Magister kharroubi larbi

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

UNIVERSITE DIJILLALI LIABES DE SIDI BEL ABBES

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE L’ELECTRONIQUE

Présenté à l’université de Sidi Bel Abbès

Pour l’obtention du diplôme de

Option : microélectronique

Présenté par KHARROUBI Larbi

Soutenu le : 14 Octobre 2004 Devant le jury :

Mr H. Abid : Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès Président

Mme

R. Brahimi : Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès Rapporteur

Mr M. Amrani : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinateur

Mr Z. Bensaad : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinateur

Mme

Y.Bourezigu: Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès Examinatrice

Mr M.Azzedine: Chargé de cours au centre universitaire de Mostaganem Examinateur

Année Universitaire 2003/2004

Implémentation d’une méthode Multigrille

rapide dans le logiciel de simulation

numérique des composants à

semi-conducteurs

Remerciements

Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein du laboratoire de

Modélisation des Composants et de Conception des Circuits (LMCCC) sous la

direction de Madame R.Brahimi, docteur de l’école centrale de Lyon et professeur à

l’université de Sidi Bel Abbès.

Je tiens à exprimer ma gratitude et mes profonds remerciements à Monsieur

H.Abid, professeur à l’université de Sidi Bel Abbès, d’avoir accepter de présider ce

jury, j’espère que ce travail sera à la hauteur de sa confiance.

Je remercie chaleureusement Madame R.Brahimi, qui a su m’accorder toute sa

confiance, je ne manquerais pas de saisir cette opportunité pour lui exprimer mes

sincères reconnaissances et profonde gratitude pour l’aide déterminante qu’elle m’a

apportée tout au long de ce travail. Ses conseils précieux et ses encouragements m’ont

été bénéfiques pour mener à terme ce travail.

J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur M.Amrani, Maître de conférences

à l’université de Sidi Sel Abbès d’avoir accepter d’être membre de jury.

Mes remerciements les plus sincères s’adressent à Monsieur Z.Bensaad, Maître

de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter de juger ce modeste

travail.

Mes vifs remerciements s’adressent également à Madame Y.Bourezigu.Smahi

Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter d’être

membre de jury.

Je remercie aussi vivement à Monsieur M.Azzedine, Chargé de cours au centre

universitaire de Mostaganem d’avoir accepter d’examiner ce travail et participer au

jury.

Je remercie également tous les membres du laboratoire LMCCC qui m’ont

apporté une aide spontanée pendant le travail de recherche.

Que mes amis et mes collèges trouvent l’expression de mes remerciements pour

l’aide et l’amitié qu’ils m’ont apportées. Comme je salue très respectueusement toute

personne qui a contribuée de près ou de loin à faire avancer ce travail.

DEDICACES

Je dédie ce modeste travail à :

Mes très chers parents

Mon frère et Mes sœurs

Ma belle famille

Ainsi qu’à tous mes amis

Merci à tous et à toutes

K.Larbi

SOMMAIRE

Introduction ……………………………………………………………………1

CHAPITRE I Les méthodes Multigrilles linéaires

I-Introduction……………………………………………………………………..3

II-Principe des méthodes Multigrilles linéaires…………………………………..3

II-1-Systèmes continus linéaires………………………………………………3

II-2- Systèmes discrets………………………………………………………...4

II-3-Terminologie d’étoile de différence……………………………………...5

II-4-Operateurs d’interpolation et de restriction………………………………6

III-L’idée Miltigrille, composants Multigrille…………………………………..10

III-1-Process de correction d’une grille grossière……………………………11

III-2-Méthodes de relaxation………………………………………………...13

III-3-Structure de deux grilles (h-H)…………………………………………14

IV-Cycle complet de la Multigrille……………………………………………...16

V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille………………………………19

VI-Convergence, coût en calcul, occupation mémoire………………………….21

VI-1-Crirètres de convergence……………………………………………….21

VI-2-Coût en calcul…………………………………………………………..22

VI-3-Occupation mémoire…………………………………………………...23

VII-Conclusion…………………………………………………………………..24

CHAPITRE II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D

I-Introduction …………………………………………………………………...25

II- Description de programme (SIM-3D) ……………………………………….25

II-1-Première partie ………………………………………………………….25

II-1-1-Entrée de données ………………………………………………..25

II-1-2-Maillage ………………………………………………………….26

II-1-3-Conditions aux limites …………………………………………...27

II-1-3-a-Conditions de Dirichlet………………………………….28

II-1-3-b-Conditions de Neumann…………………………………29

II-2-Deuxième partie : Résolution numérique……………………………….29

II-2-1-Algorithme de Gummel ………………………………………….29

II-2-1- Algorithme de Newton…………………………………………..32

II-2-1-1-Introduction……………………………………………...32

II-2-1-2-Principe de la méthode Newton Raphson……………….32

1)-Première étape ……………………………………………………….34

2)-Deuxième étape………………………………………………………34

2)-1-Calcul des matrices U et F…………………………………………34

2)-1-1-La matrice Jacobienne…………………………………………...36

2)-1-1-1-Origine septadiagonale de la Jacobienne………………………36

2)-1-1-2-Méthode de stockage des éléments de la matrice Jacobienne…37

2)-1-2-Le vecteur F………………………………………………….…..39

2)-1-3-Résolution du système Ud =-F ………………………………….39

III- Conclusion…………………………………………………………………..40

CHAPITRE III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

I-Introduction……………………………………………………………………41

II-Position du problème…………………………………………………………41

II-1-L’opérateur de lissage…………………………………………………...42

II-2-L’opérateur de restriction R(i)…………………………………………...43

II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1)………………………………………43

III- Algorithme Multigrille V-cycle……………………………………………..43

IV- Description de l’algorithme Multigrille dans le programme SIM-3D………45

V- Organigramme Newton-Multigrille…………………………………………47

VI- Description des opérateurs de restriction et d’interpolation………………...49

VI-1-Opérateur de restriction FW…………………………………………..49

VI-2-Interpolation linéaire………………………………………………….52

VII-Conclusion…………………………………………………………………..54

CHAPITRE IV Résultats et interprétation

I-introduction……………………………………………………………………55

II-Structure de test……………………………………………………………….55

II-1-Schéma de la structure…………………………………………………...55

II-2-Choix de maillage………………………………………………………..56

II-3-Paramètres de simulation………………………………………………...56

III-Résultats de simulation………………………………………………………57

III-1-Simulation avec un maillage large (17x17x17 points)………………….58

III-2-Simulation avec un maillage intermédiaire (33x33x33 points)………...65

III-3-Simulation avec un maillage fin (65x65x65 points)…………………...73

IV-Comparaison des résultats et interprétation………………………………….77

V-Conclusion …………………………………………………………………...81

Conclusion générale ………………………………………………………...82

Annexes ………………………………………………………………………85

Références bibliographiques……………………………………………….99

Introduction

Introduction.

1

Le logiciel de simulation numérique SIM-3D des composants à semiconducteurs a

été développé au laboratoire de Modélisation des Composants et Conception de

Circuits, et permet l’étude du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres

dans le volume des composants et dispositifs à semiconducteurs. La version actuelle

est dédiée aux structures à base de semiconducteurs à relaxation (modèle de piégeage

des porteurs inclus).

SIM-3D comprend à l’origine l’algorithme de Gummel et celui de Newton pour la

résolution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles

relatives au modèle physique. La discrétisation des équations physiques a été réalisée

par les différences finies et la méthode de résolution est celle des relaxations

successives SOR (Successive Over Relaxation).

Les calculs numériques à trois dimensions étant souvent très élevés en terme de

temps, l’objectif de notre travail est essentiellement l’implémentation d’une méthode

Multigrille linéaire rapide dans le logiciel de simulation numérique des composants à

semi-conducteurs à relaxation(SIM-3D).Ceci servira éventuellement à activer les

temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de

discrétisation augmente.Cette méthode basée sur l’utilisation de plusieurs niveaux de

grilles et faisant appel à des opérateurs de lissage, réduction et interpolation de

l ‘erreur, sera partie intégrante dans l’algorithme de Newton.

Ce travail est devisé en quatre chapitres :

Dans le premier chapitre, les méthodes Multigrilles linéaires sont présentées

théoriquement, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé

par les méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents

opérateurs intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons ensuite

différentes expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les

coût en calcul et l’occupation mémoire de la méthode.

Introduction.

2

Au Chapitre deux, nous décrivons les principales étapes de calcul caractérisant la

version initiale du logiciel SIM-3D. Deux algorithmes numériques déjà implémentés

dans SIM-3D sont exposés. Le premier est représentatif de l’algorithme de Gummel, et

le deuxième est lié à l’algorithme de Newton.

Nous présentons dans le troisième chapitre une version améliorée du logiciel

SIM-3D, incluant un algorithme de résolution numérique combinant l’algorithme de

Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à l’accélération des temps de

convergence. Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle a été choisie

avec le plein poids(Full-Weighting :FW) comme opérateur de restriction,

l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR comme

lisseur d’erreur.

Dans le quatrième et le dernier chapitre, des tests de mesures des temps CPU seront

effectués afin de valider l’implémentation de la méthode Multigrille, et comparer son

efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du

logiciel SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à la

convergence (nombre de points de discrétisation important).Nous présentons les

résultats obtenus par simulation d’une structure P+n N

+ à base de GaAs polarisée en

sens direct, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, en appliquant trois

types de maillage différent à pas constant.

Enfin, en conclusion, nous résumons les principaux résultats obtenus et leurs

interprétations respectives.

Les méthodes Multigilles

linéaires

Chapitre I

Chapitre I Les méthodes Multigrilles linéaires.

3

I-Introduction : Les méthodes Multigrilles jouent un rôle important dans la solution numérique des

processus physiques. Des processus de produit chimique, techniques sont souvent

mathématiquement modélisés avec les équations partielles (PDE). Les méthodes

Multigrilles sont parmi les plus efficaces algorithmes pour la solution numérique de ce

type d’équations et ont été présentées par A.Brandt (1970). Il a montré comment une

équation partielle (PDE) discrétisée sur N points de grille pourrait être résolue en un

temps de O(N) [5] [7] [10].

Dans ce chapitre nous présentons théoriquement les méthodes Multigrilles

linéaires, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé par les

méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents opérateurs

intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons ensuite différentes

expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les coûts en

calcul et l’occupation mémoire de la méthode.

II- Principe des méthodes Multigrilles linéaires [1][11] : II-1-Systèmes continus linéaires:

Les problèmes linéaires de valeur de limite sont représentés par le système

suivant [1]:

( ) WÎ= WW XXfUL , (I-1)

( ) W=GÎ= GG dXXfUL ,

Ici ( )dxxxxX ,...,,, 321= , et W est un domaine donné avec la limiteG , WL est un

opérateur linéaire différentiel (elliptique) surW ,

W= ( )( )( ) ( )dAAAA ,0.....,0.,0.,0 321 , GL positions pour un ou plusieurs d’opérateurs

linéaires de limite sur G .

Wf signifie une fonction donnée sur W .

Gf une ou plusieurs fonctions sur G .


4

II-2-Systèmes discrets:

Pour des problèmes discrets nous emploierons la terminologie de fonction de

grille, opérateurs de grille et équation de grille (plutôt que la terminologie de matrice).

L’analogue discret de (I-1) est donné par [1]:

( ) hhhh XXfUL WÎ= WW ,

(I-2)

( ) hhhhh XXfUL W=GÎ= GG d,

Où ( )xdxxx hhhhh ...,,,, 321= est un paramètre (formel) de discrétisation. La solution

discrète hu est une fonction de grille définie sur .hh GW U

WhL et G

hL sont opérateurs de grille.( WhL est appelée un opérateur de différence , G

hL un

opérateur discret de limite ) .

Pour la simplicité, nous supposerons que les équations de limite sont éliminées de

(I-2).

Nous écrivons simplement :

( )hhhh fUL W= (I-3)

Ici hU et hf sont fonctions de grille sur hW , et hL est un opérateur linéaire.

( ) ( )hhh GGL W®W: (I-4)

Où ( )hG W signifie l’espace linéaire de fonction de grille sur hW .

Clairement, (I-3) représente un système d’équations algébriques linéaires.

Nous le considérons, cependant, comme une équation de grille.Et avec :

( )( )( ) ( )dAAAA ,0...,0.,0.,0 321=W et ( )xdxxx hhhhh ...,,,, 321=

où :

( )djNNNAh jjjx j ,...,3,2,1,,/ =Î=


5

II-3- Terminologie d’étoiles de différences [1]:

Pour la définition concrète d’opérateurs discrets WhL (sur des grilles

rectangulaires) la terminologie d’étoiles de différence est commode [1].

Une approximation générale de différence pour X Î hG est de la forme

suivante :

( ) ( )hKXX USUL KK

Khh.. +=åW ÎK \V (I-5)

Où \V signifie un certain sous ensemble fini de Z2 (contenant (0,0)).Dans la

terminologie d’étoile de différence [1] ceci s’écrit comme suit :

( ) [ ] ( ) )(.

...

...

...

......

......

......

...

...

...

..

1,10,11,1

0,10,00,1

1,11,01,1

X

SSS

SSS

SSS

hKXX UUsUL hhhkhh

êêêêêêêêêêêêêêêê

ë

é

úúúúúúúúúúúúúúúú

û

ù

=+=

----

-

-

W

(I-6)

et avec : WhL = [ ]hKS .

Les coefficients KS dépendent, bien sur, de h et éventuellement aussi de x .Les

opérateurs discrets WhL peuvent être décrits sur un domaine rectangulaire, en utilisant

une discrétisation en différence finie ou élément fini, par une étoile de différence de 5

ou 9 points (voir l’exemple suivant) :

hs

sss

s

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

-

1,0

0,10,00,1

1,0

,

hsss

sss

sss

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

----

-

-

1,11,01,1

0,10,00,1

1,11,01,1

(I-7)


6

· Exemple :

Prenons comme exemple le cas simple de l’équation de Poisson avec des

conditions de Dirichlet sur le carré d’unité, notamment :

( ) ( )( )21,0, =WÎ=D-= WW XXfUUL

(I-8)

( ) ( )GÎ== GG XXfUUL ,

Si ce problème est discrétisé sur une grille carrée( h ) utilisant l’étoile de

différence de 5-point, donc :

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

--

-

=D-=W

1

141

1

12h

L hh (I-9)

L’opérateur linéaire hL utilisé dans(I-3) est alors donné dans cet exemple par

l’étoile de différence en (I-9).

