composantes longitudinales alors qu'en zone lointaine, les champs sont uniquement transverses et liés par l'impédance d'onde du vide. L'étude des sources dipolaires nécessitent le rappel des expressions en coordonnées curvilignes orthogonales.

9.1 Expressions des opérateurs vectoriels en coordonnées curvilignes orthogonalesOn veut passer d'un système de référentiel rectangulaire (x,y,z) à un système

d'axes curvilignes (u,v,w). Entre les coordonnées de chaque référentiel on peut écrire une série de relations de la forme :

{x= pu ,v ,wy=q u ,v ,w z=r u , v ,w

Inversement, une transformation inverse redonne :

119

{u=P x , y , zv=Qx , y , zw=Rx , y , z

Si l'on part de l'origine du référentiel pour atteindre un point M dans le référentiel rectangulaire, on développe une distance invariante ds telle que :

ds2=dx2dy2dz2

Procédons suivant le même principe dans le référentiel curviligne. Cette distance va s'exprimer sous une forme du type :

ds2=g12 du2 g2

2 dv2 g32 dw2

égalant par là les différentielles entre les déplacements rectangulaires et curvilignes. De fait, le gradient d'une fonction scalaire va s'écrire si xµ vaut x, y ou z et uµ - u, v ou w (pour g µ valant 1, 2 ou 3) :

∂∂ x

∂∂ gu=

1g

∂∂u

Pour la divergence on peut partir de l'expression intégrale :

div A=1

dx dy dzdx dy Azdx dz A ydy dz A x

En remplaçant de même on obtient facilement :

div A=1

g1 g2 g3{ ∂∂u

g2 g3 Au∂∂v

g3 g1 Av∂∂w

g1 g2 Aw}

L'opérateur rotationnel a en x une expression : 1

dy dz dz AZ−dy A y .

Cette expression devient :

1

g2 g3 dv dw g3 dw Aw−g2 dv Av =

1

g2 g3 ∂∂v

g3 Aw−∂∂w

g2 AvOn trouve ainsi pour les trois composantes :

{∇u A=1g2 g3

∂∂vg3 Aw−

∂∂w

g2 Av∇v A=

1g1 g3

∂∂w

g1 Au−∂∂u

g3 Aw∇w A=

1g2 g1

∂∂u

g2 Av−∂∂v

g1 AuLe laplacien est obtenu en exploitant le fait que pour un scalaire, la

divergence du gradient est égale au laplacien. D'où l'obtention du laplacien à partir de la formule de la divergence, en remplaçant A par gradV :

120

V=1

g1 g2 g3 [ ∂∂u g2 g3

g1

∂V

∂u ∂∂v g1 g3

g2

∂V

∂w ∂∂w g2 g1

g3

∂V

∂w ]Notons que si l'on a deux vecteurs correspondant à deux expressions d'un

même vecteur dans deux référentiels rectangulaire et curviligne, on a la transformation de coordonnées :

{Au= AxCos x , uA yCos y ,uAz Cos z ,u

Av= Ax Cosx ,v A yCos y ,vAz Cos z ,v

Aw=Ax Cosx ,w Ay Cos y , wAz Cos z ,w

La matrice des projections est la matrice de changement d'axes entre les deux référentiels orthogonaux.

9.2 Cas des coordonnées sphériquesOn peut partir de la définition du ds². En coordonnées sphériques, pour

atteindre un point on décrit déjà le segment r sin , d'où un arc de cercle r sin d . Puis on s'élève de l'arc r d pour enfin longer le rayon dr. De

fait, l'élément de longueur s'écrit :

ds2=dr2r2 d2r2 sin2d2

On déduit de cette expression : g1=1 g2=r g3=rsin . De suite, l'expression du laplacien en coordonnées sphériques est :

V=2r

∂∂ r

V ∂2

∂ r2V

1

r2 tg ∂∂

V1

r2

∂2

∂2V

1

r2sin2 ∂2

∂2V

Si V est de la forme : U r

rP Q , l'équation précédente devient :

V=2

rP Q U ' r r−U r

r2

P Q[ U ' ' r r−U ' r

r2−U ' r r2−U r2r

r4 ]

1

r2 tg

U rr

Q P ' U r

r3QP ''

1

r2sin2

U rP r

Q' '

On veut ramener cela à une expression de Legendre de la forme :

d2 V

d2

1tg

dVd

nn1−m2

sin2 V=0

En supposant le potentiel U(r) de la forme U0 + nr, on trouve qu'il faut

121

retrouver les égalités suivantes :

1

r2=1

2

r2=nn1 1

r2

Q' ' Q

=−m2

En normalisant r on trouve la condition sur l'azimut : Q=e±m . La condition sur n apparaissant naturellement, en fonction du choix sur r. L'équation de Legendre peut être modifiée par un changement de variables. Posons

z=cos . Dans ce cas : dz

d=−sin et

d2 z

d2=cos . L'équation

précédente s'écrit alors :

V=−sin 2d2 V

dz2−z

dV

dzn n1−

m2

1−z2 VV =1−z2

d2 V

dz2−z

dVdz

nn1−m2

1−z2 V=0

9.2.1 Fonctions de Legendre Partons d'un développement de la fonction V en série de puissances de z :

V=ai zi

En remplaçant dans l'équation précédente on obtient :

V=1−z2 ii−1ai zi−2−z iai z

i−1n n1−m2

1−z2 ai zi=0

On développe cette expression en fonction des puissances de z :

P z=ii−1ai zi−2−ii−1ai− iai[n n1−

m2

1−z2 ]ai zi

P z=ii−1ai zi−2nn1−

m2

1−z2−i2ai z

i

Définissons deux coefficients :

k=i i−1ai , kk=i−2

j=n n1−m2

1−z2 ai

alors :

P z=k zk j z j

Le polynôme P est appelé polynôme de Legendre. En remplaçant z par cos() puis le cosinus en développement d'Euler, on trouve immédiatement son développement en série de Fourier. Les racines de fonctions trigonométriques

122

donneront les points nuls du polynôme et l'annulation du laplacien.

9.2.2 Dipôles électriques équivalentsCes racines sont les modes propres du système de charges et du champ

scalaire qu'il rayonne. Le système est de fait remplaçable par cet ensemble de dipôles définis dans l'espace des nœuds. Mais un dipôle étant avant tout une paire de nœuds, c'est bien la branche capacitive élémentaire qui reproduit l'emplacement et la valeur de ce dipôle. Par contre, ces branches ne sont pas de simples condensateurs, sauf au premier mode, pour lequel la répartition des charges est bien en demi-longueur d'onde. Au-delà de ce premier mode, le modèle équivalent du dipôle reste un circuit résonant élémentaire, mais le diagramme de rayonnement se complexifie. Il faut donc créer un lien entre l'amplitude du courant dans le macro-circuit équivalent et le diagramme qui en découle suivant la fréquence d'alimentation du dipôle. On retrouve le fait que, pour une différence de potentiel V aux bornes d'un circuit résonant donné, on trouve une suite de modes en fonction de la fréquence d'alimentation et un diagramme lié. Une connexion doit permettre de définir le courant d'alimentation tout en développant le diagramme de rayonnement réel. Cette connexion doit être matricielle pour répondre à la contrainte d'objet de transformation non tensoriel. Par ailleurs, cette connexion doit communiquer au modèle dipolaire l'intensité du courant rayonnant.

Dans une jauge de Coulomb, le champ lointain dépend du seul potentiel vecteur et le champ électrique est la dérivée temporelle du potentiel. Si l'on traduit l'interaction électrostatique par une branche capacitive entre nœuds, il ne reste pour le dipôle qu'à modéliser le champ rayonné lointain. La connexion a alors la forme générale :

iadq=Sin 2 nq xa ia

Cette relation appelle quelques explications. Le produit tensoriel de l'indice de mode n par l'abscisse de branche x donne un tenseur deux fois contravariant dont on prend le sinus de tous les termes pour une longueur d'onde donnée. Ce tenseur est ensuite contracté par le vecteur courant. Le résultat, de dimension égale au nombre de modes, donne le vecteur des dipôles électrique d. Les modes sont déterminés par les racines des polynômes de Legendre correspondant. La connexion est rectangulaire puisque la dimension de l'espace de départ est celle de l'espace des branches, alors que la dimension de l'espace d'arrivée est celle du nombre de modes, en ne considérant pas ici l'aspect spatial du dipôle. Le lien entre la branche et le vecteur géométrique est assuré par les nœuds. Les nœuds ont leurs coordonnées dans le référentiel local :

nknk u

L'incidence donne le lien entre vecteurs de flux et nœuds :

y j=B~ kj nk

La « vectorialisation » du vecteur flux apparaît alors de façon implicite :

B~ kj nk B~ k

j nku=y j

Par exemple considérons deux nœuds définis par :

123

1. nœud 1 de coordonnées (1,1,1)

2. nœud 2 de coordonnées (0,0,0)

La branche 1 a une incidence de 1 fois le nœud 1 et -1 fois le nœud 2. D'après cet énoncé nous avons :

y1=1 {n1xuxn1yuyn1z uz }−1 {n2 xuxn2yuyn2z uz }y1={ n1x−n2 x uxn1y−n2 y uy n1z−n2z uz}y1={uxuyuz }

Une autre technique aurait consisté à créer une connexion entre l'espace des flux et l'espace 3D par l'intermédiaire d'une matrice en écrivant :

nk=~ xk ux~

On retrouve les coordonnées du vecteur y par l'incidence comme précédemment. Dès lors, on peut connecter le champ aux branches, normalement capacitive pour inclure le différentiel de charges en vibrations. Si plusieurs moments sont connectés, c'est une succession de circuits LC qui modélisent le dipôle. Le champ est défini en fonction de la branche par :

AkR=∫x j

0 i~ k gkj

dx j

4Ryk R

c Avec yk normalisé, dans une jauge de Lorentz. gkj est une métrique identité.

On en déduit le champ électrique par dérivation spatiale (rotationnel) et division par la célérité :

Ek R=1c∇∧∫

x j

0 i~ k gkj

dx j

4 R{B~ q

k nq u } R

c Il ne reste plus qu'à remplacer le flux par son expression modale pour

obtenir finalement :

Ek R=1c∇∧∫

x j

0[Sin2 mk xk]i~ k gkj

dx j

4R{B~ q

k nqu } R

c On peut définir un moment par :

dpk m=0 [Sin 2 mk xk]i~ k gkj dx j {B~ q

k nq u }Pour écrire :

EkR=1c∇∧∫

x j

dpkm4R

R

c Qui montre tout l'intérêt de l'emploi d'un vecteur moment électrique pour

réduire la complexité dans le calcul du rayonnement. La connexion s'établit entre le moment et le flux de branche. Mais cette connexion doit transformer le scalaire qu'est le courant de branche en vecteur moment. On peut écrire :

124

dpk =i~ k gkj dx j {B~ qk nq }= i~ k k

k

Le moment modal étant :

dpk m=0 [Sin 2 mk xk]i~ k k

k u=0[Sin 2 mk xk] dpk u

Notons que l'on peut revenir facilement à l'expression fondamentale du moment par l'équation de conservation de la charge de façon à faire apparaître le produit charge par distance entre charge.

9.2.3 Dipôles magnétiques équivalentsCalculons quelle sera l'expression de la connexion pour relier cette fois les

courants modaux à des courants de dipôles magnétiques équivalents.

Chaque courant modal est forcément relié à une circulation de branches donc de vecteurs par la connexion branches vers mailles. De la même façon que chaque branche peut être reliée à un vecteur moment électrique, chaque maille peut être reliée à un vecteur normal impliqué dans un moment magnétique. De fait la connexion est une application entre l'espace des mailles et l'espace des moments magnétiques. On peut partir de la même définition du potentiel vecteur au niveau

de la branche : AkR=∫x j

0 i~ k gkj

dx j

4Ryk R

c . On peut alors tenter de

remplacer le courant de branche par son développement en courants modaux pour un moment électrique élémentaire :

∂ AkR

∂ x j=

0

4Ri~C~

~ k gkj yk R

c On peut déplacer la connexion pour l'appliquer au vecteur des branches et

obtenir :

∂ A R∂ x =

0

4Ri~ gC

y R

c En déplaçant la connexion on se propose de créer un vecteur de circulations

correspondant aux mailles comme le vecteur y correspondait aux branches. La connexion s'établit cette fois entre les modes, le vecteur normal à la circulation et le moment de la maille. Écrivons tout d'abord :

∂ A R∂ x =

0

42 R r rrri~ g C

y R

c ∂ AR∂ x =

0

42 R r rm~ g C

y Rc

En faisant apparaître le moment : m~=rri~ . Par ailleurs on définit : =C

y . Alors :

125

∂ A R∂ x =

0

42 R r rm~ g

R

c La connexion se définit donc par le produit scalaire des rayons des mailles ou

de leurs surfaces si l'on veut travailler avec des formes quelconques.

9.3 Modèle générique pour les interactions de champ lointainOn veut disposer d'une théorie générale qui puisse s'appliquer à tout type

d'objet émetteur, récepteur ou réfracteur de champ dans un périmètre d'interactions de champs lointains.

9.3.1 Vue lointaine d'un émetteurUn réflecteur comme un émetteur sont des objets qui, quel que soit l'angle

sous lequel on les regarde, rayonne une certaine énergie électromagnétique. Un moyen de caractériser ces éléments consiste donc à les regarder à une certaine distance avec un capteur à même de mesurer le rayonnement, et de projeter en tout les angles des lignes de visées testées une amplitude de rayonnement et une polarisation perçues. La surface fermée qui entoure le radiateur peut être sphérique ou rectangulaire (cubique). On se donne un ensemble de points répartis sur la surface enveloppante et en chaque point on fait correspondre d'une part un vecteur référencé au centre du volume, une amplitude image du rayonnement et une polarisation ou « spin » qui est un angle référencé à la dimension transverse à la ligne de visée. En final, l'objet rayonnant est caractérisé par un vecteur de vecteurs, c'est à dire par d'une part un vecteur des amplitudes de rayonnement pour chaque point projeté sur la surface, et d'autre part une connexion qui donne pour chacun de ces points le vecteur géométrique correspondant. De plus, dans le plan transverse à la propagation, un vecteur contient pour chaque rayon le spin correspondant décrit dans ce plan. Un radiateur R est ainsi décrit par le triplet :

R=R Aq q~ x q

Nous pourrons préciser les variances de ces éléments ultérieurement. Un réfracteur lui, est caractérisé par un opérateur qui va modifier la matrice de rayonnement incident – c'est à dire les propriétés de rayonnement incident suivant une ligne de visée pointant le réflecteur, en une matrice de rayonnement réfléchi et de rayonnement réfracté et diffracté. Un récepteur transforme lui le rayonnement incident en puissance disponible sur une charge.

9.3.2 Description des élémentsImaginons un émetteur caractérisé par 5 points projeté sur un arc de cercle

(ce qui ne défini pas l'émetteur en 3D mais suffit pour illustrer le propos). Imaginons que cet émetteur ne rayonne qu'en la direction 2. Ses vecteurs sont alors les suivants :

126

Aq=[0A000] x

q=[1 01

21

20 1−1

21

2−1 0

] q=[0 01 00 00 00 0

]Un réflecteur interagit avec cet émetteur. Pour pouvoir calculer l'interaction

entre les deux éléments, on fait en sorte qu'ils soient caractérisés dans la même base de points projetés. Dans l'environnement où ils interagissent, émetteur et réflecteur sont positionnés en des lieux différents. Pour calculer leur interaction, il faut tout d'abord déterminer leurs orientations relatives. Une autre information dont on dispose est la ligne de visée qui joint chacun de leurs centres. Par ailleurs ils sont définis chacun dans un repère propre attaché à une normale à leur plan méridien (d'altitude ou hauteur nulle) et ce plan est pourvu de deux axes donnant l'azimut. La première opération consiste à transformer la caractérisation de l'émetteur dans le repère du récepteur. En choisissant une disposition relative des deux radiateurs, on voit sur la figure que le changement de base de l'un à l'autre s'écrit :

{x '= yy '=−x

⇒xx '=[ 0 1

−1 0]

Si l'on applique la transformation : xx' x ~

~q , on trouve :

[ 0 0.707 1 0.707 0−1 −0.707 0 0.707 1 ]

Le résultat, Nx'q décrit les vecteurs de rayonnement de la source dans le référentiel

du réflecteur. On peut alors calculer les produits scalaires entre les vecteurs de l'émetteur et ceux du réflecteur, étant cette fois dans le même référentiel. On peut définir des vecteurs un peu spéciaux mais bien adapté à notre besoin ici où chaque

127

composant est un vecteur au lieu d'être un simple nombre. On a le vecteur de l'émetteur Sq et le vecteur des rayons du réflecteur Gp issu des matrices Nx'

q. En calculant le produit tensoriel Sq Gp = Dq

p, on obtient la matrice de connexion entre les deux réseaux. Pour notre exemple on obtient :

[1 01

21

20 1−12

12

−1 0]×[ 0

1

21

1

20

−1−1

20

1

21]=[

01

21

1

20

−1

20

1

22

21

2−1

−1

20

1

21

−1

2−2

2−1

20

1

20

−1

2−1

−1

20

]Cette matrice est organisée de telle façon que, ici, les lignes sont les éléments du premier espace multiplié par ceux du second qui évoluent suivant les colonnes. Si on la multiplie par le vecteur d'émission de la source Aq on doit trouver l'excitation du réflecteur, en normalisant ensuite le résultat :

[0

12

11

20

−12

01

22

21

2−1 −1

20 1

21

−1

2−2

2−1

20

1

20

−1

2−1

−1

20

] [0A000]=[A

20−A

2−2A

2−A

2] [

A20−A2−A−A2

]Le vecteur résultat donne des valeurs pondérées des interactions entre la source et le réflecteur.

