LimitesDAEU-B–Maths Limites UGA2019-2020 Exerciceno 1 PourM= 1000,trouverunnombrex 0...

DAEU-B – Maths Limites UGA 2019-2020

Limites

Table des matières

L’objet de ce chapitre est de présenter la notion de limite d’une fonction.

On commencera par donner les définitions de limites finies ou infinies en un point ou à l’infini. Puis nousverrons un certain nombre de propriétés algébriques et de règles calculatoires pour les limites, et nousterminerons avec la notion d’asymptote.

I Définitions

Commençons par définir cette notion de limite. En fait, il faut distinguer plusieurs cas, à commencer pardistinguer les limites à l’infini et les limites en un point.

I.1 Limite d’une fonction à l’infini

I.1.1 Limite infinie à l’infini

Revenons sur le graphe et le tableau de variation de la fonction carrée f : x 7→ x2 vu précédemment :

−10 −5 5 10

20

40

60

80

100

x

y

x −∞ 0 +∞

f ↘ ↗

0

On n’a pour l’instant pas indiqué de valeur à droite (ni à gauche) dans la seconde ligne. En effet,la valeur de x2 peut être “aussi grande que l’on veut” pourvu que x soit “assez grand”. On dit que lafonction carré tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞.

Remarque : Dire : “pour x assez grand” peut se traduire par “à partir d’une certaine valeur x0”, c’està dire par : “pour tout x supérieur à x0”.

-1-


Exercice no 1Pour M = 1000, trouver un nombre x0 tel que si x est plus grand que x0 alors f(x) est plus grand queM .

Même question avec M = 10000, M = 10n où n est un entier positif.

Plus généralement, considérons une fonction f dont l’ensemble de définition contient un intervalle]a; +∞[. (Dans la suite de cette section, on supposera toujours implicitement que la fonction f dontnous parlons est de ce type.)

Définition 1On dit que la fonction f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si : Pour tout nombre M , il existeun nombre x0 ∈ Df tel que pour tous les x > x0, on a f(x) ≥M .

On note alors limx→+∞

f(x) = +∞.

Intuitivement, l’idée est de dire que la valeur de f(x) va finir par dépasser tout nombre M , aussi grandsoit-il (penser par exemple à M = 10000000...), quand x devient suffisament grand. Graphiquement,cela signifie que, si on prend un nombre M quelconque, même très grand, il existe une droite verticalex = x0 à la droite de laquelle la courbe de f est entièrement au-dessus de la droite horizontale y = M .C’est-à-dire qu’en se déplaçant vers la droite sur la courbe représentative de f , on finit par passer audessus de la droite horizontale y = M une fois pour toute (c’est-à-dire qu’on ne repassera plus jamais endessous) :

Exemple 1Montrons que lim

x→+∞2x+ 1 = +∞.

Pour montrer cela, fixons un nombre M quelconque, et montrons qu’il existe une certaine valeur x0 telle que pour toutx ≥ x0 on a bien f(x) ≥M . On a

f(x) ≥M

⇔ 2x+ 1 ≥M

⇔ x ≥ M−12 .

Donc si on pose x0 = M−12 , l’équivalence ci-dessus montre bien que f(x) ≥M pour tout x ≥ x0.

Voici quelques exemples de fonctions de référence simples.

Propriété 1Les fonctions suivantes tendent vers +∞ quand x tend vers +∞.

Fonctions affines : limx→+∞

ax+ b = +∞, lorsque a > 0.

-2-


Fonctions carrée : limx→+∞

x2 = +∞,Fonctions cube : lim

x→+∞x3 = +∞,

et plus généralement limx→+∞

xn = +∞ pour tout entier (strictement) positif n.

Fonction racine carrée : limx→+∞

√x = +∞.

Fonction valeur absolue : limx→+∞

|x| = +∞.

On définit de manière analogue limx→+∞

f(x) = −∞, limx→−∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = −∞.

