Élise Anne Basque François Prévost-Lagacé

Alexandre St-Jean

Les techniques de multiplication à travers les âges

Travail présenté à M. Kamel Belbahri Professeur du cours MAT2531

Histoire des mathématiques

Université de Montréal Département de mathématiques et statistiques

Le 11 avril 2007

2

Table des matières

Introduction ............................................................................................................................ 3

Les tables de multiplication babyloniennes ........................................................................ 4

Le système de numération ................................................................................................ 4

Les tables de multiplication .............................................................................................. 4

La multiplication de la civilisation chinoise ....................................................................... 6

Représentation des chiffres chez les chinois .................................................................. 6

Le problème du zéro .......................................................................................................... 7

La multiplication ................................................................................................................ 8

Exemple de multiplication : 12 multiplié par 34. .......................................................... 9

La division, l’algèbre et le triangle de Pascal............................................................... 10

Le boulier chinois (14e siècle) ......................................................................................... 11

La technique égyptienne ...................................................................................................... 13

Les mathématiques en Égypte ........................................................................................ 13

Le papyrus Rhind............................................................................................................. 14

La numération hiéroglyphique Égyptienne ................................................................. 16

Les entiers ....................................................................................................................... 16

Les fractions ................................................................................................................... 18

La technique ................................................................................................................... 18

Une méthode dérivée : La méthode russe..................................................................... 21

Méthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies ou gelosia ........................... 22

Historique .......................................................................................................................... 22

Exemple de multiplication .............................................................................................. 23

Les bâtons de Napier ....................................................................................................... 24

Conclusion ............................................................................................................................. 27

Bibliographie ......................................................................................................................... 28

3

Introduction

Il est évident que la pratique des mathématiques a évoluée selon les époques,

surtout à travers les différentes découvertes, certaines visant à expliquer des concepts très

complexes et abstraits, d’autres visant à simplifier des travaux quotidiens. Nous avons

exploré dans notre travail ce deuxième aspect, plus spécifiquement les méthodes de

multiplication utilisées à travers les âges et selon différents peuples, que ce soit pour le

commerce ou toute autre activité reliée aux chiffres et aux quantités. Ces algorithmes

étant très nombreux, nous nous sommes concentrés sur quelques-uns principalement, afin

de pouvoir étudier également leurs contextes respectifs, ainsi que les avantages et

inconvénients rattachés à chacun.

Nous explorerons ainsi les premières tables de multiplication chez les

Babyloniens ainsi que des méthodes de multiplication étant apparues et ayant été utilisées

chez les peuples égyptiens, russes, chinois, indiens, arabes et européens.

4

Les tables de multiplication babyloniennes

Le système de numération Le territoire babylonien s’étendait surtout dans la région entre les fleuves du Tigre

et de l’Euphrate. La Babylonie est parmi les plus anciennes civilisations, et leur écriture

datant d’environ 4000 av. J.-C. est l’une des premières. Ils écrivaient en pressant des

formes en coin dans de l’argile qui était ensuite séchée. On appelle le résultat l’écriture

cunéiforme.1 Leurs chiffres étaient formés de clous et de chevrons, où un clou est

équivalent à une unité et un chevron à 10 unités. Ils

avaient un système de numération positionnel

sexagésimal, soit à base soixante. Par exemple, pour

écrire 533, décomposons-le en base soixante : 533 =

8X60 + 53. On écrirait alors 8 clous, un espace et 5

chevrons suivis de 3 clous. L’illustration ci-contre2

montre les représentations de 1859 et de 4818. Les

Babyloniens ont aussi éventuellement introduit un zéro, représenté par deux clous de

côté. Ils furent les premiers à le faire. De plus, ce grand peuple utilisait aussi les fractions,

aussi étonnant que cela puisse paraître à une époque aussi reculée! Il n’était pas évident

de les distinguer en écriture cunéiforme, puisque les Babyloniens n’utilisaient pas de

virgule ou de point décimal comme nous aujourd’hui. Pour faire la différence dans leur

système, on écrit par exemple 7,30 pour 450 et 0;7,30 pour 1/8.

Les tables de multiplication Les Babyloniens avaient des mathématiques très avancées pour leur époque,

beaucoup plus que les Égyptiens par exemple3. Ils avaient entre autre élaboré de

nombreuses tables de multiplication dont certaines ont pu être conservées étant donné la

durabilité des tablettes d’argile qui servaient à l’écriture cunéiforme. On sait ainsi qu’ils 1 Arthur GITTLEMAN, History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, p. 61 2 ANONYME. « Le système babylonien », [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) 3 Howard EVES, An Introduction to the History of Mathematics, 5th edition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, p.30

5

disposaient de tables pour la plupart

des nombres entre 1 et 59, mais aussi

de tables de multiplication pour des

fractions, entre autre celle de 0;7,30,

soit 1/8. Or, multiplier par 1/8 est

équivalent à diviser par 8, donc cette

table est surtout une table de division

ou d’inverse, tout comme la table qu’on voit sur l’illustration4 ci-contre.

