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8/10/2019 M02 Math Physique BTP TSGO Www.ofppt Ofppt.blogspot.com

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OFPPT

ROYAUME DU MAROC

SECTEUR : BTP

SPECIALITE : TECHNICIEN SPECIALISEGROS UVRES

NIVEAU : TECHNICIEN SPECIALISE

APC mars.2008

M ODULE N :02 M ATHS ET PHYSIQUE

Office de la Formation Professi onnell e et de la Promo tion du Travail D IRECTION R ECHERCHE ET INGENIERIE DE F ORMATION

R ESUME T HEORIQUE &G UIDE DE T RAVAUX P RATIQUES


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Rsum De Thorie Et Guide De TravauxPratique

Module 02 : Maths Et Physique

Ofppt/drif/cdc/btpTechnicien Spcialis

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REMERCIEMENT

La DRIF remercie les personnes qui ont contribu llaboration du prsentdocument.

Pour la supervision :

M. Khalid BAROUTI Chef projet BTPMme Najat IGGOUT Directeur du CDC /BTPM. Abdelaziz EL ADAOUI Chef de ple du CDC/BTP

Pour la conception :

AHARCHAOU Fatima Formatrice lISTA TEMARA

Pour la validation :

Mme GUNINA Fatna CDC /BTP Mr Abdelouhhab CHARBAK Formateur Animateur CDC/BTP

Les utilisateurs de ce document sont invits communiquer la DRIF toutes les remarqueset suggestions afin de les prendre enconsidration pour l enrichissement etlamlioration de ce programme.

DRIF


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MODULE 3 Maths et physique

Dure : 36 h

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAUDE COMPORTEMENT

COMPORTEMENT ATTENDU

Pour dmontrer sa comptence, le stagiaire doit, avoir un raisonnement pratique demathmatiques et physiques selon les conditions, les critres et les prcisions quisuivent.

CONDITIONS DEVALUATION

Individuellement. A laide dun test complter. A laide de problme rsoudre

CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

Respect des formules et raisonnements mathmatiques. Appliquer les formules et les raisonnements de la physique.

PRECISIONS SUR LECOMPORTEMENT ATTENDU

A. Avoir des connaissances de basesur les thories mathmatiques de la

droite et du plan.B. Avoir des connaissances de base surles thories mathmatiques danslespace.

C. Avoir des connaissances de base surles lois statiques et cintiques.

D. Savoir appliquer les thormes usuels

des mathmatiques appliques Gomtries et Algbres .

CRITERES PARTICULIERS DEPERFORMANCE

Thormes de la droite. Relations mtriques dans le plan.

Calculs des surfaces par les intgrales.

Thormes et axiomes des volumes. Calcul des volumes.

Appliquer les thories dquilibre. Relations des systmes dquilibrestorseur.

Dfinir les relations appliques la droite. Thormes de Pythagore; Th. de Thals. Relations mtriques des triangles. Trigonomtrie.


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E. Savoir rsoudre un problme statique.

F. Savoir rsoudre un problmecintique.

.

Calcul des intgrales simples. Calcul des volumes.

Rsolution des systmes dquilibre. Lois dquilibre. Torseur nul. Calcul des moments Rsolution des systmes hypothtiques.

Chute libre.

OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU

LE STAGIAIRE DOIT MAITRISER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE, SAVOIR-PERCEVOIROU SAVOIR-ETRE JUGES PREALABLES AUX APPRENTISSAGES DIRECTEMENTREQUIS POUR LATTEINTE DE LOBJECTIF DE PREMIER NIVEAU, TELS QUE :

Avant dapprendre (A) et (B)

1. Capable de rsoudre des problmes pratiques de mathmatiquesappliqus la droite.2. Capable de rsoudre des problmes pratiques de mathmatiques appliques

au plan.

3. Capable de calculer des volumes par la mthode des intgrales.

Avant dapprendre (C) (D) et (E)

4. Capable de rsoudre des problmes lis aux lois fondamentales de la statique. 5. Capable de rsoudre des problmes lis la thorie dquilibre.


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Sommaire :

Partie A...................................................................................................................................... 7

Gnralits : thormes et relations mtriques : ...................................................................7 a. Thormes...................................................................................................................... 71. Thorme de Thals ................................................................................................... 72. Thorme de la droite des milieux ............................................................................. 73. Proprits des milieux ................................................................................................ 84. Thorme de Pythagore..............................................................................................8

b. Relations mtriques........................................................................................................ 9c. Trigonomtrie............................................................................................................... 10

B. Intgrales simples ........................................................................................................... 11 a. Approche intuitive........................................................................................................11 b. Dfinition ..................................................................................................................... 11

c. Moyenne.......................................................................................................................11d. Proprits des intgrales............................................................................................... 12e. Intgration par parties................................................................................................... 12f. Intgration par changement de variable .......................................................................13

C. Calcul daires et de volumes.......................................................................................... 14 a. Description hirarchique du domaine et intgrale........................................................ 14 b. Formules de calcul d'Aires et de Volumes...................................................................15

1. Intgrale double en coordonnes Polaires................................................................152. Intgrale triple en coordonnes Cylindriques...........................................................153. Intgrale triple en coordonnes Sphriques .............................................................15

Annexes................................................................................................................................17

Partie B.................................................................................................................................... 23 1. Dfinition : ...................................................................................................................... 23 2. Oprations sur les vecteurs dans le plan et l'espace.................................................... 23

a. Produit d'un vecteur par un scalaire ............................................................................. 23 b. Somme de deux vecteurs.............................................................................................. 24c. Produit scalaire de deux vecteurs................................................................................. 25

Dfinition .................................................................................................................25 Proprits..................................................................................................................25

d. Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace ......................................................... 26e. Produit mixte ................................................................................................................26

Dfinition et proprits............................................................................................. 26f. Double produit vectoriel............................................................................................... 27

3. Notions sur les torseurs.................................................................................................. 27 a. Dfinition .................................................................................................................... 27 b. Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force ............................... 27

Partie C.................................................................................................................................... 29 A. Gnralits ...................................................................................................................... 29

a. La statique .................................................................................................................... 29 b. La cinmatique.............................................................................................................29

c. La dynamique...............................................................................................................29B. Concepts de base............................................................................................................. 29


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C. Les trois lois de Newton ................................................................................................. 31 1re loi : Principe d'inertie : ................................................................................................... 31Deuxime loi de Newton : principe fondamental de la dynamique :................................... 323me loi de Newton : Principe des actions rciproques :..................................................... 33

D. Chute libre d'un corps ................................................................................................... 34

E. Frottements..................................................................................................................... 35 Annexe 1 : Historique .......................................................................................................... 36

Partie D : exercices rsolus.................................................................................................... 37

Bibliographie : .................................................................................. Erreur ! Signet non dfini.


