Livre Electronique Tome2

7/25/2019 Livre Electronique Tome2

1/258

F.

MANNEVILLE

-

J.

ESQUIEU

SYSTMES BOUCLS LINI

DE

COMMUNICATION

ET

DE

FILTRAGE


2/258

I

Z

n

B

Z

I

n

o


3/258

BOUCLES LINEAIRES,

DE COMMUNICATION

ET

DE

FILTRAGE

F.

MANNEVILLE

I

PR

Ancien

lve

de

I'ENSCachan

Agrg

de

physique applique

J.

ESQUIEU

Professeur au lyce de Brive

Ancien lve

de

I'ENS Cachan

Agrg

de

physique applique

Classes de Techniciens suprieurs

Instituts Universitaires de Technologie

Classes prparatoires des lyces techniques

Formation continue

Dunod


4/258

tab le des ma ti res

SYSTMES

BOUCLS

LINAIRES

Chapitre

1

: Ncessit des systmes en

1

.nsuffisance des systmes en

boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . .

2

.ystme en boucle ferme . . . . .

3.rcision des systmes boucls .

4 . tabilit des systmes boucls . .

5

.quation fondamentale des sys-

tmes boucls

. . . . . . . . . . . . . . .

boucle ferm e

.

tude qualitative

. . . .

Chapitre

2 :

Contre-raction

. . . . . . . . . . . .

1

.

finitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.roprits fondam entales . . . . .

3

.

nalyse dune contre-raction

.

4 .sistance dentre . . . . . . . . . . .

5. sistance de sortie . . . . . . . . . .

6.xemples de contre-raction . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

.

rcision dun systme de classe

6

zro

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

.

rcision dun systme de classe

un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

7

3

8 Chapitre 6

:

Corrections dun systme

boucl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 .ableau rcapitulatif

. . . . . . . . .

8

9

9

9

11

14

16

17

21

1.roblme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 .

orrec tion proportionnelle et in-

4

.

orrection proportionnelle et d-

rive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

.

orrection proportionnelle int-

grale et drive

. . . . . . . . . . . . . .

6

.

orrection par boucle de rac-

tion secondaire . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.

orrection ple dominant . . . . .

tgrale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre

3 :

Asservissements linaires . . . .

23

23

Chapitre

7 :

Asservissements numriques .

1

. finitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.

rincipe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.

nfluence des perturbations

. . . .

2

.

tabilit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

.

xemples dasservissement

. . . . 24 3

rcisions

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 4

.

orrections . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chapitre 8

:Oscillateurs sinusodaux

. . . .

hapitre 4 :Stabilit des systmes boucls

linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.

rincipe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 - Oscillateur

dphasage . . . . . . .

3 - Oscillateur pont de W ien . . . .

1

. ondition gnrale de stabilit . 37

2 . ritres de stabilit . . . . . . . . . . 38

3 . arges de stabilit . . . . . . . . . . . 46

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4

-

Forme gnrale M dun oscilla-

teur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

.

termination de lamplitude des

oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

hapitre 5

:

Prcision des systmes boucls

h a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 - M thodes de calcul

. . . . . . . . . .

55

Annexes :machines a courant continu . . . .

55

56

57

58

58

58

62

67

70

73

74

78

78

79

89

90

96

104

104

105

106

107

112

115

119


5/258

LES SYSTMES DE COMMUNICATION

Chapitre 1 :

Gnralits . . . . . . . . . . . . . . .

124

124

124

5 .

odulation bande latrale uni-

6 . apport signal sur bruit . . . . . .

que avec porteuse

. . . . . . . . . . . .

144

144

Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

1. nde progressive . . . . . . . . . . . .

2.ransmission dune information

Chapitre

2

:

Mthode de multiplication . . .

126

126

Chapitre 5 :

Mod ulation de frquence . . . .

147

1

.

orme du signal

. . . . . . . . . . . . .

1

.

odulation de phase et modula-

2.pectre du signal . . . . . . . . . . . . 126 tion de frquence . . . . . . . . . . . . 147

3.roduction du signal . . . . . . . . . 127 2 orme du signal modul en

4

.

modulation du signal

. . . . . .

127 frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.pectre du signal modul sinu-

Chapitre 3

:

Modulation damplitude

( A . M . ) . 128

1

-

Forme du signal A.M.

. . . . . . . .

128

2

-

Spectre du signal modul en

amplitude

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

3

-

Production du signal A.M.

. . . .

129

4 - Dmodulation du signal A.M. .

130

5

-

Rapport signal sur bruit

. . . . . .

133

sodalement en frquence . . . . .

signal F.M.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5 .

roduction du signal F.M.

. . . .

7 - Rapport signal sur bruit . . . . . .

4

.

ncombrement frquentiel du

6

-

Dmodulation du signal F.M.

.

8 - Transmissions strophoniques

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

149

150

155

158

160

161

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Chapitre 6 : Transm issions numriques . . .

164

165

1.rincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1

.

orme du signal B.L.U

. . . . . . .

140 rique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

2

.

pectre du signal B-L-U . . . . . . 140 4

.

ception du signal numrique 179

3.roduction du signal B.L.U . . .

140 5 Rapport signal sur bruit 189

4. modulation du signal B-L-U

143 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Chapitre 4

:

Modulation bande latrale

2. roduction du signal numrique

unique

140 3

.

ransmission du signal num-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

SYSTMES

DE

FILTRAGE

. . . . . . . . . . . . . .

hapitre

1

:

Problme gnral d ufiltr age

.

194

Chapitre

3 :

Filtres actifs

210

1

.

abarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 1

.

iltres actifs du premier ordre . 211

2.ormalisation

. . . . . . . . . . . . . . .

194 2

.

iltres actifs du second ordre . . 212

3. iffrentes formes de rponse . .

227

95

200

3.xemple de calcul . . . . . . . . . . . .

4 - Filtre passe.haut . . . . . . . . . . . . . 198 4.ensibilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5

-

Filtre passe-bande

. . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 passifs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5

- Comparaison filtres actifs/filtres

Chapitre 4 :Filtres numriques

. . . . . . . . .

233

Chapitre

2

:

Filtres pa ssvs 203 1

.

appels et complments

. . . . . .

233

. . . . . . . . . . . .

1

.

iltre passif passe-bas

. . . . . . . .

3 iltre passif passe-bande

. . . . . .

203

206

2.es filtres rponse impulsion-

3

.

es filtres

rponse impulsion-

2

.

iltre passif passe-haut . . . . . . . 206 nelle finie (R.I.F.) . . . . . . . . . . . . 234

4

.

ssistance par ordinateur . . . . . 207 nelle infinie (R.I.I.) . . . . . . . . . . . 249

Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254


6/258

ncessit des systmes

de la figure 2, on mont re

(voir annexe page 119)quen

linduit, on peut dcrire le

fonctionnement du moteur

courant cont inu

flux

en bo uc le te rme

C

tud e qua l ita t ive

SystmedeAoteur

commande

1 IMSUFFIISAMCE

DES SYSTEMES

EN

BOUCLE

OUVERTE

QS

--c-

Pour de nombreux systmes, la grandeur de

sortie

x,

doit tre une image fidle et prcise de

la grandeur de comm ande x E .Cest en pa rticulier

le cas pour :

O

lamplificateur de tension de la figure 1

:

Les valeurs instantanes uE et us des tensions

dentre et de sortie doivent tre lies par une

relation de la forme

U S

=

AUE

o A est une constante, parfaitement dfinie et

indpe ndan te des conditions de fonctionnement;

O

la commande de vitesse dont le schma

synoptique est donn la figure

2 :

Fig.

2

partir de la tension u E , e systme de comm ande

labore la tension dalimentation u A .Le rotor du

moteur tourne

une vitesse

Q,

qui dpend de la

tension u A .

O n souh aite que la relation entre la vitesse

Q,

et

la tension

vE

soit de la form e Q, = K u,

o

K est

une constante parfaitement dfinie et ind-

pendante des conditions de fonctionnement.

En pratique un certain nombre de phnomnes

viennent perturber la prcision et la fidlit des

systmes prcdents.

Du point de vue nergtique, on y distingue :

O

une puissance perdue par effet Joule dans la

rsistance r

:

PJ = r i2

O

une puissance lectromagntique (P, = Ei) ,

fournie

la force lectromotrice

E ,

et qui est

transforme en puissance mcanique (P, =C,Q,,

o Q, est la vitesse de rotatio n du roto r et (2 le

couple moteur).

Do le bilan nergtique :

uAi = C,Q, +

r i2 .


7/258

ncessi t des systmes en bou cle ferme. tude q ual i tat ive

Sachant (voir annexe page 119) que le couple

moteur est directement proportionnel a u courant

dinduit i, (C, = ki), nous en dduisons par

limination de i, une relation de la forme

Q,

=

f ( u A ,C,). Ainsi, la vitesse a, du ro tor

dpend, non seulement de la tension dalimen-

tation

u A ,

mais aussi du couple moteur

C,,

qui,

lquilibre, est gal a u cou ple r sistant

C,

(pertes

mcaniques comprises).

Le systme de la figure 2 ne pou rra don c pas tre

dcrit, comme nous le souhaitions, par une

relation de la forme Qs

= KuE,

moins de prvoir

un dispositif qui dtecte le couple rsistant C, et

qui m odifie la tension uAde faon adquate; mais

la mise en uvre dun tel dispositif est relati-

vement complexe et ne corrigerait que les

perturbations dues au couple rsistant.

Les systmes prcden ts (figures 1 et 2) sont dits

en

boucle ouverte

car la grandeur dentre

x E ,

confondue avec la grandeur de commande, est

indpendante de la grandeur de sortie

x

Pour

ces systmes, la grandeur de sortie x dpend non

seulement de la gra ndeur dentre x E ,mais aussi

dun certain nombre de perturbations quon

peut considrer comme des entres secondaires,

Y, , Y , , .*) Y n .

