ELE3200 - Systmes et simulation 4.1

CHAPITRE 4

LIEU DES RACINES

ELE3200 - Systmes et simulation 4.2

Lieu des racines Performance des sytmes dpend des ples et

zros du systme

Amliorer performance agir sur ples et/ou zros

Ceux-ci dpendent des paramtres du contrleur: lorsqu ils varient, les ples se mettent bouger dans le plan complexe.

Soit le systme en B.F.

Figure 4.1

Y sR s

K G sKG s H s

( )( )

( )( ) ( )

=+1

Ainsi, les ples du systme B.F. satisfont l quation caractristique:

1 0+ =KG s H s( ) ( ) (1)

K G(s) Y(s)R(s) E(s) U(s)

H(s)

-

ELE3200 - Systmes et simulation 4.3

c est--dire s1 est un ple du systme en BFsi:

pour chaque K des ples diffrents

si :

alors :

(2)

1 01 1+ =KG s H s( ) ( )

G s H s N sD s

( ) ( ) ( )( )

=

polynmes

1 1 0+ = + =KG s H s K N sD s

( ) ( ) ( )( )

Autre forme delquation caractristique D s K N s( ) ( )+ = 0

Lieu des raciness intresse savoir comment le gain K influence-t-il les ple en BF?

De faon quivalente:Comment les racines de l quation (2) dpendent-elles de K?

N.B.N.B. Si

Alors (2)

D s b s b s b N s a s am n

nn

mm( ) .... ; ( ) ....= + + + = + +

1 0 0

b s b s b K a s ann

mm+ + + + + + =.... ( .... )1 0 0 0

ELE3200 - Systmes et simulation 4.4

Pour K = K0 fix les ples en BF

Pour K variables, on obtient n courbes (ou branches) comme racines:

Dfinition:L union de ces n branches constitue le lieu des racines quand K varie de 0 +

p p po o no

1 2, , . . . ,

p p pk k nk

1 2, , . . . ,

Exemple: K 1 2s s( )+-

+

Figure 4.2

+ = ++

=

+ + =

= + =

= =

q. caract.

q. caract.racines

: ( ) ( )( )

:

: ( )

( )

1 12

0

2 0

1 1

1 1

2

1

2

K G s H s Ks s

s s K

p K fct K

p K fct K

Dans ce cas simple, on connat exactement le LDR:

Figure 4.3

K=1

-2 -1 0

K= 0 K= 0

m s( )

Re( )s

ELE3200 - Systmes et simulation 4.5

Question:Pour n > 2, les expressions analytiques des racines de lquation (2) en fonction de Ksont en gnral, impossibles trouver. Que faire?

Un point s appartient au LDR si et seulement si:

Rponse:On va noncer quelques rgles pour tracer le LDR dans le cas gnral ( ) sans connatre les expressions analytiques des racines.

1 0+ =KG s H s( ) ( )

+

=1 01

1

K s z s zs p s p

m

n

( ) . . . . . ( )( ) . . . . . . . . . ( )

(3)

z z

p pm

n

1

1

, . . . , :

, . . , :

zros de fct T. en B.O.

ples de fct T. en B.O.

2n

ELE3200 - Systmes et simulation 4.7

Le LDR est symtrique par rapport l axe des rels.

En fait, les rgles que l on va noncer pour tracer l allure du LDR dcoulent toutes des relations (4) et (5).

Cependant, on ne s attardera pas sur le comment de la chose .

p1 p2

p1 p2Figure 4.5

(Pour un polynme coefficients rels, les racines viennent en paires conjugues.)

Les branches du LDR partent des ples de G(s) H(s) (pour K=0) et aboutissent sur les zros (finis ou infinis) de G(s) H(s) (pour K +

Rgle #1

Rgle #2

ELE3200 - Systmes et simulation 4.9

Exemple prcdent:

G s H ss s

( ) ( )( )

=+

12

2 ples: 0, -2 2 zros l

conforme aux rgles nos 2 et 1.Figure 4.6

Il y aura autant d asymptotes que de zros l

Exemple: GHs

E C s K K= + = 1 0 033. . :

s K K e s e

K

j l j3 2

1 3 23

2 13

= = =

= =+

= +

+( )

/: &

( )

avec !

!

3 1 3 3 1 3 3 1 3racines : ; ;/ / /K e K e K e

j j j

1 ple 0 3 zros l les 3 asymptotes

sont intersectes en 0.

3 3

m

R se( )

Figure 4.7

-2 0

K=0K=0

ELE3200 - Systmes et simulation 4.10

Si la fonction de transfert a n-m zros l alors le LDR tend vers n-m asymptotes quand K . Ces asymptotes sont dfinies par les angles:

Rgle #3 (comportement l , m < n)

a n mn m= +

= ( ) ; , , , . . . . ,2 1 0 1 2 1! ! (7)

Par ailleurs, ces asymptotes intersectes l axe des rels au point ( centrode ):

ai i

ii

p z

n m=

(8)

pi = ples de GHzi = zros finis de GH

Exemple prcdent:

GHs s

=+

12( ) -2 0-1

Figure 4.8n m = 2

22

32

2 02

1

asymptotes

centrode

: ,

:

a

a

=

=

=

ELE3200 - Systmes et simulation 4.11

Tous les points de l axe des rels qui se situent gauche d un nombre impair de ples ou de zros de G(s) H(s) appartiennent au LDR .

Rgle #4

Figure 4.9

Question:Quelles parties de laxe des rels LDR ?

Exemples:

(1) G Hs s

=+

12( )

(2) G H s ss s s

=+

+ +

( )( )( )( )

31 1 22 2

-2 0

Figure 4.10

ples complexesne comptent pas

(3) G H ss

=+ 12 :

Figure 4.11

Figure 4.12

G Hs s

=+

12( )

-1

existence d'un point de rencontre/sparation de branches ("breakaway points")

-2 0-1

ELE3200 - Systmes et simulation 4.13

Les points de sparation/rencontre se trouvent parmiles racines de l quation:

Rgle #5

d G s H sds( ) ( )

= 0 (9)

Remarques:

a) Si sb satisfait

sb n est pas ncessairement un point desparation/rencontre. Il faut en plus:

b) les solutions relles de (9) sont toutes des pointsde sparation

Figure 4.13

dGHds s sb=

= 0

1 0+ =KG s H sb b( ) ( )

Exemple:

G s H ss s s s

ddsGH s

s ss

s s

( ) ( )( )

( )( ) ( )

=+

=+

= +

+=

+

+=

12

12

2 22

2 12

0

2

2 2 2 2

-2 0

sb = 1

sb = 1

ELE3200 - Systmes et simulation 4.18

En fait, ceci n est pas vraiment correct (intersection avec l axe imaginaire?)

Critre de R.H. permet de dterminer o LDR rencontre axe Im(s).

E.C. s s s s Ks s s s K( ) ( )+ + + + =+ + + + =

4 8 32 012 64 128 0

2

4 3 2

0-3-4

m s( )

R se ( )

Figure 4.19

ELE3200 - Systmes et simulation 4.19

Table R.H.s K

s

s K

s K

s K

4

3

2

0

1 64

12 128 0

53 3

53 3 128 1253 3

.

..

= =

=

= = +

=

Pour

polynme auxiliaireracines

K K ligne

q s ss j

* .

( ) .: .

53 3 12812

570 0

53 3 5703 25

2

Figure 4.20

-1.5-3-4

m s( )

R se ( )

-3

3