Le réflecteur agit alors sur ce vecteur suivant un opérateur – qui est tensoriel – et qui nous dit comment le rayonnement va être diffusé. Mais cet opérateur doit d'abord sélectionner la valeur maximum retenue dans le produit précédent et qui traduit les rayons en alignement.

Si le réflecteur agit en réflecteur de Fermat, on ne doit retenir que la provenance du rayon de plus fort produit scalaire. Ainsi, l'opérateur retient d'abord la composante de plus forte intensité du vecteur résultant Dp

qAq = dp → max(|dp|).

Ensuite, l'opérateur doit réorienter cette composante pour indiquer quel est le rayon réémetteur. Si le milieu est isotrope, il s'agit du rayon de Fermat ou Descartes tel que l'angle de sortie est égal à l'angle d'entrée.

Un tel opérateur est un permutateur que l'on définit par :

128

[0 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0 0

]Max∣[A20−A2−A−A2

]∣=[0 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0 0

][000A0]=[0A00

0]

On pourra vérifier que quelle que soit la dimension, cet opérateur renvoie le symétrique du rayon incident par rapport à la normale locale.

9.3.3 Traitement du spin (polarisation)

Le même traitement est appliqué au vecteur spin est à ses deux composantes respectivement. On effectue ainsi :

[0

1

21

1

20

−1

20

1

22

21

2−1

−1

20

1

21

−1

2−2

2−1

20

1

20

−1

2−1

−1

20

] [0 01 00 00 00 0

]=[1

20

0 0−1

20

−2

20

−1

20] [

12

0

0 0−12

0

−1 0−12

0]

On fait ensuite :

[0 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0 0

]Max∣[12

0

0 0−12

0

−1 0−12

0]∣=[0 0 0 0 1

0 0 0 1 00 0 1 0 00 1 0 0 01 0 0 0 0

][0 00 00 01 00 0

]=[0 01 00 00 00 0

]=p

9.3.4 Localisation des réflecteursLa caractérisation d'un matériau s'effectue sur une portion limitée de ce

129

matériau. Or lorsque ce matériau est utilisé dans une structure, sa surface peut être beaucoup plus importante. La question se pose alors de savoir comment on peut ré-exploiter les caractérisations précédentes sur une surface beaucoup plus grande?

L'ensemble de la surface illuminée sera réduit au point où se vérifie le théorème de Descartes : à savoir que les angles d'incidence et de réflexion sont déterminés par les propriétés du matériau. Dès lors, il existe un ensemble de points qui vérifient la propriété suivante :

i 1⋅

∣i 1∣∣∣=

⋅i 2

∣∣∣i2∣Où i1 et i2 sont les vecteurs associés aux lignes de visée entre le point local de

réflexion de normale η et l'émetteur d'une part et le récepteur d'autre part. Le programme suivant en PERL calcule le point de réflexion, pour une réflexion unique à partir de la recherche du point pour lequel l'égalité des angles est vérifiée, à une précision donnée près.

my $prec=100; # précision dans la comparaison des angles

my $ym=0; # valeur du point de réflexion cherchémy $xs=10;my $ys=1;my $xr=4;my $yr=10;my $xm=14; # on cherche une réflexion sur le mur de droite.

$c=3E8; # célérité$ymo=0; # mémoire de l'ordonnée cherchée $cost1=0;$cost2=0;

for ($i=$ys;$i<$yr;$i=$i+0.01){$ym=$i;

$lv1x=$xm-$xs;$lv1y=$ym-$ys;$lv2x=$xr-$xm;$lv2y=$yr-$ym;$nx=-1;$ny=0;

$cost1=($lv1x*$nx+$lv1y*$ny)/(sqrt(($xm-$xs)**2+($ym-$ys)**2)*sqrt(($nx)**2+($ny)**2));$cost2=($lv2x*$nx+$lv2y*$ny)/(sqrt(($xm-$xr)**2+($ym-$yr)**2)*sqrt(($nx)**2+($ny)**2));# print "cost1 : $cost1 , cost2 : $cost2 \n";

if (int(abs($cost1)*$prec)==int(abs($cost2)*$prec)){$ymo=$ym;

}}print "valeur d'ordonnée à la réflexion : $ymo \n";

Le programme peut être étendu à 2 réflexions :

my $prec=100; # précision dans la comparaison des angles

my $ym1=0; # valeur du point de réflexion cherché 1my $ym2;# valeur du point de réflexion cherché 2my $xs=10;my $ys=1;my $xr=4;my $yr=10;my $xm1=14; # on cherche une réflexion sur le mur de droite.my $xm2=0;

$c=3E8; # célérité$ymo1=0; # mémoire de l'ordonnée cherchée $ymo2=0;

$cost1i=0;$cost1r=0;$cost2i=0;$cost2r=0;

for ($i=$ys;$i<$yr;$i=$i+0.01){$ym1=$i;for ($j=$ym1;$j<$yr;$j=$j+0.01){

130

$ym2=$j;

$lv1ix=$xm1-$xs;$lv1iy=$ym1-$ys;$lv1rx=$xm2-$xm1;$lv1ry=$ym2-$ym1;$lv2ix=$xm2-$xm1;$lv2iy=$ym2-$ym1;$lv2rx=$xr-$xm2;$lv2ry=$yr-$ym2;

$n1x=-1;$n1y=0;$n2x=1;$n2y=0;

$cost1i=($lv1ix*$n1x+$lv1iy*$n1y)/(sqrt(($lv1ix)**2+($lv1iy)**2)*sqrt(($n1x)**2+($n1y)**2));$cost1r=($lv1rx*$n1x+$lv1ry*$n1y)/(sqrt(($lv1rx)**2+($lv1ry)**2)*sqrt(($n1x)**2+($n1y)**2));$cost2i=($lv2ix*$n2x+$lv2iy*$n2y)/(sqrt(($lv2ix)**2+($lv2iy)**2)*sqrt(($n2x)**2+($n2y)**2));$cost2r=($lv2rx*$n2x+$lv2ry*$n2y)/(sqrt(($lv2rx)**2+($lv2ry)**2)*sqrt(($n2x)**2+($n2y)**2));

# print "cost1 : $cost1 , cost2 : $cost2 \n";

if ((int(abs($cost1i)*$prec)==int(abs($cost1r)*$prec)) && (int(abs($cost2i)*$prec)==int(abs($cost2r)*$prec))){

$ymo1=$ym1;$ymo2=$ym2;

}}

}print "valeur d'ordonnée à la réflexion : ymo1 = $ymo1 , ymo2 = $ymo2 \n";

Puis à N avec un algorithme adéquat.

9.4 Généralisation pour les modes en milieux confinésUne source de rayonnement est un groupe de deux vecteurs, l'un

représentant l'intensité de rayonnement dans chaque direction projetée sur une surface fermée encadrant la source et l'autre donnant la direction de la polarisation (spin) du champ. Une source est donc caractérisée pour son intensité par :

{I q

q}L'ensemble des points choisis pour projection du rayonnement sur une

surface arbitraire fermée constitue un vecteur de vecteurs référencés au centre du référentiel de l'objet rayonnant. Soit S q ce vecteur. Un réflecteur reçoit ce rayonnement. La première opération à effectuer consiste à appliquer le changement de base entre les deux référentiels de la source et du récepteur au vecteur d'émission. Soit Λ la matrice de changement de base on calcule :

S ' qx '=~ x

x ' Sqx

Après cette transformation, on calcule tous les produits scalaires entre les directions des deux radiateurs pour construire une matrice d'interactions :

Dqp= S ' q⊗S p

L'interaction est alors traduite par l'application d'un opérateur au produit de la matrice d'interaction aux intensité incidente. Dans le cas d'un réflecteur métallique, l'opérateur a la forme :

131

J p=pq {I q

q}=K pp⋅max∣Dq

p { I q

q}∣La matrice K est munie ici de 1 sur tous les termes antidiagonaux. Par

exemple :

K pp=[0 0 1

0 1 01 0 0]

La réduction d'éléments de grandes tailles à leurs opérateurs suit la loi de Fermat-Descartes, à savoir que les lieux d'interactions sont déterminés par les opérateurs eux-mêmes. En effet les opérations effectuées sur les collections de points projetés induisent les cosinus des angles incidents et réfléchis. Ainsi, entre deux points dans un volume confiné on peut déterminer le trajet d'une impulsion à N réflexions. Le bon trajet est celui qui vérifie pour les N points :

[Cos r ] n=n⋅[Cos i ] n

9.5 Principe d'exploitation pour les lignes (propagation en 1 dimension)Dans les paragraphes qui suivent on illustre comment peut être utilisée la

réponse à la fonction de Green dans le cas de lignes et, comme évoqué au départ pour des systèmes comme des chambres réverbérantes à brassage de modes (CRBM).

9.5.1 IntroductionL'énergie transmise par une antenne en émission dans le volume d'une

CRBM s'installe pour partie en stockage d'énergie électromagnétique dans les ondes stationnaires et pour une autre partie en énergie dissipée ou absorbée dans les charges et éléments de pertes dans le volume. On veut déterminer pour une ambiance de CRBM quelconque quelle est la contrainte vue par un équipement dans ce volume.

9.5.2 Exemple simple en une dimension

On considère une ligne d'impédance caractéristique 100Ω chargée par 50Ω.

Le coefficient de réflexion en extrémité est de r=−50150

≈−0,3 . Attaquons la

ligne par un générateur d'échelon. La réponse est déterminée par une méthode de

132

Bergeron pour obtenir en entrée de ligne : A et en sortie de ligne : B les formes d'ondes suivantes :

At = t −0,3t−2 xv Bt =0,7t− x

v

Si l'on dérive cette expression on trouve la réponse à l'impulsion de Dirac de la structure, vue depuis l'étage d'entrée et au point de la charge. On obtient :

At =0 −0,3t−2 xv B t =0,7t− x

v

La convolution de cette expression avec n'importe quelle forme d'onde appliquée en entrée donne les formes d'ondes résultantes en entrée et charge. On comprend que la charge absorbe ici 70% de l'attaque, étant une impulsion de Dirac pure, la forme d'entrée se retrouve pondérée de l'amplitude de l'impulsion en charge B. Vue de l'entrée par contre, deux impulsions de Diracs vont engendrer en partie une composante conservée, d'amplitude 0,7 et transmise vers la charge – on retrouve ici le bilan et la conservation de l'énergie; et une composante stationnaire d'amplitude 0,3 qui va stocker de l'énergie dans la ligne toute les fois que la période du signal sinusoïdal d'entrée est un multiple de la distance temporelle entre les deux impulsions. Dans tous les autres cas, le produit de convolution va tendre à annuler l'amplitude résultante, voire quand la période et ½ est un multiple de la distance entre impulsions; annuler complètement le produit. Dans ce cas, l'énergie stockée dans la ligne est nulle. L'incidence entre les deux situations se voit depuis l'impédance reportée sur la source par la ligne. Analysons ces différents cas.

Le cas cité précédemment est simulé sous Qucs avec un générateur de 2v d'amplitude. On a le schéma suivant :

133

La première simulation en temporel donne les résultas suivants pour les tensions relevées en A et B (respectivement Pr1 et Pr2) :

La simulation redonne bien sûr le calcul analytique pour une ligne de 10cm avec un temps entre impulsion (en dérivant la réponse à l'échelon) de 0,6 ns, soit deux fois 0,3 ns pour 10cm de propagation.

En reprenant notre résultat, si l'on applique une attaque sinusoïdale sur l'entrée de la ligne, celle-ci doit évoluer en A autour de la valeur constante 1. Suivant que le produit de convolution somme les crêtes des sinus, toutes les demi-longueurs d'ondes (soit pour une ligne de 10cm, tous les 750 MHz) ou qu'il les annule – tous les 1,5 GHz, le signal vu en A doit présenter des maxima et des minima à ces fréquences, autour d'une valeur constante à 1. En B, le signal doit

134

présenter à toute fréquence une amplitude constante de 0,7.

Les résultats de simulation respectivement en A et B en harmonique sont les suivants :

Cet exemple simple montre bien les mécanismes de construction d'une onde stationnaire. Par ailleurs, on comprend bien également que l'on évolue entre les cas adapté (on retrouve 1v d'amplitude), destructifs – quand ne reste que la part de 0,7 v en entrée, la partie d'amplitude 0,3 est détruite dans le volume de la ligne, et les cas constructifs – quand le niveau dans la ligne s'additionne à la source pour atteindre 1,3v d'amplitude en entrée. Dans tous les cas, la partie transmise se maintien à 0,7 (0,666 en simulation pour, on le suppose, des problèmes de précision de calcul lors de l'inversion de l'admittance en nodal sous Qucs).

135

9.5.3 Cas plus complexes

Lorsque les deux extrémités sont désadaptées, la réponse à l'impulsion va s'enrichir de termes supplémentaires. On va toujours pouvoir extraire des couples d'impulsions à la fréquence propre issue d'un temps d'aller-retour dans la ligne, tant que les charges ne sont pas réactives, cas que nous traiterons ensuite.

Calculons la réponse à l'échelon d'une structure désadaptée aux deux extrémités. Reprenons le cas précédent en choisissant pour impédance de source, 25 ohms. Effectuons directement la simulation sous Qucs :

Sous scilab on dérive ces fonctions pour obtenir (en A et B respectivement) :

On reprend chacune de ces courbes en normalisant le pas de temps pour trouver les amplitudes des fonctions de Dirac à utiliser. La courbe suivante détaille le résultat obtenu en A. On en déduit une réponse à l'impulsion en A : f(A), donnée par :

f A=0,0920−0,0160,67ns−0,0061,33ns−0,0022ns

136

En B, la courbe détaillée est :

137

On trouve pour ce deuxième accès la fonction de réponse à l'impulsion f(B) donnée par :

f B = 0,0640,3ns0,0131ns0,00351,8ns0,0012,4ns0,00053,1ns

La première fonction f(A) étant bipolaire sur les deux premières impulsions, elle va présenter un comportement proche du cas précédent. Par contre, côté B, la réponse comporte plusieurs impulsions, toutes positives. Ce type de fonction va favoriser les longueurs d'ondes multiples de la distance entre impulsions. Comme précédemment, on peut extraire de la première impulsion qui donne la composante très large bande, transmise (et donc reportée en consommation sur l'entrée) des impulsions égales en amplitudes aux impulsions suivantes pour retrouver les comportements stationnaires. Cette extraction réduit d'autant la partie constante transmise, et fait apparaître en entrée et sortie les comportements d'impédance ramenée résonante. Ces comportements apparaissent bien dans une simulation en harmonique (résultats en A – ligne du haut et B – ligne du bas respectivement, avec à chaque fois tension et courant ) :

On trouve de même comme prévu, une composante continue à laquelle vient se superposer des effets de résonances. Si l'on regarde par exemple la charge

138

et sa réponse à l'échelon. A l'amplitude de 1,1 on doit retirer 0,2 puis 0,05 (approximativement), utilisés pour construire la part stationnaire. Reste 0,85 qui est la valeur minimum qui peut être reçue en tension en B. La valeur maximum de fait est la somme des impulsions, soit environ 1,35. Le premier noeud destructif se situe à 1,5 GHz environ. A cette fréquence, les modes stationnaires sont inexistants et il ne reste que la partie « transmise » ou encore « propagative » du champ. A ces fréquences, les niveaux en entrée et charge sont identiques et correspondent à la seule composante propagée du champ qui vient alimenter la charge, comme si celle-ci était directement connectée au générateur. Aux autres fréquences, les modes sont constructifs et un échange d'énergie s'effectue entre la source, le milieu qui stocke une partie d'énergie et la charge qui consomme toujours sa part.

9.5.4 Charges réactives

Comme premier exemple nous considérons une ligne adaptée en source et chargée par un circuit RC. Dans les temps courts le condensateur se comporte comme un court-circuit, et dans les temps longs comme un circuit ouvert. On en déduit la forme d'onde vue depuis l'entrée A ou aux bornes de la charge en B. La tension aux bornes de la charge est donnée par :

V C , t =VB t =2 E 1−e−t

Zc C On en déduit la forme d'onde réfléchie par Vt=Vi+Vr, d'où : Vr=Vt-Vi. Soit :

Vr t =2 E 1−e−tZcC −E=E−2Ee

−tZcC

Cette tension étant reçue en entrée après un retard égal à deux allers-retours dans la ligne. La forme d'onde en A est, de fait :

VA t =E 0{E−2Ee−t

ZcC }2 x

v

En dérivant cette fonction, on obtient la réponse à l'impulsion de Dirac :

VA t =E0−E2 x

v

{ 2ZcC

Ee−t

ZcC }2 xv

139

et en B : VB t =2E

ZcCe

−tZcC . Les deux premiers termes côté source

correspondent aux modes stationnaires. On retrouve le deuxième terme côté charge qui correspond de fait à l'énergie transmise.