Le fonctionnement de tels dispositifs peut tre

symbolis par le schma de la figure 4.

Perturbations

\

2.

SYSTME

E N BOOCLE F E R M e E

On ralise un systme en boucle ferme en

soustrayant de la grandeur de comm ande x une

grandeur x R qui dpend de la grande ur de sortie

x Le systme est alors dcrit par la figure 5 ,

appel schma bloc sur lequel le symbole

traduit lquation x E

=

xc

- R .

-?-

La grandeur dentre x E de la cha ne directe est

ainsi distincte de la grandeur de commande

x

Le systme en boucle ferme permet de limiter

linfluence des p ertur batio ns. Sup pos ons en effet

Chane s - xs

directe

T -

Chane de

retour

Fig.

5

ig.

5 .

que, la grandeur de com mande

x

tant constante,

une perturbation provoq ue une diminution de la

grandeur de sortie

x,

La chane de retour fait

alors appa ratre une diminution d e la grandeur

de retour x R . Compte tenu de

x

=

Cte et de

x E = x

-

R ,

la grandeur dentre x E augmente,

provoquant ainsi un accroissement de la gran-

deur de sortie qui sopose leffet de la

perturbation.

Rem arquons q ue ce rsultat est obtenu sans quil

soit ncessaire de connatre lorigine de

la

perturbation.

3.PRCISION

OES

SYSTEMES BOUCLeS

U ne bon ne prcision du systme implique que la

grandeur de sortie

x,

soit une image prcise et

fidle de la grandeur de comm ande x :

(x,

=Kx,) .

Con sidrant lquation

x E

=

x

-

R ,

e rsultat

souhait peut tre obtenu avec

x E + x,

et

XS

K

R z x

=

- Ces conditions permettent de

prciser lorganisation du systme.

O

En regroupant les quations

nous pouvons conclure que la chane directe,

rpondant

une g rand eur dentre infinitsimale

par une grandeur de sortie non nulle, devra

possder une grande sensibilit. En particulier, si

cette chane possde un amplificateur, la prci-

sion du systme sera dautant meilleure que

lamplification sera plus grande.

O Con sidrant que le facteur K, intervenant d ans

la relation

xs

= K x , , provient essentiellement

XS

de la chane de retour par

x R =-

K

les qualits

requises pour la

chalne de retour

sont

lafidlit

et la prcision. Les qualits de prcision et de

fidlit rsultant de la structure de la chane de

retour, les perturbations qui altrent le fonc-

tionnement de la chane directe auront un effet

ngligeable sur le comportement du systme

boucl.


8/258

systmes. boucles l inai res

Amplificateur

4.

STABILIT

DES

SYSTMES BOUCLS

fis

Qs

-

cr?zd, Moteur

Nous avons considr, jusqu prsent, que les

rponses de la chane directe et de la chane de

retour taient instantanes; cest rarement le

cas des systmes physiques. Considrons par

exemple, lasservissement de vitesse dont le

schma synoptique est donn la figure 6.

R

IL

Dtecteur

Ce dispositif est obtenu,

partir de celui de la

figure 2, en bouclant le systme par un dtecteur

de vitesse qui dlivre une tension u R fonction de

la vitesse de rota tion Q,. Un amplificateur permet

en outre de rgler la sensibilit de la chane

directe.

Par suite de linertie de la partie tournante, la

mise en vitesse du moteur nest pas instantane

et la vitesse de rotation

Q,

est en retard sur la

tension dalimentation u A .Compte tenu de leur

structure, le dtecteur de vitesse et le systme de

commande sont susceptibles de faire apparatre

des retards supplmentaires.

Supposons quune perturbation provoque une

diminution de la vitesseQ,. Le systme ragit par

une augmentation de la tension dalimentation

u A , retarde dans le temps, et dautant plus

importante que lamplification est plus grande.

Si lamplification est trop forte, et compte tenu

des retards de transmission, la vitesse de rotation

peut alors augmenter au-del de sa valeur

dquilibre. Le systme ragit alors, en pro-

voquant, dans les instants qui suivent, une

diminution de la tension uA et le cycle recom-

mence. Le systme est donc susceptible doscilla-

tions spontanes, et le risque dinstabilit est

dautant plus grand que la sensibilit de la chane

directe est plus forte, ce qui est en contradiction

avec lobtention dune bonne prcision.

No us retiendrons que la

stabilit et

la

prcision

sont deux exigences contradictoires. Ltude

quantitative nous le confirmera.

5. QUATION

FO

N

D A M E M T A L E

D E S

SYSTMES

BOUCLS

Nous limiterons notre tude aux systmes pour

lesquels les grandeurs

xc,

E ,

R

et

x,

sont lies

par des quations diffrentielles linaires

coefficients constants (systmes linaires). A cet

effet, les grandeurs xc, E , R et x, pourront tre,

dans certains cas, des petites variations autour

des valeurs dquilibre (il est ainsi possible de

linariser ltude de dispositifs non linaires).

Toute drivation par rapport au temps se

traduisant sur les transmittances de Laplace par

une multiplication par

0,

es transformes de

Laplace des grandeurs

x E ,

c,

R

et

xs

sont lies

par des relations de la forme

-

S ( 0 ) =

A ( P ) X E ( P ) et K R E ) = B ( P ) X , ( P ) .

A ( P )

et

B ( P )

sont respectivement les trans-

mittancesdes chanes directe et de retour et le

schma bloc du systme est donn la figure

7.

-

A(E)

est la transmittance du

systme en boucle ferme.

Remarquons que les grandeurs xc, x E , R et

x,

sont quelconques, cependant lhomognit im -

pose que les grandeurs xc, x E et x R soient de

mme nature.

AR(P)

= 1 + _ - - -

( P ) B ( P )

REMARQUE

I ystme est

re tour unita3eT

Pour certains systmes toute la grandeur de sortie

est ramene

sur

lentre

[ B ( P )

=

11.

On dit que le


9/258

1 DEFINITIONS

On ralise une contre-raction sur un amplifi-

cateur en ramenant sur lentre sous forme de

tension ou de courant, une partie dune des

grandeurs de sortie (tension ou courant).

Nous considrerons dans ce chapitre, sauf avis

contraire, que lamplificateur et le rseau de

raction ne comportent pas dlments ractifs.

Dans ces conditions, les transferts de la chane

directe et de la chane de raction seront dcrits

par des nombres rels ( f i g . 1).

xR s

Fig. 1

Les grandeurs

x

pouvant tre des tensions

ou

des

courants, quatre cas peuvent se prsenter suivant

la nature de x, et de xs.

O

En entre, la soustraction dune tension se fait

en srie, celle dun courant en parallle.

O

En sortie, la dtection dune tension se fait en

parallle, celle dun courant en srie.

Ce qui conduit aux dnominations suivantes :

xs est la tension

de

sortie

us

0 x E est la tension dentre v,.

La contre-raction est dite tension-tension o u

parallle-srie.

A = A , est lamplification en tension de

la chane directe;

B

= - st la fonction de transfert en tension

de la chane de retour.

U S

V E

U R

V S

O x E est le courant dentre i,.

La contre-raction est dite

tension-courant

parallle-parallle.

o u

V

A =

directe;

=

R, est la transresistance de la chane

1E

B =E est la transconductance de la chane

U S

retour.

xs est le couvant

de

sortie is

O x E est la tension dentre

v E .

La contre-raction est dite

courant-tension

srie-srie.

1s

A =-

= G, est la transconductance de

DE

chane directe;

U R

B = est la transrsistance de la chane

1s

retour.

O

x E

est le courant dentre i,.

La contre-raction est dite courant-courant

srie-parallle.

A =

la chane directe;

1s

1,

=

A , est lamplification en courant

de

o u

la

de

ou

de

B

=

de la chane de retour.

est la fonction de transfert en courant

1s

2.

PROPRITS

FONDAMENTALES

Elles rsultent de lquation fondamentale des

systmes boucls qui scrit ici

x s A

--=-

xc 1 + A B

-

9


10/258

systmes. boucles I ina res

2.1. STABILISATION

D U TRANSFERT A

Supposons que, par suite des variations des

paramtres des lments actifs, le transfert A de

la chane directe varie de dA. Le transfert

A R

du

systme e n boucle ferme varie de d AR tel que

dAR

-

1 + AB - AB

A R

1

X-

- -

d A ( 1 + A B ) 2

A

1 + A B

1

x-

AR dA

-

oit

R

A

1 + A B

Si le facteur 1 + AB est gal a 10, la variation

relative d e

A R

est dix fois plus faible que celle de A.

A la limite, si AB % 1, AR, peu diffrent de 1/B,

est indpen dant des lments actifs de la chane

directe. Les dispositifs utilisant des am plificateurs

oprationnels correspondent

ce type de fonc-

tionnemen t.

2.2. LARGISSEMENT

DE LA BANDE PASSANTE

tud ions le systme boucl en rgime sinusodal

permanent, en supposant que la chane directe

possde des lments ractifs. Dans ces condi-

tions, le transfert direct 4 est complexe et nous

supposerons quil scrit

. C o

1 -

J

C oB

X

1

A = A , x

avec CL)^ (pulsation de coupure haute) $-wB

(pulsation de co upure basse).

2.2.1. Ct hautes frquences

Po ur les pulsations suprieures

mH,

(CO

>

CO^

>>

wB),

le transfert de la chane directe devient peu

diffrent de

A 0

l + j -

CoH

A =

Co

La fonction de transfert du systme boucl scrit

alors

1

Co

+

x

-

1 + j

+

AoB

La pulsation de cou pu re ct hautes frquences

Le diagramme de Bode des transferts avec et

sans contre-raction est donn

a

la figure 2.

