LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122....

AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale. Contact : [email protected]

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm

T

H

E

S

E

THÈSEPrésentée à

UNIVERSITÉ DE LORRAINE

École doctorale 409 EMMA : Énergie Mécanique et Matériaux

par

Waseem AL HADAD

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Spécialité/Discipline : Mécanique et Énergétique

Thermique des mini-canaux :comportement instationnaire et approche

convolutive

soutenue le 22 septembre 2016 devant la commission d’examen composée de :

M. Jean-Christophe BATSALE Professeur, ENSAM, Bordeaux Rapporteur

M. Christophe LE NILIOT Professeur, Aix-Marseille Université, Marseille Rapporteur

M. Philippe MARTY∗ Professeur, Université Joseph Fourier, Grenoble Examinateur

M. Daniel BOUGEARD Professeur, École des Mines de Douai, Douai Examinateur

M. Régis OLIVES MCF, Université de Perpignan, Perpignan Examinateur

M. Fabio BOZZOLI Professeur associé, Université de Parma, Parma Examinateur

M. Denis MAILLET Professeur, Université de Lorraine, Nancy Directeur de thèse

M. Yves JANNOT Ingénieur de Recherche (HDR), CNRS, Nancy Co-Directeur

M. Florian PICARD Ingénieur de Recherche, Fives-Cryo, Golbey Invité

∗ Président du jury

Laboratoire d’Energétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA)

CNRS UMR 7563

2, Avenue de la Forêt de Haye - TSA 60604

54518 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex, France

http://lemta.univ-lorraine.fr

mailto:http://lemta.univ-lorraine.fr

A mes parents, à toute ma famille

”Appliquez-vous à la recherche de la science, depuis le berceau jusqu’à la mort.”

[Ahmad Ibn Hanbal]

Remerciements

En mettant les touches finales, les mots sont en compétition et les phrases se bous-

culent pour exprimer toute la gratitude que j’ai pour ceux qui ont rendu cette formi-

dable aventure humaine et scientifique possible.

Je tiens tout d’abord à présenter ma profonde gratitude et mes sincères remercie-

ments à ceux qui m’ont fait confiance : d’abord Denis MAILLET et Yves JANNOT qui

m’ont encadré pendant ces trois années de thèse et ensuite Yassine ROUIZI qui m’a

encadré pendant les six mois de stage avec Denis MAILLET. Je les remercie pour leur

grande disponibilité, leur enthousiasme, leur aide inestimable, leur rigueur scientifique,

leur passion pour la thermique (modélisation, expérimentale et techniques inverses),

leur bonne humeur au quotidien ainsi que leurs conseils précieux.

Je voudrais grandement remercier messieurs Jean-Christophe BATSALE et Chris-

tophe LE NILIOT pour l’honneur qu’ils m’ont fait d’accepter de rapporter mon travail

et pour toutes leurs remarques et critiques constructives. Je remercie chaleureusement

monsieur Philippe MARTY pour l’honneur qu’il m’a fait en présidant le jury de soute-

nance de ma thèse. Je remercie très sincèrement messieurs Daniel BOUGEARD, Régis

OLIVES et Fabio BOZZOLI pour avoir accepté d’examiner ce travail. Je tiens à ex-

primer ma gratitude à tous les membres du jury pour les discussions fructueuses que

nous avons eues lors de la soutenance, ce qui a été déterminant pour mener à bien ce

travail.

J’en profite pour remercier l’ensemble du personnel du LEMTA et plus particuliè-

rement :

• Stéphane A., Benjamin R., Alain D., Michel F., Chérif N., Christian M., GaëlM., Pascal B., Laurent F., Julien B., Sébastien K. et Abdelhamid K. pour leurs

gentillesses et leurs éclaircissements toujours opportuns.

• Les ingénieurs et techniciens : Ludovic B. (Pour le matériel et les services infor-matiques). Franck D., Jean-Yves M. et Jérémy B. (Pour la conception mécanique).

Jamel O., Simon B. et Mathieu W. (Pour l’instrumentation). Alain C. (Le garant

de notre sécurité).

• Les secrétaires : Irène L., Édith L., Fatiha B., Valérie R., Céline M., Dalida S.,Françoise O. et Christine S. (secrétaire de l’école doctorale EMMA) pour la faci-

lité des démarches administratives et leur bonne humeur.

iii

Je tiens à adresser un remerciement particulier : Sofyane ABBOU (sagesse) et Za-

kariya BOUFAIDA (1/ Sofyane ABBOU) pour tout les moments ultra-fabuleux (tacos

midi, diner, matchs, l’équipe 21 ...etc). Mondher BOUTERAA (Michael Schumacher)

et Säıd AIT HAMMOU TALEB (monsieur le pédagogue super-capacité) pour les dis-

cussions autour de cafés.

Je tiens également à saluer toutes les personnes qui, de près ou de loin, ont contribué

à mon bien être durant ces trois dernières années : Je pense à Thomas Varé (l’orchestre

du rouleau et collègue de bureau ”Rayleigh-Bénard”), Omar RINGA (bon courage, tu

y es presque), Thomas GAUMONT (T. pile à combustible, le porteur de drapeau),

Thomas LOUSSOUARN (T. Four, remarque pour ta manip. ”Un vieux four est plus

aisé à chauffer qu’un neuf.”), Ahmad ADDOUM (sagesse tend vers l’infini), Juan David

PENA CARRILLO (lauréat de prix Biot-Fourier), Miloud HADJ ACHOUR (”physi-

politicien” physicien mélangé avec la politique), Farhad NIKFARJAM (bon courage

monsieur Victor Hugo), Mathilde BLAISE (ma concurrente ˆ ˆ et bon courage pour la

suite), Assma EL KADDOURI (la gentillesse et le calme), Näıma GAUDEL (voisine de

bureau), Mathilde CAZOT (clairvoyance), Rayan BHAR (nouveau doctorant et l’ar-

tiste de métal), Ramzi ABDI (future manager 1) et Reda ZAKARIA (future manager

2).

Ma profonde gratitude, ma reconnaissance et tous les mots de remerciement dans

tous les dictionnaires de toutes les langues ne suffiront pas à vous remercier. Ce sont les

deux premiers professeurs que j’ai eus dans ma vie et ils m’ont accompagné jusqu’à ce

jour : ma mère et mon père. Sans vos encouragements, votre amour, vos conseils et vos

phrases qui sont gravés dans ma mémoire, je n’aurais jamais pu accomplir ce travail.

Je remercie infiniment également et sans limites mes frères et mes sœurs que j’aime

beaucoup, incomparablement, fabuleusement, énormément, plantureusement. Mes re-

merciement vont aussi à mes amis proches qui m’ont soutenu et encouragé durant ces

dernières années.

Merci à tous,

Waseem AL HADAD

À Nancy, le 21/10/2016

”La connaissance s’acquiert par l’expérience, tout le reste n’est que de l’information.”

[Albert Einstein]

iv

Table des matières


Introduction générale 1

1 État de l’art 3

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Rappel des équations du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Macro-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Mini-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Spécificité des mini-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Revue des transferts thermiques dans les mini-canaux . . . . . . 16

1.4.2.1 Effet de transfert conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2.2 Effet de dissipation visqueuse . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2.3 Effet de double couche électrique . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2.4 Effet d’aspect de la section du canal . . . . . . . . . . 22

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Modélisation semi-analytique et simulation du transfert thermique

transitoire dans des mini-extracteurs de chaleur 31

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Le système étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Vérification par COMSOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Vérification en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.2 Vérification en régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Banc expérimental et instrumentation thermique du mini-extracteur 49

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Schéma de mesure en régime permanent . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Schéma de mesure expérimentale en régime transitoire . . . . . 53

3.3 Protocoles expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Protocoles expérimentaux en régime thermique permanent . . . 54

3.3.2 Protocoles expérimentaux en régime thermique transitoire . . . 58

3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

v


4 Caractérisation expérimentale d’un mini-extracteur par une méthode

non intrusive 61

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Estimation des conditions internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1 L’estimation rectangulaire (rectangular Least squares RLS) . . . 64

4.2.2 L’estimation par valeurs singulières tronquée (TSV D) . . . . . 65

4.2.3 L’estimation par régularisation de Tikhonov . . . . . . . . . . . 66

4.3 Résultats d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Résultats d’inversion de mesure en régime permanent . . . . . . 67

4.3.1.1 Résultats d’estimation des paramètres structurels Um,

h1 et h2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1.2 Résultats d’estimation des conditions internes : . . . . 76

4.3.2 Résultats d’inversion de mesure en régime transitoire . . . . . . 86

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5 Fonction de transfert en thermique : application à un liquide chauffé

en amont d’un mini-extracteur 95

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Principe de fonction de transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Fonction de transfert analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.1 Plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.2 Demi-échangeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4 Identification de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.5 Résultats d’identification de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . 108

5.5.1 Fonction de transfert analytique et son identification à partir des

profils synthétiques (COMSOL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.2 Identification à partir des profils expérimentaux . . . . . . . . . 110

5.5.2.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.5.2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.5.2.3 Résultats d’estimation de fonction de transfert expéri-

mentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 Caractérisation des échangeurs de chaleur par des capteurs virtuels

basés sur une fonction de transfert 121

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.2 Le système étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Estimation de la fonction de transfert (calibrage) . . . . . . . . . . . . 124

6.3.1 Calibrage d’un capteur virtuel de température . . . . . . . . . . 124

6.3.2 Calibrage du capteur d’encrassement . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4.1 Résultats du calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.4.2 Validation du concept des capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4.2.1 Validation d’un capteur virtuel de température interne 129