Outre les tables de multiplication, les Babyloniens avaient travaillé sur de

nombreux autres calculs mathématiques, qu’on retrouve sur d’autres tablettes d’argile et

en écriture cunéiforme toujours. Certains étaient utiles pour le commerce, la géométrie et

l’algèbre. Dans cette dernière catégorie, on retrouve notamment la plus célèbre tablette

babylonienne, nommée Plimpton 322. Elle se trouve à la Columbia University et elle est

datée environ entre 1900 et 1600 av. J-C5. Comme on peut le voir sur la photo6 ci-bas, on

y trouve quatre colonnes de

chiffres. On voit aussi que la

tablette a été abîmée, mais on y

trouve cependant suffisamment

d’informations pour savoir que

ces quatre colonnes représentent

une numérotation et des triplets

pythagoriciens, soient des

solutions à l’équation

a2 + b2 = c2.

4Tiré de: « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) 5 Howard EVES, op. cit., p. 27-28 6Tiré de: « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php? option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=4], (5 avril 2007)

6

La multiplication de la civilisation chinoise (2e siècle av. J.-C.)

Avant de parler de la multiplication, nous devons définir quelques concepts. Tout

d’abord, nous devons savoir comment les chinois représentaient leurs chiffres, ensuite

nous traiterons du problème du zéro et finalement nous verrons comment multiplier des

nombres à l’aide d’échiquiers numériques. Par la suite, nous survolerons quelques

applications des principes de multiplication, en particulier les systèmes algébriques, et

nous comparerons le boulier chinois au système de l’échiquier pour conclure ce chapitre.

Représentation des chiffres chez les chinois

Pour calculer, les Chinois représentaient leurs chiffres à l’aide de petits bâtonnets

d’ivoire, de bambou7 ou de bois8 de couleur rouge ou noire9 disposée verticalement ou

horizontalement dépendant des chiffres. Cette manière de représenter les nombres est très

ancienne mais les détails de cette méthode nous sont parvenus qu’à partir du 2e siècle

avant Jésus-Christ.10 Les bâtonnets avaient une longueur de 1 pouce et demi, les rouges

représentant des nombres positifs, les noirs des nombres négatifs.11

La manière de représenter les chiffres est simple. Un bâtonnet placé verticalement

représente une unité. Deux bâtonnets représentent deux unités. Les cinq premiers chiffres

sont représentés de cette manière. Ensuite, six unités sont représentées par un bâtonnet

placé verticalement sous un bâtonnet positionné horizontalement. Sept unités sont

représentées par deux bâtonnets verticaux sous un bâtonnet horizontal et ainsi on peut

représenter les nombres jusqu’à neuf de cette façon.12

7 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 666. 8 Florian CAJORI, A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Compagny, p. 72. 9 G. IFRAH, op. cit., p. 674. 10 Ibid., p. 656. 11 F. CAJORI, op. cit. p.72. 12 G. IFRAH, op. cit., p. 657.

7

Cette numération est toutefois problématique. En effet, le nombre 12, représenté

par un bâtonnet vertical suivi de deux bâtonnets verticaux, peut être confondu avec le

chiffre trois. La représentation d’un nombre n’est donc pas unique ce qui pose un sérieux

problème aux scientifiques chinois de l’époque. Malgré tout, les savants chinois

parviennent à résoudre leur problème en modifiant la notation. La représentation des

chiffres de un à neuf reste la même et sera valable pour toutes les puissances de dix

paires. Par exemple, pour écrire 812, le huit et le deux seront écrits de manière

traditionnelle. Par contre, pour toutes les puissances de dix impaires, nous introduirons

une nouvelle notation. Le chiffre un sera représenté par un bâtonnet horizontal. Nous

procédons de la même façon que précédemment pour construire nos chiffres, alors cinq

sera représenté comme cinq bâtonnets horizontaux. Six sera représenté par un bâtonnet

horizontal sous un bâtonnet vertical. Neuf sera représenté par quatre bâtonnets

horizontaux sous un bâtonnet vertical. Donc, pour écrire le nombre 111, on aura un

bâtonnet vertical suivi d’un horizontal et d’un dernier vertical. Cette notation fut

développée entre deux siècles avant Jésus-Christ et trois siècles après Jésus-Christ, mais

il résidait toutefois un dernier problème qui sera résolu au 8e siècle.13

Le problème du zéro

Lorsque l’on veut représenter le nombre 10 000, en utilisant la notation que l’on

vient de définir, on obtient un bâtonnet vertical. Nous avons donc encore un problème de

représentation car un bâtonnet peut représenter à la fois 1, 100, 10 000, etc. Certains

scientifiques utilisaient les signes chinois pour régler ce problème. Pour écrire 10 000, ils

prenaient un bâtonnet vertical suivi d’un symbole chinois représentant dix mille. D’autres 13 Ibid., p. 657-658.