Remarquons que

c ~ H R

est la pulsation pour

scrit

COHR

= wH(l

+

AoB).

A0

1 + A o B

aquelle lhorizontale dordonne 20 lg

coupe la droite de pente

-

0 dB/dcade. En

effet, soit co; cette pulsation, on peut crire

2.2.2 . Ct basses frquences

Po ur des pulsations infrieures wB,(O mB

6

CO^),

le transfert de la chane directe devient peu

diffrent de

. C o

1 -

Le transfert du systme boucl scrit alors

. C o

1-

J

A COR

J

AR=-- A COB

Co Co

A0

-

1 + A B

1 + BAo j

oB CoB

AR=--

-

Co Co

A0

-

1 + A B

1 + BAo j

oB CoB

Co

j 1

+

AoB)

WB

X

La pulsation de cou pure, ct basses frquences,

U B

1

+ A,B

crit

c ~ B R

=

Les diagrammes de Bode des transferts avec et

sans contre-raction sont donns

a

la figure 2.


11/258

contre -

ract ion

Fig.

2

On dmontrerait, comme prcdemment, que

coBR

est la pulsation pour laquelle lhorizon-

coupe la droite de penteale 20 lg

+

20

dB/dcade.

A0

1 + AoB

Le taux de distorsion harmonique du signal de

sortie scrit alors

Appliquons une contre-raction

la chane

directe et augm entons le signal de com mande de

faon obtenir en sortie la mme valeur du

fondamental

: AX,

os

cot.

Les lments actifs se trouve nt alors sensiblement

da ns les mm es conditions de fonctionnemen t, et

le terme de pulsation

2co

gnr par la non-

linarit conserve sa valeur

X,

os 2cot.

Le thorme de superposition tant applicable

avec une bonne approximation, le schma

quivalent pour lharmonique

2

est donn

figure

4.

A

B X ;

B

2.3.

DIMINUTION

D U TAUX DE DISTORSION

HARMONIQUE

Fig. 4

Rappelons que les lments actifs ne so nt linaires

que dans la mesure o la portion de caract-

ristique dcrite par le point de fonctionnement

est assimilable une droite.

Appliquons

lentre de la chane directe un

signal sinusodal x E

= X,

os cot.

Si le signal de sortie est important, la non-

linarit des lments actifs conduit un signal

de sortie non sinusodal.

Nous supposerons que la non-linarit est

suffisamment faible pour que

:

O

le thorme de superposition soit applicable

avec une bonne approximation;

O la seule perturbation apporte au signal de

sortie consiste en laddition dun harm oniqu e de

pulsation

2co.

La chane directe peut alors tre dcrite par le

schma d e la figure

3,

sur lequel, le signal de sortie

scrit :

xS= AX, OS ~t + X 2 OS 2 ~ t .

x2

os

2

ot

A

E

Fig. 3

Soit

Xi

amplitude de lharm onique

2

en sortie

du systme boucl. Les relations dcrites par le

schma conduisent

X, X2 - ABX,

soit

Xi(1+ AB) X2.

Le taux de distorsion harmonique du signal de

sortie du systme boucl scrit

:

zl

p l = -

x2

- x2 -

AX,

AX,(l +

AB)

-

m*

Si 1

+

AB

=

10, e taux de distorsion harmo-

nique est divis pa r 10.

3.

ANALYSE

DUNE

CONTRE-REACTION

La principale difficult de cette analyse consiste

identifier

:

O la chane directe avec sa rsistance dentre et

son gnrateur de Thvenin quivalent en sortie

11

O g .

5 ) ;


12/258

svstme.

boucles

I

i

na re

E

Fig.

5

O la chane de retour.

Le transfert direct A devra tenir compte de la

charge apporte par lentre du rseau de

raction.

Le transfert de raction B devra tenir compte de

la charge apporte par la rsistance du gnrateur

et par la rsistance dentre de lamplificateur.

Dans ces conditions la chane directe pourra

tre diffrente de lamplificateur sur lequel est

applique la contre-raction. Nous serons amens

y intgrer des lments comme la rsistance du

gnrateur de commande ou comme la rsistance

de sortie du rseau de raction.

3.1. EN E N T R E

DE LAM PLI

FI

CATEU

R

Soient

R,

la rsistance du gnrateur de

commande,

rsr

la rsistance de sortie du rseau de

raction,

re la rsistance dentre de lampli-

ficateur.

O

Si la grandeur de raction est une tension, la

sortie du rseau de raction et le gnrateur

seront dcrits par leur schma de Thvenin, ce

qui conduit au schma quivalent de la figure

6.

I

D I

Fig. 6

Nous dfinirons la rsistance dentre

R e

de la

chane directe par R e = R, + re + rsr .

O Si la grandeur de raction est un courant, la

sortie du rseau de raction et le gnrateur

seront dcrits par leur schma de Norton, ce

qui conduit au schma quivalent de la figure 7.

Fig. 7

Nous dfinirons la rsistance dentre

R e

de la

chane directe par la mise en parallle de

R,,

rsr

et T e .

3.2. EN SORTIE

DE LA M PLI

FI

CATEUR

Soient r , la rsistance de sortie de lampli-

Ter la rsistance dentre du rseau de

R, la rsistance de charge.

ficateur,

raction,

O Si la grandeur dtecte en sortie est le courant,

la rsistance dentre du rseau de raction est en

srie avec la sortie ce qui conduit au schma

quivalent de la figure 8.

Fig.

8

Nous dfinirons la rsistance de sortie de la

chane directe par

R,

= rs + T e r .

O

Si la grandeur dtecte en sortie est la tension,

la rsistance dentre du rseau de raction est en

parallle sur la sortie, ce qui conduit au schma

quivalent de la figure

9.

1

I

1 I 1

Fig.

9

Nous dfinirons la rsistance de sortie R , de la

chane directe par la mise en parallle de rs et

de rer .

La synthse des figures 6,

7, 8,

9 conduit au

schma quivalent gnral du systme boucl

( f i g . 10).


13/258

cont re - rac t ion

I

/

I

CHAINE

I

DIRECTE

Fig. 10

Si la grandeur ramene en entre est une tension

on utilisera le schma 1.

Si la grandeur ramene en entre est un courant

on utilisera le schma 2.

Si la grandeur dtecte en sortie est la tension,

xs

=

us.

Si la grandeur dtecte en sortie est le courant,

xs

= 1s.

3.3. M T H O D E

D'ANALYSE

D'UN E CONT RE-RACT ION

L'observation des figures 1 et

10

conduit la

mthode d'analyse suivante :

Identifier la topologie du systme

O La grandeur dtecte en sortie

tension

ou

un courant?

O La grandeur ramene en entre

tension ou un courant?

Dcrire le gnrateur de commande

O par un schma de Thvenin si

ramene en entre est une tension;

O

par un schma de Norton

si

ramene en entre est un courant.

est-elle une

est-elle une

la grandeur

la grandeur

Identijier

x , ,

x E ,x R et

xS

O

xs est la grandeur de sortie dtermine

prcdemment

;

O x, x E et x R sont dtermines en crivant sur

le schma complet la relation

x E

= x, -

R .

X S

X E

Calculer sur le schma complet A

=-

et

X R

g=--

X S

On dispose alors du schma bloc complet.

Identwier la rsistance d'entre Re de la chane

directe

O Dans le cas

o

la grandeur ramene est une

tension,

R e

est la rsistance soumise la

tension uE = II,

Bx,.

O

Dans le cas

o

la grandeur ramene est un

courant, R e est la rsistance parcourue par le

courant i, = i,

-

Bx,.

Identifier

R ,

C'est la rsistance vue entre les points de sortie

lorsque la charge

R,

est dconnecte et lorsque

Z)E

= 0.

REMARQUE

Dans certains cas, il peut tre intressant de

remplacer au pralable le rseau de raction par un

schma quivalent qui isole son entre

et

sa sortie.

Considrons, par exe mp le, la contre-raction dcrite

par le schma de la figur e

Il.

re

Amplificateur

Rseau

I

I

raction

I

Fig. 11

A

partir des quations :

(

U S

-

U R

=

R,i,

il vient

:

RC


14/258

svtmes.

boucles

l inai res

4.1.

TUDE Q U A L IT A T IV E

La rsistance dentre du systme boucl est la

rsistance vue par le gnrateur de commande.

0 Si le signal ramen en entre est une tension

qui soppose

la tension du gnrateur, il

diminue le courant fourni par le gnrateur et

augmente la rsistance dentre.

0 Si le signal ramen en entre est un courant

qui soppose au couran t dlivr par le gnrateur

iE =

i

-

R

soit

ic

=

iE

+

iR),

il augmente le

courant dlivr par le gnrateur et diminue la

rsistance dentre.

En reportant ce schma sur la figure 11, nous

obtenons le schma de la figu re 13.

II

sagit dune contre-raction tension-tension. En

identifiant les figu res 10 et 13 , il vient :

rsistance dentre de la

e =

re +

R, +

Rl R2

R 1

+

R 2

chane directe;

t ransmittance de la chane de retour;

=-

R2

RI +R2

R, =

(

R 2 )

rsistance de sortie de la chane

rs -k

Ri

+

R ,

directe;

directe.

R .

4.2.

CONTRE-RACTI ON

T E N S IO N - T E N S IO N

Le schma correspondant

ce type de contre-

raction

( f i g .

14) provient du schma gnral de

la figure 10, sur lequel lentre correspond au

schma

1

avec xs = u s .

i ,

Fig.

1 4


15/258

cont re- ract ion

Le transfert de la chane directe est le gain en

.

