livre electrocinetique 1

8/2/2019 livre electrocinetique 1

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TABLE DES MATIERES

..................................................................................................................................................... 1Toute incompatibilit des clauses ci-dessus avec des dispositions ou contraintes lgales,contractuelles ou judiciaires implique une limitation correspondante du droit de lecture, utilisationou redistribution verbatim ou modifie du document....................................................................... 1http://bat8.inria.fr/~lang/licence/...................................................................................................... 1TABLE DES MATIERES ................................................................................................................. 2Elments d'histoire de l'lectricit : .................................................................................................. 4

Courant lectrique, courant continu, dfinitions, lois fondamentales ........................................................ 6Courant lectrique ............................................................................................................................... 6Effets du courant lectrique ................................................................................................................. 6Cause dun courant lectrique ............................................................................................................. 6Polarit, sens du courant lectrique .................................................................................................... 8Energie et puissance lectrique .......................................................................................................... 9

Convention de signe ..................................................................................................................... 10Loi dOhm ......................................................................................................................................... 10

Conventions .................................................................................................................................. 10Exercices .......................................................................................................................................... 11

Solutions ....................................................................................................................................... 12Diples lectriques linaires .................................................................................................................. 15

Dfinition ...................................................................................................................................... 15

Caractristiques lectriques .......................................................................................................... 15Dfinition ...................................................................................................................................... 15

Gnrateurs et rcepteurs ..................................................................................................................... 16Dfinitions : ...................................................................................................................................... 16

Caractristique lectrique dun gnrateur rel de courant ........................................................... 22Association de f..m. en srie ....................................................................................................... 27Association en parallle de f..m.................................................................................................. 28Solutions :..................................................................................................................................... 40

Calculs et association de rsistances .................................................................................................... 42Caractristique lectrique dune rsistance ................................................................................... 42

Rsistance dun conducteur : cas dun matriau homogne forme gomtrique simple .................. 42Rsistance entre prises de terre ................................................................................................... 43

Variation de la rsistivit et de la rsistance en fonction de la temprature ....................................... 46

Rsistivit normale : ..................................................................................................................... 46Supraconductivit ......................................................................................................................... 46Cas des semi-conducteurs ............................................................................................................ 47Leffet de peau .............................................................................................................................. 47Conductance et conductivit ......................................................................................................... 48

Associations de rsistances .............................................................................................................. 49Rsistances en srie ..................................................................................................................... 49Rsistances en parallle .............................................................................................................. 49Thorme de Kennelly .................................................................................................................. 50Rhostat et potentiomtre ............................................................................................................. 51Diviseur de tension ....................................................................................................................... 53Diviseur de courant....................................................................................................................... 55O un principe variationnel gnral permet de retrouver une formule connue de la thorie des

circuits lectriques :...................................................................................................................... 56Pont de Wheatstone ..................................................................................................................... 57Exercices ..................................................................................................................................... 59Solutions ....................................................................................................................................... 66

Condensateurs ...................................................................................................................................... 69Capacit dun condensateur ......................................................................................................... 69Condensateur plan ....................................................................................................................... 70Association de condensateur ........................................................................................................ 71Charge et dcharge dun condensateur tension constante ......................................................... 73Evolution de la charge q porte par une armature du condensateur :............................................ 73Dcharge dun condensateur tension constante ......................................................................... 76Charge dun condensateur : rendement en nergie ....................................................................... 77Charge dun condensateur courant constant .............................................................................. 77Condensateur rel........................................................................................................................ 78

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Exercices ...................................................................................................................................... 80Solutions ....................................................................................................................................... 82

Inductances ........................................................................................................................................... 87Etablissement du courant dans une inductance, charge en nergie dune inductance ................... 89inductances en srie ..................................................................................................................... 94Inductances en parallle .............................................................................................................. 95Circuit LC : oscillations de lnergie ............................................................................................... 96Le blier hydraulique ...................................................................................................................100Le fonctionnement en 5 schmas :.............................................................................................. 101

Le Hacheur survolteur ................................................................................................................. 104Exercices sur les rgimes transitoires dans les circuits comportant des condensateurs et desinductances ................................................................................................................................ 107Solutions :................................................................................................................................... 115Multiplieurs de tension ................................................................................................................ 126

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Elments d'histoire de l'lectricit :

1600: Trait de magntisme et d'lectrostatique dcouvert par Thals, Plerin de Maricourt, puis parAlexander Neckam en 1269 (Gilbert)1729: Dcouverte de l'lectrisation par influence (lectrostatique) et de la conduction de l'lectricit(Gray)1733: Dcouverte de deux types d'lectrisation (positive et ngative) (Du Fay)1734: Invention du dynamomtre (Le Roy)

1745: Premier condensateur lectrique, la bouteille de Leyde (Kleist - Musschenbroek)1747: Invention l'lectroscope (Nollet)1752: Invention du paratonnerre (Franklin)1785: Loi des forces lectrostatiques (Coulomb)1786: Observation de l'action de l'lectricit sur la contraction musculaire (Galvani)1800: Invention de la pile lectrique (Volta)1803: Elaboration de la thse atomique (Dalton)1811: Dcouverte de l'arc lectrique (Davy)1820: Dtermination de la valeur du champ magntique (Biot et Savart). Dcouverte des effetsmagntiques du courant lectrique (Oersted)1821: Emission de l'hypothse que les molcules des corps sont l'objets de courants de particulesque l'aimantation peut diriger, se montrant ainsi prcurseur de la thorie lectronique de la matire.(Ampre)

1822: Invention d'un dispositif qui montre l'action d'un champ magntique sur un courant lectrique(Barlow)1823: Construction du premier lectroaimant (Sturgeon)1827: Publication de son mmoire sur la thorie mathmatique des phnomnes lectrodynamiquesqui cre le vocabulaire de l'lectricit (Ampre). Invention de la pile rechargeable (Becquerel).Etablissement de la loi fondamentale du courant lectrique et dfinit la rsistance (Ohm)1831: Dcouverte de l'induction lectromagntique (Faraday)1832: Invention du magntomtre (Gauss) .Dcouverte de l'auto-induction (Henry). Ralisation de lapremire machine induction (Pixii)1833: Thorie de l'lectrolyse (Faraday). Etablissement de la loi donnant le sens des courants induits(Lenz)1834: Dcouverte de l'effet thermolectrique selon lequel le courant, travers la jonction de deuxmatriaux, provoque dans cette jonction, le dgagement ou l'absorption d'une quantit de chaleur qui

par unit de temps, est proportionnelle au courant (Peltier)1837: La polarisation des dilectriques et introduction de la notion des lignes de forces (Faraday)Premires dmonstrations du tlgraphe lectrique (Morse)1841: Dcouverte de l'chauffement qui se produit lors du passage d'un courant lectrique dans unconducteur. (Joule) Invention du rhostat (Poggendorff)1845: Dcouverte de l'action d'un champ magntique sur la lumire polarise (Faraday)1851: Invention de la bobine induction (Ruhmkorff)1853: Thorie des circuits oscillants (Thomson)1859: Invention de l'accumulateur lectrique (Plant)1861: Principe de la dynamo (Paccinotti)1865: Thorie lectromagntique de la lumire, unifiant les phnomnes lectriques et lumineux.(Maxwell) invention du principe du chemin de fer crmaillre (Riggenbach)1868: Invention de la pile lectrique utilisant comme lectrolyte le chlorure d'ammonium et comme

dpolarisant le bioxyde de manganse (Leclanch)1869: Invention du collecteur qui permet la ralisation de moteurs courant continu (Gramme)1871: Premire dynamo (Gramme et Pacinotti)1873: Premier transport d'nergie lectrique Vienne (Fontaine)1874: Brevet de la tlgraphie rapide (Baudot)1876: Invention du tlphone (Bell et Gray) Dmonstration qu'une charge lectrique mobile cre unchamp magntique, mettant en vidence l'identit des lectricits statiques et dynamiques (Rowland)1878: Mise au point de la lampe incandescence (Swan, Edison et les autres). Invention dumicrophone charbon (Hugues). Etude des dcharges lectriques dans les gazes rares (Crookes)1879: Helmholtz montre que l'lectricit a une structure "granulaire". Premire locomotive lectrique(Siemens)1880: Dcouverte de l'hystrsis magntique. (Warburg) Dcouverte de la pizolectricit (Curie)Premier paquebot transatlantique Le Columbia clair l'lectricit (Edison). Hall dcouvre l'effet quiporte son nom : apparition d'un champ lectrique dans un conducteur ou semi-conducteur soumis

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un champ magntique.1882: Invention du galvanomtre cadre mobile, anctre du voltmtre. (Arsonval avec MarcelDeprez). Dmonstration du phnomne de l'hystrsis (Ewing). Mise en service du premieralternateur industriel (Ferranti) Invention du ventilateur (Wheeler)1883: Construction du premier moteur lectrique champ tournant (Nicolas Telsa et Galileo Ferrarisindpendamment l'un de l'autre)1884: Invention du transformateur (Lucien Gaulard)1887: Thorie ionique l'lectrolyse (Arrhenius). Dcouverte de l'effet photolectrique etconfirmation de la thorie lectromagntique de Maxwell en dcouvrant exprimentalement des

ondes lectromagntiques et en montrant qu'elles possdent toutes les proprits de la lumire.(Hertz)1891: L'"lectron" existe enfin, c'est un corpuscule lmentaire de l'lectricit, dont il avait dj ttent de prouver son existence ds 1874 et on tente d'en calculer la charge (Stoney)1892: Mise au point du four lectrique (Moissan). Etude de l'hydrognation catalytique (Sabatier)1893: Invention de l'oscillographe (Blondel). Mise au point la cellule photo-lectrique (Elster-Geitel)1895: Invention du cinmatographe (frres Lumire)1896: Premier phonographe lectrique (pick-up) (Dussaud). Dcouverte de la modification du spectred'mission d'un corps sous l'action d'un champ magntique. Il avait dj trouv ce que l'on nommeraplus tard le spin (Zeeman). Brevet du systme de TSF (Marconi)1897: Invention de l'oscillographe cathodique (Braun)1898: Ralisation du premier enregistrement magntique (Poulsen)1899: Ralisation de la premire transmission radio sur une distance de 40 km (Marconi)

