Tout Le Cours Electrocinetique Pcsi Mpsi Ptsi

8/10/2019 Tout Le Cours Electrocinetique Pcsi Mpsi Ptsi

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PCSI

MPSI

PTSI

| Classe | prpa

| lectrocintique |

Bernard GendreauProfesseur de chaire suprieure

en classes prparatoires lcole nationalede Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) Paris

Christophe GriponProfesseur en classes prparatoires

lcole nationale de Chimie,Physique, Biologie (ENCPB) Paris

Tout le cours

Nathan,classeprpa


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Som

maire 1 Circuit lectrique en rgime stationnaire

1 - Dfinitions ................................................................................................. 42 - Courant lectrique Intensit Loi des nuds ....................................... 53 -Tension aux bornes dun diple Loi des mailles ..................................... 64 - Conventions dorientation pour un diple Diple actif, diple passif ... 65 - Conducteur ohmique Loi dOhm .......................................................... 7

6 - Sources dnergie lectrique Modlisation dun diple actif ................. 87 - Point de fonctionnement dun circuit ....................................................... 98 -Voltmtre et ampremtre ...................................................................... 10savoir rsoudre les exercices ............................................................................ 11

2 Puissance en rgime stationnaire1 - Puissance lectrocintique reue par un diple ...................................... 182 - Caractristiques dun conducteur ohmique ............................................ 19savoir rsoudre les exercices ........................................................................... 20

3 Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent1 -Association en srie ................................................................................. 242 -Association en parallle ........................................................................... 273 - quivalence des reprsentations de Thveninet de Norton dun gnrateur ...................................................................... 294 - Potentiel et loi des nuds en termes de potentiels ................................ 305 - Mthodes dtude dun circuit ................................................................ 31savoir rsoudre les exercices ............................................................................ 33

4Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension

1 - Circuit RC srie ....................................................................................... 392 - Circuit RL srie ........................................................................................ 443 - Circuit RLC srie ...................................................................................... 474 - tablissement dun rgime priodique forcdans un circuit soumis une tension priodique .......................................... 525 -Approximation des rgimes quasi permanents (ARQP) ........................... 53savoir rsoudre les exercices ........................................................................... 54

5 Circuits linaires en rgime sinusodal forc1 - Introduction ............................................................................................ 632 - Utilisation des nombres complexes ......................................................... 663 - Impdances complexes ............................................................................ 664 -Thormes gnraux ............................................................................... 695 - Lois dassociation ..................................................................................... 726 - tude dun circuit RLC, rsonances ......................................................... 75savoir rsoudre les exercices ........................................................................... 81

lectrocintique PCSI, MPSI, PTSI- Nathan, Classe prpa

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6 Puissance en rgime sinusodal forc1 - Puissance instantane et puissance moyenne .......................................... 892 -Aspects nergtiques de ltude du circuit RLC srie .............................. 92savoir rsoudre les exercices ............................................................................ 95

7 Transfert dun systme linaire Filtres du premier ordre1 - Fonction de transfert dun quadriple linaire Filtre ............................... 992 - Diagramme de Bode dun filtre ............................................................. 1013 - Filtre passe-bas du premier ordre .......................................................... 1024 - Filtre passe-haut du premier ordre ........................................................ 1055 - Prvision des comportements asymptotiques basse et haute frquences dun filtre ..................................................... 1086 - quation diffrentielle dun systme du premier ordre Stabilit ........ 1097 - Caractre intgrateur ou drivateur dun filtre ..................................... 110savoir rsoudre les exercices .......................................................................... 112

8 Filtres du deuxime ordre1 - Filtre passe-bas du deuxime ordre ....................................................... 1262 - Filtre passe-bande du deuxime ordre ................................................. 1293 - Filtre passe-haut du deuxime ordre .................................................... 1324 - Prvision des comportements asymptotiques basse et haute frquences dun filtre ..................................................... 1345 - quation diffrentielle dun systme du deuxime ordre Stabilit ..... 134savoir rsoudre les exercices .......................................................................... 137

Index................................................................................................ 149

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retenir lessentiel

4

Circuit lectriqueen rgime stationnaire

Un systme est en rgime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le dcrivent sontindpendantes du temps.

1 Dfinitions Un circuit lectriqueest un ensemble de conducteurs relis entre eux par des fils dejonction et dans lequel circule un courant lectrique.

Un dipleest un composant lectrique limit par deux bornes.

Un nudest un point commun plus de deux diples.

Une mailleest une partie dun circuit lectrique formant un contour ferm.

Une brancheest une suite de diples entre deux nuds conscutifs.

Par exemple dans la figure 1 :

Bet Esont des nuds du circuit. La maille ABEFA est constitue des diples D2 , D6 , D5 , et D1. Les contours fermsABCDEFAet BCDEBsont les deux autres mailles du circuit.

BCDE, EFABet EBsont les branches du circuit.

Fig. 1 A B C

DEF

D1 D6 D4

D2 D3

D5

Le circuit est constitu des diples D1, D2, D3, D4, D5et D6relis par des fils de jonction.

I

RemarqueLorientation arbi-traire de la brancheBCDE est donnepar la flche. Linten-sit Iest positive si lesporteurs de chargepositive se dplacentdans le sens choisiarbitrairement.


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1 Circuit lectrique en rgime stationnaire5

2 Courant lectrique Intensit Loi des nuds

2.1. Courant lectrique

Le courant lectrique est un dplacement de porteurs de charge (lectrons, ions) dans unconducteur.Le sens conventionnel du courant est celui du dplacement des porteurs de charge posi-tive. Cest donc aussi le sens oppos au dplacement des porteurs de charge ngative.

2.2. Orientation dune branche Relation entre chargeet intensit

Avant dtudier un rseau lectrique, chaque branche doit tre oriente arbitrairement(voir figure 1) en plaant une flche sur le trait reprsentant le fil de jonction surmontede la lettre I pour lintensit.Lintensit Idu courant qui traverse un conducteur est un dbit de charge. Cest une gran-deur algbrique. Elle est mesure laide dun ampremtre. Soit la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section deconducteur pendant une dure lmentaire Lintensit scrit :

Aprs calcul, cest le signe de la valeur de lintensit Iqui donne le sens rel du courant : signifie que les porteurs positifs sedplacent dans le sens choisi arbitrai-rement ;

signifie que les porteurs positifs sedplacent dans le sens inverse du sens choisi.

2.3. Loi des nuds

En rgime stationnaire, il ny a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conserva-tion de la charge. La loi des nuds traduit la loi de conservation de la charge.

Consquence : lintensit est la mme entout point dune branche car elle ne

contient pas de nud.

Loi des nudsLa somme des courants arrivant un nud est gale la somme des courants quien partent :

si lintensit est oriente vers le nud ;

si lintensit est oriente partir du nud.

dqdt.

I dqdt------=

I en ampre (A)q en coulomb (C)t en seconde (s)

Ici, le sens rel du courant est de B vers A.

Fig. 2 A BI= 3AI 0

I 0

I1 I2 I3 I4+ 0=

I1 I3

I4I2

N

kIk 0.=k +1,=

k 1,=

Fig. 3 I=I0 I=I0

AttentionLintensit en amontdun diple est gale sa valeur en aval ;le courant ne susepas dans un diple.

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6

3

Tension aux bornes dun diple Loi des mailles

3.1. Tension aux bornes dun diple

La tension entre deux points dun diple est lagrandeur lectrique mesure entre ces deuxpoints par un voltmtre. Elle est reprsentepar une flche. Cest une grandeur algbriqueet elle sexprime en volt (symbole V).

3.2. Loi des mailles

On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire).

Sur la figure ci-dessus : maille parcourue dans le sens horaire : ;

maille parcourue dans le sens anti-horaire :

4 Conventions dorientation pour un diple Diple actif, diple passif

4.1. Convention rcepteur et convention gnrateur

Le circuit tant orient (sens du courant Idfini), on peut choisir arbitrairement pour la

tension U: le mme sens que celui de I(flches dans le mme sens) ; cest la convention gnrateur; ou le sens oppos (flches de sens oppos) ; cest la convention rcepteur.

La somme des tensions aux bornes des

diples dune maille est nulle :

si la flche tension est dansle sens du parcours ; si la flche tension est dansle sens oppos celui du parcours.

Fig. 4

U

A BDiple

D1

D2 D3

D4

D5

U2

U1

U3

U4

U5

kUk 0.=le longdune maille

k +1,= Uk

k 1 ,= UkAttentionLes rsultats obtenusen appliquant la loides mailles sont ind-pendants du sens deparcours choisi.

U1 U2 U3 U4 U5++ + 0=

U1 U2 U3 U4 U5+ 0.=

Fig. 5

ConseilIl faut systmatique-ment reprsenter surles schmas lectri-ques les sens dorien-tation des branches(sens de lintensit)et les sens choisispour les flches ten-sion.

Convention gnrateur Convention rcepteur

Conventions dorientation dun diple

I I

U U


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4.2. Diple actif, diple passif

La caractristique dun diple est la courbe donnant la tension U ses bornesen fonction de lintensit Idu courant qui le traverse, ou la courbeUn diple passifest un diple dont la caractristique passe par lorigine.Un diple actifest un diple dont la caractristique ne passe pas par lorigine.

5 Conducteur ohmique Loi dOhm

5.1. Conducteur ohmique

Un conducteur ohmiqueest un diple dans lequel le passage dun courant provoque uneffet thermique appel effet Joule. On lui donne souvent le nom de rsistor.