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Partie A

Gnralits : thormes et relations mtriques :

a. Thormes

1. Thorme de Thals

Le thorme de Thals est en fait le thorme proprement dit et sa rciproque.Le thorme constitue une premire et importante tape dans la "numrisation" de lagomtrie : une galit de rapport implique un paralllisme. Comme chacun peut le constater,il est plus facile de raisonner sur des nombres que sur des points ou des droites...

Enonc

Dans un triangle ABC, si M est un point du ct [ AB], N un point du ct[ AC], et si la droite (MN) est parallle la droite (BC), alors on a les galitssuivantes :

Soit ABC un triangle quelconque,Hypothses : M [AB]

N (AC)

(MN) // (BC)

Conclusion:

Un des corollaires du thorme de Thals est le thorme de la droite des milieux.

2. Thorme de la droite des milieux

EnoncSi dans un triangle, unedroite passe par les milieuxde deux cts alors elle est parallle au troisime ct.

Soit ABC un trianglequelconque,Hypothses : I milieu de [AB] etJ milieu de [AC]

Conclusion: (IJ) // (BC)


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3. Proprits des milieux

Enonc

Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux ctsalors ce segment mesure la moitidu troisime ct.

Soit ABC un triangle quelconque,Hypothses : I milieu de [AB] et Jmilieu de [AC]Conclusion: IJ = BC

Rciproque Enonc

Si dans un triangle la parallle un ct passe par le milieu dun deuxime ctalors elle coupe le troisime ct en sonmilieu.

Soit ABC un triangle quelconque,

Hypothses : I milieu de [AB](IJ) // (BC)J (AC)

Conclusion: J milieu de [AC]

4. Thorme de Pythagore

EnoncABC est rectangle en A ssi BC =AB + AC (i.e. le carr del'hypotnuse est la somme des carrsdes 2 autres cts)

Dans un triangle rectangle, le thorme dePythagore permet de calculer la longueurdun ct connaissant la longueur des deuxautres cts.


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Rciproque Enonc

Si dans un triangle ABC, on a BC =

AB + AC alors le triangle est rectangleen A.La rciproque du thorme de Pythagore permetde dmontrer quun triangle est rectangle.

b. Relations mtriques

On se place dans plan affine (associ au plan vectoriel ) muni d'une distance.On considrera, dans toute la leon, un triangle ABC non aplati (i.e. A, B et C non aligns).

Dfinition : Un triangle ABC est rectangle en A si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.Si c'est le cas, le ct [BC] sera appel l'hypotnuse du triangle ABC.

Proposition 1 : L'aire d'un triangle rectangle en A est S = AB AC (c'est la moiti de l'aire d'un

rectangle).Proposition 2 : Caractrisation :

Le triangle ABC est rectangle en A 2AI = BC o I est le milieu de [BC] A est sur le cercle de diamtre [BC]

(c'est le Thorme de l'angle droit (cas particulier du Thorme de l'angle inscrit))

Proposition 3 : Relations mtriques : On note H le pied de la hauteur issue de A. On suppose de plus H ]BC[, alors :i) ABC est rectangle en A BC AH = AB AC (Formules des aires)ii) ABC est rectangle en A BA = BH BC

CA = CH CBiii) ABC est rectangle en A AH = BH HC

Ct adjacent

Ct oppos

[AC] est le ct oppos de langle

[AB] est le ct adjacent de langle


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c. Trigonomtrie

Dfinition : On dfinit, dans un triangle rectangle en A, lecosinus, le sinus et la tangente d'un angle

aigu par les formules suivantes :

Proposition 4: Pour tout angle (gomtrique) aigu, on a les proprits suivantes :

Proposition 6 : Valeurs remarquables


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B. Intgrales simples

Une intgrale est le rsultat de l'opration mathmatique, effectue sur une fonction, appel

intgration. Une intgrale est donc compose d'un intgrande (la fonction intgrer) et d'unoprateur que l'on appelle intgrateur (le ).

a. Approche intuitive

Reprsentation graphique d'une intgrale.En mathmatiques, l'intgrale d'unefonction relle positive est la valeur de l'airedu domaine dlimit par l'axe des abscisseset la courbe reprsentative de la fonction.

Pour les fonctions qui prennent des valeursrelles ngatives (gardant un signe constant par intervalles), une dfinition d'airealgbrique rend possible une aire ngative.

b. Dfinition

Soit f une fonction continue dfinie sur un segment [a ,b] valeurs relles. Pour simplifier,supposons que cette fonction soit positive ( valeurs positives ou nulles).

L'ensemble est une rgiondu plan comprise entre la courbe reprsentative de f , les deux verticales x=a et x=b , et l'axe

des abscisses x. La mesure de l' aire deS cherche, note , est l'intgrale de a b de f . Celle-ci est alors appele l'intgrale dfinie de f sur le segment[a,b] .Il est possible de dfinir une intgrale par la notion deprimitive d'une fonction. La primitivation est l'opration qui, partir d'une fonction f , donne une fonctionF drivableet dont la drive est gale f : F '( x) = f ( x) En admettant que toute fonction continue sur un segment [a , b], admet des primitives,l'intgrale dea b est gale F (b)-F (a) et ce nombre ne dpend pas de la primitive choisie.

c. Moyenne

Pour toute fonction continue (ou mme seulement continue par morceaux) sur un segment [a, b] non vide et non trivial (c.--d. b>a), lavaleur moyenne de f sur [a;b] est le relm dfini par :

Cette notion gnralise celle de moyenne d'un nombre fini de rels en l'appliquant unnombre infini de valeurs prises par une fonction intgrable.


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d. Proprits des intgrales

Soient f et g deux fonctions continues sur I et a , b et c trois rels de I .

1.

2.

3. (relation de Chasles)

4.

5.

6. Si sur [a ; b], alors7. Ingalit de la moyenne : Si f est continue sur[a; b] et si pour tout x de cet intervalle,

on a : , alors

e. Intgration par parties

En mathmatiques, l'intgration par parties est une mthode qui permet de transformerl'intgrale d'un produit de fonctions en d'autres intgrales, dans un but de simplification ducalcul.La formule-type est la suivante, o f et g sont deux fonctions drivables, dedrives continueset a et b deux rels de leur intervalle de dfinition.

ou encore

o u reprsente une partie de l'intgrande et dv reprsente l'autre partie ainsi que la variabled'intgration.