6.4.2.2 Validation d’un capteur d’encrassement . . . . . . . . 130

vi


6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Conclusion générale 133

Annexes 137

A Étalonnage de système pousse seringues 139

B Étalonnage d’une camera infrarouge 141

C Regularization using truncated singular value decomposition for es-

timating the Fourier spectrum of a noised space distribution over an

extended support 145

D Calcul de l’écart type du bruit de mesure 159

vii


viii

Introduction générale

Le transfert thermique entre un solide et un fluide peut se produire dans plusieurs

applications. On peut donner à un titre d’exemple les système suivants : les dispositifs

d’échange thermique qui nécessitent une circulation de fluide : dissipateur (stockage

de chaleur sensible dans une paroi massive), extracteur (capteur solaire ou diffuseur

servant au refroidissement des composants électroniques) et échangeur de chaleur. La

modélisation de l’échange thermique entre la phase solide (parois du dispositif) et la

phase fluide en régime thermique permanent ou transitoire nécessite la résolution de

l’équation de la chaleur dans chaque milieu. Dans le cas où le dispositif d’échange ther-

mique comporte un canal conventionnel dont le diamètre hydrique est très grand devant

les épaisseurs des parois, une hypothèse simplificatrice classique consiste à négliger la

conduction axiale dans les parois (les parois sont considérées comme anisotrope avec un

transfert 1D perpendiculaire à leur plan) et les conditions aux interfaces (continuité de

la température et du flux) sont remplacées par un coefficient, dit coefficient d’échange

convectif h. Pour rendre ce dernier indépendant du type de fluide, il a été mis sous

forme d’un nombre adimensionnel appelé nombre de Nusselt. Pour rendre ce nombre

sans dimension exploitable pour les toutes les gammes de vitesse, il a été corrélé avec

le nombre de Reynolds Re et le nombre de Prandtl Pr en régime forcée.

Au 20ème siècle, l’industrie et en particulier l’industrie électronique a tendance à

réduire la taille des systèmes qui deviennent de plus en plus compacts et complexes.

L’évacuation de la chaleur de tels systèmes ne peut alors plus se faire par des dis-

positifs d’échange thermique conventionnels. Pour répondre au cahier des charges, on

recherche des moyens pour intensifier l’échange thermique. L’un des moyens proposé

pour intensifier l’échange thermique au sein des dispositifs d’échange thermique est

d’augmenter le rapport surface de contact solide/fluide sur volume de fluide c’est à

dire augmenter la surface spécifique d’échange. En d’autre termes, l’intensification de

l’échange thermique peut se faire en diminuant le diamètre hydraulique du canal. Dès

que le diamètre hydrique devient de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la paroi so-

lide du canal, l’hypothèse qui consiste à négliger la conduction dans les parois devient

illégitime. Les corrélations classiques permettant de calculer le nombre de Nusselt sont

alors mises en question.

L’objectif de cette thèse est de modéliser et de caractériser expérimentalement par

une mesure non intrusive, le transfert thermique permanent et transitoire au sein des

canaux de taille inférieur à celle des canaux conventionnels en gardant en même temps

l’hypothèse de continuité de deux milieux (solide et fluide) et en prenant en compte

1

Introduction générale

bien évidemment le transfert axial dans la paroi.

Dans le premier chapitre, nous présentons les travaux publiés sur la thermique des

macro- et mini-canaux et leurs modélisation, simulation et caractérisation expérimen-

tale.

Dans le second chapitre, un modèle semi-analytique basé sur les transformés inté-

grales (méthode quadripolaire) permettant de simuler le transfert conjugué permanent

dans un mini-canal rectangulaire chauffé par une source surfacique est présenté puis

généralisé au régime thermique transitoire. Pour vérifier la fiabilité de ce modèle, ses

résultats ont été comparés avec ceux réalisés sous COMSOL.

Dans le troisième chapitre, le banc d’essai utilisé pour caractériser le transfert ther-

mique au sein d’un mini-canal rectangulaire en polycarbonate de diamètre hydraulique

de 2mm, les protocoles opératoires et les mesures correspondantes sont présentés. La

mesure de la réponse en température des faces externes est ici non intrusive (thermo-

graphie infrarouge).

Dans le quatrième chapitre, nous comparerons le modèle semi-analytique aux me-

sures sur les faces externes en régime thermique permanent et transitoire et à l’aide des

techniques d’inversion nous tenterons d’estimer les conditions internes (température et

flux) correspondantes.

Dans le cinquième chapitre, une alternative au coefficient d’échange classique h ca-

ractérisant le transfert thermique fluide-solide est présentée. En effet, ce dernier ne peut

plus être considéré comme une grandeur intrinsèque en régime thermique transitoire

car il dépend de la forme temporelle de l’excitation comme le montrent les simulations.

L’alternative consiste à représenter le système par une fonction de transfert intrin-

sèque qui permet non seulement de caractériser le transfert solide/fluide mais aussi les

échanges solide/solide et fluide/fluide à condition que le système étudié soit linéaire,

avec des coefficients invariants en temps pour une condition initiale uniforme. L’expres-

sion analytique (dans l’espace de Laplace) de la fonction de transfert (carte d’identité

du système étudié) pour une géométrie simple a été calculée par la méthode quadri-

polaire pour une source de chaleur non plus surfacique, mais volumique, en amont de

l’entrée du canal. Pour une géométrie complexe (ici un échangeur à contre-courant), elle

a été identifiée à partir des évolutions de température locales synthétiques (COMSOL)

ou expérimentales (thermocouple).

Finalement, le sixième chapitre décrit comment on peut employer l’approche en

fonction de transfert pour un système complexe (ici un échangeur) pour construire des

capteurs virtuels capables de détecter la variation temporelle d’un paramètre structu-

rel du système au cours du fonctionnement (capteur d’encrassement) ou donner une

information en température à un point difficile à accéder par un capteur physique à

partir d’une mesure en un point externe (capteur virtuel de température).

2

Chapitre 1

État de l’art

Sommaire

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Rappel des équations du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Macro-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Mini-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Spécificité des mini-canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Revue des transferts thermiques dans les mini-canaux . . . . 16

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.1 Introduction

Lorsqu’un fluide en circulation dans un canal a une température différente de celle

de la paroi, un transfert thermique a lieu. En fonction du sens du flux de chaleur,

les canaux peuvent convenir à plusieurs applications : si le fluide caloporteur extrait

la chaleur de paroi, on parle d’un extracteur de chaleur « heat sink », par exemple

un capteur solaire. S’il cède sa chaleur à (aux) paroi(s) on l’appelle dissipateur « heat

source », cas par exemple d’un stockage de chaleur dans une paroi massive. Dans le cas

où il y a deux fluides séparés ou non par une paroi, l’un extrait la chaleur cédée par

l’autre, on parle d’un échangeur de chaleur, voir (Figure 1.1 et Figure 1.2).

fe1e

2e

Soleil

Eau chaudeEau froide

Fluide

froid

Fluide

chaud

Echangeur

Fig. 1.1 – Capteur solaire thermique.

fe1e

2e

Flux de chaleur

Fluide

froid

Fluide

chaud Flux de chaleur

Paroi massive

Fig. 1.2 – Dissipateur de chaleur.

3

Chapitre 1. État de l’art

Quelle que soit la forme du canal (circulaire, rectangulaire, etc.), Mehendale et al.

[1] ont classifié les canaux en quatre catégories, voir le (Tableau 1.1). Leur classification

est basée uniquement sur la dimension (diamètre hydraulique, Dh).

Table 1.1 – Classification des canaux par Mehendale et al.[1]

Canal Diamètre hydraulique

Macro-canaux (conventionnel) Dh > 6mm

Canaux compacts 1mm 6 Dh < 6mm

Meso-canaux 100µm 6 Dh < 1mm

Micro-canaux 1µm 6 Dh < 100µm

Évidement plus l’échelle d’observation est petite, plus l’hypothèse de la continuité

du milieu est discutable. Par exemple, si l’on observe un objet (un fluide) à l’œil nu

(échelle macroscopique), il peut être considéré comme un milieu continu. Par contre, si

l’observation a lieu à une échelle très petite (nanoscopique), le domaine perd sa conti-

nuité. Le nombre sans dimension qui permet de déterminer le régime d’écoulement en

terme de continuité du milieu et non en terme de turbulence d’un fluide est le nombre

de Knudsen, noté Kn. Ce nombre est défini comme le rapport entre le libre parcours

moyen ℓ des porteurs et la longueur caractéristique du volume d’étude, ici c’est le dia-

mètre hydraulique Dh. Si Kn est suffisamment grand, les porteurs ne peuvent plus

être considérés comme un milieu continu et les lois fondamentales (les équations de

Navier-Stokes NS, loi de Fourier, etc.) ne seront plus valables. En fonction de Kn, le

(Tableau 1.2) montre la classification des différents régimes d’écoulement en terme de

continuité.