5.2. Loi dOhm

Un conducteur ohmique est caractris par sa rsistance et satisfait la loi dOhm.Loi dOhm pour un conducteur ohmique en convention rcepteur :

La caractristique dun conducteur ohmique estune droite. Cest un diple passif.La conductanceG est linverse de la rsistance ;elle sexprime en siemens (symbole S).

U f I( )=I g U( ).=

Fig. 6

U

O I

U

O I

a) Caractristique dun diple actif. b) Caractristique dun diple passif.

U RI=U tension aux bornes dun conducteur ohmique (V)R rsistance dun conducteur ohmique en ohm ()I intensit du courant qui traverse le conducteur (A)

R

U=RI

I

Fig. 7

I

U

O

ConseilOrienter de prf-rence un conducteurohmique en conven-tion rcepteur et ap-pliquer la loi U=RI.Si le conducteur oh-mique est orient enconvention gnra-teur, la relation de-vient U=RI.

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8

6

Sources dnergie lectrique Modlisation dun diple actif

6.1. Sources idales dnergie6.1.1. Source ou gnrateur idal de tension

Cest un diple actif qui impose une tension constante E, appele force lectromotrice(not f..m.), entre ses bornes.

6.1.2. Source ou gnrateur idal de courantCest un diple actif qui impose un courant constant dintensit , appel courant lec-tromoteur(not c..m.), dans la branche dans laquelle il est plac.

6.2. Modlisation linaire de Thvenin et de Nortondun diple actif

Dans de nombreuses applications lexprience montre quon peut modliser un gnra-teur rel par lassociation : dun gnrateur idal de tension et dun conducteur ohmique en srie dont la rsistanceest appele rsistance interne du gnrateur ; cest le modle linaire de Thvenin. ou dun gnrateur idal de courant et dun conducteur ohmique en parallle dont laconductance est appele conductance interne du gnrateur ; cest le modle linaire de

Norton.

AttentionNe pas oublier que latension E est ind-pendante de lintensi-t Idu courant dbit.

AttentionNe pas oublier que lecourant dbit I0 estindpendant de latension Uaux bornes.

I0

Fig. 8

E

I I

U

E

O

U = E quel que soitI

b)Gnrateur idal de courant en convention gnrateur

a)Gnrateur idal de tension en convention gnrateur

I = I0 quel que soitUI0

U

U

II0

O


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7 Point de fonctionnement dun circuitLe point de fonctionnement dun circuit comportant deux diples est le point dintersec-tion des caractristiques de ces deux diples.

Caractristique

Modlisation linaire de Thvenindun diple actif (gnrateur de tension)

Caractristique

Modlisation linaire de Nortondun diple actif (gnrateur de courant)

Fig. 9

U

I+

ConseilPour la modlisationde Thvenin, la fl-

che tension corres-pondant la f..m.doit tre oriente duple du gnrateurvers le ple +.Pour la modlisationde Norton, la flchecourant correspon-dant au c..m. doittre oriente duple du gnrateurvers le ple +.

Reprsentation de NortonReprsentation de Thvenin

gUIr

r IE

I

0

g

1

r

-----=

r

U

I

U E rI =

I I0 gU , soit I I0U

r-----= =

U

IO

E

I0

RemarqueLes deux reprsenta-tions sont quivalen-tes, ce qui impose :

et (voirchapitre 3.)r r= E rI0 .=

U

I0O I

Fig. 10

Diple 1en conventiongnrateur

Diple 2en conventionrcepteur

U

Up

Ip

I(1)

P

O

(2)

Up

En noir, caractristique du diple (1)En couleur, caractristique du diple (2)

Point de fonctionnement dun circuit

Ip

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10

8

Voltmtre et ampremtre

8.1. Mesure des tensions

La tension Uaux bornes dun diple Dse mesure en plaantun voltmtre en parallle.Un voltmtre est idal si son branchement ne modifie pas latension aux bornes du diple dont il mesure la tension.Un voltmtre idal nest travers par aucun courant ; sa rsis-tance est infinie.

8.2. Mesure des intensits

Lintensit Iqui traverse un diple Dse mesure en plaant

un ampremtre en srie avec le diple.Un ampremtre est idal si son introduction ne modifiepas lintensit du courant qui traverse le diple.La tension aux bornes dun ampremtre idal est nulle ; sa rsistance est nulle.

D

U

V

D AI

AttentionLes voltmtres etampremtres sonttoujours considrscomme idaux dansles exercices, sauf in-dication contraire.On ne doit pas tenircompte de leur pr-

sence dans les cal-culs.


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savoir rsoudre les exercices


1 On lit sur la courbe caractristique du gnrateur (page suivante) les coordonnes dupoint limite de linarit :

Le gnrateur peut donc tre considr comme linaire tant que la tension Uest sup-rieure 4,0 V.

a. En respectant les ples du gnrateur, la modlisation linaire de Thvenin donne :

(1)

pour ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante :

1 Caractristique dun gnrateur non linaire

On considre le gnrateur ci-contre. En faisant dbiter un

gnrateur dans des rsistances rglables, on a obtenu lacaractristique ci-dessous.

On considre que la caractristique est linaire tant que lintensit du courant estinfrieure 0,10 A.

1 En prcisant son domaine de validit en intensit, dduire des mesures lesmodles linaires du gnrateur :a. modle linaire de Thvenin ; calculer la force lectromotrice Eet la rsis-tance interne r;b. modle linaire de Norton ; calculer le courant lectromoteur et la rsis-tance interne

2 Ce gnrateur alimente un rsistor de rsistance R. Dterminer la valeur limitedu domaine linaire.

3 Dterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le gnrateur ali-mente un rsistor de rsistance

I

U

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0,05 0,1 0,15 0,2 I(A)

U(V)

Caractristique du gnrateur

I0r.

Rlim

R 10 .=

rsolution mthodique

0,10 A ; 4,0 V( )

U E Ur E rI= =

U E= I 0= E 9,0 V.=

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12

r

est loppos de la pente de la droite ; pour la calculer on considre les points (0 ; 0,9 V)

et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient soit :

b.

En respectant les ples du gnrateur, la modlisation de Norton donne :

Lapplication de la loi des nuds conduit

donc (2)

tant loppos de la pente de la droite, sa valeur est celle de r

calcule plus haut.

Cherchons retrouver ce rsultat dune autre manire :

pour on en dduit graphiquement que

pour On obtient en prolongeant la droite correspondant la partielinaire de la caractristique la valeur

et

U(V)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0,05 0,1 0,15 0,2

I(A)


r9 40,1

------------ ,=

r 50 =

I +

E UrU

U

I + r

I

+

U

U

I0

I+

rIr

Faire attention aux sens dorientation des f..m. et c..m. : les flches correspondantes doiventtre diriges du ple ngatif du gnrateur vers le ple positif.

I Ir I0+=

U rI= I Ur---- I0+ U rI0 rI= =

r

U rI0= I 0,= rI0 9,0 V.=

I I0= U 0.=I0 0,18 A.=

rI0 9,0 V= I0 0,18 A r 50 .= =


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1Circuit lectrique en rgime stationnaire13

Remarque: En comparant les relations (1) et (2) on constate que et cesrelations sont gnrales et seront utilises au chapitre 3.

2 Ajoutons sur le graphe la caractristique du rsistor (conven-tion rcepteur sur le schma ci-contre) celle du gnrateur(figure ci-dessous).

La caractristique du gnrateur nest plus linaire pour et

la limite, Il faut donc que :

3 La rsistance tant infrieure on est en dehors du domaine linaire ; il fautdonc utiliser la mthode graphique de rsolution.Ajoutons sur le graphe la caractristique du rsistor celle du gnrateur (figure sui-vante). Elle passe par le point (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractristiquedu gnrateur. Le point de fonctionnement est le point dintersection du segment quirelie ces deux points avec la caractristique du rsistor. On lit directement ses coordon-nes sur les axes :

La dtermination graphique est toujours entache derreurs, ici de lordre de 10 %.

0,13 A et 1,4 V

r r= rI0 E,=

Les modlisations linaires de Thvenin et de Norton des gnrateurs rels ne sont que desapproximations. Selon la prcision recherche dans la dtermination des valeurs de fonctionne-ment, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins tendu.

U

I

R

Le trac dune caractristique na de sens que si les grandeurs correspondantes, Uet I, sont dfi-nies sur un schma.

10

9

8

7

6

5

4

32

1

0

R 40

R 40 =

0,05 0,1 0,15 0,2 I(A)

U(V)

I Ilim 0,10 A=

U Ulim 4,0 V.= RlimUlimIlim---------- 40 .= =

R Rlim 40 =

Rlim,

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14

2 Modlisation dune diode

Soit la tension aux bornes dune diode jonction et I lintensit du courant quila traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En units lgales : si (on dit que la diode est bloquante) ;

si (on dit que la diode est passante).

Le domaine dutilisation de la diode estet

1

Montrer que, selon les valeurs de la tension la diode est quivalente uninterrupteur ouvert ou un rsistor en srie avec un gnrateur idal de tension.

2

Tracer la caractristique

La rsolution graphique simpose quand le comportement dun ou de plusieurs diples duncircuit est non linaire.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


0,05 0,1 0,15 0,2 I(A)

point de fonctionnement

U(V)

0,13

La flche tension correspondant la f..m. dun gnrateur, ou la flche courantcorrespondant au c..m., doit tre oriente du ple ngatif vers le ple positif dugnrateur. Les modlisations linaires de Thvenin et de Norton des gnrateurs rels ne sontque des approximations. Selon la prcision recherche dans la dtermination desvaleurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus oumoins tendu.

