Licence ST – Licence ST – BiologieBiologie

Mathématiques Mathématiques pour les Sciences pour les Sciences

de la Viede la Vie

Sandrine CHARLES - Dominique Sandrine CHARLES - Dominique MOUCHIROUDMOUCHIROUD

Bât. G. Mendel - 1Bât. G. Mendel - 1erer étage étage

MathSVscharles@biomserv.univ-lyon1.fr

Pourquoi des Pourquoi des Mathématiques en Mathématiques en Sciences de la Vie ?Sciences de la Vie ?

Analyser et comprendre des phénomènes Analyser et comprendre des phénomènes biologiques simplesbiologiques simples

S’interrogerS’interroger (comprendre le problème - se (comprendre le problème - se poser des questions)poser des questions)

FormaliserFormaliser (mettre en équation - mathématiser)(mettre en équation - mathématiser) AnalyserAnalyser (étudier des fonctions, faire des (étudier des fonctions, faire des

simulations)simulations) DécrireDécrire (utiliser des probabilités - (utiliser des probabilités -

statistiques)statistiques) InterpréterInterpréter (revenir au problème biologique initial)(revenir au problème biologique initial)

Acquisition théorique puis pratique d’outils Acquisition théorique puis pratique d’outils méthodologiquesméthodologiques

Objectifs pédagogiquesObjectifs pédagogiques

1.1. Acquérir des connaissancesAcquérir des connaissances

Revoir ou découvrir des outils Revoir ou découvrir des outils mathématiques de basemathématiques de base

2.2. Acquérir des compétencesAcquérir des compétences

Choisir les outils adaptés à la question Choisir les outils adaptés à la question biologique, interpréter les résultatsbiologique, interpréter les résultats

3.3. Apprendre avec des outils multi-media Apprendre avec des outils multi-media interactifsinteractifs

- AutonomieAutonomie

- Auto-évaluationAuto-évaluation

- Dialogue enseignants / étudiantsDialogue enseignants / étudiants

13-Sep 20-Sep 27-Sep 4-Oct 11-Oct 18-Oct 25-Oct 1-Nov 8-Nov 15-Nov 22-Nov 29-Nov 6-Dec 13-Dec

CM 2 CM 2 CM CM CM 2 CM CM CM CM CM CM CM CM CM

TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD TD

TD TT TT TT TD TD TD TT TT TT TT TT

E E

CCCC

Organisation du semestreOrganisation du semestreSection 33Section 33

ET janvier 2005

CCCC

Cours magistrauxCM

Travaux DirigésTD

Travaux TutorésTT

ANALYSE PROBABILITES - STATISTIQUES

CC

Plan du cours (CM)Plan du cours (CM)

17/0917/09 Étude de fonctionsÉtude de fonctions 20/0920/09 Fonctions usuellesFonctions usuelles 24/0924/09 IntégrationIntégration 27/0927/09 Équations différentielles – 1Équations différentielles – 1 01/1001/10 Équations différentielles – 2Équations différentielles – 2 04/1004/10 Questions - RéponsesQuestions - Réponses

http://mathsv.univ-lyon1.fr/

Variabilité / Variabilité / DéterminismeDéterminisme

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

Temps (h)

No

mb

re d

e M

icro

-org

anis

mes

Expérience 1

Expérience 2

Expérience 3

Peut-on prédire l’évolution au court du Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?temps d’un phénomène biologique ?

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 14

Temps (h)

No

mb

re d

e M

icro

-org

anis

mes

Expérience 1

Expérience 2

Expérience 3

Modèle

Variabilité / Variabilité / DéterminismeDéterminisme

Peut-on prédire l’évolution au court du Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un phénomène biologique ?temps d’un phénomène biologique ?

Étude de fonctionÉtude de fonction

Modéliser le phénomène par une fonction

Déterminer les propriétés de la fonction

Interpréter en termes biologiques

Modèle

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12

Temps (h)

No

mb

re d

e M

icro

-org

anis

mes

Sur MathSVSur MathSVhttp://mathsv.univ-lyon1.fr/http://mathsv.univ-lyon1.fr/

Trois chapitres :Trois chapitres : Fonctions – GénéralitésFonctions – Généralités Limites – ContinuitéLimites – Continuité Dérivation – Étude de Dérivation – Étude de

fonctionsfonctions

Définition d’une fonctionDéfinition d’une fonction

Application d’une partie de Application d’une partie de IRIR dans dans IRIR qui qui à un point à un point xx de de IRIR fait correspondre un fait correspondre un point UNIQUE point UNIQUE y y = = ff((xx)) dans dans IR.IR.

xx : le temps ( : le temps (tt), la température (), la température (TT), le pH, …), le pH, …

ff : un nombre d’organismes (: un nombre d’organismes (NN), un poids (), un poids (pp), ), une concentration (une concentration (CC), une intensité (), une intensité (II), …), …

max

max 01 1 k t

NN t

N N e

A.A. Domaine de définition Domaine de définition

Définitions :Définitions :

DDff = = Domaine de définitionDomaine de définition  Ensemble de départ (ensemble des Ensemble de départ (ensemble des antécédentsantécédents) = l’ensemble des ) = l’ensemble des xx

f f ((DDff ) = Ensemble d’arrivée (ou ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des ensemble des imagesimages) = l’ensemble ) = l’ensemble des des yy

f

Soit :f D

1f x

x

0 ; D

f D

Plan d’étude d’une Plan d’étude d’une fonctionfonction

A.A. DDff

B.B. SymétrieSymétrie

C.C. Points Points

particuliersparticuliers

D.D. Limites - Limites -

ContinuitéContinuité

E.E. Variations :Variations :

F.F. Concavité :Concavité :

G.G. AsymptotesAsymptotes

H.H. GrapheGraphe

f x

f x

2f x x

B.B. Symétrie : paire ou Symétrie : paire ou impaire ?impaire ?