140

10 H-tenseursOn veut pouvoir coupler des éléments provenant de physiques différentes.

Par physique on entend des sciences utilisant des repères, des symboles et des grandeurs différentes, même si certaines peuvent dériver d'autres. Cela revient aussi à vouloir rendre dépendant entre eux des efforts – potentiels ou des flux associés à des niveaux d'espaces différents. Considérons une première équation donnée par : ia=yab b~ . Cette équation fait intervenir un flux dans l'espace

nodal. Considérons maintenant une deuxième équation : e~=z i . Dans cette deuxième équation apparaît également un flux, mais décrit cette fois dans l'espace des modes. On peut vouloir connecter ces deux flux malgré leur distance spatiale. Cela impose de créer une matrice – puisqu'il s'agit d'éléments de même dimension physique – de la forme :

ia=~a i

Si cette relation existe, qui jette un pond entre des objets d'espace connexes dont l'un est une variété de l'autre, on étend l'équation de départ à une forme :

ia=yabb~~a i

Le même raisonnement appliqué aux potentiels conduit à une équation du type :

e~=~~b b~z i

La réunion de ces deux équations donne le système inhomogène :

{ ia

e~}={ yab ~

a

~~ b z

}{b~

i }Les vecteurs et matrices écrits entre accolades incluent des objets de

dimensions et espaces différents. On nomme h-tenseurs ces objets (h pour hybride). On peut se demander, les sources étant le terme de gauche, si cette équation est résoluble? Autrement dit, le terme central est-il inversible?

Imaginons que les métriques y et z contiennent des opérateurs agissant sur les valeurs courantes et passées des inconnues et i. Notons V et k ces valeurs passées. On a alors en comptant à partir de l'instant courant l'indice de temps :

{ ia=yab b~AtV b~t B~

a 0 i 0B~

a tkt

e~=C~~ b0 b~

0C~~ b tV b~

tz iDtkt

En posant : B~a 0=0 C~

~ b0=0 , on trouve en regroupant les termes connus à l'instant courant à gauche :

141

{ia−yab AtV b~t−B~

a tkt=yabb ~

e~−C~~ bt V b~

t−z Dtkt=zi

Du fait même de la causalité, le système devient :

{ sa

f ~}={yab 0

0 z}{b ~

i }avec :

{sa= ia− yab AtV b~t−B~

a tkt

f ~=e~−C~~ b tV b~

t−z Dtk t

La diagonalisation du terme central de l'équation inhomogène rend ce terme inversible. L'inversion des deux termes, autrement dit de la h-métrique, redonne l'ensemble des solutions nodales et modales. L'extraction des solutions est donc ici une conséquence de la causalité. C'est en forçant les composantes temporelles courantes des matrices de couplages hétérogènes que l'on retrouve un système inversible.

Ces solutions peuvent par ailleurs piloter des variables originellement définies dans l'espace vectoriel. La mise à jour de paramètres temporels peut se faire avec la relation de conservation :

iu=yuubub~L

a i

Cette relation provient de la superposition des solutions élaborées dans les deux espaces nodal et modal. C'est par cette relation que les comportements non linéaires des impédances de branches sont modifiées simultanément par les sources de flux nodales et les sources de fém modales. L'existence de ces deux types de sources découle des équations de Maxwell. De la divergence du champ électrique on tire :

∇⋅E= 0

⇒0∬S

ds⋅E=q⇒−0∂∂ t∬

S

ds⋅E=i

alors que de l'équation de l'induction on tire :

e=−∂∂ t∬

S

ds⋅B

Le champ électrostatique dérive d'un potentiel scalaire et le champ magnétique d'un potentiel vecteur :

E=−∇ B=∇∧A

Le rotationnel étant défini dans l'espace modal et le gradient de potentiel dans l'espace nodal, l'appartenance des deux sources aux mêmes espaces respectivement est explicite.

142

11 Plans d'expériencesL'utilisation des plans d'expériences comme aide à la détermination des

éléments influents et une technique importante pour les calculs et la compréhension des systèmes étudiés. On part du principe que l'on dispose d'une équation pour un système. Dans cette équation, deux réseaux interviennent et l'on désire faire un plan d'expérience par rapport à ces deux facteurs. Ces deux réseaux correspondent à deux types de filtrages par exemple. Partons par exemple d'une équation modale de la forme : e~=zi . La métrique z contient les deux facteurs étudiés. i est le vecteur des résultats en flux. On note que l'équation telle que n'est pas suffisante car aucun observable n'est défini. Imaginons que l'on observe la tension aux bornes d'une charge particulière, R. Cette tension est donnée par : uR=R L~

R i=R L~R y e~ . Cette expression constitue les résultats des

expériences. On considère ensuite que la métrique z comprend les deux facteurs f1

et f2 influents. Pour chacun de ces facteurs on calcule les résultats pour alternativement les valeurs maxima et minima des facteurs. Pour deux facteurs le tableau d'un plan d'expérience ressemble au tableau suivant :

Les quatre valeurs obtenues pour les quatre combinaisons des facteurs constituent les quatre composantes d'un vecteur résultat Y. Les combinaisons auxquelles on a rajouté celle de la moyenne constituent la matrice d'interaction X du plan d'expérience. Pour N combinaisons (ou expériences) le vecteur des effets E est donné par la formule :

X =[1 −1 −1 11 −1 1 −11 1 −1 −11 1 1 1

] E=1N

X T Y

Les valeurs calculées correspondent à des variations du résultat pour des variations des facteurs, l'un d'entre eux étant maintenu fixe. L'alias donne l'influence relative de la variation simultanée des deux facteurs.

143

12 Transformations pour aller de l'essai équipement au

risque systèmeDans une topologie des éléments appartenant aux réseaux primitifs

apparaissent dans la métrique, alors que d'autres éléments proviennent des rayonnements induits par l'environnement. Si le système étudié comporte plusieurs équipements, reliés par des câblages, les équipements restent inchangés lorsqu'ils sont utilisés par plusieurs systèmes, alors que les câblages eux peuvent changer en longueur et répartition. D'un système à l'autre, les architectures changent finalement ces câblages et effectuent des dilatations ou des rotations sur les ondes guidées qu'ils transportent. On doit donc pouvoir conserver une partie de la métrique fixe pour ne transformer que la partie contenant ces échanges conduits ou rayonnés. Prenons par exemple le cas simple de deux équipements accessible par une frontière à un port unique. Dans le cadre d'un test équipement le réseau équivalent avec un câblage réduit est décrit par la métrique suivante :

Z=[ z1zc−zc z2

z1−zc zcz2]

En utilisant le modèle de Branin, nous pouvons exprimer que le système d'équations des courants de mailles s'écrit :

{e1= z1zc−zc i1z2 i2

e1= z1−zc i1 z2zc i2

L'opérateur de retard est défini par : =x

v, x étant la longueur de la

ligne et v la vitesse de groupe dans cette ligne. L'impédance caractéristique de la ligne est définie en fonction de la hauteur de la ligne au plan de masse. Ainsi, dans cette première architecture liée à ce premier test, les deux éléments de retard et d'impédance caractéristique, tous deux inclus dans la métrique, définissent complètement la dépendance entre le branchement des deux équipements et leur environnement. Si l'on change cet environnement, on ne va pas modifier les impédances z1 et z2 qui sont intrinsèques aux équipements, mais seulement les termes zc et de retard . On peut donc calculer les variations de réponses d'un environnement à un autre par simple modification de ces termes uniquement.

L'intérêt se pose surtout dans le sens du système vers l'équipement. Une fois choisie une architecture pour un système on peut calculer les réponses pour des valeurs de longueurs et d'impédances de cette architecture. Ensuite pour calculer quelles seraient les contraintes vues par un équipement dans un cadre de test équipement et non plus système, il suffit de modifier les variables liées à l'environnement. En comparant les contraintes dans les deux cas on peut vérifier

144

que les tests équipements couvrent bien le besoin système ou non. Si la couverture est insuffisante, on peut augmenter les contraintes de façon à retrouver la couverture recherchée.

12.1Concept de « virtualisation »On peut discerner trois mondes : le monde réel, le monde théorique et le

monde virtuel. Le premier est le monde des expérimentations concrètes, le second regroupe les modèles physiques et mathématiques sur lesquels se basent les calculs et les modélisations du monde réel, le troisième est le monde des simulations ou des calculs numériques. Il est essentiel de discerner les deux notions de simulation et modélisation avant de parler du concept de virtualisation.

La simulation comme son nom l’indique est l’action qui consiste à simuler le fonctionnement d’une électronique, c'est-à-dire « faire paraitre comme réel quelque chose qui ne l’est pas »4. Pour la CEM la simulation consiste en l’emploi soit de logiciels numériques qui résolvent les équations de Maxwell, soit sur des fonctions qui sont autant de macromodèles reliées en chaîne. Ces simulations s’appuyant sur des modèles théoriques, tentent de présenter un ensemble de caractères semblables au système simulé. Par définition la similitude n’est pas parfaite, sans quoi cela signifierait que l’on reproduit le système réel (seul un système identique serait similaire en tout point y compris géométrique, photométrique, etc.), mais elle est suffisamment identique sur un domaine borné pour pouvoir, sur ce domaine, ressembler en tout point au système simulé.

La modélisation est l’action qui consiste à créer ou disposer d’expressions mathématiques basées sur les lois de la physique et de la chimie pour représenter le comportement d’un système en courbes ou graphes. On trace ainsi dans l’espace des phases la trajectoire d’un solide en mécanique, comme on calcule la trajectoire des planètes en astronomie. Ces tracés sont extraits de variables présentes dans des équations de la physique qui sont autant de modèles du monde réel.

La virtualisation est l’action de créer un programme (ou un ensemble de programmes) informatiques qui vont représenter numériquement, par le biais d’image de synthèses ou de tracés de graphes voire d’actionneurs sensibles (capteurs, hautparleurs, …) le fonctionnement d’un système. Pour atteindre cette représentation, le monde virtuel s’appuie sur les équations analytiques des modèles physiques du système « virtualisé ». D’excellents exemples de mondes virtuels sont les jeux comme par exemple le golf. L’utilisateur paramètres les données d’entrée (puissance du coup, direction, etc.) et le logiciel calcule par les équations de la dynamique la trajectoire de la balle. Ensuite, un écran permet de suivre l’image de cette balle comme celle que l’on aurait pu voir dans la réalité. La réalité virtuelle ici ne cesse de progresser pour redonner l’illusion parfaite de cette visualisation. On peut se poser la

4Définition du petit Larousse illustré, édition 2006.

145

question de l’intérêt d’une telle recherche, mais le sentiment de réalité contribue au réalisme concret de la virtualisation. Ce réalisme n’est d’ailleurs atteint que par la mise en œuvre de plusieurs métiers de la physique (ce que l’on référence souvent sous la dénomination «multiphysique»), ainsi aussi réaliste que puisse paraître l’image d’un plat, elle ne provoquera la sensation de réel que si elle s’accompagne des odeurs correspondantes.

12.2Les difficultés de la virtualisationLe monde réel est beaucoup plus complet que le monde virtuel. Cette

dimension se traduit par un ensemble de phénomènes physiques et des modèles liés mis en jeu infiniment plus grand que le monde virtuel. Les codes de simulation sont basés sur des méthodes numériques aux limites précises. Ces limites sont à la fois des limites sur les tailles simulables – et l’on sait aujourd’hui traiter des millions de données, sur les domaines de la physique pris en compte mais aussi sur les ruptures de modèles. Ce deuxième point est beaucoup plus difficile à traiter. Il signifie qu’une physique elle-même repose toujours sur plusieurs modèles définis sur des domaines connexes. Par exemple une ligne en basses fréquences se modélise par deux impédances alors que dés que les phénomènes de propagation interviennent, son modèle nécessite 2 impédances additionnées d’une fonction de couplage. On aboutit toujours au constat que la simplicité des comportements utiles des systèmes est le résultat d’agencement de processus complexes. Et c’est cette simplexité5 qui n’est pas réalisable par les codes de simulations. Cette incapacité provient de la conception de ces logiciels qui partent d’un maillage pour y projeter les équations à résoudre dans l’hypothèse que le macromonde est une simple construction de briques du micromonde. Or cette hypothèse trop simpliste ne considère pas l’existence de propriétés propres aux macro-objets. Ainsi avec de l’oxygène et de l’hydrogène on peut fabriquer de l’eau. Mais l’eau a ses propriétés propres que l’on ne retrouve pas dans chacun de ses composants séparés.

En toute rigueur on peut affirmer que le monde réel contient le monde virtuel – qui a sa propre réalité – mais que l’inverse est évidemment faux. C’est cette lacune de couverture qui conduit souvent à dire que les simulations « ne servent à rien ». Je vais essayer de démontrer qu’il n’en est rien, au contraire et cela à deux niveaux. D’une part les réflexions de réduction de complexité qu’impose leur emploi assurent une maîtrise dans la conception du système qui permettra d’éviter les fausses interprétations en essais, de prédire les risques de non tenue aux exigences et les solutions associées et enfin prédire les résultats pour des essais variés. D’autre part on a peut-être abandonné trop vite l’idée que le calcul, intégrant des fonctions analytiques issues de lois physiques ou de régressions de simulations ou d’expérimentations locales (au sens qu’elles ne portent que sur une caractérisation d’une partie du système), élaboré sur un formalisme mathématique suffisamment puissant pouvait constituer une nouvelle voie pour la virtualisation. Le calcul est

5Voir « Simplexité » d’Alain Berthoz chez Odile Jacob.

146

potentiellement capable de modéliser la simplexité et l’on peut penser que les outils informatiques de demain utiliseront ces progrès dans la modélisation.

12.3Du découpage des problèmes en sous-problèmes simplesQue ce soit pour concevoir un système ou interpréter des résultats

d’expérimentations, l’ingénieur découpe le système en sous-fonctions élémentaires connectées entre elles par des pistes, des câbles ou des guides. Il comprend le fonctionnement du système connecté comme la simple réunion des sous-fonctions devenues liées certes, mais restant indépendantes au niveau des caractéristiques électromagnétiques. Les effets d’interférences fortes ne sont pas intuitifs. Par exemple, un effet qui est presque toujours oublié est celui de l’impédance ramenée. Lorsque l’on connecte un équipement à un autre, chaque équipement ne voit pas l’impédance de son voisin, mais la vue de cette impédance au travers de la ligne de liaison en fonction de sa longueur et de la rapidité des formes d’ondes. Dès que le spectre des signaux est un peu élevé, le découpage du système n’est plus trivial. Ainsi les volontés de représentativité des configurations d’essais sont souvent mis à mal par la dure réalité des variations d’impédances. Il est fréquent que des « set-up » soient remplis de câbles extrêmement longs, enchevêtrés incluant des bancs de tests avec des « impédances représentatives ». Mais ces démarches ne sont valables qu’en basses fréquences et dès que la fréquence est assez haute, les différences de boîtiers, les cheminements différents des câblages font que l’impédance vue par l’équipement n’est de toute façon pas celle qu’il verra une fois installé sur le système réel. Et pourtant beaucoup sont convaincus de la crédibilité de ces approches pour n’avoir pas évalué la sensibilité des variations d’impédances en fonction des paramètres de hauteur, longueur, géométrie des interfaces. Evidemment, ces écarts sont exacerbés si l’on considère qu’en général, la connaissance exacte des circuits d’interfaces n’est présente que chez chaque concepteur d’équipement. Il faut se résoudre à l’idée que l’espoir de représentativité est vain de même que les raisonnements intuitifs sont rarement corrects. La seule solution robuste consiste à caractériser chaque élément unitairement soit par l’intermédiaire de simulations, soit par des expérimentations spécifiques, puis de calculer le système résultant de connexions de ces éléments. L’analyse étape par étape de la constitution du système à partir de réseaux dits primitifs (sous-fonctions élémentaires) va permettre de bien comprendre ses comportements, de visualiser les signaux échangés, d’identifier les familles de signaux et de gérer les incertitudes. Car qu’elles que soient les approches on dispose heureusement d’un invariant : les perturbations d’un système comme ses émissions dépendent des composants utilisés dans ses électroniques. C’est à partir de cet invariant que nous pourrons virtualiser la conception et définir les configurations en essais d’équipements, qui démontrent la tenue des exigences et les réponses aux besoins système.