La propriété suivante permet de se ramener aux limites +∞ en +∞ :

Propriété 2lim

x→+∞f(x) = −∞ si et seulement si lim

x→+∞(−f(x)) = +∞.

limx→−∞

f(x) = +∞ si et seulement si limx→+∞

(f(−x)) = +∞.

D’où l’on déduit les quelques exemples suivants.

Propriété 3Fonctions affines : lim

x→+∞ax+ b = −∞, lorsque a < 0.

limx→+∞

−x2 = −∞,et plus généralement lim

x→+∞−xn = −∞ pour tout entier (strictement) positif n.

limx→−∞

ax+ b = −∞, lorsque a > 0.

limx→−∞

x2 = +∞.

I.1.2 Limite finie à l’infini

Revenons à présent sur le graphe de la fonction inverse f : x 7→ 1x , et plus précisément sur ses valeurs

pour x ≥ 0 :

-3-


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.5

1

1.5

2

x

y

On peut observer que, plus on se déplace vers la droite, plus le graphe se rapproche de l’axe des abscissesy = 0. Les valeurs de la fonction f sont aussi proches de 0 que l’on veut dès que x est assez grand. Ondit que la fonction inverse tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.Exercice no 2Pour ε = 0, 1, trouver un nombre x0 tel que si x est plus grand que x0 alors f(x) est proche de 0 à εprès.Même question avec ε = 0, 01 ; ε = 0, 001, et ε = 1

10n .

Remarque : “Etre proche de L à ε près” peut se traduire par : être dans l’intervalle I =]L− ε, L+ ε[.

Définition 2On dit que la fonction f tend vers un nombre L quand x tend vers +∞ si :

Pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un x0 ∈ Df tel que pour tous les x ≥ x0 la valeurde f(x) est dans I.

On note alors limx→+∞

f(x) = L.

Intuitivement, cela signifie que f(x) peut etre rendu aussi proche de L que l’on veut (en choisissant unintervalle I très très petit, penser par exemple à I =]L− 0, 00001;L+ 0, 00001[), à condition que x soitsuffisament grand.

Remarque : On peut se restreindre aux intervalles I de la forme I =]L− 110n , L+ 1

10n [.

Graphiquement, cela signifie qu’à partir d’un certain x0, la courbe représentative de f est dans la bandehorizontale d’équation y ∈ I.

Exemple 2Considérons la fonction f définie sur ]0,+∞[ par

f(x) = x+ sin(x)x

Montrons que limx→+∞

f(x) = 1.

Soit n un entier positif. On a f(x)− 1 = x+sin(x)−xx = sin(x)

x . Comme sin(x) est compris entre −1 et 1, on a que

− 1x≤ f(x)− 1 ≤ 1

x

-4-


Donc, si x est plus grand que x0 = 10n, alors 1x ≤

110n et − 1

x ≥ −1

10n , donc on a :

− 110n≤ f(x)− 1 ≤ 1

10n

c’est-à-dire que f(x) est proche de 1 à ε = 110n près.

Remarque : Dire que les valeurs de la fonction f sont très proches de L, cela signifie que la différencef(x)−L est très petite en valeur absolue. Plus précisément “être proche à ε près de L” peut se traduirepar : |f(x) − L| < ε. Ainsi, on peut reformuler la définition précédente en terme de différence : On ditque la fonction f tend vers L quand x tend vers +∞ si pour tout nombre ε > 0 (même très petit), ilexiste un x0 ∈ Df tel que pour tous les x ≥ x0 on a |f(x)− L| < ε.

Propriété 4Les fonctions suivantes admettent une limite finie lorsque x tend vers +∞.

Fonction constante f(x) = C (où C est un nombre réel) : limx→+∞

f(x) = C.

Fonction inverse : limx→+∞

1x

= 0,

et plus généralement limx→+∞

1xn

= 0 pour tout entier strictement positif n.

limx→+∞

1√x

= 0.