1901: Invention de l'accumulateur lectrode de fer et de nickel (Jungner)1902: Invention de la magnto, systme l'allumage lectrique des moteurs thermiques (Bosch)1904: Invention de la diode (Fleming)1905: Explication de l'effet photolectrique et du mouvement brownien, thorie de la relativitrestreinte (Einstein)1907: Thorie du ferromagntisme (Weiss)1911: Mesure la charge de l'lectron (Millikan)1916: Thorie de la relativit gnrale (Einstein)1918: Invention du rcepteur radio moderne superhtrodyne (Armstrong) et (Lvy)1925: Dfinition du spin de l'lectron (Goldsmit - Uhlenbeck). Premire communicationradiotlphonique intercontinentale sur ondes courtes entre Londres et Sydney (Marconi); inventiondu principe du transistor effet de champ par Julius Edgar Lilienfeld1927: Dmonstration exprimentale du caractre ondulatoire des lectrons (Germer - Davisson -

Thomas)1928: Explication de la formations des molcules par la mise en commun de doublets d'lectrons. Ilsdfinissent aussi les acides comme des composs capables d'accepter les doublets d'lectrons(Lewis - Langmuir) Invention du rasoir lectrique (Schick). Mise en vidence de la diffusion de lalumire par les molcules et les ions (Raman)1932: Dcouverte du positron. (Anderson) Dcouverte du neutron (Chadwick)1935: Invention du radar (Watson-Watt)1936: Invention de la camra lectronique (Lallemand). Invention du radiotlescope (Reber)1938: Invention du magntron, tube vide gnrateur ou amplificateur de courant trs hautesfrquences pour les radars et relais hertziens (Ponte)1939: Invention du klystron, tube vide amplificateur de courant hyperfrquences (Varian)1944: Mise en service avec l'aide de IBM du premier calculateur lectromcanique Mark I (Aiken)1948 : Invention du transistor bipolaire (Brattain, Barden, Cooper)

1956: Explication du phnomne de la supraconductivit, disparition de la rsistance lectrique dansles mtaux trs basse temprature (Barden - Cooper - Schrieffer )1957: Invention de la diode tunnel, amplificateur de trs haute frquence utilis notamment dans lescalculateurs lectroniques (Leo)

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Courant lectrique, courant continu, dfinitions, lois fondamentales

Courant lectrique

On appelle courant lectrique une circulation de charges lectriques. Ces charges peuvent tre : Des lectrons

Dans un solide conducteur (cuivre, aluminium, etc). Dans un liquide conducteur (mercure la temprature de 20C). Dans le vide (tube lectronique ou tube cathodique dcran de tlvision).

Des trous (mais on se ramne des lectrons, voir cours dlectronique). Des ions dans une solution (2H+ SO42-), par exemple dans llectrolyte dun accumulateur au

plomb.

Cette liste nest pas exhaustive.On dfinit alors lintensit dun courant lectrique par la loi suivante :

QI

t= ou d Qi

d t= avec t en secondes, Q en Coulomb (C) et i en Ampres1 (A).

Lintensit est le dbit de charge lectrique travers la section dun conducteur.

Effets du courant lectrique

Le courant lectrique a trois effets : Calorifique : (Effet Joule) utilis pour la transformation de lnergie lectrique en chaleur. Il est

voulu et bnfique (radiateurs lectriques) ou bien nuisible et combattu (pertes Joule dans lesmachines lectriques).

Magntique : utilis pour la transformation de lnergie mcanique en nergie lectrique etvice-versa.

Chimique : utilis pour le stockage ou la production dnergie lectrique continue(accumulateurs, piles).

Cause dun courant lectrique

Le courant lectrique circule entre deux points parce que les charges mobiles sont soumises unediffrence de potentiel lectrique (d.d.p. exprime en Volts) entre ces deux points. Ce nest pas la seulefaon de crer un courant lectrique, il existe des mthodes plus exotiques (voir exercice la fin de cechapitre). Nanmoins, dans toute la suite de ce cours, on ne sintresse qu des courants lectriquescrs par des d.d.p. soit continues (ventuellement variables mais toujours de mme sens) oualternatives (le sens de la d.d.p. change au cours du temps).

1 Lunit doit son nom au physicien franais Andr-Marie Ampre, auteur de la premire formulationcohrente dune thorie lectromagntique. Lampre est une unit de base du systme international.Depuis 1948, la dfinition en est la suivante : lampre est lintensit dun courant lectrique constantqui, maintenu dans deux conducteurs parallles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulairengligeable et placs une distance de 1 mtre lun de lautre dans le vide, produirait entre ces

conducteurs une force gale 210-7

newton par mtre de longueur.

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Il est intressant de disposer danalogies pour mieux comprendre ces phnomnes. On peut assimiler ladiffrence de potentiel la hauteur d'une chute d'eau. Leau qui coule est analogue au courantlectrique et son dbit est, lui, analogue lintensit du courant lectrique. Une meilleure analogieconsiste comparer un gnrateur de tension une pompe qui cr une diffrence de pression entredeux points. Cette analogie hydraulique (Figure 1) peut aider lassimilation de nombreux phnomneslectriques.

Figure 1

Compar la vitesse de la lumire, la vitesse de dplacement des charges mobiles dans lesconducteurs est extrmement faible. Les lectrons dun fil de cuivre se dplacent une vitessemoyenne de 1 mm/s. En fait, les lectrons du fil se dplacent trs rapidement entre deux changementsde direction, entre deux chocs. Mais ils zigzaguent dans tous les sens ce qui rend leur vitesse moyennele long du fil si faible. La vitesse des ions dans un lectrolyte est encore plus faible. La vitesse deslectrons dans un tube cathodique avoisine 10000 km/s. Cest londe dtablissement de la diffrence depotentiel lectrique qui voyage 300000 km/s et pas les charges mobiles. Limpression dinstantanitque nous avons, lorsque nous allumons la lumire lectrique dans une pice par exemple, vient de ceque le fil lectrique est plein dlectrons et que londe de tension les met en mouvement presqueinstantanment.

Reprenons lanalogie hydraulique pour mieux comprendre. Imaginons un jardin de trente mtres de

long. A une extrmit se trouve un robinet deau qui alimente un tuyau droul le long du jardin. Si letuyau est rempli d'eau, ds que lon ouvre le robinet, leau sort presque tout de suite au bout du tuyau.Mais leau qui sort est celle qui tait tout prs de la sortie, ce nest pas celle vient de sortir du robinet,cette eau l arrivera bien plus tard.Si le tuyau est vide, il faut du temps pour que leau sorte une fois le robinet ouvert.Il faut encore souligner que cest bien la vitesse moyenne de drive du nuage dlectrons mobiles dansun fil de cuivre qui est trs faible (1 mm/s) et non la vitesse individuelle de chaque lectron. Leslectrons se dplacent trs rapidement dans la maille cristalline du cuivre (10000 km/s) entre deuxchocs sur des atomes. Mais la multiplicit de ces chocs fait que la vitesse de drive dans la direction ducourant est aussi faible que 1 mm/s. Les lectrons libres dans un conducteur au repos sont semblable un nuage de mouches : les mouches sagitent et zigzaguent dans tous les sens et le nuage resteimmobile. Lorsque le conducteur est travers par un courant lectrique, le nuage de mouches drivelentement en sens inverse du sens du courant.

Lunit SI de diffrence de potentiel lectrique (tension) est le Volt (V), tir du nom du physicien italienVolta qui inventa la pile lectrique en 1800. La d.d.p. se note souvent u, e ou U, E pour des grandeursindpendantes du temps.Il est important de comprendre que seul la d.d.p. est importante et quil ny a pas de potentiel absolupouvant servir de rfrence, comme pour les tempratures, par exemple, pour lesquelles il existe unzro absolu. En lectronique, on rfrence souvent les tensions par rapport la masse (concrtementun chssis mtallique sil y en a un), masse laquelle on attribue le potentiel 0 parce que cest plussimple. On pourrait attribuer nimporte quelle valeur de potentiel la masse. Le ple des gnrateursde tension est trs souvent considr comme reli la masse dans les schmas dlectronique oudlectrotechnique.