DmonstrationLa dmonstration de cette formule est trs simple : en effet, elle dcoule directement de la proprit de drivation d'un produit de fonctions u et v : .On a donc :

ExempleEffectuons le calcul de :


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ExempleSoit calculer

Si on pose lechangement de variable u = x2

et doncdu = 2 xd x alors

C. Calcul daires et de volumesa. Description hirarchique du domaine et intgrale

On ne peut calculer une intgrale multiple que si on a une description hirarchique dudomaine :

Pour une intgrale double :

Pour une intgrale triple :

Remarque : On peut avoir les variables dans un autre ordre, l'important est que les bornes dechacune ne soient dfinies qu'en fonction des prcdentes.

On dfinit alors les intgrales doubles et triples comme des intgrales simples embotes :


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b. Formules de calcul d'Aires et de VolumesOn travaille ici dans un repre orthonormal.

Dans le plan, l'aire gomtrique du domaine est : ,

Dans l'espace, le volume gomtrique du domaine est : .

1. Intgrale double en coordonnes Polaires

, et

La figure ci-dessous indique le mode de calcul.

2. Intgrale triple en coordonnesCylindriques

,

etLa figure ci-dessous indique le mode de calcul.

3. Intgrale triple en coordonnesSphriques


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,

etLa figure ci-dessous indique le mode decalcul.

Remarque : Il s'agit de la convention des mathmaticiens : les physiciens utilisent unautre angle.

En mathmatiques, en gnral, . Les physiciens utilisent l'angle entre

et qui appartient donc .

Ils changent ainsi et .


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Annexes

Dmonstrations

Thorme de la droite des milieux

Sur la figure, (IJ) est la droite desmilieux dans ABC quon veut prouver parallle (BC).

Soit K le symtrique de J parrapport I, on a alors I milieu de

[JK] et .Comme I est par hypothse lemilieu de [AB], les diagonales deAJBK se coupent en leur milieu commun I, donc AJBK est un paralllogramme.Ses cts [AJ] et [KB] sont parallles et de mme longueur, et il en est donc de mme pour[JC] et [KB].

Donc KBCJ est un paralllogramme.

Par les proprits du paralllogramme, les cts opposs [KJ] et [BC] sont parallles, la droite(IJ) est donc parallle (BC).

Comme les cts opposs sont gaux, de KJ = BC on dduit : .

Proposition 1 :

Dmonstration : Soit A' le symtrique de A par rapport I.Par construction, BACA' est un paralllogramme (car les diagonales se coupent en leurmilieu).

Ainsi, ABC est rectangle en A ssi BACA' est un rectangle (un rectangle tant un paralllogramme ayant un angle droit)donc ABC est rectangle en A ssi 2AI = BC (un rectangle tant un paralllogramme dont lesdiagonales ont mme longueur)

Proposition 2 : Caractrisation :

Dmonstration : On a, avec I milieu de [BC], BC = BI + IC = 2BI.Ainsi, ABC est rectangle en A ssi AI = BIi.e. ssi A (I, BI), cercle de diamtre [BC].

Remarque : Via le produit scalaire, la dmonstration est immdiate avec :


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ce qui prouve que le rapport est indpendant de la longueur des cts.Donc les rapports sont indpendants de la longueur des cts et ne dpendentque de l'angle .(l'angle tant lui-mme fonction de l'angle , avec = 180 i.e. = 90

puisque par hypothse l'angle est droit).Proposition 5 :

Dmonstration : i) Par dfinition, dans un triangle rectangle en A, on

ii) Dans ABC rectangle en A, on a

avec BC = AB + AC d'aprs le thorme de Pythagoreiii) Dans ABC rectangle en A, on aet en changeant les rles de B et C, on a d'o le rsultat.Proposition 6 : Valeurs remarquablesDmonstration : i) On se place dans un triangle quilatral de ct 1, puis on considre le triangle ABHrectangle en H o H est le pied de la hauteur issue de A.On a et

etCe qui nous donne la 1re et la 3me colonne (par complmentarit).ii) On se place dans un carr ABCD de ct 1, puis on considre le triangle isocle ABC

rectangle en B.On a = 45 etCe qui prouve la seconde colonne.

Thorme de Pythagore.

Considrons un triangle rectangle dont les cts sont de longueursa , b et c. Ensuite recopionsce triangle trois fois et plaons le triangle et ses copies de manire avoir le cta de chacunalign au ctb dun autre, et pour que les jambes des triangles forment un carr dont le ctest a + b, comme dans l'image. Puis, nous essayons de trouver l'aire du carr form par les

ctsc. videmment, c'estc2

, mais c'est aussi gal la diffrence entre l'aire du carrextrieur et la somme des aires des triangles.L'aire du carr est(a + b)2 (car son ct esta +b) et l'aire totale des triangles est quatre fois l'aired'un seul, c'est--dire4(ab / 2), donc ladiffrence est(a + b)2 4(ab / 2), ce qu'on peut simplifier commea2 + 2ab + b2 2ab ,ou biena2 + b2. Nous avons dmontr que l'airedu carr de ctc est gale a2 + b2 ; en effet,

c2

= a2

+ b2

. CQFD


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Changement de variablesIntgrale double

bijective , et

On notera la valeur absolue du jacobien. (voir annexe)

Intgrale triple

bijective , et

On notera la valeur absolue du jacobien.

Matrice jacobienne

En analyse vectorielle, lamatrice jacobienne est une matrice associe une fonctionvectorielle en un point donn. Le dterminant de cette matrice est appel jacobien.

La matrice jacobienne est la matrice des drives partielles du premier ordre d'une fonctionvectorielle.

SoitF une fonction d'un ouvert deR n valeurs dansR m. Une telle fonction est dfinie par sesm fonctions composantes valeurs relles :

Les drives partielles de ces fonctions en un pointM , si elles existent, peuvent tre rangesdans une matrice m lignes etn colonnes, appele matrice jacobienne deF :


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Cette matrice est note :

Pouri = 1, ...,m, la ie ligne de cette matrice est la transpose du vecteur gradient au pointM de la fonction yi. La matrice jacobienne est galement la matrice de la diffrentielle de la

fonction.Exemple

La matrice jacobienne de la fonction dfinie par :

est:

Exemple : Volume d'un cylindre, de rvolution ou non, de base un cercle de rayon .

L'application de la formule prcdente donne immdiatement :

Exemple : volume d'une sphre. La sphre de rayon et de centre est l'image du pav

par la fonction

.Un calcul immdiat donne :


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Quelques classiques.