Afin de rendre la classification des canaux non seulement basée sur les dimen-

sions mais aussi sur une justification physique, Kandlikar et Grande [3] ont revisité la

classification présentée par Mehendale et al. [1]. La classification proposée prend en

considération la nature de l’écoulement dans le canal. Comme le libre parcours moyen

pour un liquide est de l’ordre de ℓ ∼ 10−10m et pour un gaz aux températures etpressions usuelles, il est de l’ordre de ℓ ∼ 10−6m et en s’appuyant sur le nombre deKnudsen Kn, ces auteurs ont classé les canaux en fonction de la continuité en deux

catégories : la première catégorie (conventionnel, mini et micro-canal) où le milieu peut

être toujours considéré comme un milieu continu. Dans la deuxième catégorie (tran-

sitionnelle et nano-canaux), où les lois de la mécanique des milieux continus ne sont

plus valables pour la plupart des fluides, comme indiqué dans le (Tableau 1.3) où les

auteurs prennent partiellement en compte la physique de l’écoulement.

Trouver une solution générale du problème du transfert thermique dans les ca-

naux de l’échelle macro à l’échelle nano est difficile voire impossible car la physique

change d’un échelle à l’autre comme il a été montré dans le (Tableau 1.2). Par la suite,

nous avons focalisé ce travail bibliographique sur la première catégorie de Kandlikar et

Grande [3] où le milieu peut garder un caractère continu. Dans la suite pour alléger la

notation, le diamètre hydraulique est noté D.

4

1.2. Rappel des équations du bilan

Table 1.2 – Régime d’écoulement en fonction du nombre de Kn, Gad-el-Hak [2].

Kn Régime d’écoulement

0.001 > Kn

Écoulement continu : les équations de NS sont valables avec les

conditions classiques de continuité de la température et de la vitesse

à la paroi.

0.1 > Kn > 0.001

Écoulement glissant : les équations de NS sont toujours appli-

cables mais en modifiant les conditions pour prendre en compte le

saut de température et de vitesse à la paroi.

10 > Kn > 0.1

Écoulement de transition : type d’écoulement entre écoulement

glissant et l’écoulement moléculaire libre. Les équations de NS ne

sont plus valables, mais les collisions intermoléculaires ne sont pas

encore totalement négligeables.

Kn > 10

Écoulement moléculaire libre : les collisions entre molécules

sont négligeables devant les collisions entre molécules et paroi. Le

mouvement des molécules est modélisé et traité statistiquement.

Table 1.3 – Classification des canaux par Kandlikar et Grande [3].

Canal Taille du canal

Milieu continu

Macro-canaux (conventionnel) Dh > 3mm

Mini-canaux 200µm < Dh ≤ 3mmMicro-canaux 10µm < Dh ≤ 200µm

Milieu non continuCanaux transitionnels 0.1µm < Dh ≤ 10µm

Nano-canaux moléculaire Dh ≤ 0.1µm

1.2 Rappel des équations du bilan

Le caractère continu du milieu qu’on a défini précédemment, peut être traduit en

physique par le fait que le comportement du milieu peut être modélisé par des fonc-

tions continues au sens mathématique. Ainsi, les grandeurs physiques telles que la

masse volumique, la température, la pression, peuvent être également représentées par

des fonctions continues.

Dans un problème de transfert thermique fluide/solide (conduction-advection), les

bases nécessaires à la construction d’un modèle permettant de caractériser ce transfert,

sont les trois lois de conservation : la conservation de la masse, de la quantité de mouve-

ment et de l’énergie totale. Comme ce travail se limite à l’étude du transfert thermique

au sein d’un fluide Newtonien et incompressible, nous allons adopter ces hypothèses

dès le départ.

5


• La conservation de la masse : la quantité conservée ici est la masse volumiqueρ. Pour un fluide compressible elle s’écrit :

∂ρ

∂t+ ~∇. (ρ.~u) = 0 (1.1a)

où t représente le temps (s) et ~u désigne la vitesse du milieu (m.s−1). A faible

nombre de Mach 1 Ma, l’hypothèse de l’incompressibilité (∂ρ

∂p|T = 0) d’un fluide

est valide. Concernant le liquide, l’hypothèse de l’incompressibilité est généra-

lement adaptée car la vitesse de circulation est relativement faible par rapport

aux gaz. L’équation de la conservation de la masse pour un fluide incompressible

s’écrit :

~∇.~u = 0 (1.1b)

• La conservation de la quantité de mouvement : la quantité conservéec’est la densité de quantité de mouvement ρ~u. Pour un fluide incompressible et

Newtonien, elle s’écrit :

∂(~u)

∂t+ (~u.~∇)~u = −1

ρ~∇p+ ν ~∇2~u+ ~f (1.2)

où p désigne la pression (Pa), ν la viscosité cinématique (m2.s−1) définie par

ν = µ/ρ. µ est la viscosité dynamique (Pa.s) et ~f désigne les forces massiques

(N.kg−1).

• La conservation de l’énergie : Pour un fluide incompressible à propriétésthermo-physiques constantes, l’équation de la chaleur peut être écrite comme :

∂T

∂t+ ~u.~∇T = a∇2T + ΦD

ρcp+Pvρcp

avec ΦD = ¯̄τ :¯̄D (1.3)

où T est la température (K ou ◦C), a = λ/(ρcp) la diffusivité thermique (m2.s−1)

avec λ la conductivité thermique (W.m−1.K−1) et cp la chaleur massique à pres-

sion constante (J.kg−1.K−1). ΦD représente le terme de la dissipation visqueuse

(la transformation de l’énergie cinétique en chaleur sous l’effet des frottements

visqueux). Ce terme peut être important si la viscosité du fluide et/ou sa vi-

tesse est grande. Pv représente le terme source : source de chaleur volumique

interne (par exemple, par effet Joule, réaction chimique, etc...). ¯̄τ est le tenseur

des contraintes visqueuses (Pa) et ¯̄D est le tenseur des taux de déformation.

Chaque équation de conservation montrée précédemment représente une compé-

tition entre plusieurs termes et chaque terme décrit un phénomène ou un effet qui

peut être spécifié par un temps caractéristique. Traiter le problème général (prendre en

considération tous les effets) rendrait le problème difficile à résoudre. Pour simplifier

1. nombre sans dimension, qui représente le rapport local entre la vitesse d’un fluide et la vitesse

du son.

6

1.2. Rappel des équations du bilan

le problème il est donc judicieux d’examiner l’importance de chaque terme au travers

d’une dimension caractéristique de même unité. Pour ce faire, il suffit de mettre ces

équations sous forme adimensionnelle.

On considéré un fluide Newtonien incompressible de propriétés constantes sauf la

masse volumique ρ dans le terme source de l’équation de quantité de mouvement (l’hy-

pothèse de Boussinesq). Ce fluide entre dans un canal de section constante et de dia-

mètre hydraulique l avec une vitesse moyenne U . Le canal est chauffé par une source de

chaleur surfacique à température ou flux uniforme. Considérons ici le cas où la source la

source de chaleur surfacique est à densité uniforme, q(W.m−2) ; les différents variables

et grandeurs adimensionnelles s’écrivent :

r∗ =r

l, θ∗ =

T − T∞q l/λ

, u∗ =u

U, t∗ =

t

l/Uet p∗ =

p

ρU2(1.4)

où r est une variable spatiale et T∞ est la température de référence. Les équations de

bilan (conservation de la masse, conservation de la quantité de mouvement et conser-

vation de l’énergie) s’écrivent respectivement sous forme adimensionnelle :

~∇∗.~u∗ = 0 (1.5)

∂(~u∗)

∂t∗+ (~u∗.~∇∗)~u∗ = −~∇∗p∗ + 1

Re~∇∗2~u∗ + Gr

Re2θ∗~ez (1.6)

∂θ∗

∂t∗+ ~u∗.~∇∗θ∗ = 1

Pe(∇∗2θ∗ +BrΦ∗D) + (βT )Ec

Dp∗

Dt∗(1.7)

Le fait de mettre le modèle à résoudre sous forme adimensionale, fait apparaitre

naturellement des nombres sans dimension (terme pondéré qui peuvent varier de 0 à

∞ pour donner une idée sur le phénomène dominant). Chaque nombre représente lerapport entre deux grandeurs caractéristiques de deux phénomènes différents permet-

tant par la suite de diminuer le nombre de degrés de liberté. Par exemple :

• le nombre de Reynolds Re : c’est le rapport entre la force d’inertie et la forcevisqueuse. Dans le cas où Re est petit (le fluide se déplace lentement ou le fluide

est très visqueux), la force visqueuse va amortir les perturbations générées par la

force d’inertie et l’écoulement est dit en régime laminaire. Dans le cas contraire,

on parle de régime turbulent.

Rel =Ul

νavec ν =

µ

ρ

• le nombre de Grashof Gr : la différence de température au sein du fluideva engendrer une variation de la masse volumique (existence du coefficient de

7


dilatation à pression constante β) et donc une force de flottabilité. Si cette der-

nière n’est pas suffisamment grande, la convection naturelle va être freinée par les

forces visqueuses. Le nombre de Grashof Gr représente l’importance des forces

d’Archimède (force motrice de la convection naturelle) et sa résistance due aux

forces visqueuses. Le produit du nombre de Grashof Gr et du nombre de Pr

donne le nombre de Rayleigh Ra qui mesure l’importance du transfert par

conduction par rapport à la convection libre ou naturelle.

Grl =g β∆T l3

ν2

Ral = Grl Pr

• le nombre de Péclet Pe : mathématiquement il peut être défini comme leproduit du nombre de Reynolds Re et du nombre de Prandtl Pr. Physiquement, il

représente le rapport du temps caractéristique de diffusion et de celui d’advection

au sein du fluide.

Pel = RePr =l2/a

l/U=U l

aavec a =

λ

ρcp

• le nombre de Prandtl Pr : il représente le rapport entre la diffusivité dequantité de mouvement (ou viscosité cinématique) et la diffusivité thermique.