147

12.4Analyse tensorielle des réseaux comme fondement de la virtualisationQue ce soit en essai au niveau équipement ou sur système, on peut

montrer que la puissance transmise aux composants est invariante6, c'est-à-dire que le seuil de puissance transmise pour une perturbation donnée reste le même quels que soient les circuits en amont des composants. Cela signifie, en simplifiant un peu, qu’un produit d’une tension complexe V aux bornes d’une entrée de composant par le courant complexe conjugué I* rentrant sur le même accès au moment où une perturbation est observé est une quantité qui caractérise le composant de façon intrinsèque. Quoi que seront les connexions de ce composants vers d’autres électroniques, ce produit que nous noterons s est toujours le même. L’ensemble des interactions d’un composant vers son environnement est complètement défini dans un tableau de fonctions appelé métrique et noté Z. Cette « métrique » regroupe tous les opérateurs d’impédance en conduction (inductances, condensateurs, résistances, transistors, …) ou en rayonné (impédance de rayonnement, etc.). On montre dans le cadre de la topologie que cette métrique est un tenseur. Elle constitue l’objet central de notre virtualisation. Pour l’ingénieur, cette métrique se présente comme une matrice dont les termes diagonaux sont les impédances de chacune des branches du circuit et les termes extra-diagonaux sont les fonctions de couplages entre ces branches. Considérons par exemple un simple transformateur avec une résistance R1 au primaire et une résistance R2 au secondaire. La première branche est une résistance, la seconde l’inductance du primaire L1, la troisième l’inductance du secondaire L2 et la quatrième la résistance de charge au secondaire. Les éléments diagonaux de la métrique décrite dans l’espace des branches avec l’opérateur de Laplace p se trouvent organisés suivant :

Z=[R1 0 0 00 L1p 0 00 0 L2p 00 0 0 R2

]Pour coupler les deux circuits et fabriquer notre transformateur, il suffit

d’ajouter à cet objet la mutuelle inductance M entre les deux inductances (notre modèle de transformateur est simpliste mais a pour seul objectif ici d’expliquer la notion de métrique) :

Z=[R1 0 0 00 L1p −Mp 00 −Mp L2p 00 0 0 R2

]On reconnait bien ici sur les termes diagonaux les propriétés des

6O.Maurice, J.Pigneret, « Susceptibilité hyperfréquence des composants numériques », Radec’s97. F.Lafon, « … », EMCCOMPO09, et bien d’autres références sur le sujet.

148

branches du circuit et en termes extra-diagonaux les couplages qui peuvent exister entre ces branches.

Lorsque l’on calcule l’illumination de l’équipement et son environnement (alimentations, charges, etc.) à des agressions électromagnétiques, on définit des sources d’énergie E. Par ailleurs, ce sous-système dispose de ses propres sources d’énergies, Eo. L’ensemble des sources intervenant dans le sous-système constitue un vecteur T = E+Eo, lui-même somme des deux vecteurs des sources externes E et propres Eo. Par exemple, l’alimentation de l’équipement est la 7ième composante du vecteur T (j’aurais pu dire la 8ième ou la 3276ième). L’ensemble des courants qui seront engendrés par les générateurs en calcul comme en test au niveau équipement est déterminé par une équation qui a une forme du type : T=ZI. Cet ensemble de courant I constitue un vecteur également. Le courant rentrant dans le composant considéré précédemment est par exemple la 7ième composante de ce vecteur I. Z est une matrice que l’on peut inverser pour calculer ce vecteur courant I. Dès lors, la composante particulière I7 (le 7 en exposant indiquant que l’on pointe la 7ième composante de I) est aussi déterminée par la résolution du système T = ZI. On trouve alors la puissance transmise sur l’entrée considérée en calculant p(7)=V7I7* (la tension V7 se déduit du courant I7 connaissant l’impédance d’entrée du composant). L’essai de validation, s’il est bien géré et maîtrisé, reprendra le set-up défini au travers des modèles utilisés dans le calcul pour accéder à p(7). Des essais éventuels de caractérisation donneront une valeur de seuil po pour laquelle les perturbations apparaissent (nous simplifions ici aussi un peu l’analyse, mais ses fondements sont exactement similaires).

Passons maintenant sur système. La nouvelle architecture sous test est représentée par une métrique Zs différente de la précédente, sauf au niveau de l’entrée du composant où elle reste identique. Pour ce test système on définit aussi des sources. Les sources propres sont inchangées, mais les sources externes E’ sont différentes. On trouve un nouveau système à résoudre avec T’=ZsI, où T’=E’+Eo. De même on inverse Zs pour trouver I et extraire p(7). On peut ensuite comparer p(7) trouvé dans ces conditions avec le seuil po(7) de perturbation. On voit que cette démarche suppose que l’on a pu au préalable caractériser po(7). Mais quand est-il de l’écart entre Z et Zs ? Toute une catégorie d’impédances est aussi identique entre les deux expériences là aussi qu’elles soient réelles ou virtuelles. On ne va en fait modifier que les interactions entre les éléments de la sous-chaine qui elle, reste identique dans tous les cas. Or cette modification passe par des transformations de Z vers Zs que l’on peut traduire mathématiquement au travers de deux objets : la métrique elle-même d’une part, et les connexions d’autre part. Et c’est ici que l’analyse virtuelle amont va apporter beaucoup : en travaillant pour ne modifier que la métrique, on prouve la conservation des exigences entre le test au niveau équipement et au niveau système. Changer les connexions signifie que par exemple, on déplace un fil qui allait de l’entrée n à l’entrée m, pour le placer entre les entrées n et p. Mais on veille à ne pas réaliser de telles opérations. Ce qui signifie que les mêmes liaisons sont réalisées entre les deux analyses du système et de l’équipement (ou de la sous-fonction, ce qui revient au même). Par contre, les longueurs de câblages, les hauteurs aux plans, etc.,

149

elles, (et là nous nous référons à notre discussion précédente : nous n’avons pas le choix : elles changent !) peuvent changer. En écrivant Z’ = Zo+Z et Zs’=Zo+Zs, où Zo est la partie invariante des opérateurs d’impédances, on peut définir un ensemble d’opérations de rotations et de translations appliquées à Z’ qui conduisent à Zs’ regroupées sous la forme d’une équation tensorielle de transformation : Zs'=Λ'Z'Λ (l’exposant prime sur la matrice indiquant l’emploi d’une matrice transposée ou image, ou en général différente de la première). Alors l’équation au niveau système devient : T'=Λ'Z'ΛI . Reprenons notre exemple précédent mais en considérant deux spires éloignées. Nous pouvons séparer Z en deux termes : Zo qui contient les impédances invariantes propres (charges et inductances des spires) et Zs qui contient la fonction de couplage (qui dépend de la distance entre les deux spires et de l’angle entre leurs normales si l’on suppose l’une perpendiculaire à la ligne de visée et dans le plan formé par la ligne de visée et le champ magnétique) :

Z=ZoZs⇒Zo=[R1 0 0 00 L1p 0 00 0 L2p 00 0 0 R2

] Zs=[0 0 0 00 0 −Mp 00 −Mp 0 00 0 0 0

]Le coefficient de couplages7 entre deux spires est fonction de la distance

entre spires R, de leurs surfaces A et A’ et de la longueur d’onde :

M=ℜ{−iAA'

R2e−ikR e

i2}

Dans le coefficient M interviennent deux paramètres : l’angle et la distance. On peut appliquer à la matrice Zs une série de transformations visant par exemple à modifier les angles. Le lecteur pourra vérifier que les deux matrices suivantes image l’une de l’autre, permettent de modifier la valeur angulaire, traduisant par là une rotation appliquée aux spires lors d’une nouvelle installation :

= '=[0 0 0 0

0 ei2 0 0

0 0 ei

2 00 0 0 0

]L’algèbre tensorielle offre une panoplie gigantesque de transformations

disponibles qui permet de traduire mathématiquement toutes les transformations opérées.

On sait prédire les performances au niveau système à partir des

7Lire par exemple « Antennas » de Kraus et Marhefka chez Mc Graw Hill

150

résultats équipements et cela après un travail de réflexion sur les natures intrinsèques des électroniques d’une part, l’existence d’un invariant et le contrôle des transformations appliquées entre les configurations équipement et système d’autre part. La démarche amont va permettre de justifier les set-up d’essais de validation dans un objectif de répondre au mieux aux exigences système. Elle va aussi permettre de faire les choix de protections, etc., en prenant en compte les incertitudes de valeurs en travaillant sur des enveloppes de valeurs d’impédances. Elle va permettre d’identifier les points sensibles de la fonction pour ensuite aller beaucoup plus vite dans l’analyse en cas de problèmes révélés lors des essais de validation. Enfin, c’est par ce seul biais que l’on peut démontrer une robustesse transverse en analysant différentes hypothèses d’architecture système. Notons que nous n’avons pas parlé des sources. Les sources doivent être maintenues constantes. On caractérisera donc les composants à des formes d’ondes prédéfinies. Certains pourraient objecter que ces caractérisations sont limitatives. Certes, mais d’une part on peut se référer aux travaux du passé sur les contraintes enveloppe, d’autre part même dans une démarche normative plus classique, les formes d’ondes appliquées ne sont pas plus exhaustives, loin s’en faut !

12.5Application aux essais en compatibilité électromagnétiqueDans le cas de la compatibilité électromagnétique, les transformations

opérées sont des changements d’échelles (modification des longueurs de câblages) , de hauteur aux plans. Ces transformations font partie du groupe des translations. Puis l’on peut changer les courbures de câbles, incliner les équipements, modifier l’incidence des sources, etc. C’est le groupe des rotations. L’étude des différentes hypothèses d’architectures systèmes constitue un groupe de transformations reliées à chacune de ces hypothèses. Les incertitudes portant sur ces architectures se traduisent en plans d’expérience (ou équivalents) où l’on va explorer les différentes combinaisons de valeurs des facteurs intervenant, pour en déduire les facteurs influents et les lieux des protections à apporter pour palier à ces méconnaissances du système final. Ces tâches seront à terme prises en charge par des interfaces homme-machine élaborées qui aideront l’ingénieur dans sa conception. Aujourd’hui les travaux se focalisent sur la mise en œuvre des formalismes tensoriels d’analyse des réseaux et leurs implémentations numériques8. De nombreux travaux ont vu le jour en ce sens qui confirme les capacités de la méthode à répondre à la problématique et à donner une base mathématique formelle à l’objectif de virtualisation amont9. Mais déjà aujourd’hui, des simulations restreintes peuvent être réalisées en utilisant des logiciels de circuits et de calcul10, pour

8O.Maurice « CEM des systèmes complexes », chez Hermès-Sciences. 2007.

9Thèse de S.Leman, laboratoire TELICE. Thèse de K.El Fellous, laboratoire Xlim. Publication aux compte-rendus de l’académie des sciences : xxx

10Voir aussi les logiciels opensource : Qucs, SCILAB, …

151

faire « manuellement » les analyses discutées dans cet article. Par ailleurs d’autres approches visent à optimiser les connexions entre logiciels (techniques de logiciels hybrides, liens dynamiques entre programmes, etc.).

12.6Un exemple simple illustratifImaginons un exemple très simple et pourtant qui couvre déjà de

nombreuses situations rencontrées sur les systèmes réels. On considère deux équipements reliés par une liaison bus via une ligne monofilaire référencée à une structure de plancher métallique. Chaque équipement a son impédance d’entrée. Dans un modèle de Branin11, la ligne est modélisée par son impédance et sa vitesse de propagation. Pour mettre en évidence les aspects matriciels nous dupliquons cette liaison entre les deux équipements. L’équipement 1 est émetteur, l’équipement 2 récepteur. La figure suivante montre le circuit équivalent dans lequel les lignes sont supposées adaptées pour faire plus simple dans cette illustration.

Le modèle de Branin nous donne les expressions des tensions reçues sur les entrées de l’équipement 2 :

{e3=Zc1 i2 e− p⇒e3

i2=z32=Zc1 e− p

e7=Zc2 i6 e− p⇒e7

i6=z76=Zc2 e− p

Les paramètres et sont obtenus par le rapport entre la longueur de la ligne et la vitesse de groupe dans la ligne. La métrique déduite de ce schéma a pour composante de couplages dans l’espace des mailles :

Zs=[ [0] [−z32]

[−z76] [0] ]Chaque élément de ce tenseur est lui-même un tenseur 4x4 après

11On peut lire sur ce sujet « Electromagnetics for Engineers » de Clayton R.Paul chez Wiley.

152

changement de base de l’espace des branches vers l’espace des mailles. Si l’on installe ce système dans un autre environnement où les longueurs des liaisons évoluent, une transformation s’opère sur le tenseur Zs précédent pour modifier les constantes de retard et . La transformation est similaire à celle réalisée pour le transformateur si ce n’est qu’elle a pour but de changer la longueur – elle correspond donc à une dilatation – et non un angle de rotation. Le changement de l’espace des branches à l’espace des mailles permet de passer dans un espace de description plus pertinent pour le problème à traiter. Pour réaliser ce changement on crée une matrice de connectivité L qui relie les courants de branches aux courants de mailles. Dans notre exemple, les branches 1 et 2 appartiennent à la maille 1, les branches 3 et 4 à la maille 2, etc. La connexion est donc définie par une matrice faite de « 1 » là où courants de branches et de mailles coïncident et de « 0 » là où ils ne coïncident pas. C’est une autre capacité de l’algèbre tensoriel de profiter d’un invariant pour autoriser l’expression des éléments dans différents espaces sans changer les résultats. La transformation pour un tenseur d’ordre 2 suit toujours une forme du type : z=L' z L . z restant intrinsèquement le même objet mais vu suivant des bases variées. Que les sources soient internes ou proviennent de couplage avec le champ ne change rien à la démarche. On peut toujours passer d’une architecture à une autre par des transformations.

153

13 Méthodologie pour la CEM : variations de la métrique,

transformations et connexionsL'objectif d'utilisation de la Diakoptique en CEM est multiple :

• prédire les variations de comportement d'un ensemble de systèmes lorsque l'on passe d'une configuration à une autre,

• prédire et comprendre le comportement d'un système fait de l'agencement de nombreux sous-systèmes,

• prédire la variation de comportement d'un système lorsque l'on change l'une de ses composantes.

D'autres usages peuvent encore être imaginés, pour ne citer ici que les principaux.

Pour réaliser les connexions entre des sous-réseaux - « réseaux primitifs » il faut se doter de connexions canoniques. Certaines ont déjà été identifiées : les connexions par conductions, ou « soudage ». Elles correspondent à un changement de bases dans l'espace vectoriel. Les connexions électrostatiques correspondent à un ajout de branches capacitives dans l'espace vectoriel. Les connexions magnétostatiques étant prises en charge par un réseau imbriqué dans l'espace modal de cordes de réluctances. Le champ lointain est, on l'a vu, pris en charge par l'espace des moments. Les systèmes imbriqués interagissent par leurs surfaces électromagnétiques. Les différents réseaux mécanique, thermique, fluide, électronique sont autant de réseaux en parallèle dont les points communs sont les nœuds. Un système complexe peut être étudié par couches dont on a vu quelques exemples utilisés en sûreté de fonctionnement avec les couches physique, de protocole, de mise en forme et applicative.

En arrière-plan de ces réseaux et de leur organisation se trouve le réseau de la mécanique quantique et de la chimie. Ce réseau vient alimenter les paramètres des macromodèles d'impédances des autres réseaux. Ce réseau est masqué ou non suivant les besoins et les applications.

Les objets utilisés sont des h-tenseurs dans le domaine de l'espace-temps. Des fonctions de couplages peuvent être décrites dans le domaine harmonique suivant par exemple la technique présentée ou en utilisant un banc de filtres.

Nous allons étudier un cas particulier simple pour envisager quelle serait la succession des actions dans la construction et l'étude d'un système.

Considérons un système fait de deux antennes montées sur un plan. Les antennes communiquent entre elles et le plan sert de conducteur pour des courants hautes fréquences. La figure suivante12 montre le système dans son ensemble.

12 Cette figure a été tracée par l'intermédiaire du logiciel open source Wings3D

154

Ce système est constitué de trois éléments visibles et d'une électronique masquée (l'électronique de puissance dont on ne considérera que les courants circulant dans le plan). La figure suivante montre les trois éléments qui constituent notre système :

Les deux antennes communiquent en fonctionnel. On peut les modéliser par deux dipôles adaptés et une fonction analytique de transmission du champ. Notez que dans une phase de conception du système ces fonctions analytiques sont largement suffisantes. Dans une phase de validation virtuelle, on pourrait faire appel à une méthode intégrale pour calculer cette fonction de transfert puis en faire une régression. Dans la figure ci-dessous on trouve les modèles attachés aux antennes.

155

La formule analytique de transmission est :

e2=∫y2

dy2∫y1

dy1 i1 y14R12

e−ikR12 [ R12

R122 y2 ]

2

Le troisième élément considéré est le modèle du plan. On prend ici u modèle très simple mettant en évidence le développement d'une différence de potentiel si le plan résistif est parcouru par un courant de puissance.

156

Lorsque l'on va coupler ces trois éléments, on crée une interaction entre chaque antenne et le plan, interaction de champ proche. On rajoute une interaction de champ réfléchi par le plan entre les deux antennes qui consiste en un terme qui complète l'expression analytique de transmission et on vient « souder » l'antenne en réception au plan. Ces trois opérations sont synthétisées dans le schéma suivant.

La première tranche d'opérations à effectuer est le changement de base ou de métrique pour traduire les interactions conduites. Dans le cas présent on utilise un changement de base vectorielle F pour connecter l'antenne de réception au plan et une modification de la métrique pour prendre en compte le rapprochement du plan des antennes. Ce rapprochement transforme les impédances Z2 et Z3 des deux réseaux primitifs des antennes en impédances égales à la mise en parallèle d'un condensateur et des impédances d'origine.