I.1.3 Fonctions n’admettant pas de limite en +∞

Nous avons donc vu que, lorsque x tend vers +∞ (c’est-à-dire devient très grand), on peut avoir aumoins 3 types de comportements :• certaines fonctions de référence tendent vers +∞, car elles prennent des valeurs de plus en plus grandes(fonction carrée, cube, racine),• d’autres fonctions de référence tendent vers −∞, car elles prennent des valeurs de plus en plus “grandes

négativement” (fonction −x2),• enfin, certaines fonctions tendent vers une limite finie, car leurs valeurs tendent à se stabiliser (fonctioninverse).

Il est important de noter que ce ne sont pas les seules possibilités. La fonction cosinus, par exemple, n’aaucun de ces 3 comportements :

5 10 15 20 25 30 35 40

−2

2

x

y

-5-


En effet, lorsque x tend vers +∞, c’est-à-dire lorsque l’on se déplace sur le graphe vers la droite, celui-cicontinue d’osciller infiniement entre 1 et −1 sans jamais se stabiliser. On dit simplement que la fonctioncosinus n’admet pas de limite en +∞.Plus généralement,

Propriété 5Les fonctions cosinus, sinus et tangente n’admettent pas de limite en +∞.

I.2 Limites d’une fonction en un point

Dans cette section, nous allons maintenant définir la notion de limite de la fonction f en une valeur a,autrement dit nous allons nous intéresser au comportement d’une fonction lorsque les valeurs de x serapprochent infiniment près d’une valeur a. On se donne donc une fonction f , et un réel a qui est, soitcompris dans l’ensemble de définition Df de f (par exemple si Df = R), soit est une borne de Df (parexemple si Df =]a; +∞[).

I.2.1 Limite infinie en un point

Si les valeurs de f(x) deviennent aussi grandes que l’on veut lorsque x se rapproche de a, on dit que fadmet +∞ comme limite en a. Plus précisément :

Définition 3On dit que la fonction f tend vers +∞ quand x tend vers a si :Pour tout nombre M , la valeur de f(x) est plus grande que M lorsque x est suffisamment proche dea.On note alors lim

x→af(x) = +∞.

On définit de manière analogue limx→a

f(x) = −∞.

Exemple 3La fonction f(x) = 1

x2 a pour ensemble de définition R∗ =]−∞; 0[∪]0; +∞[. On s’intéresse à son comportement auvoisinage de x = 0. Voici sa représentation graphique sur un petit intervalle autour de 0 :

-6-


−0.4 −0.2 0.2 0.4

20

40

60

80

x

y

On observe que, lorsque x se rapproche de 0, les valeurs de f(x) sont de plus en plus grandes : on a

limx→0

1x2 = +∞.

Pour démontrer cela, fixons un nombre positif M quelconque. On sait que :

1x2 ≥M ⇔

1M≥ x2 ⇔ 1√

M≥ x ≥ − 1√

M,

(ce qui peut encore s’écrire 1√M≥ |x|).

Autrement dit, on a que f(x) = 1x2 ≥ M à partir du moment où x est plus petit (en valeur absolue) que 1√

M. On a

donc montré que f(x) ≥M pour des valeurs de x suffisamment proches de 0.

Plus généralement,

Propriété 6limx→0

1xn = +∞ pour tout entier positif pair.

Remarque : Dire, dans la Définition ??, ‘lorsque x est suffisamment proche de a’ peut se traduire parle fait que “la distance de x à a est suffisamment petite”, ou encore, plus rigoureusement par : “il existeun (petit) réel positif ε > 0 tel que |x− a| < ε”. (rapelons en effet que |x− a| est exactement la distanceentre x et a).

I.2.2 Limite finie en un point

Si les valeurs de f(x) sont aussi proches que l’on veut d’un nombre L lorsque x se rapproche de a, ondit que la limite de f en a est L.

Pour les fonctions de référence vues jusqu’à présent, nous avons :

-7-


Propriété 7Pour tout entier positif n, lim

x→axn = an.