7

+

i, courant

Rsistance = charge

Diffrence de potentiel

Charge : sable par exemple

Fluidedbit

Diffrence de pression


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Il est galement important de noter quen lectrotechnique, la masse ne recouvre pas la mme notionque la masse lectronique utilise sur les schmas. En effet, en lectrotechnique, la masse est la oules partie mtallique dun rcepteur (si le rcepteur en possde une) susceptible dentrer en contactavec un utilisateur. La carcasse mtallique dun rfrigrateur par exemple est une masse au senslectrotechnique du terme.En lectrotechnique, les masses des rcepteurs peuvent tre relies la terre, on utilise le symbole dela Figure 2 pour reprsenter cette dernire.On utilise les symboles suivants :

Figure 2

Polarit, sens du courant lectriqueEn lectrotechnique ordinaire, les charges mobiles sont les lectrons des fils et cbles de cuivre oudaluminium. Des deux bornes dun gnrateur, la borne qui prsente un excs dlectrons est identifiepar un signe ( - ) par rapport celle qui, comparativement, comportant un manque dlectrons estrepre par un signe ( + ). Ces deux bornes sont nommes respectivement borne ngative et bornepositive. Elles possdent respectivement une polarit ngative et une polarit positive.Les premiers savants qui ont tudis llectricit ont imagin que le courant lectrique se dplaait lextrieur du gnrateur de la borne + la borne -. Malheureusement, ce sens conventionnel ducourant, qui a t choisi arbitrairement, est linverse du sens de dplacement des lectrons. Cesderniers se dirigent vers la borne positive du gnrateur lorsquils se dplacent lextrieur dugnrateur.Le sens conventionnel de circulation du courant, universellement adopt, considre le courant form decharges positives et circulant de la borne + la borne -.

Figure 3

8

+

-

Sens conventionnel ducourant

+

-

Sens de circulation deslectrons

Circulation du courant et des lectrons dans une pile lectrique

Masse lectronique synonyme depotentiel nul

terre


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Energie et puissance lectrique

Lnergie mise en jeux par le dplacement dune charge q se dplaant sous la diffrence de potentiel(VA-VB) est w = q (VA-VB).

Pour une charge q, lintensit du courant lectrique du son dplacement estq

i q i t t

= =

Donc : ( )A Bw i t V V uit = - = en Joules (J), avec la d.d.p. u en Volts (V), i en A et t en s.

La puissance, quotient de lnergie par le temps durant laquelle cette nergie est mise en jeux, est :

w p ui

t= = avec p en Watts (W).

Si on mesure la puissance dgage sous forme de chaleur dans une rsistance pour plusieursintensits diffrentes, on peut alors tracer la courbe p=f(i) de la Figure 4 et on obtient une paraboledquation p=Ri2.On appelle R la rsistance du conducteur, elle sexprime en Ohm ()La loi de Joule sexprime par la formule :

2 p ri= et 2w ri t =

Figure 4

Les lectriciens emploient souvent le kilowattheure comme unit dnergie, cela permet de manipulerdes nombres plus petits.

6J1 kWh 1000 W 1h 1000 3600 s 3,6 10 Js

= = =

Les compteurs dnergie mis en place par Electricit de France (EDF) chez les particuliers ou au seindes entreprises totalisent lnergie consomme en kWh.

9

+

r

P

i


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Convention de signe

Par convention, si, lors du calcul dune puissance dans un rcepteur, on trouve un nombre positif, celasignifie que ce rcepteur absorbe de la puissance et inversement.Ainsi, le calcul de la puissance dissipe par effet Joule dans une rsistance donnera un nombre positif,celui de la puissance dlivre la rsistance par le gnrateur qui lalimente donnera un nombrengatif.

Leffet Joule (James Prescott Joule : physicien britannique (1818 1889) est prsent ds quunconducteur ordinaire (non supraconducteur) est travers par un courant lectrique. Ses consquencessont tantt utiles : clairage par incandescence, chauffage lectrique, protections lectriques (fusibles,dispositifs thermiques des disjoncteurs pour lutter contre les surcharges). Les dispositifs de chauffagepar effet Joule ont un rendement gal 1 ; toutefois, lnergie lectrique est chre produire et satransformation en chaleur est un gaspillage.En rgle gnrale, leffet Joule est souvent nuisible, il diminue le rendement des machines lectriques,en provoquant des chauffements, il acclre le vieillissement des matriaux. Enfin il peut conduire des dommages irrparables, des incendies etc.

Loi dOhm

On a 2 p ri ui= = , donc : u ri= Le rapport entre la d.d.p. applique aux bornes dun conducteur et le courant qui le parcourt est unnombre constant. Ce nombre caractrise une proprit du conducteur : sa rsistance. La rsistancedun corps est lopposition quil offre au passage du courant lectrique. Elle se reprsente par lesymbole r ou R si elle ne dpend pas du temps. Lunit SI de rsistance est lOhm (), tir du nom duphysicien allemand Georg Ohm.

Conventions

Le courant lectrique circule du potentiel le plus lev vers le potentiel le plus bas.

La mmorisation du sens des flches sur le dessin ci-dessus est aise si lon se rfre lanalogiehydraulique. Imaginez un caniveau inclin, Figure 5, o coule de leau, placez dans le courant unmorceau de grillage trs fin (la rsistance), leau monte du ct du grillage o elle arrive et baisse delautre ct. Cela correspond ltablissement dune diffrence de potentiel, gravitationnelle dans notreexemple.

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VA

> VB

U = VA

VB

= r i

ir

A B

VA

- VB


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Figure 5

Addition de d.d.p. en srie

( ) ( ) ( )4 3 2 1 D A D C C B B AU V V V V V V V V U U U = = + + = +

Exercices

1. La charge de llectron tant de 1,6 10-19 C, calculer lnergie ncessaire pour lui faire franchir uned.d.p. de 1 V.Combien dlectrons franchissent la section dun fil de cuivre parcouru par une intensit de 1 A.Quelle nergie par seconde un gnrateur de force lectromotrice de 12 V fournit-il aux lectrons qu'il"pompe" sachant que le courant quil dbite est de 2,5 A ?

2. Un fer repasser possde les indications suivantes sur sa plaque signaltique :U = 220 V, P = 1kW.Quelle intensit absorbe-t-il ? De quelle quantit dnergie a-t-il besoin pour 1,5 heure defonctionnement, en kWh, en J ?

11

U4

A B C D

U1

U2

U3

d.d.p.

Sens dcoulement de leau(courant i)

U


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3. Le prix de lnergie lectrique est fix 0,112 le kWh par EDF en 2003. Suivant ce tarif, de quellesomme la SNCF serait redevable EDF pour le fonctionnement dune rame TGV absorbant unepuissance moyenne de 8 MW pendant 3 heures.

4. Soit le schma :

Un courant I passe dans 2 rsistances R et R places en srie. On connat R = 3 et U = 6 V.En 10 s, 240 Joules sont dgags dans les deux rsistances R et R.Calculez la puissance dissipe.Exprimez en fonction de R et de I la puissance dissipe dans R.Exprimez en fonction de U et de I la puissance dissipe dans R.Ecrire et rsoudre lquation dont la solution doit donner I.Calculer R et U.

5. On dispose 1015

lectrons la priphrie dun disque isolant qui tourne 60000 tr/min.Expliquer pourquoi ce dispositif produit un courant (en labsence de d.d.p.) et quel est le sens de cedernier.Quelle est lintensit de ce courant ?6. La relation courant/tension aux bornes dune lampe hydrogne est u = 2 + 5.i . Pour une d.d.p. de17 V, calculer la puissance consomme.

7. On fait varier lintensit dans un conducteur en fonction du temps : 2i t= .Calculer la quantit dlectricit qui a circul au bout de 4 secondes.Quelle est lintensit constante qui aurait fait circuler le mme nombre dlectrons en 4 s ?

Solutions

1. Pour un lectron, franchir une d.d.p. de 1 V ncessite une nergie gale :19 19

1, 6 10 1 1, 6 10 Jw = = .

qi n e i t

t

= = avec n nombre dlectrons franchissant la section du fil par seconde, do

18

19

16,25 10

1,6 10

i tn

e

= = =

lectrons par seconde !

Lnergie dlivre par le gnrateur sera gale celle quil faut fournir un lectron pour quil franchisseune d.d.p. de 12 V, multiplie par le nombre dlectrons. Soit :

( )19 192,5

1,6 10 12 2,5 12 30 J1,6 10

w

= = =

2. Le fer repasser absorbe un courant lectrique dont lintensit est :1000

4,55 A220

pi

u= = = .

Il a besoin dune nergie gale :61000 3600 1,5 5,4 10 J 1 kW 1,5 h 1,5 kWhW p t= = = = =

12

R R

UU

I


13/132

3. Lnergie totale consomme par le TGV est de 3 38 10 kW 3 h 24 10 kWhW = = .La somme due par la SNCF serait donc de 324 10 0,112 2688 = .La SNCF, grosse consommatrice dnergie lectrique, a droit des tarifs plus avantageux que ceuxconsentis aux particuliers.

4.240

24 W10

WP

t= = =

2

R P RI = ''R

P U I =2 ' 2 ' ''24 3 6 24 4 et 2 RI U I I I I I + = + = = =

La solution ngative est liminer, nous navons fait aucune hypothse quant au signe de I, nousretenons I = 2 A..

Donc : ' ' '6

32

U R I R= = = et 3 2 6 VU RI U = = =

5.

Pour 1 tour du disque, un observateur extrieur au disque voit passer 1015 lectrons, le disque accomplit60000

1000 tr/s60

= do lintensit :

19 151,6 10 10 1000 0,16 A1

qit

= = =

6.2 17 2

2 5 3 A5 5

uu i i

= + = = =

17 3 51 W p ui= = =

13

Sens de rotation

Sens du courant


14/132

7. ( )

44 2

0 0

2 2 16 C2

dq ti q idt q t dt

dt

= = = = =

Lintgrale prcdente correspond laire grise de la figure ci-dessus. Cest la moiti du rectangle de

largeur 4 s et de 8 A de haut, soit

4 8

16 C2q

= = .