Le gn-

ension A

=

A,

=

- = A,

~

U S RC

U E

Rs + Rc

rateur d e contre-raction maintient i es bornes

la tension Bu, = BAVE

=

BAReiE.

Cette tension tant proportionnelle au courant

i,

qu i le traverse,

on

peut remplacer le gnrateur

de tension

Bu,

par la rsistance

ABR,.

La rsistance d'entre de l'amplificateur avec

contre-raction est donc

Re, =

R,(1

+

A B ) .

4.3. CONTRE-

R

ACTION

COURANT-TENSION

Le schma correspondant ce type de contre-

raction (fig. 15) provient du schma gnral de

la figure

10,

sur lequel

schma 1 avec x = i,.

Fig.

l 'entre correspond au

15

Le transfert de la chane directe est la trans-

conductance

Le gnrateur de contre-raction m aintient ses

bornes la tension Bi, = BAu, = BAR,iE.

Cette tension tant porportionnelle au courant

i, qu i le traverse, on peut rem placer le gnrateur

de tension Bi, par la rsistance ABR,.


contre-raction est donc

Re,

=

R , ( l +

A B ) .

4.4. CONTRE-

R

ACTION

TENSION-COU RA NT

Le schma correspondant

ce type de contre-

raction (f ig. 16) provient du schma gnral de

la figure 10, sur lequel l 'entre correspond au

schma 2 avec x,

=

u s .

Fig. 16.

Le transfert de la chane directe est la transrsis-

U S RC

= A,Re ____

1E

Rc + R,'

tance A

=

RM

=

Le gnrateur de contre-raction im pose dans sa

branche le courant Bu, = BAiE = E .

Ce coura nt tant proportionnel la tension u E

ses bornes, on peut remplacer le gnrateur Bu,

BA

Re

R

AB

par la rsistance2.


contre-ra ction rsulte de la mise en parallle des

rsistances

Re

et2 oit

AB

R , ~ I A B

=

Re + R,/AB

Re

Re,

=

1 + A B

4 . 5 .

CONTR

E-RACTION

COURANT-COURANT

Le schma correspondant ce type de contre-

raction ( f i g .

17)

provient d u schma gnral de

la figure 10, sur lequel l 'entre correspond au

schma

2

avec

x,

=

i,.

R

Fig. 17.

Le transfert de la chane directe est le gain en

courant

i A,Re

iE Rc -k R,'

A = A - ? = -

z -

Le gnrateur de contre-raction im pose dan s sa

branche le courant Bi, =

BAiE

= E .

A

Re


16/258

svstmes.

boucles

I

i naires

Ce courant tant proportionnel la tension

v E

ses bornes, on peut remplacer le gnrateur de

R

courant Bis par la rsistance >.

A B

La rsistance dentre de lamplificateur avec

contre-raction rsulte de la mise en parallle des

rsistances R e et2 oit

A B

Re

R e , =

1 + A B

5.

RSISTANCE DE SORTIE

5.1.

TUDE QUALITATIVE

La rsistance de sortie est la rsistance du

gnrateur de Thvenin quivalent au systme

boucl pour lalimentation de la charge

R, .

On

la calcule en dconnectant la charge

R ,

et en

remplaant le gnrateur de commande

e ,

ou

i,

par sa rsistance interne.

O

Si le signal dtect en sortie est la tension, la

tension de sortie est stabilise et dpend moins

des variations de la charge

:

la rsistance de sortie

diminue.

O

Si le signal dtect en sortie est le courant, le

courant de sortie est stabilis : la rsistance de

sortie augmente.

5.2.

CO

NTR

E- R

ACTI O N

TENSION-TENSION

Le schma sur lequel est effectu le calcul de la

rsistance de sortie

( f i g . 18)

est obtenu partir

du schma de la figure 14 en remplaant le

gnrateur de commande e , par un court-circuit.

La rsistance de sortie est obtenue par

RS

R s r = 1 + A , B *

oit

En remarquant que

A ,

est la limite du transfert

lorsque la rsis-

tabilisA

=

A ,

=

A ,

x

tance R, tend vers linfini, il vient :

RC

Rs

+

R c

RS

avec A ,

=

lim A .

R sr

= 1 + A , B

R c +

m

5.3.

CONTRE R A C T I O N

TENSION-COU RA NT

Le schma correspondant au calcul de la

rsistance de sortie

( f i g .

19) est obtenu partir

du schma de la figure

16

en remplaant le

gnrateur de commande

i,

par un circuit ouvert.

i,

h g . 19.

La rsistance de sortie est obtenue par

V

x

Rs

r

i

us

-

A , v ,

RS

Rsr =

1 +

A , R , B *

oit

En remarquant que A , R e est la limite du transfert

stabilis

lorsque la rsistance

R ,

tend vers linfini, il vient

:

RS

avec A , = lim

A .

R s r = ~

+ A , B

Rc-0 3ig.

18.


17/258

contre-raction

~~ ~~

5.4.

CONTRE-

R ACTION

COURANT-TENSION


rsistance de sortie

(f ig.

20) est obtenu partir

du schma de la figure

15

en remplaant le

gnrateur de commande e , par un court-circuit.

l

I I

Fig.

20.

A

partir de lquation

v,

= R,i + Aov,

=

R,i - A,& = R,i + AoBi,

on dtermine la rsistance de sortie

A0

R,

A0

R, + R,

R,, R,[1+

A , ,B ] ,

avec

A, , =

lim A .

En remarquant que est la limite du transfert

lorsque

R,

tend verstabilis

A

=

G,

=

zro, il vient

:

Rc-O

5.5.

CONTRE-

R ACTION

COU RANT-COURANT


rsistance de sortie (fig. 21) est obtenu

partir

du schma de la figure 17, en remplaant le

gnrateur de commande

i ,

par un circuit ouvert.

4

1 - I

1

Fig.

21.

A partir de lquation

v, =

R,i + Aov,

=

R,i

-

AoBRei,

=

R,i + AoBRei,

on dtermine la rsistance de sortie

est la limite du transfert

n remarquant que

ARe

R,

,

orsque

R,

tend verstabilis

A = A

-

I - R, + R,

&Re

zro, il vient

:

R,,= Rs[

A, ,B] , avec

A,, =

lim

A .

Rc-O

REMARQUE

Les rsultats concernant la rsistance de sortie ont

t tablis en supposant que le transfert

B

de la chane

de raction est indpendant de la rsistance de

charge. Si tel nest pas le cas , le calcul de la rsistance

de sortie doit tre effectu directement

sur

le schma

complet.

6.

EXEMPLES

D E CONTRE-RACTION

6.1.ONTRE-RACTION

TENSION-TENSION

Soit le dispositif de la figure 22 dont le schma

quivalent pour les petits signaux est donn

la

figure 23.

+E

C

Fig. 22.

D

Fig. 23.

La grandeur dtecte en sortie est la tension

:

xs =

us.

Lquation e , = v g s + us permet didentifier les

signaux du schma bloc

:

XE = vgS,

X R = us.

17


18/258

systmes.

bouc les l inaires

Sur la figure 23 on dtermine

Le schma bloc correspondant est donn

la

figure 24.

Fig.

24.

La rsistance d'entre de la chane directe, qui

est la rsistance soumise

la tension

ugs,

est

infinie.

La rsistance de sortie de la chane directe, qui

est la rsistance vue entre les points de sortie

lorsque la charge R c est dconnecte et lorsque

N ou s en dduisons les rsultats suivants pour le

systme boucl :

x E

=

v S s

=

O est

R , = R .

Amplification en tension

RRC

Rsistance d'entre Re ,

=

R , [ 1 + A B ] : elle est

infinie.

R

R s

-

Rsistance de sortie

R,, =

l + A , B l + g m R

car A ,

=

lim

A = g,R.

R c + to

Ces rsultats peuve nt tre vrifis simplement p ar

une tude directe de la figure 23.

6.2.

CONTRE-RACTION

COURANT-TENSION

Soit le dispositif de la figure 25 dont le schma

quivalent pou r les petits signaux est don n la

figure 26.

t +

vs

I

1

Fig. 25.

Fig. 26.

La grandeur dtecte en sortie est le courant

i,.

L'quation

ec =

v E +

uR

permet d'identifier les

signaux du schma bloc

=

u E , X R

=

U R .

Sur la figure 26, en ngligeant 1 devant h, 1 , on

dtermine

U R

1s

Es

t

B = - = - R


la

figure 27.

t

1

I I I

Fig.

27.

La rsistance d'entre de la chane directe, qui

est la rsistance soumise

la tension

v E

est

La rsistance de sortie de la chane directe, qui


lorsque uE

=

O est infinie car la condition

uE =

O

impose

i, = O

et le gnrateur

h,, i,

est un circuit

ouvert.

N ou s en dduisons les rsultats suivants pou r le

systme boucl :

Transconductance

:

R e = R g + h11.

h2 1

18


19/258

contre- ac t ion

Comme vs = R,i,, lamplification en tension

scrit

Rsistance dentre :

Re, = Re(l

+

AB)

=

R,

+

hl l

+

hL1RE;

Rsistance de sortie :

R,,

=

R,(1

+

BA,,).

Elle

est infinie.

6.3. CONTRE-RACT ION

TENSION-COURANT

Soit le schma de la figure 28, sur lequel

lamplificateur oprationnel

une rsistance

dentre infinie, une rsistance de sortie nulle et

une amplification en tension

A,.

Le schma

quivalent du montage est donn la figure 29.

Fig.

28.

Fig.

29.

La grandeur dtecte en sortie est la tension

:

xs = u s .

A partir de lquation

i,

= iE

+ i,,

on dtermine

les grandeurs du schma bloc

X E =

i E ,

XR

= i,.