Prisme droit. (Paralllpipde rectangle, cube. )

Aire latrale : Volume : hauteur primtre de base hauteur aire de base

Cylindre droit. Aire latrale : Volume :

hauteur primtre de base hauteur aire de base

Pyramide rgulire ou cne de rvolution. Aire latrale : Volume :

apothme primtre de base hauteur aire de base

Sphre de rayon . Aire latrale(*) : Volume(*) :

Tore de rayons et ( ). Aire latrale : Volume :


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Partie B

1.Dfinition :En mathmatiques, le vecteur est un objet vhiculant plus d'information que les nombresusuels, ou scalaires, et sur lequel on peut effectuer des oprations simples.On peut se reprsenter un vecteur comme un segment orient (une flche ) dontlemplacement dans le plan na pas dimportance, seuls comptent sa longueur, sa direction etson sens. On peut donc le faire glisser librement dans le plan, paralllement lui-mme.

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont quipollents. I lsconstituent trois reprsentants d'un mme vecteur.

Les grandeurs vectorielles s'opposent aux grandeurs scalaires. Elles sont caractrises parquatre proprits :

leur norme (ou longueur), qui est un scalaire ; leur direction ; leur sens ; et ventuellement, leur origine, ou point d'application.

Sa direction Son sens Sa norme

2. Oprations sur les vecteurs dans le plan et l'espace

Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace ou du plan .

a. Produit d'un vecteur par un scalaire

Le terme scalaire dsigne ici un nombre rel. Le produit d'un vecteur par un scalairea est un vecteurnot

de mme direction et sens que , mais dont lalongueur vaut

, si a > 0de mme direction mais de sens contraire que , et dont la longueur vaut


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, si a < 0.il s'agit d'un vecteur nul si a = 0

On a, et

1 est donc l'lment scalaire neutre, et 0 l'lment scalaireabsorbant pour cette opration. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires

mais il n'est pas commutatif : la notation n'a pas de sens. Notez que deux vecteurs sont colinaires (parallles) si et seulement sils sont proportionnels,c'est--dire s'il existe un nombre a tel que .

b. Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs et est un vecteur, not , qui est construit de lamanire suivante :on amne l'origine du deuxime vecteur l'extrmit du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur l'extrmit de second.Il s'agit du troisime ct d'un triangle form par les deux premiers vecteurs.On peut aussi le construire d'une autre manire :on amne les origines des deux vecteurs en un mme point,on trace un paralllogramme dont les vecteurs sont deuxcts, la somme est alors la diagonale du paralllogramme partant de l'origine.Dans les deux cas, on place les vecteurs bout bout ; mais sil'origine d'un vecteur correspond l'extrmit de l'autre, on utilise la mthode du triangle, siles origines sont confondues, on utilise la mthode du paralllogramme.Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la relationde Chasles :

on dduit de cela que

ce qui permet de dfinir l'oppos d'un vecteur, et doncla soustraction : en posant la notation

on a

L'oppos d'un vecteur est le vecteur de mme direction, de mme longueur, mais de sensoppos.

On a :Est l'lment neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative


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Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :.

c. Produit scalaire de deux vecteurs Dfinition

Si et sont deux vecteurs faisant un angle gomtrique, on appelle produit scalaire, et onnote , le nombre (rel) valant :

.

Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (cest--dire si et = /2 rad = 90 ), les vecteurs et sont dans ce cas orthogonaux, strictement positif si l'angle est aigu et strictement ngatif si l'angle est obtus.

Cette opration a t introduite pour simplifier lescalculs sur les projections orthogonales. En effetsi vu est la longueur algbrique de la projectionde sur une droite oriente selon (vu est positifsi la projection est dans le mme sens que ,ngatif s'il est dans le sens oppos), alors on a

Ainsi, si la norme de vaut 1, alors la longueuralgbrique de la projection orthogonale de sur ladroite est . De la mme manire, si uv est lalongueur algbrique de la projection de sur unedroite oriente selon , alors on a

PropritsLe produit scalaire est commutatif

Il est distributif sur l'addition des vecteurs

Le vecteur nul est l'lment absorbant du produit scalaire

s'appelle le carr scalaire du vecteur et se note 2 ; ainsi : 2 =Le carr scalaire d'un vecteur est gal au carr de sa norme

2 = 2 et donc =Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul

si et seulement si

Dans le plan rapport une base orthonormale

Soient et deux vecteurs dans une base

orthonormale de coordonnes polaires respectives et . Ona :


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Dans l'espace rapport une base orthonormale

d. Produit vectoriel de deuxvecteurs dans l'espace

Notons tout d'abord que deux vecteurs non

colinaires et dfinissent un planvectoriel ; un troisime vecteur estcoplanaire aux deux prcdents si etseulement s'il peut s'crire comme unecombinaison linaire des deux premiers, c'est--dire s'il existe deux rels a et b tels que

Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base est dite directe si on peutl'imager avec la main droite, tant le pouce, tant l'index et tant le majeur.On dfinit le produit vectoriel des deux vecteurs et , not , comme tant le vecteur :normal au plan vectoriel de base

dont la norme vauttel que forme une base directe.On tend la dfinition prcdente au cas o et sont colinaires en posant :

e. Produit mixte

Dfinition et propritstant donns trois vecteurs , et , on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la quantit :

.On peut dmontrer que l'on a : et :

et aussi :

autrement dit :


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Remarques :Si deux des trois vecteurs sont gaux ou colinaires, le produit mixte est nul.

f. Double produit vectoriel

On peut combiner trois vecteurs , et par deux produits vectoriels successifs.C'est ce qu'on appelle un double produit vectoriel.Exemple :Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est ncessaired'utiliser comme ici des parenthses et le rsultat va dpendre la fois de l'ordre dans lequelles oprations sont effectues et de l'ordre de prsentation des 3 vecteurs.

3. Notions sur les torseursa. Dfinition

Un torseur est un champ de vecteurs, antisymtrique de

E. Un torseur en un point est dfini par :

Un vecteur libre appel Rsultante du torseur Un vecteur dpendant du point A ou il est

exprim appel Moment du torseur en A etvrifiant:

Remarque:La rsultante du torseur est indpendante du point o est dfini un torseur.

b. Application des torseurs la reprsentation d'un champ de force

Soit un champ de force dfini dans l'espace trois dimensions de base orthonorme

directe par la donne de la force applique en un point :

ouLe moment de la force en son point d'application est nul d'o: .Si on veut calculer le moment de la force au point ,

on obtient (intensit de la force multipli par le bras de levier ,sens ngatif).

En appliquant la notion de torseur, on peut dfinir le torseur force au point A, associ par:


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la rsultante du torseur force gale la force le moment en du torseur force gal

Le moment au point B de la force est dfini par la formule de transport donne plus hautsoit:

Ou:

Remarques: La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son

moment en tout point de l'espace. Les deux vecteurs dfinis dans un torseur sont de natures diffrentes. Pour un torseur

de force, le vecteur rsultant est une force ayant des composantes dont les units sontdes (N), alors que le moment en un point est un moment dont les composantes ont desunits en (N.m).