Lintensit constante qui aurait fait circuler la mme charge correspond lintensit moyenne :

Soit :( )

4

0

216

4 A4 4

moy

t dt

i = = =

14

i

t

Quantit dlectrique ayantcircule au bout de 4 s

4

8

i

t

I moyen


15/132

Diples lectriques linaires

Dfinition

On appelle diple lectrique un dispositif lectrique qui prsente deux bornes A et B permettant de lerelier un circuit extrieur.On distingue les diples gnrateurs qui fournissent de lnergie au circuit extrieur et les diplesrcepteurs qui absorbent de lnergie.Certains diples ne peuvent tre que rcepteurs, cest le cas dune rsistance ou dune diode parexemple, dautres peuvent tre rcepteur ou gnrateur suivant les cas. Ainsi, une inductance peutabsorber de lnergie lectrique un instant donn et la restituer un instant ultrieur; une batterie peutalimenter un circuit et donc se comporter en gnrateur, mais aussi tre recharge et devenir rcepteur.

La Figure 6 montre quelques exemples de diples courant.

Figure 6

Caractristiques lectriques

Dfinition

Cest la relation entre la d.d.p. u (diffrence de potentiel) aux bornes du diple et le courant i qui traversece dernier. On peut sintresser la courbe u = f(i) ou i = f-1(u).Un diple dont la caractristique lectrique passe par lorigine est qualifi de passif. Il est parcouru parun courant nul lorsque la d.d.p. ses bornes est nulle.

Les diples lectriques linaires possdent des caractristiques lectriques linaires formes de droites.

15

condensateurnon linaire encontinu

inductancenon linaireen continu

+

gnrateurde tensionlinaire

gnrateurde courantlinaire


16/132

Gnrateurs et rcepteurs

Dfinitions :

Les gnrateurs (ou sources) sont des appareils qui fournissent de lnergie lectrique. Les rcepteurssont des appareils qui absorbent de lnergie lectrique.Il existe des gnrateurs de tension et de courant, il existe des rcepteurs de tension et de courant.

Gnrateur de tensionPour les tensions continues, ce sont les batteries daccumulateurs, les piles, les alimentationsstabilises ou rgules. En rgime variable, ce sont les alternateurs, les sorties damplificateurs,doscillateurs, etc. Elles sont reprsentes par un schma appel gnrateur de Thvenin.

Gnrateur de tension idal

Cest un gnrateur qui maintient une diffrence de potentiel fixe, constante entre ses bornes quel quesoit le courant dbit. On appelle cette d.d.p. la force lectromotrice du gnrateur (f..m.) et on la noteU ou E (en volts).Symbole :

Figure 7

Le courant sort par la borne + du gnrateur. La puissance fournie par le gnrateur estPf = UI.Il est important de noter que le courant sort par la borne +. Dans le cas de la source de tensionalternative, la borne + change de place aux bornes du gnrateur, mais le courant sort par la borne + chaque instant.Une analogie hydraulique intressante consiste comparer le gnrateur de tension une pompecentrifuge. Les gnrateurs de tension tudis en lectrotechnique (ou en lectronique) se rapprochentdes caractristiques idales sans toutefois y parvenir sur la totalit de la plage de fonctionnement.Cela dpend le plus souvent des structures ou des limites technologiques des composants actifs ou

passifs utiliss. Afin de fournir une d.d.p. indpendante du courant dbit, un gnrateur idal detension doit possder une impdance interne nulle. On sapproche de cet tat dans la ralit lorsque la

rsistance interne du gnrateur est trs faible comparativement la rsistance du circuit rcepteur. Ilfaut galement que linductance interne soit quasiment nulle. Cela est toujours difficile raliser causede linductance des cbles et des diverses inductances parasites (bobinages).

16

U

I

source de tensionidale continue

source de tensionidale alternative


17/132

Caractristique lectrique dun gnrateur de tension idal

On appelle caractristique lectrique dun diple la relation existant entre la d.d.p. aux bornes du dipleet le courant qui traverse le diple (u = f(i) ), ou bien la relation rciproque i = f(u).Pour un gnrateur idal de tension, la caractristique lectrique est une droite horizontale :

Figure 8

Gnrateur de tension rel

Cest lassociation en srie dun gnrateur idal de tension et dune rsistance (dite interne).

Figure 9

Le point C nest, bien sr, pas disponible.

La d.d.p. aux bornes du gnrateur est : VA VB = (VA VC) + (VC VB) = U rI.

La puissance totale fournie par le gnrateur idal est P f= UI

Les pertes par effet Joule dans la rsistance interne sont P J = rI2.

La puissance utilisable dans le circuit extrieur est Pu = (VA VB)I = (U rI)I = UI rI2.

Le rendement du gnrateur est :( )2

1uf

UI rI P U rI

P UI U

= = = < .

17

i

u

U0

U0

i

u

U

I

r

rIAB C


18/132

Caractristique lectrique dun gnrateur rel de tension

La caractristique lectrique dun gnrateur rel de tension est une combinaison linaire de lacaractristique lectrique dun gnrateur idal de tension et de celle dune rsistance. Cest donc unedroite elle aussi. Pour la tracer simplement, il suffit de dterminer deux de ses points. Dterminons lespoints dintersection avec les axes.Lorsque le gnrateur rel ne dbite aucun courant, i = 0 et la tension ses bornes est gale U0, tantdonn que la rsistance interne, traverse par un courant nul, se comporte comme un fil ; la d.d.p. ses

bornes est nulle. On obtient donc un premier point de coordonnes : i = 0 et u = U0.Un deuxime point ais obtenir et le point dintersection avec laxe des courants, obtenu en court-circuitant le gnrateur rel. La d.d.p. ses bornes est alors nulle : u = 0, et le courant nest limit quepar la rsistance interne : i = U0/r. Do les coordonnes du deuxime point : u = 0, i = U 0/r.

Figure 10

Rcepteur de tension

Rcepteur de tension idal

Cest un appareil qui absorbe de lnergie lectrique sous tension constante, appele force contrelectromotrice (f.c..m.), ceci quel que soit le courant qui le traverse.Symbole :

Figure 11

A un instant donn, le rcepteur de tension alternative peut tre modlis par un rcepteur de tensionidal continu.

18

u

i

U0

U0/r

Caractristique lectrique dun gnrateur rel de tension

E

I

rcepteur de tensionidale continue

rcepteur de tensionidale alternative


19/132

Il est important de noter que lintensit rentre par la borne plus. Dans le cas dun rcepteur detension alternative, chaque instant, le courant rentre par lextrmit positive.

La puissance absorbe par le rcepteur est Pa = EI

Rcepteur rel de tension

Ce sont des accumulateurs en charge, des moteurs courant continu, des composants seuil (typediode Zener), etc.

Cest lassociation en srie dun rcepteur de tension idal et dune rsistance interne.

Figure 12

La d.d.p. aux bornes du rcepteur est VA VB = E + rI.

La puissance absorbe par le rcepteur idal et transforme (en nergie mcanique, par exemple, silon modlise un moteur courant continu) est Pr= EI.

Les pertes par effet Joule dans la rsistance interne sont : PJ = rI2.La puissance totale absorbe par le rcepteur rel est : Pa = (VA VB)I = (E + rI)I = EI + rI2.Certains rcepteurs (selfs, condensateurs) peuvent avoir temporairement un comportement degnrateur et suivront cette convention de signe, alors que des gnrateurs sont parfois utiliss commercepteurs : on utilisera alors cette convention. Attention la mprise !

Si dans un schma, le calcul du courant circulant dans un gnrateur et de la tension prsente sesbornes indiquent que le courant rentre par le ple positif, alors ce gnrateur est utilis en rcepteur.Par exemple, la machine courant continu, est utilise aussi bien en dynamo (gnrateur) quen moteur(rcepteur). Un moteur lectrique que lon freine devient gnrateur.

Exemple de composant passif utilis comme gnrateur : le condensateur "rservoir d'nergie", trsutilis en lectronique (filtrage des alimentations, dcouplage).Une batterie en phase de charge est un gnrateur devenu rcepteur pour quelques temps.

Gnrateur de courantIls sont appels : gnrateurs de Norton. Ce sont les photodiodes, les photopiles, les inductancestransformant lnergie magntique stocke en nergie lectrocintique durant un court intervalle detemps.

19

E

I

r

rIAB C


20/132

Gnrateur de courant idal

Un gnrateur de courant dbite un courant I0 constant quel que soit la d.d.p. ses bornes. Uneanalogie hydraulique intressante consiste le comparer une pompe volumtrique.Afin dtre insensible aux variations de d.d.p. ses bornes, un gnrateur idal de courant doitpossder une rsistance interne infinie. La tension ses bornes devant pouvoir varier instantanment,la capacit en parallle avec lui doit tre nulle galement.

Symbole :

Figure 13

Caractristique lectrique dun gnrateur idal de courant

Figure 14

20

i

u

I0

I0

I0

symbole employer ancien symbole viter

I0


21/132

Gnrateur rel de courant

Cest lassociation, en parallle, dun gnrateur idal de courant et dune rsistance interne.