Pr =ν

a

• le nombre d’Eckert Ec : il compare l’importance de l’énergie cinétique d’unécoulement et l’énergie interne au sein d’un fluide.

Ec =U2

cp ∆T

• le nombre de Brinkman Br : mathématiquement il représente du produitde nombre d’Eckert Ec et du nombre de Prandtl Pr. Physiquement, il mesure

l’importance de la dissipation visqueuse par rapport à la chaleur transmise par

conduction.

Br = Ec Pr =µU2

λ∆T

Dans la suite, tous les nombres sans dimension seront basés sur le diamètre hydraulique

D. Pour alléger la notation, ces nombre serons écrit sans le sous indice D.

8

1.3. Macro-canaux

Le problème de la caractérisation des échanges thermiques entre l’écoulement d’un

fluide et les parois du canal de section constante et chauffé uniformément à tempé-

rature ou à flux imposé sur ses faces externes a été largement étudié analytiquement

”ou semi-analytiquement”, numériquement et expérimentalement dans la littérature.

Pour simplifier la présentation, la partie bibliographique qui suit a été divisée en deux

parties : transfert dans les macro-canaux où le problème est bien mâıtrisé, et transfert

dans les mini-canaux qui constituent le sujet de cette thèse. Une conclusion permettra

ensuite de faire le lien entre les deux parties.

1.3 Macro-canaux

Nous nous intéressons ici aux macro-canaux, au sens de Kandlikar (voir Tableau 1.3).

La première publication sur la convection forcée dans un canal dans la littérature a été

présenté par Graetz [4, 5] et ensuite indépendamment par Nusselt [6]. Ils ont étudié

analytiquement le transfert thermique stationnaire en 2D au sein d’un fluide incompres-

sible entrant dans un canal circulaire avec un profil de vitesse établi et une température

uniforme dans la section d’entrée, le canal est chauffé sur sa surface latérale. Ils ont

supposé que les propriétés thermo-physiques du fluide restaient constantes (indépen-

dantes de la température), les effets de dissipation visqueuse et de convection naturelle

étant négligeables. Avec ces hypothèses ils ont pu résoudre l’équation de la chaleur et

l’équation de la quantité de mouvement séparément (de manière découplée). La solution

analytique de l’équation de la quantité de mouvement qui définit le profil de vitesse, a

été injectée dans l’équation de la chaleur (dans le terme advectif). Le deuxième terme

qui reste dans l’équation de la chaleur (le terme de conduction) a été simplifié en négli-

geant le transfert axial dans la direction de l’écoulement devant le transfert advectif. Ce

formalisme de problème a été référencé sous le nom de problème de Graetz ou parfois

problème de Graetz-Nusselt.

La relation entre la distribution de la température T (x, y) dans le fluide et le flux

de chaleur à la paroi ϕp(x), avec x la distance dans la direction de l’écoulement et

y est la direction perpendiculaire (en 2D), est couramment exprimée à l’aide d’un

coefficient d’échange noté h. Ce dernier, en régime thermique permanent, peut être

considéré comme une grandeur intrinsèque (il ne dépend pas du niveau de l’excitation

si température ou densité de flux à la paroi sont uniformes) pour un canal de forme

donnée et un écoulement de nature donné. Ce coefficient qui couple thermiquement

fluide et solide est appelé coefficient d’échange convectif h(x) :

h(x) ≡ ϕp(x)∆T (x)

avec ∆T (x) ≡ Tp(x) − Tb(x) (1.8)

où Tp et Tb sont respectivement la température à la paroi et la température moyenne

de mélange du fluide ou « bulk temperature » en anglais, avec Tb(x) définie dans une

section locale S(x) par :

Tb(x) ≡1

U S

∫

ST (x, y, z)u(x, y, z) dS (1.9)

9


où U est la vitesse moyenne et u le champ de vitesse.

Communément, le coefficient d’échange convectif est représenté par un nombre sans

dimension qui est connu sous le nom de nombre de Nusselt Nux :

Nux ≡h(x)D

λf=

ϕp(x)λfD

∆T (x)(1.10)

où le sous indice x symbolise la valeur locale. Physiquement, Nux représente le rapport

entre le flux effectif échangé entre fluide et paroi et le flux échangé par conduction

pure au même endroit. D est une longueur caractéristique (le diamètre hydraulique du

canal) et λf est la conductivité thermique du fluide. Ce nombre est toujours supérieur

ou égal à l’unité. Dans le cas où Nux s’approche de l’unité, cela peut être traduit par

le fait que le transfert s’effectue pratiquement par conduction. Le nombre de Nusselt

moyen Num d’un canal de longueur l et de diamètre hydraulique D se calcule alors

par :

Num ≡hm D

λf=

ϕpmλfD

∆Tm

avec hm ≡1

l∆Tm

∫ l

0h(x)

(Tp(x) − Tb(x)

)dx (1.11)

où le sous-indice m représente la valeur moyenne de la grandeur associée dans la direc-

tion de x.

Dans la littérature, selon la façon dont la source surfacique est appliquée, on consi-

dère les deux cas communs suivants : une source sous la forme d’une densité de flux

uniforme ou d’une température uniforme. Dans la zone où le régime est établi thermi-

quement et dynamiquement « fully developed region », on peut montrer à partir d’un

bilan thermique que la variation de la température moyenne de mélange dans la direc-

tion de l’écoulement est linéaire pour le premier cas et exponentielle pour le deuxième,

voir (Figure 1.3). Pour le cas où la source est imposée avec une densité de flux uniforme,

l’écart de température (Tp − Tb) est petit à l’entrée du canal (car le coefficient h estgrand) qui correspond à la zone d’établissement « entrance region ». Dans la zone où

le profil de vitesse et de température est établi, cet écart devient constant (h devient

indépendant de x). Dans le cas où la zone d’établissement est très petite devant la

longueur du canal, on peut supposer que :

hm ≡1

l

∫ l

0h(x)dx avec ∆Tm ≡ Tp(x = l) − Tb(x = l) (1.12)

ou encore :

hm ≈ h(x = l) (1.13)En ce qui concerne le cas où la source surfacique est imposée à température uniforme,

le coefficient d’échange convectif moyen peut être calculé comme :

hm ≡1

l

∫ l

0h(x)dx avec ∆Tm = ∆T lm ≡

(Tp − Tb(x = l)

)−(Tp − Tb(x = 0)

)

ln

(Tp − Tb(x = l)

)

(Tp − Tb(x = 0)

)

(1.14)

10

1.3. Macro-canaux

-

-

Fig. 1.3 – Évolution de la température axiale (dans la direction de l’écoulement) dans uncanal avec une source surfacique de densité de flux uniforme (a) ou de température uniforme

(b). Sur la figure Tm est la température moyenne de mélange et Ts celle de la paroi [7].

où ∆T lm est la moyenne logarithmique de la différence de température « arithmetic

mean temperature difference ».

Le nombre de Nusselt local Nux dans un canal chauffé par une source surfacique

localisée à partir de x = 0, parcouru par un écoulement de profil de vitesse établi à

l’entrée (à x = 0) est différente de celle où le profil de vitesse est en train de s’éta-

blir. Après avoir atteint l’établissement thermique et dynamique , les deux solutions se

rejoignent. Si on trace le nombre de Nusselt local Nux en fonction de x/(PeD) pour

un écoulement dynamiquement établi et en cours d’établissement, on voit que plus le

nombre de Prandtl Pr est grand, plus la sensibilité du nombre de Nusselt local Nux à

l’établissement du profil de vitesse est faible, voir (Figure 1.4). Donc on peut conclure

que l’hypothèse de l’écoulement dynamiquement établi sur toute la longueur du canal

est valable à fort Pr [8–10].

Les résultats en nombre de Nusselt moyen obtenus par Graetz [4, 5] et Nusselt [6]

ont été comparés à ceux obtenus expérimentalement par Krausold [11] et Sieder-Tate

[12]. L’accord entre des résultats expérimentaux et théoriques est satisfaisant comme il

est montré dans (Figure 1.5). Plusieurs auteurs se sont intéressés au problème de Graetz

en essayant de l’améliorer en prenant en considération les effets qui sont négligés dans

le problème de Graetz.

11


D

x

Pe

1

xNu

Fig. 1.4 – Nombre de Nusselt local Nux pour un écoulement laminaire dans un tubecirculaire, dans la zone d’établissement « entrance region » et dans la zone établie « fully

developed region », [7].

mNu

D

x

Pe

1

Fig. 1.5 – Comparaison du nombre de Nusselt moyen Num analytique Graetz-Nusselt etexpérimental Krausold et Sieder-Tate (conduit cylindrique circulaire), [8].

L’hypothèse qui consiste à négliger le transfert axial dans le fluide qui entre dans le

canal avec une température uniforme différente de la température de la paroi va créer

un point singulier à l’entrée et plus précisément au point de contact fluide-solide à l’en-

trée. Cette singularité qui n’est pas physique devient importante si le nombre de Péclet

est faible (plus précisément à faible Pe l/D ”nombre de Péclet longitudinal”) comme le

disent certains auteurs [8, 13]. Physiquement à faible nombre de Péclet, la chaleur ne va

12

1.3. Macro-canaux

pas pénétrer seulement en aval (par advection et conduction) mais aussi en amont (par

conduction). Petukhov et Tsvetkov [14] ont été les premiers a montrer l’importance de

cet effet. Leur solution numérique de l’équation de la chaleur a été obtenue en modi-

fiant les conditions aux limites du problème de Graetz dans la direction axiale. Ils ont

étendu la longueur du canal x ∈ [−∞ + ∞], en supposant que l’excitation thermiquedu système commence au milieu (à x = 0), et la température d’entrée du fluide (à

x = −∞) est uniforme. Hennecke [15] a aussi résolu le même problème numériquementpour une excitation thermique surfacique à température ou à flux imposé. Le même

formalisme de problème a été résolu analytiquement par Jones [16] pour une source

surfacique de flux imposé (condition de Neuman) mais aussi par Papoutsakis et al. [17]

et Ebadian et Zhang [18] avec une source surfacique de température imposée (condition

de Dirichlet). Dans la littérature, le problème de Graetz en prenant en consideration

l’effet du transfert axial est appelé par le problème Graetz étendu ou « extended Graetz

problem » en anglais.