La rsolution graphique simpose quand le comportement dun ou de plusieurs dip-les dun circuit est non linaire.

en conclusion

UD

UD

II 0= UD 0,60 V

UD 10I 0,60+= I 0

UD UDmin 3,0 V= I Imax 0,10 A.=

UD,

I f UD( ).=


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1

Circuit lectrique en rgime stationnaire

15

1

Pour lintensit qui traverse la diode est nulle. La diode est quiva-lente un interrupteur ouvert

.Pour on peut crire la tension sous la forme

Par identification, on a :

La diode est quivalente lassociation srie dun gnra-teur idal de tension et dun rsistor (figure ci-contre).

2

Pour la caractristique est le segmentcompris entre les points ( 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0). Pour la caractristique est le segment dqua-

tion de pente compris

entre les points (0,60 V ; 0) et (1,6 V ; 0,10 A). Elle estlimite au point :

; 0,10 A).

La caractristique est une courbe continue (figureci-contre).

3

Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modlisablepar lassociation srie du gnrateur idal de tension et du rsistor Reprsentonsle circuit quivalent.

3

La diode est insre dans le circuit ci-contre, qui com-prend un gnrateur rel, de rsistance interne

et de f..m. E

ajustable, et un rsistor dersistanceQuand on ajuste la f..m. la valeur onconstate quun courant traverse le circuit. Calculerlintensit I

, la tension et la tension aux bornes

du gnrateur.

4

Calculer la valeur en de de laquelle la diode est bloquante.

5

Exprimer la relation simple entre les tensions et quand la diode est blo-quante.

6

Tracer la courbe

et

U

D

I

U

G R

r 5,0 =R 15 .=

E 10,0 V,=

UD UG

Emin

UD UG

UD f UG( ).=

rsolution mthodique

UD 0,60 V,

r 10 =E 0,60 V=

I

UD

I 0, UDUD rI E.+=

E 0,60 V= r 10 =

Il faut faire attention lorientation du circuit et aux sens respectifs des flches reprsentant laforce lectromotrice et la tensionE UD.

0

0,08

0,06

0,04

0,02

0,60 UDmax= 1,6 V 1 2 3

UG(V)

0,1

I(A)

U

D

I 0,=

I 0,

I UD

10------- 0,060,= 0,10 1

(UDmax 0,60 10 0,1+ 1,6 V= =

E r.

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16

Orientons le circuit (flche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons laconvention rcepteur pour chacun des rsistors.

En choisissant le sens de parcours indiqu sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi desmailles, il vient :

Do

4 Le modle utilis est valide tant que la diode est passante ; la valeur de la f..m.est celle pour laquelle lintensit sannule. Daprs la relation il

vient immdiatement :

En de de cette valeur la diode est bloquante.

Une application de la relation avec conduirait unevaleur ngative de lintensit, en dehors du domaine de validit du modle de la diode.

et

et

Il faut systmatiquement reprsenter sur les schmas lectriques les sens dorientation des bran-ches (sens de lintensit) et les sens choisis pour les flches tension avant dappliquer la loi desmailles et la loi des nuds.

Diode

E rI

RI

I

R

E

UDUG

Gnrateur

r

r r I

E RI rI E rI 0 E E R r r + +( )I= = I 9,430------- 0,3133.= =

I 0,31 A=

UD E rI+ 0,60 109,430-------+ 3,7333.= = =

UD 3,7 V= UG E rI 8,4 V= =

Les calculs intermdiaires doivent tre conduits sans tre arrondis. Ainsi le calcul prcdent de latension doit-il tre conduit avec la valeur fractionnaire de I.

EminE E R r r+ +( )I,=

Emin E= UGmin Emin 0,60 V= =

E E R r r+ +( )I= E E

La valeur de lintensit (ou de la tension) obtenue par lutilisation dun modle de diple doitappartenir au domaine des intensits (ou des tensions) dans lequel ce modle est valide.


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1Circuit lectrique en rgime stationnaire17

5 La diode est quivalente un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui estle cas quand V. Reprsentons le circuit quivalent (ci-dessous). Lestensions aux bornes des rsistors sont nulles ; il vient immdiatement :

6 Calculons les valeurs extrmes et de la tension Eimpose par les condi-

tions aux limites de fonctionnement de la diode : V ;

soit

Quand la diode est bloquante Pour ce rgime, la courbe est lesegment de pente unitaire compris entre les points (3,0 V ; 3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V)Quand la diode est passante, on peut crire :

etdo :

A.N. :

Pour ce rgime, la courbe estle segment de pente 0,40 compris entre lespoints (0,60V ; 0,60 V) et (3,1 V ; 1,6 V).

La courbe complte est trace ci-contre.Cest une courbe continue qui prsente unerupture de pente quand la diode passe durgime bloquant au rgime passant.

UG UGmin 0,60=

Diode

RI=0

I=0

R

E

U

D

U

G

Gnrateur

r

r I=0

U

D U

G

=

Emin Emax

UGmin UDmin 3,0= =

UGmax E R r+( )Imax ,+= UGmax 3,1 V.=UD UG.= UD f UG( )=

UG RI UD 0= UD E rI,+=

UD(V)

1,6V

1

0,60V

1

2

3 0,60V 3,1V UG(V)

1

2

3

UD 1 r

R----+

E rR----UG+ UD

RE rUG+R r+

-----------------------------= =

UD9 10UG+

25-----------------------.=

UD f UG( )=

Il faut systmatiquement reprsenter sur les schmas lectriques les sens dorienta-tion des branches (sens de lintensit) et les sens choisis pour les flches tension avantdappliquer la loi des mailles et la loi des nuds. La valeur de lintensit (ou de la tension) obtenue par lutilisation dun modle dediple doit appartenir au domaine des intensits (ou des tensions) dans lequel cemodle est valide.

en conclusion

Nathan,classeprpa


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18

Puissance en rgimestationnaire

1 Puissance lectrocintique reue par un dipleLa puissance lectrocintique reue par un diple en convention rcepteur est :

ConsquencesLa puissance reue par un diple en convention gnrateur est :

La puissance fournie par un diple est gale loppose de la puissance reue.

1.1. Signe de la puissance reue et caractre dun diple

La puissance reue par un diple est une grandeur algbrique. Son signe indique le carac-tre gnrateur ou rcepteur du diple.

Il est quivalent dcrire :(i) un diple a un caractre gnrateur si la puissance quil fournit est positive ;

(ii) un diple a un caractre gnrateur si la puissance quil reoit est ngative.

Un diple a un caractre rcepteursi la puissance quil reoit est positive. Il trans-forme lnergie quil reoit en une autre forme dnergie (thermique, mcanique,lumineuse)Un diple a un caractre gnrateursi la puissance quil reoit est ngative. Iltransforme en nergie lectrique une autre forme dnergie.

AttentionLa relationnest applicable quen

convention rcepteur.

UI=

UI=

puissance du diple en watt (W)Utension aux bornes du diple (V)

Iintensit du courant qui traverse le diple (A)

UI.=

ConseilChoisir de prfrencela convention gnra-teur pour un diplede caractre gnra-teur et la conventionrcepteur pour undiple de caractrercepteur.


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2Puissance en rgime stationnaire19

1.2. Bilan de puissance dans un circuit

La puissance reue est lnergie reue par unit de temps.Comme lnergie, la puissance se conserve.

On peut aussi crire : la somme des puissances reues par les diples dun circuit est nulle.

2 Caractristiques dun conducteur ohmique

2.1. Rsistance dun conducteur ohmique homogne

et de section constanteLa rsistance dun conducteur ohmique homogne et de section constante (fig. 1) est :

La rsistivit est une caractristique du matriau conducteur. Elle dpend de la temp-rature.

2.2. Effet Joule dans un conducteur ohmique

Le passage du courant dans un rsistor provoque une dissipation dnergie thermique

dans ce dernier ; cest leffet Joule.La puissance dissipe par effet Joule dans un conducteur ohmique est (conventionrcepteur) :

La somme des puissances fournies par les diples gnrateurs dun circuit est gale la somme des puissances reues par les diples rcepteurs de ce circuit.

R LS---=

R : rsistance dun conducteur ohmique en ohm (): rsistivit du matriau conducteur ( m)L: longueur du conducteur (m)S: section du conducteur (m2)

Section daire S

longueur L

Fig. 1

UI RI 2 U2

R-------= = =

R : rsistance en ohm ()I : intensit en ampre (A)U: tension aux bornes en volt (V)

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20

1 Orientons le circuit et la tension Ucomme lindique le schma de lnonc. Le gn-rateur est en convention gnrateur et le rsistor est en convention rcepteur.

La tension Uscrit de deux manires : etDo Ce qui conduit :

On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens deparcours donn (voir figure) :

avec

On arrive au mme rsultat.

2 Il y a effet Joule dans les deux rsistors Ret r.

Le rsistor tant en convention rcepteur, il reoit la puissance Do :

Le rsistor rtant en convention rcepteur, il reoit la puissance :

1 Transfert de puissance

On considre un gnrateur de f..m. V et dersistance interne alimentant un rsistor dersistance .

1 Dterminer la tension U aux bornes du rsistor Ret lintensit Idu courant qui le traverse.

2 Calculer les puissances dissipes par effet Joule.

3 Calculer la puissance reue par le gnrateur idalde tension.

4 Faire un bilan de puissance pour lensemble du circuit.

r

E

R U

iE 10=r 5,0=

R 5,0=

rsolution mthodique

Ce choix des orientations est naturel car nous devinons quil conduira des valeurs positivesde lintensit Iet de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir dautres, les rsultats seraient lesmmes.