157

Dans le dessin précédent, on note que Z3 est devenu Z3

jC 2Z3et Z2 est

devenu Z2

jC 1 Z2. L'opérateur de couplage en champ lointain est un terme

extra-diagonal qui est la fonction analytique de couplage des antennes en espace libre :

A ce terme on ajoute les réflexions issues de la présence du plan :

158

Le passage dans l'espace modal du réseau ainsi connecté met en évidence le partage du courant de puissance par la réception RF et le plan tel que montré dans la figure ci-dessous. Notons que les termes de couplages exprimés sous forme matricielle sont transposé l'un à l'autre. Il n'y a donc pas écrit ainsi parfaire symétrie dans les couplages, quelle que soient les configurations. Les trois matrices de couplages sont données par :

1=[1 0 0 0 0 0

01

jC1 Z20 0 0 0

0 01

jC2 Z30 0 0

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

] 2=[ [0] [21] [0]

[21]T [0] [0]

[0] [0] [0]] 3=[ [0] [21] [0]

[21]T [0] [0]

[0] [0] [0] ]

La fonction de sortie est une fonction de la valeur moyenne du courant RF

159

détecté modulé par un gain dépendant du courant d'alimentation et perturbé par le courant basses fréquences. On détermine (pour cela en général par mesure ou étude du circuit électronique) :

S= 5−R5 i5 [R4 i4 2 ]= 5−R5 L~5 i [ R4L~

4 i2]

S= 5−R5 L~5 ; f BF

−1e~; f BF

[ R4L~4 ; f RF

−1e~; f RF

2 ]

Cette fonction constitue une corde – ou un lien – qui gère directement à partir d'une mesure sur le système une valeur réinjectée dans une fonction analytique qui correspond à l'empilement de deux couches : de mise en forme et applicative. A partir de telle fonction on définit complètement le problème et l'on peut calculer des sensibilités à divers paramètres comme par exemple la sensibilité du résultat à la valeur de la résistance R5. On calcule :

∂S

∂ R5=[5−L

5 ; f0−1

e ; f0−R5 L

5 ∂∂ R5 ; f

0−1

e; f0 ]

[5−R5 L5 ; f 0

−1e ; f 0] [R4 L

4 ∂∂ R5 ; f 1

−1e ; f 1

2]Le système étant résolu sous la forme : e~= i

160

14 Algèbre des h-tenseurs

14.1DualUn h-vecteur est une matrice de deux vecteur-covecteur. Dans l'espace

d'origine, cette matrice a pour premier élément un vecteur et pour deuxième un covecteur. Soit par exemple :

{ sn

e~}

On appellera ce vecteur, h-vecteur. Il est organisé en colonne.

Son dual de fait est une matrice constituée de deux vecteurs mais dont le premier élément est le covecteur :

{V p~

i }On l'appellera aussi h-covecteur, ici organisé également en colonne.

14.2InvariantLe produit d'un h-vecteur par un h-covecteur forme un invariant qui est la

puissance totale dissipée sous les deux formes lamellaire et rotationnelle :

14.3TranspositionLa transposée d'un h-vecteur est la transposée de la matrice des vecteur-

covecteur mais aussi la transposée de ces vecteur-covecteur eux-mêmes :

{ sn

e~}

T

={s~n e~}

{sn e}T={s~ n

e~}

14.4Invariance de jaugeOn peut ajouter à un h-vecteur une projection d'un autre h-vecteur sans

161

changer sa nature de h-vecteur (ou h-covecteur) :

{ sn

e~}−{ 0 ~

n

~~ p 0 }{v p ~

i }={ sn−~ n i

e ~− ~~ p v p~

={ s ' n

e '~}}

Le coefficient formé d'une matrice extra-diagonale de matrice est appelé coefficient de jauge.

14.5h-métriqueOn peut définir une métrique entre un h-covecteur et un h-vecteur, chacun

étant défini à une jauge près. Définissons une h-métrique T telle que :

{ sn

e~}={T }{v p ~

i }On trouve :

T ={ynp 00 z

}Cette h-métrique est purement diagonale, et admet un inverse. A partir de la

définition de l'invariant on trouve :

{V n i ~ }{ sn

e~}={V n i~ }{ynp 0

0 z}{v p~

i }= p

Dans cette relation, chaque h-covecteur ou h-vecteur est défini à un coefficient de jauge près.

14.6Espace socleChacun des h-vecteur ou covecteur comporte des termes définis par

connexions à partir de vecteurs ou covecteurs eux-mêmes issus de l'espace vectoriel fondamental. Une transformation de connexion relie les vecteurs à l'espace nodal par une matrice d'incidence B, une autre transformation de connexion relie les vecteurs à l'espace modal par une matrice de connectivité C. On a :

{sn=Ban i a

ib=Cb i

Dans l'espace vectoriel on a les relations duales :

sn= ynp v p ~ e~=z i

162

Par l'usage d'un invariant constant on trouve alors :

y np=Ban y ab Bb ~

~ p z=C~ a z abC~

b

Ces deux relations induisent l'existence d'une h-connectivité. Elles conduisent aussi à la réciprocité :

i a=C~ a i yab Bb ~

~ p v p ~

14.7h-connectivitéEn partant de l'espace socle et d'une h-métrique définie dans cet espace, on

peut retrouver la h-métrique hybride sur les deux espaces nodal et modal par une matrice de connexion construite à partir des connexions séparées :

{ynp 00 z

}={Ban 0

0 C ~ c}{yab 0

0 z cd}{Bb~

~ p 0

0 C~ d }

Comme précédemment on vérifie que ces deux matrices sont transposées l'une de l'autre et inverses également par loi d'Hadamard. Les connectivités se construisent à partir de l'espace socle.

14.7.1 Interactions conduitesOn rappelle que la transformation F est un changement de base qui permet de traduire les partages de branches entre des réseaux au départ séparés, traduisant par là les opérations de branchements et interactions conduites. Tâtonnons pour trouver les expressions matricielles et tensorielles adéquates. Matriciellement, cette opération pourrait s'exprimer de la façon suivante (ou proche de cette façon):

{ y ' z }={0 0

0 F T}{ y ' z }{0 0

0 F }{ y ' 0 }

Pour écrire ces relations sous forme indicielle il nous faut accepter une convention d'affectation des indices. On convient :

• de prendre les lettres grecques de à pour l'espace modal

• de prendre les lettres latines de a à l pour l'espace vectoriel

• de prendre les lettres latines de n à z pour l'espace nodal

• de prendre les lettres grecques de à pour l'espace des cordes

La résolution du système final s'effectue dans l'espace modal. Si l'on traduit la relation précédente en indice on obtient sans « réfléchir » et en exploitant les propriétés de cette écriture :

T ab=F

~ T ab F~

L'écriture ne semble pas faire apparaître le changement sur le terme y que

163

nous avions exclu également dans la précédente relation. Or, un changement de base sur la métrique z va modifier l'espace des branches. Cette transformation va forcément potentiellement impacter la matrice admittance nodale. Quelle est la forme que l'on peut déduire pour la matrice F pour cette nouvelle expression? Repartons de l'expression détaillée de la h-topologie faisant apparaître l'incidence. Rappelons l'expression de l'admittance dans l'espace nodal (nous utilisons dorénavant nos conventions d'indice):

y no=B~ an yab Bb

~ o

Or l'admittance est l'inverse de la métrique z :

y no=B~ an {zab }−1

Bb~ o

Or c'est sur la métrique que nous effectuons un changement de base donc :

y no=B~ an {zab }−1

Bb~ o

le h-tenseur T s'écrit avec les connectivités :

T no =[B~ a

n {zba }−1 Bb~ o ~

n

~ o C

~ b zba C~ a ]

Si la métrique zab résulte d'un changement de base après des modifications de connexions en durs on a :

z ba=F b~ e zef F ~ a

f

Alors :

T no =[ B~ a

n {F b~ e zef F ~ a

f }−1Bb

~ o ~ n

~o C

~b F b~ e zef F ~ a

f C~ a ]

On peut décomposer T en des opérations de somme et produit de h-tenseur. Détaillons ce calcul (les éléments des matrices sont tous des matrices eux-mêmes) :

164

T =[0 0 ][B 0

0 C ] {[F 00 0] [z 0

0 0] [F 00 0]}

−1

[0 00 F ][0 0

0 z] [0 00 F ][B 0

0 C ]

T =[0 0 ][B 0

0 C ] {[Fz 00 0][F 0

0 0]}−1

[0 00 Fz ] [0 0

0 F ][B 00 C ]

T =[0 0 ][B 0

0 C ][FzF 00 0]

−1

[0 00 FzF ][B 0

0 C ]T =[0

0 ][B 00 C ] [FzF −1 0

0 FzF ] [B 00 C ]

T =[0 0 ][B FzF −1 0

0 CFzF ] [B 00 C ]

T =[0 0 ][B FzF −1 B 0

0 CFzFC ]Ce dernier terme nous redonne bien la h-topologie cherchée. Les matrices d'interactions entre variétés ne sont pas impactées par la modification apportée au niveau de l'espace vectoriel puisque justement elles créent des ponts directs entre les espaces nodal et modal. Les seuls termes diagonaux étant liés à la métrique et son inverse dans ces deux mêmes espaces, on voit que les changements de bases s'appliquent au terme primitif de la métrique et de son inverse en termes diagonaux dans l'espace vectoriels avant d'être eux-mêmes transformés en espaces modal et nodal respectivement.

La métrique de départ est transformée en h-métrique par la création d'un tenseur diagonal comprenant la métrique et son inverse. Soit :

habba={{z ab }−1

0

0 z ab}

On applique à cet objet un changement de base suivant la règle :

h ' effe=F eb

fa habba Faf

be={{F ~ bf }−1

0

0 F e~ a}{{zab }−1

0

0 zab}{{F a

~ e}−10

0 F ~ fb }

Cette organisation est une définition de l'application d'un changement de base à un h-tenseur. Tout changement de base appliqué au h-espace vectoriel suit cette règle.

Ce changement de base permet de connecter les réseaux primitifs entre eux pour

165

former un nouveau réseau où des branches sont mises en commun. Ce n'est que sur cette nouvelle métrique que l'on va appliquer les transformations vers les deux espaces nodal et modal. La h-métrique h' est donc le point de départ, la « métrique primitive » des réseaux connectés par liaisons filaires – ou en « dur ».

14.7.2 h-connectivité vers les espaces nodal et modal

Le type d'opération est l'application de connexion pour transformer le h-tenseur dans l'espace vectoriel vers les espaces nodal et modal. On doit pour cela définir une h-connectivité qui permette ces connexions. De par les transformations précédemment vues on sait que la connectivité doit avoir la forme suivante :

[B 00 C ]

B étant l'incidence est C la connectivité branches – mailles. Cette connexion est appliquée au h-tenseur h'. La h-matrice transposée est :

D en f={B~ e

n 0

0 C~ f }

Et l'original :

D f e o ={B f

~ o 0

0 C~ e }

On retrouve bien, suivant nos règles d'indices que le premier terme est la « super matrice » transposée du deuxième terme. La connexion avec les deux espaces nodal et modal s'écrit donc, en posant h'=G :

hno =De

nf G feef D f

eo

14.7.3 Transformations : dilatationsLa métrique z peut être séparés en ses termes diagonaux et extra-diagonaux.

Ces derniers sont les interactions de cordes. Certains des composants d'un systèmes sont rigides, c'est à dire que leurs dimensions sont invariables. Les opérations de rallongement ou raccourcissement ne peuvent être appliquées qu'à des éléments de lignes ou d'interactions rayonnées (au sens large). Si l'on détaille cette transformation sur l'élément z, la transformation au niveau du h-tenseur complet en découlera.

Ne retenons de la métrique z que la seule composante diagonale traduisant une interaction électrostatique. Cela signifie que une composante sur cette

diagonale est par exemple de la forme : C= Sx

. x est la longueur de la branche

correspondante. Si d'un système à l'autre des objets s'éloignent et que cette

166

distance est appelée à augmenter, il faut trouver un mécanisme qui change cette composante en fonction d'une configuration système. Une première technique peut consister à référer la composante à une variable externe et d'ajuster cette variable. Une autre solution consiste à appliquer à la matrice une translation. Effectuons par exemple le calcul :

[a 00 b][ 0

0 ]=[a 00 b]

La matrice de coefficients α et β permet donc de régler la distance x en chaque composante diagonale. Cette matrice est donc une matrice de transformation en translations. Son application au cas général des h-tenseur est immédiate. Soit ℘ cette matrice de dilatation en x :

{{ z }−10

0 z} {{x }−10

0 x}{{z }−10

0 z}={{ x z }−10

0 x z}Mais cette transformation – uniquement décrite dans l'espace vectoriel -

écrite ainsi ne satisfait pas. Il faut qu'elle suive les règles de transformations de h-tenseurs du second ordre. On écrit donc plutôt :

{{ x }−10

0 x}{{ z }−10

0 z}{{ x }−10

0 x}={{x z }−10

0 x z}On peut alors écrire cette transformation de façon indicielle :

℘haje z ef

ab℘bgfk=z hg

jk

14.7.4 Transformations : rotationsOn veut de la même façon trouver la matrice qui permette d'effectuer une

rotation sur la métrique z. Au préalable, il nous faut définir cette rotation. Nous avons déjà exploré une rotation sur un couplage par mutuelles inductances. On peut regarder d'une manière générale comment une matrice joue sur l'organisation d'une autre en fonction de sa structure. Considérons une matrice 2x2 générique. Multiplions là par une matrice extradiagonale :

[0 0 ][a b

c d ][0 0]=[ c d

a b ][0 0 ]=[d c

b a ]On voit que si b et c les éléments diagonaux de départ sont nuls, on échange

avec pondérations les termes diagonaux de la matrice de départ. Les deux matrices impliquées dans la transformation sont transposées l'une de l'autre.

Si ce sont les éléments a et d qui sont nuls, l'opération échange les termes extradiagonaux et pondère par les deux coefficients de transformation.

Utilisons maintenant deux matrices images :

167

[ 00 ][a b

c d ][0 0]=[a b

c d ][0 0 ]=[b a

d c ]L'opération a cette fois échangé deux à deux les termes de la matrice.

Regardons le cas de deux matrices images mais d'ordre inversé :

[0 0 ][a b

c d ][ 00 ]=[ c d

a b ][ 00 ]=[ c d

a b ]La matrice obtenue correspond de nouveau à une inversion des termes par

rapport au résultat précédent. Essayons une autre transformation :

[ 00 ][a b

c d ][ 00 ]=[a b

c d ][ 00 ]=[a b

c d ]Cette dernière transformation conserve l'organisation de la matrice de départ

et multiplie les termes par les coefficients de transformation. Dans tous les cas où l'on voudra appliquer des variations de phase dans les termes diagonaux de la métrique, on pourra utiliser cette forme en séparant auparavant la matrice en ses deux parties diagonale et extradiagonale.

14.7.5 DérivationsOn a pu évoquer la dérivation covariante des tenseurs. Que devient ce type

d'opération dans le cas de h-tenseurs?

Si l'on exploite la notion étendue de coefficient de jauge dans l'équation des systèmes on trouve :

S ~n −

nb k p ~ =

np k p~

On a vu que cette relation de jauge existait de par une existence implicite de causalité. Le second terme du premier membre se rapporte à l'instant courant, ainsi que la métrique χ alors que les inconnues sont celles qui sont définies pour l'instant suivant. Diverses dérivations peuvent être effectuées sur cette équation. Pour discerner la causalité dans les membres, on nomme k le h-vecteur des flux de l'instant précédent et f celui de l'instant courant :

S ~n −

np k p ~ =

np f p~

On peut intégrer ou dériver par rapport à un tenseur un h-tenseur. On peut par exemple exprimer :

∂∂

np np f p ~

=k p ~

Ou simplement étudier une pente par rapport à une composante :

∂∂ y[qr ]

np f p~ = ∂

∂ y[qr] np f p~

np ∂∂ y[qr] f p ~

168

Supposons une non dépendance des flux, il reste :

∂∂ y[qr ]

np f p~ = f p ~

{ ∂∂ y[qr ] y np 0

0 0}Mais la métrique inverse y exprimée dans l'espace nodal s'exprime elle-

même en fonction de sa connexion avec l'espace vectoriel. On a de fait :

f p ~ { ∂

∂ y[qr] ynp 0

0 0}= f p ~ { ∂

∂ y[qr] B~ an yab Bb

~ p 0

0 0}=

f p ~ { ∂

∂ y[qr] Dani z ij

ab Dbj pDa

ni ∂∂ y[qr] zij

ab Db j pD a

ni zijab ∂∂ y[qr] Db

j p}Les dérivées des h-connectivités engendrent éventuellement des h-

coefficients de Christoffel dans le cas général mais pas ici où la dérivation n'est effectué que par rapport à 1 composante particulière. Etudions le cas d'une dérivation covariante :

∂∂ ia Db

jp = ∂∂ i a {B b

~ p 0

0 C~j }={0 0

0 ∂∂ ia C ~

j }={0 0

0 ∂2i j

∂ i a∂ i }On peut, par un processus similaire calculer la dérivation par rapport à un h-

vecteur ou un h-covecteur.

169

14.8Elaborations de stratégies

S'étant doté des outils qui permettaient de traduire toute pensée menant à toute stratégie, la suite de l'étude consiste à envisager et traduire mathématiquement plusieurs de ces stratégies pour en voir l'impact sur les gains relatifs de plusieurs joueurs dans différents domaines des sciences humaines. L'analyse de l'évolution des gains pourra passer par des travaux de plans d'expériences pour comprendre les influences relatives des différents joueurs ou paramètres. L'agencement des espaces de champs suit toujours la même organisation, et les interactions vont se traduire dans les différents niveaux d'espace dans cette organisation. La figure suivante donne l'organisation de ces espaces.