Figure 15

La d.d.p. aux bornes du gnrateur rel est VA-VB = ri

La loi des nuds applique en C donne : I0 = I + i

La puissance totale dbite par le gnrateur est Pf= (VA VB)I0

Les pertes par effet Joule sont : PJ = ri2

La puissance fournie au circuit extrieur est Pu = (VA VB)I = (VA VB) (I0 i) = (VA VB)I0 - (VA VB)i

Soit Pu = Pf (ri)i = Pf - PJ

Le rendement du gnrateur est( )

( )

( )

( )

2

0

0 0 0

1 1 A B A Bu

f A B A B

V V I ri V V iP i

P V V I V V I I

= = = =

21

Gnrateur rel de courant

I0

r

iI

A

B

C


22/132

Caractristique lectrique dun gnrateur rel de courant

Figure 16

Rcepteur de courantCe sont certains tubes lectroniques, les canons lectrons, les transistors bipolaires, les transistors effet de champ, etc. Leur vritable nom est rcepteur courant command, car il y a toujours unesource dnergie extrieure.Le rcepteur de courant absorbe de la puissance lectrique sous intensit constante. Il se distingue dungnrateur par le signe de la d.d.p. aux bornes.

Figure 17

Le circuit extrieur fournit de la puissance au rcepteur. Il en fournit galement la rsistance interne.

22

A

I0

r

B

VA

> VB, V

A V

B> 0

I0

r

I

A

B

R

i

u

I0

r I0

caractristiqueidale

R


23/132

Rversibilit

Dfinition :Un gnrateur est rversible en tension si la tension ses bornes peut changer de signe.Un gnrateur est rversible en courant si le courant peut sinverser dans la branche dans laquelle il estinsr.

Une batterie daccumulateurs est un gnrateur de tension rversible en courant :

courant dbit par la borne + en fonctionnement gnrateur ;courant absorb par la borne + en charge.Cette rversibilit peut tre instantane dans le cas dun accumulateur car linductance delaccumulateur est ngligeable.Une machine courant continu excitation indpendante est elle aussi rversible en courant (elle estgalement rversible en tension). Mais, du fait de linductance prsente par linduit, selon le courantdbit, la rversibilit nest pas instantane, elle dpend de la dure du rgime transitoire de dcharge

de linductance de linduit. En effet, celle-ci doit dabord se dcharger de son nergie magntique21

2LI

avant daccepter une inversion du courant.Un autre exemple de non rversibilit instantane est fourni par le rcepteur de la Figure 18 ci-dessous,o une rsistance est associe un condensateur :

Figure 18

Une telle charge est rversible en courant mais pas en tension de manire instantane. Si on raisonnesur un intervalle de temps trs court vis--vis de la constante de temps RC de la charge, on peutconsidrer que la tension aux bornes du condensateur demeure constante. En effet,

C C

qq C v v

C= = , il faut un temps suprieur RC afin de faire voluer la charge q du

condensateur. Lintensit peut, elle, changer de sens instantanment.

23

C

R

i

uE

i

ut 0 ou i < 0, mais pas u


24/132

Le rcepteur de la Figure 19 est rversible instantanment en tension, mais pas en courant :

Figure 19

Rgles dassociation

Les gnrateurs de tension ou de courant ne peuvent pas tre associs sans prcaution. Il est videntque :

Un gnrateur de tension idal ne peut tre court-circuit sinon on obtient un courant infini

(impdance interne nulle). 00r

Ui

r =

Un gnrateur idal de courant ne peut voir la maille dans laquelle il est insr ouverte, sinon latension aux bornes de louverture devient infinie en mme temps que la rsistance insre dansle circuit (son ouverture). 0 ru rI =

Ces deux rgles ont les implications suivantes :

Dans le circuit de la Figure 20, on ne peut pas fermer linterrupteur (K) sous peine de court-circuiter legnrateur idal de tension E1 E2

Association interdite sous peine de courant tendant vers linfini dans la maille.

Figure 20

24

i

u

R

L

t 0 mais pas i

E2E

1

K


25/132

Dans le circuit de la Figure 21, on ne peut pas ouvrir linterrupteur K (que lon reprsente tout de mmeen position repos soit ouvert). Cela ne pourrait se produire qu la seule condition I 1 = - I2. Autrement,une tension tendant vers linfini apparatrait aux bornes de linterrupteur K.

Association interdite sous peine de tension tendant vers linfini aux bornes de K.

Figure 21

Les seules associations possibles sont celles qui tablissent de faon permanente ou transitoire desconnexions entre un gnrateur de tension et un gnrateur de courant comme indiqu sur la Figure 22.

Figure 22

Les considrations prcdentes sont avoir en tte lors de ltude de llectronique de puissancenotamment.

25

E

I+

E

I+

I2I1

K


26/132

Equivalence entre gnrateur rel de tension et gnrateur rel de courant vu de lextrieur

Soit un gnrateur rel de tension de paramtres E0 et r0. Comment choisir les paramtres dungnrateur rel de courant, I0 et R0 afin que les deux gnrateurs prsentent les mmes propritslectriques vu des bornes extrieures A et B ?

Figure 23

Si les gnrateurs ont des proprits identiques vu de lextrieur, leurs caractristiques lectriquesdoivent tre confondues. Ces caractristiques lectriques sont les suivantes :

Figure 24

26

E0

i

u

E0/r

0I0

I0 R0

u

E0

I0

= ?

+

r0

A

B

R0

= ?

A

B


27/132

Afin dobtenir la concidence des droites, nous devons avoir les galits suivantes :

( )

( )

0

0

0

0 0 0

1

2

EI

r

E I R

=

= en remplaant I0 obtenue par (1) dans (2), il vient : R0 = r0

Ainsi, lquivalence des gnrateurs est obtenue en choisissant pour le gnrateur rel de courant :

0

0

0

EI

r

= et R0 = r0.

On peut donc remplacer, dans les schmas, un gnrateur rel de tension par un gnrateur rel decourant et vice versa en respectant les conditions ci-dessus. Ce qui se passe lintrieur desgnrateurs, une fois franchi les points A et B, nest pas identique dans les deux cas (le rendementnotamment). Peu nous importe puisque nous nous intressons lquivalence vue de lextrieur.Pour associer des gnrateurs de tension placs en parallle, on pourra les transformer en gnrateurde courant ; de mme, pour associer des gnrateurs de courant placs en srie pourra-t-on lestransformer en gnrateurs de tension.

Association de f..m. en srie

Le gnrateur de tension quivalent n gnrateurs de tension rels en srie possde une f..m. gale

la somme des f..m. des n gnrateurs idaux et une rsistance interne gale la somme des nrsistances internes.

Figure 25

Ainsi, le gnrateur quivalent au gnrateur de la Figure 25 entre les points A et B possde une f..m.gale la somme des f..m. : Eeq = E1 - E2 + E3, la rsistance interne est la somme des rsistancesinternes req = r1 + r2 + r3.

On appelle loi de Pouillet, la loi des mailles appliques un circuit ferm comportant en srie desgnrateurs, des rcepteurs et des rsistances :

f..m. f.c..m.

RI

=

27

E1 r

1

AB

E2 r

2

E3 r

3

E1-E2+E3r

1+r

2+r

3

AB


28/132

Association en parallle de f..m.

Cas o les gnrateurs sont identiques

Figure 26

1 2 3...

A B n eq eqV V E rI E rI E rI E rI E r I = = = = = =

Comme les n branches sont identiques : 1 2 ... nI I I I n

= = = =

Donc :

eq

A B eq eq

eq

E EI

V V E r E r I rn r

n

= = =

=

28

Er

AB

r

r

r

E

E

E

I1

I2

I3

In

I


29/132

Cas o les gnrateurs possdent la mme f..m. mais pas la mme rsistance interne

Figure 27

1 1 2 2 3 3...

A B n n eq eqV V E r I E r I E r I E r I E r I = = = = = =

( )1

1

A B E V V

Ir

= ,

( )2

2

A B E V V

Ir

= , ,

( )A Bn

n

E V V I

r

=

( )( )

1 2

1 2

1 1 1... ...

A B

n A B

n eq

E V V I I I I E V V

r r r r

= + + + = + + + =

1 2

1 1 1 1...

eq nr r r r

= + + +

et eqE E=

29

Er1

AB

r2

r3

rn

E

E

E

I1

I2

I3

In

I


30/132

Cas o les gnrateurs sont diffrents

On remplace chaque gnrateur rel de tension par un gnrateur rel de courant quivalent :

Figure 28

Sur la Figure 28, on a plac le signe du gnrateur de tension E3 linverse de celui des autresgnrateurs afin de bien faire comprendre que cela va donner un gnrateur de courant dbitant une

intensit dans le sens inverse de celles dbites par les autres gnrateurs de courant.

30

r1

E1

r2

E2

r3

E3

rn

En

A

B

r1

r2

r3

1

1

E

r

2

2

E

r

3

3

E

r

rn

A

B

equ rR

11

1

+=

n

n

equr

E

r

E

r

E

r

EI +++= ...

3

3

2

2

1

1

B

A

A

B


31/132

La transformation que nous venons deffectuer est connue sous le nom de thorme de Millman.

Ce thorme permet de calculer le potentiel inconnu sur la Figure 29 , grce une formule assezsimple.