8

utilisaient des grilles et les espaces vident représentaient zéro. Au 8e siècle, les savants

chinois utilisèrent un symbole afin de représenter l’absence d’unité dans la représentation

avec bâtonnets. Le symbole retenu fut un petit rond, probablement influencé par les

mathématiciens de la civilisation indienne.14 On peut le retrouver dans les écrits pendant

la dynastie de Sung entre 960 et 1126 et dans les siècles qui suivirent.15 Maintenant muni

d’un « zéro », ils purent développer les règles arithmétiques et algébriques relatives aux

nombres entiers, fractionnaires et irrationnels.16

La multiplication

L’outil utilisé pour la multiplication était un échiquier et des petits bâtonnets

nommés chóu. Pour multiplier, on inscrivait le multiplicateur dans les cases en haut à

droite de l’échiquier. Ensuite, on laissait

une ligne vide puis on inscrivait le

multiplicande de manière à ce que son

dernier chiffre soit vis-à-vis le premier

chiffre du multiplicateur. La première

étape consistait à multiplier le premier

chiffre du multiplicande avec le premier

chiffre du multiplicateur. On inscrivait le

résultat dans la colonne du milieu vis-à-

vis le chiffre du multiplicande. On poursuivait en multipliant le deuxième chiffre du

multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. Le résultat s’inscrivait au dessus

du deuxième chiffre du multiplicande. On additionnait à chaque étape les nombres qu’on

inscrit dans la colonne du milieu. Lorsque l’on a terminé avec le premier chiffre du

multiplicateur, on passe au second, et ainsi de suite, jusqu’au dernier.17

14 Ibid., p. 660-661. 15 Howar EVES, op. cit., p. 22. 16 G. IFRAH, op. cit., p. 660-661. 17 Ibid., p. 666-674.

9

Exemple de multiplication : 12 multiplié par 34.

On commence par inscrire 12 en haut à droite et 34 directement en dessous du 1

de 12. On laisse une ligne entre les 2 nombres.

Ensuite on multiplie 3 par 1 et

on inscrit la réponse au dessus

du 3 de 34. On fait la même

opération avec 4.

On enlève le 1 puisque nous n’en avons plus besoin et on

bouge 34 d’une case vers la droite.

Ensuite on multiplie 3 par 2 et on addition le résultat au

chiffre qui est au dessus de 3. Puisque l’addition donne 10,

on enlève les bâtons de la case et on ajoute 1 au chiffre à sa

gauche. Ensuite on multiplie 4 par 2 et on inscrit le résultat.

Nous obtenons alors la réponse. On remarque que l’espace représente le zéro. Il

ne nous reste plus qu’à écrire le nombre de manière condensée.

10

La division, l’algèbre et le triangle de Pascal

La division se fait de manière similaire. On place le diviseur sur la dernière ligne,

et la ligne du dessus sera pour le nombre à diviser. La réponse se trouvera sur la ligne au

dessus des deux autres. On pouvait aussi résoudre des équations algébriques à l’aide de

l’échiquier. Chaque colonne verticale représentait une équation, chaque colonne

horizontale représentait une variable18 mais Chu Shih-Chieh, un savant chinois, avait

trouvé une manière originale de représenter des polynômes vers l’an 1300. Les

coefficients de chaque variable étaient représentés dans un tableau en forme de losange.

Chaque orientation était liée à une variable. Par exemple, l’ouest représentait y et

lorsqu’on mettait 3 bâtonnets dans la case ouest, on avait 3y. On pouvait aussi agrandir le

losange et ainsi représenter des polynômes d’ordre élevé. Alors, une case au sud-est était

la multiplication du sud et de l’est qui serait dans notre cas xz. Évidement, plus on

s’éloigne du centre du losange et plus le degré de la variable est élevé.19

Le triangle de Pascal fut probablement introduit en Chine par les arabes et il était

représenté de plusieurs façons. Le Triangle de Pascal fut fort utilisé lors de la

multiplication de polynôme.20

18 Ibid., p. 674. 19 F. CAJORI, op. cit., p. 76. 20 Ibid., p. 76.

11

Le boulier chinois (14e siècle)

