ELE3200 - Systmes et simulation 4.1
CHAPITRE 4
LIEU DES RACINES
ELE3200 - Systmes et simulation 4.2
Lieu des racines Performance des sytmes dpend des ples et
zros du systme
Amliorer performance agir sur ples et/ou zros
Ceux-ci dpendent des paramtres du contrleur: lorsqu ils varient, les ples se mettent bouger dans le plan complexe.
Soit le systme en B.F.
Figure 4.1
Y sR s
K G sKG s H s
( )( )
( )( ) ( )
=+1
Ainsi, les ples du systme B.F. satisfont l quation caractristique:
1 0+ =KG s H s( ) ( ) (1)
K G(s) Y(s)R(s) E(s) U(s)
H(s)
-
ELE3200 - Systmes et simulation 4.3
c est--dire s1 est un ple du systme en BFsi:
pour chaque K des ples diffrents
si :
alors :
(2)
1 01 1+ =KG s H s( ) ( )
G s H s N sD s
( ) ( ) ( )( )
=
polynmes
1 1 0+ = + =KG s H s K N sD s
( ) ( ) ( )( )
Autre forme delquation caractristique D s K N s( ) ( )+ = 0
Lieu des raciness intresse savoir comment le gain K influence-t-il les ple en BF?
De faon quivalente:Comment les racines de l quation (2) dpendent-elles de K?
N.B.N.B. Si
Alors (2)
D s b s b s b N s a s am n
nn
mm( ) .... ; ( ) ....= + + + = + +
1 0 0
b s b s b K a s ann
mm+ + + + + + =.... ( .... )1 0 0 0
ELE3200 - Systmes et simulation 4.4
Pour K = K0 fix les ples en BF
Pour K variables, on obtient n courbes (ou branches) comme racines:
Dfinition:L union de ces n branches constitue le lieu des racines quand K varie de 0 +
p p po o no
1 2, , . . . ,
p p pk k nk
1 2, , . . . ,
Exemple: K 1 2s s( )+-
+
Figure 4.2
+ = ++
=
+ + =
= + =
= =
q. caract.
q. caract.racines
: ( ) ( )( )
:
: ( )
( )
1 12
0
2 0
1 1
1 1
2
1
2
K G s H s Ks s
s s K
p K fct K
p K fct K
Dans ce cas simple, on connat exactement le LDR:
Figure 4.3
K=1
-2 -1 0
K= 0 K= 0
m s( )
Re( )s
ELE3200 - Systmes et simulation 4.5
Question:Pour n > 2, les expressions analytiques des racines de lquation (2) en fonction de Ksont en gnral, impossibles trouver. Que faire?
Un point s appartient au LDR si et seulement si:
Rponse:On va noncer quelques rgles pour tracer le LDR dans le cas gnral ( ) sans connatre les expressions analytiques des racines.
1 0+ =KG s H s( ) ( )
+
=1 01
1
K s z s zs p s p
m
n
( ) . . . . . ( )( ) . . . . . . . . . ( )
(3)
z z
p pm
n
1
1
, . . . , :
, . . , :
zros de fct T. en B.O.
ples de fct T. en B.O.
2n
ELE3200 - Systmes et simulation 4.7
Le LDR est symtrique par rapport l axe des rels.
En fait, les rgles que l on va noncer pour tracer l allure du LDR dcoulent toutes des relations (4) et (5).
Cependant, on ne s attardera pas sur le comment de la chose .
p1 p2
p1 p2Figure 4.5
(Pour un polynme coefficients rels, les racines viennent en paires conjugues.)
Les branches du LDR partent des ples de G(s) H(s) (pour K=0) et aboutissent sur les zros (finis ou infinis) de G(s) H(s) (pour K +
Rgle #1
Rgle #2
ELE3200 - Systmes et simulation 4.9
Exemple prcdent:
G s H ss s
( ) ( )( )
=+
12
2 ples: 0, -2 2 zros l
conforme aux rgles nos 2 et 1.Figure 4.6
Il y aura autant d asymptotes que de zros l
Exemple: GHs
E C s K K= + = 1 0 033. . :
s K K e s e
K
j l j3 2
1 3 23
2 13
= = =
= =+
= +
+( )
/: &
( )
avec !
!
3 1 3 3 1 3 3 1 3racines : ; ;/ / /K e K e K e
j j j
1 ple 0 3 zros l les 3 asymptotes
sont intersectes en 0.
3 3
m
R se( )
Figure 4.7
-2 0
K=0K=0
ELE3200 - Systmes et simulation 4.10
Si la fonction de transfert a n-m zros l alors le LDR tend vers n-m asymptotes quand K . Ces asymptotes sont dfinies par les angles:
Rgle #3 (comportement l , m < n)
a n mn m= +
= ( ) ; , , , . . . . ,2 1 0 1 2 1! ! (7)
Par ailleurs, ces asymptotes intersectes l axe des rels au point ( centrode ):
ai i
ii
p z
n m=
(8)
pi = ples de GHzi = zros finis de GH
Exemple prcdent:
GHs s
=+
12( ) -2 0-1
Figure 4.8n m = 2
22
32
2 02
1
asymptotes
centrode
: ,
:
a
a
=
=
=
ELE3200 - Systmes et simulation 4.11
Tous les points de l axe des rels qui se situent gauche d un nombre impair de ples ou de zros de G(s) H(s) appartiennent au LDR .
Rgle #4
Figure 4.9
Question:Quelles parties de laxe des rels LDR ?
Exemples:
(1) G Hs s
=+
12( )
(2) G H s ss s s
=+
+ +
( )( )( )( )
31 1 22 2
-2 0
Figure 4.10
ples complexesne comptent pas
(3) G H ss
=+ 12 :
Figure 4.11
Figure 4.12
G Hs s
=+
12( )
-1
existence d'un point de rencontre/sparation de branches ("breakaway points")
-2 0-1
ELE3200 - Systmes et simulation 4.13
Les points de sparation/rencontre se trouvent parmiles racines de l quation:
Rgle #5
d G s H sds( ) ( )
= 0 (9)
Remarques:
a) Si sb satisfait
sb n est pas ncessairement un point desparation/rencontre. Il faut en plus:
b) les solutions relles de (9) sont toutes des pointsde sparation
Figure 4.13
dGHds s sb=
= 0
1 0+ =KG s H sb b( ) ( )
Exemple:
G s H ss s s s
ddsGH s
s ss
s s
( ) ( )( )
( )( ) ( )
=+
=+
= +
+=
+
+=
12
12
2 22
2 12
0
2
2 2 2 2
-2 0
sb = 1
sb = 1
ELE3200 - Systmes et simulation 4.18
En fait, ceci n est pas vraiment correct (intersection avec l axe imaginaire?)
Critre de R.H. permet de dterminer o LDR rencontre axe Im(s).
E.C. s s s s Ks s s s K( ) ( )+ + + + =+ + + + =
4 8 32 012 64 128 0
2
4 3 2
0-3-4
m s( )
R se ( )
Figure 4.19
ELE3200 - Systmes et simulation 4.19
Table R.H.s K
s
s K
s K
s K
4
3
2
0
1 64
12 128 0
53 3
53 3 128 1253 3
.
..
= =
=
= = +
=
Pour
polynme auxiliaireracines
K K ligne
q s ss j
* .
( ) .: .
53 3 12812
570 0
53 3 5703 25
2
Figure 4.20
-1.5-3-4
m s( )
R se ( )
-3
3
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