U RI= U E rI .=10 5I 5I.=

I 1,0 A et U 5,0 V==

r

E

R U

RI

i

E rI U 0,= U RI.=

R UI RI 2 .= =

R 5,0 W=

r UrI rI2 5,0 W= = =


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3 Le gnrateur idal de tension est en convention gnrateur ; il reoit la puissance :

W.

Il fournit donc la puissance + 10 W, rsultat attendu puisque cest la source dnergie.

4 La puissance fournie par le gnrateur idal (10 W) est entirement dissipe par effetJoule pour moiti dans le rsistor r (5,0 W) et pour moiti dans le rsistor R(5,0 W).

2 Adaptation dimpdance

On considre un gnrateur de force lectromotrice Eet de rsistance interne r qui alimente un radiateurlectrique modlisable par un diple rsistif de rsis-tance R. Leffet du passage du courant est thermique ;cest leffet Joule.

1 Exprimer la puissance reue par le radiateuren fonction de E, de ret de R.

2 Quelle est la valeur de la puissance quand R=0 ?Quelle est la valeur de la puissance quand la rsis-tance est trs grande ? Que peut-on en dduire ?

3 Dterminer la valeur de Rpour laquelle la puissance dissipe dans le radia-teur est maximale ? Reprsenter lallure de la courbe donnant la puissance enfonction de R.

Vrifier que les diples sont en convention rcepteur avant dappliquer la relation reu= UI ;Uet I sont orients en sens opposs.

E EI 10= =

Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au diple considr.On calcule ici la puissance reue par le gnrateur idal de tension, ne pas confondre avec lapuissance reue par le gnrateur qui scrit :

W.gn UI E R I( )I 5,0= = =

La relation reu= UI ne sapplique que si U et I sont orients en sens opposs(convention rcepteur).

en conclusion

r

E

R U

R

R0 RR

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22

1 On choisit les sens dorientation dfinis sur le schmaci-contre. La loi dOhm permet dcrire :

et

Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles scrit :

do

Le rsistor tant en convention rcepteur, la puissance quilreoit est :

2

La rsistance rest ngligeable devant Rquand Rest trs grand, do :

est toujours positive, nulle pour et Rinfini ; il existe donc (au moins) un maxi-mum de la puissance.

3

4 Dans le cas o le radiateur a la rsistance exprimer la puissance thermiquedissipe dans le radiateur et la puissance thermique dissipe dans le

gnrateur en fonction de Eet de ? Faire un bilan de puissance.

5 Pour quelle valeur de rle rendement est-il maximal ? En dduire le type de gnra-

teur quil faut utiliser pour alimenter un radiateur lectrique.

R0,R0 r0

R0

rsolution mthodique

r

E

R U

Ur

i

Ur rI= U RI.=

U E Ur+ 0,= I Er R+------------ .=

R UI R RI2= =

RRE2

r R+( )2-------------------=

R 0=

( )

0=

R r( )RE2

R2----------- E

2

R------= 0

R R 0=

Prendre lhabitude de confronter ses rsultats une analyse physique lmentaire. Une analysetrop rapide, faite partir de lexpression conduirait proposer que Rest maximalequand Rest infini ! Ce serait oublier que I dpend galement de R.

R RI2=

Point Maths. Une fonction de la variable est extrmale (minimale ou maximale) quand la

drive par rapport xest nulle.

f x( )dfdx------


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tant une fonction de R, sa valeur est extrmale (minimaleou maximale) quand sa drive par rapport Rest nulle.

siCette condition est appele adaptation dimpdance .Il nexiste quun extremum ; cest un maximum.

Vrifions quil en est bien ainsi pour la puissance :

4 et ; donc :

La puissance reue par le gnrateur de tension scrit

Bilan: ou La puissance fournie par le gnrateur

de tension est dissipe par effet Joule, pour moiti dans le gnrateur rel et pour lautremoiti dans le radiateur.

5 De faon gnrale le rendement est le rapport entre ce que lon rcupre (ce quinous intresse ) et ce que lon fournit (ce que lon dpense ). Ici, il sagit de transf-rer de lnergie lectrique du gnrateur au radiateur. Le rendement scrit donc :

Le rendement est une fonction dcroissante de r; il est

maximal quand ! Le rendement est alors gal 100 % .

On voit, et le rsultat tait attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimen-ter un radiateur avec un gnrateur de faible rsistance interne.

R

R

R

dRdR

----------- E2 r R+( ) 2R r R+( )r R+( )2

------------------------------------------------=

dRdR----------- 0= r R 2R+ 0 = R0 r=

Point Maths.Une fonction est maximale quand la drive seconde par rapport xest

ngative au point o elle est extrmale.

f x( ) d2f

dx2--------

d2RdR2------------- R0 E

2

8R3--------- 0.


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24

Mthodes dtudedun circuit lectriqueen rgime permanent

En complment de la loi des nuds et de la loi mailles, ltude dun circuit lectrique enrgime permanent se fait laide doutils dont le choix facilite la rsolution de problmes.

1 Association en srie

Des diples voisins sont en srie quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra-verss par le mme courant.

1.1. Association de rsistors en srie

1.1.1. Loi dassociation

Dmonstration:Lintensit du courant tant la mme en tout point de la branche, rien nest modifi si lonpermute les positions des rsistors.

Nrsistors de rsistance associs en srie sont quivalents unseul rsistor de rsistance gale la somme des rsistances de chacun deux :

(1)

ConseilPour savoir si des di-ples sont en srie,toujours se poser laquestion : sont-ils tousparcourus par lemme courant ?

R1, R2, , RN( )Rq

Rq R1 R2 RN+ + +=

Fig. 1

IR1 R2 R3

U1 U2 U3

U U1 U2 U3+ +=

Rq R1 R2 R3+ +=I

U

Association srie de trois rsistors

U U1 U2 U3+ + R1I R2I R3I+ + R1 R2 R3+ +( )I RqI.= = = =


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3Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent25

1.1.2. Diviseur de tensionLa figure 3 reprsente un diviseur de tension : deux rsistors en srie sont soumis unetension U. On cherche les tensions et aux bornes de chacun deux.

Dmonstration:

et

1.2. Association de gnrateurs en srie

On considre Ngnrateurs associs en srie, caractriss par leurs f..m. et rsistances

internes , Ces Ngnrateurs sont quivalents un seulgnrateur de f..m. et de rsistance interne

Remarque: les rsistances sassocient comme nonc au 1.1.1.

Dmonstration:

Pour les associer, on les modlise en utilisant la reprsentation de Thvenin (fig. 5) :

si les ples du gnrateur sont placs dans le mme sens queles ples du gnrateur (la flche correspondant Epest dans le mmesens que celle de Eq) ; dans le cas contraire.

Fig. 2 R1et R2ne sont pas en srie R1et R3ne sont pas en srie Seuls R2et R4sont en srie (le courantI2qui traverse R2est le mme que celuiqui traverse R

4). On peut appliquer

I1 I2( ).I1 I3( ).

Rq R2 R4.+=

R1 R2

R3

I1 I2

E R4

I3

U1 U2

Attention Si les flches cor-respondant U1 ou

U2ne sont pas dansle mme sens quecelle correspondant U, il faut mettre unsigne dans leursexpressions. Il ne faut pas appli-quer ces relationslorsque les deux r-sistors ne sont pas ensrie.Par exemple sur leschma de la figure 2,

R1et R2(ou R1et R3)ne forment pas un di-viseur de tension.Seuls R2 et R4 for-ment un diviseur detension.

Fig. 3

etU1R1U

R1 R2+------------------= U2

R2UR1 R2+------------------=

R1 R2

U1 U2

I

U

Diviseur de tension

U R1 R2+( )I IU

R1 R2+------------------= =

U1 R1I U1R1U

R1+R2-----------------= = U2 R2I U2

R2UR1 R2+------------------ .= =

E1; r1( ), E2; r2( ), EN; rN( ).Eq rq.

Eq 1E1 2E2 kEk NEN+ + + + +=

rq r1 r2 rN+ + +=

k + 1= Ek; rk( )Eq; rq( )

k 1=

Fig. 4 Association srie de trois gnrateurs

Eq E1 E2 E3+=

rq r1 r2 r3+ +=

E1;r1

E

q

E

1

E

2

E

3

I

E2 ;r2 E3 ; r3 Eq;rq

I

+ ++ +

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26

1.3. Loi de Pouillet

Cette loi permet dobtenir lintensit circulant dans une maille constitue de N

rsistors et N

gnrateurs caractriss par leurs f..m. et rsistances internes ,

Pour la figure 6, on obtient

Dmonstration

:

On utilise la reprsentation de Thvenin pour les gnrateurs. Les loisdassociation srie pour les gnrateurs et rsistors conduisent au circuit quivalent de la

figure 7 :

si la flche correspondant E

k

est dans le mme sens que celle corres-pondant lorientation de I

; dans le cas contraire.

ConseilPour associer desgnrateurs en srie,commencer par mo-

dliser tous les gn-rateurs en reprsen-tation de Thvenin.

Fig. 5 Modlisation de gnrateurs en srie

r1

EqE1 E2 E3

I

r2 r3 rq

I

UU

U E1 r1I E2 r2I r3I E3+ + + +=

U Eq rqI+= Eq E1 E2 E3+=

rq r1 r2 r3+ +=

ConseilPour un circuit unemaille, utiliser direc-

tement la loi dePouillet pour calcu-ler lintensit du cou-rant qui y circule.Trouver le rsultaten appliquant la loides mailles fait per-dre du temps.