Un objet est un réseau primitif constitué d'une couche physique, de couches de protocole, de mise en forme et d'une couche applicative. Du point de vue de la physique des champs, les interactions sont classées par ordre de « distance » :

1. interactions conduites

2. interactions de champs évanescents

3. interactions de champs lointains

L'espace des champs est représenté par les cordes, l'espace matériel étant concrétisé par les branches. On peut définir des noeuds et des modes dans les espaces des champs comme dans l'espace matériel.

15 Détermination des modesL'une des difficultés dans l'usage de l'espace modal est la détermination

d'une base de mailles parmi plusieurs possibles et le choix de la maille la plus pertinente. Nous montrons dans cet article comment procéder, en s'inspirant des techniques issues de la théorie des graphes et du principe de moindre action.

170

15.1Cycle hamiltonien et moindre actionLes graphes que nous traçons pour chaque physique sont formellement des

graphes valués ou probabilistes. Dans ces graphes, les mailles construites comme variétés de l'espace des branches sont des cycles hamiltonien13. Les mailles ne sont pas eulérienne car plusieurs branches peuvent relier deux nœuds. Mais ces cycles sont forcément hamiltonien car une maille ne passe qu'une fois et une seule par chaque nœud. Partant de la matrice d'incidence, le théorème de moindre action nous permet en fait d'affirmer que toutes les mailles (ou tous les modes, chaque maille représentant un mode), pour une source unique dans un réseau connexe (dépourvu d'interactions unique de cordes entre deux mailles, ou autrement dit pour lequel tout couple de nœuds possède au moins une branche d'interaction les reliant), partent de la branche portant la source. La moindre action se traduit dans la métrique des réseaux par la moindre impédance. Or, lorsque l'on établit les systèmes d'équations d'un réseau connexe, les solutions se déterminent par calcul des déterminants. Plus le déterminant de la métrique sera grand, plus les solutions correspondantes seront faibles. Entre les deux métriques obtenues pour les deux possibilités de base de modes, l'une est plus grande que l'autre. Envisageons deux modes, qui n'ont pour seules différences qu'une branche (ou interaction ou flux). On peut construire les deux modes en partant de la source d'énergie unique et en parcourant successivement tous les flux. Les chemins qui suivent les flux mis bout à bout ne se différencient que par le seul flux différent. Mais on peut construire un mode partant de la source, puis un autre entre les deux flux qui sont à l'origine des différences des deux modes. Soit a et b les deux flux différenciant les deux modes possibles, on peut écrire une première solution :

1.

Pour ces deux modes, si s est le flux source correspondant au flux c0, la métrique revêt l'allure suivante :

2

Au contraire, si l'on choisit de créer un mode avec les deux flux différenciés, on obtient :

13 Initiation à la théorie des graphes. Christian Roux. Ellipses, pge 41 et 49

171

{1=12 s12

2=2−1 s−1212−a2

Z=[s1 ss s2

]

3

Z'=[s1 −a−a b−a]

Ces deux métriques conduisent à des ensembles de deux modes différents, pour un espace modal à 2 dimensions, mais l'énergie globale est conservée. Calculons les déterminants des deux cas :

On trouve facilement les expressions des deux déterminants :

5

Si l'écart de distance entre les deux modes est faible, les expressions se réduisent à :

{1=22 s2=−a2

6

Par contre si l'écart de distance est grand, par exemple si b=0, on trouve :

{1=20a s0 0a2=a s0 a 12a

7

Nous voyons que dans tous les cas, pour des valeurs physiques d'impédances réelles, le premier déterminant est plus grand que le deuxième. On en déduit que les modes qui sont engendrés par la source sont les plus grands. En réduisant les modes à une circulation commune µ additionnée de a ou b, on trouve pour différence :

=a 2s2b−aa20

8

15.2Processus de détermination d'un mode pour une source uniqueA partir de la matrice d'incidence écrite usuellement avec l'espace des nœuds

comme première direction et des flux comme deuxième direction, on peut construire les modes associés à une source. Écrivons sous la forme B(a,b) l'élément d'indices a et b dans la matrice d'incidence B. Supposons la source sur la branche 1. Partant de la source on vient chercher l'extrémité de la branche en une colonne a. Soit :

B1,1 B1,a

172

4

1= s1 s2 −s2 2= s1 b−a −a2

{1=12 s12

2=2−1 s−1212−a2

9

On descend ensuite chercher une ligne b où une branche est connectée au noeud a :

B1,aBb,a

10

On revient ensuite chercher le nœud de l'autre extrémité de la source, sur la colonne du nœud 1 :

Bb,aBb,1

11

Les déplacements horizontaux : c'est à dire à ligne constante, doivent être pondéré du signe du premier élément atteint sur la ligne. Ainsi si B(1,1) est positif et B(b,a) est négatif, le mode construit sera 1 fois la branche 1 plus (-1) fois la branche b.

Le graphe étant eulérien on peut construire un arbre redonnant les chemins possibles entre un nœud source et un nœud cible. La construction de cet arbre revient à déterminer la matrice d'adjacence du graphe. Partant du nœud positif de la source, on détermine tous les flux qui y sont connectés par la matrice d'incidence. On regarde les nœuds auxquels mènent ces flux. Pour chacun de ces nœuds on regarde les flux connectés. De même on regarde les nœuds auxquels mènent ces flux. Et ainsi de suite jusqu'à avoir parcouru tous les flux de l'espace, c'est à dire avoir explorer la dimension de l'espace des flux. Ce processus est en plus affecté des signes d'orientation des flux aux nœuds.

15.3Détermination de la matrice d'adjacenceLorsque l'on regarde une matrice d'incidence, on voit qu'un nœud est en

relation avec d'autres nœuds via des flux. Chaque ligne d'une colonne d'un nœud affecte des 1 ou des -1 aux nœuds qui lui sont liés. Prenons l'exemple du réseau présenté figure 1.

Figure 1

Ce réseau a la matrice d'incidence suivante :

173

B=[1 0 0 −1 0 0−1 1 0 0 0 00 −1 1 0 0 00 −1 0 0 1 00 0 1 0 −1 00 0 0 0 −1 10 0 −1 0 0 10 0 −1 1 0 0

]12

On voit par les deux premières lignes que le nœud 1 est connecté aux nœuds 4 et 2 par les flux 1 et 2 et à aucun autre nœud. Une technique peut alors consister à multiplier la première ligne par 1, qui est le poids du nœud 1 sur le flux 1, puis à multiplier la ligne 2 par -1 qui est le poids du nœud 1 sur le flux 2 et d'ajouter ces deux lignes. On peut d'ailleurs y ajouter toutes les autres lignes multipliées par 0, qui est le poids du nœud 1 sur les autres flux. La première opération s'écrit :

Ak1=B1

1⋅Bk1

13

A étant la matrice d'adjacence cherchée. La première ligne de cette matrice doit ensuite être complétée des liens donnés par la ligne suivante :

14

Ainsi de suite. On voit que l'on peut généraliser le processus pour écrire :

15

Cette formule donne la solution pour construire la matrice d'adjacence à partir de la matrice d'incidence en définissant la ligne (i) de la matrice, pour toute colonne k, l'espace nodal étant de dimension Nk et l'espace des flux de dimension N f

. On peut implémenter cet algorithme sous SCILAB :

//détermination de la matrice d'adjacence à partir de la matrice d'incidence.clear;B=[1,0,0,-1,0,0;-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,0,0,0;0,-1,0,0,1,0;0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,-1,1;0,0,-1,0,0,1;0,0,-1,1,0,0];A=[];for i=[1:6] LA=zeros(1,6); for p=[1:8] LA=LA+B(p,i)*B(p,:); end, A=[A;LA];end,

On obtient pour le cas précédent la matrice d'adjacence suivante :

174

Ak1=B1

1⋅Bk1B1

2⋅Bk2

Ak i=∑

p=1

N f

Bi p⋅Bk

p

A =

2. - 1. 0. - 1. 0. 0. - 1. 3. - 1. 0. - 1. 0. 0. - 1. 4. - 1. - 1. 0. - 1. 0. - 1. 2. 0. 0. 0. - 1. - 1. 0. 3. - 2. 0. 0. 0. 0. - 2. 3.

On voit qu'il faut corriger la relation précédente pour le signe, celui-ci étant mal propagé, du coup certaines adjacences apparaissent nulle. On écrit :

16

Cette nouvelle formulation, normalisée donne la matrice ci-dessous :

A =

1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1.

On trouve la bonne matrice d'adjacence, non signée. Elle indique quels nœuds sont en relations avec quels autres nœuds. C'est à partir de cette matrice que l'on va pouvoir construire les modes. Le listing final est donné annexe I.

15.4Automatisation de la recherche pour une source uniqueUne fois obtenue la matrice d'adjacence, la détermination des cycles va être

grandement simplifiée. La construction des modes est basée sur la règle de la « marche arrière interdite ». On va se déplacer dans la matrice d'adjacence, avec cette idée que l'on ne peut quitter un nœud pour revenir en arrière vers un nœud d'où l'on vient. Lorsque l'on a atteint le nœud de pied de la source étudiée, on mémorise la combinaison constituée de la succession des numéros de nœuds du parcours effectué. Une fois une combinaison mémorisée, on retente une nouvelle, avec la condition que si elle est en tout point identique à la (aux) précédente(s), on la rejette. Dans la construction des combinaisons, on respecte la règle suivant laquelle tous les nœuds précédemment parcouru pendant la construction du mode ne doivent pas être reparcouru (le mode est hamiltonien). Une fois une combinaison trouvée, en fonction du degrés du dernier nœud on retente une autre combinaison suivant les mêmes premiers chemins. Une fois que le nombre de combinaisons trouvées est égale au degrés du dernier nœud, on définit le nouveau dernier nœud comme l'avant dernier du mode. Et ainsi de suite jusqu'à avoir atteint le nombre de mode attendu. Ce nombre est donné par :

175

Ak i=∑

p=1

N f

∣Bip⋅Bk

p∣

17

M est le nombre de modes, B le nombre de flux, N de nœuds et R de réseaux. S'agissant de réseaux connexes, R vaut toujours 1. Le degrés d'un nœud est donné par :

18

Appliquons l'algorithme au cas précédent.

Algorithme de construction pour une source :

Figure 2

On présente figure 2 l'algorithme du processus décrit au paragraphe 4. A cet algorithme il faut ajouter un vecteur qui mémorise l'ordre d'adjacence de chaque nœud parcouru et un autre vecteur qui mémorise les nœuds déjà parcouru. La règle de l'interdiction de la marche arrière s'appuie sur ce vecteur pour détecter ces marches arrières. Chaque nœud est caractérisé par son degrés, c'est à dire le nombre de nœuds auquel il est connecté. A mesure que l'on descend dans l'algorithme on renseigne le vecteur des ordres O sur le numéro du nœud adjacent parcouru et le vecteur M de marche sur les numéros des nœuds parcourus à chaque boucle.

Quand le nombre de mode attendu est atteint, le processus est arrêté. En suivant l'algorithme on se déplace dans la matrice d'adjacence. Reparcourons

176

M=B−NR

d=∑q

Aq

l'algorithme précédent en insérant la matrice A dans ses éléments. Supposons les nœuds de départ et d'arrivée (nœuds d'incidence de la source) et . On démarre la construction d'un chemin (l'espace des nœuds est de dimension N) :

M=[ , O=[, BM=[

pour q=1,N si Aq=1, a=q → si q M (sinon q++)

si q= ,3 else M=[q → si q , O=[1

1: pour q'=1,N si Aq'=1, b=q' → si q' M (sinon q'++)

si q= ,3 else M=[q q' → si q , O=[1 1

2: pour qn=1,N si Aq(n-1)q(n)=1, ln=qn → si qn M (sinon qn++)

si q= ,3 else M=[q q' q(n-1) q(n) …] → si q , O=[1 1 1 … 1]

3: BM=[BM;M]

ordre q(n) = O(Q)? Q degré du nœud

non :

q(n)=q(n)++ → 2

oui :

q'=q'++ → 1

En fait en résolvant cet algorithme on voit que l'adjacence crée un arbre mais la maille (le mode) correspond à un chemin extrait d'un réseau réduit par les processus de l'algorithme. On doit pouvoir de fait accéder plus vite aux modes possibles par réduction directe du réseau. On s'aperçoit alors de la chose suivante :

lorsque l'on réduit le réseau d'un nœud, cela revient à supprimer dans la matrice d'incidence la colonne du nœud et toutes les lignes auxquelles il est relié. Ces lignes sont les chemins vers les adjacences du nœud.

3 techniques se dégagent alors pour définir la base des mailles :

1. une technique basée sur un algorithme de monte-carlo

2. une technique systématique basée sur la construction d'arbres décrite précédemment

3. une technique par réduction de graphes par suppressions successives de nœuds.

La recherche systématique passe par l'établissement d'un comptage en base N si N est la dimension de l'espace des branches, après réduction par suppression des zéros et redondances.

177

15.5 Automatisation généralePartant de la matrice d'incidence, on a une relation entre nœuds et branches.

La seconde dimension de cette matrice Bbn est la dimension nodale. Lorsque l'on

connecte deux réseaux ensemble, on part de deux matrice incidence pour chaque réseau séparé : Ab

n, Bbn. La connexion consiste à rajouter des branches. Pour ce

faire, on augmente forcément la dimension de l'espace des branches. Ainsi, l'incidence du réseau constitué des deux réseaux non connectés est-elle d'une part la réunion des deux matrices de départ :

19

L'espace des nœuds n'augmente pas puisque l'on ajoute que des branches. Par contre, la réunion n'est pas la simple somme des branches des réseaux de départ, mais aussi des branches k rajoutées pour les besoins de la connexion :

20

En exploitant la règle des mailles suivant laquelle, une fois une maille isolée, tous les nœuds de cette maille ne sont connectés qu'à deux branches : une branche entrante et une branche sortante, on déduit que la sommation des valeurs absolues des coefficients d'incidence par nœud ne peut dépasser 2.

En utilisant le procédé inverse du précédent, on comprend qu'en réduisant le graphe hamiltonien d'un certain nombre de nœuds, on doit tomber finalement sur une maille. L'opération est donc :

21

La suppression d'un nœud peut conduire à des branches orphelines, auquel cas le graphe n'est plus hamiltonien. Mais ces branches orphelines sont terminées par un nœud. En effet, on ne supprime qu'un nœud à chaque étape avec toutes les branches attachées à ce nœud. Une nouvelle suppression de nœud conduira à la suppression des branches orphelines. Ainsi, si nécessaire, la suppression d'un nombre de nœuds doit conduire à un nouveau graphe hamiltonien. Or quelle est la propriété remarquable d'un graphe hamiltonien? C'est d'avoir pour chaque ligne de sa matrice d'incidence, plus d'une colonne pondérée. Sans quoi, si une branche n'est connectée qu'à 1 nœud, elle constitue une branche ouverte, orpheline, et le graphe n'est plus hamiltonien. Tant que le nombre de termes de colonne pour une ligne est impaire, des nœuds doivent être supprimés. La réduction du graphe est imposée par cette propriété de

178

Cqnm=Aq

n∪Bqm

Cqnmk=Aq

n∪Bqmhq

k

CqnmkCq− f p

nmk− p

graphe hamiltonien. Maintenant, si cette propriété est évidente sur le visuel du graphe, elle est beaucoup moins évidente à programmer.

On part donc sur une méthode monte-carlo de tirage pour déterminer toutes les combinaisons de réduction possibles. Dans un premier temps il faut écrire pour un espace des nœuds de dimension Nn le nombre maximum de combinaisons possibles de numéros de nœuds. Pour Nn nœuds, le premier choix laisse Nn possibilités, le deuxième Nn-1, etc., de sorte que le nombre total est un arrangement pour une combinaisons de m de Am

Nn.

Le programme commence par afficher l'incidence, puis le nombre total de combinaisons. Le programme correspondant est :

for ( int i = 0; i<Nb; i++) {

for ( int j = 0; j<Nn; j++) {resultat.append(B[i][j]);resultat.append(" ");

}resultat.append("\n");

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,resultat.toString(),"resultat",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//Maintenant il faut construire la matrice des combinaisons de numéros de noeuds

à explorer//il faut déterminer le nombre le plus grandfor (int k=1;k<Nn+1;k++) {

nx+=k*Math.pow(10, Nn-k); //nxs est la version string de la suite des numéros de noeuds

}nxs+=nx;

La programmation de l'arrangement est relativement triviale :

179

Le listing est :

for (int O=1;O<Nn+1;O++) { //dans la méthode retenue on sélectionne des noeuds dans Bcombi.delete(0, combi.length());//nxs2.delete(0,nxs2.length());//on calcule la limite du comptage arrangement sur O, N//A=(int)(Nb/O); //il faudra ici mettre la bonne profondeur de tirages

pour le montecarloA2=Nn;A3=O;for (int m=1;m<O;m++) {

A2=A2*(Nn-m);A3=A3*(O-m);

}A=A2/A3;c=c+A;

Connaissant le nombre de combinaisons à déterminer, on peut commencer à les écrire. Pour cela on tire au hasard un chiffre dans la collection des chiffres des numéros de branches. Puis, s'agissant de tirage sans repose, on retire de l'ensemble des numéros possibles le chiffre qui vient d'être tiré. Remarquons que ce programme se limite à 9 branches puisque l'on parle de chiffre.