Les premiers témoignages écrits du boulier chinois ne remontent pas avant le 14e

siècle. Les créateurs du boulier chinois (suan pan) se sont basés sur la méthode de calcul

de l’échiquier afin de créer un instrument qui calculerait plus rapidement que l’ancien. Le

boulier était d’une forme rectangulaire, en bois, traversé de broches dans lesquelles sont

effilé sept boules en bois. Une barre transversale coupe le boulier en deux, de façon à ce

que 2 boules se trouvent d’un côté de cette barre et cinq de l’autre, et ce, pour toute les

broches. Tout comme l’échiquier, chaque colonne représente un multiple de 10. Un peu

comme le système à bâtonnets, les 5 boules représentent les chiffres de 1 à 5. Lorsqu’on

veut représenter le nombre 6, au lieu de mettre un bâton horizontal et un autre vertical, on

utilise une boule supérieure (il y en a 2 sur chaque tige) et une boule inférieur (au total de

5). On peut voir que les 2 systèmes se ressemblent grandement. Lors d’une multiplication

on mettait le multiplicateur en haut à droite sur l’échiquier, alors qu’avec le boulier, on

12

inscrit le multiplicateur sur les tiges de gauche. La méthode de multiplication du boulier

est très similaire à celle de l’échiquier. En fait, l’algorithme est le même!21

21 G. IFRAH, op. cit., p. 674-686.

13

La technique égyptienne

Les mathématiques en Égypte

Les mathématiques égyptiennes étaient d’abord et avant tout des mathématiques

axées sur la pratique. Elles servaient à l’agriculture et à l’ingénierie. On se servait des

mathématiques dans ces domaines principalement pour calculer un calendrier utilisable,

pour le développement de systèmes de poids et de mesures pour la récolte, l’entreposage

et la division de la nourriture. Les mathématiques égyptiennes servaient aussi pour créer

des méthodes pour examiner la construction de canaux, de réservoirs et pour la

construction des pyramides, pour séparer les terres, pour collecter les taxes et pour les

échanges.

Voici une liste chronologique des objets tangibles témoignant des mathématiques en

Égypte. Il existe aussi plusieurs inscriptions sur des murs et quelques papyrus mineurs

qui contribuent à nos connaissances des mathématiques du peuple égyptien.

1- 3100 Av. J.-C. : On trouve au musée d’oxford un sceptre royal égyptien datant de

cette époque. On y trouve plusieurs nombres dans les millions et dans les

centaines de milliers, écrits en hiéroglyphes, qui sont les résultats d’une campagne

militaire couronnée de succès.

2- 2900 Av. J.-C. : La grande pyramide de Gizeh a été érigée environ à cette date, et

a sans nul doute impliqué des problèmes mathématiques et d’ingénierie. La

structure couvre 13 acres et contient plus de 2 millions de blocs de pierres pesant

en moyenne 2,5 tonnes. Ces blocs de pierres venaient de carrières de pierres qui

étaient situées l’autre côté du Nil. De plus, on a noté que les cotés de la base sont

d’une précision tout à fait remarquable et que les angles droit du carré qui forme

la base sont presque parfaits.

3- 1850 Av. J.-C. : Ceci est l’année approximative où la papyrus de Moscou a été

écrit, il contient 25 problèmes mathématiques. Notons que ce papyrus n’a bien

14

évidemment pas été écrit à Moscou, mais publié avec un éditorial en 1930 dans

cette ville, d’où son nom.

4- 1850 Av. J.-C. : Le plus vieil objet d’astronomie, une combinaison d’une ligne de

plomb et d’une tige de vue pour observer le ciel. Il est actuellement conservé au

musée de Berlin.

5- 1650 Av. J.-C. : Le papyrus Rhind, écrit par Ahmès, a été rédigé dans ces

environs.

6- 1500 Av. J.-C. : Le plus grand obélisque existant a été érigé devant le Temple du

Soleil à Thèbes. Il est 105 pieds de long avec une base carrée de 10 pieds de côté

et il pèse environ 430 tonnes.

7- 1500 Av. J.-C. : Le plus vieux cadran solaire connu vient d’Égypte et date

d’environ cette époque, il est conservé au musée de Berlin.

8- 1350 Av. J.-C. : Le papyrus Rollin, maintenant préservé au Louvre, contient des

comptes élaboré de pains montrant l’usage pratique de grands nombres à

l’époque.

9- 1167 Av. J.-C. : Ceci est la date du papyrus Harris, un document préparé par

Ramsès IV quand il a accédé au trône. Il énonce les grandes réalisations de son

père Ramsès III et il y liste les richesses du temple de l’époque. Ce papyrus

fournit le meilleur exemple de comptabilité pratique de l’époque.