Comme il n’existe pas une loi de comportement générale pour tous les fluides, les

propriétés thermo-physiques sont supposées constantes dans tous les travaux et les

corrélations qui sont établies sous cette hypothèse. En réalité, les propriétés thermo-

physiques du fluide dépendent de la température surtout pour les liquides où la sensi-

bilité des propriétés à la température est plus importante que pour les gaz. Par consé-

quent, ces corrélations sont parfois mises en question dans la pratique. Si le fluide subit

une petite variation de température où si ses propriétés thermo-physiques changent

légèrement dans la plage de la température, l’effet de la modification des propriétés

peut être négligé en choisissant ces propriétés à une certaine température moyenne du

fluide. Dans le cas où la plage de température est grande, une corrélation simple peut

être appliquée pour corriger le nombre de Nusselt :

• Pour un liquide : la variation relative de viscosité peut être particulièrement im-portante devant celle du reste des propriétés (λ, ρ, ..). La variation de la viscosité

change la distribution de vitesses. Par conséquent, cette thermodépendance qui

modifie le nombre de Nusselt peut être prise en compte par la corrélation (1.15).

Pour un écoulement laminaire ou turbulent Sieder et Tate [12] proposent n = 0.14.

Pour un écoulement turbulent Petukhov [19] propose de modifier n = 0.14 par

n = 0.11 pour le chauffage d’un fluide et par n = 0.25 pour le refroidissement.

Nux,cNux

=Nu,cNu

=

(µ

µs

)n(1.15)

Dans cette relation, toutes les propriétés de fluide sont évaluées à la température

moyenne entre le fluide et la paroi (température de film) sauf pour µs, qui est

évalué à la température de paroi Tp.

• Pour un gaz : toutes les propriétés dépendent fortement de la température saufPr et cp. La correction de nombre du Nusselt se fait par la corrélation :

Nux,cNux

=Nu,cNu

=(T

Ts

)n(1.16)

13


où T est exprimé en Kelvin. Pour un écoulement laminaire d’un gaz n = 0 car

la variation des propriétés est négligeable. Pour un écoulement turbulent Kays et

al.[20] recommandent n = 0.5 pour le chauffage et n = 0 pour le refroidissement.

Dans le cas où l’épaisseur de paroi du canal n’est pas négligeable devant son diamètre

hydraulique, une partie de la chaleur venant de la source thermique va diffuser cette

dernière dans la direction parallèle à l’écoulement du fluide. Cela est d’autant plus vrai

que les parois possèdent une conductivité thermique plus élevée que la conductivité du

fluide circulant ou/et que nombre de Péclet Pe est faible. La densité de flux de chaleur

n’est alors plus normale à l’interface solide-fluide (flux à l’interface fluide-solide 6= lasource imposée en surface extérieure à la paroi du canal, voir section 1.4.2.1). Négliger

la conduction dans la paroi peut donner des résultats erronés. Pour se rapprocher de la

réalité, l’équation de la chaleur doit être résolue à la fois dans le solide et dans la fluide

et le transfert est alors quantifié de transfert conjugué. Perelman [21] a étudié analyti-

quement le transfert conjugué entre un écoulement et une paroi contenant une source

de chaleur interne (écoulement externe). Son expression du nombre de Nusselt local

Nux qui est valable pour un écoulement laminaire d’un fluide à fort nombre de Prandtl

Pr > 1, montre que plus l’épaisseur de la paroi et le rapport λs/λf sont faibles, plus

l’effet de transfert axial dans la paroi peut être négligé, où λs et λf sont respectivement

la conductivité thermique du solide et du fluide. Davis et Gill [22] ont analysé l’effet

du transfert axial d’une conduite traversée par un écoulement laminaire à fort Pe (le

transfert axial dans le fluide est négligeable) chauffé par une source surfacique uniforme.

Les auteurs montrent que les paramètres qui déterminent l’importance relative de la

conduction axiale sont le nombre de Péclet Pe, le rapport es/L et (λfef )/(λsL) où e

désigne l’épaisseur, L la longueur et λ la conductivité thermique avec les sous indices s

et f symbolisant respectivement le solide (paroi) et le fluide. Faghri et Sparrow [23] ont

étudié numériquement le transfert conjugué dans un tube en prenant en considération

l’effet de transfert axial dans le fluide. A faible nombre de Peclét Pe, les auteurs ont

trouvé que plus le rapport (esλs)/(efλf ) est petit, plus le nombre de Nusselt local Nuxest grand, mais dans la zone de régimes thermique et dynamique établis Nux devient

indépendant de ce rapport. Plus ce rapport est petit plus la chaleur va diffuser vers

l’amont. Papoutsakis et Ramkrishna [24, 25] se sont intéressés au problème du transfert

conjugué d’un écoulement interne, solide-fluide (canal) ensuite fluide-fluide (échangeur

de chaleur). Ils ont montré qu’il est possible de traiter ce genre de problème analy-

tiquement. Barozzi et Pagliarini [26] ont également étudié le transfert conjugué dans

tube en 2D. Ces auteurs ont montré qu’en augmentant le nombre de Péclet Pe d’un

facteur 10, cela avait un impact plus important sur la réduction de l’effet de transfert

conjugué qu’une diminution d’un même facteur du rapport es/(2ef ) ou λs/λf . A rap-

port L/(2efPe) constant, le transfert axial dans la paroi est plus sensible au rapport

es/ef qu’au rapport λs/λf .

Un grand Nombre de résultats théoriques et expérimentaux sont résumés dans la

monographie de Shah et London [10] pour un écoulement en régime laminaire et turbu-

lent dans des conduites de différentes formes à la fois dans la zone d’entrée thermique

et dans la zone où les profils de vitesse et de température sont établis pour différents

14

1.4. Mini-canaux

types de conditions aux limites.

1.4 Mini-canaux

1.4.1 Spécificité des mini-canaux

L’amélioration de la performance des dispositifs d’échange thermique (échangeur

de chaleur, dissipateur ou extracteur) est nécessaire pour des raisons de contrainte

énergétique, économique et environnementale et également pour des rasions de tenue

en température des matériaux. On peut citer ici deux exemples :

• A cause de l’augmentation de la densité d’intégration des dispositifs électro-niques, la chaleur générée au sein de ces derniers ne peut parfois plus être éva-

cuée par les extracteurs de chaleur conventionnels. L’évacuation efficace de cette

chaleur est indispensable pour éviter la dégradation de l’efficacité ou l’endomma-

gement des composants par surchauffe de ces dernières.

• Pour récupérer le maximum de chaleur fatale issue d’un processus industriel por-tée par un fluide, un échangeur à haute performance est nécessaire.

La performance des dispositifs d’échange thermique est mesurée par la quantité la

chaleur échangée Q̇ par unité de temps. Cette dernière peut aussi s’écrire comme le

rapport entre l’écart de température entre l’entrée et la sortie d’un fluide caloporteur

△T et la résistance globale Rg. Cette dernière peut être définie par la somme de larésistance de conduction Rcd au sein de la paroi et de la résistance de convection Rcventre le fluide et la paroi :

Q̇ =△TRg

avec Rg = Rcd +Rcv

où Rcd dépend de l’épaisseur des parois, de leurs conductivités thermiques et de la sur-

face d’échange. Rcv dépend du coefficient d’échange convectif et de la surface d’échange.

Quelle que soit la forme du canal, elle peut s’exprimer par Rcv =1

hSen faisant une hy-

pothèse de transfert 1D perpendiculaire à la paroi d’échange. Généralement, le nombre

de Nusselt Nu qui caractérise le transfert thermique entre un écoulement dans un ca-

nal de diamètre hydraulique D et sa paroi, peut être écrit en fonction de nombre du

Reynolds Re comme suit :

Nu ∝ Ren avec n ≤ 1

Le coefficient d’échange convectif correspondant h en fonction du diamètre hydrau-

lique est donc une fonction décroissante du diamètre :

h ∝ 1/D1−n

Donc l’une des méthodes permettant d’améliorer la performance d’un dispositif

thermique (maximiser le flux échangé), consiste à employer des dispositifs munis de

15


canal/canaux de diamètre hydraulique D petit. Plus D est petit, plus le coefficient

d’échange thermique h est grand. Ainsi une petite résistance globale Rg conduit par

conséquent à plus de chaleur échangée, Tuckerman et Pease [27]. On peut citer un autre

avantage : plus D diminue plus la surface spécifique (le rapport surface/volume) aug-

mente, ce qui se traduit par une augmentation supplémentaire du transfert thermique,

et donc par la diminution de la quantité de fluide caloporteur nécessaire. Par contre

il ne faut pas oublier que ce bénéfice d’un point de vue thermique se traduit parfois

par une perte de charge importante, aspect qui ne sera pas traité dans notre travail.

