CHAPITRE 6 

Les Racines Carrées

Objectifs:

- Connaître la définition d’une racine carrée.

-Transformer des expressions contenant des racines carrées.

La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable

2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le f ondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un nauf rage !

Origine du symbole

I I e siècle: l 12 = côté d’un carré d’aire 12 ( l comme latus = côté en latin)

1525, Christoph RUDOLFF, allemand: v 12 (vient du r de racine)

XVIe siècle, Michael STIFEL, allemand: 12 (combinaison du « v » de Rudolf f et de la barre « » ancêtre des parenthèses)

I. La famille des racines carrées 

La racine carrée de a, notée a , est le nombre (toujours positif ) dont le carré est a.

Comme 3² = 9 donc 9 = 3

Comme 2,6² = 6,76 donc 6,76 = 2,6

Remarques:

* -5 = ? D’après la définition, la racine carrée de -5 serait le nombre dont le carré est -5. Or, un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible à calculer.

-5 n’existe pas !

* s’appelle le radical et a se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ».

1) Définition

Exemples :

Quelques nombres de la f amille des racines carrées :

0 = 0

1 = 1

2 1,4142

3 1,732

(nombres ni décimaux, ni rationnels !)

Les premières Racines Parfaites :

4 = 2 36 = 6 100 = 10

9 = 3 49 = 7 121 = 11

16 = 4 64 = 8 144 = 12

25 = 5 81 = 9 169 = 13

2) Racines carrées d’un nombre au carré et carré d’une racine carrée

Pour tout nombre positif a : 2a a et aa 2

Remarque: La f onction racine carrée est la f onction réciproque de la f onction carrée.

Exemples : 5255 2 2,144,12,1 2

3,169,13,1 2 2

II. Opération sur les racines carrées

Remarque:

Les « non-formules » : a + b a + b

et a – b a - b

Exemples : Ecrire le plus simplement possible

A = 32 x 2 = 32 x 2

B = 3 x 36 x 3 = 3 x 3 x 36

72

50C

= 5072

D = (4 5)² = 16 x( 5)²

80

1032 E

= 32×10

80

= 64 = 8

= 9 x 36 = 3 x 6 = 18

= 2536

= 25

36 =

56

On peut simplifier la f raction par 2.

(a x b)² =a² x b²

= 16 x 5 = 80

= 4 = 2

32 x 10 ÷ 80 = 4

I I I . Applications

1) Extraire une racine parfaite

Ecrire sous la f orme a b, avec a et b entiers et b étant le plus petit possible.

A = 72

on fait “ apparaître ” dans 72 une

racine parfaite

la plus grande possible: ici

36

= 36x2 = 36 x 2 = 6x 2 = 6 2

Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de racine parfaite.

B = 4 45 = 4 9 x 5 = 4 x 9 x 5 = 12 5

= 4 x 3 x 5

2) Sommes et diff érences de racines carrées

Ecrire le plus simplement possible :

A = 4 3 – 2 3 + 6 3 = 8 3

On regroupe les membres d’une même famille de racines

carrées. I ci, celle des 3 il y en a 4 – 2 + 6 c’est-à-dire 8.

B = 7 2 – 3 5 + 8 2 – 5 = 15 2

C = (3 – 2 3) – (4 – 6 3) = -1

- 4 5

= 3 – 2 3 – 4 + 6 3 + 4 3 Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

3) Simplifi cation d’une somme de racines carrées

sous la f orme a b

Ecrire les expressions suivantes sous la f orme a b, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible :

A = 12 + 7 3 – 27 B = 125 – 2 20 + 6 80

On va f aire apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il f aut extraire des racines parfaites.

A = 4 x 3 + 7 3 – 9 × 3

= 2 3 + 7 3 - 3 3

B = 25 × 5 – 2 4 × 5 + 6 16 × 5

= 5 5 – 2 x 2 5 + 6 x 4 5

= 25 5

= 6 3 = 5 5 – 4 5 + 24 5

4) Racines carrées et développements

Ecrire les expressions suivantes sous la f orme a + b c, où a, b et c sont des entiers relatif s :

A = ( 3 – 4)² = 3 – 8 3 + 16 = 19 – 8 3

B = ( 2 - 5)( 2 + 5) = 2 – 5 = - 3

C = (3 + 3)(4 – 2 3) = 12 – 6 3 + 4 3 – 6 = 6 - 2 3

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Double distributivité

5) Suppression du radical au dénominateur

Ecrire l’expression suivante sans radical au dénominateur :

22

23

2

2

23

Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par la même racine qui existe déjà au dénominateur.

23

A 2

23