II-4- Opérateurs d’interpolation et restriction[1][12] :

A coté des opérateurs discrets hL , nous requérons des opérateurs d’interpolation

et restriction pour le transfert de fonctions de grille. Dans le contexte Multigrille, nous

emploierons une terminologie d’étoile aussi. Nous illustrons cela pour le transfert de

grille hG et la grille correspondant à la taille de maille h2 [1].

· Grilles fines :

Le domaine W est celui dans lequel l’équation différentielle partielle doit être

résolue. Dans le cas de discrétisation sommets centrés, les points discrets de grille sont

localisés aux sommets des cellules comme montré dans la Figure (I-1). La grille est

donc définie par[8] [12] :


7

hG = { ( ) ( ),,...,,,,,...,,,,: 321321 dd hhhhhjjjjjjhXRXd ===Î

}dn

hnj ,...,3,2,1,1,,...,3,2,1,0 === aa

aaa (I-10)

Dans le cas de discrétisation cellules centrées, les points de grille sont définis au

centre de chaque cellule comme représenté dans la Figure( I-2 ),et la grille hG est

définie par[8] [12] :

hG ={ ( ) ( ) ( ),,...,,,,2/1,...,1,1,1,,...,,,,)(: 321321 dd hhhhhsjjjjjhsjXRXd ===-=Î

}dn

hnj ,...,3,2,1,1,,...,3,2,1 === aa

aaa (I-11)

· Grilles brutes[8] [12] :

Dans le cas de discrétisation sommet centré, la grille brute est définie par :

G2h ={ ( ) ( ),,...,,,,,...,,,,2: 321321 dd hhhhhjjjjjjhXRXd ===Î

Fig.(I-1) : Grille à 2D, à sommets centrés.

1 2 3

3

2

1

1

J1

J2

Fig.( I-2 ) : Grille à 2D,à cellules centrés.

J2

J1

0 1

1

0


8

}dn

hnj ,...,3,2,1,1,,...,3,2,1,0 === aa

aaa (I-12)

Dans le cas de discrétisation cellule centré, G2h est défini par :

G2h ={ ( ) ( ) ( ),,...,,,,2/1,...,1,1,1,,...,,,,)(2: 321321 dd hhhhhsjjjjjhsjXRXd ===-=Î

}dn

hnj ,...,3,2,1,1,,...,3,2,1 === aa

aaa (I-13)

Un opérateur de restriction hhI 2 trace h-fonctions grille en 2h-fonctions grille :

Gh G2h

( )( ) ( )hKXUtXUI h

NK

khh

h ..ˆ.2 +=åÎ

, ( )hGX 2Î (I-14)

Les coefficients kt̂ peuvent dépendre de h et X, cependant, les kt̂ sont constantes,

pour (I-14) nous écrivons[1] :

[ ]

h

h

h

hkh

h

ttt

ttt

ttt

tI

2

1,10,11,1

0,10,00,1

1,11,01,1

22

...

...

...

...ˆˆˆ...

...ˆˆˆ...

...ˆˆˆ...

...

...

...

ˆ

êêêêêêêêêêêêêêêêê

ë

é

úúúúúúúúúúúúúúúúú

û

ù

==

----

-

- (I-15)

L’opérateur de restriction fréquemment le plus employé est l’opérateur de poids

plein (Full Weighting FW) :

h

h

2

121

242

121

161

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

(I-16)

Parallèlement, une interpolation (prolongation) cartes d’opérateur

hhI 2


9

2h-fonctions grille en h-fonctions grille. Pour la description de tels opérateurs,

nous introduisons la notation suivante :

] [

h

h

h

hkhh

ttt

ttt

ttt

tI

2

1,10,11,1

0,10,00,1

1,11,01,1

22

...

...

...

......

......

......

...

...

...

êêêêêêêêêêêêêêêê

ë

é

úúúúúúúúúúúúúúúú

û

ù

==

----

-

-

(((

(((

(((

( (I-17)

Et avec :

hhI2

G2h Gh

La signification de cette terminologie d’étoile est que les valeurs de grille brute

sont « distribuées » à la grille fine lestées par kt(

.

La méthode d’interpolation la plus fréquemment employée est la bilinéaire de G2h à

Gh. L’étoile correspondante est donnée par :

h

h2121

242

121

41

êêêê

ë

é

úúúú

û

ù

(I-18)

Evidement, cet opérateur d’interpolation correspond au (FW) opérateur de

restriction (I-16) : Ces deux opérateurs sont adjoints à chacun autre.


10

Exemples :

hhI 2

III –L’idée Multigrille, composants Multigrille [1] [10]:

Dans cette section nous décrivons l’idée fondamentale Multigrille. Pour cet

objet, nous considérons un système elliptique linéaire discrétisé dont la formulation

est donnée par :

hhh fUL =. ( )hW (I-19)

Où hL est un opérateur linéaire, tel que :

hL : G ( )hW G ( )hW (I-20)

hhI 2

hhI2

Fig.(I-3) :Grilles à 2D, à sommets centrés.

G2h

1

2

0 1 2

0

J1

J2 Gh

4

3

2

1

0 1 2 3 4

0

J2

J1

hhI2

G2h

Fig.( I-4 ) : Grilles à 2D,à cellules centrés.

1

2

1 2

J2

J1

Gh

1 2 3 4

3

4

2

1

J2

J1


11

Où G ( )hW dénote espace linéaire de fonction de grilles sur hW . Nous

prendrons hW qui consiste en hNN= points de grille correspondant aux valeurs des

inconnus de grille de hU .

III-1-Process de correction d’une grille grossière [1] [5]:

Soit jhU une approximation de la solution hU de (I-19), alors :

j

hhj

h UUV -= (I-21)

Nous dénotons l’erreur de jhU (aussi vu comme correction de j

hU ).

Et par :

jhhh

jh ULfd .-= (I-22)

le défaut (ou le résiduel) de jhU . L’équation de défaut et donc :

jh

jhh dVL =. (I-23)

L’équation de défaut et les approximations jouent un rôle essentiel dans la

description de l’idée Multigrille.

Nous débutons la description par le pointage alors que la plus part des méthode

itératives classiques de la solution (I-19) peuvent aussi être interprétées comme

approximation de (I-23) :

Si dans (I-23) hL est remplacé par un « simple » opérateur hL̂ , donc :

jh

jhh dVL =ˆ.ˆ (I-24)

donne une nouvelle approximation :

j

hj

hj

h VUU ˆ1 +=+ (I-25)

A partir d’un certain 0hU , l’application successive de ce process définie une

procédure itérative. Clairement, l’opérateur d’itération de cette méthode est donnée

par :

( )hhhh GLBI W- : ( )hGW (I-26)


12

Où : 1-̂= hh LB et hI est dénoté matrice d’identité surG ( )hW .

Nous avons ( voir la démonstration en Annexe A ) :

÷øöç

èæ =÷

øöç

èæ -=+ ,...3,2,1,0,.1 jVLBIV j

hhhhj

h (I-27)

Pour l’erreur, et :

÷øöç

èæ =÷

øöç

èæ -=+ ,....3,2,1,0,1 jdBLId j

hhhhj

h (I-28)

Pour le défaut.

Un choix tout à fait différent de hL̂ , consiste en l’utilisation d’une approximation

appropriée HL de hL sur une grille brute ( )HG W .Donc l’équation (I-24) est remplacée

par l’équation suivante :

jH

jHH dVL =ˆ (I-29)

et avec :

( )HH GL W: ® ( )HG W (I-30)

Comme jHd et j

HV̂ sont fonctions grille sur la grille brute ( )HG W , nous prenons deux

opérateurs de transfert (linéaire) :

( ) ( ) ( ) ( )hHhHHh

Hh GGIGGI W®WW®W :,: (I-31)

HhI est utilisé pour limiter j

hd à la grille brute ( )HG W :

jh

Hh

jH dId = (I-32)

et hHI pour interpoler la correction j

HV̂ à la grille fine ( )hG W :

jH

hH

jh VIV ˆ.ˆ = (I-33)

Un pas d’itération (calcul 1+jhU de j

hU ) s’effectue comme suit :


13

1. Calcul du défaut : jhhh

jh ULfd -= .

2. Restriction du défaut (fin – à – brut) : jh

Hh

jH dId = .

3. Résolution exactement sur ( )HG W : jH

jHH dVL =ˆ .

4. Interpolation de la correction (brut – à – fin) : jH

hH

jh VIV ˆˆ = .

5. Calcul de la nouvelle approximation : j

h

j

h

j

h VUU ˆ1 +=+

.

Ce process est illustré dans la Figure (I-5), l’itération associée est donnée par :

hhh LBI - Avec HhH

hHh ILIB 1-= (I-34)

hHI

III-2- Méthodes de relaxation :

Les méthodes Multigrilles fournissent une manière efficace dans l’espace et le

temps pour la résolution des systèmes d’équations linéaires résultant d’une solution

numérique d’un système PDE. Une méthode itérative conventionnelle ou la méthode

de relaxation est un des composants principaux d’une méthode Multigrille [10]. Les

jhhh

jh ULfd -=

jHd

HhI

jhU

j

H

j

HH dVL =ˆ

j

hV̂

j

h

j

h

j

h VUU ˆ1 +=+

Fig.(I-5) : Structure d’un process correction d’une

grille grossière.


14

méthodes itératives procèdent par affinages successifs d’une approximation jusqu’à ce

que celle-ci devienne assez proche de la solution exacte.

Les propriétés de convergence des méthodes de relaxation une fois appliquées

aux équations elliptiques discrètes (I-19) sont connues pour être très mauvaises si

h = 0(nombre de points de discrétisation important).

Pour la convenance, nous présentons la notation :

( )hhhv

h fLURELAXU ,,= (I-35)

Où le résultat dénote hU des étapes de relaxation υ appliquées à (I-19) et

commencent par hU en tant qu’à d’abord approximation.

III-3-Structure de deux grilles (h-H)[1][5][6] :

L’idée principale de la méthode Multigrille peut être comprise en considérant le

cas le plus simple d’une méthode de deux niveaux, c’est à dire un algorithme

Multigrille avec seulement deux grilles [5].

L’algorithme de deux niveaux est un processus relativement simple de

correction de défaut :

D’abord une méthode de relaxation telle que Gauss Seidel est appliquée pour

lisser l’erreur.

Les relaxations atténuent généralement les composantes d’erreur à haute

fréquence bien davantage efficacement que les composants d’erreur de basse

fréquence.

Ensuite, l’erreur (douce) restante est transférée à la grille plus brute près

application de l’opérateur de restriction au résiduel. Ainsi le nombre de points de grille

est beaucoup plus faible sur la grille plus brute, le système résultant peut être plus

facilement approximé par un processus direct de solution ou encore par application

d’une méthode de relaxation. (sur la grille plus brute l’erreur a encore des composants

à haute fréquence).


15

La correction trouvée ainsi est transférée à la grille plus fine au moyen d’un

opérateur de prolongation et supplémentaire à l’approximation existante. On peut

encore lisser en conclusion, le résultat par une méthode de relaxation [6].

Les trois étapes successives s’appellent respectivement le pré-lissage, correction

de grille brute et post-lissage [1] [6], et sont représentées comme suit:

(calcul 1+jhU à partir j

hU ) :

1. Pré - lissage :

· Calcul jhU par l’application υ1( 0³ )itérations d’une méthode de

relaxation donnée à jhU :

( )hhj

hj

h fLURELAXU ,,1n=

2. Correction de la grille brute :

· Calcul du défaut : jhhh

jh ULfd -=

· Restriction du défaut (transfert fin –à – brut) : jh

Hh

jH dId =

· Résoudre exactement sur ( )HG W : jH

jHH dVL =ˆ

· Interpoler la correction (transfert brut –à –fin) : jH

hH

jh VIV ˆˆ =

· Calcul de l’approximation corrigée: jh

jh

jh VUU ˆ1 +=+

3. Post - lissage :

· Calcul 1+jhU par l’application υ2( 0³ ) itérations d’une méthode de

relaxation donnée par :

÷øöç

èæ +=+

hhj

hj

hj

h fLVURELAXU ,,ˆ21 n

Ce processus est illustré dans la Figure (I-6) :


16

L’opérateur d’itération HhM de la méthode de deux grilles (h-H) est donnée par :

12 .. nnh

Hhh

Hh SKSM = Avec h

HhH

hHh

Hh LILIIK ... 1--= (I-36)

IV- Cycle complet de la méthode Multigrille :

L’algorithme de deux niveaux peut être employé périodiquement pour

rapprocher le système sur la grille plus brute qui donne un algorithme Multigrille

(stockage de correction).Au lieu de résoudre l’équation de défaut de grille brute

(I-29) exactement, nous pouvons en obtenir une solution approximative en présentant

une grille plus brute et en employant l’itération de la méthode de deux gilles[1].

Si le facteur de convergence de la méthode de deux grilles est assez petit,

nous aurons besoin seulement de quelques étapes de cette itération pour obtenir une

bonne solution rapprochée. Nous dénotons le nombre de telles itérations par g [5] .

Evidement nous pouvons appliquer cette idée périodiquement vers le bas

jusqu’à la grille la plus brute.

Une itération d’une méthode Multigrille, de la grille la plus fine à des grilles

plus brutes puis du sens opposé de la grille brute aux grilles fines, s’appelle un cycle. Il

dépend de la valeur deg , le nombre d’itérations de deux grilles à chaque étape

intermédiaire.Le casg = 1 est appelé un V-Cycle, alors que g = 2 est appelé un

W-Cycle (voir les Fig.(I-8) et Fig.(I-9) ).Ceux-ci sont les cas les plus utilisés en

pratique[5].

Fig.(I-6) : Structure d’une méthode de deux

grilles (h-H)

j

hU

j

hU

j

hhh

j

h ULfd -=

H

hI

j

Hd

j

H

j

HH dVL =ˆ

h

HI

j

hV̂

j

h

j

h VU ˆ+

1+jhU

relax1n relax2n


17

Pour une description formelle des méthodes Multigrilles, nous utilisons

l’index l (pour grilles, fonctions de grille et opérateur de grille).