Les sources d’information égyptiennes plus récentes que celles énoncées plus haut

ne représentent aucun gain appréciable ni en connaissance mathématiques, ni en

techniques mathématiques. En fait, il y a certains indices montrant une régression.

Le papyrus Rhind

Le papyrus Rhind a été écrit par le scribe Ahmès environ en 1650 Av. J.-C. On lui

doit son nom à l’écossais Henry Rhind qui l’a acheté à Louxor en 1858, lieu où il a été

découvert, anciennement connu sous le nom de la ville de Thèbes. Il est aujourd’hui

conservé au British Museum de Londres. Long de plus de 5m sur 32 cm de largeur, écrit

en écriture hiératique, ce papyrus est en partie une copie de résultats plus anciens connus

15

par Ahmès des babyloniens. Il contient 87 problèmes résolus d’arithmétique, d’algèbre,

de géométrie et d’arpentage. C’est grâce à ce document qu’on connaît aujourd’hui la

technique de multiplication des égyptiens. En voici une partie :

22

22 Tiré de : « Papyrus Rhind » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007)

16

La numération hiéroglyphique Égyptienne

Les entiers

La numération hiéroglyphique égyptienne se lisait comme suit :

23

Il est à noté que plusieurs symboles représentent le même nombre. Ceci est probablement

dû au fait que chaque scribe écrivait à sa manière à l’époque et donc chacun laissait aller

son sens artistique et produisait des symboles différents. Il est à noter que la numération

égyptienne n’est pas une numération de position. Autrement di t, •|| et ||• représentent

tout deux le nombre 12. Les égyptiens avaient toutefois l’habitude d’écrire de droite à

gauche, mais ceci pouvait changer selon le scribe. Notons aussi que les égyptiens

n’avaient pas de représentation pour le nombre 0, mais leur numération fait en sorte que

le concept du zéro n’est pas nécessaire car s’il n’y a pas d’une certaine puissance de 10,

on ne met tout simplement pas de symbole.

23 Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994, p. 398.

17

En cherchant un peu sur internet, nous avons trouvé une théorie sur la provenance

de ces symboles, en lisant des livres, nous n’avons trouvé aucune source confirmant cette

théorie. Toutefois nous jugeons intéressant de la montrer, on peut la voir à la figure

suivante. On y remarque que dans cette théorie, on dit 1 000 000 ou infini, c’est qu’en

Égypte antique, il n’existait pas de puissance de 10 supérieure à un million.

Chiffres hiéroglyphiques

Valeur Signification mnémonique

1 Un bâton évoque l'unité

10 Une anse de panier peut contenir environ 10 objets

100 Un rouleau de papyrus car on peut y écrire environ

100 hiéroglyphes

1000 Une fleur de lotus car on les trouve par milliers

10 000 Un doigt montrant le ciel nocturne car on y voit près

de 10 000 étoiles

100 000 Un têtard car on en trouve de l'ordre de 100 000 après

la ponte

1 000 000 ou Infini

Un dieu agenouillé supportant le ciel car le

dieu est éternel et 1 million d'année est synonyme

d'éternité24

24 Tiré de : « Numération égyptienne » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) N.B. (le tableau a été modifié puisqu’une colonne était complètement vide, donc inutile)

18

Les fractions

Les égyptiens on réussi dès l’Antiquité à se doter d’un système de fractions. On

utilisait la bouche pour dénoter le numérateur 1, puis on inscrivait le nombre en

numération hiéroglyphique standard en dessous pour représenter le dénominateur. Par

exemple :

= 1/3

Règle générale, ils n’utilisaient que des fractions avec 1 au numérateur et pour exprimer

une fraction ayant un dénominateur plus grand que 1, ils utilisaient une addition de

fractions pour la représenter. Par exemple :

= 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60

Notons ici qu’il n’y a rien d’écrit entre chaque fraction, c’est que le symbole « + » n’avait

pas encore été introduit à l’époque, c’est n’est qu’au moyen âge qu’il est apparu.

Finalement, pour les fractions les plus courantes, les égyptiens ont adopté certain

symboles tels que :

= 1/2 = 2/3 = 3/4

La technique

La technique de multiplication égyptienne a comme principal intérêt qu’elle ne

nécessite aucune connaissance des tables de multiplication. C’est probablement pour

cette raison que les égyptiens l’ont adoptée car ils n’avaient pas de telles tables. On peut

toutefois croire qu’ils avaient des tables de puissances de 2 car la méthode nécessite de

les connaître ou de les calculer à chaque fois. La méthode consiste en gros à faire un

passage de la base 10 à la base 2. Les égyptiens savaient que chaque nombre avait une

unique décomposition en puissances de 2 et connaissaient aussi la propriété de

distributivité de la multiplication. Autrement dit, ils savaient que 18 x 12 = 18 x (8 + 4) =

18 x 8 + 18 x 4.