Attention quand l'on demande de dfinir un torseur, il est ncessaire de donner unerponse pour la rsultante et une rponse pour le moment.


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Partie C

A. Gnralits

La mcanique est la partie de la physique qui tudie le mouvement des corps etles forces auxquelles ils sont soumis. Elle exige donc des dfinitions prcises degrandeurs telles que le dplacement, le temps, la vitesse, l'acclration, la masse ou la force.La mcanique classique concerne trois grands domaines :la statique, la cinmatique et ladynamique.

a. La statique

La statique a pour objet l'tude des forces qui s'exercent sur un corps en quilibre. Lorsqu'unsolide est au repos, la somme des forces qui lui sont appliques est nulle.

b. La cinmatique

La cinmatique tudie les mouvements indpendamment de leurs causes. La vitesse moyenned'un corps entre deux instants t1 et t2 correspond la distance parcourue par ce solide durantcet intervalle de temps, divise par la dure correspondante t2-t1.

c. La dynamique

La dynamique s'intresse aux mouvements d'un corps sous l'action des forces auxquelles il estsoumis.La dynamique dfinit de manire prcise les notions de force et de masse.

B. Concepts de base Modles d'tude

Un systme mcanique est un ensemble matriel (objet de l'tude) qui peut tre, un pointmatriel, un solide, un ensemble de solides, une partie d'un solide, un chantillon de fluide, outout autre association de corps physiques souvent affects d'unemasse.

Le choix d'un modle dpend troitement du rsultat recherch. Des modles trs simples bien

adapts et mis en uvre peuvent aboutir des rsultats tout fait ralistes.Ces modles d'tude se distinguent en partie par le type de systme tudi:

le point matriel: dans ce cas les actions mcaniques extrieures sont des forces toutesappliques au point considr. Il est tout fait satisfaisant lorsque le systme n'estsoumis qu' des actions distance comme enastronomie, pour l'tude du mouvementdes plantes.

le solide indformable: les actions mcaniques sont rparties sur la frontire du solide(action de contact) ou dans la masse (actions distance). du fait de la multiplicationdes points d'application, l'tude ncessite de plus la considration desmoments de

force.


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Et bien dautres

Mcanique du point Mcanique du solide

Rfrentiels galilens :

Il s'agit de rfrentiels dans lesquels le principe d'inertie est vrifi.Les rfrentiels terrestres, gocentriques et hliocentriques sont considrs comme galilens.Un rfrentiel est un solide par rapport auquel on tudie le mouvement, cest un repre spatialassoci une mesure de temps.

Repre d'espace :

On appelle repre le systme de reprage dansl'espace associ au rfrentiel

Repre une dimension : = x . ; OM = x

Mouvement rectiligne de M

Repre 2 dimensions :

= x . + y . ; OM = (x2 + y2)Mouvement plan de M

Repre 3 dimensions

= x. + y. + z. ; OM = (x2 + y2 + z2)Mouvement de M dans l'espace

Moment d'une force:Prenons l'exemple d'un btonnet pos sur un bureau. Si on pousse l'une deses extrmits dans un sens, et l'autre dans le sens oppos avec la mme

force, le stylo va pivoter, suite au couple qu'on lui aura fait subir. Pour


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dfinir les conditions d'quilibre d'un corps, il est ncessaire d'introduire la notion de moment M d'une force,qui est un vecteur mesurant l'effet rotatif de cette force.

Le moment d'uneforce s'exerant au point A parrapport au pivotP , est dfini par :

.

o dsigne le produit vectoriel.

Ce pseudovecteur est la foisorthogonal et au bipoint et finalement normal au plan dans lequelse droule la rotation que peut provoquer la force,et son sens donne le sens de rotation (la rotation est

positive dans le planorient par ). Le moment algbrique d'une force est compt positivement si cette force contribue au mouvement, etngativement si elle s'oppose au mouvement.

Si d est la distance orthogonale du pivotP la droite d'action, cest--direPH , alors sanorme vaut :

.

La longueurd est appelebras de levier . Dans le cas bidimensionnel, il est frquent de

considrer la norme du moment comme le moment lui-mme, celui-ci ne comportant qu'unecomposante non nulle.

Un couple est un ensemble de deux forces gales, parallles et de sens contraire.

C. Les trois lois de Newton

1re loi : Principe d'inertie :

Lorsque les forces qui s'exercent sur

un solide se compensent, son centred'inertie est soit au repos, soit animd'un mouvement rectiligne et uniformedans un rfrentiel galilen.Rciproquement, si le centre d'inertied'un solide est au repos ou anim d'unmouvement rectiligne et uniformedans un rfrentiel galilen, alors lesforces qui s'exercent sur lui secompensent.

ext = , 1+ 2+ 3+ = ( le sigle signifie somme enmathmatique )


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Ceci introduit la notion de vecteur force rsultante.

Vecteur force rsultanteUn solide est gnralement soumis plusieurs forces. Calculer leur effet sparment se rvlesouvent fort complexe. Comme les forces peuvent tre reprsentes par des vecteurs, il estsouvent plus simple de considrer la force rsultante R, somme vectorielle de toutes les forcesagissant sur le solide. (revoir les oprations sur les vecteurs)

Deuxime loi de Newton : principe fondamental de la dynamique :

Le principe fondamental de la dynamique de translation (PFDT) s'nonce ainsi :

Soit un corps de masse m constante,l'acclration subie par un corps dans un rfrentielgalilen est proportionnelle la rsultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle sa masse m.

Ceci est souvent rcapitul dans l'quation :

Soit : , ext = 1 + 2 + 3 + = m G

o dsigne les forces exerces sur l'objet, m est sa masse, et correspond l'acclrationde son centre d'inertie G.

Remarque : Si ext = alors G = et, par consquent, G reste constant endirection, sens et norme (on retrouve la premire loi de Newton).

On remarque donc, d'aprs lexemple du btonnet cit ci haut, qu'un solide peut tre soumis des forces desomme vectorielle nulle, sans pour autant tre en quilibre.

On dmontre qu'un solide est en quilibre si et seulement si la somme des forces auxquelles ce solide est soumisest nulle, ainsi que la somme des moments algbriques de ces forces.


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Les deux quations utilises dans les calculs du Principe Fondamental de la Statique (qui estun cas particulier du principe fondamental de la dynamique) sont :

La somme des efforts extrieures un objet est gale au vecteur nul (quilibretranslationnel) :

La somme des moments en un point , ici le point A, est gale au vecteur nul (quilibrerotationnel) :

Remarque: La projection de ces deux relations vectorielles permet d'obtenir six quations dans l'espace et troisquations dans un plan.