Figure 29

On dtermine le gnrateur de courant quivalent (voir Figure 28) et on applique la loi dOhm :

eq eq E I R= :

31 2

1 2 3 4

1 2 3 4

0

1 1 1 1

EE E

r r r r E

r r r r

+ +=

+ + +

Le terme4

0

ra t plac dans la formule afin de bien montrer que la branche 4, qui ne comporte pas de

gnrateur de tension, donne un gnrateur de courant quivalent qui dbite 0 ampre. Ne pas oublierde compter la rsistance r4 au dnominateur pour le calcul de la rsistance quivalente.On a invers le signe du gnrateur E3 sur la Figure 29 afin de bien montrer le signe rserver au

courant3

3

E

r.

31

E2

E1

E3

r1

r2

r3

r4

E = ?

31 2

1 2 3

1 2 3

...

1 1 1...

eq

EE E

r r r

E

r r r

+ +

= + + + +

1 2 3

...

eqr r r r

= + + +


32/132

Point de fonctionnement

Lorsquun diple gnrateur est associ un diple rcepteur, la d.d.p. est commune aux deux diplesainsi que le courant lectrique qui les traversent. Les valeurs de cette d.d.p. et de cette intensit sont lescoordonnes du point dintersection des deux caractristiques lectriques que lon appelle point defonctionnement . Ainsi, le circuit de la Figure 30 a un point de fonctionnement dtermin par lintersection descaractristiques lectriques comme le montre la Figure 31.

Figure 30

Figure 31

32

R

E0

+

r0

A

B

E0

i

u

E0/r

0I0

= E0/(R+r

0)

I0

RPoint defonctionnement


33/132

Sources lies ou contrles

Une source est qualifie de "lie" ou de "contrle" lorsque sa f..m. ou le courant quelle dbite dpendsoit de la d.d.p. aux bornes dun autre lment du circuit, soit de lintensit du courant qui traverse unautre lment du circuit. Il existe ainsi quatre sortes de sources lies :

source de tension contrle par une tension (1), source de tension contrle par un courant (2), source de courant contrle par une tension (3), source de courant contrl par un courant (4).

Les symboles, Figure 32, des sources lies sont drivs des symboles des sources de tension et dessources de courant dans lesquels on remplace les ronds par des carrs.

Figure 32

Dans la Figure 32, k et k sont des coefficients sans dimension tandis que k a la dimension dunersistance et que k possde la dimension dune conductance.La Figure 33 donne un exemple de source lie, il sagit du modle lectrique du transistor bipolaire o lecourant collecteur metteur est gal celui qui circule entre la base et lmetteur multipli par uncoefficient constant (h21 ou , gain du transistor).

Figure 33

33

h21.

ib

ib

ic

1/h22

h11

metteur

base collecteur

U = k.u

source de tensionidale lie

I = k.i

source de courantidale lie

U = k.i

(1) (2)

I = k.u

(3) (4)


34/132

Adaptation de rsistance (ou de puissance)

Problme : On se donne un gnrateur rel de tension de caractristiques E et r et on cherche quelleest la rsistance R brancher en parallle afin que la puissance dissipe, par effet Joule, dans R soitmaximale.

( )

2

2

2

P RI R

P EEI R r

R r

= =

= ++

La courbe P = f(R) a lallure donne par la Figure 34.

Figure 34

Pour R = 0,E

Ir

= et la puissance dissipe dans R est nulle : 0 0E

Pr

= = . Lorsque R devient trs

grande, quelle tend vers linfini, la d.d.p. aux bornes de R vaut E, et lgalit2

0R

EP

R= . Entre

les deux valeurs 0, la puissance atteint un maximum.Pour ce maximum, la drive de P par rapport R est nulle. La valeur de R qui annule la drive de Pest la valeur cherche.

34

E

+

r

A

B

R


35/132

( ) ( )

( )

22 2

4

2 E R r R r RE P

R R r

+ +=

+

( )0 2 0P

R r RR

= + =

R r=

Lorsque nous nous intresserons aux impdances en alternatif, nous tablirons la condition dadaptation

des impdances, importantes notamment lorsque lon connecte des haut parleurs un amplificateur afinque le rendement nergtique soit maximum.

Lorsque la condition dadaptation de rsistance est ralise, la puissance dissipe dans la rsistancebranche aux bornes du gnrateur est :

2 22

24 4

E E P rI r

r r= = =

Le rendement de lensemble gnrateur et rcepteur est :

2 2

rcepteur

2

gnrateur

14 4

2

2

E EP r r

E P EI

r

= = = =

35


36/132

Exercices

1. Calculer I

2. Calculer I

3. Calculer R1 et R2 :

3.1.

36

50

10 20

50 V 20 V

I

18 18 3

18 VI

18 V

1 A

21 V

5 V

3,5

6

R2

R1

12 V


37/132

3.2.

4. Calculer I dans la rsistance de 18 :

5. Soit un gnrateur de f..m. E = 100 V et de rsistance interne r. Dterminer la rsistance interne rafin d'obtenir un rendement de : 80 % sous 1 A. 80 % sous 2 A. 90 % sous 1 A. 90 % sous 2 A.

6. Soit un gnrateur de tension de f..m. E = 80 V et de rsistance interne r = 2 . Dterminerl'ensemble des valeurs de l'intensit dbite par le gnrateur pour obtenir un rendement suprieur 90%.

7. Dterminer les gnrateurs quivalents entre les points A et B :

7.1.

37

0,48 A

15 V

24 R2

R1

12 V

6

A

2 12 V 6 V 10 V

1 1

B

3 A

5 A

8 A

2 A

66 55 15 90 18

I


38/132

7.2.

7.3.

8. Calculer le courant I, classer les appareils en gnrateurs et en rcepteurs :

38

A

2 6 V 18 V 6 V

3 1

B

A

2 V

4 V

4 VB

2

2

1

I

6 V

12 V

2

1 I

6 V

24 V

4

1

1

12 V

8.1. 8.2.

I

6 V

6 V

4

4

3

4 V

8.3. 8.4.

I

3 V

3 V

3

4

2

3 V

2

1


39/132


40/132

Solutions :

1.12

A17

I =

2.

3A

2I =

3.1. 1 6R = et 2 3R = .

3.2. 1 600R = et 2 1R = .

4.4

A3

I =

5. Calculons le rendement :( )2

2

1E IE I r I r

E I I

= =

.

On trouve ainsi respectivement 20 , 10 , 10 , et 5 .

6. Calculons le rendement :2E I r I

E I

=

. En supposant I tel que le rendement soit de 90 %,

l'quation rsoudre est : ( )2

2080 2

0,9 2 8 0 2 4 0480

II I I I I I

II

= = = = =

La solution retenir est videmment I = 4 A (I = 0 A n'offre aucun intrt). Un calcul simple ( si I = 1 A,80 1 2 1 78

97,5%80 1 80

= = =

) montre que l'on doit choisir : I < 4 A.

7.

7.1.

7.2.

7.3.

8.1. I = 2 A

8.2. I = - 5 A

8.3. I = 2 A

8.4. I = 1 A

40

A

4 B

8 V

A

6 B

6 V

A

2 B

2 V


41/132

9.15 35

0,2 A100

I

= =

10. Le gnrateur de courant impose une intensit de 10 mA dans le sens inverse des aiguilles d'unemontre. La rsistance de 50 est traverse par ce courant. Elle est donc le sige d'une d.d.p. de 0,5 V.

Par consquent, U = 5 + 0,5 = 5,5 V

11. Le gnrateur idal de courant impose l'intensit dans la branche du milieu. Par consquent, larsistance de 100 est le sige d'une d.d.p. de 3100 100 10 10 V = .

Le gnrateur de tension de 20 V imposant la d.d.p. aux bornes de la branche du milieu, on a :20 10 30 VU U= = .La rsistance de 50 droite sur le schma est soumise une d.d.p. de 20 V. Elle est donc traverse

par une intensit de 5020

400 mA50

I = = .

La loi des nuds applique au nud situ au dessus du gnrateur de courant donne :

100 400 300 mAI I+ = =

41

50

5 V 10 mA

U

0,5 V

100

20 V

100 mA

U

50

I

10 V

400 mA


42/132

Calculs et association de rsistances

Symbole dune rsistance :

Figure 38

Caractristique lectrique dune rsistance

On appelle caractristique lectrique dun diple la relation existant entre la d.d.p. aux bornes du dipleet le courant qui traverse le diple (u = f(i) ), ou bien la relation rciproque i = f(u).Pour une rsistance, la caractristique lectrique est une droite passant par lorigine :

Figure 39

Rsistance dun conducteur : cas dun matriau homogne forme gomtrique simple

Un fil lectrique de longueur l, de section s et de rsistivit possde une rsistance lectrique gale :l

Rs

= avec R en , l longueur en m, s section en m2.

sexprime en .m (ohm . mtre).On peut dfinir la rsistivit dun matriau comme tant sa facult empcher les lectrons (ou plusgnralement les charges lectriques) de passer. dpend uniquement du matriau et de latemprature. Un corps sera dautant plus conducteur que sa rsistivit sera faible.On dfinit trois catgories de corps :

Les conducteurs < 10-6m.

Les semi-conducteurs 10-6 < < 1 m. Les isolants > 1 m.

Leau distille par exemple possde une conductivit de 105m, ce qui la classe parmi les isolants.Leau charge dions peut tre un assez bon conducteur.