Sur la figure 29, on dtermine

A = . =

S

- A

R

B-R-UE-VS -

O 1

1E

1 - 1 + A o

1

~ _ _

___-

U S vs R2 A0 R2


la

figure 30.

Fig. 30.

L a rsistance dentre d e la chane directe qui est

la rsistance parcourue par le courant i, est

Re = R l .

La rsistance de sortie de la chane directe qui


lorsque V , =

O

est nulle car le gnrateur de

tension AOVEest alors un court-circuit.

N ou s en dduisons les rsultats suivants pour le

systme boucl :

Transrsistance:

C o m m e

e,

=

Rlic

lamplification en tension

scrit

:

R2

Rl

Si A, devient infini,

A, , = - ,

qui est bien

lamplification en tension du mo ntage inverseur.

Rsistance dentre :

Re

- RlR2

Re, =

1+ BA

-

R2

+

R l ( l

+

A,)

Si A, devient infini, cette rsistance devient nulle,

ce qui semble incompatible avec la rsistance

dentre du m ontag e inverseur qui est gale

R ,

.

Il nen est rien. En effet, la tension dentre V , d u

systme boucl est distincte de la tension dentre

e, du montage inverseur. On peut crire

e,

X -

l R2

vE

=

Re,i, =

R2 + R lU + A , ) Rl

ec

( f ige

29)

R2

-

R2

+

Rl(1 + A,)

ec

[

l

R2

+

R l ( l2 +A,)

1

oit i = - 1 -

( 1 + A,)

R2

+

R l ( l +

A , ) *

e,


20/258

systmes. boucles

l inaires

Ce qui correspond a la rsistance d'entre

ec - R2

+

R l ( 1

+ A , )

1 (1 +

A , )

*

-

Si

A ,

devie nt infini, cette rsistance tend bien vers

R l .

= o.

S

Rsr = 1 + BA,


6.4. CONTRE-RACTION

COURANT-COURANT

Soit le schma de la figure

31

dont le schma

quivalent po ur les petits signaux est don n la

figure

32.

'O -t

Fig. 31.

Fig. 32.

La grandeur dtecte en sortie est le courant :

xs

= 1s.

A partir de l 'quation ic = (h21 + l ) i b l+ ib2,o n

dtermine les grandeurs du schma bloc

XE = i, = h21

+

l ) ibl ,

X R

=

ib2.

(Ce n'est pas la seule hypothse possible.)

Sur la figure 32 on dtermine :

partir de l 'quation

hl l b l = Chil + (h/21 +

l)R1b2

il vient

:

Le schma bloc correspondant au systme boucl

est donn la figure 33.

4 1

h l l

i, i,

A = A l =--.

1 +h21h',l+(h;l+ l ) R

Fig. 33.

La rsistance d'entre, qui est la rsistance

parcourue par le courant iE

=

(1 + hll) ib1 est

gale

La rsistance de sortie, qui est la rsistance vue

entre les points de sortie lorsque

v E =

O, est infinie

car, le courant i,, tant nul, le gnrateur de

courant h i 1 ib2est un circuit ouvert.

Nous en ddu isons les rsultats suivants pou r le

systme boucl :

Amplification en courant

:

h l l h i l

(1 +

h21 ;l

+ ( h i , +

w 1 +

hll

- _

Si les deux transistors T

et

T' sont identiques

( f i g .

31) et si

R

= O, on retrouve le schma d'un

((miroir de courant

))

et il vient

:

Rsistance d'entre

:

R e

-

h l

1

Re,=- ~

1 +

A B - 1

+ h,,


est infinie.

R,, = R s ( l + BAcc)

:

elle

20


21/258

contre-

ract ion

EXERCICES

1.

Amplificateur raction ngative

On considre l'amplificateur reprsent la figure

1

o l'on

a distingu l'amplificateur et le rseau de raction. Le

gnrateur d'attaque est un gnrateur sinusodal de

frquence variable.

11

-

-

- - - - -

-

-

- -

-

O

I

HI,

@m

HO

On donne H =

-

(1 + j i y '

-,

100

< Ho

1, les racines P , et

p2

ont relles. Elles

sont positives si m est nGatifet ngatives si m est

positif:

0

Si Iml

O soit

C

< 18,8

N

19.

Le systme est donc stable en boucle ferme si

R

lamplification A

=

2 st infrieure

19.

R l

No tons, dores et dja, les conditions con tradic-

toires suivantes

:

- La stabilit du systme boucl impose une

valeur de

A

infrieure

19.

- Les perturbations ont dautant moins din-

fluence qu e A est plus grand.

Le critre de Routh donne lieu

des calculs

compliqus et supp ose connue lexpression math -

matique de T(P).Cependant, avec le dvelop-

pem ent des &.okns inform atiques, il est possible

dtablir un prog ramm e succeptible de rsoudre

le problme.

2.2.

I E U DES R A C I N E S

La transmittance en boucle ouverte scrivant

H ( P )

b(0)

ous la forme gnrale

T(P)

=

C-

les zros

-

de 1

+

T ( P )

sont les racines d e quation

--( P )

+

c H ( P )

-

=

O.

Chaque racine, qui dpend

de la valeur d e C, possde un point reprsentatif

dans le plan complexe. Lorsque C varie de zro

linfini, les points images des racines se

dplacent et dcrivent une courbe appele Lieu

des racines )).

/l

L

Soit par exemple T ( P )=

* les racines

P ( P + a)

-

--

de lquation

G ( P )

+

CH(P)

-

=

-

2

+

a P

+

C

=

O

sont

-

c=o

-a

a

2

--

/O

m I

Fig.

2

P o u r C = O, les racines sont respectivement

Pl

=

O

et

z2

=

-

.

Puis, lorsque

C

augmente, elles viennent se

-

a

a L

2

4

onfondre en

_pi

=

_pZ

= - -, pour C = -.

Elles sont ensuite complexes conjugues

:

leur

partie imaginaire crot avec C, alors que leur


40/258

systmes. bouc les I ina i

es

a

2

artie relle reste constante et gale

- .

Le

lieu des racines est donn

la figure 2.

Dans le cas gnral, la dtermination des racines

(et a

fortiori

celle de leurs variations) semble

relativement complexe dans la mesure

o

lordre

du polynme

b(E)

+

C H ( P )

peut tre lev

(ordre 4 pour lasservissement de vitesse trait

prcdemment). La mthode dEvans, que nous

ne dvelopperons pas ici, permet de dterminer

les lments caractristiques du lieu des racines.

Le problme peut tre trait numriquement au

moyen de lordinateur : il existe en effet des

programmes utilitaires capables de rsoudre des

quations de degr lev. Lappel

un de ces

programmes permet de dterminer les racines de

lquation

G ( P )

+

C H ( P )

=

O

et dobtenir num-

riquement

trac exact du lieu des racines.

La stabilit du systme boucl, imposant

que la partie relle des racines de lquation

--

( P )

+

C H ( P )=

O soit strictement ngative,

interdit au lieu des racines de pntrer dans la

partie du plan complexe situe droite de laxe

imaginaire (nous pouvons en particulier en

conclure que le systme dont la transmittance en

0

L

boucle ouverte est

T(P)=

et dont le

P ( P

+

a)

lieu des racines est donn

lafig


41/258

stabi l i t des systmes boucls l inaires

T

La valeur limite de C est donne par :

Fig.

La stabilit impose donc une valeur limite de

A = gale 18,8ce qui correspond au rsultat

obtenu par le critre de Routh.

R2

R I

2.3.

CRITRE D E NYQUIST

Soit

- -

( P ) a transmittance en boucle ouverte.

A

chaque valeur de la variable complexe

P

correspond une valeur de T(P), t un point image

de

T ( P )

dans le plan complexe. Si la variable

P

varE, point image de

--( P )

e dplace et dcrit

une courbe.

Plan de p

+ O o t Im

On montre mathmatiquement que :

a )

Lorsque le point image de

P

se dplace sur

laxe imaginaire de

-

O +-CO en excluant

lorigine par un demi-cercle infinitsimal plac

du ct des rels positifs ( f i g .

5 ) ,

le point

reprsentatif de T ( P )dcrit une courbe ferme

appele

d i a g r a m z

de

Nyquis t

( f i g . 6) .

b)

Toutes les racines de

1 + T ( P )

= O ont une

partie relle strictement ngative (systm e stable),

si le diagram me de Nyq uist nentoure pas le point

-

1.

2.3.1. Consquences

a )

Le point image de - dcrivant laxe imagi-

naire, on peut crire P = co avec

-

O

-

1. Afin de dter-

miner la valeur algbrique

O R ,

calculons la partie

relle de TCjco) la pulsation coC pour laquelle sa

partie imaginaire est nulle.

C(a-

co)(b

-

co)

jco(a2+ u 2 ) ( b 2+ cu2 )

T o m ) =

-

- C(a +

b )

(a2

+ co2)(b2+ 02

C ( a b - 2 )

jco(a2

+

u2)(b2

+

m 2 )

soit

R,[T(jco)]

=

-

et I , [ ~ ( ~ c o ) ]

Le systme boucl est donc stable pour

C < ab(a + b )

Afin dviter linconvnient que prsente la

non-dfinition de

T ( P )

orsque

P

tend vers zro,

on remplace parfoisle critre dNyquist par le

critre de revers.

Critre

du

revers

:

Le

systme est stable en boade ferme s i

le

dingramme

de

Nyquist de la transmittance

-a o )

en boucle ouverte laisse lepoint -

sur

sa gauche lorsque la pulsation

O

varie de

O +

d

iinfini.

Le critre peut tre vrifi sur les trois exemples

prcdents.

2.3.2. xemple dapplication

Reprenons lasservissement de vitesse de la figure 4

du chapitre

3

pour lequel la transmittance en

boucle ouverte scrit

T ( P ) =

avec H o = 1, CO = 91,4 rad/s, m = 1,82;

co0 = 628 rad/s,

m ,

= 1.