Autrement dit :

Il existe au moins un repre Galilen tel que pour tout ensemble matriel (E) en quilibre parrapport ce repre, le torseur reprsentatif des actions extrieures qui lui sont appliques estgal au torseur nul :

Cest--dire que la somme des torseurs associs ces actions est gal au torseur nul, soit :

3me loi de Newton : Principe des actions rciproques :

Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action

mcanique modlise par la force A/B , alors lecorps B exerce sur le corps A une action mcanique

modlise par la force B/A .Ces interactions sont telles que :

* A/B et B/Aont la mme droite d'action

* A/B = - B/A


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D. Chute libre d'un corpsUnechute libre est unmouvement acclr sous le seul effet de la pesanteur . On distinguela simple chute dans un champ de pesanteur uniforme au voisinage de la Terre (Galile,1605), et la chute cleste (Lois de Kepler).Il est convenu que les autres forces agissant sur le corps, sont ngliges, en particulier larsistance de l'air. Pour le cas o l'on considre la rsistance de l'air, on parle de chute avecrsistance de l'air.

Chute libre sans vitesse initiale

En supposant que le corps n'est soumis qu' la pesanteur, si un corps ponctuel P est lch d'un point de cote z0 sans vitesse initiale, alors :

az = g (composante selon l'axe des z de l'acclration, deuxime loi de Newton)vz = gt + V0 = gt (composante selon l'axe des z de la vitesse)

(Composante selon l'axe des z de la position)

Avec :

z la hauteur du corps par rapport au sol g l'acclration du champ de pesanteur terrestre (environ 9,81 m.s-2) t le temps en secondes

La vitesse V l'impact est donne par:

On peut reprsenter sur un graphe la distance parcourue par un solide en chute libre enfonction du temps. L'instant t=0 correspond au moment o le corps est lch.On constate que, sous l'action du champ gravitationnel, la vitesse du solide s'acclre : il parcourt 20 m pendant les deux premires secondes, puis environ 60 m durant les deuxsuivantes.


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Chute avec vitesse initiale

On peut considrer qu'une balle jete en l'air a une trajectoire parabolique, en ngligeant larsistance de l'air. Le vecteur vitesse de la balle est la somme de deux composantesindpendantes : une composante horizontale VH et une composante verticale VV. Au coursdu lancer de la balle, la composante horizontale demeure constante, alors que la composanteverticale varie en norme et en direction.

E. Frottements Lorsqu'un corps est en mouvement, il est toujours soumis des frottements (rsistance de

l'air ou de l'eau, adhrence de la route, etc.). Ces derniers exercent sur le corps une forcequi s'oppose sa vitesse.

Autrement dit : cest la force qui agit pour sopposer au mouvement dun objet qui glissesur un autre

La force de frottements doit tre englobe dans la somme vectorielle detoutes les forces appliques au solide, qui intervient dans la relation :


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Annexe 1 : Historique

Jusqu'au dbut du XVIIe sicle, les savants se rfraient encore aux thoriesd'Aristote pour expliquer les lois du mouvement. Ils classaient les corps en deuxcatgories : les lourds et les lgers.

Galile met en place les bases de : La dynamique moderne.

Le mouvement est une distance parcourue partir d'un certain point et dans untemps donn

Il constata que la vitesse des solides en chute libre augmentait de faon rgulire, et que cette

acclration tait la mme quelle que soit la masse du solide, condition de ngliger la rsistance de

l'air.

Isaac Newton dveloppa les analyses de Galile en donnant desdfinitions rigoureuses de la force et de la masse , notions qu'il relia l'acclration.

Il nona trois prin cipes qui rgissent la mcanique classique d'aujourd'hui.

Alber t Einstein gnralisa les lois de Newton pour les appliquer descorps se dplaant des vitesses proches de celle de la lumire, et exposases rvisions dans sa thorie de la relativit .


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Partie D : exercices rsolusExercice 1 : Utilisation du thorme de Pythagore :

Dans les triangles suivants, reprer l'hypotnuse si possible.

Rponse :Dans le triangle MNP rectangle en M, l'hypotnuse est [NP].Le triangle ABC n'est pas rectangle, il n'y a pas d'hypotnuse.Le triangle TUV n'est pas rectangle, il n'y a pas d'hypotnuse.Dans le triangle JIK rectangle en I, l'hypotnuse est [JK].

Exercice 2 :

Soit un triangle RST rectangle en S tel que RS=2cm et RT= 5cm.Donner la valeur exacte de ST puis la valeur arrondie au millimtre.Rponse :Dans le triangle RST rectangle en S.D'aprs le thorme de Pythagore:RT2= RS2+ST2 ST2 = RT2 - RS2 ST2 = 52 - 22ST2 = 25 - 4ST2 = 21ST=21 (valeur exacte)

ST 4,58 cm soit ST 46 mmST mesure environ 46mm

Exercice 3 :

Soit un triangle EFG tel que EF = 7cm, EG = 11cm et FG= 13 cm.Le triangle EFG est-il rectangle ? Pourquoi ?Rponse :Le ct le plus long est [FG]FG2 =132 = 169EF2 + EG2 = 72 + 112 = 49 + 121 = 170

FG2

2 + EG2

Le triangle EFG n'est pas rectangle


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Exercice 4 :

Utilisation du thorme de Thals :

On considre la figure ci-contre :

ABC est un triangle, M est un point de [AB], N un pointde [AC] et [MN] et [BC] sont parallles. On a lesmesures suivantes :

AB = 8cm ; AM = 6cm ; AC = 12cm ; MN = 4cmCalculer BC et AN

Rponse :ABC est un triangle, M est un point de [AB], N un point de [AC] peut donc appliquer lethorme de Thals :

Soit

Pour calculer AN, on utilise lgalit :8xAN = 6x12 ou encore : 8xAN = 72 ; do AN = 72/8 = 9AN mesure 9cm

Pour calculer BC, on utilise lgalit :6xBC = 8x4 ou encore : 6xBC = 32 ; do BC = 32/6 5,3BC mesure environ 5,3cm

Exercice 5 :

Etudier la fonction dfinie sur par f(x)=x2 4x, et calculer, en units daires :

1. Laire du domaine dlimit par , laxe des abscisses, et les droites dquations :

x= -1 et x=02. Laire du domaine dlimit par , laxe des abscisses, et les droites dquations :

x= 0 et x=4

Rponse :La fonction f est un trinme du second degr, de la forme f ( x)=ax2+bx+c o a=1, b=-4 etc=0.