Dans la suite pour chaque lW , nous prendrons les opérations linéaires :

Lℓ : ( ) ( )ll W®W GG

Sℓ : ( ) ( )ll W®W GG (I-37)

1-llI : ( ) ( )1-W®W ll GG

ll 1-I : ( ) ( )ll W®W - GG 1

et l’équation discrétisée :

lll fUL =. ( )lW (I-38)

Où ( )lWG dénote l’espace de fonctions grille sur lW .

L’opérateur lS comprend les opérateurs linéaires d’itération correspondant

aux méthodes de relaxation données. Le résultat lU de pas u de relaxation (appliqué à

lll fUL =. avec la première approximation lU ) sera dénoté par :

( )llll fLURELAXU ,,u= (I-39)

Si une certaine approximation jUl de lU est déterminée, le calcul de la nouvelle

approximation 1+jUl est donnée comme suite :

· Si l = 1, le problème est réduit à celui du paragraphe III-3

avec 1W , 0W au lieu de hW , HW respectivement.


18

· Si l >1 :

1. Prè – lissage :

· Calcul jUl par l’application ( )01 ³u itérations d’une méthode de

relaxation donnée à jUl :

( )llll fLURELAXU jj ,,1u= .

2. Correction de la grille brute :

· Calcul du défaut : jj ULfd llll -= .

· Restriction du défaut : jj dId llll

11

-- = .

· Calcul d’une solution approximative jV 1ˆ-l de l’équation de défaut

sur ( )1-WlG :

jj dVL 111ˆ

--- = lll . (I-40)

· Interpole la correction : jj VIV 11ˆˆ--= l

lll .

· Calcul l’approximation corrigée sur ( )lWG : jj VU llˆ+ .

3. Post - lissage:

· Calcul 1+jUl par l’application ( )02 ³u itérations d’une méthode

de relaxation donnée à jj VU llˆ+ :

÷øöç

èæ +=+ lllll fLVURELAXU jjj ,,ˆ21 u

Le même processus est décrit dans l’organigramme suivant, un paramètre de

commutation ( ) g££ KC0 est introduit.


19

V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille [1]:

Fig.(I-7) Organigramme d’un pas d’itération Multigrille pour

la résolution de ( )1, ³= llll fVL

Non

( ) l,...,, F=F= KKC ,l=K KVV ll =

ll fd =

Approximation KVl

( )KKKK dLVRELAXV ,,1u= ( ) ( ) 1+= KCKC

( )KKKKK VLdrd -=-1

Approximation

ll VV K =+1

Résolution exacte de

KKK dVL =

( )KKKK dLVRELAXV ,,2u=

KKKK VPVV += ++ 11

?F=K

?l=K

F=KV

( ) 0=KC

( ) 0=KC

( ) g=KC

Non

Oui

Non

Oui

Oui


20

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1

Niveau 0

Résolution exacte.

Grilles intermédiaires.

Niveau3

Niveau2

Niveau1

Niveau0

Résolutions exactes.

Grilles intermédiaires.

Fig.(I-8) Schéma représentatif de

V- cycle pour 3,1 == lg

R3

R2

R1 P1

P2

P3

Fig.(I-9) Schéma représentatif de

W- cycle pour 3,2 == lg

R3

R2

R1

P3

P2

P1


21

VI- Convergence, coût de calcul, occupation mémoire :

VI-1 Théorie de convergence [1][2][4] :

La théorie de convergence de la méthode Multigrille classique donnée par

Hackbusch [1][3] [4] est basée sur la matrice d'itération M l.

Soit M lmatrice d’itération d’un cycle Multigrille complet de résolution de

lll fUL =. avec g , 1n et 2n donnés.

M lest donné par la relation récursive suivante :

( ) 12

1101

10

10111 . nn SLILIISM --=

( ) 12 .1111

1 nnll

lll

llll

ll SLILIISM --

--- -= , pour : 1-k1 l££ (I-41)

Pour une méthode de deux grilles, la norme de la matrice d’itération est définie

comme suit (on suppose que 2n =0, 1n = n ):

nll

lll

lll

ll SLILILM ..1

11

11-

--

-- -£ (I-42)

La méthode de deux grilles converge quand les conditions suivantes sont vérifies :

( ) an nh -£ hCSL S ..ll , ( ) 0®nh et comme ¥®n ,

(I-43)

ahCILIL L.11

11 £- -

--

- lll

lll .

Et donc :

( )nh..1SL CCM £-l

l . (I-44)

Les constantes CL , CS et la fonction ( )nh sont indépendants de hk . Le paramètre a

représente l’ordre de l’équation différentielle à résoudre.

La méthode Multigrille obéit aux mêmes propriétés de convergence que pour le

cas de deux grilles.


22

VI-2 Coût en calculs [1]:

De la définition récursive d’un cycle Multigrille comme donnée dans le paragraphe

IV, il découle immédiatement que le coût en calculs lW par cycle Multigrille, est

récursivement donné par :

01

01 WWW +=

(I-45)

kkk

kk WWW g+= ++ 11 , pour : (k=1,2,3,… l )

Et avec :

· kkW 1+ dénote le coût en calculs de la méthode de deux grilles (hk+1,hk),

sans compter le coût de résolution de l’équation de défaut sur kW ,

· 0W dénote le coût nécessaire pour calculer la solution exacte sur la

grille grossière 0W .

Si g est indépendant de k, on obtient de (I-45), le coût en calculs d’un cycle

Multigrille :

011

1

.. WWW kk

k

k --

=

- += å l

l

ll gg ( )1³l (I-46)

Où:

kk

k NcW .1 £-

(I-47)

k

H

k NC

N .11 £- ( ),...3,2,1=k

Et 4=HC , pour H = 2h.

kN représente le nombre de points de la grille kW au niveau k.

A base ces hypothèses, on obtient immédiatement à partir de (I-46) l'évaluation

suivante pour tout le coût en calculs lW d'un cycle Multigrille complet :


23

lW ~ 3/4 C lN pour γ=1 (V-cycle).

lW ~ 2 C lN pour γ=2 (W-cycle).

lW ~4 C lN pour γ=3 (F-cycle).

lW =0 ( lN log ( lN ) ) pour γ=4

Cette estimation du coût, avec le critère de convergence de (VI-1) montre le

caractère optimal des méthodes Multigrilles pour 32 £g£ .

VI-3 Occupation mémoire [1][4]:

A chaque niveau il faut stocker la solution U et le résiduel d. Il est inutile de

stocker l’opérateur de restriction r et l’opérateur d’interpolation p, car ils suivent

toujours des lois très simples. De même si L l est simple (par exemple opérateur

différences finies) il est inutile de le stocker.[1]

Plus nous allons vers un niveau grossier, moins il y a de valeurs à stocker. Ainsi,

soit une structure de données qui croit en C lN au niveau l . Le coût total G de

stockage vaut donc :

å=*

0

l

lNCG (I-48)

si on à une relation de type k

H

k NC

N 11£- est vérifié alors :

*1

*

0 11)1....11.(

*

*

lll

l

l NCC

NNHCHH

-<+++£å (I-49)

et *

1 lNCCCGH

H

-£ (I-50)

Donc le coût on occupation mémoire du cycle Multigrille est du même ordre de

grandeur que le coût de stockage du vecteur solution sur le maillage le plus fin.


24

VII-Conclusion :

Le principe de la méthode Multigrille est d’estimer une correction de l’erreur de

la solution obtenue après quelques relaxations sur la grille fine. Les méthodes de

relaxation itératives classiques de Gauss Seidel et Jacobi ont la propriété d’être de

bons lisseurs hautes fréquence. Les basses fréquences qui non pas été lissées sur la

grille fine seront lissées sur les grilles grossières [9].

Les méthodes Multigrilles sont des méthodes itératives très intéressantes :

· Elles ont de bonnes propriétés de convergence (le taux de

convergence de la méthode Multigrille linéaire est indépendant de la

maille [1][4] ).

· Leurs coûts en calculs sont faibles.

· L’occupation mémoire nécessaire se réduit à celle du

niveau le plus fin, c'est-à-dire l’occupation mémoire de toute méthode

itérative classique.

Présentation de la version

actuelle du logiciel

SIM-3D

Chapitre II

Chapitre II Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

25

I-Introduction :

Ce chapitre contient la description des principales étapes de calcul caractérisant la

version actuelle de SIM-3D [13] écrite en langage C++sous Windows version5. Ce

dernier offre la possibilité de déclarer des tableaux tridimensionnels de grande taille,

et permet une meilleure gestion de l’espace mémoire.

SIM-3D intègre deux algorithmes de Gummel et celui de Newton pour la

solution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles

relatives au modèle physique(voir annexe C)[15].

II- Description de programme (SIM-3D)[13][14] :

II-1-Premiere partie :

II-1-1-Entree des données :

Cette première partie concerne la définition géométrique et physique, le

maillage et les conditions aux les limites voir Figure (II-1).Au début chaque dimension

de la structure d’étude exprimée en micron est entrée par l’utilisateur. Ainsi la

profondeur et la largeur des différentes diffusions sont définies, cette phase est suivie

par l’entrée des caractéristiques physiques du composant tel que [13][14] :

· Le profil de dopage et le type d’impuretés, N ou P, dans les couches semi-

conductrices.

· Les caractéristiques des diffusions (gradient et type de dopage).

Cette étape comprend les procédures suivantes dans l’organigramme de la

Figure (II-1) :


26

II-1-2-Maillage :

Apres que les paramètres géométriques et physiques soient introduits par

l’utilisateur, la procédure de maillage est entamée, ce qui représente une étape très

délicate puisque les résultats dépendront essentiellement de la discrétisation (voir

annexe D) choisie et du pas utilisé (voir Figure (II-2)).

Entrée des dimensions

géométriques

de la structure

Entrée des caractéristiques

physiques de la structure

et des paramètres de précision

Géométr

Entrée Des Dimensions Discrétisation

de la

structure

Normalisation

des

paramètres physiques

Entrée des conditions

aux limites

Fig.(II-1) : Organigramme d’entrée des données.


27

Après l’étape de discrétisation, la normalisation des paramètres utilisés dans le

calcul est effectuée [13][14] .Ceci sert à éviter les écarts importants pouvant surgir

entre certaines valeurs ce qui pourrait compromettre les calculs.

II-1-3-Conditions aux limites :

D’une manière générale, une équation aux dérivées partielles admet une

infinité de solutions. La solution particulière désirée est déterminée à partir de

conditions supplémentaires. Ces conditions sont appliquées dans la plus part des cas

sur la frontière d’un domaine fermé.

Soit une structure P+υ représentée par le domaine limité de la Figure (II-3).

Entrées des dimensions du domaine à

discrétiser, les pas initiaux et le nombre de

point représentatifs choisie par l’utilisateur

Détermination de la raison de calcul

(en partant d’un maillage à pas variable

défini par une série géométrique)

Calcul des valeurs des pas successifs

le long de la structure discrétisée

Fig.(II-2) : Discrétisation et détermination des pas de calcul.


28

Les deux principales conditions aux limites dans le logiciel SIM-3D sont:

II-1-3-a-Conditions de Dirichlet :

Les conditions de Dirichlet sont établies comme suit : Aux contacts, le modèle

utilisé est celui du contact ohmique idéal, c’est a dire un contact parfaitement

recombinant et qui ne présente pas de zone de charge d’espace.

Les conditions seront définies par l’équation thermodynamique, tel que :

(II-1)

Où ni représente la concentration intrinsèque. Au contact ohmique la valeur de la

fonction sera égale a la tension de polarisation. On aura pour le plan ACEH :

(II-2)

n.p = ni2

ψijl = 0

Nijl = A

i

Nn2

C D

υ

A B

F

G

y

E

H P

+

o x

z

Fig.(II-3) : Structure utilisée.


29

et Pour le plan BDFG:

ψijl = 2

.logi

ac

nNn

Pijl = c

i

nn2

(II-3)

Où ψijl ,Nijl ,et Pijl sont le potentiel, la concentration en électrons et trous

respectivement en tout point (i,j,l) .

II-1-3-b-Conditions de Neumann :

Les valeurs des dérivées de la fonction sur le long de la normale sont nulles.

Ainsi au niveau des frontières ou l’on ne connaît pas les valeurs de N et P, les

conditions aux limites sont de type Neumann.

Ceci se traduit mathématiquement, en prenant la dérivée de ψ ,N et P par-rapport à

la variable d’espace nulle à la limite considérée, par l’expression :

0===m

p

m

n

m dd

dd

ddy

(II-4)

m est le vecteur orienté suivant la direction spatiale choisie, ces conditions

s’appliquent dans le cas de la Figure(II-3) sur les plans : (ABEF),

(CDHG),(EFGH),(ABCD).

II-2-Deuxieme partie : Résolution numérique :

II-2-1-Algorithme de Gummel :

La méthode de Gummel[12][16][17] consiste en une résolution successive de

trois systèmes couplés de N équations à N inconnues.Chaque système d’équations est


30

voué à déterminer la valeur d’un seul type d’inconnue. Par exemple l’équation de

Poisson fournit les valeurs des potentiels ψ pour des concentrations N et P déjà

déterminées.

Le principe général de la méthode de Gummel est le suivant :

A partir d’une solution initiale estimée (ψ0,N

0,P

0) l’équation Fψ(ψ,N,P) = 0

(voir annexe D) d’inconnue ψ est résolue en premier. Les valeurs de ψ ainsi

déterminées seront reportées dans les systèmes d’équations Fn et Fp

(voir annexe D). L’équation Fn (ψ,N,P) = 0 est aussi mise à jour et résolue à son tour

pour l’inconnue N .Ce processus de mise à jour et de résolution est répétée par

alternance pour Fp,Fn,Fψ jusqu'à convergence complète du système. L’algorithme de

Gummel est représenté par l’organigramme de la Figure (II-4) :


31

uggfffdddOui

Initialisation des valeurs y ,N,P

Résolution endy de l’équation de

Poisson

Mise à jour de y dans l’équation de

Continuité Fn

Résolution en nd de l’équation de

continuité des électrons Fn

Résolution en pd de l’équation de

continuité des trous Fp

Mise à jour de y et N dans l’équation

de continuité des trous Fp

Mise à jour de y ,N,P dans l’équation de

Poisson yF

Si 1edy <

Si 2ed <N

Si 3ed <P

Si PN dddy ,, FIN

Fig.(II-4) Organigramme de la

méthode de GUMMEL

Oui Non

Non

Oui

Non Oui

Oui Non


32

II-2-2-Algotithme De Newton :

II-2-2-1-Introduction :

L’algorithme de Newton ou méthode couplée est mieux adapté à la résolution

des équations fortement couplées liées à la considération des structures à base des

semi-conducteurs à relaxation .Cette méthode est très sensible aux valeurs initiales, et

sa convergence dépend essentiellement de ces dernières, ce qui nous a mené à tenir en

compte des valeurs calculées à l’équilibre thermodynamique comme valeurs initiales .