19

Effectuer une multiplication avec cette technique s’effectue en 3 étapes,

multiplions 58 par 343 pour illustrer les 3 étapes.

Étape 1 : La décomposition en puissances de 2

La première étape est de trouver la décomposition en puissances de 2 du plus petit

des deux nombres à multiplier (on peut aussi utiliser le plus grand, mais la technique est

moins longue et plus économique si on trouve la décomposition du plus petit). Pour ce

faire, les égyptiens procédaient méthodiquement :

On part avec 58 et on trouve (sur notre table de puissance) que la grande

puissance de 2 inférieure à 58 est 32.

58 – 32 = 26

Ensuite, on fait la même chose avec le résultat, 26, et on trouve 16, et on soustrait à

nouveau.

26 – 16 = 10

Puis, on trouve à nouveau la puissance de 2, cette fois-ci, 8.

10 – 8 = 2

Et le résultat, 2 est lui-même une puissance de 2, on a donc terminé de trouver la

décomposition cherchée et donc :

58 = 32 + 16 + 8 + 2

Et donc,

20

343 x 58 = 343 x (32 + 16 + 8 + 2)

Étape 2 : La construction du tableau de puissances

Maintenant que l’on connaît la décomposition d’un des nombres, on construit un

tableau avec les puissances de 2 de l’autre nombre comme suit :

1 : 343

2 : 686

4 : 1 372

8 : 2 744

16 : 5 488

32 : 10 976

C’est simple, on part du nombre pas décomposé (ici, 343) et on le met vis-à-vis 1, on

l’additionne par lui-même, on met le résultat vis-à-vis 2, on additionne le résultat avec

lui-même, on le met vis-à-vis 4 et on continue jusqu’à la plus grande puissance inférieure

au nombre que l’on a décomposé.

Étape 3 : Le résultat

Maintenant que nous avons le tableau des puissances et la décomposition en

puissances de 2, il nous reste qu’à additionner les puissances correspondantes dans le

tableau. On a trouvé à l’étape 1 que 58 = 32 + 16 + 8 + 2. On prend donc les éléments

vis-à-vis 32, 16, 8 et 2 dans le tableau et on les additionne pour trouver le résultat :

343 x 58 = 686 + 2 744 + 5 488 + 10 976 = 19 894

Et on a réussi à calculer le produit de deux nombres sans connaître aucune table de

multiplication, c’est là la beauté de la méthode égyptienne.

21

Une méthode dérivée : La méthode russe

Les connaissances ont voyagé et les russes ont modifié la méthode égyptienne à

leur manière. Elle a été utilisée jusqu’au début du 20e siècle en Russie. Voici comment ils

procédaient :

Effectuons le produit 53 x 67 :

On fait un tableau comme dans la méthode égyptienne, sauf que cette fois-ci on

commence avec les deux nombres à multiplier, d’un côté, on divise par 2 à chaque ligne

(sans tenir compte des restes) et de l’autre côté, on multiplie par 2.

53 67 (67 x 1)

26 134 (67 x 2)

13 268 (67 x 4)

6 536 (67 x 8)

3 1072 (67 x 16)

1 2144 (67 x 32)

Il ne reste maintenant qu’à additionner les éléments à droite qui sont vis-à-vis un élément

impair, c’est-à-dire :

53 x 67 = 67 + 268 + 1072 + 2144 = 3551

22

Méthode de multiplication par treillis, grillage, jalousies

ou gelosia (12e au 17e siècle)

Ces 4 mots décrivent une seule et même méthode. Ils font tous référence au

grillage dans lequel on écrit les chiffres de la multiplication. En effet, le mot italien

gelosia signifie une sorte de treillis qu’on plaçait dans les fenêtres, un peu comme un

store. Le mot « jalousie » est aussi un synonyme de store.

Historique

Cette méthode de multiplication vient de la civilisation indienne. C’est le

mathématicien Bhaskara qui fut le premier à la publier dans son livre Lilavati en 1150,

parmi quatre autres méthodes de multiplication de moindre importance25. Elle apparaît

aussi dans d’autres livres de calculs indiens de cette époque26.