Puisquea>0, f est strictement dcroissante sur et strictement croissantesur [2; [.Elle atteint donc son minimum pour x=2, lequel minimum vaut f (2)=22-4x2=-4De plus puisque f ( x)= x2-4 x= x(4- x), on dduit le tableau de signes de f :


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1) Puisque pour tout x [-1;0], f ( x) 0, laire du domaine dlimit par (C f ), laxe des abscisses,

et les droites dquations x=-1 et x=0 sera donne, en units daires, par .

A laide dune primitive de f sur [0 ;1], dfinie par , on calcule :

Laire du domaine vaut donc units daire2) Puisque pour tout x [0;4], f ( x) 0, laire du domaine dlimit par (C f ), laxe des abscisses,

et les droites dquations x=0 et x=4 sera donne, en units daires, par .

A laide de la mme primitive dfinie par , on calcule :

Laire du domaine vaut donc units daireExercice 6 :

Soit la fonction dfinie sur par

Etudier les variations de

Dmontrez que est positive sur [-2 ;0]Calculez laire de la partie D du plan limit par (C), les axes de coordonnes et de la droitedquation x = -2

Rponse :1) f est dfinie et drivable sur et pour tout x , f' ( x)=3 x2+4 x+2Le calcul du discriminant de f' ( x) nous permet den dduire le signe de f' ( x), donc le sens devariation de f :

=42-4x3x2=16-24=-80 donc f est strictement croissante sur .

2) On calcule et f (0)=4.


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Puisque f est strictement croissante sur , pour tout rel x [-2;0], on aura f (-2) f ( x) f (0),cest--dire f ( x) 03) Puisque pour tout rel x [-2;0], f ( x) 0, l'aire en cm2 de la partie D du plan limite par (C ),

les axes de coordonnes et la droite d'quation x=-2 sera gale oF est une primitive de f sur [0 ;2].

Une primitive de f sur [0 ; 2] est donne par , donc

Units daires


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Exercice 1 :

Soit un espace vectoriel muni d'un repre orthonorm

Soit les vecteurs , , ,a)- Calculez les produits scalaires: , , , , , b)- Calculez les produits vectoriels: , , , , ,

Rponse :

= (-3x-2) + (4x6) + (1x-3) = 27 ; de mme pour les autres= [(4x-3) (1x6)] - [(-3x-3)-(1x-2)] + [(-3x6)-(4x-2)]= -18 -+7 -2 ; de mme pour les autres

Exercice 2 :

Soit deux vecteurs et tels que:

et

et

eta)- Reprsentez les vecteurs dans le plan b)- Calculez les coordonnes cartsiennes de , et dans la basec)- Calculez directement: , ,d)- Calculez directement : , ,

Rponse :

Les vecteurs se disposent simplement dans le plan laide de leur longueur qui peut trefigure par un cercle du rayon correspondant et de langle mesur partir dun vecteur de base (Figure 1).Les coordonnes sont obtenues pour chaque vecteur en crivant les relations de trigonomtriedans le triangle rectangle ayant le vecteur considr comme hypotnuse et de cts ports parles axes de la base. On obtient pour le vecteur (Figure 2) :

On obtient de la mme manire :


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Exercice 3 :

Soit un torseur T de rsultante: et de moment au point 0:1. Calculer le torseur T au point A (2,-1,4)2. Calculer le torseur T au point B (6,-3,-2)

Rponse :

1. Au point A, le torseur est caractris par les deux vecteurs : Sa rsultante Son moment rsultant au point A dfini par la formule de transport :

= += (2,-3,0) + (3,-1,4) (2,-1,4)= (2,-3,0) + (0,-4,-1)= (2,-7,-1)

2. Au point B, le torseur B est caractris par les deux vecteurs : Sa rsultante Son moment rsultant au point B dfini par la formule de transport :

= += (2,-3,0) + (3,-1,4) (6,-3,-2)= (2,-3,0) + (14, 30,-3)= (16, 27,-3)

Exercice 4 :

Soit deux vecteurs et tels que:

et

et

eta)- Reprsentez les vecteurs dans le plan b)- Calculez les coordonnes cartsiennes de , et dans la basec)- Calculez directement : , , , , ,


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QCM :Les lois de Newton

1. Dans quel rfrentiel peut-on appliquer les lois de Newton?

(Galilen)

2. Le centre d'inertie d'un solide persvre en son tat de repos ou demouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur le solide se ......

(Compensent)

3. Si les forces appliques se compensent, le centre d'inertie peut-tre animd'un mouvement rectiligne uniforme.

A. ? Faux

B. ? Vrai

4. Une remorque est tracte par une voiture. A chaque virage la remorque atendance partir vers l'extrieur de la route. Pourquoi?

A. ? La voiture roule trop vite.

B. ? La remorque est mal fixe la voiture.

C. ? La remorque poursuit une trajectoire rectiligne uniforme l'entre du virage.

D. ? Les pneus sont lisses.

5. Une pierre lance sur une plaque de verglas plane horizontale finit pars'arrter parce que:

A. ? la somme des forces est nulle.

B. ? son poids le ralentit.

C. ? il y a toujours de lgers frottements.


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6. Lorsque les forces extrieures se compensent, le centre d'inertie d'un solideest toujours au repos.

A. ? VraiB. ? Faux

7. Quand les forces appliques au solide ne se compensent pas, le vecteurvitesse du centre d'inertie est modifi.

A. ? Vrai

B. ? Faux

8. Si on connat la variation du vecteur vitesse du centre d'inertie entre deuxinstants trs proches, alors on peut dterminer la direction et le sens de larsultante des forces appliques.

A. ? Vrai

B. ? Faux

9. Il faut imprativement exercer une force pour entretenir un mouvement.

A. ? Faux

B. ? Vrai

10. La force exerce par le pied d'un footballeur sur le ballon ........ que la forceexerce par le ballon sur le pied du footballeur au moment du tir.

A. ? est plus petite

B. ? est plus grande

C. ? a la mme valeur


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Avant dentamer tout exercice de statique en gnral, il faut dabord : Choisir un systme, choisir les repres despace et de temps Faire linventaire des forces extrieures appliques ce systme Enoncer les trois lois de Newton.

Exercice 1 :

I) Un skieur descend vitesse constante une pente d'une inclinaison de 30 par rapport l'horizontale.

