La construction est laissée au soin du lecteur !!!!

b) Calcul de BC : Dans le triangle ABC rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

BC = 100 = 10

� Hauteurs du triangle ABC : a) Construction des hauteurs de ce triangle ABCDans un triangle, une hauteur est une droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème :

RAPPEL – DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

THEMEEXERCICE

HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

La construction est laissée au soin du lecteur !!!!

le théorème de Pythagore :

BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

BC = 10 ( cm )

es hauteurs de ce triangle ABC : hauteur est une droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté

Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème :

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dans un triangle, l'orthocentre est le point de rencontre des trois hauteurs ( les hauteurs sont concourantes ). La hauteur issue de B ( droite passant par le sommet B et perpendiculaire au côté opposé, soit [AC] ) est la droite (AB)La hauteur issue de Csommet C et perpendiculaire au côté opposé, soit [AB] ) est la droite (AC)Ces deux droites sont sécantes en A, donc A est l'orthocentre du triangle ABC.

L'orthocentre du triangle ABC est le point A

THEME : EXERCICE - "LONGUEURS" DES

HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

RECTANGLE

Correction

hauteur est une droite issue d’un sommet et perpendiculaire au côté

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE

Dans un triangle, l'orthocentre est le point de rencontre des trois hauteurs ( les hauteurs sont

La hauteur issue de B ( droite passant par le sommet B et perpendiculaire au côté opposé, soit [AC] ) est la droite (AB) La hauteur issue de C ( droite passant par le sommet C et perpendiculaire au côté opposé, soit [AB] ) est la droite (AC) Ces deux droites sont sécantes en A, donc A est l'orthocentre du triangle ABC.

re du triangle ABC est le point A

"LONGUEURS" DES HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE

Correction

Remarque : Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est ( toujours ) le sommet de l'angle droit.

b) Mesures des hauteurs issues de B et CUne hauteur est une droite. Si maintenant nous lui associons une longueur, la hauteur doit être considérée ( une droite n'a pas de longueur ) comme le segment d'extrémités le sommet et le pied de la hauteur ( intersection de la hauteur et du côté opposé au sommet considéré ) La hauteur issue de B est la droite (AB) ou ici, le segment [AB]. La hauteur issue de B mesure 8 cm. La hauteur issue de C est la droite (AC)La hauteur issue de B mesure 6 cm.

c) Aire du triangle ABC : L'aire du triangle ( rectangle ) ABC est égale à

cm² 24 soit 26 8×

Calcul de la mesure de la hauteur [AH ] issue de ANous venons d'utiliser, pour calculer l'aire du triangle ABC une formule propre aux triangles rectangles.L'aire du triangle ABC est également égale à :

2AH25

2AH10

2AH BC ××=×=×

Mais cette aire est cependant égale à 24 cm² ( question précédente )donc 5 AH = 24

soit 4,8 524 AH ==

� Médianes du triangle ABC : a) Mesure de la médiane [AI] issue de A :

Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Donc AI = cm ( 5 210

2BC ==

AI = 5 (cm )

Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est ( toujours ) le sommet de l'angle droit.

esures des hauteurs issues de B et C : Une hauteur est une droite. Si maintenant nous lui associons une longueur, la hauteur doit être considérée ( une droite n'a pas de longueur ) comme le segment d'extrémités le sommet et le pied de la hauteur ( intersection de la hauteur et du

La hauteur issue de B est la droite (AB) ou ici, le segment [AB].

La hauteur issue de C est la droite (AC) ou ici, le segment [AB].

L'aire du triangle ( rectangle ) ABC est égale à

la hauteur [AH ] issue de A : Nous venons d'utiliser, pour calculer l'aire du triangle ABC une formule propre aux triangles rectangles.

ABC est également égale à :

AH 5=

Mais cette aire est cependant égale à 24 cm² ( question précédente )

) cm ( AH = 4,8 ( cm )

Dans le triangle ABC, les hauteurs issues de A, B et C mesurent respectivement 4,8 cm, 8 cm et 6 cm

e de la médiane [AI] issue de A :

Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : rectangle, la médiane relative à

l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de

) cm

AI = 5 (cm )

Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est ( toujours ) le sommet de l'angle droit.