R1, R2, RN( )E1; r1( ), E2; r2( ), EN; rN( ).

I 1E1 2E2 kEk NEN+ + + + +

r1 r2 rN R1 R2 RN+ + + + + + +---------------------------------------------------------------------------------------------=

k + 1=

k 1=

Fig. 6 Maille constitue de trois gnrateurs et de trois rsistorsE1;r1

E

1

E

2

E

3

E2;r2 E3;r3

IR

1

R

2

R

3

+ + +

AttentionNe pas appliquer cesrelations pour un cir-cuit constitu de plu-sieurs mailles. Il esterron dcrire pourla figure 2 que :

I3E

R1 R3+------------------ .=

IE1 E2 E3

r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +----------------------------------------------------------------.=

Fig. 7

Eq E1 E2 E3+ +=

Rq R1 R2 R3+ +=

rq r1 r2 r3+ +=

Reprsentation dun circuit quivalent

EqI

Eq;rq

Ir

q

R

q

U

R

q

R

q

U

r

q

+


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3

Mthodes dtude dun circuit lectrique en rgime permanent

27

Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient :

2

Association en parallle

Des diples sont en parallle (ou en drivation) quand tous les diples ont leurs deux bor-nes en commun. Ils sont soumis la mme tension.

2.1. Association de rsistors en parallle

2.1.1.

Loi dassociation

Dmonstration

:

La tension U

tant la mme aux bornes de chaque rsistor, rien nest modifi si lon per-mute les positions des rsistors

N

rsistors de conductance associs en parallles sont quiva-lents un seul rsistor de conductance gale la somme des conductances dechacun deux :

(2)

URq Urq Eq+ + 0=

Urq rqI= et URq RqI=

IEq

rq Rq+---------------------

E1 E2 E3r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + +----------------------------------------------------------------.= =

ConseilPour savoir si des di-ples sont en parall-le, toujours se poser laquestion : sont-ils toussoumis la mmetension ?

G1, G2, , GN( )Gq

Gq G1 G2 GN+ + +=

Gq1

Rq--------

1R1------

1R2------ 1

RN-------+ + += =

Fig. 8

Gq G1 G2 G3+ +=

Gq1

Rq---------

1

R1-------

1

R2-------

1

R3-------+ += =

Association parallle de trois rsistorsI1

I2

I3

II

R1

R2

R3

UU

I I1 I2 I3+ +UR1------

UR2------

UR3------+ + G1 G2 G3+ +( )U GqU.= = = =

Fig. 9 R1nest pas en parallle avec R3 R3nest pas en parallle avec R4 Seuls R3 et lensemble sont enparallle

U1 U3( )U3 U4( )

R2 R4+( )U3 U2 U4+=( )

1Rq--------

1R3------

1R2 R4+( )

-----------------------+=

U1 U2

U3

R1 R2

R3E R4 U4

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28

2.1.2. Diviseur de courantLa figure 10 reprsente un diviseur de courant : deux rsistors en parallle sont soumis un courant dintensit totale I. On cherche les intensits et parcourant chacundentre eux.

Dmonstration: et

et

2.2. Association de gnrateurs en parallle

On considre Ngnrateurs associs en parallle, caractriss par leurs courants lectro-moteurs c..m. et conductances internes , Ces Ngn-rateurs sont quivalents un seul gnrateur de c..m. et de conductance interne

Remarque: les conductances sassocient comme nonc au 2.1.1.

si les ples du gnrateur sont placs dans le mme sens queles ples du gnrateur (la flche correspondant est dans le mmesens que celle de ; dans le cas contraire.

I1 I2

Fig. 10 Diviseur de courant I1

I2

I

R1

R2

U

I1G1I

G1 G2+--------------------

R2IR1 R2+------------------= =

I2G2I

G1 G2+--------------------

R1IR1 R2+------------------= =

Attention Si I1 ou I2 ne sontpas dans le sens de I,il faut faire interve-nir un signe dansleurs expressions. Il ne faut pas appli-quer ces relationslorsque les deux r-sistors ne sont pas enparallle.Par exemple sur lafigure 9, o R2 et R3ne forment pas un di-viseur de courant,seuls R3et lensemble

forment undiviseur de courant.

R2 R4+( )

U R1I1 R2I2= = I I1 I2+=

R1I1 R2 I I1( ) I1 R2I

R1 R2+------------------= = R1 I I2( ) R2I2 I2 R

1IR1 R2+------------------= =

I01;g1( ), I02;g2( ), I0N;gN( ).Iq gq.

Iq 1I01 2I02 kI0k NI0N+ + + + +=

gq g1 g2 gN1

rq------

1r1----

1r2---- 1

rN-----+ + +=

+ + +=

k +1= Ek; rk( )Eq; rq( ) I0k

I0q )k 1=

Fig. 11

I0q I01 I02 I03+=

gq g1 g2 g31

rq------

1r1----

1r2----

1r3----+ +=

+ +=

Association parallle de trois gnrateursI01;r01

I

I

02;r02

I

03 ;r03

I

0q;rq

+

+

+

+


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3


29

Dmonstration

:

Pour les associer, on les modlise en utilisant la reprsentation de Norton (fig. 12) :

Dmonstration

:

Cas a) Cas b)

Par identification entre les deux membres de lgalit, on obtient :

3

quivalence des reprsentations de Thveninet de Norton dun gnrateur

Un gnrateur de tension de Thvenin (

E

; r

)

est quivalent un gnrateur de

courant de Norton o et

a)

gnrateur de tension de Thvenin

b)

gnrateur de courant de Norton

ConseilPour associer des g-nrateurs en parall-le, commencer parmodliser tous les g-nrateurs en repr-sentation de Norton.

Fig. 12

I

U

Iq

I1

I2

I3

rq

r1

r2

r3

I01

I02

I03

I0q

U

I

Casa) Cas b)

U r1I1 r2I2 r3I3= = =

I I1 I01 I2 I02 I3 I03+ + + += U rqIq=

I Iq I0q+=

Iq I0q+ I1 I01 I2 I02 I3 I03+ + + +Urq------ I0q+

Ur1---- I01

Ur2---- I02

Ur3---- I03+ + + += =

I0q +I01 I02 I03+=

1rq------

1r1----

1r2----

1r3---- gq g1 g2 g3+ +=( )+ +=

I0;g( ) I0 Er---= g 1r--- .=

Fig. 13

I

E r I0=

U E rI =

I I0 gU=

gU

gr---=

I0E

r----=r

1

g---=

U

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retenir lessentiel

30

Dmonstration :

Figure 13 a) :

Or figure 13 b) :Par identification entre les deux expressions de I, on obtient :

et

4 Potentiel et loi des nuds en termesde potentiels

4.1. Tension et potentiel

Entre deux points Aet Bquelconques dun cir-

cuit la tension scrit sous la forme de la dif-frence des potentiels en A et en B:

La flche est dirige du point Bvers le point A(fig. 14). Si est positif, et la flche tension est dans le sens des potentiels croissants. Les potentiels Vsont dfinis une constante prs, seule la tension ou diffrence de poten-tiel, que lon mesure avec un voltmtre, a un sens physique.

4.2. Masse dun circuit

En lectronique, la masse est un point dun circuit laquelle on attribue arbitrairement unpotentiel nul. Il sert de rfrence des potentiels.Le symbole est :

Remarque: on appelle aussi masse la carcasse mtallique dun appareil lectrique qui avocation tre relie la terre par lintermdiaire de la prise de terre. La Terre tant conven-tionellement au potentiel nul, cette carcasse lectrique peut servir de rfrence de potentiel.

4.3. Loi des nuds en termes de potentiels Thorme de Millman

Considrons L rsistors de rsistance ayant un nud com-mun N. Soit les intensitscirculant dans chacun des rsistors etorients vers le point N (fig. 15).Soit le potentiel du nud Net

les potentiels de lautreborne du diple considr.La loi des nuds sexprime alors par :

U E rI I Er---

Ur---- .==

I I0 gU.=

I0 Er---= g 1r--- .=

A B

UAB

Fig. 14

UAB

UAB VA VB.=

UAB VAVB

I1

I2

I3N

R1

R2

R3

UL

U1

U2

U3

V1

V2

V3

IL

RL

VN

Fig. 15R1, R2, RL( )I1, I2, IL( )

VN V1,V2, VL

I1 I2 IL+ + + 0,=


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et peut scrire sous la forme :

ou (3)

Remarque: la relation (3) est indpendante des sens dorientation choisis pour les diffrentes

intensits.La relation (3) conduit lexpression du thorme de Millman :

Remarque:Si certaines branches arrivant en Ncontiennent des sources de courant, il suffit de tenircompte de leurs c..m. dans lexpression de la loi des nuds.

5 Mthodes dtude dun circuitOn considre un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensits des cou-rants et tensions dans une ou plusieurs branches ?

5.1. Loi des nuds en termes de potentiels

Lorsquun circuit est constitu de plusieurs branches partant de points de potentiel impos

(par exemple une ligne de masse) et aboutissant un mme nud N, la loi des nud enterme de potentiel (ou le thorme de Millman) permet dobtenir trs rapidement le potentielde N. On peut alors facilement en dduire lintensit circulant dans chacune des branches.

