1

MACHINE A COURANT CONTINU – EXERCICES

1. Commandes d’un moteur à courant continu ( d’après Centrale PSI 00 ): On désire comparer deux modes de commande d’un moteur à courant continu : en tension et en courant.

Valeurs numériques : R = 1,5 ; = 0,17 N.rad-1

.s ; J = 1,0.10-3

kg.m2 .

L’inductance d’induit et les frottements sont négligés. Les contraintes technologiques imposent une

valeur maximale de l'intensité du courant d'induit : Imax = 10 A.

a) On applique un échelon de tension aux bornes de l’induit d’un moteur initialement au repos, et on

observe l'évolution de la vitesse angulaire (t) = d(t)/dt. Sachant que l'amplitude de l'échelon de tension est choisie de telle sorte que l'intensité maximale du courant d'induit soit égale à Imax, déterminer

littéralement, puis numériquement, le temps au bout duquel la vitesse aura atteint 90% de sa valeur finale.

b) On impose à présent au moteur, à partir des mêmes conditions initiales, une intensité constante égale à

Imax. Quel sera le temps mis pour atteindre la même valeur de vitesse ? Interpréter.

Réponse : a) t1 = 120 ms ; b) t2 = 47 ms.

2. Moteur à courant continu ( CCP PSI 04 ) : On s’intéresse à l’utilisation d’un moteur en traction automobile.

On rappelle le schéma équivalent du moteur à courant continu à excitation séparée : u

représente la tension aux bornes de l’induit i l’intensité du courant le traversant.

On néglige les frottements.

Le moteur étant soumis à un couple résistant constant Cr = 60 N.m, un essai réalisé avec

u = 120 V a donné les résultats suivants :

Fém E = 100 V ;

Vitesse de rotation = 3200 tours/minute

Le moment d’inertie de la partie mobile entraînée par le moteur vaut J = 1,5 kg.m2 et la relation entre la

vitesse de rotation du moteur et la vitesse v du véhicule est

= v avec = 35 tr.min-1

/ ( km.h-1

)

a) Rappeler les relations existant entre les grandeurs électriques E et i et mécaniques et C (couple

moteur).

b) Déterminer la valeur de R, résistance de l’induit.

c) On considère un fonctionnement à couple moteur C constant (C = 60 N.m) et on étudie la phase de

« mise en vitesse » d’un véhicule sur une route horizontale. Le moment du couple résistant varie alors

suivant une loi du type Cr = a + b avec a = 0,01N.m/(rad.s-1

) et b = 5 N.m.

Calculer le temps t1 mis par le véhicule pour passer de 0 à v = 50 km.h-1

.

Réponses : R = 0,1 ; t1 = 5,1 s.

3. Etude d'une association moteur-génératrice à courant continu : On considère l'association ci-contre de deux machines à

courant continu de caractéristiques rigoureusement

identiques, placées sur un même arbre de rotation .

La machine M est alimentée par une source de tension idéale

de fém U, la machine G est connectée à une charge résistive

de résistance Rc. On note R la résistance de l'induit des deux

machines, J leur moment d’inertie total et f le coefficient de

frottement fluide de l'ensemble.

a) Ecrire les équations électriques et mécanique des deux machines.

b) Déterminer, en fonction de , l'expression du couple résistant résultant des frottements et de la machine G ( couple de la charge mécanique vue par la machine M ).

c) Calculer la vitesse angulaire de rotation du système, le couple, l'intensité du courant induit de chaque

machine et la tension aux bornes de la charge électrique.

R

E

i

u

U U M G U’ Rc

I I’

2

d) Comparer les puissances moyennes absorbée par la charge électrique et cédée par la source

d'alimentation ; interpréter la différence.

e) Que deviennent les résultas précédents si l’on néglige les frottements et les résistances d’induit ?

Valeurs numériques : U = 100 V ; R = 1 ; Rc = 10 ; = 1V.rad-1

; f = 0,01 SI.

4. Bus électrique ( X-Cachan 99 ) Le modèle retenu pour un moteur de bus électrique est celui d’une force contre électromotrice e, sans

pertes, en série avec une résistance R et une inductance L, et, pour la partie mécanique, un moment

d’inertie global J. On négligera les frottements.

Le paramètre de proportionnalité entre, par exemple, le couple et le courant dans l’induit I est le même

pour tous les moteurs. On notera ce paramètre.

Les variables décrivant le système sont et I.

A l’instant initial, le système étant au repos et le circuit électrique ouvert, on ferme en branchant une

source de tension constante U0.

1. Ecrire les équations électriques et mécaniques décrivant le comportement du système.

2. Montrer que ces équations admettent une solution indépendante du temps : (0 ,I0)

3. On donne : .I.S 5L

J

2

Ret .I.S 3

LJ

Préciser les unités de ces constantes.