En ce qui concerne la tension de polarisation, et pour toujours, éviter le

problème de divergence, on s’est proposé de polariser la structure utilisée, pas à pas.

Ce ci consiste à crée un pas de polarisation et injecter a chaque fois les

paramètres calculés précédemment dans une prochaine simulation avec un nouvel

incrément du pas de polarisation.

II-2-2-2- Principe de la Méthode Newton Raphson [18] [19] :

La méthode de Newton consiste à effectuer à partir d’un point initial

(approximation de la solution) un développement en sérier de Taylor limité d’ordre un,

pour chacune des équations du système non linéaire.

La résolution du système linéaire obtenu permet d’aboutir à une nouvelle

approximation de la solution. Le principe de la méthode Newton Raphson est le

suivant :

Notons [ ]tn

xxxxx*****

= ,.......,,,321

le vecteur solution du système non

linéaire : fi( x )=0 , avec i=1,2,3,…….,n .

Si chaque fonction fi est continue et continûment différentiable, alors par

développement en série de Taylor dans le voisinage d’un estimé x(k)

proche de x*

(obtenu à la K-ieme itération), on obtient :


33

fi( x*)= fi( x

(k) +( x

*- x

(k)))= fi( x

(k)) +

( )xx

K

n

j j

i

x

xf)(

1=

=å dd

( ))(*

Kjj xx -

+ ( ) ( ) ( )Kxx

rj

n

r

Krr

Kjj

n

j xx

xxxxx =

==åå -- dd

d 2

1

)(*

)(*

121 +………..=0. i=1,…….,n. (II-5)

Si x(k)

est un estimé proche de x*, les éléments ( )2)(

*K

ii xx - sont négligeables,

ainsi que les termes de degrés supérieur. L’équation (II-5) s’écrit donc :

( )

xxK

n

j j

i

x

xf)(

1=

=å dd

( ))(*

Kjj xx - = - fi( x

(k)) (II-6)

Définissons la matrice )(KE des dérivées premières telles que :

)(KijE =

( )j

i

x

xf

dd

xxK)(

= i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…n . (II- 7)

Le vecteur d’erreur )(KxD par :

)(KxD = )(*

Kjj xx - (II- 8)

Puis le vecteur )(KF par :

)(KiF = - fi( x

(k)) (II-9)

Alors la relation ( II-6)

)(KE . )(KxD = )(KF (II-10)


34

Dans ce système d’équations linéaires, toutes les quantités sont connues

hormis les )(KxD , les méthodes classiques de résolution des systèmes linéaires sont

applicables pour leur détermination [20].

Par ailleurs si )(KxD est estimé de l’erreur commise en approximation x*par

x(k)

on peut donc obtenir un meilleur estimé x(k+1)

de x* en écrivant :

x(k+1)

= x(k)

+ )(KxD .

Les itérations s’arrêtent lorsque :

0)(* ®- Kxx

Les principales étapes de cet algorithme (voir la figure Figure (II-6)) sont les

suivantes :

1-Première étape :

Les données sont introduites par des fichiers en mode Read, ces fichiers

contiennent le nombre de points sur chaque direction, les valeurs de potentiels, des

densités de porteurs libres calculées à l’équilibre thermodynamique, et les pas de

discrétisation en chaque direction.

2-Deuxième partie :

2-1-Calcul des matrices U et F :

L’application de la méthode de Newton dans la simulation numérique des

dispositifs conduit à résoudre simultanément Fψ, Fn et Fp. Cela revient à calculer ψ, N

et P comme solution d’un système à 3N équations, en chaque point du réseau de

discrétisation tridimensionnel.

Les trois systèmes d’équations discrétisés (voir annexe D) sont regroupés en un

seul système :


35

FUrrr

-=d. (II-11)

Où :

Ur

: La matrice Jacobienne complète du système.

dr

: Le vecteur de correction.

Fr

: Le vecteur seconde membre.

Initialisation des valeurs de : NetP,y

V = V +dV

Calcul et stockage de

U et F

Résolution de système U.d =-F

Test sur PN dddy ,,

Mise à jour PN,,y

Test sur PN,,y

Si V=Va

FIN

Fig.(II-6) Organigramme de

résolution par la méthode couplée

Oui

Non


36

2-1-1-La matrice Jacobienne :

2-1-1-1-Origine Septadiagonale de la Jacobienne :

La résolution du système se fait en trois dimensions ce qui signifie que chaque

nœud de discrétisation possède six voisins (deux voisins selon chaque

direction).Ainsi on peut distinguer la matrice Jacobienne comme une matrice bande

à sept diagonales d’éléments non nuls, dont chaque élément est lui même, une

matrice carrée d’ordre trois.

En tout point de discrétisation, la grandeur physique calculée est déterminée en

fonction de la contribution du point lui même plus celles de ses six proches voisins sur

les trois directions de calcul X,Y et Z. Le domaine d’étude est composé de m=nX.nY.nZ

points avec :

nX=NX-1, nY=NY-1, nZ=NZ-1.

Y

X

Z

yD

xD

zD

Fig.(II-7) Représentation

géométrique d’un ensemble de nœud de

discrétisation

J+1

i+1

k+1

J-1

k-1

i-1 i,j,k


37

NX, NY et NZ représente respectivement le nombre de nœuds dans les directions

X ,Yet Z.

Le développement de l’équation (II-6) conduit, pour trois dimensions à l’écriture

matricielle suivante :

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççççççççççç

è

æ

-

-

+++

..0

....

....0

....

....0

....

000

1

1

1

111

ijl

lij

jli

ijllijjliijl

U

U

U

UUUU

.

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççççççççç

è

æ

zyx nnnd

d

.

.

.

.

.

111

=

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççççççççç

è

æ

zyx nnnF

F

.

.

.

.

.

111

(II-12)

Chaque élément de la matrice U et du vecteur d en un nœud quelconque est

de la forme:(Le calcul des éléments de la matrice Jacobienne est exposé en Annexe E ).

U =

÷÷÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççççç

è

æ

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

ppp

nnn

dd

dd

dyd

dd

dd

dyd

dd

dd

dyd yyy

, et d =

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

p

n

d

d

dy

2-1-1-2-Méthode de stockage des éléments non nuls de la matrice

Jacobienne :

Soit M une matrice équivalente à la Jacobienne U et d’ordre nX.nY.nZ.Si on

note par R un vecteur mono dimensionnel et qu’on veuille établir une

correspondance entre M et R , de manière à ne stocker dans R que les éléments non

nuls de M ,il en découle :

d1 d2 d4 d6

d3

d5

d7


38

Le tableau suivant nous permet de repérer un élément du vecteur R par-rapport

à son équivalent dans la Jacobienne M .

Elément de la matrice Jacobienne Elément du vecteur équivalent

M [i] [j] [l] R [k]

M [i+1] [j] [l] R [K+1]

M [i-1] [j] [l] R [K-1]

M [i] [j+1] [l] R [K+nX]

M [i] [j-1] [l] R [ K-nX]

M [i] [j] [l+1] R [ K+nX.nY]

M [i] [j] [l-1] R [ K-nX.nY]

Pour établir la correspondance entre un élément de la matrice M et son

équivalent dans le vecteur R, la formule suivante peut être utilisée, tel que :

K=(i-1)+((j-1).nx)+((l-1).nx.ny) (II-13)

Dans le sens inverse, la position d’un nœud de cordonnées i,j,l se déduit par

les expressions suivantes :

i=modulo(k/nx)+1

l=int(k/nx. ny)+1 (II-14)

j=(k-(I-1)-((l-1). nx. ny)/ nx.

Lors d’un calcul en un nœud en fonction des variables aux nœuds voisins,

certains points peuvent ne pas nécessiter la contribution des six nœuds voisins

classiques.En considérant le vecteur équivalent R, et pour vérifier l’éventuelle

contribution des nœuds voisins pour un point donné, les tests suivants peuvent être

effectués :

Tableau (II-1).


39

1)-si : k<dim-1 d2 existe,

2)-si : k-1>=0 d3 existe,

3)-si : k<dim- nx d4 existe,

4)-si : k- nx >=0 d5 existe,

5)-si : k<dim-(nx. ny) d6 existe,

6)-si : k-(nx. ny)>=0 d7 existe,

2-1-2-Le vecteur F : Les éléments du vecteur f second membre représentent chacun un vecteur de trois

éléments qui sont la fonction de Poisson et celles de continuité (-Fψ,-Fn,-Fp).

2-1-3-Résolution du système Uδ=-F :

Une écriture indicée du système linéaire Uδ=-F est donnée par l’expression

suivante :

Uijl-1. δ ijl-1+ Uij-1l. δ ij-1l +Ui-1jl. δ i-1jl+ Uijl. δ ijl+ Uijl+1. δ ijl+1+ Uij+1. δ ij+1l+Ui+1jl. δ i+1jl= -Fijl-1

(II-15)

En passant des cordonnées (i,j,l) à la notation indicée en utilisant k, nous

aurons :

d7[k-(nx. ny)]. δ[k-(nx. ny)]+ d6[k]. δ[k+(nx. ny)]+ d5[k-nx]. δ[k-nx]+ (II-16)

d4[k]. δ[k+nx]+ d3[k-1]. δ[k-1]+ d2[k+1]. δ[k+1]+ d1[k]. δ[k]= -F[k]


40

III-Conclusion :

L’algorithme le mieux adapté à la résolution des équations non linéaires et

fortement couplées découlant du modèle physique en est celui de Newton

(voir Annexe C).

L’algorithme de Gummel [21] intervient essentiellement lors des calculs de

simulation à l’équilibre thermodynamique.Ces derniers résultats pouvant être injectés

dans l’algorithme de Newton comme valeurs initiales pour une éventuelle étude de

même composant sous polarisation. Dans le chapitre qui suit nous présentons une

nouvelle version améliorée du logiciel SIM-3D, incluant un algorithme de résolution

numérique combinant l’algorithme de Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à

l’accélération des temps de convergence.

Implémentation de

l’algorithme Multigrille

au logiciel SIM-3D

Chapitre III

Chapitre III Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

41

I-Introduction :

Les calculs numériques étant souvent prohibitifs en temps, l’implémentation

d’une méthode Multigrille rapide permet une amélioration des temps de

convergence.

Ce chapitre est concerné par la description de l’implémentation de

l’algorithme Multigrille dans l’algorithme de Newton.

Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle est choisi avec

le plein poids (Full-Weighting : FW) comme opérateur de restriction,

l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR

comme lisseur d’erreur.

II -Position du problème :

Le système d’équations non linéaires résultant est linéarisé a l’intérieur de

l’algorithme Newton (voir l‘annexe D) avant l’application de la méthode

Multigrille[1][12].

On considère le problème elliptique linéaire avec les conditions aux limites,

devant être résolu par la méthode de Multigrille, comme étant le suivant :

FU -=d. (sur le domaine )W

(III-1)

0f-=d (sur le domaine Wd )

Et avec :

U : La matrice Jacobienne complète du système.

d : Le vecteur de correction.

F : Le vecteur seconde membre.


42

Il s’avère être commode de considérer une grille de (2l

-1).(2l

-1).(2l

-1)

points des inconnus .Nous ajoutons les nœuds à la frontière, pour obtenir la grille Gl

de (2

l +1).(2

l+1).(2

l+1) points sur laquelle l’algorithme opérera.

Nous posons P(i) le problème à résoudre par un système discrétisé à trois

équations couplées ( Poisson et continuités) sur une grille Gi de

(2i +1).(2

i +1).(2

i +1) points, avec (2

i -1).(2

i -1).(2

i -1) inconnus.

Le problème est indiqué par la taille i de grille, la matrice Jacobienne U(i), et le

F(i ) représentant le second membre. Nous produirons un ordre des problèmes relatifs

P(i),P(i-1),P(i-2),P(i-3),…,P(1) sur des grilles de plus en plus grossières, où la solution

à P(l-1) est une bonne approximation de P(i). Pour déterminer l’erreur de la solution

approchée avec un pas h (grille fine), il suffit de trouver la solution pour un pas

2h(grille brute)[22].

Pour expliquer comment l’algorithme fonctionne, nous avons besoin de

quelques opérateurs qui posent un problème sur une grille, et l’améliorent ou le

transfèrent à un problème relatif sur une autre grille.

II-1- L’opérateur de lissage :

Il consiste en l’amélioration de la solution approximative par une méthode de

relaxation SOR[23]. La méthode (SOR) est une version légèrement modifiée de la

méthode Gauss-Seidel. Comme la méthode de Jacobi, la méthode SOR

emploie une moyenne pondération de la nouvelle et vieille approximation.


43

.

II-2- L’opérateur de restriction R(i) :

Soit ( F(i), δ(i )), les composants d’un problème P(i) , et (F(i-1), δ(i-1)),

un problème plus simple sur la prochaine grille brute, avec la conjecture

commençante par δ(i-1 ), tel que:

[ F(i-1), δ(i-1 )] =R(i) [ F(i), δ(i )] (III-2)

Nous montrons que la restriction est mise en application simplement en

calculant une valeur pondérée à chaque point de grille par rapport à ses voisins les

plus proches.

II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1) :

Soit une solution approximative δ(i-1 ) pour P(i-1). Elle et convertie en δ(i )

pour le problème P(i) sur la prochaine grille plus fine, tel que :

[F(i), δ(i )] =In(i-1) [ F(i-1), δ(i-1 )] (III-3)

Son exécution exige également une moyenne pondérée par rapport aux points

voisins les plus proches.

III-Algorithme Multigrille V-cycle :

L’algorithme mis en place ci-dessous est représentatif d’un V-cycle

Multigrille[1][4][6] :(voir Fig.(I-7),et (I-8) du Chapitre I ).