5.2. Rduction du circuit

La mthode, dcrite ci-dessous tape par tape, est particulirement performante si oncherche uniquement lintensit du courant qui circule dans une branche particulire ducircuit (ou la tension ses bornes).Si lon doit calculer des intensits ou des tensions correspondant dautres branches, ilfaut nouveau appliquer la mthode, branche par branche.

ou

1retape.Isoler sur le schma lectrique la branche travers laquelle circule lintensitque lon veut calculer, par exemple en la reprant entre des points Aet Bet en entou-rant tout le reste du circuit. Si le sens de Inest pas impos, le choisir de faon arbitraire.

V1 VNR1

-------------------V2 VN

R2-------------------

VL VNR2

-------------------+ + + 0,=

G1 V1 VN( ) G2 V2 VN( ) GL VL VN( )+ + + 0=

ConseilIl est souvent trs utilepour simplifier les cal-culs, quand aucunemasse napparat surun circuit, den choi-sir une, place de fa-on pertinente, en unpoint donn du cir-cuit. Cela ne poseaucun problme carle potentiel est dfini

une constante prs.

VN

V1R1------

V2R2------

VLRL------+ + +

1R1------

1R2------ 1

RL------+ + +

---------------------------------------------= VNG1V1 G2V2 GLVL+ + +

G1 G2 GL+ + +------------------------------------------------------------------=

ConseilInclure la brancheAB dans les associa-tions de diples estune erreur frquente.Il faut absolumentdistinguer formelle-ment cette branchedu reste du circuit.

Fig. 16

UAB

I A

B

Reste du circuitDiple (ou association sriede diples) quelconque

Nathan,classeprpa


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retenir lessentiel

32

5.3. Utilisation directe des lois de Kirchhoff

On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nuds et la loi des mailles.Cette mthode conduit des calculs lourds et ne doit tre applique que si les mthodesprcdentes ne sont pas applicables.

2etape.Associer lensemble des gnrateurs et/ou rsistors situs dans le reste ducircuit (lois dassociations srie et/ou parallle des gnrateurs et/ou rsistors) afin dese ramener un circuit simple (par exemple un rsistor ou un gnrateur en reprsen-tation de Norton ou de Thvenin). On dit quon a rduit le circuit .

3e

tape.Si le circuit simple obtenu est : un gnrateur en reprsentation de Norton, alors il suffit dappliquer la relation dudiviseur de courant pour obtenir lintensit I; un rsistor ou bien un gnrateur en reprsentation de Thvenin, alors on a un circuitquivalent une seule maille et il suffit dappliquer la loi de Pouillet pour obtenir linten-sit I.Ayant Ion peut alors facilement en dduire la tension

1retape.Reprsenter tous les gnrateurs en reprsentation de Thvenin : on a alorsun circuit Nmailles indpendantes.2etape. chaque maille, associer un courant orient de faon arbitraire. On aainsi Ninconnues.3etape.Appliquer la loi des nuds chaque nud. On obtient lintensit qui circuledans chaque branche en fonction des Ndiffrents4etape.Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient Nquations.5etape.Rsoudre le systme de Nquations Ninconnues.

UAB.

Remarques

Si cette m-thode aboutissant une inconnue et unequation donne la loide Pouillet. Cette mthode con-duit des calculs as-sez lourds ds que

En pratique,elle est surtout utilelorsque lon cherchelensemble des inten-sits et tensions de

chaque branche.

N 1=

N 2.

Ik

Ik.


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On choisit un sens arbitraire pour les diffrentes intensits circulant dans les trois bran-ches, mais les choix retenus ici sont assez naturels , cest--dire que lon sattend, lors-que des valeurs positives pour et

Mthode 1 : loi des nuds en termes de potentiels

On peut prendre comme rfrence le potentiel du filreprsent par la ligne infrieure du schma (masse) :

etLe thorme de Millman donne directement :

On en dduit :

1 tude dun circuit simple par trois mthodes

On considre le circuit suivant. Dterminer linten-sit du courant qui circule dans les diverses branchesen utilisant dabord la loi des nuds en terme depotentiel, la mthode de rduction du circuit et enfinla mthode dutilisation directe des lois de Kirchoff.Conclure.

R1

R2 r E

rsolution mthodique

E 0, I1, I2 Ir.

Aucune masse napparat sur le schma de lnonc, il faut en placer une en un point donn afinde simplifier les calculs. Il va de soi que le rsultat obtenu est indpendant du point choisi.

R1

R2 r E

I1

Ir

N

M

A

I2

VM 0= E VA VM VA.= =VN

VN

VMR2-------

VMr

-------VAR1------+ +

1R2------

1r---

1R1------+ +

----------------------------------E rR2( )

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------.= =

I2VNR2------

ErR2r+R1r+R2R1---------------------------------------= =

IrVNR1------

ER2R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

I1VN E

R1----------------

E r R2+( )

rR1 R2r R2R1+ +-------------------------------------------

= =

Prendre lhabitude de vrifier, quand on a une expression sous la forme dune fraction, que lednominateur ne contient pas de diffrences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particuliresde rsistances, on pourrait aboutir une valeur infinie, ce qui na pas de sens physique.

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34

Mthode 2 : rduction du circuit Calcul de

On isole la branche NMdans laquelle circule (voir schma ci-dessous).On cherche transformer la partie du circuit encadre en une seule branche.

On reconnat lassociation parallle de deux rsistors.En introduisant on a lquivalence ci-dessous entre les deux circuits.

Il suffit alors dappliquer la loi de Pouillet et on obtient :

En rduisant le circuit, on a perdu linformation concernant il faut donc le rduirediffremment pour avoir

Calcul de

On isole donc la branche CMdans laquelle circule :

On reconnat (fig. 1) dans la partie du circuit qui alimente le diple CMun gnrateur deforce lectromotrice Eet de rsistance interne (reprsentation de Thvenin encadreen pointills) en parallle avec le rsistor r. Puisquils sont en parallle, il faut utiliser lareprsentation de Norton du gnrateur pour les associer. Cest sous cette forme que cedernier apparat sur la fig. 2 dans le cadre en pointills.

I1I1

Re1rR2

r R2+--------------,=

R1

R2 r E

I1

N

M

Re1

R1

E

I1

N

M

I1E

R1 Rq1+----------------------- I1

E r R2+( )R1 r R2+( ) rR2+-----------------------------------------= =

I2 ,I2.

Quand on rduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel diple,quelle est linformation perdue ? En ai-je besoin ?

I2I2

R1

R2 r E

I2

M

C

rR2 R1

M

C

I2

E

R1----

Figure1 Figure 2

R1

Quand un gnrateur est en parallle avec un autre diple, il faut utiliser la reprsentation deNorton.


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3


35

On associe les deux rsistors en parallle (fig. 3),

soit

Il y a alors deux possibilits. Premire possibilit : on applique la formule du divi-

seur de courant, ce qui conduit :

avec

Deuxime possibilit : on poursuit la rduction ducircuit une seule maille en transformant la reprsen-tation de Norton du gnrateur encadr en pointillssur la figure 3 en reprsentation de Thvenin (fig. 4).

Il suffit alors dappliquer la loi de Pouillet : avec

Calcul deIl ne faut pas reprendre la mthode gnrale utilise pour et pour pour ce circuit deux mailles indpendantes. La simple application de la loi des nuds en N

donne :

Mthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff

Le circuit est compos de deux mailles indpendantes, par exemple et

R2

M

C

I2

E

R1----Re2

Figure 3

Re2rR1

r R1+--------------- .=

I2ER1------

G2Ge2 G2+--------------------

ER1------

Re2Re2 R2+---------------------= = Re2

rR1r R1+---------------=

I2Er

rR1 R2R1 R2r+ +-------------------------------------------.=

R2

M

C

I2

E Re2R1

----------

Re2

Figure 4

I2ERe2

R1------------

1Re2 R2+--------------------- ,= Re2

rR1r R1+--------------- .=

I2Er

rR1 R2R1 R2r+ +-------------------------------------------=

IrI1 I2 ,

Ir I1 I2ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

R2; r( ) r; R1; E( ).

On pourrait penser tort que le circuit est constitu de trois mailles en considrant aussi lamaille mais cette dernire nest pas indpendante des deux autres.En revanche, au lieu de choisir les deux mailles et on pourrait tout aussi

bien choisir et ou encore et cela ne changeraitrien au rsultat.

Mthode :

1retape.La reprsentation de Thvenin est dj utilise pour le gnrateur2etape.Les sens arbitraires pour les intensits ont t choisis prcdemment.3etape.Appliquer la loi des nuds au point N, ce qui donne lintensit du courant dans labranche contenant r.

4etape.Choisir un sens pour les flches de tensions, un sens de parcours pour chacune desdeux mailles et appliquer la loi des mailles.

R2; R1; E( )R2; r( ) r; R1; E( ),

R2; r( ) R2; R1; E( ) r; R1; E( ) R2; R1; E( ),

E; R1( )

Ir

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36

; ;

Maille (1):

(1)

Maille (2):

(2)

En injectant cette expression de dans lexpression (2), on arrive :

Et on en dduit :

Remarque: Les trois mthodes conduisent aux mmes rsultats.

UR2 R2I2= UR1 R1I1= Ur r I1 I2( )=

R2

I1

R1

Urr

I2

N

E

I1 I2

(1)(2)

UR1

UR2

UR1 E Ur+ 0=

R1I1 r I1 I2( ) E+ 0=UR2 Ur 0=

R2I2 r I1 I2( ) 0=

5etape.Rsoudre le systme de deux quations deux inconnues.