42

i

u

R

R


43/132

Rsistivit de quelques matriaux 0C :

Argent Ag 1,5 10-8.mCuivre Cu 1,6 10-8.mAluminium Al 2,5 10-8.mTungstne W 5,6 10-8.mFer Fe 11 10-8.mPlatine Pt 11,5 10-8.mPlomb Pb 22 10-8.mMercure Hg 95 10-8.m

Rsistance entre prises de terre

Le sol, la terre possde une rsistivit trs leve, comprise entre 5 et 5000 .m suivant sa compositionet son humidit. En tous les cas, la rsistivit du sol est gal plusieurs millions de fois celle du cuivre.Malgr cela, le sol constitue un excellent conducteur grce la section quasiment infinie quil offre aupassage du courant lectrique.Le schma de la Figure 40 reprsente les prises de terre dune distribution lectrique en rgime de

neutre TT. Ce qui signifie que le neutre du secondaire du transformateur de distribution est mis la terreet que du ct des consommateurs, les masses des appareils lectriques sont connectes la terre viaune prise de terre ralise au niveau des maisons ou des immeubles.On peut distinguer 4 rsistances sur le circuit ci-dessous :

1. rsistance des lectrodes elles mmes ngligeable ;2. rsistance de contact entre les lectrodes et le sol ngligeable ;3. rsistance du sol dans une sphre dune dizaine de mtres entourant les lectrodes

importante (10 20 ) ;4. rsistance du sol entre les sphres entourant les lectrodes ngligeable.

43


44/132

Figure 40

Le sol nest pas un conducteur homogne et leffet de peau ne sapplique pas.

44

prise de

terre

secondaire du transformateurde distribution

sol autour dellectrode

prise de terre

rsistance ngligeable entre les prisesde terre

10 m

neutre


45/132

Leau de mer possde galement une rsistivit leve, sa valeur moyenne est de 0,3 .m. Pourtant,dans certaines applications de transport dnergie lectrique en courant continu haute tension (continent le, en Sude notamment), la mer sert de deuxime conducteur. On conomise ainsi, en courantcontinu, la fabrication et la pose dun second conducteur entre lle alimenter et le continent. L aussi,le fait que les lignes de courant peuvent spanouir dans une section norme diminue la rsistance duconducteur mer. La mer constituerait un conducteur beaucoup plus homogne que la terre, mais lecourant que lon y fait passer est continu, leffet de peau ne vient donc pas rduire la section duconducteur mer.

Figure 41

45

+

lectrodes enfouies lelong de la cte

continent

le

Transport dnergie lectrique par courant continu haute tension : onconomise deux cbles par rapport une distribution triphas, cestconomiquement intressant dans ce cas prcis o les cbles sous-marins etleur pose sont trs onreux.


46/132

Variation de la rsistivit et de la rsistance en fonction de la temprature

Cas des conducteurs : on distingue deux zones.

Rsistivit normale :

La rsistivit augmente linairement avec la temprature.

On a alors ( )0 1t at = + avec t : rsistivit la temprature t en m ; 0 : rsistivit 0C en m ;

t : temprature exprime en Celsius et a : coefficient de temprature en (C)-1.

Mtal Coefficient de tempratureArgent 0,004Cuivre 0,004

Aluminium 0,004Fer 0,0055

En ngligeant les dilatations, on obtient alors :

( )0 1t R R at = +

Le constantan (Alliage de cuivre (de 50 60 %) et de nickel (de 40 50 %)) possde un coefficient detemprature trs faible, il a donc une rsistivit quasi-constante.

Supraconductivit

Le phnomne a t dcouvert en 1911 par Heike Kamerlingh Onnes (physiciens nerlandais (1853 1926), prix Nobel en 1913) alors quil tudiait le comportement de la matire autour du zro absolu. Endessous dune certaine temprature proche du zro absolu ( 10K), la rsistivit de certains corpschute brutalement une valeur quasiment nulle. Pour le plomb, par exemple, en dessous de 7,2K larsistivit est nulle. On obtient la courbe suivante :

Figure 42

La temprature de transition (TC) appele temprature critique est trs basse, proche du zro absolu.Sous laction dun champ magntique B, une substance ltat supraconducteur peut redevenirrsistante. Il existe, pour chaque valeur de la temprature T, une valeur maximale BC (C comme critique)du champ magntique qui provoque le retour du conducteur dans le domaine rsistif.Lorsque le supraconducteur est parcouru par un courant, celui-ci produit un champ magntique qui peutprovoquer le changement dtat du supraconducteur. Il existe donc une densit de courant critique JC, le

champ magntique tant proportionnel au courant.

46

rsistance

Temprature

0K-273C

0C273K

supraconductivit

Conduction normale

TC=7,2K


47/132

Cas des semi-conducteurs

On dmontre que la rsistance dun semi-conducteur dcrot avec la temprature selon une loiexponentielle lorsque la temprature augmente. Cest le cas du silicium, du germanium par exemple :

0

kTR R e=

Cette variation rapide de rsistance permet de raliser des capteurs de temprature trs sensibles, mais

non linaires (thermistances).

Figure 43

Leffet de peau

Leffet de peau est un phnomne dorigine lectromagntique qui napparat pas lorsque le courant estconstant et indpendant du temps. En rgime variable, la densit de courant dans la section dunconducteur nest pas uniforme. Elle dcrot de la surface vers le centre. Ainsi en rgime sinusodal, la

densit dcrot selon la loi :

( ) 0x

j x j e

= j0 est la densit de courant en surface, x la profondeur, est une constante appele

profondeur de pntration qui dpend du matriau et de la frquence du courant. Le tableau ci-dessousdonne les valeurs de pour le cuivre :

Frquence (Hz) 50 104 106 1010

8,5 mm 0,6 mm 60 m 0,6 m

A une profondeur x = 3, la densit de courant j nest plus que les 5/100 de j0 ; si la profondeur est 5, ladensit j est infrieure 0,01 j0. Un calcul montre que la section quivalente utile dun conducteur serduit un anneau dpaisseur.

Ainsi, aux frquences industrielles (50 Hz) les trs gros conducteurs sont creux : il est inutile de leurdonner des paisseurs suprieures 25 mm. Cest le cas des barres, conducteurs actifs des trsgrosses machines tournantes, de plus les conducteurs peuvent ainsi vhiculer un fluide rfrigrant.En haute frquence, les courants circulent uniquement la surface des conducteurs, do le nom deffetde peau. Cest, par exemple, le cas des antennes.

47

0K-273C

rsistance

Temprature


48/132

Les gros cbles de transport de lnergie lectrique sont constitus de brins assez fins (< 25 mm).Leffet de peau est utilis lors du dmarrage de certaines machines asynchrones dont les cages (rotors)sont spcialement conues cet effet. Le couple dune machine asynchrone est proportionnel larsistance du rotor. Aussi, afin de disposer dun couple important au dmarrage, il faudrait que larsistance du rotor soit maximum lors du dmarrage. On y parvient en donnant aux barreauxconducteurs du rotor des formes comme celles ci-dessous :

Figure 44

La frquence des courants rotoriques est maximum au dmarrage de la machine, et donc les courantrotoriques se rpartissent la surface des conducteurs de la cage. La section utile tant minimum, larsistance de ces conducteurs est maximum. Le couple est lui aussi maximum.Une fois le dmarrage effectu, le rotor tourne, la frquence des courants rotoriques diminue et ils serpartissent plus en profondeur dans les conducteurs rotoriques. La section utile tant plus importante,la rsistance de ces conducteurs diminue.

Figure 45

Conductance et conductivit

La conductance est dfinit par1

GR

= , lunit SI de conductance est le siemens (symbole S), et 1

siemens = 1/ohm. Une rsistance de 25 a une conductance de 1/25 siemens, ou 0,04 S.La conductance dun groupe de rsistances en parallle est gale la somme des conductances dechacune des rsistances.

La conductivit est dfinit par1

= en (m)-1

Sil nexiste pas de bon conducteur de llectricit entre deux points o rgnent une d.d.p., le courant necirculera sans doute pas. Nanmoins, si la d.d.p. est trs importante, une tincelle, un arc lectriquepeuvent jaillir.

48

Courants rotoriques(moins de 2 Hz) aprs ledmarrage : frquencefaible do effet de peautrs attnu

Forte rsistance Faible rsistance

Courants rotoriques (50 ou 60Hz) au dmarrage : frquencemaximale do effet de peaumaximum


49/132

Associations de rsistances

Rsistances en srie

Figure 46

1 2 3 1 2 3A BV V U U U R I R I R I = + + = + +

( )1 2 3 1 2 3 A B eq eqV V R R R I R I R R R R = + + = = + +

De faon gnrale, on dmontre par rcurrence que1

n

eq j

j

R R=

=

pour des rsistances en srie.

Rsistances en parallle

Figure 47

( )1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 1 A B A B A B

A B A B eq

V V V V V V I I I I V V V V R

R R R R R R

= + + = + + = + + =

1 2 3

1 1 1 1

eq R R R R

= + +

On dmontre par rcurrence que1

1 1n

jeq jR R=

=

49

A BR1 R2 R3

U1

U2

U3

I

R1

R2

R3

I1

I2

I3

IA B


50/132

Thorme de Kennelly

Le thorme de Kenelly permet de transformer 3 rsistances disposes en triangle en 3 rsistancesdisposes en toile et rciproquement (Figure 48).