Du fait des caractéristiques intéressantes des dispositifs compacts, la compréhension

du transfert de la chaleur dans des canaux à petite échelle devient un sujet important.

1.4.2 Revue des transferts thermiques dans les mini-canaux

Plusieurs travaux expérimentaux se sont intéressés au transfert thermique dans

les mini ou micro-canaux. Choi et al. [28] ont mesuré le nombre de Nusselt dans un

micro-tube de diamètre de 3 à 81µm où s’écoule un gaz (Azote) en régime laminaire

et turbulent. Les auteurs trouvent que les résultats obtenus sont très loin de la théorie

conventionnelle et l’expliquent par le fait que la continuité des conditions aux limites

à l’interface fluide-solide n’est plus applicable.

Wu et Little [29] ont examiné le transfert thermique dans un mini-échangeur entre

deux gaz (Azote) circulant en sens inverse (échangeur à contre-courant). Quatre canaux

différents quasi-rectangulaires de diamètre hydraulique de 134 à 164µm et de longueur

28 à 30mm ont été testés. En régimes d’écoulement laminaire et turbulent, le coefficient

d’échange convectif h a été calculé à partir du coefficient d’échange global hg estimé

à partir de la mesure du flux échangé et la température moyenne de mélange Tb :

pour estimer h, il suffit de mesurer les quatre températures d’entrée et de sortie de

deux fluides. Leurs résultats expérimentaux en régime laminaire ont été comparé à la

corrélation de Sieder et Tate [12]. Ils ont trouvé que la dépendance de leur de nombre de

Nusselt moyen Num au nombre de Reynolds Re est plus importante, voir (Figure 1.6).

A faible nombre de Re, leur Num est plus faible que celui de Sieder et Tate, et lorsque

Re augmente, ce comportement s’inverse. Comme la corrélation de Sieder et Tate a été

établie pour un canal de section circulaire lisse, ils ont interprété cette disparité par le

fait que la rugosité améliore le coefficient d’échange thermique sauf à faible Re où elle

ne l’améliore pas assez. Les auteurs ont proposé une corrélation qui prédit le nombre

de Nusselt pour un écoulement d’un fluide monophasique à haut nombre de Reynolds

Re > 3000.

Peng et Wang [30] ont testé expérimentalement le transfert thermique dans un

mini-canal de section rectangulaire 0.6 × 0.7mm, de longueur 60mm parcouru par unécoulement d’eau en régime laminaire. Trois canaux ont été gravés sur une face d’une

plaque en acier inox de 15 × 60 × 2mm chauffée par une résistance chauffante. Lesréponses thermiques ont été mesurées par des thermocouples. Chaque canal contient

deux thermocouples, un à l’entrée et l’autre à la sortie pour mesurer les températures

du fluide et deux thermocouples sur les faces externes du canal en amont et en aval.

16

1.4. Mini-canaux

mNu

Re

Sieder et Tate

Wu et Little

Fig. 1.6 – Résultats de Wu et Little vs Sieder et Tate. Wu et Little [29].

D’après les auteurs, le canal a été conçu de façon à ce que le flux puisse être considéré

raisonnablement uniforme sur la totalité de la surface d’échange du canal. Leur résultats

expérimentaux sont inférieurs à la corrélation de Sieder et Tate. Quand Re < 3000, et

leur nombre de Nusselt moyen Num est quasiment indépendant de Re, ce qui contredit

les résultats de Wu et Little [29], voir (Figure 1.7).

Re

mNu

Fig. 1.7 – Nombre de Nusselt moyen expérimental, Peng et Wang [30].

Wang et Peng [31] ont réétudié le transfert au sein du mini-canal mais cette fois-ci,

ils ont essayé de comprendre l’aspect physique et l’effet du type du fluide et de la taille

du canal. Le banc d’essai était le même que dans un de leur travail précédent, Peng

et Wang [30], si ce n’est que les canaux d’essai ont été choisi de 6 diamètres hydrau-

17


liques différents. Les fluides qui sont utilisés dans leur expériences sont de l’eau et du

méthanol. Les canaux choisis étaient de section rectangulaire de largeur qui varie entre

0.2mm et 0.8mm, de hauteur de 0.7mm et de longueur 45mm. Comme les mesures

locales de température du fluide à cette échelle sont difficiles, approximativement et

pour simplifier les auteurs ont choisi d’estimer le coefficient d’échange thermique en

aval du canal où la température moyenne de mélange du fluide peut être mesurée à la

sortie. Leurs résultats (voir Figure 1.8 et Figure 1.9) ont été commenté en terme de

type de régime : à fort Re (Re > 3000) leur nombre de Nusselt moyen estimé Numest inférieur à celui calculé par la corrélation de Dittus-Boelter [32], la corrélation de

Colburn et les résultats de Wu et Little [29]. Les auteurs ont proposé de remplacer le

coefficient 0.023 de la corrélation de Colburn par 0.00805. En régime laminaire et sur-

tout à faible nombre de Reynolds Re, les résultats montrent que le nombre de Nusselt

Nu décroit en fonction du nombre de Reynolds Re, ce qui est contradictoire avec la

théorie conventionnelle. Ce comportement inhabituel est interprété par la présence de

la convection naturelle. Selon les auteurs le régime turbulent établi a lieu dans l’inter-

valle 1000−1500 qui est inférieur aux valeurs rencontrées dans un canal conventionnel.Les auteurs ont essayé d’expliquer cette transition par la forte variation des propriétés

thermo-physiques dans les mini-canaux.

mNu

Re

Water

Fig. 1.8 – Nombre de Nusselt expérimental pour l’eau, Wang et Peng [31].

L’explication de l’anticipation de la zone de transition laminaire-turbulent en mini-

canaux présentée par Wang et Peng [31] a été confirmée par Peng et Peterson [33],

Peng et al. [34] et ensuite par Debray et al. [35].

Remarque critique sur les travaux ci-dessus (longueur d’établissement) :

Des hypothèses avec un manque de connaissance d’un paramètre qui joue un rôle très

important conduit souvent à une conclusion trompeuse. Wang et Peng [31], Peng et

Peterson [33], Peng et al. [34] et Debray et al. [35] ont établi leurs conclusions sur

un nombre de Nusselt moyen ou local estimé dans une zone du canal où le transfert

18

1.4. Mini-canaux

mNu

Re Re

er Methanol

Fig. 1.9 – Nombre de Nusselt expérimental pour le méthanol, Wang et Peng [31].

thermique n’est pas forcement établi avec une hypothèse forte de linéarité du profil de

température moyenne de mélange qui comme nous allons le voir dans la suite, n’est

pas forcement linéaire. D’après Shah et London [10], les valeurs estimées de la longueur

d’établissement thermique Lth, pour un canal rectangulaire de grand côté a et de petit

côté b chauffé sur les 4 parois à une température T ou un flux ϕ uniforme sont donnés

dans le tableau (1.4) où :

Lth = L∗th PeDh

avec

ξ =b

a≤ 1 et Dh =

2ab

a+ b

.

Table 1.4 – Longueur d’établissement thermique : l’écoulement est dynamiquement établi(Pr = ∞) ou établissements thermique et dynamique simultané (Pr = 0.7), d’après Shah etLondon [10].

ξ

Pr = ∞(Profil de vitesse établie)

Pr = 0.7

(Simultanément)

L∗th,T L∗th,ϕ L

∗th,ϕ

0 0.008 0.0115 0.017

1/4 0.054 0.042 0.136

1/3 − 0.048 0.1701/2 0.049 0.057 0.230

1 0.041 0.066 0.340

Circulaire 0.0335 0.0431 0.053

Les expériences de Wang et Peng [31], Peng et Peterson [33] et Peng et al. [34] ont

été faites à flux imposé sur trois faces et l’expérience de Debray et al. [35] à flux imposé

19


sur une seule face, ce qui ne correpond pas tout à fait aux condition du Tableau 1.4.

Cependant il ne donne pas une estimation très lointaine. Si on se place dans le cas

favorable où le profil de vitesse est établi à l’entrée, le rapport d’aspect ξ des canaux

utilisés pour les trois premiers travaux varie de 0.15 à 0.3 et le diamètre hydraulique

Dh de 0.747 à 0.133mm. Dans la gamme de nombre de Reynolds Re considérés par les

auteurs, on trouve que le longueur de canal utilisée L vaut 45 à 50mm dans la plupart

de cas et est donc inférieure à Lth. Pour le quatrième travail où Dh = 590−2220mm etξ ∼ 0 l’estimation de NuD a été faite à L = 30mm. Dans la gamme de ReD considéréeon trouve toujours que L est inférieure à la longueur nécessaire pour l’établissement

thermique Lth. Cela remet en question toutes les conclusions précédentes.

1.4.2.1 Effet de transfert conjugué

En l’absence de conduction dans les parois et de source interne, la linéarité de la

température moyenne de mélange Tb de l’entrée à la sortie d’un canal chauffé par une

source surfacique uniforme peut facilement être démontrée. Considérons un volume de

contrôle V d’un fluide (Figure 1.10) circulant avec un débit massique ṁ dans un canal

de périmètre P excité thermiquement par une densité du flux qh uniformément répartie

sur la surface latérale. Le bilan thermique sur ce volume en négligeant la conduction

axiale dans la direction de l’écoulement s’écrit :

ṁcp [Tb (x+ dx) − Tb (x)] = qwhP dx avec qwh = qhd’où

Tb(x) = Tb(x = 0) +qwhP

ṁcpx

avec

Tb(x) =1

US

∫

Su(x, y, z)T (x, y, z) dS

hq

h

wh

wh

h

( )yudx

x0

y

1S

2S

fe1e

2e

hq

L

Fig. 1.10 – Bilan thermique sur un volume de contrôle en 2D.