44

d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ; Restriction du résidu sur la prochaine

grille brute.

for(jj=lmax –1 ;l>=lmin +1;j--)

{

δ(jj) = δin(jj); Initialisation de δΨ , δn et δp .

U(jj).δ(jj) = F(jj); Itérations pour la résolution du système

Linéaire sur grille brute.

d(jj) = F(jj) - U(jj).δ(jj) ; Calcul du résiduel en le limitant

à la prochaine grille brute. d(jj-1) = R(jj-1)( d(jj-1)) ;

}

δ(lmin) = δin(lmin); Initialisation de δΨ , δn et δp sur la grille grossière.

U(lmin) .δ(lmin) = d(lmin); Résolution sur la grille la plus brute Jusqu’à convergence.

for(jj=lmin+1 ;l>=lmax +1;j++)

{

V(jj) = In(jj) (δ(jj-1)) ; Interpolation de l’erreur sur grille plus fine.

δnouv(jj) = δancie(jj) + V(jj) ; Correction de la solution .


Linéaire sur grille fine.

}

U(lmax).δ(lmax) = -F(lmax); Itérations pour la résolution du système

linéaire sur la grille la plus fine.

d(lmax) =- F(lmax) - U(lmax).δ(lmax) ; Calcul du résiduel (d) sur la grille

plus fine. d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ; Restriction du résiduel sur la prochaine

grille brute.

for(jj=lmax –1 ;jj>=lmin +1;jj--)

{ δ(jj) = δin(jj); Initialisation de δΨ , δn et δp .

F(jj) =d(jj);


linéaire sur grille brute.

d(jj) = F(jj) - U(jj).δ(jj) ; Calcul du résiduel en le limitant

à la prochaine grille brute. d(jj-1) = R(jj-1)( d(jj-1)) ;

}

δ(lmin) = δin(lmin); Initialisation de δΨ , δn et δp sur la grille grossière.

U(lmin) .δ(lmin) = d(lmin); Résolution sur la grille grossière Jusqu’à convergence.

for(jj=lmin+1 ;jj>=lmax ;jj++)

{

V(jj) = In(jj) (δ(jj-1)) ; Interpolation de l’erreur sur grille plus fine.

δnouv(jj) = δancie(jj) + V(jj) ; Correction de la solution .

if(jj== lmax ) d(jj)=-F (jj) ;

U(jj).δ(jj) = d(jj); Itérations pour la résolution du système

linéaire sur grille fine.

}


45

IV-Description de l’algorithme Multigrille dans le programme

SIM-3D :

Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D, la méthode de Newton est

combinée à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle

emploie plusieurs ordre de grilles au lieu d’une grille simple utilisée dans l’algorithme

SOR et déjà implémentée dans l’ancienne version SIM-3D.

Un cycle de l’algorithme numérique, qui combine les deux méthodes Newton et

Multigrille linéaire, appliqué pour résoudre les équations couplées décrites et

discrétisées dans l’annexe D , est le suivant[24][25] :

1. Linéarisation du système non linéaire à équations couplées

par une 1ere

étape de la méthode de Newton.

2. Résolution du système :U(i).δ(i)=-F(i),en appliquant quelques

itérations N 0 . Par la méthode de relaxation SOR.(Sur la grille Gi ).

3. Après quelques étapes de relaxation, les méthodes

multigrilles effectuent une opération de transfert inter grille .Pour les

méthodes multigrilles qui emploient l’arrangement de correction cette

opération implique un calcul de résiduel et la restriction du résiduel à une

grille brute .Typiquement ces deux opérations sont combinées dans une

seule opération où le résiduel est calculé et immédiatement transféré à la

grille brute.

Le résiduel est donné par la relation suivante :

d(i) = F(i) – U(i).δ(i) (III-4)

L’erreur étant :

e(i) = δ(i)- δ0(i) (III-5)


46

Si δ0(i) :est la conjecture initiale.

Cette erreur satisfait l’équation de défaut suivante :

U(i).e(i) = d(i) (III-6)

L’équation de défaut est projetée sur grille brute en utilisant un opérateur de

restriction plein poids (FW) R(i) ,et nous pouvons écrire :

U(i-1).δ(i-1) = R(i)( d(i)) (III-7)

Cette équation est résolue pour δ(i-1) sur une grille Gi-1

.en appliquant un

nombre de relaxation N1 d’itérations SOR.

L’étape 3 est répétée périodiquement jusqu'au niveau le plus grossier, où

l’équation va être résolue jusqu'à convergence.

4. Le résultat obtenu est soumis à une interpolation pour corriger la

solution courante sur la grille fine (Voir l’équation (III-8)) suivi par un nombre

de relaxation N2 d’itérations SOR .Cette étape peut être utilisée itérativement

jusqu'à remonter à la grille réelle (la plus fine).

La correction de la solution est donnée par l’équation suivante :

δnouv (i)= δanc(i)+V(i) (III-8)

avec:

V(i)= In(i)( δ(i-1)) (III-9)

5. Mise à jour de la solution du système avant la reprise d’une nouvelle

itération de Newton.

Remarque :

Une itération Multigrille inclut les étapes 3et4.


47

V-Organigramme Newton –Multigrille :

Initialisation Ψ ,N,et P

V = V + dV

l = l max

Début d’un cycle

Résolution du système linéaire :

U( l ).δ( l ) = -F( l )

Calcul du résiduel :

d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l )

Restriction de résiduel :

d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l )

l = l -1

Si : l = l min


U( l min).δ( l min) = -F( l min) jusqu’à convergence

U( l ).δ( l ) = -F( l )

A

Non

Oui

B

D

C


48

Interpolation de l’erreur :

V( l ) = In( V( l -1) )

l = l +1

A

Correction de la solution courante δ( l ) par :

δnouv(l ) = δance(l ) + V( l )

V(l) = In( V(l-1) )


U( l ).δ( l ) = d( l )

Si : l = l max

Oui

Non

Oui

D Fin de programme

Fin de cycle Multigrille

C

Test de convergence

sur : δΨ/ Ψ, δn/n,

δp/p

Non

Oui

Si : V=Va

Non

Fig.(III-1) Organigramme de calcul

par Newton-Multigrille dans SIM-3D

Mise à jour de : Ψ ,n,et p

Test de vergence sur :

δΨ , δn, δp

B

Non

Oui


49

V-Description des opérateurs de restriction et d’interpolation :

VI-1- Opérateur de restriction FW :

Après quelques itérations par méthode SOR sur un niveau de grille, et le

calcul des résiduels pour l’ensemble des points de grille(excepté les points de

frontières), une opération de transfert inter grille va transférer les résiduels à la

prochaine grille brute via un opérateur plein poids (FW)[24].

Pour obtenir le second membre de l’équation U(i).δ(i)=F(i) en tout point de

grille brute, un opérateur de restriction plein poids R(i) est mis en application. Ce

dernier va transférer les résiduels des 27 points de grille fine contribuant au calcul du

point de grille brute correspondant.

Si R est l’opérateur de restriction et U est le résiduel de ¶ Ψ, ¶ n ou ¶ p

alors :

UH(x,y,z) = R (Uh(x,y,z)) (III-10)

UH(x,y,z) = Uh(x,y,z) +21 (Uh(F1)+Uh(F2)+………+ Uh(F6) ) +

41 (Uh(A1)+Uh(A2)+………+ Uh(A12) )+

81 (Uh(S1)+Uh(S2)+………+ Uh(S8) ) (III-11)

Où :

Fi : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 21 (entouré par 2 nœuds de GH).

Ai : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 41 (entouré par 4 nœuds de GH).

Si : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 81 (entouré par 8 nœuds de GH).


50

Les figures suivantes montrent la représentation géométrique des points

(nœuds) de grille fine à pondération déterminée, et leur situation par rapport au point

de grille brute correspondant.

Les nœuds de Gh

Les nœuds de GH

z

y

U0

Fig.(III-3) : Les points à contribution

d’un poids de 1/4 ,situés dans

le plans yoz.

U(A4)

U(A3)

U(A2)

U(A1)

Fig.(III-2) : Les points à contribution d’un

poids de 1/2, situés dans les axes x,y et z.

x

z

y

U0

1

3

2

4

5

6

Les nœuds de Gh

Les nœuds de GH


51

x

y

Les nœuds de Gh

Les nœuds de GH

U(A9) U(A10)

U(A12) U(A11)

U0

Fig.(III-5) : Les points à contribution d’un

poids de 1/4 ,situés dans le plans xoy.

x

z

U(A5) U(A6)

U(A8) U(A7)

Les nœuds de Gh

Les nœuds de GH

Fig.(III-4) :Les points à contribution d’un

poids de 1/4 ,situés dans le plans xoz.

U0


52

VI-2-Interpolation linéaire :

Après que la correction ai été calculée et stockée en tout point de grille

brute VH(x,y,z), elle est propagée aux points de grille fine Vh(x,y,z) en effectuant

une régénération des 26 (points situés sur les faces, arrêts et sommets) points

voisins les plus proches. Un opérateur d’interpolation linéaire est mis en

application de la manière suivante[24] :

Si V est la valeur de correction de ¶ Ψ, ¶ n ou¶ p , nous aurons :

· Quand les nœuds de GH et Gh sont superposés alors :

Vh(x,y,z) = VH(x,y,z) (III-12)

· Quand un nœud de Gh est entouré par deux nœuds de GH alors :

Sur la direction des x:

Vh(x,y,z) = 21 ( VH(x-h,y,z) + VH(x+h,y,z) ) (III-13)

Sur la direction des y:

Vh(x,y,z) = 21 ( VH(x,y-h,z) + VH(x,y+h,z) ) (III-14)

Sur la direction des z:

Vh(x,y,z) = 21 ( VH(x,y,z-h) + VH(x,y,z+h) ) (III-15)


53

· Quand un nœud de Gh est entouré par quatre nœuds de GH alors :

Sur le plans xoy:

Vh(x,y,z) = 41 ( VH(x-h,y-h,z) + VH(x-h,y+h,z) + VH(x+h,y-h,z) +

VH(x+h,y+h,z) ) (III-16)

Sur le plans yoz:

Vh(x,y,z) = 41 ( VH(x,y-h,z-h) + VH(x,y-h,z+h) + VH(x,y+h,z-h) +

VH(x,y+h,z+h) ) (III-17)

Sur le plans xoz:

Vh(x,y,z) = 41 ( VH(x-h,y,z-h) + VH(x-h,y,z+h) + VH(x+h,y,z-h) +

VH(x+h,y,z+h) ) (III-18)

· Quand un nœud de Gh est entouré par 8noeuds de grille GH alors :

Vh(x,y,z) = 81 ( VH(x-h,y-h,z-h) + VH(x-h,y-h,z+h) + VH(x-h,y+h,z-h) +

VH(x+h,y-h,z-h) + VH(x-h,y+h,z+h) + VH(x+h,y+h,z-h) +

VH(x+h,y-h,z+h)+ VH(x+h,y+h,z+h) ) (III-19)


54

VII-Conclusion :

Nous avons mis au point une nouvelle version du logiciel SIM-3D

regroupant deux algorithmes combinés, Newton et Multigrille linéaire, adapté

à la représentation et simulation des structures à base de semi-conducteurs à

relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus). SIM-3D permet l’étude

du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace

tridimensionnel.

La programmation de deux algorithmes combinés nous a permis de

mettre en évidence la grande difficulté mais nécessaire implémentation de

l’algorithme Multigrille pour une meilleure optimisation des temps de calcul.

Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions

du logiciel SIM-3D sont présentés, comparés et discutés dans le chapitre

suivant.

Résultats

et

interprétations

Chapitre IV

Chapitre IV Résultats et interprétations.

55

I-Introduction :

Les résultats de simulation que nous présentons dans ce chapitre ont servi à

valider la méthode Multigrille, et comparer son efficacité par rapport à la méthode

SOR.

Les calculs sont appliqués pour 3 types de maillage différent : 17x17x17,

33x33x33 et 65x65x65, en assurant un nombre de points égal et homogène dans les

trois directions de calcul.

Le programme SIM-3D a été réalisé en Borland C++ 5.0, sous Windows XP

professionnel version 2002,et exécuté sur une machine Intel(R) à base de Pentium (R)

4 CPU, avec une fréquence 2.40Ghz et 128 Mo de RAM, et de 40 Go de disque dur .

La nouvelle version SIM-3D a une taille de mémoire 136 Ko, et son exécution

nécessite 187 Ko.

Nous rappelons que l’algorithme Multigrille a été implémenté dans le but

d’activer les temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de

point de discrétisation augmente.

II-Structure de test :

II-1-Schéma de la structure :

Le matériau de base étant le GaAs[26][27] nous avons validé nos programmes

par l’utilisation d’une structure P+n N

+[28]polarisée en sens direct (figure (IV-1)). Le

GaAs, étant plus de type N à cause de la forte densité NT, l’ensemble de nos

simulations concernent la jonction P+n en présentant différents coups transversales de


56

concentrations en porteurs libres et distributions de potentiels. Ces résultats ont déjà du

coté physique, fait l’objet de comparaison avec ceux obtenus dans la référence [ 29 ] .

II-2-Choix du maillage :

Dans le but de valider la méthode Multigrille implémentée dans SIM-3D et ceci

particulièrement dans des conditions défavorables à la convergence(nombre de points

de discrétisation importante), nous réalisons l’ensemble de nos simulations en

appliquant un maillage homogène dans l’ensemble des directions de calcul.

II-3-Paramètres de simulation :

Nous résumons l’ensemble des grandeurs numériques de paramètres électriques

et géométriques relatifs à la structure de test, dans le tableau suivant :

Fig.(IV-1) :Schéma de la structure de test

matériau de base GaAs.

υ

y

P+

o x

z N+

XP+

Xn

Y

Z


57

III-Résultats de simulation :

Les figures (IV-2) à (IV-33) représentant des coupes transversales de la

distribution du potentiel et des profils de densités de porteurs libres N et P et leurs

erreurs associées, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, et obtenues

avec trois types de maillage différent à pas constants.

Paramètres physiques : Paramètres géométriques :

KT=26.10-3

ev.

Nc =4.43.1017

cm-3

.

Nv = 8.84.1018

cm-3

.

εr =12.5.

ni =2.106 cm

-3.

EG =1.432 ev.

µn =4000 cm2/v.s.

µp=280 cm2/v.s.

