CHAPITRE 6 Les Corps axisymétriques - etsmtl.ca...Distribution des contraintes dans un cylindre...

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CHAPITRE 6 Les Corps axisymétriques Introduction et hypothèses Théorie des cylindres à paroi épaisse Cylindres composés Cylindres autofrettés Conception selon Section VIII div. 3 Disques en rotation Hypothèses Le rapport entre l'épaisseur et le rayon de courbure de surface à la mi-épaisseur est très petit par rapport à l'unité R e /R i >> 1 ( typiquement R e /R i > 2 ) Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire Aucun cisaillement rz = r = z = 0 La contrainte suivant l’axe de symétrie est nulle. z 0

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CHAPITRE 6

Les Corps axisymétriques

Introduction et hypothèses

Théorie des cylindres à paroi épaisse

Cylindres composés

Cylindres autofrettés

Conception selon Section VIII div. 3

Disques en rotation

Hypothèses

Le rapport entre l'épaisseur et le rayon de courbure de surface à la mi-épaisseur est très petit par rapport à l'unité

Re/Ri >> 1 ( typiquement Re/Ri > 2 )

Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire

Aucun cisaillement

rz = r = z = 0

La contrainte suivant l’axe de symétrie est nulle.

z 0

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Corps axisymétrique

0 = F + r

+

rr

rr

Équilibre des forces radiales

Corps axisymétrique

dz

dr

d

r

dzdzd

zz

z

r

r rz

dzdz

zrzr

p

drdr

dr

r

d

dd

r

z

z

zr z

drdr

rzrz

drdr

rr

dzdz

zz

d

dr

r

d

dz

z

0

État plan de contrainte

0 zrrz

0 z

Déformations-déplacements-contraintes

Cordonnées cylindriques

Corps axisymétrique

r

u ,

r

u r

r

rr

E

E

2

2

1

1

État plan de contraintes

r

u +

r

u

1

E =

r

u +

r

u

1

E =

2

2r

dz

drd

z

r

u

vw

r

w

z

u ,

z

v

w

r ,

r

v

u

r

r

v

z

w ,

r

u

v

r ,

r

u

zrzr

zr

11

1

0

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Cylindre à paroi épaisse

2

11r

B A

1

E

r

u +

r

u

1

E =

22r

Solution

Substitution dans l’équation

d’équilibre radiale

0 = r

u

r

u

r

1 +

r

u22

2

r

B + Ar =u

r

Ro=b

Pe

piRi=a

0 = F où

0 =r

+

r

r

rr

Équilibre radial

1d dru = 0

dr r dr

0 = r

u

dr

du

r

1 +

rd

ud22

2

Cylindre à paroi épaisse (suite)

Contraintes radiale et circonférentielle (Lamé)

1 Y

)p p( R

E

+ 1 = B

1 Y

p Y p

E

1 = A

2oi

2o

2o

2i

R

R = Yi

o

1 Y

p r

R + Y p r

R + 1

=

1 Y

p Y r

R + p r

R 1

=

2

o2

2o2

i2

2o

2

o2

2

2o

i2

2o

r

R

B + A

1

E = p

R

B + A

1

E = p

o2o

i2i

2

2

11

11Conditions aux rives

Rràp =

Rràp =

oor

iir

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-20000

-15000

-10000

-5000

0

2 .0 2 .4 2 .8 3 .2 3 .6 4 .0

P osition rad ia le , in

Co

ntr

ain

te r

adia

le, p

si

P o = 0 ps i

P o = 5000 ps i

P o = 10000 ps i

P o = 15000 ps i

P i = 10000 ps i

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

2.0 2 .4 2 .8 3 .2 3 .6 4 .0

P osition rad ia le , in

Co

ntr

ain

te c

irco

nfé

ren

tiel

le,

psi

P o = 0 ps i

P o = 5000 ps i

P o = 10000 ps i

P o = 15000 ps i

P i = 10000 ps i

Cas particuliers

Cylindre ouvert

z = 0

r 1) Y(

)p p( R

E

+ 1 + r

1 Y

pY p

E

1 =u

2oi

2o

2o

2i

1 Yr

R )p p( =

2

=

2

2

2o

oir

max

Cylindre fermé

1 Y

p =

2i

z

Exercice max = ?

u = ?