Pour tout entier positif n et pour a 6= 0, limx→a

1xn

= 1an

.Pour a ≥ 0, lim

x→a

√x =√a.

I.2.3 Limite à droite et à gauche

Revenons à la fonction inverse f(x) = 1x, d’ensemble de définition R∗. Sa représentation graphique est :

−1 −0.5 0.5 1

−40

−20

20

40

x

y

On observe que, lorsque x se rapproche de 0 par la droite, les valeurs de f(x) sont de plus en plus grandes.En revanche, lorsque x se rapproche de 0 par la gauche, les valeurs de f(x) sont négatives et de plus enplus grandes en valeur absolue. On dit que la limite de la fonction inverse à droite de 0 est +∞, et quesa limite à gauche de 0 est −∞.

Plus généralement, on dit que la fonction f admet une limite à droite de a si elle admet une limitequand x se rapproche de a avec x > a. On note alors cette limite

limx→ax>a

f(x).

Remarquons que cela suppose que f soit définie à gauche de a, au moins pour les valeurs suffisamentproches de a.

De même, on dit que la fonction f admet une limite à gauche de a si elle admet une limite quandx se rapproche de a avec x < a. On note alors cette limite

limx→ax<a

f(x).

-8-


Propriété 8Soit a un nombre réel et f une fonction définie à droite et à gauche de a.

Si a n’est pas dans le domaine de définition de f , alors f admet une limite en a si et seulement silimx→ax<a

f(x) = limx→ax>a

f(x) et dans ce cas,

limx→a

f(x) = limx→ax>a

f(x) = limx→ax<a

f(x)

Si a est dans le domaine de définition de f , alors f admet une limite en a si et seulement si limx→ax<a

f(x) =

limx→ax>a

f(x) = f(a) et dans ce cas,

limx→a

f(x) = limx→ax>a

f(x) = limx→ax<a

f(x) = f(a)

Exemple 4Pour tout entier positif impair n, on a

limx→0x>0

1xn

= +∞ et limx→0x<0

1xn

= −∞,

et la fonction f(x) = 1xn

n’admet donc pas de limite en 0(pour n = 1, on retrouve l’observation ci-dessus sur la fonction inverse).

Exemple 5La fonction partie entière n’admet pas de limite en n, pour tout entier relatif n.Par exemple, lim

x→2x>2

E(x) = 2 et limx→2x<2

E(x) = 1 (à vérifier sur la représentation graphique !).

La fonction partie entière n’admet donc pas de limite en 2, et plus généralement en n, pour tout entier relatif n.

II Calculs de limites

A partir des quelques exemples vus dans la section I – limites de fonctions affines, inverse, carré, puissancede x, racine carrée – nous allons pouvoir calculer les limites (lorsqu’elles existent) de nombreuses fonctionsconstruites à partir de ces fonctions de références.

II.1 Opérations sur les limites

Dans cette section, on se donne deux fonctions f et g, dont on connait les limites. On note Df et Dg lesensemble de définition respectifs de ces deux fonctions.

-9-


II.1.1 Multiplication par un réel

Soit k un nombre réel. On peut alors simplement définir la fonction kf par (kf)(x) = k.f(x), et cettefonction a Df pour ensemble de définition.

On a alors le tableau suivant pour les limites de la fonction (kf) quand x tend vers α(ici α désigne soit ±∞, soit un réel a) :

limx→α

f(x) L +∞ −∞

limx→α

(kf)(x) (k > 0) kL +∞ −∞

limx→α

(kf)(x) (k < 0) kL −∞ +∞

Remarque : Pour k = 0, la fonction kf est la fonction constante nulle... donc toutes les limites sontégales à 0.Exemple 6Pour f(x) = x3 et k = − 1

2 < 0, on a (kf)(x) = −x3

2 , et limx→+∞

−x3

2 = −∞.

II.1.2 Somme de deux fonctions

La fonction f + g est définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x). Son ensemble de définition est Df ∩ Dg,c’est-à-dire les valeurs de x qui sont à la fois dans Df et dans Dg.