Le trac,

laide de lordinateur, du diagramme

de Nyquist de

_ T o =

est donn

la figure 12. Ce diagramme coupe

laxe rel au point dabscisse =

-

,053. Le

systme en boucle ferme est donc stable si

A . OR > - 1, soit

A

< 18,9. Ce rsultat cor-

respond aux valeurs dtermines partir du

critre de Routh et

partir du lieu des racines.

Fig.

12

2.4. IA GRA MMES DE BODE

Soit un systme boucl dont la transmittance en

boucle ouverte est

T ( P ) .

Considrons le dia-

gramme de Nyquist de

T(jco)

en rgime har-

monique. Soit

CO,

la pulsation pour laquelle

arg

Tcjo)

=

n,

nous pouvons conclure

la

stabilit du systme si le module de T u a ) est

infrieur

i

la pulsation Co,, soit I T ( ~ L , ) ~i .

Nous sommes ainsi conduits

reprsenter

arg [Z(~CO)]t IZ(ico)l en fonction de la pul-

sation

CO.

Les diagrammes de Bode (voir tome 1)

permettent dobtenir rapidement un trac sim-


45/258

s tab i l it d es sys tmes

boucls

l inai res

Fig.

13.

plifi des courbes correspondantes. Ils sont

obtenus en reprsentant

20

lg 1

T(jco)l

t arg T(jco)

en fonction de la pulsation @ re p re en chelle

logarithmique. La valeur de 20 lg IT(jco)lest la

mesure de IT(jco>len dcibels.

Ces diagrammes, dont lallure est donne

la

figure

13,

peuvent, en premire approximation,

tre assimils leurs asymptotes.

Ltude de la stabilit seffectue de la manire

suivante.

a) Reprer la pulsation

ac

po ur laquelle

a rg [T(ja)] - 180.

b ) Dterminer sur le diagramme du module

O

si

20

lg

IT(jcoc)l> O,

soit

IT(jcoc)l > 1

le

O

si

20

lg IT(jco,)l < O, soit IT(jco,)l o.

Ltude peut tre ralise

:

- thoriquement,

par tir d e lexpression m ath-

matique de

-( ~ c o )

O

de faon approximative en assimilant les

courbes aux asymptotes quite

raliser

une correction en estimant la position des

courbes ;

O de faon exacte, en traa nt pa r ord inateu r

-

pratiquement, partir du relev exprimental

des diagramm es de Bode.

les courbes

20

lg /TI t arg

-;

Exemple dapplication

Considrons nouveau lasservissement de

vitesse de la figure

4

du chapi t re

3,

dont l a

transmittance en boucle ouverte scrit

A H ,

P

a m a m

T (P )=

- -

(1 + 2m =


46/258

systmes. boucles l inaires

Fig.

14 20,5

U R

U B I

- relever I_T,('jco)l = t arg [ _TO( ' j co ) ]

=

cp et

tracer les diagrammes de Bode.

O

En assimilant les diagrammes de Bode

aux asymptotes, on relve pour la pulsation

coc = 220 rad/s,

20 1g

I_To('jcc>c)l

=

-

18,8 db .

arg

[_T,('jco,)]

=

-

180".

La condition de stabilit impose

20 lg A + 20 lg ITo(icoc)l

O

le systme est stable,

pour M , < O le systme est instable.

Diagramme de Bode

La marge de phase M , ( f i g . 20) apparat sur

la

verticale du point correspondant

la pulsation

CO, our laquelle 20 lg 1-I = O db.

Odb

Fig.

20.


50/258

systmes. boucles

l inaires

Exemples d'application

Exemple

1 :

sservissement de vitesse

Reprenons l'asservissement de vitesse dont la

transmittance en boucle ouverte est :

T ( P)=

avec

H o =

1,

rn =

1,82,

O, =

91'4 rad/s,

rn, =

1,

co0

=

628 rad/s,

et dterminons la valeur de l'amplification

A

conduisant une marge de phase de 45". la

pulsation O, pour laquelle

Iz(jo,)I=

1, l'argu-

ment doit tre tel que

180"+

a rg

-(~o,)

45"

soit, arg

Z(jo,) = - 135".

O

Sur le diagramme de Bode de la figure 14,

on relve pour la pulsation

O

= 160 rad/s,

arg

Sachant que p our cette pulsation on doit avoir

il vient 20 lg A

=

16,5 db, soit

A

= 6,7.

=

arg _T,(jo) - 135" et

20 lg lTo(j0)1

=

- 16,5 db.

20 lg 1-I

=

20 lg A + 20 lg lzol O db,

Exemple

2 :

mplijkateur

Considrons l'amplificateur

( f i g .

21) de trans-

mit tance

O Sur le diagramme de Nyquist de la figure 12,

on trace la demi droite correspondant

a rg

_T0(jco)

=

-

135"

qui coupe le diagramme de

Nyquist au point M pour lequel on relve

1 To(jo)I= 0,146. Sachant, qu'en ce point, on

souhaite avoir A 1 To(jo)l

=

1, il vient

A

= 6,85.

20 k l lA l

O"

- 4 0 "

-

45

- 80

-

120"

- 135

- 160"

f (MHz)

sur lequel on ralise une co ntre-raction l'aide

d'un rseau de transmittance relle positive

- =

K .

33

K

Fig.

21.

O n d o n ne A ,

=

103,

f i =

1

MHz,

f2

= 10 MHz,

f 3 =

50

M H z

et on se propo se de dterminer les

valeurs de K conduisant une marge de phase

suprieure 45".

Sur la figure 22 sont reports les diagrammes

asymptotiques (module et argument) de la

transmittance

A .

On rappelle qu'entre les

(

frquences

-

o et lofo, la courbe d'argument de

10

Fig. 22

0,l 0;2 1

2

5

8 1 0 20 50


51/258


52/258


53/258

stabilit des systmes boucls linaires

I

_ _ _ _ _ _ _ - -

- - - -

+*

6 v

I

Fig.

2

frottements mc aniques t ant ngliges, exprimer la relation

entre

SZ

(et sa drive) et U .

a) En dduire la transmittance oprationnelle de l 'ensemble

(amplificateur

+

moteur) :

Q ( P )

W p ) -

T( P )=-

p

dsigne la variable de Laplace

_ _

confondue avec

j w

en rgime sinusodal.

b ) Montrer que l 'on peut mettre T(P) ous la forme :

a

T ( P )=

1 + ZP '

_

_

Expliciter

a

et

i5.

3

a )

Donner le schma fonctionnel (schma blocs) de

l'ensemble et montrer que la transmittance de la chane

directe (systme en boucle ouverte), est

Q ,(P)

ak

3

8,


54/258

Soit le systme boucl de la figure

1.

Fig.

1.

Rappelons que lon souhaite que la grandeur de

sortie

xs

soit une image fidle et prcise de la

grandeur de commande xc.Da ns le cas gnral,

les grandeurs

xs

et xc, ntant pas de mme

nature, ne peuvent pas tre compares.

Afin de chiffrer la prcision, on compare la

grandeur de commande xc a la grandeur de

retour

xR,

mage de la sortie, et de mme n atu re

que xc. erreur est don c dfinie da ns un premier

temps par

xc -

xR

= X E .

Nous avons vu que, tout de suite aprs Iappli-

cation dun signal de commande, les grandeurs

x R ,

xs

et xE ont app aratre un rgime transitoire

qui sannule d an s le temps si le systme est stable.

La prcision d u systme tant mesure en rgime

permanent, lerreur G est dfinie par

E = lim x E ( t ) .

A partir de la figure 1 il vient :

t C o

soit

o

T ( P ) est la transmittance en boucle ouverte.

54

- -

Par application du thorme de la valeur finale

il vient :

P X C ( 0 )

G =

lim x E ( t )= lim

-

t - C o

p - 0

1

+

_ -

( P )

Lerreur

G

dpend donc de :

a) la limite de T ( P ) orsque P tend vers zro.

Lerreur est dautant plus faible que cette limite

est plus grande. Sac han t que T ( P ) e met sous la

forme gnrale

- -

C 1

+

b,P + ...

+ b,om

Pa 1

+

a , P

+

...

+

a n P n

( P ) = -

- -

- -

lorsque P tend v ers zro, T( P) rot dautant plus

rapidement que les constantes

C

et a sont plus

grandes. O r cette cond ition est incompatible avec

une bonne stabilit du systme, en effet

:

0 lorsque

C

augmente, le diagramme de

Nyquist senfle et risque denglober le

point -

1;

0 lorsque a est suprieur 2, le diagramme

de Nyquist tourne, linfini, dun angle

suprieur

2n

et englobe donc le point

- 1 (sauf dan s des cas trs particuliers qui

excluent

le

point

-

1).

Ceci nous confirme qu e

prcision

et

stabilit

sont

deux exigences contradictoires.

b) la forme du signal de comm ande xc :

Pour une commande par un chelon,

lerreur

8,

note 6 , est appele

erreur

statique

ou

erreur de position.

Pour une commande par une rampe,

lerreur G , note

GT

est appele erreur de

trainage.

Pour une commande par une parabole,

lerreur 8 , note

Ga

est appele erreur en

acclration.


55/258

Drcision des svstmes boucls linaires

2.

WITHODES OE CALCUL

-

2.1.

H O R M E

DE LA VALEUR FINALE

p x P l

L'erreur est calcule par

E =

lim --'

0 - 0 1 + - -( P ) '

-

2.2.QUATION

DIFFRENTIELLE

x (Pl

et

A partir de l'quation X E ( P )

=

sachant que

x(P)

'crit

-'

1 +

T(P)'

-

C 1 +

b , P +

... +

b,cm

P 1

+

a ,P

+ ...