Cas particuliers

Si po = pi = p = r = p

Si Y = 1 = (pi po) R/t

r = (pi + po) / 2

Si b>>a = pi 2po

en présence d'un champs de contrainte uniforme po crée un facteur de concentration de contrainte égale à 2 (petit trou)

si b>5a or max sont approximativement égales à pi pour le cas ou po = 0

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Cylindres composés

Interférence Pression de contact

ee

e

ei

i

i

ico

Y

Y

E

c

Y

Y

E

c p u

1

1

1

12

2

2

2

ee

e

ei

i

i

i

oc

Y

Y

E

Y

Y

E c

u p

1

11

1

112

2

2

2

ce

ciceou u u

position finale

c

b

a

uo

uce

ci

uci

ce

ci

Cylindres composés (suite)

Contraintes-déformations

contraintes

c

Ro=b

Ri=a

c

Ri=a

pc

c

Ro=b

p'

cylindre externecylindre internecylindre composé

1

12

2

Y

Yp

i

ic cr p

rii

ci E

c

u

1

cii

i

ici p

Y

Y

E

c u

1

12

2

1

12

2

Y

Y p

e

ec cr p

ree

ce E

c

u

1

cee

e

ece p

Y

Y

E

c u

1

12

2

Déformations-pression

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Cylindres composés (suite)Contrainte due à une interférence

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

Position radiale, in

Co

ntr

ain

te, p

si

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

Contrainte tangentielle

Matériau 2

E=30 106 psi=0.3

Matériau 1

E=30 106 psi=0.3

Pression = 0 psiinterférence = 0.01"

Exemple 1: contraintes due à l’interférenceet à la pression

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Position radiale, mm

Co

ntr

ain

te, M

Pa

Pression sans interférence

Interférence

pression et inteférence

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

Pression = 275 MPainterférence = 0.1 mm

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Exemple 2: contraintes dans un cylindre composé due à la pression

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

5 6 7 8 9 10 11 12

Co

ntr

ain

te,

ps

i

Position radiale, in.

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

Matériau 2E=30 106 psi=0.3

Pression = 10 000 psi

Matériau 1E=10 106 psi=0.4

Déformation plastique des cylindres ou autofrettage

Zone élastique

c r Ro

avec pi = p’=r à r=c

et po = 0

Selon Tresca

r

R 1 k =

r

R + 1 k = r

R + 1 R

c 2

S =

1 Y

r

R + 1

Y

1 Y 2

S =

2

2o

r

2

2o

2

2o

2o

2y

2e

2

2o

2e

2ey

r 1) Y(

'p R E

+ 1 + r

1 Y

'p

E

1 = u 2

e

2o

2e

e

c

Ro=b

p'

c

Ro=b

Ri=apA

cR = Y ;

Y1 Y

2S = 'p = 'p o

e2e

2ey

y

Y

1 Y 2

S = p

2

2y

y

ry

y 2S

2

1

1 Yr

R )p p( =

2

=

2

2

2o

oir

max

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Déformation plastique des cylindres ou autofrettage (suite)

Pression d’autofrettage et déformation plastique

Contrainte équivalente de Tresca

i

rr y

r y

r

r y y 1iR

dr = ( ) = S

dr1

d = drSr

1 r= dr = ln + S S C

r R

c

Ri=a

pA

p'

R

c ln S

Y

1 Y 2

S = C

iy2

e

2ey

1

S + =

Y

1 Y 2

1

c

r ln S =

yr

2e

2e

yr

Zone plastique

Ri r c

avec à r = Ri, σr = -pA (pression d'autofrettage)

et à r = c , σr = -p' (pression de contact)

cR = Y ;

cR ln

Y

1 Y 2

1 S = p o

ei

2e

2e

yA

) (2

2rc + ) (1

R 2

rc + 2

1

c

r ln ) 2 (1 r

E

S = u

2

2o

2y

p

'2

y er 2

e

1S Yà r c p = 2 Y

Déformation plastique des cylindres ou autofrettage (suite)