Figure 48

Afin que les deux rseaux soient quivalents, il doivent possder la mme rsistance entre deux pointspris 2 2 :

Entre 1 et 2 :

( )( ) ( )( )3 1 2

3 1 2 1 2 1 2

1 2 3

//Y

r r rr r r R R R R

r r r

++ = + + =

+ +(1)

Entre 2 et 3 :

( )( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 3 2 31 2 3

//Y

r r rr r r R R R Rr r r

++ = + + = + +(2)

Entre 3 et 1 :

( )( ) ( )( )2 3 1

2 3 1 3 1 3 1

1 2 3

//Y

r r rr r r R R R R

r r r

++ = + + =

+ +(3)

En sommant et retranchant les quations membre membre :

(1) + (3) (2) 1 2 3 2 3 12 ( ) 2 R R R R R R + + + =

3 1 3 2 2 3 2 1 1 2 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3

2r r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r

+ + + =

+ + + +

50

23

1

3

1

2r

1

r2

r3

R1

R2 R

3


51/132

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

1

1 2 3

1 3

2

1 2 3

1 2

3

1 2 3

1 3 2

1 2 3

2 3 1

r rR

r r r

r rR

r r r

r rR

r r r

+ =+ +

+ =+ +

+ =+ +

Ce sont surtout les trois formules ci-dessus (transformation triangle toile) qui sont utiles. Elles semmorisent aisment en remarquant que la rsistance de ltoile cherche est gale au produit desdeux rsistances du triangle qui lentoure (on superpose ltoile et le triangle et les points 1, 2, 3) sur lasomme des rsistances du triangle.

La transformation toile triangle conduit aux formules :

1 2 1 3 2 3

1

1

1 2 1 3 2 3

2

2

1 2 1 3 2 3

3

3

R R R R R Rr

R

R R R R R RrR

R R R R R Rr

R

+ +=

+ +=

+ +=

Rhostat et potentiomtre

Rhostat et potentiomtre ont des buts bien distincts.Un rhostat est une rsistance variable, on lutilise pour doser le courant qui passe dans un rcepteur.

Figure 49

Le but dun potentiomtre est, partant dune tension fixe U, dobtenir une tension variable entre 0 et U.

Figure 50

51

Symbole du rhostat

U

0 < e < U

Curseur mobile


52/132

Pour raliser un rhostat partir dun potentiomtre, il suffit de relier le curseur mobile une desextrmits comme lindique la Figure 51 :

Figure 51

Si le rcepteur, aliment par le potentiomtre, demande des intensits de courants importantes, lerendement sera mauvais, dautant plus que la tension produite sera faible et que le courant aura traverser une part importante de la rsistance. Le montage potentiomtrique tait utilis, vers lesannes 1900, pour rgler la vitesse des machines courant continu propulsant les tramways. Lehacheur (montage appartenant llectronique de puissance) permet aujourdhui de rgler la tensionentre 0 et Umax avec un excellent rendement.

52


53/132

Diviseur de tension

Figure 52

Si le rseau est vide ( i = 0 ), alors :

( )1 2A CV V E R R I = = +

et 2 21 2

B C

Eu R I R V V

R R= = =

+2

1 2

Ru E

R R=

+

53

E

u

R1

R2

+

I

i

A

B

C


54/132

Cas du diviseur de tension charg :Lorsquun rcepteur est connect au diviseur de tension, on ne peut plus ngliger i absorb par lercepteur (Figure 53).

Figure 53

On commence par calculer la rsistance quivalente R2 en parallle avec R. La d.d.p. aux bornes etgale cette rsistance quivalente multiplie par le courant I, lui-mme gale la f..m. E divise parla rsistance totale (R plus la rsistance quivalente R2 en parallle avec R).

2 2

2 2 21

2

RR RR E u I

R R R R RRR

R R

= = + + + +

2

1 2 1 2

RRu E RR R R RR

= + +

54

E

u

R1

R2

+

I

i

A

B

C

R


55/132

Diviseur de courant

Figure 54

Il sagit de calculer les courants I1 et I2 en fonction du courant I et des rsistances R1 et R2.

( ) 1 21 1 2 21 2

A B

R RV V R I R I I

R R

= = = +

2 1

1 2

1 2 1 2

etR R

I I I I R R R R

= = + +

Le fait que la d.d.p. soit identique aux bornes des deux rsistances peut sexpliquer laide dun principevariationnel gnral qui sapplique aux circuits en courant continu : la distribution des courants dans unrseau, pour un courant dentre I0 donn, est celle qui produit la dissipation dnergie totale par effetJoule la plus petite dans le rseau.

55

I1 I

2

R2R1

I

A

B


56/132

O un principe variationnel gnral permet de retrouver une formule connue de la thorie descircuits lectriques :

La Figure 55 montre deux rsistances en parallle, de valeurs R1 et R2. Le courant se divise entre elles,dune certaine faon. Les formules classiques tablies en cours de circuit lectrique permettent decalculer aisment les courants I1 et I2 qui les traversent en fonction de I0, R1 et R2.

Cependant, la condition I0 = I1 + I2 (loi des nuds) associe la condition de dissipation minimumdnergie par effet Joule au sein des deux rsistances R1 et R2 conduit aux mmes valeurs des courantsque celles que lon calcule partir des formules ordinaires des circuits. Cela illustre un principevariationnel gnral qui sapplique aux circuits en courant continu : la distribution des courants dansle rseau, pour un courant dentre I0 donn, est celle qui donne la dissipation dnergie totale laplus petite.

Ici :2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2P R I R I dP R I I R I I = + = +

Or : 0 1 2 1 2 I I I cte I I = + = = La condition de dissipation minimum dnergie par effet Joule au sein des deux rsistances R1 et R2scrit :

1 1 1 2 2 20 2 2 0dP R I I R I I = + = , avec 1 2I I = , on a :( )1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 22 2 0 2 2 0R I I R I I I R I R I R I R I + = = =on retrouve :

2

1 0

1 21 2

1 1 2 2 0

11 22 0

1 2

RI I

R RR R R I R I I

RR RI I

R R

= += = + =

+

Figure 55

56

I1 I

2

R2R1

I0

A

B


57/132

Pont de Wheatstone

Figure 56

En insrant dans une branche du pont une rsistance dpendant dun paramtre physique particulier(pression, temprature, etc), ce montage permet deffectuer des mesures trs prcises de grandeursphysiques.On dit que ce pont est lquilibre si i = 0 (le galvanomtre ne dvie pas).Alors : VD = VC ,donc : VA VD = VA - VC

et VD VB = VC - VB

donc :''

' '' ' '' 1 4

1 2 4 3 '

2 3

etR RI

R I R I R I R I I R R

= = = =

Soit : 1 3 2 4 RR R R=

57

A

B

U +

R1 R

2

R4

R3

II

i CD

galvanomtre


58/132

Application aux mesures de rsistances

Soit une rsistance inconnue X dont on souhaite dterminer la valeur, Figure 57.

Figure 57

On fait varier Rh jusqu obtenir lquilibre du pont. Alors X.R3 = R2.Rh

Soit : 23

R X Rh

R=

58

U +

X R2

Rh R3

CD

galvanomtre


59/132

Exercices

1. On ferme le contact K linstant t0. Dessiner lvolution de v(t).

2. Dterminer I dans le schma ci-dessous.

3. Dterminer la rsistance quivalente entre A et B.

59

2

3

4

10

4

A B

+

RRE

K

v(t)

+

50 V

200

200

200

200

I


60/132




60

A B8

6

6

10

3

6

200 200

100

100

50

100

A

B

5

5

3

12

4,4

2

10

A B


61/132



61

R

2 R

2 R

2 R

R

R/2

A

B

A

B

R

R

R

R

R

R


62/132





62

R1

R3

R3/2

A R2

R2

R3

R3/2

R3

B

9 A B9 9

7

B

12

3 1 6

8 4

RA BR R

R


63/132



63

2

3

RR

R

8

3

R

RA B

B

3 2

24 5

6 6

6

A 6

4


64/132

15. Dterminer la rsistance quivalente vue des points A et B.

16. Quelle est la rsistance du rseau ci-dessous, vu des points A et B, lorsquil comporte une infinit decellule R-r ?

64

B

R RRRRA

B

A

r r r r

RB

R R

R R

R R

A


65/132

17. Les rsistances R identiques forment les montants de lchelle. Les rsistances r, toutes gales,sont les barreaux. Quelle est la rsistance du rseau ci-dessous, vu des points A et B, lorsquil comporteune infinit de cellule R-r ?

65

A

B

A

B

R RRRR

R RRRR

r r r r


66/132

Solutions

1. K tant ouvert, les deux rsistances R forment un diviseur de tension par 2. La d.d.p. v(t) est gale E/2. Si on ferme K, il ny a plus de diviseur de tension, la d.d.p. passe de E/2 E.Do la forme de v(t) :

2.200 200

2002 2

eqR

= + =

50 10,25 A

200 4I = = =

3.

1 1 1 11,25

2 5 10eq

eq

RR

= + + =

66

t

v(t)

E/2

E

2

3

10

2


67/132

4.

1

2

1 1 1 1,252 5 10

1,25 2,4 4,4 8,05

1 1 13,084

5 8,05

eq

eq

eq

eq

R

R

RR

+ + =

= + + =

= + =

5. En regroupant deux rsistances en parallle, de proche en proche, on obtient : Req = 4 .

6.

200

3eq

R =

7. Un premier regroupement des deux rsistances de valeur 2R places en parallle donne :

Puis :5

2 2eq

R R R R R= + + =

8. On n'a pas intrt appliquer la transformation de Kenelly au triangle qui apparat de prime abord. Onpeut appliquer Kenelly un triangle form de deux rsistances horizontales et d'une rsistance dutriangle. On trouve : Req = R/2

9. L aussi, il n'est pas ncessaire d'appliquer Kenelly ce

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