On a alors le tableau suivant pour les limites de la fonction (f + g) :

limx→α

f(x) L L L +∞ −∞ +∞

limx→α

g(x) L′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

limx→α

(f + g)(x) L+ L′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.

Ici, le ‘F.I.’ signifie que l’on a une Forme Indéterminée, c’est-à-dire que l’on ne peut pas concluredirectement : suivant qui sont les fonctions f et g, la limite ne sera pas toujours la même dans ce casprécis où lim

x→αf(x) = +∞ et lim

x→αg(x) = −∞. On parlera de la Forme Indéterminée ‘∞−∞’.

(Nous verrons plus loin des méthodes complémentaires qui permettent de calculer les limites dans le casd’une Forme Indéterminée).

Exemple 7Pour f(x) = x2 et g(x) = x3, on a (f + g)(x) = x2 + x3, et :

limx→+∞

x2 +x3 = +∞, mais on a une Forme Indéterminée pour limx→−∞

x2 +x3 (Voir l’exemple 14 pour le calcul de cettelimite).

II.1.3 Produit de deux fonctions

La fonction f.g est définie par (f.g)(x) = f(x).g(x). Son ensemble de définition est à nouveau Df ∩Dg

(les réels qui sont à la fois dans Df et dans Dg).

On a alors le tableau suivant pour les limites de la fonction (f.g).

-10-


limx→α

f(x) L L > 0 L < 0 +∞ −∞ 0

limx→α

g(x) L′ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞

limx→α

(f.g)(x) L.L′ ±∞ ∓∞ ±∞ ∓∞ F.I.

Dans ce cas, on parlera de la Forme Indéterminée ‘0×∞’.Attention : dans ce tableau (et le suivant), le symbole ± désigne soit le signe +, soit le signe − (on traiteainsi deux cas à la fois). Le symbole ∓ dans la dernière ligne désigne alors le signe opposé : par exemple,dans l’avant-dernière colonne, si on a lim

x→αf(x) = −∞, et si lim

x→αg(x) = +∞, alors lim

x→α(f.g)(x) = −∞.

Exemple 8Pour f(x) = 2− 1

x2 et g(x) = 1x + 3, on a (f.g)(x) =

(2− 1

x2

) ( 1x + 3

).

D’après les règles de calcul de limites de sommes, on a limx→+∞

2− 1x2 = 2 et lim

x→+∞1x + 3 = 3.

Donc limx→+∞

(2− 1

x2

) ( 1x + 3

)= 6.

Exemple 9On a vu dans l’exemple 12 que lim

x→−∞x2 + x3 donne la forme indéterminée ‘∞−∞’.

Mais si l’on met x3 en facteur, on a : x2 + x3 =( 1

x + 1).x3, qui est une fonction produit. Or, lim

x→−∞1x + 1 = 1 et

limx→−∞

x3 = −∞. Ainsi, on peut conclure que limx→−∞

x2 + x3 = −∞ !

Exemple 10Voici un exemple de Forme Indéterminée ‘0×∞’ : Pour f(x) = 1

x (x2 + 1), quand x tend vers +∞, on a limx→+∞

1x = 0

et limx→+∞

x2 + 1 = +∞, donc une Forme Indéterminée ‘0×∞’.

Pour déterminer la limite, on peut développer : f(x) = x+ 1x et on obtient une limite maintenant calculable :

limx→+∞

x+ 1x

= +∞+ 0 = +∞

On dit qu’on a levé la forme indéterminée.

Remarque : Nous voyons dans ces exemples que, en cas de Forme Indéterminée, on peut être amenéà transformer l’expression de la fonction en factorisant ou développant, pour lever l’indétermination.

II.1.4 Quotient de deux fonctions

La fonction f/g est définie par (f/g)(x) = f(x)g(x) . Son ensemble de définition est un peu plus compliqué :

ce sont les réels x qui sont à la fois dans Df et dans Dg et tels que g(x) 6= 0.