Ce fut Fibonacci (Leonardo Pisano de son vrai nom) qui l’introduisit en Europe

en 1202, dans son célèbre ouvrage, le Liber Abaci27. Ce mathématicien italien avait

appris la numération arabe et tentait par cet ouvrage de l’emmener aux Européens, qui

calculaient encore avec le système romain, satisfaisant pour les additions mais trop

complexe pour les multiplications. On voit donc que la méthode des jalousies avait

voyagé de l’Inde chez les Perses et les Arabes avant de se rendre en Europe. Les

Européens ont pris quelque temps à être à l’aise avec ce nouveau système, mais ils

l’utilisèrent ensuite jusque dans les années 160028. La méthode des treillis se trouvait

notamment dans le premier livre d’arithmétique à être imprimé. C’était à Treviso en Italie

en 147829.

25 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p. 107 26 Howard EVES, op. cit., p. 166 27 ANONYME. “Lattice multiplication” dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) 28 Arthur GITTLEMAN, op. cit., p.107 29ANONYME. “Other algorithms” dans Mental and Written Computation – Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/multiply/lattice.htm], (20 mars 2007)

23

Exemple de multiplication

Voici un exemple de multiplication avec la méthode des jalousies, où 3652 est le

multiplicande et 941 le multiplicateur :

3652 X 941 = 3 436 532

3 6 5 2

3 9

4 4

3 1

6 5 3 2

Le multiplicande se trouve au-dessus de la grille et le multiplicateur à la droite30.

Le résultat se trouve à gauche et au-dessous de la grille. Après avoir tracé le grillage, la

première étape consiste à multiplier le premier chiffre du multiplicande avec le premier

chiffre du multiplicateur, et à inscrire le résultat dans la première case en haut à gauche,

les dizaines au-dessus de la diagonale, et les unités au-dessous. On continue ainsi en

inscrivant le résultat de chaque multiplication dans la case correspondant à l’intersection

du chiffre du multiplicande et de celui du multiplicateur. Une fois que cette étape est

complétée, on additionne les chiffres de chaque rangée diagonale, en commençant par le

bas et en transférant les retenues dans la diagonale suivante, sans oublier d’inscrire les

unités en bas ou à gauche de la diagonale. Par exemple, le résultat de l’addition de la

deuxième diagonale à partir du bas est 13, alors on inscrit 3 au bas de la grille, sous la

deuxième colonne, et on additionne la dizaine avec la diagonale suivante (8, 0, 0, 0, 6).

30 Len GOODMAN, "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)

2

7

5

4

4

5

1

8

1

2

2

4

2

0

0

8

0

3

0

6

0

5

0

2

24

L’algorithme de multiplication par gelosia est en fait très semblable à celui de la

multiplication longue que nous utilisons couramment. Le raisonnement est exactement le

même. Il est cependant facilité par l’écriture des dizaines dans les triangles supérieurs de

chaque case, plutôt qu’en retenue au-dessus du multiplicande dans la méthode dite

longue. Les seules retenues s’effectuent dans l’addition des diagonales, ce qui est

beaucoup moins lourd. Il s’agit de l’avantage principal de la méthode de multiplication

par treillis. Son désavantage principal et la raison pour laquelle elle a été abandonnée

dans les années 1600 est la difficulté d’imprimer ou de tracer le treillis à chaque

multiplication. Le grillage était sûrement pénible à reproduire dans les machines

d’imprimerie de l’époque, mais de nos jours il est certain que les logiciels informatiques

facilitent énormément le travail. Un autre désavantage est que l’on a encore besoin de

connaître les tables de multiplication de 1 à 9, autant que pour la méthode à laquelle nous

sommes habitués.

Les bâtons de Napier

Une méthode de multiplication semblable à celle des jalousies est la méthode des

bâtons de Napier (en anglais Napier’s rods ou Napier’s bones). Elle fut développée par

un scientifique, théologien et mathématicien nommé John Napier qui vécut de 1550 à

1617 près d’Édimbourg en Écosse31. Il s’agissait d’un personnage excentrique dont

plusieurs anecdotes ont traversé les âges. Il avait notamment prédit que dans le futur

existeraient des machines de guerre très variées dont certaines iraient sous l’eau et

d’autres qui détruiraient de tous côtés32. On peut dire que c’était très perspicace de

prédire l’invention du sous-marin et du char d’assaut au 17e siècle! Du côté des

mathématiques, les réalisations les plus importantes de M. Napier sont l’invention des

logarithmes et la découverte de certaines identités trigonométriques, dites les « analogies

de Napier »33, dont :

31 Howard EVES, op. cit., p. 225 32 Ibid, p. 226 33 Ibid, p. 248

c

ba

BA

BA

21tan

)(21tan

)(21sin

)(21sin −

=+

−

25

et autres identités semblables qu’il serait impertinent d’expliciter ici .

Revenons aux bâtons de Napier, technique de multiplication qui nous intéresse.