Dès que les parois devient épaisses, l’effet du transfert conjugué est présent, et par

conséquent les lignes du flux de l’interface h à l’interface wh vont se courber qwh 6= qh.La densité normale de flux qwh correspondante va dépendre de x et l’évolution de la

température moyenne de mélange n’est donc plus linéaire. L’hypothèse de linéarité de

20

1.4. Mini-canaux

la température moyenne de mélange est donc discutable dans les mini-canaux.

Le transfert conjugué dans des mini-canaux a été étudié en 2D numériquement

et analytiquement par Maranzana et al. [36]. Les résultats ont montré que le transfert

axial dans la paroi peut dégrader l’efficacité d’un échangeur. Les auteurs ont proposé un

nombre sans dimensionM ”axial conduction number”qui compare le transfert conductif

axial dans la paroi (parallèle à l’écoulement) et le transfert convectif dans le fluide et

qui peut être relié au nombre de Péclet longitudinal PeL suit :

M =λs es

ρcf ef U L=λsλf

esef

1

PeLavec PeL =

U L

af

Plus M est petit, plus l’effet de transfert conjugué est négligeable. Il faut souligner ici

qu’il n’existe pas du nombre M critique universel pour toutes les configurations. Une

étude numérique du transfert conjugué dans un mini-tube avec une source surfacique à

flux uniforme a été faite par Nonino et al. [37] et avec une source surfacique à tempéra-

ture imposée par Zhang et al. [38]. Ces travaux ont mis en évidence l’effet de transfert

conjugué.

Un étude numérique du transfert thermique d’un écoulement de fluide en régime

laminaire a été réalisée par Li et al. [39]. Les résultats montrent que plus les parois sont

épaisses et plus le nombre de Reynolds est petit, plus l’effet de transfert axial dans les

parois est important, ce qui confirme ce qui a été évoqué précédemment.

1.4.2.2 Effet de dissipation visqueuse

Dans le cas où le fluide est très visqueux et/ou à vitesse élevée, une partie de l’énergie

cinétique est transformée en énergie thermique via les forces de frottement (contraintes

de cisaillement) qui agissent au sein du fluide et surtout à l’interface fluide/solide. Cette

source de chaleur s’appelle dissipation visqueuse. D’un point de vue mécanique, si les

parois sont adiabatiques, dans la zone au voisinage de parois, la chaleur générée peut

modifier localement la viscosité du fluide et par conséquent le champ de vitesse. D’un

point de vue thermique s’il existe une source surfacique sur ces parois, la dissipation

visqueuse va augmenter les températures de la paroi et de fluide. L’effet de la dissipa-

tion visqueuse modifie donc les champs de vitesse et de température (paroi et fluide)

par conséquent, le nombre de Nusselt.

Expérimentalement, en régime laminaire avec un fluide Newtonien (eau) Tso et

Mahulikar [40] se sont intéressés à l’effet de la dissipation visqueuse dans un mini-canal

de section circulaire de large gamme de diamètre. Comme ils n’ont pas pu mesurer

la température moyenne de mélange locale, ils ont supposé qu’elle variait linéairement

dans la direction axiale du canal. Leurs résultats montrent que le nombre de Nusselt

local Nu diminue avec le nombre de Reynolds Re, ce qui est en accord avec les résultats

observés par Wu et Little [29] et Wang et Peng [31]. Les auteurs décrivent la diminution

de Nu avec Re par un comportement inhabituel. Comme les données expérimentales

21


peuvent être corrélées avec le nombre de Brinkman Br, ils ont expliqué le comporte-

ment inhabituel par l’effet de dissipation visqueuse. Dans leur expérience, le nombre

de Brinkman est trop petit (de l’ordre de Br = 10−8) pour que l’effet de dissipation

visqueuse ait une influence sur la température moyenne de mélange. Les auteurs ont

attribué ce comportement à l’effet de la forte variation du nombre de Br de l’entrée à la

sortie. Ils appellent cet effet, l’effet de Bringkman secondaire. Herwing [41], Herwing et

Hausner [42] ont repris le cas étudié par Tso et Mahulikar [40]. Les auteurs ont montré

par une simulation numérique que l’effet de transfert conjugué associé à la conduction

axiale dans la paroi était ici important (le profil de température moyenne de mélange

n’est plus linéaire) et le nombre de Nusselt correspondant a été trouvé très proche de

la valeur classique du canal conventionnel Nu = 4.36.

1.4.2.3 Effet de double couche électrique

Un autre effet peut être présent dans les canaux de très petits diamètres hydrau-

liques et négligeable pour ceux de grands diamètres (canaux conventionnels). C’est

l’effet de double couche électrique « Electric double layer EDL ». Lorsqu’un solide

contenant une charge électrostatique localisée sur sa surface est mis en contact avec

un liquide dans lequel une petite quantité d’ions est présente, la charge immobile sur

la surface attire un nombre de contre-ions du liquide pour créer un champ électrique.

L’arrangement local entre la charge électrostatique à la surface du solide et la charge

d’équilibre du fluide est appelé EDL (une couche au voisinage de paroi de quelques

nanomètres à quelques centaines de nanomètres). Mala et al. [43, 44] ont étudié ana-

lytiquement et expérimentalement l’effet de l’EDL. Les auteurs montrent que cet effet

qui pourrait diminuer la vitesse du fluide et par conséquent le coefficient d’échange

convectif h, peut être négligé si le diamètre hydraulique du canal D est supérieur à

quelques centaines de micromètres.

1.4.2.4 Effet d’aspect de la section du canal

Une simulation 3D d’un écoulement laminaire établi circulant dans un canal de

section rectangulaire a été effectuée par Lee et Garimella [45] pour montrer l’effet du

facteur de forme ξ = b/a où a est la largeur et b est la hauteur du canal. Les parois

sont supposées très minces et sont chauffées par une source de flux surfacique uniforme

sur toutes les surfaces. La température de liquide à l’entrée a été supposé uniforme.

Les résultats ont montré que plus ξ est petit (la plus petite valeur est ξ = 1 : ”section

carrée”), plus les nombres de Nusselt local Nux et moyen Nu sont dégradés et plus la

longueur nécessaire pour atteindre l’établissement thermique devient grande. Le trans-

fert local varie sur la périphérie et atteint sa valeur minimum (proche de zéro) lorsque

on se rapproche des coins. Cela a été expliqué par le fait que la vitesse dans cette zone

est très faible.

Il existe dans la littérature un grand nombre de travaux concernant le transfert

thermique dans les mini-canaux listés dans [46] [47]. On a choisi ici de mentionner

22

1.4. Mini-canaux

que quelques travaux. Yang et Lin [48] ont étudié le transfert thermique au sein d’un

écoulement d’eau en régimes laminaire et turbulent dans des mini-tubes de diamètre

hydraulique de 123 − 962µm et de longueur de 140 − 356mm. L’excitation thermiquea été faite à densité de flux imposée, la température de l’eau a été supposée linéaire de

l’entrée jusqu’à la sortie et le transfert dans la paroi a été supposé 1D. Les longueurs

nécessaires pour l’établissement thermique ont été calculées par la corrélation de Shah

et Bhatti. [49]. Les résultats montrent que le transfert thermique d’un écoulement d’eau

dans des canaux de cette gamme de diamètres hydraulique par les corrélations conven-

tionnelles reste valable.

Le transfert thermique dans un mini-tube de diamètre de 0.1, 0.3 et 0.5mm en acier

inox contenant un écoulement d’eau en régime laminaire Re = 50−800 a été étudié parLelea et al. [50]. Le mini-tube a été chauffé par l’effet Joule. La température moyenne

de mélange locale Tb(x) a été estimée à partir d’un bilan thermique et d’une mesure de

température du fluide à l’entrée et à la sortie du canal par des thermocouples. La tem-

pérature locale de la paroi à l’interface solide-fluide a été estimée à partir d’une mesure

sur la face externe et à l’aide d’un modèle 1D. Le nombre de Nusselt local Nu obtenu

dans la zone d’établissement thermique est très proche de la valeur d’un canal conven-

tionnel (Nu = 4.36). Une étude expérimentale pour un écoulement d’air et dioxide de

carbone CO2 en régime laminaire et turbulent dans un tube de diamètre de 920µm de

longueur 181.5mm en acier a été réalisée par Chen et al. [51]. Les températures locales

des parois à l’interface fluide/solide et de gaz ont été estimées de la même manière

que Lelea et al. [50]. Les auteurs trouvent aussi que les corrélations conventionnelles

restent applicables pour un écoulement de gaz dans un canal à cette échelle de diamètre.

Yang et al. [52] ont aussi comparé leur caractérisation du transfert thermique d’un

écoulement laminaire ou turbulent d’un gaz (air) dans des mini-tubes de diamètres

hydrauliques de 86, 308 à 920µm et de longueurs de 32.55, 82.67 et 78.14mm respec-

tivement, avec les corrélations conventionnelles. La température de fluide (l’air) dans

ce travail a été aussi supposé linéaire de l’entrée jusqu’à la sortie et le transfert dans

la paroi a été supposé 1D. Les longueurs nécessaires pour l’établissement hydrodyna-

mique et thermique ont été calculées par la corrélation de Incropera et DeWitt. [9].