On a alors le tableau suivant pour les limites de la fonction (f/g) :

limx→α

f(x) L L ±∞ ±∞ 0 L > 0 L < 0 ±∞

limx→α

g(x) L′ 6= 0 ±∞ L > 0 L < 0 0 0± 0± ±∞

limx→α

(f/g)(x) LL′ 0 ±∞ ∓∞ F.I. ±∞ ∓∞ F.I.

-11-


Attention : Dans ce tableau,limx→α

g(x) = 0+ signifie que limx→α

g(x) = 0 et g(x) > 0 lorsque ‘x est proche de a’.limx→α

g(x) = 0− signifie que limx→α

g(x) = 0 et g(x) < 0 lorsque ‘x est proche de a’.

Par exemple, limx→3x>3

(x− 3) = 0+, tandis que limx→3x<3

(x− 3) = 0−

Notons aussi que dans ce tableau, on rencontre deux types de Forme Indéterminée : les F.I. ‘00 ’ et ‘

∞∞ ’.

Exemple 11Pour f(x) = −2x2 et g(x) = 5− x, on a (f/g)(x) = −2x2

5− x , qui est définie sur R \ {5} =]−∞; 5[∪]5; +∞[.On a lim

x→5x>5

(5− x) = 0− et limx→5x<5

(5− x) = 0+, alors que limx→5−2x2 = −50.

On en déduit que limx→5x>5

−2x2

5− x = +∞ et limx→5x<5

−2x2

5− x = −∞.

L’exemple suivant montre comment calculer les limites de fractions rationnelles, c’est-à-dire de quotientsde polynômes.

Exemple 12On considère la fonction u(x) = 3x2 + 5x− 8

2x2 + x+ 9 . Notons que l’ensemble de définition de u est R (car le dénominateurest un trinôme de discriminant négatif, qui n’a donc pas de racine réelle).D’après les règles de calcul de limites de sommes, on a lim

x→+∞3x2 + 5x− 8 = +∞ et lim

x→+∞2x2 + x+ 9 = +∞, donc

on obtient une Forme Indéterminée ‘∞∞ ’.Essayons donc de modifier l’expression de la fonction :

u(x) = 3x2 + 5x− 82x2 + x+ 9 =

x2(3 + 5x −

8x2 )

x2(2 + 1x + 9

x2 )=

3 + 5x −

8x2

2 + 1x + 9

x2

.

Or, limx→+∞

3 + 5x −

8x2 = 3 et lim

x→+∞2 + 1

x + 9x2 = 2. On obtient donc : lim

x→+∞u(x) = 3

2 .

En général, la stratégie est de mettre en facteur le terme dominant, au numérateur et au dénominateur.

II.2 Limites de fonctions composées

On a le résultat suivant pour calculer les limites de fonctions composées :

Propriété 9Si lim

x→αg(x) = β et lim

x→βf(x) = γ, alors lim

x→αf(g(x)) = γ.

(Ici, chacune des trois lettres α, β et γ désigne soit un réel, soit +∞, soit −∞.)

Exemple 13Reprenons les fonctions f(x) = x3 et g(x) = 1

x+1 .

On a limx→+∞

1x+1 = 0 et lim

x→0x3 = 0, donc lim

x→+∞f(g(x)) = lim

x→+∞

(1

x+1

)3= 0.

De même, puisque limx→+∞

x3 = +∞ et limx→+∞

1x+1 = 0, on a lim

x→+∞g(f(x)) = lim

x→+∞1

x3+1 = 0.

-12-


II.3 Comparaison de limites

Dans cette section, f , g et h désignent trois fonctions définies sur un même intervalle I, et a désigne soitun nombre réel dans I, soit une borne de I (donc a peut éventuellement désigner ±∞).

Théorème 1Supposons que pour tout x ∈ I, on a

f(x) ≥ g(x) ≥ h(x).