EL2:

Nt =2.1016

cm-3

.

n1t =2.1.106 cm

-3.

τnt =2.7.10-9

s.

p1t =1.905.106 cm

-3.

τpt =1.5.10-6

s.

Er :

n1r =4.45.105 cm

-3.

τnt =10-10

s.

p1r =8.989.106 cm

-3.

τpt =10-10

s.

Longueur de la partie P+

:

XP+ =0.15µm.

Longueur de la partie ν:

X ν =0.15µm.

Dimension en largeur :

Y =2µm.

Dimension en profondeur :

Z =2µm.

Tableau (IV-1) : Paramètres de simulation.


58

III-1-Simulation avec un maillage (17x17x17 points) :

Le tableau ci-dessous sert de récapitulatif le nombre d’itérations et les temps

d’exécution obtenus par Multigrille et par SOR.

Concernant les résultats obtenus par la méthode Multigrille, le nombre optimum de

V-cycle /itération Newton est égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est l =4.

Tableau (VI-2) : Résultats de simulation avec un maillage de 17x17x17 Points,

obtenus par Multigrille et SOR.

Multigrille SOR

Nombre

d’itérations

de Newton:

Le temps

d’exécution

(s) :

16 24

14 339


59

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

10

15

20

25

30

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10-3

psi (kT/q)

axe X axe Y

Fig.(VI-2) : Distribution de potentiel pour une polarisation de10kT/q

(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

Fig.(VI-3) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille.

axe X axe Y

psi

psi¶


60

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

10

15

20

25

30

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

psi (kT/q)

axe X axe Y

Fig.(VI-4) : Distribution de potentiel pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.

psi

psi¶

axe Y axe X


10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR.


61

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x 107

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

axe Y axe X

n(cm-3

)

axe X axe Y

nn¶

Fig.(VI-6) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

Fig.(VI-7) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de



62

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

x 107

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

axe Y axe X

n(cm-3

)

Fig.(VI-8) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation

de 10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.



axe X axe Y

nn¶


63

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

x 1017

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

axe X axe Y

p(cm-3

)

Fig.(VI-10) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de


Fig.(VI-11) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q

(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille.

axe X axe Y

p

p¶


64

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

x 1017

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10



axe X axe Y

p(cm-3

)

Fig.(VI-13) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de


axe X

axe Y

p

p¶


65


Le nombre d’itérations et les temps d’exécution pour les deux méthodes sont

donnés dans le tableau ci-dessous. Concernant les résultats de simulation calculés par

la méthode Multigrille sont obtenus avec un nombre optimum de

V-cycle /itération Newton est égal à 2, et un nombre de niveau de grille est l =5.

Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la

méthode SOR, nous avons fait deux simulations, sans et avec un critère de

convergence sur la grille grossière correspondant à un taux d’erreur supérieur ou

égale à 10-10

voir les figures (VI-20) et (VI-21) . Le tableau suivant sert de récapitulatif

aux principaux résultats obtenus par SOR et par Multigrille.

Multigrille

Simulation sans

critère de

convergence

Simulation avec

critère de

convergence

Nombre

d’itérations

de Newton :

Le temps

d’exécution

(s) :

20

111

20

147

40

584

SOR

Tableau (VI-3) : Résultats de simulation avec un maillage de 33x33x33 Points,

obtenus par Multigrille et SOR.


66

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

10

15

20

25

30

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

axe X

axe Y

psi (kT/q)


10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.



axe X axe Y

psi

psi¶


67

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

10

15

20

25

30

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

axe X axe Y

psi (kT/q)



psi

psi¶

axe Y axe X




68

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x 107

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

axe Y axe X

n(cm-3

)

Fig.(VI-18) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille.

axe X axe Y

nn¶




69

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

5

x 107

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1 : Simulation de la méthode Multigrille avec critère de convergence sur la grille grossière .

axe Y axe X

n(cm-3

)

Fig.(VI-20) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY,Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille1.

axe X axe Y

nn¶

Fig.(VI-21):Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille1.


70

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x 107

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

n(cm-3

)

axe Y axe X

Fig.(VI-22) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation

de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.



axe X axe Y

nn¶


71

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

x 1017

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

axe X axe Y

p(cm-3

)





axe X axe Y

p

p¶


72

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

x 1017

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18



axe X axe Y

p(cm-3

)



axe X axe Y

p

p¶


73


Les résultats suivants sont obtenus par la méthode Multigrille, avec un nombre

optimum de V-cycle /itération Newton égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est

l =6, et en appliquant un critère de convergence sur la grille grossière avec un taux

d’erreur supérieur ou égale à 10-10

.

Tableau (VI-4) : Résultats de simulation avec un maillage de 65x65x65

Points, obtenus par Multigrille .

Multigrille

Nombre

d’itérations

de Newton:

Le temps

d’exécution

(s) :

6

11328


74

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

10

15

20

25

30

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

axe X axe Y

psi (kT/q)

Fig.(VI-28) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10kT/q

(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.



axe X

axe Y

psi

psi¶


75

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

1

2

3

4

5

6

x 107

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

5

10

15

20

25

30

axe Y axe X

n(cm-3

)

Fig.(VI-30) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille.

axe X axe Y

nn¶




76

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

x 1017

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0

5

10

15

20

25

30

35

axe X axe Y

p(cm-3

)





axe X axe Y

p

p¶


77

IV- Comparaison des résultats et interprétation :

Lors des simulations que nous avons effectuées, nous avons limité le nombre

d’itérations sans pour autant aller jusqu'à convergence.

En se fixant dans les mêmes conditions de simulations et en utilisant le taux

d’erreur comme critère de comparaison, nous remarquons que les mêmes résultats

sont obtenus par Multigrille et par SOR avec un nombre d’itérations Multigrille

beaucoup plus faible que celui réaliser par SOR.

L’efficacité de la Multigrille devient plus conséquente à mesure que le nombre de


Ceci revient au fait que la vitesse de lissage d’erreur liée à la Multigrille est

beaucoup plus grande que celle liée à la méthode SOR.

Le nombre d’itérations affecte évidement le temps de calcul globale qui est

beaucoup plus réduit lorsque l’algorithme Multigrille est appliqué.

Il est également constate une limite d’application de l’algorithme SOR. En effet,

les résultats de comparaisons ont été réalisés avec un certain taux d’erreur, qui peut

continuer à être réduit par la méthode Multigrille (voir la Figure (VI-21) ) alors que la

méthode SOR diverge en cas de continuité de calculs.

La méthode Multigrille est même non seulement plus rapide mais également plus

efficace dans la résolution du taux d’erreur, les résultats physiques qui peuvent en

découler peuvent être approchées à une excellence précision.

Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la

méthode SOR, nous avons appliqué un critère de convergence sur la grille grossière

correspondant à un taux d’erreur supérieur ou égale à 10-10

, les résultats révèlent

observe que la méthode Multigrille continue de lisser l’erreur par rapport la méthode


78

SOR qui devient dans ce cas complètement inefficace, comme le montrent les figures

(IV-20) et (IV-21).

Lors des essais de simulation effectués avec le maillage 65x65x65 points, nous

avons confronté des difficultés avec la simulation par la méthode SOR, car l’exécution

du programme ne continue pas, et la machine est bloqué après quelques minutes de

calcul, par contre la simulation avec la méthode Multigrille n’empêche pas l’exécution

du programme comme montrent les figures (VI-28) à (VI-33). On remarque

l’indépendance de la méthode Multigrille du nombre de points de discrétisation, par

contre la méthode SOR est fortement dépend du nombre de points de maillage, et cette

dernière devient inutilisable à mesure que le maillage s’affine.

Le tableau suivant sert de récapitulatif aux principaux résultats obtenus par SOR

et par Multigrille.

17x17x17 points

33x33x33 points

Multigrille

SOR

Nbr itrs Nbr itrs Nbr itrs Temps Temps Temps

24

40

339

(s)

584

(s)

14

(s)

111

(s) 147

(s)

16

40 20

Simulation sans

critère de

convergence

Simulation avec

critère de

convergence

65x65x65 points

6 11328 (s)

Tableau (VI-5) : Tableau récapitulatif de résultats de simulation, obtenus par

Multigrille et SOR, avec les différents types de maillage.


79

La comparaison des résultats numériques du tableau (IV-5) montre que la méthode

Multigrille nécessite moins d’itérations de Newton pour la résolution du système

linéaire par rapport à la méthode SOR, et donc un coût de calcul plus petit, par contre

la méthode SOR nécessite un coût de calcul assez grand, et montre aussi l’efficacité

et l’intérêt de la Multigrille, qui devient plus conséquente à mesure que le nombre de


V-Conclusion:

Les résultats de simulation représentés dans ce chapitre permettrent de valider

la méthode Multigrille pour la simulation dans un espace tridimensionnel du

potentiel électrostatique et des concentrations en porteurs libres N et P d’une

structure P+n N

+ polarisée en sens direct .

La comparaison entre les deux méthodes Multigrille et SOR, montre l’efficacité

de la méthode Multigrille dans la résolution du taux d’erreur et la rapidité de

lissage d’erreur pour des résultats physiques qui peuvent être comparables avec des

résultats obtenus dans le cas réel[29], et par contre la méthode SOR devient

moins performante dans les mêmes conditions.

La simulation avec le maillage 65x65x65 montre l’intérêt de la Multigrille à mesure

que le maillage s’affine, et on constate une limite d’application de l’algorithme SOR

dans ce cas là.

Conclusion générale

Conclusion générale.

82

Dans ce travail nous avons réalisé une nouvelle version du logiciel SIM-3D

permettant l’intégration de l’algorithme Multigrille à celui de Newton, l’objectif étant

une représentation et simulation plus rapide des structures à base de semi-conducteurs

à relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus).SIM-3D permet donc l’étude du

courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace tridimensionnel.

L’étude théorique des méthodes Multigrilles classiques montre généralement que

ces méthodes ont de bonnes propriétés de convergence et des coûts de calculs faibles.

La description de la version initiale du logiciel SIM-3D est présentée en premier

lieu, en donnant les deux algorithmes numériques déjà implémentés dans le logiciel

SIM-3D. Les algorithmes de Gummel et de Newton se basent sur une méthode de

résolution dite des relaxations successives SOR (Succesive Over Relaxation). Cette

méthode bien que relativement rapide n’est pas forcément celle qui mène aux

meilleures vitesses de convergences. L’utilisation de méthodes plus rapides tel que la

méthode Multigrille pourrait aboutir à des améliorations sensibles en temps de calcul.

Donc pour améliorer encore plus les temps de convergence, l’implémentation

d’une méthode Multigrille linéaire rapide s’avère nécessaire pour une meilleure

optimisation des temps de calcul.

Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D la méthode de Newton est combinée

à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle utilise le

plein poids (Full Weighting : FW) comme opérateur de restriction, l’interpolation

linéaire comme opérateur de prolongation et la méthode SOR comme lisseur d’erreur.

Cette méthode emploie plusieurs ordre de grilles.

Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions du logiciel

SIM-3D, ont été obtenus à partir des tests de structures de types P+n N

+polarisées en


83

sens direct et à base de GaAs. Trois types de maillage différent à pas constant sont

appliqués.

Les résultats physiques de l’étude d’une diode longue à base de GaAs ont déjà été

validés dans un précédent travail, les simulations ont été reprises dans un but unique

de valider l’intégration de la méthode Multigrille dans SIM-3D

Le but d’implémentation de la méthode Multigrille linéaire est lié à l’activation des

temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de

discrétisation augmente.

Les différentes simulations permettent de tester la méthode Multigrille

implémentée dans SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à

la convergence (nombre de points de discrétisation important), et comparer son

efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du

logiciel SIM-3D.Nous sommes arrivé aux conclusions suivantes :

· L’analyse effectuée sur les résultats obtenus par les deux méthodes, avec un

maillage large, montre la nette rapidité des méthodes Multigrille par rapport à la

méthode SOR. Néanmoins cette dernière reste efficace dans ce cas de maillage.

· En appliquant un maillage intermédiaire, nous avons testé deux

configurations(Multigrilles) sans et avec critère de convergence totale sur la grille

grossière correspondant à une précision d’arrêt de calcul supérieure ou égale à 10-10

. Il

a été constaté ce qui suit :

La méthode Multigrille a une vitesse de lissage d’erreur plus grande que

celle liée à la méthode SOR. Elle se révèle non seulement plus rapide mais également

plus efficace dans la réduction du taux d’erreur. Cette efficacité pourrait devenir plus

conséquente à mesure que le nombre de points de discrétisation augmente.


84

· En troisième lieu, et pour s’assurer encore plus de l’intérêt de la méthode

Multigrille sur une discrétisation plus fine, nous appliquons un maillage de 65x65x65

points. Les résultats révèlent l’indépendance de l’efficacité de la méthode Multigrille

par rapport au nombre de points de discrétisation, la méthode SOR étant au contraire

fortement dépendante du nombre de nœuds du maillage. Cette méthode n’a pu donner

de résultats et a complètement divergé dans ce cas de figure.

Cette étude a permi l’implémentation d’un code Multigrille dans la version

séquentielle du logiciel SIM-3D. En perspective, qui permettrait lors de futures

simulations d’obtenir des résultats bien approchés en des temps raisonnables mêmes

en procédant à des maillages très fins des grilles de discrétisation.

L’utilisation de la méthode Multigrille pourrait également être adaptée à un calcul

parallèle. L’idée de son intégration dans la version parallèle s’exécutant sur un réseau

de processus est en cours d’étude. Sa mise au point, permettrait de faire chuter

considérablement les temps de calcul découlant des simulations à trois dimensions.

Annexes

Annexe A Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération.

85

Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération :

Soit jhU une approximation de la solution hU de (I-19), alors :

j

hhj

h UUV -= (A-1)

Nous dénotons l’erreur de jhU .