(1 ) I1rI2 E+

R1 r+------------------.=

I1

I2Er

rR1+R2R1+R2r----------------------------------------=

I1E(r+R2)

R2R1+rR1+R2r----------------------------------------=

Ir I1 I2ER2

R2r R1r R2R1+ +-------------------------------------------= =

Vrifier, quand on a une expression sous la forme dune fraction, que le dnominateurne contient pas de diffrences. Quand on rduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel outel diple, quelle est linformation perdue ? En ai-je besoin ? La loi des nuds en terme de potentiel est bien adapte ici pour trouver rapidementlensemble des intensits recherches. La rduction du circuit est une mthode lourde ici car on cherche I1et I2. Toutefoissi lon ne cherchait que lune ou lautre de ces valeurs, cette mthode ncessite moinsde calculs que lutilisation directe des lois de Kirchoff.

en conclusion


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On isole tout dabord la branche AB travers laquelle circule lintensit que lon veut cal-culer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en vidence les associationsen parallle et en srie. On reconnat en effet les associations suivantes : le gnrateur de f..m. et le rsistor sont en srie ;

le gnrateur de f..m. et le rsistor sont en srie ;

les gnrateurs de Thvenin et sont en parallle.

2 tude dun circuit comportantun potentiomtre

Considrons un rseau constitu de 2 gnrateursidaux de f..m. et alimentant une mmersistance r. Le circuit est ferm par linterm-diaire dun potentiomtre CDet muni dun cur-seur B ralisant un contact mobile dont laposition est caractrise par un paramtre rel

La rsistance totale de la branche Cet Dest R, le curseur spare la partie CB (rsis-tance de la partie BD(rsistanceCalculer lintensit Idu courant circulant dans la branche centrale du circuit.

E2E1

A

B

C DR

xR 1 x( )R

I

r

E1 E2

x 0 ; 1[ ] .

xR), 1 x( )R).

rsolution mthodique

On ne cherche que la valeur dune seule intensit, la mthode de rduction du circuit est doncbien adapte. On pourrait aussi utiliser la loi des nuds en terme de potentiel mais nous ne latraitons pas dans cette correction.

E1 xR

E2 1 x( )R

E1; xR( ) E2 ; 1 x( )R( )

Prendre lhabitude de refaire les schmas pour : faire apparatre clairement les associations srie et parallle ; distinguer clairement la brancheABdu rseau qui lalimente.

E2E1 r

A

B

C D

xR 1 x( )R

E

F

G

H

I

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38

Pour mieux sparer la branche ABdu reste du circuit, on permute les positions des bran-ches ABet GH, cela facilite le travail de rduction un gnrateur quivalent du rseaualimentant AB.

Puisque les gnrateurs de Thvenin et sont en parallle, on peut directe-

ment les associer en utilisant les formules vues encours ; ces deux gnrateurs sont quivalents unseul gnrateur de c..m :

et de rsistance interne :

On reconnat un diviseur de courant, do :

A

B

C D

E

F

G

H

r

1 x( )RxR

E2E1

I

On peut positionner les trois branches en parallle EF,ABet GHdans nimporte quel ordre carcela ne modifie pas les proprits du circuit. En effet, les points E,Aet Gsont tous les trois au

mme potentiel, de mme que F, Bet H. Il est souvent utile de le faire.

A

B

I

RqI0q

r

r

E1; xR( )E2; 1 x( )R( )

I0qE1xR------

E21 x( )R--------------------- ,=

RqxR( ) 1 x( )R

xR 1 x( )R+---------------------------------- x 1 x( )R.= =

II0qRqRq r+-----------------= I

E1 1 x( ) xE2Rx 1 x( ) r+

--------------------------------------=

Reprsenter diffremment un schma lectrique pour faciliter les associations dediples.(1) Quand un gnrateur est en srie avec un autre diple, il faut utiliser la reprsen-tation de Thvenin du gnrateur pour les associer.(2) Quand un gnrateur est en parallle avec un autre diple, il faut utiliser lareprsentation de Norton du gnrateur pour les associer.

en conclusion


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4Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension

retenir lessentiel

39

Circuits RC, RL, RLCsriesoumis un chelon

de tension

Quand on connecte les diffrents lments dun circuit, les grandeurs lectriques telles que

lintensit et la tension voluent au cours du temps. On dit que le rgime est transitoire.Il dpend des conditions initiales.Aprs une dure suffisamment longue, thoriquement infinie, lvolution est indpendantedes conditions initiales ; le rgime est permanent.Un rgime permanent continu est un rgime indpendant du temps.Les grandeurs constantes seront notes en lettres majuscules ; les grandeurs variablesseront notes en lettres minuscules.

1 Circuit RCsrie

1.1. Caractristiques dun condensateurUn condensateur est un diple constitu de deux conducteurs (les armatures) spars parun matriau isolant.Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en labsence dindicationparticulire, un condensateur est considr comme idal, cest--dire quaucun courant netraverse le matriau isolant.La capacit Cdun condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures.

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retenir lessentiel

40

Un condensateur stocke de lnergie lectrique entre ses armatures. Le stockage est rversible.

Dmonstrationde lexpression de lnergie partir de la puissancepreue :

(Lnergie est nulle quand la tension est nulle.)Une variation instantane de lnergie stocke impliquerait une puissance infinie, ce quiest physiquement impossible.

1.2. Circuit RCsrie soumis un chelon de tension

1.2.1. Montage dtudeLinterrupteur K est dans la position (a) (fig. 1). Lintensit du courant et la tension aux bornesdu condensateur sont nulles.

1.2.2. chelon de tensionQuand on bascule linterrupteur K de la position (a) la position (b), la tension epasseinstantanment de la valeur nulle la valeur E. On dit que le circuit RCest soumis unchelon de tension (figure b)).Dans la suite nous supposerons que linterrupteur bascule la date

la date il est dans la position (a). la date il est dans la position (b).

qcharge de larmature Aen coulomb (C).tension aux bornes en volt (V).

Ccapacit du condensateur en farad (F).En convention rcepteur :

qcharge dune armature en coulomb (C).iintensit du courant arrivant sur larmature portant la charge qenampre (A).

utension aux bornes du condensateur en volt (V).nergie stocke dans le condensateur en joule (J).

Ccapacit du condensateur en farad (F).

Lnergie, la tension aux bornes et la charge dun condensateur sont des fonctionscontinues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuit.

RemarqueOn peut retenir larelation sous la forme

quiva-ente qA CuAB,=

qB CuBA.=

q Cu=

u

i

A B

qqu vA vB=

i dqdt------ Cdudt

------= =

wC12---Cu 2

12---

q2

C-----= = w C

p ui dwCdt

----------- dwC u Cdu

dt------ Cd

dt----- u

2

2-----

wC 12---Cu 2.= = = = =

(b)

E

(a) K

e

e

E

t

R

C

i

u

b)chelon de tension.a)Circuit RC soumis un chelon de tension(interrupteur dans la position (b)).

O

Fig. 1

t 0.=

t 0

,= t 0+

,=


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4Circuits RC, RL, RLC srie soumis un chelon de tension4

1.2.3. quation diffrentielle de la tension aux bornes du condensateur.Constante de temps

Quand le circuit est ferm, la loi des mailles scrit :

1.2.4. Rsolution de lquation diffrentielle. volution de la tensionLquation diffrentielle de la tension est une quation diffrentielle linaire du premierordre coefficients constants et second membre non nul.

APPLICATIONDELAMTHODE

1. Rsolution de lquation diffrentielle sans second membre

2. Solution particulire de lquation diffrentielle complte :3. Solution gnrale de lquation diffrentielle complte :

4. Dtermination de la constante en crivant la condition initiale impose au circuit, savoir la continuit de la tension aux bornes du condensateur :Il vient :La solution de lquation diffrentielle complte scrit :

1.2.5. Courbe normalise de lvolution de la tension

Introduisons les variables rduites (sans dimension) et ; on dit quon effectue

une rduction canonique, ou que les grandeurs sont normalises.

Lquation diffrentielle de la tension uaux bornes du condensateur dun circuit RC

srie soumis un chelon de tension Eest :est la constante de temps du circuit RC.

Point mthode 1. Rsolution de lquation diffrentielle linaire du premier ordre coefficientsconstants et second membre non nul.1.Rsoudre lquation diffrentielle sans second membre en introduisant une constante.2.Rechercher la solution particulire de lquation diffrentielle complte.3.crire la solution gnrale de lquation diffrentielle complte avec la constante.4.Dterminer la constante en crivant la condition initiale impose au circuit, savoir : continuit de la tension aux bornes dun condensateur ; continuit de lintensit du courant qui traverse une bobine.

Point maths. crire lquation caractristique de lquation diffrentielle :

Exprimer la solution rde lquation caractristique :

Exprimer la solution en introduisant une constante :

avec

RemarqueLa constante estaussi appele tempsde relaxation, oudure (ou temps)caractristique.

Ri u+ E.=

dudt------ u+ E.= RC=

dudt------ u+ 0.=

r 1+ 0.=

r1--- .=

ussm

ussm Aert Aet--,= = A constante.=

up up E.=

u ussm up+=

u Ae

t---

E.+=

AttentionIl faut dabord crirela solution compltede lquation diff-rentielle avant de d-terminer la constante.

ut 0+= ut 0= .=A E+ 0 A E.= =

u E 1 et---

.=

x t

--= y

uE----=

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retenir lessentiel

42

Lquation diffrentielle normalise est La solution normalise est

La courbe normalise donnantyen fonction de xest donne (figure 2a).