• Théorème des Gendarmes : Si limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = L ∈ R, alors limx→a

g(x) = L.• Si lim

x→ag(x) = +∞, alors lim

x→af(x) = +∞.

• Si limx→a

f(x) = −∞, alors limx→a

g(x) = −∞.

Exemple 14Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limites en ±∞, car elles ‘continuent à osciller entre 1 et −1 indéfiniment’.En revanche, on peut calculer les limites de f(x) = sinx

x en l’infini : pour tout x ∈]0,+∞[ on a en effet

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −1x≤ sin x

x≤ 1x.

Puisque limx→±∞

−1x = lim

x→±∞1x = 0, on en déduit que lim

x→±∞sin x

x = 0.

Exemple 15Soit f la fonction définie par f(x) = (−1)E(x)

√x

(on rappelle que E(x) désigne la partie entière de x). Son ensemble dedéfinition est ]0; +∞[ et sa limite en +∞ est 0 !

En effet, pour tout x, la valeur de (−1)E(x) est soit −1, soit 1 (selon la parité de E(x)). Donc −1 ≤ (−1)E(x) ≤ 1, cequi implique (puisque

√x est toujours positif) :

−1√x≤ (−1)E(x)

√x

≤ 1√x.

Or, on a limx→+∞

−1√x

= limx→+∞

1√x

= 0. Le théorème des gendarmes nous permet donc de conclure que limx→+∞

f(x) = 0.

III Asymptotes

Une droite est dite asymptote à une courbe C lorsqu’elle rapproche infiniment de C.

Comme on a pu le constater sur quelques uns des exemples précédents, le fait qu’une fonction admetune limite peut parfois se manifester par le fait que sa représentation graphique admet une asymptote.Nous distinguerons trois cas.

III.1 Asymptote horizontale

Rappelons qu’une droite horizontale a une équation de la forme y = r, pour un certain réel r.

-13-


Propriété 10Si lim

x→+∞f(x) = L ou lim

x→−∞f(x) = L, alors la courbe représentative de la fonction f admet une

asymptote horizontale d’équation y = L.

Exemple 16La fonction inverse admet une asymptote horizontale d’équation y = 0(on dit aussi que l’axe des abscisses est asymptote à la courbe de la fonction inverse).

III.2 Asymptote verticale

Rappelons qu’une droite verticale a une équation de la forme x = r, pour un certain réel r.


x→af(x) = +∞ ou lim

x→af(x) = −∞, alors la courbe représentative de la fonction f admet une

asymptote verticale d’équation x = a.

Exemple 17La fonction inverse admet une asymptote verticale d’équation x = 0(on dit aussi que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe de la fonction inverse).La fonction f(x) = 1

x2 admet aussi une asymptote verticale d’équation x = 0 (cf Exemple 6).

III.3 Asymptote oblique


x→+∞f(x)−(ax+b) = 0 ou lim

x→−∞f(x)−(ax+b) = 0, alors la courbe représentative de la fonction

f admet une asymptote oblique d’équation y = ax+ b.De plus, si f(x) − (ax + b) est positif (resp. négatif), la courbe représentative de f est au dessus(resp. en dessous) de son asymptote.

Exemple 18La courbe représentative Cf de la fonction f définie par f(x) = x2+3

x+1 admet une asymptote oblique d’équation y = x−1.En effet,

x2 + 3x+ 1 − (x− 1) = x2 + 3

x+ 1 −(x− 1)(x+ 1)

x+ 1 = 4x+ 1 ,

donc limx→+∞

x2+3x+1 − (x− 1) = 0.

De plus, lorsque x tend vers +∞, on a f(x)− (x− 1) = 4x+1 > 0, donc Cf est au dessus de la droite y = x− 1.

En revanche, lorsque x tend vers −∞, alors x+ 1 > 0, et on a f(x)− (x− 1) = 4x+1 < 0, donc Cf est en dessous de

la droite y = x− 1.Graphiquement :

-14-


−10 −5 5 10 15

−10

10

x

y

-15-

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