/String listC[] = new String[(int)(Math.pow(Nn, 2)/2)];String listC[] = new String[A+1];//-listC[0]="modes";//nxs2.append(nxs);//JOptionPane.showMessageDialog(null,nxs2.toString(),"nxs2",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);for (int g=1;g<A+1;g++) { //g détermine le nombre de tirages

nxs2.delete(0,nxs2.length());nxs2.append(nxs);for (int k=0;k<O;k++) { // pour le départ k va de 0 à 1,

soit 1° combinaison = longueur 2nal=(int)(Math.random()*nxs2.length());

180

//JOptionPane.showMessageDialog(null,nal,"nal", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

//-combi.append(nxs2.charAt(nal));//-tampxs+=nxs2.charAt(nal);sd=nxs2.charAt(nal);stringdeplage=sd.toString();tampxs.add(Integer.parseInt(stringdeplage));

//on retire le caractère lu dans nxs2nxs2.deleteCharAt(nal);

}//a ce niveau une combinaison est dans tampxs

Pour savoir si cette combinaison a déjà été tirée, il faut ordonner la combinaison tirée qui peut être dans le désordre. Pour cela on utilise une fonction spécifique java utilisable sur les collections : sort().

//a ce niveau une combinaison est dans tampxs//JOptionPane.showMessageDialog(null,tampxs.toString(),"tampx

s", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);Collections.sort(tampxs); //quelle que soit la combinaison

on la remet dans l'ordre par trifor (int scr=0;scr<listC.length;scr++) { //-avant = g au lieu

de lisC.length//on doit détecter l'égalité dans le désordre

"trié"stringdeplage=tampxs.toString();if (stringdeplage.equals(listC[scr])) {

g=g-1;flag=1;

}}if (flag==0) {

//-listC[g]=tampxs;listC[g]=tampxs.toString();combi.append(tampxs+"\n");

}flag=0;//JOptionPane.showMessageDialog(null,tampxs.toString(),"tampx

s", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//JOptionPane.showMessageDialog(null,listC,"listC",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);// a ce niveau dans combi on a construit 1 combinaison

possible d'ordre O//-combi.append(tampxs+"\n");//-tampxs="";retirerChaines(tampxs);

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,combi.toString(),"combi",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//avant de passer à l'ordre suivant on mémorise les combinaisons

trouvées dans memtmemt.append(combi);

}

Les opérations suivantes consistent à enregistrer ces combinaisons puis à

181

les relire, ceci en vu d'un futur découpage des programmes et fonctions.

//JOptionPane.showMessageDialog(null,memt.toString(),"memt", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//on enregistre memt dans un fichier pour le liretry {

FileWriter output = new FileWriter("/home/maurice/workspace/java/finalMD/Cnoeuds.txt");

PrintWriter out = new PrintWriter(output);out.print(memt);out.close();output.close();

}catch(IOException e){}

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

//il faut maintenant ne retenir de ces combinaisons que celles qui constituent un mode

//on récupère les combinaisons dans un tableau de motsString nombre[] = new String[c];

try {FileReader input = new

FileReader("/home/maurice/workspace/java/finalMD/Cnoeuds.txt");BufferedReader in2 = new BufferedReader(input);for (int ind=0;ind<c;ind++) {

nombre[ind]=in2.readLine();}

}catch(IOException e){}

Dans le fichier final on dispose de toutes les combinaisons de nœuds possibles. Il faut ensuite détecter parmi ces combinaisons celles qui donnent lieu à un mode. Pour cela on applique les équations précédentes, à savoir qu'après suppression des lignes correspondants aux nœuds de la combinaisons dans l'incidence, on vérifie si le vecteur issu des sommes des colonnes n'est constitué que de 0 et de 2. Si c'est le cas, ce vecteur indique que l'incidence réduite correspond bien à un mode. Le vecteur obtenu est une signature du mode, c'est un vecteur propre dans l'espace des modes. Notons que la réduction peut ne porter que sur les lignes (dimension branche) puisque dans ce cas, elles ne contiennent que des zéros pour les colonnes des nœuds de la combinaison pour les autres lignes et en contrediront pas la signature du mode. Les annexes J et K donnent les listings de méthodes java appelées dans les programmes précédent. Le listing annexe L est celui du programme complet. Rappelons que ce programme se limite à des réseaux de 9 nœuds au plus.

182

//dans le fichier Cnoeuds.txt on trouve toutes les combinaisons de noeuds retirables possibles//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§Â

§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§Â§//il faut maintenant chercher celles qui correspondent à des mailles//on essaie déjà de voir si l'on peut afficher B[combinaison]//JOptionPane.showMessageDialog(null,nombre[30].charAt(7),"essai",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//l'organisation de nombre est : (0):[ (1):chiffre (2):virgule (3):blanc

(4):chiffre (5):virgule (6):blanc ... (n):]//JOptionPane.showMessageDialog(null,nombre.length,"longueur nombre",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//-int i;//-char c1 = new Character(' ');String c1;int i;NumberFormat mfn = NumberFormat.getIntegerInstance();Vector<Integer> b = new Vector<Integer>(1);

for (int cas=0;cas<nombre.length;cas++) { //normalement boucle jusqu'Ã nombre.length

i=1;for (int h=0;h<nombre[cas].length()/3;h=h+1) {

//JOptionPane.showMessageDialog(null,h+" "+nombre[cas].length(),"h+", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

c1=nombre[cas].substring(i,i+1);//JOptionPane.showMessageDialog(null,c1,"c1",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);b.addElement(mfn.parse(c1).intValue());

//JOptionPane.showMessageDialog(null,c1+" "+h+" "+b.toString(),"c1 & h & b", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

i=i+3;}//b.addElement();//JOptionPane.showMessageDialog(null,b.toString(),"b",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//b.addElement(4);//b.addElement(5);extraireModes(b);

b.removeAllElements();

}

JOptionPane.showMessageDialog(null,mods.toString(),"modes", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"fin de programme","AVIS", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

183

15.6Sous Annexe I//détermination de la matrice d'adjacence à partir de la matrice d'incidence.

clear;

B=[1,0,0,-1,0,0;-1,1,0,0,0,0;0,-1,1,0,0,0;0,-1,0,0,1,0;0,0,1,0,-1,1;0,0,0,0,-1,1;0,0,-1,0,0,1;0,0,-1,1,0,0];

A=[];

for i=[1:6]

LA=zeros(1,6);

for p=[1:8]

LA=LA+abs(B(p,i)*B(p,:));

end,

for k=[1:6]

if (LA(k)<>0) then LA(k)=LA(k)/LA(k);end,

end,

A=[A;LA];

end,

A

15.7Sous Annexe Jpublic static void retirerChaines(Collection<Integer> c) {

Iterator<Integer> i = c.iterator();while (i.hasNext())

if (i.next() instanceof Integer)i.remove();

}

15.8Sous Annexe Kpublic static void extraireModes(Vector<Integer> a) {

//JOptionPane.showMessageDialog(null,a.toString(),"a", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

Vector<Integer> vl = new Vector<Integer>(1);int vt[]=new int[Nn];int flac;int ff;int fe;

StringBuffer affichage=new StringBuffer();

for (int q=0;q<a.size();q++) {for (int k=0;k<Nb;k++){

//JOptionPane.showMessageDialog(null,a.elementAt(q).toString(),"a.(q)", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

if (Math.abs(B[k][a.elementAt(q)-1])==1){ //en indice, B[][i] ne peut avoir i=Nn mais Nn-1

vl.addElement(k);}

184

}

}//-a.removeAllElements();//for (int y=0;y<vl.size();y++){affichage.append(vl);}affichage.append(vl.toString());//JOptionPane.showMessageDialog(null,vl.elementAt(1).toString

(),"vl", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//JOptionPane.showMessageDialog(null,affichage.toString(),"vl

", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

for (int lig=0;lig<Nb;lig++){flac=0;for (int q=0;q<vl.size();q=q+1) {

if(lig==vl.elementAt(q)){flac=1;//JOptionPane.showMessageDialog(null,li

g,"lig", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);}

}//si la ligne n'est pas l'une des lignes attachées

aux noeuds on somme les colonnes de cette ligne dans vtif (flac==0){

for (int cq=0;cq<Nn;cq++){vt[cq]=vt[cq]+Math.abs(B[lig][cq]);

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,lig,"lig",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);}flac=0;

}affichage.delete(0, affichage.length());for (int y=0;y<vt.length;y++){affichage.append(vt[y]);}

//JOptionPane.showMessageDialog(null,affichage.toString(),"vt", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

//dans vt on a la somme des lignes avec exclusion des lignes des noeuds de a

flac=0;for (int d=0;d<Nn;d++){

if(vt[d]!=0 && vt[d]!=2){flac=1;

}}//JOptionPane.showMessageDialog(null,flag,"flag vt",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//si le flag est resté à 0 on a une combinaison de modeff=0;fe=0;if (flac==0){

for (int mlm=0;mlm<Nb;mlm++){for (int kj=0;kj<vl.size();kj++){

if (mlm==vl.elementAt(kj)){ff=1;}}if (ff==0){mods.append(mlm+" ");fe=1;}ff=0;

}}if (fe==1) {mods.append("\n");}

//JOptionPane.showMessageDialog(null,mods.toString(),"modes", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

185

}

15.9Sous Annexe Limport java.io.BufferedReader;import java.io.FileReader;import java.io.FileWriter;import java.io.IOException;import java.io.PrintWriter;import java.text.NumberFormat;import java.text.ParseException;import java.util.ArrayList;import java.util.Collection;import java.util.Collections;import java.util.Iterator;import java.util.Vector;import javax.swing.JOptionPane;

public class FMD {

/** * @param args */public static StringBuffer mods = new StringBuffer();public static int B[][] ={{1,0,0,-1,0,0},{-1,1,0,0,0,0},{0,-1,1,0,0,0},{0,-1,0,0,1,0},{0,0,1,0,-1,0},

{0,0,0,0,-1,1},{0,0,-1,0,0,1},{0,0,-1,1,0,0}};public static int Nb=8; //nombre de branchespublic static int Nn=6; //nombre de noeuds

public static void main(String[] args) throws ParseException {// TODO Auto-generated method stub

int nx=0; //valeur max. en combinaisonint A=0; //valeur d'arrangementint A2=0; //variable pour le calcul de l'arrangementint A3=0; //idemint c=0; //variable libreint nal=0; //entier d'index dans le tirage aléatoireint flag=0; //flag pour enregistrement dans modsint x;

String nxs = new String();String stringdeplage = new String();Character sd = new Character('0');//-String tampxs = new String();ArrayList<Integer> tampxs = new ArrayList<Integer>();

StringBuffer resultat = new StringBuffer();StringBuffer combi = new StringBuffer();StringBuffer nxs2 = new StringBuffer();StringBuffer memt = new StringBuffer();

resultat.append("Matrice d'incidence : \n");

for ( int i = 0; i<Nb; i++) {

for ( int j = 0; j<Nn; j++) {

186

resultat.append(B[i][j]);resultat.append(" ");

}resultat.append("\n");

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,resultat.toString(),"resultat",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//Maintenant il faut construire la matrice des combinaisons de numéros de noeuds à

explorer//il faut déterminer le nombre le plus grandfor (int k=1;k<Nn+1;k++) {

nx+=k*Math.pow(10, Nn-k); //nxs est la version string de la suite des numéros de noeuds

}nxs+=nx;c=0; //compteur du nombre de combinaisons//JOptionPane.showMessageDialog(null,nxs,"nombre max",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);for (int O=1;O<Nn+1;O++) { //dans la méthode retenue on sélectionne des noeuds dans B

combi.delete(0, combi.length());//nxs2.delete(0,nxs2.length());//on calcule la limite du comptage arrangement sur O, N//A=(int)(Nb/O); //il faudra ici mettre la bonne profondeur de tirages pour le

montecarloA2=Nn;A3=O;for (int m=1;m<O;m++) {

A2=A2*(Nn-m);A3=A3*(O-m);

}A=A2/A3;c=c+A;//String listC[] = new String[(int)(Math.pow(Nn, 2)/2)];String listC[] = new String[A+1];//-listC[0]="modes";//nxs2.append(nxs);//JOptionPane.showMessageDialog(null,nxs2.toString(),"nxs2",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);for (int g=1;g<A+1;g++) { //g détermine le nombre de tirages

nxs2.delete(0,nxs2.length());nxs2.append(nxs);for (int k=0;k<O;k++) { // pour le départ k va de 0 à 1, soit 1°

combinaison = longueur 2nal=(int)(Math.random()*nxs2.length());//JOptionPane.showMessageDialog(null,nal,"nal",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//-combi.append(nxs2.charAt(nal));//-tampxs+=nxs2.charAt(nal);sd=nxs2.charAt(nal);stringdeplage=sd.toString();tampxs.add(Integer.parseInt(stringdeplage));

//on retire le caractère lu dans nxs2nxs2.deleteCharAt(nal);

}//a ce niveau une combinaison est dans tampxs//JOptionPane.showMessageDialog(null,tampxs.toString(),"tampxs",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);Collections.sort(tampxs); //quelle que soit la combinaison on la

remet dans l'ordre par trifor (int scr=0;scr<listC.length;scr++) { //-avant = g au lieu de

lisC.length//on doit détecter l'égalité dans le désordre "trié"stringdeplage=tampxs.toString();

187

if (stringdeplage.equals(listC[scr])) {g=g-1;flag=1;

}}if (flag==0) {

//-listC[g]=tampxs;listC[g]=tampxs.toString();combi.append(tampxs+"\n");

}flag=0;//JOptionPane.showMessageDialog(null,tampxs.toString(),"tampxs",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//JOptionPane.showMessageDialog(null,listC,"listC",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);// a ce niveau dans combi on a construit 1 combinaison possible

d'ordre O//-combi.append(tampxs+"\n");//-tampxs="";retirerChaines(tampxs);

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,combi.toString(),"combi",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//avant de passer à l'ordre suivant on mémorise les combinaisons trouvées dans

memtmemt.append(combi);

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,memt.toString(),"memt",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//on enregistre memt dans un fichier pour le liretry {

FileWriter output = new FileWriter("/home/maurice/workspace/java/finalMD/Cnoeuds.txt");

PrintWriter out = new PrintWriter(output);out.print(memt);out.close();output.close();

}catch(IOException e){}

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

//il faut maintenant ne retenir de ces combinaisons que celles qui constituent un mode//on récupère les combinaisons dans un tableau de motsString nombre[] = new String[c];

try {FileReader input = new

FileReader("/home/maurice/workspace/java/finalMD/Cnoeuds.txt");BufferedReader in2 = new BufferedReader(input);for (int ind=0;ind<c;ind++) {

nombre[ind]=in2.readLine();}

}catch(IOException e){}//ici il faut enlever les redondances dans nombre

//dans le fichier Cnoeuds.txt on trouve toutes les combinaisons de noeuds retirables possibles

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

//il faut maintenant chercher celles qui correspondent à des mailles

188

//on essaie déjà de voir si l'on peut afficher B[combinaison]//JOptionPane.showMessageDialog(null,nombre[30].charAt(7),"essai",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//l'organisation de nombre est : (0):[ (1):chiffre (2):virgule (3):blanc (4):chiffre (5):virgule

(6):blanc ... (n):]//JOptionPane.showMessageDialog(null,nombre.length,"longueur nombre",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//-int i;//-char c1 = new Character(' ');String c1;int i;NumberFormat mfn = NumberFormat.getIntegerInstance();Vector<Integer> b = new Vector<Integer>(1);

for (int cas=0;cas<nombre.length;cas++) { //normalement boucle jusqu'à nombre.length

i=1;for (int h=0;h<nombre[cas].length()/3;h=h+1) {

//JOptionPane.showMessageDialog(null,h+" "+nombre[cas].length(),"h+", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

c1=nombre[cas].substring(i,i+1);//JOptionPane.showMessageDialog(null,c1,"c1",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);b.addElement(mfn.parse(c1).intValue());

//JOptionPane.showMessageDialog(null,c1+" "+h+" "+b.toString(),"c1 & h & b", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

i=i+3;}//b.addElement();//JOptionPane.showMessageDialog(null,b.toString(),"b",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//b.addElement(4);//b.addElement(5);extraireModes(b);b.removeAllElements();

}

JOptionPane.showMessageDialog(null,mods.toString(),"modes", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

JOptionPane.showMessageDialog(null,"fin de programme","AVIS", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

}// fin du main

public static void retirerChaines(Collection<Integer> c) {Iterator<Integer> i = c.iterator();while (i.hasNext())

if (i.next() instanceof Integer)i.remove();

}

public static void extraireModes(Vector<Integer> a) {

//JOptionPane.showMessageDialog(null,a.toString(),"a", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

Vector<Integer> vl = new Vector<Integer>(1);int vt[]=new int[Nn];int flac;int ff;int fe;

StringBuffer affichage=new StringBuffer();