Pente lorigine de la courbe normalise :

1.2.6. Courbe normalise de lvolution de lintensit

La courbe normalise est celle de en fonction de (figure 3b).

1.2.7. Rgime permanent continuLe rgime permanent continu est atteint au bout dune dure infinie. En ralit il est pra-

tiquement atteint, 1 % prs, au bout dune dure puisque La constante

de temps caractrise lvolution du rgime transitoire.En rgime permanent continu : ; ;

Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est quivalent uninterrupteur ouvert en rgime permanent continu (figure 3).

dydx------ y+ 1.= y 1 e x .=

dydx------

01.=

i Cdudt------

ER---- e

t--.= = Ri

E------

t--

Fig. 2

Ri

E------

u

E----

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8

t

--t

--

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8

Courbes normalises des volutions de la tension (a) et de lintensit (b) pour un circuit RCsoumis un chelon de tension.

a) Remarquer la continuit de la tension

b) Remarquer la discontinuit de lintensit

t 0.=

t 0.=

1 1

a) b)

5 u 5( )

E---------- 0,99.=

Up E= Ip 0= Qp CE.=

Fig. 3Ip

0=

Un condensateur en rgime permanent continuest quivalent un interrupteur ouvert.

Ip

0=

Up

constante=Up

constante=


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1.2.8. Bilan nergtiquenergie stocke par le condensateur pendant le rgime transitoire :

nergie fournie par la source pendant le rgime transitoire :

nergie dissipe par effet Joule dans le rsistor pendant le rgime transitoire :

En rgime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reue par le circuit RCest nulle.

1.3. Rgime libre du circuit RC

Le rgime permanent continu tant atteint, la tension epasse instantanment de la valeur E la valeur nulle quand on bascule brutalement linterrupteur K de la position (b) la posi-tion (a). On dit que le circuit RCest en rgime libre (fig. 4).Soit la date du basculement.Lquation diffrentielle de la tension use rduit :

dont la solution est Lintensit est

En rgime permanent continu : ; ;

Toute lnergie stocke par le condensateur pendant le rgime transitoire a t dissipe pareffet Joule dans le rsistor.

WC12---CUp

2 12---Cu t 0=

2

12---CE2.= =

WE = Ei dt EQp CE2.= =0

WR WE WC12---CE2.= =

t 0=

dudt------- u+ 0,=

u Eet----

.= i ER----e

t----

.=

Up 0= Ip 0= Qp 0.=

Fig. 4

a) b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

a) Remarquer la continuit de la tension

b) Remarquer la discontinuit de lintensit

t 0 .=t 0.=

Courbes normalises des volutions de la tension (a) et de lintensit (b) dun circuit RC en rgime libre.

t-----

t-----

1

1

u

E----

Ri

E------

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retenir lessentiel

44

2 Circuit RLsrie2.1. Caractristiques dune bobine

Une bobine est un diple constitu dun enroulement de fil conducteur autour dun matriaumagntique.Elle a toujours une rsistance, celle du fil. Une bobine idale est une bobine dont on peutngliger la rsistance ; elle est caractrise par son inductance propre.Une bobine relle dinductance et de rsistance peuttre considre comme lassociation en srie dune bobineidale dinductance et dun rsistor de rsistanceEn labsence dindication dans un exercice sur la valeurde sa rsistance, une bobine est considre comme idale.

Le passage du courant provoque le stockage dnergie magntique dans la bobine. Lestockage est rversible.

Dmonstrationde lexpression de lnergie partir de la puissancepreue :

(Lnergie est nulle quand le courant est nul.)Une variation instantane de lnergie stocke impliquerait une puissance infinie, ce quiest physiquement impossible.

2.2. Circuit RLsrie soumis un chelon de tension

2.2.1. quation diffrentielle de lintensit. Constante de tempsSupposons qu date la tension epasse dela valeur nulle la valeur E. Le circuit RL(figure 5)est alors soumis un chelon de tension.Quand le circuit est ferm, la loi des maillesscrit :

do

En convention rcepteur :iintensit du courant traversant la bobine en ampre (A).utension aux bornes en volt (V).Linductance propre de la bobine en henry (H).rrsistance de la bobine en ohm ().

iintensit du courant traversant la bobine en ampre (A).nergie stocke dans la bobine en joule (J).

Linductance propre de la bobine en henry (H).

Lnergie et lintensit du courant qui traverse une bobine sont des fonctionscontinues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuit.

rLi

u

L r

L r.

u ri L didt-----+=

wL12---Li 2= wL

p uidwLdt

---------- dwL Lididt----- L

ddt-----

i 2

2-----

wL12---Li 2.= = = = =

Fig. 5

ue

i

L

R

t 0,=

Ri u+ E,= Ldidt----- Ri+ E.=


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2.2.2.volution de lintensit qui traverse la bobine idaleAppliquons la mthode de rsolution de lquation diffrentielle donne au paragraphe 1.2.4.(point mthode 1).1. Solution de lquation diffrentielle sans second membre :

avec

2. Solution particulire de lquation diffrentielle complte :

3. Solution gnrale de lquation diffrentielle complte :

4. Dtermination de la constante en crivant la condition initiale impose au circuit, savoir la continuit de lintensit du courant qui traverse la bobine :

La solution de lquation diffrentielle complte scrit :

2.2.3.volution de la tension aux bornes de la bobine idaleLvolution de la tension aux bornes est :

2.2.4.Courbes normalises

La courbe normalise de lintensit est celle donnant en fonction de :

La courbe normalise de la tension est celle donnant en fonction de :

Lquation diffrentielle de lintensit du courant qui traverse la bobine dun circuitRL srie soumis un chelon de tension Eest :

est la constante de temps du circuit LC.

didt----- i+

ER---- .=

L

R---=

issm Bert Bet--,= = B cte.=

ipER---- .=

i Bet-- E

R---- .+=

it 0 += it 0= B E

R----+ 0 B E

R---- .= = =

i E

R---- 1 e

t--

.=

u Ldidt----- Ee

t--.= =

RiE------

t--

RiE------ 1 e

t--.=

uE----

t--

uE---- e

t--.=

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46

2.2.5.Rgime permanent continuLe rgime permanent continu est atteint au bout dune dure infinie.

En ralit, il est pratiquement atteint au bout dune dure puisque

En rgime permanent continu : et

2.2.6.Bilan nergtiquenergie stocke par la bobine pendant le rgime transitoire scrit :

En rgime permanent continu : la puissance reue par la bobine est nulle : ; la puissance fournie par le gnrateur est dissipe par effet Joule dans le rsistor :

2.3. Rgime libre du circuit RLLe rgime permanent continu tant atteint, la tension e passe instantanment de lavaleur E la valeur nulle quand on teint la source ; le circuit est en rgime libre. Soit

la date de lextinction.

Le temps de relaxation donne un ordre de grandeur de la dure relle du

rgime transitoire du circuit RLsoumis un chelon de tension.

Du point de vue des courants et destensions, une bobine idale est quiva-lente un interrupteur ferm en rgimepermanent continu.

Fig. 6

a) b)

a) Remarquer la continuit de lintensit la date

b) Remarquer la discontinuit de la tension la date

t 0.=

t 0.=

u

E----

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6

Ri

E------

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 61 1t

--

volutions de lintensit (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis un chelon de tension.

t

--

5 Ri 5( )

E-------------- 0,99.=

LR---=

Up 0=

Ip

E

R---- .=

Ip constante=

Up 0=

Ip constante=

Up 0=

WL12---LIp

2 12---Li t 0+=

2

12---LIp

2.= =

PLp UpIp 0= =PEp EIp=

PRp RIp2

RIpER---- EIp.= = =

t 0=


Nathan,classeprpa


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Lquation diffrentielle de lintensit se rduit :

dont la solution est La tension est

En rgime permanent continu : et

Toute lnergie stocke par la bobine pendant le rgime transitoire a t dissipe par effetJoule dans le rsistor.

3 Circuit RLCsrie3.1. quation diffrentielle de la tension aux bornes

du condensateurSupposons qu date la tension epasse de la valeur nulle la valeur E. Le cir-cuit RLC(Fig. 8) est alors soumis un che-lon de tension. Quand le circuit est ferm, laloi des mailles scrit :

avec

Do

didt-------- i+ 0,=

i E

R

---- et----

.= u Ldi

dt

----- Eet----

.= =

Up 0= Ip 0.=

Fig. 7

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

a)

2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2 4 6 8

a) Remarquer la continuit de lintensit b) Remarquer la discontinuit de la tension t 0 .=t 0.=

Courbes normalises des volutions de lintensit (a) et de la tension (b) dun circuit RL en rgime libre.

u

E----Ri

E------

t-----

t

-----

1

1

e

R

C

i

u

L

Fig. 8t 0,=

Ri Ldidt----- u+ + E,= i Cdu

dt------.=

d2u

dt2

--------- R

L---

dudt------

u

LC

-------+ + E

LC------- .=

Nathan,classeprpa


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retenir lessentiel

48

3.2. Rsolution lquation diffrentielle rduite

APPLICATIONDELAMTHODE1. Rsolution de lquation diffrentielle rduite sans second membre

Lquation diffrentielle de la tension uaux bornes du condensateur dun circuitRLCsrie soumis un chelon de tension Eest :

ou

est la pulsation propre du circuit RLC. Elle sexprime en est la priode propre du circuit RLC. Elle sexprime en s.

est le coefficient damortissement du circuit RLC. Cest un

paramtre sans dimension (nombre). On dfinit aussi le facteur de qualit Q par :

Rduction canonique de lquation

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