On peut dénoté la nouvelle approximation 1+jhU , tel que :

j

hhj

h VUU ˆ1 +=+ (A-2)

et donc l’erreur dans ce cas est donnée comme suite :

11 ++ -= j

hhj

h UUV (A-3)

et le défaut donnée par :

11. ++ = jh

jhh dVL (A-4)

On substitue (A-1) et (A-2) en (A-3), on obtient alors :

j

hj

hj

h VVV ˆ1 -=+ (A-5)

et avec l’équation de défaut donnée par :

jh

jhh dVL =. (A-6)

et son approximation donnée par :

jh

jhh dVL =ˆ.ˆ (A-7)

(A-7) Û ( ) jh

jhh

jh dBdLV ..ˆˆ

1

==-

(A-8)

On substitue (A-8) en (A-5), on obtiens alors :

j

hj

hj

h dBVV .1 -=+ (A-9)

(A-6) et (A-9) ( ) jhhh

jh VLBIV ..1 -=Û + (A-10)

Et avec : hh LBI .- représente l’opérateur d’itération.

(A-4),(A-7) et (A-10) ( ) jhhh

jh dLBId ..1 -=Û + (A-11)

Annexe B La structure étudiée(Diode PIN).

86

11)).. LLAA DDIIOODDEE PPIINN

Une diode PIN[28]est réalisée en empilant une couche P

+ très dopée, une zone I

très peu dopée (idéalement intrinsèque) et une couche N+ très dopée.

La région I est soit P peu dopée, dans ce cas on aura affaire à une diode P+-π-N

+,

soit N peu dopée dans ce cas on aura affaire à une diode P+-ν-N

+.

L’empilement peut être réalisé :

q Soit par diffusion des régions P+ et N

+ de part et d’autre d’un substrat de haute

résistivité.

q Soit par épitaxie d’une couche π ou ν sur un substrat P+ ou N

+ suivi d’une

diffusion localisée N+ ou P

+ dans la couche épitaxie.

Les contacts de la diode sont évidemment pris sur les couches P+ et N

+.

22)).. CCAARRAACCTTEERRIISSIIQQUUEESS DDUU GGaaAAss SSEEMMII--IISSOOLLAANNTT

Le GaAs[26][27]est l’élément représentatif des composés III-V, qui présente une

densité de centres profonds importante.

Le matériau GaAs préparé par la méthode de Czochralski (Liquid Encapsulated

Czochralski : L.E.C ), présente :

q Le niveau accepteur peu profond EA (NA) est du au bore et au carbone de

l’encapsulant B2O3 .

q Le niveau donneur profond EL2, Et (Nt) qui assure la compensation des

défauts accepteurs peu profonds présents à l’état naturel (ce niveau occupée

est neutre et chargé positivement lorsqu’il est vide).

q Un niveau donneur peu profond provenant de la présence de Si. Mais comme

nous avons en général NA>ND ; NA sera en fait la densité effective de centres

accepteurs peu profonds : avec NA= [ NA(C) – ND(Si) ]. Une condition

nécessaire pour que le substrat de GaAs soit semi-isolant est que l’on ait :

Annexe B La structure étudiée(Diode PIN).

87

Nt > NA

q Un centre recombinant efficace Er situé au milieu de la bande interdite dont la

densité Nr << Nt. Cela signifie que la capacité à stocker une charge d’espace de

ce centre Er est négligeable par rapport à celle du centre Et.

EEcc ne

pe Ev

+ + +

_ _ _ _

EFe Et, Nt

EErr,, NNrr

EA, NA

EG=1.432 eV

EL2

FFiigguurree ((BB--11)) :: RReepprréésseennttaattiioonn sscchhéémmaattiiqquuee ddeess bbaannddeess dd’’éénneerrggiiee eett ddeess

nniivveeaauuxx ppiièèggeess ppoouurr llee GGaaAAss sseemmii--iissoollaanntt..

Annexe C Le modèle physique.

88

I)-Equations de base des semi-conducteurs :

I-1)-Equations électrostatiques :

L’équation de Poisson [30] [31] permet de relier le potentiel électrostatique y à la

densité formée par les charges dues aux porteurs libres et aux impuretés(supposées

totalement ionisées).

div ( ) rye -=dgrar

.

Pour les semi-conducteurs supposés homogènes, c’est à dire pour une permittivitée

indépendante de la position, on obtient l’équation de Poisson sous la forme :

.e div ( ) ry -=dgrar

.

où :

reee .

0= La permittivité diélectrique du semi-conducteur.

r : La densité de charges libres qui s’écrira dans le cas général :

r = q.( p - n + N+

D - N-A – nr ).

q: La charge élémentaire = 1.6.10-19

C.

p et n : Les densités de trous et d’électrons libres .

N+

D et N-A : Les densités de donneurs et d’accepteurs ionisées.

nr : La charge piégée sur un centre profond. Dans le cas où il existe n centres

profonds on remplace nr par :å=

n

i

rin1

.

Annexe C Le modèle physique.

89

I-2)-Equations de continuité :

Les équations de continuité [31] expriment la conservation des porteurs dans un

élément de volume.

njdivqt

n r1=

¶¶ -Un + Gopt .

pjdivqt

p r1-=

¶

¶- Up + Gopt .

Où Un et Up représentent respectivement les taux nets de transports d’électrons sur

le centre ER en provenance de la bande de conduction, et de trous vers la bande de

valence en provenance de ER .

Gopt permet de prendre en compte la génération optique bande à bande.

Annexe D Les modèles numériques.

90

I)-Discrétisation de l’équation de Poisson :

Soit l’équation à discrétisée au point (i,j,l) [31] :

rndopPNZYX

---=¶

¶+

¶

¶+

¶

¶2

2

2

2

2

2 yyy.

Après discrétisation, l’équation de Poisson en version tridimensionnelle s’écrit :

+-+-= --++ ).().( ,,,,1,,1,,,,1,,1 ljiljiljiljiljilji AAF yyyyy

+-+- --++ ).().( ,,,1,,1,,,,1,,1, ljiljiljiljiljilji AA yyyy

+--+-+ -+ ).(1).(1 ,,1,,,,,,1,,,, ljiljiljiljiljilji AA yyyy lji ,,r = 0.

où lji ,,r désigne la densité de charge, qui s’exprime en fonction des valeur des inconnues

au point (i,j,l).

- lji ,,r = Ni,j,l – Pi,j,l – (ND – NA)i,j,l + nr .

A cause de la pressente de termes en exponentiel dans les expressions des concentrations

N et P, l’équation de Poisson doit être linéarisée, et cela en utilisant le développement limité

en série de taylor.

+¶+¶+¶+¶= ++--++- ljiljiljiljiljiljiljilji AAAcoefF ,1,,1,,,1,,1,,1,,1,,,, ....)( yyyyy

1,,,,1,,1,,,1,,1, .1.. -++-- ¶-+¶+¶ ljiljiljiljiljilji AAA yyy = bi,j,l

où les coefficients A et b sont donnés en Annexe E.

II)-Discrétisation des équations de continuité :

L’équation tridimensionnelle de continuité des électrons sous sa forme discrétisée

s’écrit[13][33] :

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljinnXX

NNNF,,,,1

,,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,11exp .)exp .( ..-

-+-+-=+

++---- yyayyaaam

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljinYY

NNN,,,1,

,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,1,1exp .)exp .( ..-

-+-+-++

++---- yybyybbbm

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljinZZ

NNN,,1,,

1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,1,,1exp .)exp .( ..-

-+-+-++

++---- yygyygggm

- ( ) ( )tljipttljint

ljilji

NNPP

PN

1,,1,,

,,,,

..

1.

+++

-

tt -

( ) ( )rljiprrljinr

ljilji

NNPP

PN

1,,1,,

,,,,

..

1.

+++

-

tt= 0.

Annexe D Les modèles numériques.

91

Et l’équation de continuité des trous discrétisée étant donnée par la relation

suivante :

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljippXX

PPPF,,,,1

,,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,11exp .)exp .( ..-

-+-+-=+

++---- yyayyaaam

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljipYY

PPP,,,1,

,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,1,1exp .)exp .( ..-

-+-+-++

++---- yybyybbbm

( ) ( )[ ]ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiljipZZ

PPP,,1,,

1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,,,1,,1,,1exp .)exp .( ..-

-+-+-++

++---- yygyygggm

+ ( ) ( )tljipttljint

ljilji

NNPP

PN

1,,1,,

,,,,

..

1.

+++

-

tt +

( ) ( )rljiprrljinr

ljilji

NNPP

PN

1,,1,,

,,,,

..

1.

+++

-

tt= 0.

Annexe E Calcul des éléments de la matrice Jacobienne.

92

EElléémmeennttss ddee llaa mmaattrriiccee JJaaccoobbiieennnnee[[1133]] ::

q Matrice Uijl :

q Matrice Ui-1,j,l :

q Matrice Ui+1,j,l :

q Matrice Ui,j-1,l :

úúúúúú

û

ù

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ë

é

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úúúúúúú

û

ù

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¶¶

=

3.3lj,i,

2.3lj,i,

1.3lj,i,

3.1lj,i,

2.2lj,i,

1.2lj,i,

3.1lj,i,

2.1lj,i,

1.1lj,i,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

UUU

UUU

UUU

,,

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

ljUi

y

y

yyyy

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¶¶

=

---

---

---

-

3.3lj,1,-i

2.3lj,1,-i

1.3lj,1,-i

3.1lj,1,-i

2.2lj,1,-i

1.2lj,1,-i

3.1lj,1,-i

2.1lj,1,-i

1.1lj,1,-i

,,1,,1,,1

,,1,,1,,1

,,1,,1,,1

,,1

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

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y

yyyy

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úúúúúúú

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ù

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ë

é

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¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

=

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+

3.3lj,1,i

2.3lj,1,i

1.3lj,1,i

3.1lj,1,i

2.2lj,1,i

1.2lj,1,i

3.1lj,1,i

2.1lj,1,i

1.1lj,1,i

,,1,,1,,1

,,1,,1,,1

,,1,,1,,1

,,1

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

y

y

yyyy

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û

ù

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é

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¶¶

¶¶

¶¶

=

---

---

--

---

---

---

-

3.3l,1ji,

2.3l,1ji,

1.3l,1ji,

3.1l,1ji,

2.2l,1ji,

1.2l,1ji,

3.1l,1ji,

2.1l,1ji,

1.1l1,-ji,

,1,,1,,1,

,1,,1,,1,

,1,,1,,1,

,1,

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

y

y

yyyy


93

q Matrice Ui,j+1,l :

q Matrice Ui,j,l-1:

q Matrice Ui,j,l+1:

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

=

úúúúúúú

û

ù

êêêêêêê

ë

é

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¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

=

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+

3.3l,1ji,

2.3l,1ji,

1.3l,1ji,

3.1l,1ji,

2.2l,1ji,

1.2l,1ji,

3.1l,1ji,

2.1l,1ji,

1.1l1,ji,

,1,,1,,1,

,1,,1,,1,

,1,,1,,1,

,1,

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

y

y

yyyy

úúúúúú

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ù

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é

=

úúúúúúú

û

ù

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ë

é

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¶¶

¶¶

¶¶

=

---

---

---

---

---

---

-

3.31lj,i,

2.31lj,i,

1.31lj,i,

3.11lj,i,

2.21lj,i,

1.21lj,i,

3.11lj,i,

2.11lj,i,

1.11lj,i,

1,,1,,1,,

1,,1,,1,,

1,,1,,1,,

1,,

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

y

y

yyyy

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ù

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úúúúúúú

û

ù

êêêêêêê

ë

é

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¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

=

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+

3.31lj,i,

2.31lj,i,

1.31lj,i,

3.11lj,i,

2.21lj,i,

1.21lj,i,

3.11lj,i,

2.11lj,i,

1.11lj,i,

1,,1,,1,,

1,,1,,1,,

1,,1,,1,,

1,,

UUU

UUU

UUU

lji

p

lji

p

lji

p

lji

n

lji

n

lji

n

ljiljilji

lji

PF

NFF

PF

NFF

PF

NFF

U

y

y

yyyy


94

q Calcul des éléments de la matrice Jacobienne Ui,j,l :

( ) 1,,1,,,1,,1,,,1,,11.1,, -+-+-+ +++++-= ljiljiljiljiljiljilji AAAAAAU

( ) ( )[ ]21,,1,,

,,12.1,,

..1

tljipttljint

ljinttpt

pttlji

NNPP

PNNU

+++

+--=

tt

ttt

( ) ( )[ ]21,,1,,

1,,3.1,,

..1

tljipttljint

tntljipt

nttlji

NNPP

PNNU

+++

++=

tt

ttt

( ) ( )( )êëé

--+-×=

+++--

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljinlji XX

NNU,,,,1

,,1,,1,,,,,,,,,,1,,11.2,,

1 .exp . .exp .. yyayyam

( ) ( )( )ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiYY

NN,,,1,

,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,1 .exp. .exp .-

×-+-++

++-- yybyyb

( ) ( )( ) úûù

-×-+-+

+++--

ljiljiljiljiljiljiljiljiljilji

ZZNN

,,1,,1,,1,,,,,,,,,,1,,1,,

1 .exp . .exp . yygyyg

( )ljilji

ljiljiljilji

nlji XXU

,,,,1,,,,1,,1

,,

2.2,,

1.exp ..-

÷øöç

èæ -+-=

+-- yyaam

( )( )ljilji

ljiljiljiljinYY ,,,1,

,,,1,,1,,,1 exp .-

×-+-+

-- yybbm ( )( )ljilji

ljiljiljilji ZZ ,,1,,,,1,,1,,,,n

1 .exp . --

×-++

-- yyggm

( ) ( ) ( ) ( )rljiprrljinr

lji

tljipttljint

lji

NNPP

P

NNPP

P

1,,1,,

,,

1,,1,,

,,

+++-

+++-

tttt

3.2,, ljiU = ( ) ( ) ( ) ( )rljiprrljinr

lji

tljipttljint

lji

NNPP

N

NNPP

N

1,,1,,

,,

1,,1,,

,,

+++-

+++-

tttt

( ) ( )( )êëé

-×-+-=

++---

ljiljiljiljiljiljiljiljiljiljiplji XX

PPU,,,,1

,,1,,,,,,,,1,,,,1,,11.3,,

1 . exp . . exp . . yyayyam

( ) ( )( )ljilji

ljiljiljiljiljiljiljiljiYY

PP,,,1,

,, ,1,,,,,,1,,,,1,,1,

1 . exp . . exp . -

×-+-++

+--- yybyyb

( ) ( )( ) úûù

-×-+-+

++---

ljiljiljiljiljiljiljiljiljilji

ZZPP

,,1,,,, 1,,,,,,1,,,,1,,1,,

1 exp . exp . yygyyg

2.3,, ljiU = ( ) ( ) ( ) ( )rljiprrljinr

lji

tljipttljint

lji

NNPP

P

NNPP

P

1,,1,,

,,

1,,1,,

,,

++++

+++ tttt

( )( ) ( )( )ljilji

ljiljiljiljipljilji

ljiljiljiljiplji YYXXU

,,,1, ,1,,,,,,1,

,,,,1,,1,,,,,,1

33,,

1 exp . .