1 Faire un schma et prciser le systme mcanique ainsi que le repre d'espacechoisi.2 Lister l'ensemble des forces extrieures que subit le systme mcanique choisi.Reprsenter ces forces sur le dessin dans le cas de figure o la descente s'effectue avecfrottement des skis sur la neige.3 Aprs avoir numr les 3 lois de Newton, dterminer laquelle de ces lois sont

concerne par le problme ci-dessus et expliciter.Rponse :

I) 1) Le systme mcanique considrer est le skieur et l'ensemble de son quipement le poidsP du systme considr la raction normaleR la force de frottementf, qui a mme direction que le vecteur vitesse mais en sens

inverse.

3)- Premire loi de Newton (ou principe d'inertie) : dans un rfrentiel Galilen, lorsquunsolide est isol ou pseudo-isol, son centre dinertie G est :

soit au repos, G est initialement immobile soit anim dun mouvement rectiligne uniforme

Alors :C'est cette premire loi de Newton qui est concerne par le problme pos

Deuxime loi de Newton (ou relation fondamentale de la dynamique): dans unrfrentiel Galilen, la somme des forces extrieures appliques un solide est gale

au produit de la masse du solide par lacclration de son centre dinertie G :


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Troisime loi de Newton (ou loi des actions rciproques): lorsque deux solides S1 etS2 sont en interaction, les forces qu'ils exercent l'un sur l'autre sont directementopposes :

Exercice 2 :

Un skieur de poids P=900N est en quilibre sur un plan inclin dangle=30 par rapport lhorizontale. La force de frottement exerce par le plan inclin est reprsente fait un angle=20 avec ce plan inclin.

1. Dterminer les intensits (normes) des forces F et R (raction normale du plan inclin)en utilisant la mthode graphique : par construction vectorielle

2. Dterminer les intensits des forces F et R en utilisant les projections des forces dansle repre choisi de faon adquate.

Rponse :

1) Le skieur est soumis aux forces suivantes :

2) Mthode graphique :

Pour le poids, on a P = m.g = 900 N. On peut prendre lchelle 1 cm pour 100 N.Le skieur est en quilibre donc daprs la premire loi de Newton = 0Fext

rr

. Ce qui donne ici la

relation : 0PRFrrrr

= donc on en dduit que PRFrrr

. On construit donc, lchelle lesvecteursP

r

et Pr

. En faisant partir les autres vecteurs du centre dinertie du skieur (reprsent par le point G), on trace leurs directions en respectant les angles : puis on compte la construction enrespectant les sommes vectorielles. Le skieur est reprsent uniquement par son centre dinertie sur leschma ci dessous :

Daprs lchelle utilise, on en dduit que F = 480 N et R = 620 N3) Mthode des projections :


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Le skieur est e, quilibre donc daprs la premire loi de Newton = 0Fextrr

. Ce qui donne ici la

relation : 0PRFrrrr

= . On projette cette relation sur les deux axes Gx et Gy.

Sur Gx : 0sinPcosF0 = donc N479cossinPF =

=

Sur Gy : 0cosPsinFR = doncN615tansinPcosPsinFcosPR =

Exercice 3 :

Etude d'une chute verticale :

1) Chute libre :Par dfinition, un solide est en chute libre s'il n'est soumis qu' son poids.On peut tudier la chute dans le vide, elle est parfaitement libre..Dans l'air, un objet en chute, est soumis la pousse d'Archimde et la force de frottementsfluide, exerces par l'air, mais ces forces sont faibles et ngligeables par rapport au poids danscertaines conditions : faible hauteur (quelques mtres) et faible vitesse.2) Chute verticale libre, sans vitesse initiale :Une bille mtallique de masse m est lche 6,0 m du sol, sans vitesse initiale, d'un point priscomme origine d'un axe vertical

(O, ) orient vers le bas. ( g = 9,80 N.kg-1 )

a) S'agit-il d'une chute libre ? Justifier. b) Faire un schma en reprsentant axe, origine et force(s).c) Etablir l'quation diffrentielle du mouvement vrifie par la vitesse v.d) Dterminer les quations horaires du mouvement ( a, v et y en fonction du temps)e) Dterminer linstant t1 et la vitesse v1 o la bille frappe le sol

Rponse :

a) La pousse d'Archimde PA dans l'air est ngligeable par rapport au poids P de la bille. Lavitesse de la bille et la hauteur de chute sont faibles, la force de frottement fluide exerce parl'air sur la bille est donc ngligeable par rapport au poids. Le poids est donc la seule forceexerce sur la bille. La chute est donc libre.


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b) On tudie la bille (systme) dans le rfrentiel terrestre galilen, auquel on

associe le repre (O, ).

Vertical vers le bas.

Force : poids vertical vers le bas, P = m. g

c) Deuxime loi de Newton : Dans un rfrentiel Galilen, la somme des forcesextrieures appliques un solide est gale au produit de la masse m du solide parl'acclration de son centre d'inertie.

= m . ; m . = m . =Dans ce cas, le mouvement est rectiligne vertical,

= y , = y et = y . .On projette sur l'axe : a = ay = g ; a = dv/dt dv/dt = g (quation diffrentielle)

d) Pour dterminer la solution de l'quation diffrentielle, on cherche la fonction v qui admetg comme drive :v = g . t + k 1 ( k 1 tant une constante)Pour dterminer la constante k 1 , on utilise les conditions initiales :A t = 0s, v = k 1 = v0 = 0 m.s-1 v = g . t , soit dy/dt = g . tLa fonction y qui admet g. t comme drive est : y = g. t + k 2 ( k 2 tant une constante)A t = 0s, y = k 2 = y0 = 0 m y = g . t Equations horaires du mouvement : y = g. t 2 v = g. t et a = g

e) Soit A le point du sol la verticale de O, yA = 6,0 m. yA = g . t1 ; t1 = 2 yA / g

t1 = (2 yA / g) = (2 x 6,0 / 9,80) = 1,1 s (2 chiffres significatifs en accord avec lesdonnes)Calcul de v1 : v1 = g . t1 , v1 = 9,80 x 1,1 = 11 m.s-1 Dans d'autres exercices, v0 et y0 peuvent tre non nulles, les constantes k 1 et k 2 interviennentalors.


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NB : Outre les ouvrages, la liste peut comporter toutes autres ressources jugesutiles (Site, Internet, Catalogues constructeurs, Cassettes, CD)

Liste des rfrences bibliographiques

Ouvrage Auteur Edition

Internet http://web.univ-pau.fr/ Internet http://physique.educations.net/

Internet http://www.intellego.fr/

Internet http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton Internet http://homeomath.imingo.net/vecdef.htm Internet http://www.techno-

science.net/?onglet=glossaire&definition=1851 Internet http://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur_cin%C3%A9matique

Internet http://www.ilemaths.net/maths-capes-lecon-37-relation-triangle-rectangle.php

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