+

a,Pn '

( P )

=

-

- -

- -

-

il vient

:

-,(p)[p"(l

+

a1o

+

... +

a , r )

+

C(l

+ b 1 P + ... + b,C )]

=

&(P)[od((l

+

aiC

+

...

+

a,P )1

On crit alors l'quation diffrentielle liant les

grandeurs x E et xc. Sachan t qu e l 'erreur E est la

valeur d e xE en rgime permanent, on calcule la

solution particulire de cette quation diffren-

tielle.

3.

PRCISION

D'UN SYST~~ME

D E

CLASSE ZERO

La transm ittance en boucle ouverte d'un systme

de classe zro s'crit

1

+

b ,P

+

...

+

b,Pm

T ( P )

= c .

+ a , P

+ ...

+ a , r '

-

-

Les grandeurs d'erreur xE et de commande xc

sont lies par l'quation diffrentielle

dXE d2XE

x,( 1

+ C)

+

- a ,

+

b, )+

7a , +

b2C)

+

..

dt dt

dx, d2xc

= x c + - a , + - d t 2 2

+

"'

d t

3.1. RREUR DE POSITION

La grandeur de commande xc(t) est un chelon

d'amplitude X o ( f i g . 2). Sa transforme de

V

* O

P

aplace est

(P)

=

-.

Calcul par le thorme de la valeur jinale

:

x

( P ) XO

6, =

lim

P -'-

= lim

p + o

- 1

+

_ _( P ) P+O

1

+ go)

XO

soit 8,

=

1 + c '

Calcul par l'quation diffrentielle

:

d2xc

xc(t) = xo,oit

dx,

- ... = o.

dt d t2

XE(t) obit donc a l'quation diffrentielle

do nt le second memb re est constant et gal

X o .

La solution particulire, cherche sous la form e

XO

d'une constante, est bien xE= E P

=

1 + c '

Aprs disparition du rgime transitoire ( f i g . 2)'

xR( t )se fixe X o

-

p . L'erreur de position est

d'autant plus faible que

C

est plus grand par

rappor t 1.

3.2.

RREUR DE TRAINAGE

La grandeur de com mande xc(t) est une rampe

xc(t) = X h t ( f i g .

3).

Sa transforme de Laplace

V I

A 0

est &,-(O) -.

P2

-

Calcul pa r le thorme de la valeur jina le

:

3

soit E T +

CO.


56/258

systmes. bouc les l inaires

Fig.

3

I

/

t

Calcul pa r lquation diffrentielle

:

x,(t) =

x;t

d2xC d3xC

=X; e t ~ - ___

XC

dt2 dt3

oit ~

= ... =

o.

dt

x E ( t )obit lquation diffrentielle

xE(i

+ C) +

(a, +

b, C)

- ...

=

Xot

+ a , X ; ,

XE

dt

dont le second membre Xot + a,X;, est une

fonction linaire du temps. La solution parti-

culire est alors cherche sous la forme

dXE

xE(t)= N t + p, soit _ _ _ = a et

dt

d2XE d3X,

=

...

=

o.

dt2 dt3

a et p doivent vrifier, quel que soit t

:

(at +

p)(l

+

C)

+ @(a,+

h,C)

= X ; t

+ a,X;,

soit :

a(1 + C) = x;

p(1

+ C) +

a(a,

+ b,C)

= a,Xb

xo

V=1+c

cx;

(1

+

C)2

(a1

-

J

C

Finalement : 8, =

1 + c

Lorsque t tend vers linfini, cette erreur devient

bien infinie. Ici lquation diffrentielle prsente

lavantage de donner lexpression de 6,.

Aprs disparition du rgime transitoire, xR(t) se

fixe

x ; t cx;

(a1

- ,)

c(t)

- , = x

;

-___ -

1 + c

( l + c ) 2

-

1 + c

La pente de xR(t) st plus faible que celle de xc(t)

mais elle en est dautant plus proche que C est

grand par rapport 1.

4.

PRcisioni

DUN SYSTEME

D E CLASSE

UN

La transmittance en boucle ouverte dun systme

de classe un scrit

C 1

+

b ,P

+ ... + b,c

P

1 +

a , P

+ ...

+

anF

(P)

=

-

--

- -

Les grandeurs derreur

x E

et de commande x,

sont lies par lquation diffrentielle

dx, d2xC

---+a,-

dt dt2

+

...

4.1.

E R R E U R

D E POSITION

La grandeur de commande xc(t)est un chelon

damplitude X o (fig. 4).

XO

Sa transforme de Laplace est -.

P

Calcul par le thorme de la valeur finale

:

Lorsque

-

tend vers zro

T(P)

end vers linfini,

soit :

G,

=

o.

Calcul pa r lquation diffrentielle

:

dx, - d2x,

= ... = O

c(t) = Xo , soit ~

t dt2

-

xE(t)obit

a

lquation diffrentielle

dXE

dt

XE

+

(1

+ b1C) + ..

= 0,

dont le second membre est nul ainsi que la

solution particulire, soit E ,

=

O.

56


57/258

prcis ion des systmes bouc ls l inaires

Classe

O

4.2.

E R R E U R D E T R A I N A G E

La grandeur de commande x c ( t ) est une rampe

:

Sa transforme de Laplace est Xc(FJ =2.

j

x

=

x o t

(f ig. 5).

X

P 2

-

Classe

1

Classe 2

Calcul pa r le thorme de la valeur finale :

1 1

1

I

soit

xo

xo

G --.

C

-

t

Fig. 5

Calcul par lquation diffrentielle :

x&)

= xot,

d2xc d3xC

= ...

=

o.

X o et

~

-

dXC

dt2 dt3

oit

-

-

dt

x E ( t )obit lquation diffrentielle

dont le second membre est constant et gal

X O .

La solution particulire, cherche

sous

la forme

dune constante est x E = -, soit

G, = -.

o xo

C

C

Lerreur de trainage est donc constante et

dautant plus faible que

C

est plus grand. Aprs

disparition du rgime transitoire, la grandeur de

retour

x R ( t )

suit une volution parallle x c ( t )

mais dcale vers le bas de G, = f ig. 5 ) .

o

C

5. T A B L E A U

RCAPITULATIF

La transmittance en boucle ouverte scrivant :

C 1

+

b l P

+ ... + b m o m

T ( P )

=

P

i

+

a , P + ... + a n P n

_ -

- -

Les diffrentes erreurs sont consignes dans le

tableau suivant

1

I

I

I

I

La lecture du tableau prcdent nous confirme

que les erreurs sont dautant plus faibles que

C

et la classe a sont plus leves.

57


58/258

corrections dun

systme

O

boucl

1.

PROBLME

Le but dune correction est de concilier les deux

exigences jusquici contradictoires

:

stabilit et

prcision. Cela semble possible car

:

Si

lon

considre lquation diffrentielle

O la Stabilit dpend du rgime transitoire qui

est dtermin par la solution de lquation sans

second membre;

O

la prcision est dtermine, en rgime perma-

nent, par la solution particulire.

Si lon considre la transforme de Laplace

O

La prcision fait intervenir la limite de la

transmittance en boucle ouverte T (P ) orsque

P

tend vers zro. Elle dpend do nc d u compo;

temen t d u systme vis--vis des faibles pulsation s

en rgime sinusodal permanent.

O

la stabili t dpend du comportement du

systme en boucle ouverte aux pulsations pour

lesquelles le diagramme de Nyquist passe au

voisinage du point -

.

Ainsi donc, que ce soit sur la transforme de

Laplace,

o

sur lquation diffrentielle, la

stabilit et la prcision intervienn ent en des points

diffrents. Il semble donc possible de pouvoir

amliorer lun sans trop dtriorer lautre.

2..

RINCIPE

Considrons le systme dont la transmittance

-( jw) n boucle ouverte est reprsente dans les

diagrammes de Bode de la figure

1.

58

Fig.

1

\

Po ur la pulsation

CO

=

oc,

Arg -( w C )=

-

180

20

lg IT(CO,)l

> o.

Le systme est d on c instable en boucle ferme.

Afin de rendre au systme sa stabilit, on peut

translater vers le bas la courb e de gain 20 lg ITI

en diminuant laide de lamplification, la

sensibilit de la cha ne directe. Cette solution est

inacceptable car elle conduirait

une dcrois-

sance de

[TI

pour les faibles pulsations, cest--

dire une diminution de lim T(P), ce qui

provoquerait une dgradation-de la prcision.

Il faut donc prvoir un dispositif qui impose

une dcroissance de

20

Ig

[TI

au voisinage de la

pulsation

CO,-,

tout en lui conservant sa valeur

pour les trs faibles pulsations. Pour cela, on

place, en cascade dans la chane directe, un

correcteur dont la transmittance est

P+O

-

-

1

H ( P )

=

1 + T E

-

ce qui correspond en rgime harmonique la

1 1

transm ittance complexeH

=

, o a d = - .

. C O z

1

+J-


59/258

corrections d'un systme boucl

La transmittance en boucle ouverte devient

ainsi : Tf(0)

= T ( P ) H ( P )

oit

Soit

CO,

la pulsation pour laquelle arg

T

=

-

0"

( f ig . 1). La pulsation d e cou pure

md

ducorrecteur

est choisie de telle sorte que

COd

4

CO,.

O Po ur les frquences basses

(CO < wd),

lim T ( P )

=

lim H ( P ) T ( P )= lim T ( P )

p + o - -

+ r /

-

-

+ o

-

- -

-

La prcision est donc inchange.

O Pour les hautes frquences, et en particulier

pour

CO

=

CO,, il

vient :

1

*

arg _Tc(wq)

=

arg

T(co,)

arg

* 0,

1 + J -

compte tenu de arg CO,)

=

- 0" et

CO,

>> C o d .