1 . exp . . . -

×-++-

×-+=+

+-+

+- yybbmyyaam

( )( ) --

×-++

+-ljilji

ljiljiljiljiZZ ,,1,,

1,,,,,,1,,p

1 exp . yyggm ( ) ( )tljipttljint

lji

NNPP

N

1,,1,,

,,

+++ tt

( ) ( )rljiprrljinr

lji

NNPP

N

1,,1,,

,,

+++-

tt


95

q Calcul des éléments de la matrice Ui+1,j,l :

ljilji AU ,,11.1

,,1 ++ =

02.1,,1 =+ ljiU

03.1,,1 =+ ljiU

( )ljilji

ljiljiljiljinlji XXNU

,,,,1,,1,,1,,,,

1.2,,1

1 . .exp . -

-×-=+

+++ yyam

( )ljilji

ljiljiljinlji XXU

,,,,1,,1,,,,

2.2,,1

1 . exp . -

-×=+

++ yyam

03.2,,1 =+ ljiU

( )ljilji

ljiljiljiljiplji XXPU

,,,,1,,,,1,,,,

1.3,,1

1 . .exp . -

-×-=+

++ yyam

02.3,,1 =+ ljiU

ljiljiljiplji XX

U,,,,1

,,3.3

,,11 . -

×-=+

+ am

q Calcul des éléments de la matrice Ui-1,j,l :

,,11.1

,,1 ljilji AU -- =

0 2.1,,1 =- ljiU

0 3.1,,1 =- ljiU

( )ljilji

ljiljiljiljinlji XXNU

,,,,1,,,,,,1,,1

1.2,,1

1 . .exp . - -

-×=+

--- yyam

ljilji

ljinljiXX

U,,,,1

,,12.2

,,11 . -

×=+

-- am

0 3.2,,1 =- ljiU

( )ljilji

ljiljiljiljiplji XXPU

,,,,1,,1,,,,1,,1

1.3,,1

1 . . exp . - -

-×=+

---- yyam

0 2.3,,1 =- ljiU


96

( ) 1 . exp . - ,,,,1

,,,,1,,13.3

,,1ljilji

ljiljiljiplji XXU

--×=

+--- yyam

q Calcul des éléments de la matrice Ui,j+1,l :

,1,1.1

,1, ljilji AU ++ =

0 2.1,1, =+ ljiU

0 3.1,1, =+ ljiU

( ) N . exp

1 . - l1,ji,,1,,,,,,1,

lj,i,n1.2

,1, +++

+ --

= ljiljiljilji

lji YYU yybm

( )

1 exp . ,,,1,

,1,,, lj,i,n2.2

,1,ljilji

ljiljilji YYU

--=

+++ yybm

0 3.2,1, =+ ljiU

( ) ljiljiljiljilji

lji PYY

U ,,,1,,,,,,1,

lj,i,p1.3

,1, . exp

1 . - ++

+ --

= yybm

0 2.3,1, =+ ljiU

ljiljilji YY

U,,,1,

lj,i,p3.3

,1, 1 . - -

=+

+ bm

q Calcul des éléments de la matrice Ui,j-1,l :

,1,1.1

,1, ljilji AU -- =

0 2.1,1, =- ljiU

0 3.1,1, =- ljiU

( )ljilji

ljiljiljilji YYNU

,,,,1,,,,,1, l1,ji,n

1.2,1,

1.. exp . - -

-=+

--- yybm

1 .

,1,,, l1,ji,n

2.2,1,

ljiljilji YY

U-

-- -= bm

0 3.2,1, =- ljiU

( )ljilji

ljiljiljilji YYPU

,,,,1,1,,,,1, l1,ji,p

1.3,1,

1. exp . - -

-=+

---- yybm


97

0 2.3,1, =- ljiU

1 . - ,,,,1

l1,ji,p3.3

,1,ljilji

lji YYU

-=

+-- bm

q Calcul des éléments de la matrice Ui,j,l+1 :

1,,1.1

1,, ++ = ljilji AU

0 2.11,, =+ljiU

0 3.11,, =+ljiU

( )ljilji

ljiljilji ZZU

,,1,,1lj,i,1,,,, lj,i,n

1.21,,

1 N . exp . - -

-=+

+++ yygm

( )ljilji

ljiljilji ZZU

,,1,,1,,,, lj,i,n

2.21,,

1 exp . -

-=+

++ yygm

0 3.21,, =+ljiU

( )

1 P . exp . - ,,1,,

lj,i,1,,,, lj,i,p1.3

1,,ljilji

ljiljilji ZZU

--=

+++ yygm

0 2.31,, =+ljiU

1 . . - ,,1,,

lj,i,p3.3

1,,ljilji

lji ZZU

-=

++ gm

q Calcul des éléments de la matrice Ui,j,l-1 :

1,,1.1

1,, -- = ljilji AU

0 2.11,, =-ljiU

0 3.11,, =-ljiU

( )

1 N . exp . - ,,1,,

lj,i,,,1,, 1-lj,i,n1.2

1,,ljilji

ljiljilji ZZU

--=

+-- yygm

1 . ,,1,,

1-lj,i,n2.2

1,,ljilji

lji ZZU

-=

+- gm

0 3.21,, =-ljiU


98

( )

1 P . exp . - ,,1,,

1-lj,i,,,1,, 1-lj,i,p1.3

1,,ljilji

ljiljilji ZZU

--=

+-- yygm

0 2.31,, =-ljiU

( )ljilji

ljiljilji ZZU

,,1,,1,,,, 1-lj,i,p

3.31,,

1 exp . - -

-=+

-- yygm

q Calcul des coefficients Ai,j,l :

ljiA ,,1- ( ) ( )ljiljiljilji XXXX ,,1,,1,,1,, 2

-+- -×-=

ljiA ,,1+ ( ) ( )ljiljiljilji XXXX ,,1,,1,,,,1 2

-++ -×-=

ljiA ,1, - ( ) ( )ljiljiljilji YYYY ,1,,1,,1,,, 2

-+- -×-=

ljiA ,1, + ( ) ( )ljiljiljilji YYYY ,1,,1,,,,1, 2

-++ -×-=

1,, -ljiA ( ) ( )1,,1,,1,,,, 2

-+- -×-=

ljiljiljilji ZZZZ

1,, +ljiA ( ) ( )1,,1,,,,1,, 2

-++ -×-=

ljiljiljilji ZZZZ

q Les coefficients αi,j,l , βi,j,l , γi,j,l :

( ) ( )( )1 exp

,,1,,,,,,1

,,1,,,,

----=

++

+

ljiljiljilji

ljiljilji

XX yyyya

( ) ( )( )1 exp

,1,,,,,,1,

,1,,,,,

----=

++

+

ljiljiljilji

ljiljilji

XY yyyyb

( ) ( )( )1 exp

1,,,,,,1,,

1,,,,,,

----=

++

+

ljiljiljilji

ljiljilji

ZZ yyyyg

q Calcul du coefficient bi,j,l :

( ) ( ) ( ) ( ) - A - A - A - A 0l1,-ji,

0,,l1,-ji,

0l1,ji,

0,,l1,ji,

0lj,1,i

0,,lj,1,i

0lj,1,i

0,,lj,1,i,, yyyyyyyy ljiljiljiljiljib ×+×+×+×= ++--++

( ) ( ) ( ) N-N - P N - A - A ,,ADlj,i,lj,i,0

1-lj,i,0

,,1-lj,i,0

1lj,i,0

,,1lj,i, ljiljilji -+×+×+ ++ yyyy

q Calcul du coefficient coefi,j,l :

0,,;;

,,

,,0,,;;

,,

,,1lj,i,1-lj,i,l1,ji,l1,-ji,lj,1,ilj,1,-i,, A A A A A A ljiljj

lji

ljiljiljj

lji

ljilji

PNcoef yydydyydy

d =+=++++++= +++

Références

bibliographiques

Références bibliographiques .

99

[1] W.Hachbusch and U.Trottenberg

« Lecture Notes in Mathematics –960 Multigrid Methods ».

Proceedings, Koln-Porz, 1981

Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.

[2] Braess

« The convergence rate of a Multigrid method with Gauss-Seidel relaxation

for the Poisson equation ». Reference [1].

[3] W.Hachbusch

« Multigrid methods and applications »

Springer series in conp.Math4.

Springer-Verlag, Berlin 1985.

[4] C.Wagner

« Introduction to algebraic Multigrid ».

Course notes of an algebraic Multigrid course at the University of Heidelberg in the

Wintersemestre, 1998/99.Version 1.1.

[5] « 19.6 - Multigrid methods for boundary value problems».

The Art of Scientific Computing.(ISBN 0-521-43108-5)

[6] W.M.Lioen

«Multigrid methods for elliptic PDEs ».

Centre for Mathematics and Computer Science. The Netherlands.

[7] « Topic4: Multigrid methods ».

High Performance Computing II, Lecture 17.

March 4, 2002

[8] « Topic4: Multigrid methods ».

High Performance Computing II, Lecture 18.

March 6, 2002

[9] J. Francescatto

« Résolution de l’équation de Poisson sur des maillages étirés par une méthode

Multigrille ».

Rapport de stage, Programme 6 -INRIA. N0 2712, novembre 1995


100

[10] C.Weiß

« Data Locality Optimizations for Multigrid Methods on Structured Grids ». Technische Universitat Munchen Institut f ur Informatik Lehrstuhl fur Rechnertechnik und

Rechnerorganisation. Dezember 2001 angenommen.

[11] C.Sessant

« Les méthodes Multigrilles».

Rapport de stage, Direction des Etudes et Recherches(EDF).

[12] P.Wesseling

« An introduction to Multigrid methods »

A volume in pure and applied mathimatics,

John Wiley and Sons, 1992.

[13] F.S.Nouar

« Modélisation tridimensionnelle du transport dans les jonctions PN en

présence des centres profonds ».

Thèse de Magister, Université de Sidi-Bel-Abbès 1999-2000.

[14] M.Khadraoui

« Utilisation des méthodes couplées et découplées pour la simulation

tridimensionnelle des dispositifs à jonction PN ».

Thèse de Magister, Université de Sidi-Bel-Abbès 1998.

[15] S.Nouar, R.Menezla, N.Taleb et M.Le Helley

« Simulation tridimensionnelle des composants à S.C en présence des centres

profonds. Programme SIM-3D».

Communication accepté à la Conférence Maghrébine en Génie Electrique.

Constantine, 1999.

[16] H.K.Gummel

« A self consistent iterative schema for on dimensional steady state transistor

calculation ».

IEEE.Trans.Electron Devices, Ed-11,455-465 (1964).

[17] A.D.Sutherland

« On the use of overelaxation in jonction with Gummel’s algorithm to speed

the convergence in two dimensional computer model for MOSFET’S ».

IEEE.Trans.Electron Devices, Ed- 27,PP 1297-1298 (1980).

[18] A.F.Franz, G.A.Franz, S.Selberherr, C.Ringhofer, P.Marokowich.

«Finite-baxes generalisation of the finite difference methode suitable, for

semicinductor device simulation ».

IEEE.Trans.Electron Devices, Vol. Ed -30,n9,PP1070-1082 (Septembre 1983).


101

[19] S.Selberherr, A.Schutz and H.Potzy

«Minimos – a two dimensional MOS transistor analyser».

IEEE.Trans.Electron Devices, Vol.Ed -27,PP1540-1550 (1980).

[20] A.Benchiheb

« Modélisation d’un transistor bipolaire de puissance »

Thèse de Magister, Université de Constantine 1996.

[21] E.M.Buturlo and P.E.Cottel

«Simulation of semiconductor transport using coupled and decoupled solution

techniques »

Solid – Stat. Electron, N023, PP 331-334 , (1980).

[22] N.Piskounov

« Calcul différentiel et intégral » .

Tome II, 2ieme

Partie.

Office des Publications Universitaires – Réimpression 1991.

[23] M.Boumahrat, A.Gourdin

« Méthode d’analyse numérique » .

Office des Publications Universitaires – Réimpression 1993.

[24] R.Menezla, N.Taleb, M.Le Helley

« Use of the Multigrid technique for the resolution of a three dimensional

coupled system of non linear elliptic partial differential equations-3D

simulation of semiconductor devices » .

Proceeding of the fifth int col on Num An Plovdiv(Bulgaria),1997.

[25] R.Menezla,N.M.Rahmani,H.Shil, N.Taleb, M.Le Helley

« Multigrid method for the resolution of coupled system of partial equations » .

Abstracts of the Fourth International Colloquium on Numerical Analysis, P46,

Plovdiv(Bulgaria), Aug13/17, 1995.

[26] J.S.Blakemore

« Electron capture and emision for midgap centers » .

Slids 49, PP 627-631(1988).

[27] Y.Ohno and N.Goto

« Mechanism of electrostatic potential conduction in S.I substrates» .

J.Appl.Phys 66, PP 1217-1221(1989).

[28] A.Vapaille et R.Castagne

« Dispositifs et circuits intégrés semiconducteurs, physique et technologie » .

Dunod.


102

[29] R.Ardebili, J.C.Manifacier

« Etude par simulation numérique du transport dans les semiconducteurs en

présence de centres profonds » .

Centre d’électronique de Montepellier(Laboratoire associé au C.N.R.S, UA 391).

[30] S.M.Sze

«Physics of semiconductor devices» .

ISBN 0-471-09837-X, John Wiley, 1981.

[31] A.Saidane

«Physiques des semiconducteurs » .

Office des Publications Universitaires (1993).

[32] R.Menezla

«CLAC3D: Programme de résolution tridimensionnelle de l’équation

de Poisson » .

Thèse de doctorat, Ecole Centrale de Lyon, France.N85-05(1990).

[33] D.Metlal

«Simulation et modélisation tridimensionnelles de la photoluminescence dans

les semiconducteurs composés III-V » .

Thèse de Magister, Université de Sidi Bel Abbès.

Magister kharroubi larbi

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