Les capteurs de température ont été installés à une distance supérieure aux longueurs

d’établissement (Lm = 9.2, 19.5 et 28.6mm).

Le nombre de Nusselt local caractérisant le transfert thermique entre un canal

de section carrée (5mm × 5mm) et un écoulement d’eau en régime laminaire établi(Re = 100 − 850) a été estimé par Mehta et Khandekar [53]. Ce travail expérimentala été suivi par une simulation 3D pour étudier le caractère conjugué du problème. Le

canal a été gravé dans une plaque d’aluminium de 11mm×45mm×140mm et la qua-trième face est recouverte par un isolant thermique (polycarbonate). La face opposée

à l’isolant a été chauffée par une source de chaleur uniforme. La réponse thermique en

température est mesurée par une caméra infrarouge et par des thermocouples. La tem-

pérature moyenne de mélange a été supposée linéaire et mesurée à l’entrée et à la sortie.

Les auteurs se sont arrangés pour avoir un nombre de Biot Bi petit dans la direction

23


perpendiculaire à l’écoulement où les mesures sont faites (pour pouvoir supposer que

les températures sur les faces externes mesurées par la caméra ou par les thermocouples

sont égales à la température à l’interface fluide/solide). Les résultats montrent qu’il y a

un écart entre le nombre de Nusselt estimé expérimentalement dans la zone où le profil

de température est établi et celui calculé pour des valeurs conventionnelles de flux et

température imposée.

Une étude expérimentale a été réalisée par Lee et al. [47] pour tester la validité

de l’application des corrélations conventionnelles pour prédire le transfert thermique

dans les mini-canaux. Dix canaux rectangulaires de largeur a = 194µm à 534µm et

de hauteur égale à 5 fois la largeur pour chaque cas, ont été usinés dans une plaque

en cuivre de 25.4mm × 25.4mm × 70mm avec une quatrième face assurée par uneplaque de plexiglas (isolant). Le fluide caloporteur circulant est de l’eau, le nombre de

Reynolds Re correspondant allant de 300 à 3500. La température de paroi à l’interface

solide/fluide a été estimée à partir d’une mesure dans la paroi et un modèle 1D. Les

résultats d’une simulation 3D ont été comparés avec les résultats expérimentaux. A

faible nombre de Reynolds, les auteurs ont montré qu’il y a une très bon accord entre

les résultats numériques et expérimentaux.

1.5 Conclusion

Ce chapitre a présenté une synthèse des travaux de recherche dans le domaine du

transfert thermique en macro et mini-canaux. Un mini-canal a ici été considéré comme

un canal qui possède un diamètre hydraulique de l’ordre de quelques dizaines de mi-

cromètres à quelques millimètres. Si le diamètre est supérieur on se trouve en présence

d’un macro-canal suivant la classification de Kandlikar et Grande [3]. La plupart des

résultats de caractérisation du transfert thermique convectif forcé dans des mini-canaux

sont significativement différents de ceux prédits par les corrélations conventionnelles.

Une des raisons résulte de la difficulté à mesurer le diamètre hydraulique lorsque la

taille des rugosités n’est plus négligeable devant ce dernier. On a établi ici un tableau

comparatif d’un certain nombres de travaux expérimentaux, voir (Tableau 1.5). Malgré

l’accord entre certains résultats expérimentaux et la théorie conventionnelle, le nombre

de Nusselt obtenu expérimentalement ne représente pas forcement tous les effets sur-

tout celui du transfert conjugué qui a été masqué en faisant le bilan pour Tb sans tenir

compte de la paroi et en supposant que le transfert est 1D dans la paroi.

Tant que le diamètre hydraulique du canal est 1000 fois supérieure au libre par-

cours moyen du fluide circulant, le milieu peut toujours être considéré comme un milieu

continu. Les équations de Navier-Stokes et la loi de Fourier restent donc valable, voir

le (Tableau 1.2). Dans le cas où le comportement conventionnel du transfert thermique

change, cela ne peut pas être expliqué que par des effets de la taille du canal car aucun

nouveau phénomène physique n’apparait, Herwing [41], Herwing et Hausner [42] ou

Guo et al [55]. Les effets de taille sont présents même dans les canaux conventionnels

24

1.5. Conclusion

Table1.5–Résumédes

travauxexpérim

entauxet

leurs

comparaisonavec

lathéorieconvention

nelle.

Référence

Section

Dh(µm

)l(mm

)Fluide

Kn

×10

3(3

00K

)Re

Con

clusion

Wuet

Little[29]

Quasirect.

134

−16

428

−30

Azote

0.49

−0.

2540

0−

1000

0↓↑

Penget

Wan

g[30]

Rectangu

laire

646

60Eau

0.00

0216

00−

6000

↓↑Choi

etal.[28]

Circulaire

3−

81.2

24−

52Azote

22−

0.95

20−

2500

0⇑⇑

Wan

get

Peng[31]

Rectangu

laire

311

−74

745

Eau

/Méthan

ol0.

0003

−0.

0001

10−

4000

↓↓Penget

Peterson[33]

Rectangu

laire

311

−74

745

Eau

/Méthan

ol0.

0003

−0.

0001

10−

4000

↓↓Penget

al.[34]

Rectangu

laire

133

−36

750

Eau

0.00

08−

0.00

0350

−40

00↓↑

Adam

set

al.[54]

Circulaire

760,

1090

50.8

Eau

0.00

01−

0.00

009

2600

−23

000

↑↑Tso

etMah

ulikar[40]

Circulaire

651

−78

111

5−

116

Eau

0.00

02−

0.00

0112

−50

↓↓Lelea

etal.[50]

Circulaire

100

−50

053

−25

0Eau

0.00

1−

0.00

0250

−80

0≈

Chen

etal.[51]

Circulaire

920

181.

5Air/CO

20.

003

−0.

0320

0−

5000

0≈

Debrayet

al.[35]

Rectangu

laire

590

−22

2010

0,L

m=

30Eau

0.00

017

−0.

0000

570

−53

000

↓↑Yan

get

Lin

[48]

Circulaire

123

−96

214

0−

356

Eau

0.00

08−

0.00

0120

0−

1100

0≈

Yan

get

al.[52]

Circulaire

86−

920

9.2

−28.6

Air

0.79

−0.

0710

0−

2000

0≈

Mehta

etal.[53]

Carré

5000

140

Eau

0.00

002

100

−85

0↑

Liet

al.[39]

Circulaire

50−

1570

30−

270

Eau

0.00

2−

0.00

006

20−

2400

↑↓Lee

etal.[47]

Rectangu

laire

318

−90

325.4

Eau

0.00

03−

0.00

0130

0−

3500

≈⇑très

loin

dela

théorieconvention

nelle.

↑supérieurla

théorieconvention

nelle.

↓inférieurla

théorieconvention

nelle.

≈d’accordavec

lathéorieconvention

nelle.

Dan

sla

dernière

colonnes

lesflèchedegaucheet

dedroitecorrespon

dentàuneau

gmentation

ouunedim

inution

dunom

bre

deNusselt,

respectivementàfaible

etàfort

nom

bre

deReynoldsdan

sla

gammeconsidérée.

25


et leurs contributions sur le transfert augmentent quand le diamètre du canal diminue.

Ils peuvent être identifiés comme :

• Le transfert conjugué : pour que les parois résiste à la pression interne exercéepar le fluide, il faut qu’elles possèdent une certaine épaisseur es. Plus le diamètre

hydraulique D du canal diminue, plus il se rapproche de l’ordre de grandeur de

l’épaisseur de paroi. Dans ce cas les lignes du flux dans les parois se modifient

et ne peuvent plus être considérées comme normales à l’interface solide-fluide.

Ainsi, la résolution de l’équation de la chaleur dans les parois est indispensable.

• Le transfert axial dans le fluide : plus le rapport l/D du canal augmente, moinsl’effet du transfert axial dans le fluide peut être négligé, surtout pour un nombre

de Péclet Pe relativement faible.

• La dépendance des propriétés thermo-physiques de la température : plus le dia-mètre hydrauliqueD est petit, plus le fluide subit un fort gradient de température.

Ainsi la thermo-dépendance des propriétés peut devenir importante.

• Rugosité : plus le diamètre hydraulique D est petit, plus l’effet de la rugositédevient important. Le profil de vitesse devient alors sensible à cet effet géomé-

trique, ce qui va engendrer une perturbation du coefficient d’échange.

Les mesures thermiques expérimentales à mini/macro échelle sont difficiles à réaliser

avec précision. Une des difficultés est de mesurer localement la température de paroi de

mini-canaux par des capteurs qui possèdent une taille comparable à celles des canaux.

Ainsi, le capteur peut perturber la température locale de paroi et inversement. Si le

capteur est très petit, un contact parfait entre ce capteur et l’endroit où on veut mesurer

est difficile à assurer. La mesure locale de température du fluide à l’aide de capteurs

internes est en outre délicate car l’implantation de ces derniers peut compromettre

l’intégrité structurelle de tout le système.

A notre connaissance, tous les travaux expérimentaux ont recouru à des hypothèses

simplificatrices pour rendre possible la caractérisation. Par exemple, pour avoir la dis-

tribution locale de la température moyenne de mélange pour un canal chauffé par une

source thermique uniforme, les auteurs ont l’habitude d’interpoler linéairement le profil

de température entre l’entrée et la sortie où la mesure est relativement facile. Une autre

hypothèse classique est de supposer que le transfert thermique dans la paroi est 1D pour

pouvoir accéder à la température à l’i

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122....

Documents

Transcript of LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122....