189

for (int q=0;q<a.size();q++) {for (int k=0;k<Nb;k++){

//JOptionPane.showMessageDialog(null,a.elementAt(q).toString(),"a.(q)", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

if (Math.abs(B[k][a.elementAt(q)-1])==1){ //en indice, B[][i] ne peut avoir i=Nn mais Nn-1

vl.addElement(k);}

}

}//-a.removeAllElements();//for (int y=0;y<vl.size();y++){affichage.append(vl);}affichage.append(vl.toString());//JOptionPane.showMessageDialog(null,vl.elementAt(1).toString(),"vl",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//JOptionPane.showMessageDialog(null,affichage.toString(),"vl",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

for (int lig=0;lig<Nb;lig++){flac=0;for (int q=0;q<vl.size();q=q+1) {

if(lig==vl.elementAt(q)){flac=1;//JOptionPane.showMessageDialog(null,lig,"lig",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);}

}//si la ligne n'est pas l'une des lignes attachées aux noeuds on somme les

colonnes de cette ligne dans vtif (flac==0){

for (int cq=0;cq<Nn;cq++){vt[cq]=vt[cq]+Math.abs(B[lig][cq]);

}//JOptionPane.showMessageDialog(null,lig,"lig",

JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);}flac=0;

}affichage.delete(0, affichage.length());for (int y=0;y<vt.length;y++){affichage.append(vt[y]);}

//JOptionPane.showMessageDialog(null,affichage.toString(),"vt", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

//dans vt on a la somme des lignes avec exclusion des lignes des noeuds de aflac=0;for (int d=0;d<Nn;d++){

if(vt[d]!=0 && vt[d]!=2){flac=1;

}}//JOptionPane.showMessageDialog(null,flag,"flag vt", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);//si le flag est resté à 0 on a une combinaison de modeff=0;fe=0;if (flac==0){

for (int mlm=0;mlm<Nb;mlm++){for (int kj=0;kj<vl.size();kj++){

if (mlm==vl.elementAt(kj)){ff=1;}}

190

if (ff==0){mods.append(mlm+" ");fe=1;}ff=0;

}}if (fe==1) {mods.append("\n");}

//JOptionPane.showMessageDialog(null,mods.toString(),"modes", JOptionPane.PLAIN_MESSAGE);

}

}

191

16 Annexe Iclear;xbasc(2); //définition du profil de potentiel en 1Dp=zeros(1,10);p=[p,ones(1,10)];p=[p,zeros(1,80)];scf(2);subplot(1,2,1);plot2d(p);xgrid(9);T=100;t=[1:100];//calcul de la SFA=zeros(1,100);for k=[1:100] A(k)=1/T*exp(-%i*k*2*%pi*t/T)*p';end,

//reconstructionk=[1:100];for u=[1:100] //u est le temps ou l'espace v(u)=real(A*exp(-%i*2*%pi*u/T*k)'); //on multiplie par -iwt car en transposant, scilab conjugue les termesend,

subplot(1,2,2);plot2d(v);xgrid(9);

17 Annexe IIclear;xbasc(0);xbasc(1)//définition du profil de potentiel en 1Dp=zeros(100,100);for a=[10:30] for b=[10:30] p(a,b)=1; end,end,scf(0);subplot(1,2,1);plot3d([1:100],[1:100],p);xgrid(9);T=100;X=[1:100];Y=[1:100];//calcul de la SFA=zeros(100,100);for k=[1:100] for h=[1:100] A(k,h)=1/T^2*exp(-%i*2*%pi*k/T*X)*p*exp(%i*2*%pi*h/T*Y)'; //deuxième base modale conjuguée pour compenser la conjugaison effectuée par SCILAB pour la transposée end,end,

subplot(1,2,2);plot3d(X,Y,20*log10(abs(A)));xgrid(9);

M=zeros(100,100);for x=[1:100] for y=[1:100] M(x,y)=real(exp(%i*2*%pi*x/T*X)*A*exp(-%i*2*%pi*y/T*Y)');

192

end,end,

scf(1);plot3d(X,Y,M);

18 Annexe III : listing du programme de calcul des modes en 3 dimensions

clear;clf(0);clf(1);clf(2);wf=scf(1);uf=scf(0);jf=scf(2);jf.color_map=graycolormap(32);uf.color_map=hsvcolormap(32);wf.color_map=hsvcolormap(32);

//définition des périodes des domaines et des domaines spatiauxtdx=100;tdy=200;tdz=150;Y=[1:tdy];Z=[1:tdz];X=[1:tdx];//echelleechelle = 5;//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

//définition du profil de potentiel en 2D polar pyz : PYZ

pyz=zeros(tdy,tdz);for y=[2:tdy/10] for z=[2:tdz/10] pyz(y,z)=1; end,end,for y=[tdy/23:tdy/23+1] for z=[tdz/24:tdz/24+1] pyz(y,z)=0; end,end,

//def du deuxième plan pxz. On garde la même période : PXZ

pxz=zeros(tdx,tdz);for x=[2:tdx/10] for z=[2:tdz/10] pxz(x,z)=1; end,end,for x=[tdx/20:tdx/20+2] for z=[tdz/30:tdz/20] pxz(x,z)=0; end,end,

//def du troisieme plan : PXY

pxy=zeros(tdx,tdy);for x=[2:tdx/10]

193

for y=[2:tdy/10] pxy(x,y)=1; end,end,for x=[tdx/30:tdx/30+20] for y=[tdy/30:tdy/20] pxy(x,y)=0; end,end,//scf(0);//affichages des fonctions potentiels

subplot(2,3,1);plot3d([1:tdy/echelle],[1:tdz/echelle],pyz([1:tdy/echelle],[1:tdz/echelle]));xgrid(9);xtitle('plan YZ','Y','Z');subplot(2,3,2);plot3d([1:tdx/echelle],[1:tdz/echelle],pxz([1:tdx/echelle],[1:tdz/echelle]));xgrid(9);xtitle('plan XZ','X','Z');subplot(2,3,3);plot3d([1:tdx/echelle],[1:tdy/echelle],pxy([1:tdx/echelle],[1:tdy/echelle]));xgrid(9);xtitle('plan XY','X','Y');

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§//calcls des coefs de Fourier

Ayz=zeros(tdy,tdz);for k=[1:tdy] for h=[1:tdz] Ayz(k,h)=1/(tdy*tdz)*exp(-%i*2*%pi*k/tdy*Y)*pyz*exp(%i*2*%pi*h/tdz*Z)'; //deuxième base modale conjuguée pour compenser la conjugaison effectuée par SCILAB pour la transposée end,end,//Axz=zeros(tdx,tdz);for k=[1:tdx] for h=[1:tdz] Axz(k,h)=1/(tdx*tdz)*exp(-%i*2*%pi*k/tdx*X)*pxz*exp(%i*2*%pi*h/tdz*Z)'; //deuxième base modale conjuguée pour compenser la conjugaison effectuée par SCILAB pour la transposée end,end,//Axy=zeros(tdx,tdy);for k=[1:tdx] for h=[1:tdy] Axy(k,h)=1/(tdx*tdy)*exp(-%i*2*%pi*k/tdx*X)*pxy*exp(%i*2*%pi*h/tdy*Y)'; //deuxième base modale conjuguée pour compenser la conjugaison effectuée par SCILAB pour la transposée end,end,

subplot(2,3,4);plot3d([1:tdy/2],[1:tdz/2],20*log10(abs(Ayz([1:tdy/2],[1:tdz/2]))));xgrid(9);xtitle('Ayz','Y','Z');subplot(2,3,5);plot3d([1:tdx/2],[1:tdz/2],20*log10(abs(Axz([1:tdx/2],[1:tdz/2]))));xgrid(9);xtitle('Axz','X','Z');subplot(2,3,6);plot3d([1:tdx/2],[1:tdy/2],20*log10(abs(Axy([1:tdx/2],[1:tdy/2]))));xgrid(9);xtitle('Axy','X','Y');

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§//vérification des qualité de développement des modesMyz=zeros(tdy,tdz);k=[1:tdy];h=[1:tdz];for y=[1:tdy] for z=[1:tdz] Myz(y,z)=real(exp(%i*2*%pi*y/tdy*k)*Ayz*exp(-%i*2*%pi*z/tdz*h)'); end,

194

end,//Mxz=zeros(tdx,tdz);k=[1:tdx];h=[1:tdz];for x=[1:tdx] for z=[1:tdz] Mxz(x,z)=real(exp(%i*2*%pi*x/tdx*k)*Axz*exp(-%i*2*%pi*z/tdz*h)'); end,end,//Mxy=zeros(tdx,tdy);k=[1:tdx];h=[1:tdy];for x=[1:tdx] for y=[1:tdy] Mxy(x,y)=real(exp(%i*2*%pi*x/tdx*k)*Axy*exp(-%i*2*%pi*y/tdy*h)'); end,end,

scf(1);//plot3d(Y,Z,Myz);xgrid(9);xtitle('Myz','Y','Z');subplot(3,1,1);plot3d([1:tdy/echelle],[1:tdz/echelle],Myz([1:tdy/echelle],[1:tdz/echelle]));xgrid(9);xtitle('Myz','Y','Z');subplot(3,1,2);plot3d([1:tdx/echelle],[1:tdz/echelle],Mxz([1:tdx/echelle],[1:tdz/echelle]));xgrid(9);xtitle('Mxz','X','Z');subplot(3,1,3);plot3d([1:tdx/echelle],[1:tdy/echelle],Mxy([1:tdx/echelle],[1:tdy/echelle]));xgrid(9);xtitle('Mxy','X','Y');

//§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§//calcul du spectre en fréquenceSxyz=[];aS=[];pas=10;for x=[1:pas:tdx] for y=[1:pas:tdy] for z=[1:pas:tdz] aS=[aS;3E8/2*sqrt((x/tdx)^2+(y/tdy)^2+(z/tdz)^2)]; Sxyz=[Sxyz;sqrt(abs(Axy(x,y))^2+abs(Ayz(y,z))^2+abs(Axz(x,z))^2)]; end, end,end,scf(2);plot2d(aS,Sxyz,style=0);xgrid(9);xtitle('Spectre modal','f (Hz)','Amplitude relative su');x_dialog('fin de calcul');

//grayplot([1:tdl/10],[1:tdl/10],Mxzyz);colorbar(min(abs(Mxzyz)),max(abs(Mxzyz)));

19 Annexe IVListing PERL :

#!/usr/bin/perluse Math::Complex####################################################### progamme de trac � d'un gaussienne en fr �quence## auteur : Olivier Maurice , date : 20 Mars 2010#

195

# version 2.0######################################################

# d�finition des variablesmy @f;my @N; my @absN;my @resu;my @ret;my @L;my @GAIN;# f contient la fonction gaussienne � tracer# N le filtre du circuit bouchon# absN est le tableau des modules de N en fr �quence$i=0; # i et u sont des variables d'index$u=0;$compteur=0;$Q=0;$T=0; #compteurs# valeurs des composants du circuit bouchon$R=1;

$C=0.01;

###### Variables r �gl�es par IHM pour la matrice de jeu ####### Il faut r �cup �rer ces variables dans un fichier# On lit en premier le retard et en second l'inductance$fileA="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/VarAll.txt";open(DATAA,"<$fileA") or die "probleme fichier : $!";

# $ret=40; # valeur du retard de la source : 10 20 40 60# $L=0.1; # $L : 0.01 0.1 0.2 0.5# $L=0.50;for ($i=2;$i<6;$i++){

$ret[2*$i-4]=readline(DATAA);$L[2*$i-3]=readline(DATAA);

}# print "ret :".$ret."\n";# print "L :".$L."\n";close(DATAA) or die "probleme fermeture fichier : $!";## boucle de calcul et extraction des gains pour chaque combinaison $ret / $L#for ($Q=1;$Q<5;$Q++){

for ($T=1;$T<5;$T++){#####################################################################################################$compteur=0;for ($i=0;$i<100;$i++) {

$f[$i]=exp(-($i-$ret[$Q-1])**2/1E2);}## on sauve les valeurs calcul �es dans un fichier#$file="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/essai_sauve.csv";#open(DATA,">$file") # or die "impossible ouvrir le fichier : $!";###for ($i=0;$i<100;$i++){# print DATA $i," ",$f[$i],"\n";#}###close(DATA) # or die "impossible de fermer le fichier : $!";

196

## calcul ici du circuit bouchon, recentr � en 20 - 80# on veut 1/sqrt(LC) centr � en 20 par exemple. On pose L=0,1.for ($u=0;$u<100;$u++){

$N[$u]=$R/($R+$L[$T-1]*6*$u*i+1/($C*6*($u+1E-3)*i));$absN[$u]=abs($N[$u]);

}#$file="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/essai_sauveN.csv";#open(DATA2,">$file") # or die "impossible ouvrir le fichier : $!";###for ($i=0;$i<100;$i++){# print DATA2 $i," ",$absN[$i],"\n";#}###close(DATA2) # or die "impossible de fermer le fichier : $!";### on calcule le produit des deux fonctionsfor ($u=0;$u<100;$u++){

$resu[$u]=abs($N[$u]*$f[$u]);}# $file="produitNf.csv";

# open(DATA3,">$file") # or die "impossible ouvrir le fichier : $!";## for ($i=0;$i<100;$i++){# print DATA3 $i," ",$resu[$i],"\n";# }## close(DATA3) # or die "impossible de fermer le fichier : $!";

# Filtrage sur seuilfor ($u=0;$u<100;$u++){

if ($resu[$u]>0.06){$resu[$u]=0.06;

}}

#$file="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/produitNf_filtre.csv";#open(DATA3,">$file") # or die "impossible ouvrir le fichier : $!";###for ($i=0;$i<100;$i++){# print DATA3 $i," ",$resu[$i],"\n";#}###close(DATA3) # or die "impossible de fermer le fichier : $!";

# comptage de la dur �efor ($i=0;$i<100;$i++){

if ($resu[$i]==0.06){$compteur=$compteur+1;

}}## $compteur comptabilise la dur �e de l'impulsion# si $compteur est > � 25 points, il y a gain (le perturbateur a r �ussi � brouiller le r �cepteur)#

197

#if ($compteur>15){# print "Gagne! Comptage : $compteur \n";#}#if ($compteur<15){# print "perdu! Comptage : $compteur \n";#}$GAIN[($Q-1)*4+($T-1)]=$compteur-10;

## print "compteur : $compteur \n";# �criture de la valeur retour : gain / 15. Si >15, gain pour la source, si <15, gain pour le filtre# fin boucle en Q, T#####################################################################################################

}}

$fileR="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/VarRet.txt";

open(DATAR,">$fileR") or die "impossible ouvrir le fichier : $!";

#for ($Q=0;$Q<16;$Q++){

print DATAR "$GAIN[$Q]"."\n";}#close(DATAR)

or die "impossible de fermer le fichier : $!";

print "fin de programme PERL";

Listing du programme BASIC :

Option Explicit

Public Const nomFichierRetour="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/VarRet.txt"Public Const nomFichierAller="/Users/oliviermaurice/svge_linux/RECHERCHES/TOPOLOGIE/prog_perl/VarAll.txt"

Sub Main

Dim monDocument As Object, lesFeuilles As ObjectDim maFeuille As Object, maCellule As ObjectDim valeur1 As Variant, valeur2 As VariantDim s1 As StringDim adrB As String, adrA As StringDim tampon(1 to 8) As StringDim i As IntegerDim memRet(1 to 16) As String

monDocument=ThisComponentlesFeuilles=monDocument.SheetsmaFeuille=lesFeuilles.getByName("Feuille1")

rem ici on récupère la valeur écrite dans la cellule B1

198

For i=2 to 5

maCellule=maFeuille.getCellByPosition(i-1,0)

valeur1=CDbl(maCellule.value)adrA="A" & CStr(i)maCellule=maFeuille.getCellRangeByName(adrA)valeur2=CDbl(maCellule.value)

tampon(2*i-3)=CStr(valeur1)tampon(2*i-2)=CStr(valeur2)

Next

rem on enregistre les deux valeurs dans un fichier lisible par l'exécutable perl. rem un fichier rempli d'un 0 pour la valeur de retour permet de détecter si le calcul par PERL a été effectué.

rem Dim nomFichierRetour As Stringrem en fait si l'adresse - le path vers le fichier est incorrect, rem OpenOffice refuse de l'écrire avec un message abscontDim f1 As Integerf1=FreeFile

Open nomFichierRetour For Output As #f1print #f1, "0"Close #f1

rem enregistrement des valeurs d'allerDim f2 As Integerf2=FreeFile

Open nomFichierAller For Output As #f2

For i=1 to 8print #f2, tampon(i)

Next

Close #f2

rem les deux valeurs aller sont enregistrées. On lance le programme perl. On lit le retard r=$ret en premier, s=$L en secondMsgBox("fin de la première partie de programme")

End Sub

Sub Macro1Dim f3 As IntegerDim k,m As IntegerDim uneligne As StringDim monDocument As Object, lesFeuilles As ObjectDim maFeuille As Object, maCellule As ObjectmonDocument=ThisComponentlesFeuilles=monDocument.SheetsmaFeuille=lesFeuilles.getByName("Feuille1")

f3=FreeFileOpen nomFichierRetour For input As #f3for k=1 to 4

for m=1 to 4Line Input #f3, unelignerem ici on doit écrire la valeur lue dans la case de coordonnées m,k : on rappelle que

l'ordre est colonne, lignemaCellule=maFeuille.getCellByPosition(m,k)

199

maCellule.String=uneligneNext

NextClose #f3MsgBox("fin de la deuxième partie de programme")

End Sub

200