Elle fut décrite pour la première fois dans l’ouvrage de Napier, Rabdologiae, publié en

1617, et fut très populaire à cette époque. Il s’agit d’utiliser des bâtons d’os, de métal ou

de bois, sur lesquels sont écrites les tables de multiplication de chacun des 10 chiffres,

suivant le modèle de triangles et de carrés que l’on voit dans la méthode des treillis.

Ainsi, on retrouve par exemple sur le bâton du chiffre 6 les résulta ts suivants, disposés

verticalement ( 1X6=6, 2X6=12, 3X6=18, … , 9X6=54). Pour effectuer la multiplication,

il suffit de disposer dans le bon ordre les réglettes correspondant aux tables de

multiplication des chiffres du multiplicande et de ne considérer que les rangées des

chiffres du multiplicateur. On applique ensuite la méthode des jalousies, soit

d’additionner les diagonales en effectuant les retenues lorsque nécessaire. Remarquons

que le désavantage d’avoir à retenir les tables de multiplication est supprimé dans cette

technique, mais qu’il est par contre encore plus laborieux de traîner tous ces bâtons avec

soi que de dessiner le grillage à chaque multiplication. Voici un exemple illustré d’une

multiplication à plusieurs chiffres effectuée avec les bâtons de Napier, ainsi que le

parallèle avec la méthode dite longue à laquelle nous sommes habitués.

26

34

34 ANONYME. “Bâtons de Napier” dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007)

27

Conclusion

En bref, nous avons survolé des techniques de multiplication qu’ont inventées

divers grands peuples de l’histoire, soit les Babyloniens qui ont élaboré des tables de

multiplication même pour certaines fractions et les Égyptiens qui multipliaient en

hiéroglyphes et sans tables de multiplication, leur méthode ayant même traversé l’Asie

mineure pour se rendre en Russie. Nous avons aussi survolé l’Asie, en passant par les

Chinois qui utilisaient bâtons, bouliers et symboles pour multiplier, et par l’Inde qui a

élaboré l’algorithme des jalousies, qui a voyagé chez les Arabes et les Européens. Il est

fascinant de voir ces civilisations se rejoindre dans leurs calculs et leurs méthodes, tout

en ayant une grande diversité entre elles.

Bien sûr, nous n’avons pu couvrir toutes les méthodes ayant été élaborées dans

l’histoire : elles auraient été beaucoup trop nombreuses. Cependant, nous avons tout de

même eu un aperçu du cheminement laborieux par lequel nos ancêtres ont passé pour

arriver à des opérations que nous apprenons maintenant au primaire et trouvons

élémentaires. Nous avons également pu constater les possibilités d’études futures que

nous pourrions faire sur les techniques de division et de fraction ou sur de nombreuses

autres opérations ou outils mathématiques nécessitant des algorithmes et qui ont pris

forme il y a des millénaires.

28

Bibliographie

CAJORI, Florian. A History of Mathematics, 4th edition, 1985 (1st edition : 1983), New York, Chelsea Publishing Company, 525 p. CYR, Stéphane et al. L’activité mathématique – Notes du cours MAT 1011, Département de mathématiques UQÀM, 2006 EVES, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, 5th edtition, 1983 (1st edition : 1953), Sauders College Publishing, 593 p. GITTLEMAN, Arthur. History of Mathematics, Charles E. Merrill Publishing Co., 1975, 291 p. IFRAH, Georges. Histoire universelle des chiffres. L’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. 2 volumes, Éditions Robert Laffont, Collection Bouquins, 1994 Sites Internet : ANONYME. Art. « Papyrus Rhind » dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ Image:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png], (5 avril 2007). ANONYME. Art. « Numération égyptienne » dans Wikipedia, 4 mars 2007, [http://fr.wikipedia.org/ wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne], (5 avril 2007) ANONYME. “Bâtons de Napier” dans Wikipedia, [http://fr.wikipedia.org/wiki/ B%C3%A2tons_de_ Napier], (5 avril 2007) ANONYME. Art. « Le système babylonien », [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/ pages/hist_mat/ textes/journee.htm], (5 avril 2007) ANONYME. Art. « Les mathématiques babyloniennes » dans Mediamaths, [http://mediamaths.fr/site/index.php?option=com_content&task=view&id=65&Itemid=9&limit=1&limitstart=3], (5 avril 2007) ANONYME. Art. “Lattice multiplication” dans Learn NC, University of North Carolina, [http://www.learnnc.org/glossary/lattice+multiplication], (20 mars 2007) ANONYME. “Other algorithms” dans Mental and Written Computation – Multiplication, University of Melbourne, [http://online.edfac.unimelb.edu.au/485129/wnproj/ multiply/lattice.htm], (20 mars 2007) GOODMAN, Len. "Lattice Method." dans MathWorld--A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html], (20 mars 2007)