Zone plastique Ri r c

Zone élastique c r Ro

c

Ro=b

Ri=apA

1 Y

r

R 1

p r

c ln 2

R

c + 1 2

S =

1 Y

r

R + 1

p r

c ln 2

R

c + 1 2

S =

2

2

2o

A2o

2y*

r

2

2

2o

A2o

2y*

1 Y

r

R 1

p r

R 1 R

c 2

S =

1 - Y

r

R + 1

p r

R + 1 R

c 2

S =

2

2

2o

A2

2o

2o

2y*

r

2

2

2o

A2

2o

2o

2y*

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Contraintes durant autofrettage

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

Position radiale, in

Co

ntr

ain

te, p

si

Autofrettage à 100%Autofrettage à 50%

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

Contraintes résiduelles après autofrettage

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

Position radiale, in

Co

ntr

ain

te, p

si

Autofrettage à 100%Autofrettage à 50%

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

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Distribution des contraintes dansun cylindre autofretté

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

Position radiale, in

Co

ntr

ain

te, p

si

Sans autofrettageAvec autofrettage à 50%Avec autofrettage à 100%

Pi = 20 000 psi

Contrainte radiale

Contrainte tangentielle

Limite de la pression interne

Limite sur la contrainte membrane primaire (Pm)

Limite sur la contrainte "primaire + secondaire" (Pm + Q)

Limite sur l'effondrement plastique du cylindre

S Y

1) Y(

3

1 P y

2

d

S Y

1) Y( P y2

2

d

FS

(Y) ln S P

yd

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Limite de la pression interne (suite)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00

Ro/Ri

Pd/S

y

Contrainte primaire, Pm

Contrainte secondaire, Pm+Q

Effondrement plastique

Début de l'écoulement

Effet deBauschinger

BEF

p

effet Bauschinger

y

y

S

.)invers(SBEF

effet Bauschinger

elastique avecécruissage lineaire

elastique parfaitement plastique

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Effet de Bauschinger sur la contrainte circonférentielle

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

Position radiale, in

/S

y, p

si

Modèle avecdéchargement linéaireexpérimentation(Bauschinger)

Y=2Autofrettage à 100%

Disque en rotation

SolutionSubstitution dans l’équation d’équilibre radiale

Équilibre radial

0 = r + r

+

dr

d rr 2

r

E =

r

u

dr

du

r

1 +

rd

ud22

2

21

r

B + Ar

E

r =u

81

322

État plan de contraintes

r

u +

r

u

1

E =

r

u +

r

u

1

E =

2

2r

r

)(B)(A

E

r))((

)(

E= r

2

222

2

11

8

13

1

r

)(B)(A

E

r))((

)(

E=

2

222

2

11

8

131

1

Contraintes

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Disque annulaire en rotation

Contraintes radiale et circonférentielle

Déplacement radial

Conditions aux rives

Rrà =

Rrà =

or

ir

0

0

r

R

R

r

R

RR= i

oo

ior

222

22 18

3

r

R

R

r

R

RR= i

oo

io

222

22

3

311

8

3

R

r

r

R

R

RrR

E

))((=u

o

i

o

io

222

22

3

1

1

11

8

13

a

b

r

Disque plein en rotation

Contraintes radiale et circonférentielle

Déplacement radial

Conditions aux rives

0 0

0r o

u = à r

= à r R

R

rR=

oor

2

22 18

3

R

rR=

oo

2

22

3

311

8

3

R

r)1(

R

r)3(R

E8

)1(=u

3

oo

3o

2

b

r

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Disque annulaire en rotation (suite)

o

i

Rb

Ra

Disque annulaire Disque plein

RE

)(= u omax

32

4

1

abar

pour un disque plein à r =Ro

Disque d’épaisseur variable en rotation

Équation différentielle du déplacement radial

0 = rt+ t )rt(dr

dr

22 Équilibre radial

221 (1 )2

2 2

u 1 du u du u dtd + = rd r dr t dr r dr Er r

État plan de contraintes

r

u +

r

u

1

E =

r

u +

r

u

1

E =

2

2r

t=h

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Disque d’épaisseur variable en rotation

Équation différentielle du déplacement radial

Cas où la contrainte est constante

Solution connue sisr

C= t

r o = 0z =

max 2o =

r

u

r

u

r

E u o

1

État plan de contraintes

r o 2

o 2

E u u +

1 r r

E u u +

1 r r

2

o

dt rdr

t

rexptto

o

2

2

20ot t à r