AH = 4,8 ( cm )

Dans le triangle ABC, les hauteurs issues de A, B et C mesurent respectivement 4,8 cm, 8 cm et 6 cm

b) Mesure de la médiane issue de B

K est le milieu de [AC] , donc

) cm ( 3 26

2AC AK ===

Dans le triangle ABK rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BK² = AB² + AK² BK² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73

BK= 73 ) cm ( 8,5 ≈

B

Mesure de la médiane issue de C :

J est le milieu de [AB] , donc

) cm ( 4 28

2AB AJ ===

Dans le triangle ACJ rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : CJ² = AC² + AJ² CJ² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52

CJ = 52 134134 =×=×

CJ

� Bissectrices du triangle ABC : Par longueur d'une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l'intérieur du triangle.

a) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de A :

� Positions relatives des droites (A'J') et (AC)(AC) ⊥ (AB) ( ABC est rectangle en A )(A'J') ⊥ (AB) ( hypothèse )

Donc (AC) et (A'J') sont parallèles.

� Calcul, en fonction de x, de la longueur

Par définition, la bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle. (A'J') et (AB) sont perpendiculaires donc A'J' représente la distance du point A à la droite (AB) . (A'K') et (AC) sont perpendiculaires donc A'K' représente la distance du point A à la droite (AC) .

A' est un point de la bissectrice issue de l'angle

� Calcul de AJ' : Le quadrilatère AJ'A'K' a trois angles droits. Donc AJ'A'K' est un rectangle

de B :

Nous avons, d'après le théorème de Pythagore :

BK ) cm ( 8,5 ≈

:

Nous avons, d'après le théorème de Pythagore :

132= ) cm ( 7,2 ≈

CJ ) cm ( 7,2 ≈

Par longueur d'une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l'intérieur du

Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue

droites (A'J') et (AC) : (AB) ( ABC est rectangle en A )

(AC) et (A'J') sont parallèles.

la longueur A'K' :

, la bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés

(A'J') et (AB) sont perpendiculaires donc A'J' représente la distance du point A à la droite (AB) .(A'K') et (AC) sont perpendiculaires donc A'K' représente la distance du point A à la droite (AC) .

bissectrice issue de l'angle CAB ˆ , donc A'K' = A'J' = x

Le quadrilatère AJ'A'K' a trois angles droits.

Par longueur d'une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l'intérieur du

(A'J') et (AB) sont perpendiculaires donc A'J' représente la distance du point A à la droite (AB) . (A'K') et (AC) sont perpendiculaires donc A'K' représente la distance du point A à la droite (AC) .

A'K' = x

Donc AJ' = A'K' = x ( côtés opposés du rectangle ) AJ' = x � Calcul de BJ' : J' est un point de [AB] , donc

BJ' = AB – AJ' = 8 - x BJ' = 8 – x � Calcul de x : Dans les triangles BA'J' et BAC,

J' ∈ [AB] K' ∈ [AC] (A'J') ( AC ) ( question précédente )

donc, d'après le théorème de Thalès, nous avons :

ACJ'A'

BCBA'

BABJ' ==

soit 6x

BCBA'

8x - 8 ==

Calcul de x :

Nous avons : 6x

8x - 8 =

soit ( "produit en croix" ) 6 ( 8 – x ) = 8 x 48 – 6x = 8x 48 = 8x + 6x 48 = 14x

x = 724

7 224 2

1448 =

××==

� "Longueur AA' "de la bissectrice : Dans le triangle AJ'A' rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : AA'² = AJ'² + J'A'²

AA'² = )²724()²

724( +

AA' ² =491152

49576

49576 =+

AA'= 7224

7224

72576

72576

49

1152491152 =×=×=×==

( 576 = 24² voir ci-dessus )

soit AA' 4,8(cm)≈

b) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de B : On pose B'A = x. � Calcul, en fonction de x, de la longueur B'I' : La bissectrice d'un angle étant l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle, nous avons comme précédemment : B'I' = B'A = x

� Egalité BI' = AB : Dans le triangle ABB' rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BB' ² = AB² + AB'² Donc BB'² - AB' ² = AB² Soit AB² = BB'² - x² ( égalité 1 )

Dans le triangle I'BB' rectangle en I'Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BB' ² = BI' ² + B'I' ² Donc BB'² - B'I' ² = BI' ² Soit BI' ² = BB'² - x² ( égalité 2 Les deux égalités 1 et 2 permettent d'écrire : AB² = BI'²

et comme AB et BI' sont des nombres positifs, nous avons

� Calcul de I'C : I' est un point du segment [BC] , doncI'C = BC – BI' = 10 – 8 = 2