4. Résoudre ces équations afin d’obtenir la vitesse de rotation (t) de la machine.

5. On observe expérimentalement qu’un régime permanent est effectivement atteint avec un courant dans

la machine IP .Est-ce compatible avec le modèle précédent ? Proposer une correction si nécessaire. On

négligera ce courant dans les calculs ultérieurs.

Une fois le régime permanent atteint on impose un couple constant C0 sur l’arbre du moteur.

6. Déterminer le nouveau régime permanent.

7. Déterminer la vitesse de rotation (t) et l’intensité du courant I(t) après l’application de C0. On choisira une nouvelle origine pour le temps.

5. Moteur de maquette d’avion ( e3a psi 08 ) La majorité des moteurs utilisés en modélisme et en robotique amateur sont des moteurs à courant continu

à aimant permanent.

L’hélice est entraînée par un moteur à courant continu à aimant permanent (noté M.C.C.) possédant, au

point nominal de fonctionnement, les caractéristiques suivantes :

Tension nominale d’induit : nomU 12 V , intensité du courant dans l’induit : nomI 2,50 A ,

fréquence de rotation : 1nomN 3000 tr.min- .

Le rotor ou induit du M.C.C. est constitué de n spires rectangulaires enroulées sur un cylindre de rayon a

et de longueur b. L’ensemble tourne à la vitesse angulaire autour de son axe zz’ en restant dans

l’entrefer d’un aimant permanent (stator ou inducteur) qui crée un champ magnétique radial rreB B

dont la composante r

B est représentée sur la figure 3. Les spires sont connectées à l’extérieur par le

système balai-collecteur en restant dans la configuration de la figure p2.

I

E U

0

R L J

MC

C

3

Le rotor est équilibré pour minimiser les vibrations. Le moment d’inertie de l’ensemble ramené sur l’axe

du moteur est 5 2J 10 kg.m ; les pertes fer (dans le circuit magnétique) et mécaniques (frottements

solides) sont négligées. Lors de sa rotation, le cylindre est soumis à une force de frottement fluide, de

couple : C C ef zf (avec C 0f et 5 2 110 kg.m .s ).

L’induit possède une résistance R 0,24 et une inductance L supposées constantes. Un générateur de

tension constante A CV V U (avec U > 0 ) alimente le moteur. A l’instant t, la branche MN est située

dans l’intervalle 2 2 / / et la branche PQ dans l’intervalle 2 3 2 / / .

1. Démontrer les expressions de la force électromotrice du moteur 0

E (E est reliée à la force

électromotrice induite e par la relation E e ) et le couple des forces électromagnétiques

z z0e eem emC C i , i étant l’intensité du courant dans l’induit et la vitesse de rotation du rotor.

Exprimer le flux inducteur utile 0

en fonction de a, b, n et B0.

Le schéma électrique équivalent de l’induit en régime dynamique est proposé ci-dessous :

1. En déduire l’équation électrique reliant les grandeurs E, U, R, L et i.

2. Ecrire l’équation mécanique reliant J, , le couple utile zuu e.CC (avec Cu > 0 et supposé constant),

imposé au moteur lorsqu’il entraîne la charge mécanique, le couple de frottement fC et le couple

électromagnétique emC . En déduire la projection de cette équation mécanique suivant l’axe ze .

3. Expliquer qualitativement comment freiner le moteur. Quel est le comportement du moteur lorsqu’il

tourne en roue libre, c'est-à-dire non alimenté ?

Fonctionnement en régime nominal

4. Calculer la valeur de la force électromotrice du moteur E ; en déduire la constante 0 et préciser son

unité.

5. En négligeant la chute de tension aux bornes de la bobine, déduire des équations mécanique et

électrique couplées, l’équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire en utilisant 0, , Cu, J, R

et U. Déterminer le temps caractéristique de la "mise en vitesse" du moteur. Exprimer la vitesse

angulaire limite im

. Combien de temps est-il nécessaire pour atteindre cette vitesse à 1 % près ?

6. Calculer le moment du couple utile Cu en régime nominal et im

(en tr.min-1

). Quel est le courant id

dans l’induit au démarrage, si la tension d’induit est égale à la tension nominale ? Commenter.

Quelle est, au démarrage, la tension minimale Udmin nécessaire pour entraîner le moteur ?

i

A C

E 0

U VA – VC

R L

M

N

P

A

C

Q

i

L

i

i

2a

b

B

B

er

e

z

z'

ez

i

R

N

P

i a aiman

t aiman

t

+

Figure p1

er e

2

3

Br

B0

0 2

2

3

2

- B0