O n peut crire arg

_TC(wq)

z - 180".

-

'

Compte tenu de CO, >> c L ) d , on peut crire

=

20 lg IT(CO,)I

-.

CO,

Le systme est d on c stable

si

2.2. RALISATION

DU C O R R E C T E U R

Le correcteur pe ut sim-

plement tre ralis pa r

le circuit RC de la

figure 2.

Fig. 2.

1

1

et

H

=

avecoit

H ( P )

=

___

1

i + q

-

. C O

-

1 + J -

1 1

~~

2.3. P R E M I E R E X E M P L E :

A S S E R V I S S E M E N T

D E V I T E SS E

Considrons l'asservissement de vitesse de la

figure 4 du chapitre

3,

dont la transmittance en

boucle ouverte est

avec

H o = 1;

m

=

1,82; CO,

=

91,4 rad/ s;

mo

= 1 ;

co0 = 628 rad/s.

T (P )

La reprsentation de

_To((o) ==

ans les

A

diagrammes de Bode est donne la figure 14

du chapitre

4.

Nous avons m ontr, au chapitre 4 (3.2), que pour

obte nir un e ma rge d e phase d e 45", il faut limiter

l'amplification

A

6,7.

Supp osons q ue l'on veuille que l'erreur statique

relative oit infrieure

1 %.

P

XO

il vient

O

Sachant que I p

=

lim

p + o

1 +

_ -

( P ) '

-

A H , >

100 soit A

>

100.

Dterminons, ds lors, le rseau correcteur qui

permet d'obtenir une marge de phase de 45"

avec

A

=

100.

Sur le diagramme de la figure 14 d u chap itre 4,

on relve pour CO

= CO, =

20,6 rad/s

a rg

_T,(co,) =

- 5"

20 lg ~_T~(co,)/

=

- db.


60/258


61/258

corrections d'un svstme

boucl

Nous avons montr que l'obtention d'une marge

de phase de 45" ncessitait une valeur de

K

infrieure 8 x 10- '.

Proposons-nous de dterminer le rseau correc-

teur qui permet de conserver une marge de phase

de 45" avec K = 1.

Sur le diagramme de la figure

22,

on relve pour

la frquence

f = fa =

1 MHz

arg -( f , )

=

- 45"

i

20 lg IA(fa)l

=

60 db.

Compte tenu que la frquence de coupure f d du

rseau correcteur est trs infrieure

f a , la

transmittance corrige zcen boucle ouverte est

telle que :

1

arg

_TC fa>

=

arg

A(fJ

+

arg

K

+

arg

f a

l + j -

f d

N

- 135"

20 k I_TC(fU)l = 20 1g IA(fa)I+ 20 1g

K

Pour obtenir une marge de phase de 45"' il est

donc ncessaire que

I / r \ 2

20

lg J 1 + ($) = 60 db,

=

1 kHz.

f d = m

oit

Le rseau correcteur de la figure 2 doit tre tel

10-3

que R C = 1'6 x 10-4.

271

Bande passante

Compte tenu du rseau correcteur, l'amplifica-

tion en boucle ferme s'crit :

A , =

-

La courbe 20 lg lARl en fonction de f est donne

a

la figure

3.

Pour les basses frquences, elle est

gale 20 lg ~ O d b .

1 + AOK

Elle prsente une remonte de 2 db.

La frquence de coupure

3 db est 1,3 MHz.

5

O

- 5

- 10

- 15

-

20

100 kHz 1 MHz 10 MHz

Fig.

3

2.5.

I NTER

P

R

TATIO

N

PHYSIQUE

Afin d'analyser le comportement du correcteur,

considrons (f ig.4) la rponse indicielle du circuit

de la figure

2.

I

A

F

T t

Fig. 4.

Nous constatons que le correcteur ralentit la

transmission de l'information et ce avec une

constante de temps z

=

R C , bien suprieure

toutes les autres constantes de temps du

systme boucl.

Nous pouvons ainsi comparer son action a celle

d'un conducteur automobile qui, pour atteindre

une vitesse dtermine, appuierait trs progres-

sivement sur l'acclrateur. On conoit que le

systme boucl, constitu par le vhicule et son

conducteur, soit rendu moins nerveux, liminant

ainsi les risques d'instabilit, mais augmentant

du mme coup le temps de rponse.

61


62/258

systmes. boucles l inaires

3.1. PRINCIPE

Considrons le systme do nt la transmittance T

en boucle ouverte est reprsente dans le n. Il vient alors

- -

(Z )

=

1

1

(rnT , ) i [ (n

-

n ) ~ , ] ~ -

c o c o

n = O

m = O

o en posant n -

n

= k,

c o c o

- -( Z )= 1 1

( r n T , ) Z - m i ( k T , ) Z - k

-

=

i ( k ~ , ) ~ - ~e(rnT,)Z-

k = - m m = O

co co

k = - m m = O

Comme i[kT,] = O pour k < O :

Co Co

- ( z ) =

- 1 ( r n T , ) Z P m

k = O m = O

ce qui s'crit

D'une manire gnrale nous appellerons

H ( Z ) ,

transmittance en 2 d'un systme chantillonn,

le rapport des transformes en 2, E(z) t S(S)

effectues sur les chantillons d'entre et de sortie.

Les rsultats prcdents perm ettent de conclure :

La

transmittance

en Z d'un systme est la

trmsfop'rne en

Z

de

sa rponse impulsionneile.

Considrant le systme de la figure

9,

la

stabilit impose que la rponse impulsionnelle

i ( t )=

1

i ep it ne comprenne aucun terme

divergent et pour cela, la partie relle de tous les

ples P i doit tre ngative.

Sachant que la transmittance en z u systme

s'crit

i = k

i = O

e p i T eapp arat comme une valeur de 2 qui annule

le dnominateur de _ -( 2 ) : on l'appelle

ple de

--( Z ) -

La stabilit imposan t q ue la partie relle de tous

les ples P i soit ngative cond uit la condition

:

lePiTel < l q u e l q u e so it

8.

Un systme chantilonn est stable si tous les

pOes

en

z

de

sa

triutsrnittance - -

f Z ) ont un

module

infieur

1 .

Stabilit d'un systme boucl.

Considrons, ds lors, le systme boucl de la

figure 10.

Les transformes de Laplace

S ( 0 )

et

E (P )

sont

lies Dar la relation

H ( P )

S(0) = AC1 - -ETe]- ( P ) .

P - -

-

Pa r chantillonnage, on leur fait correspondre les

transformes en

2,

respectivement

S ( Z )

et

E(S).

Com pte tenu des rsultats prcdents et sachant

que la multiplication par e traduit un retard

de T,, qui conduit

une multiplication par

-

- l

sur les transformes en z, l vient

- - 4 1

-

2-11H(Z)E(Z)


83/258

asservissements numriques

k

avec H(Z)

= 1

-

2 -

1 e f i T e

Ai

i = O -

H ( P )

P, sont les ples de-

A i sont les rsidus correspondants.

P

{ - -

- _ -

S ( Z )

E ( Z )

T ( 2 )=

-

AC1 - Z 1 ] H ( Z ) est la trans-

mittanceen 2

du

systme en boucle ouverte.

Il vient alors

--

-

(Z )=

-

) E ( Z )

-

-

=

- -

(Z)"c(Z)

-

-

S(Z)l

La condition gnrale de stabilit d'un systme

chantillonn conduit

la proprit suivante :

La stabilit du systme en boucleferde impose

que

tom

les zros en - de 1 +

akertt un

module infrieur ci

1.

2.4. R I T R E D E JURY

Ce critre, bas sur l'tude des polynomes, permet

de prvoir, par l'analyse des coefficients, si le

module des racines est infrieur

1. Nous le

donnerons sans dmonstration pour des poly-

nmes d'ordre 2 et d'ordre

3,

en appelant

-[1

+

T(Z)] le polynme numrateur de

1

+ _ -(Z).-

-

Degr

2 :

-[1 +

T ( Z ) ]

= a 2 Z 2 + a , z + a ,

La stabilit impose les conditions suivantes :

a , < a,; a, + a , + a , > O ; a , - a , + a , > O.

avec a , > O.

-

Degr

3 :

-[l + T(Z)]

=

a 3 Z 3+ a ,Z 2 + a l Z + a ,

avec u3 > O.

La stabilit impose les conditions suivantes :

0

b o l

< a3

0 a:

-

3 < a 0 a 2

-

a1a3

O

a , + a , + a , + a , > O

O

a , - a , + a , - a , < O

Exemple d'application

Considrons l'asservissement de vitesse de la

figure

2

dcrit par le schma bloc de la figure 4.

La transmittance de la partie non chantillonne

s'crit

1 HO

P P 2

-

1 + 2 r n = + -

a m m m

T ( P )= ~ [ i -PTe] .-

P

-

avec

H o

= 1;

rn

=

1,82; CO, = 91,4 rad/s; priode

d'chantillonnage T , = 5 ms.

En faisant apparatre les ples de

z(o),

l vient :

--

avec CU,27,4 rad/s et CO,

=

305 rad/s.

avec

1

sachant2 st la transforme de Laplace de

P + a

eaf

laquelle correspond la transforme en

2

,

il vient

z- eaTe

-

-

83


84/258

svs tmes. bouc les l ina i res

ou en valeurs numriques,

17,612 + 10,19

277,6Z2

-

302,52

+

52.68

( Z )= A

- -

17,612 + 10,19

= A

277,6(2

-

0,2176)(2

-

0,8720)

Le numrateur

-

1

+

--

( Z ) ]

de 1

+

T ( 2 )

scrit

-

1

+

T(Z)1

=27

Livre Electronique Tome2

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