� Calcul de la valeur ( exacte ) de xDans le triangle I'CB' rectangle en I'Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : B'C ² = CI' ² + B'I' ²

( 6 – x )² = 2² + x² soit 36 – 12 x + x² = 4 + x² 36 – 4 = x² + 12 x – x² 32 = 12 x

1232 = x

Et par suite x = 38

3 48 4

1232 =

××=

� Calcul de la "longueur" [BB'] de la bissectrice issue de B Dans le triangle ABB' ( ou BB'I' ) rectangle en A,Nous avons, d'après le théorème de Pythagore : BB'² = AB'²+ AB²

BB'² = (38)²+ 8²

BB'² = 964

64964 +=+

Donc BB' = 9

6409640 ==

BB' ≈ 8,4 ( cm )

La "longueur" de la bissectrice

c) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de C :Une démonstration analogue à celle présentée cibissectrice issue de C.

� Médiatrices du triangle ABC : Par longueur d'une médiatrice, nous entendons la longueur de la partie de la triangle.

a) Médiatrice du segment [AB] : Dans le triangle ABC,

I milieu de [BC] ( hypothèse )

I' Nous avons, d'après le théorème de Pythagore :

2 )

Les deux égalités 1 et 2 permettent d'écrire :

et comme AB et BI' sont des nombres positifs, nous avons

donc

I'C = 2 ( cm )valeur ( exacte ) de x :

I' Nous avons, d'après le théorème de Pythagore :

x =

"longueur" [BB'] de la bissectrice issue de B : Dans le triangle ABB' ( ou BB'I' ) rectangle en A, Nous avons, d'après le théorème de Pythagore :

9640

9576

964

9964 =+=×

3108

31064

31064 =×=×

"longueur" de la bissectrice de l'angle CBA ˆ

c) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de C : Une démonstration analogue à celle présentée ci-dessus permettrait de déterminer la "longueur" de la

trice, nous entendons la longueur de la partie de la médiatrice située

I milieu de [BC] ( hypothèse )

et comme AB et BI' sont des nombres positifs, nous avons BI' = AB = 8

I'C = 2 ( cm )

x = 38

est environ 8,4 cm

dessus permettrait de déterminer la "longueur" de la

trice située à l'intérieur du

J milieu de [AB] ( hypothèse ) donc, d'après le théorème des milieux, les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

(IJ) (AC ) ( voir ci-dessus ) (AB) ⊥ (AC ) ( ABC est un triangle rectangle en A ) donc (IJ) ⊥ (AB) La droite (IJ) passe par le milieu J du segment [AB] et est perpendiculaire à la droite (AB) , donc

(IJ) est la médiatrice du segment [AB] � Calcul de la "longueur" IJ de la médiatrice de [AB] : Dans le triangle ABC,

I milieu de [BC] ( hypothèse ) J milieu de [AB] ( hypothèse )

donc, IJ = 326

2AC ==

La "longueur" IJ de la médiatrice de [AB] est 3 cm

b) Médiatrice du segment [AC] : Dans le triangle ABC,

I milieu de [BC] ( hypothèse ) K milieu de [AC] ( hypothèse )

donc, d'après le théorème des milieux, les droites (IK) et (AB) sont parallèles.

(IK) (AB ) ( voir ci-dessus ) (AC) ⊥ (AB ) ( ABC est un triangle rectangle en A ) donc (IK) ⊥ (AC) La droite (IK) passe par le milieu K du segment [AC] et est perpendiculaire à la droite (AC) , donc

(IK) est la médiatrice du segment [AC] � Calcul de la "longueur" IK de la médiatrice de [AC] : Dans le triangle ABC,

I milieu de [BC] ( hypothèse ) K milieu de [AC] ( hypothèse )

donc, IK = 428

2AB == La "longueur" IK de la médiatrice de [AC] est 4 cm

c) Médiatrice du segment [BC] : Dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons :

tan (B̂ ) = ABAC

soit tan (B̂ ) = 43

86 = ( égalité 1 )

Dans le triangle BMI rectangle en I, nous avons :

tan (B̂ ) = IBMI

soit tan (B̂ ) = 5MI

( IB = 5210

2BC == ) ( égalité 2 )

� Calcul de la "longueur" IM de la médiatrice de [BC] : Les deux égalités permettent d'écrire :

43

5MI = soit MI = ) cm ( 3,75

415

453 ==×

La "longueur" IM de la médiatrice de [BC] est 3,75 cm