Définitions :

On dit que f est paire sif(-x)=f(x)

symétrie / axe y

exemple f(x)=x 2

On dit que f est impaire si

f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0)

exemple f(x)=x 3

x-x

3f x x

C.C. Points particuliers Points particuliers

x x = 0 alors = 0 alors f f ((xx) = ?) = ?

f f ((xx) = 0 alors ) = 0 alors xx = ? = ?

D.D. LimitesLimites - - ContinuitéContinuité

Si les valeurs successivement attribuées Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, d'une valeur fixe,

de manière à finir par en différer aussi de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, peu que l'on voudra,

alors cette dernière est appelée la alors cette dernière est appelée la limitelimite de toutes les autres.de toutes les autres.

Cauchy, 1821Cauchy, 1821

lim 0x

f x

0

limx

f x

lim 0x

f x

2

1f x

x

Opérations sur les Opérations sur les limiteslimites

Formes indéterminées

00

0

D.D. LimitesLimites - - ContinuitéContinuité

Une fonction est Une fonction est continuecontinue en un point en un point xx00

si la limite en ce point existe : si la limite en ce point existe :

Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)

)()(lim00

xfxfxx

Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiairesintermédiaires

Soit f continue sur [a;b]

0 , / 0f a f b c a b f c

E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée

La dérivée de f en x0 est la variation de f (x) lorsque x s’approche de x0

0

00

0

( ) ( )limx x

f x f xf x

x x

Notation : 0 0

dff x x

dx

f(x) = |x |

Continue en 0

Non dérivable en 0

0

2 20

0 0 00

2

x x

x xx x x f x

x x

f(x) = x2

Dérivable en tout point

E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée

E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée

0 0 0T : y f x f x x x

L’équation de la tangente

E.E. Variations : dérivée Variations : dérivée

Propriétés :Propriétés :

ff est constante sur est constante sur [a,b][a,b] si la dérivée est nulle sur si la dérivée est nulle sur [a,b][a,b]

ff est croissante sur est croissante sur [a,b][a,b] si la dérivée est positive sur si la dérivée est positive sur [a,b][a,b]

ff est décroissante sur est décroissante sur [a,b][a,b] si la dérivée est négative sur si la dérivée est négative sur [a,b][a,b]

ff admet un extremum en admet un extremum en xx si la dérivée s’annule en si la dérivée s’annule en xx

sinf x x x

F.F. Convexité : Convexité : f f ””((xx))

Définitions :Définitions :

1. 1. f f est est convexeconvexe sur un intervalle si sa dérivée sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de seconde est positive (le graphe de ff est est courbé vers le haut)courbé vers le haut)

F.F. Concavité : Concavité : f f ””((xx))

Définitions :Définitions :

2.2. f f est est concaveconcave sur un intervalle si sa dérivée sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative (le graphe de seconde est négative (le graphe de ff est est courbé vers le bas)courbé vers le bas)

F.F. Point d’inflexion : Point d’inflexion : f f ””((xx))

Définitions :Définitions :

3.3. f f a un a un point d’inflexionpoint d’inflexion si la dérivée si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en seconde s’annule ET change de signe en ce point.ce point.

3f x x

Tableau de variationTableau de variation

1.1. Construire le tableau à partir du signe de la Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. dérivée.

2.2. Compléter ce tableau en cherchant les Compléter ce tableau en cherchant les limites de limites de f f aux bornes des intervalles, et aux bornes des intervalles, et lorsque lorsque xx tend vers plus ou moins l’infini. tend vers plus ou moins l’infini.

1 1053x

f ’(x)

f (x)

+_

Si Si il y a une asymptote verticale passant par il y a une asymptote verticale passant par xx = = xx00

Si Si il y a une asymptote horizontale passant par il y a une asymptote horizontale passant par y y = = ll

Si Si il y a une asymptote oblique d’équation il y a une asymptote oblique d’équation y y = = axax++bb

0

( )limx x

f xa

x

lim ( )x

f x

0

lim ( )x x

f x

lim ( )x

f x l

lim ( )x

b f x ax

Si , alors

G.G. Asymptotes Asymptotes

Si la courbe de Si la courbe de ff s’approche infiniment s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote :asymptote :

Asymptote oblique

Asymptote verticale

G.G. Asymptotes Asymptotes

H.H. Graphe Graphe

Exemple biologiqueExemple biologique

0 c

i i f tt

0

limt

f t

0limt

f t i

i0 est appelé la Rhéobase

Chronotaxie : temps de passage nécessaire pour qu’un courant électrique d’intensité excite le tissu 

0c i

Prochain RDVProchain RDV

Lundi 20 septembre 16hLundi 20 septembre 16h

Le site web Le site web MathSVMathSV

Visite guidéeVisite guidée

http://mathsv.univ-http://mathsv.univ-lyon1.fr/lyon1.fr/

Tableau de bord

Questionnement : résultats personnalisés

Prochain RDVProchain RDV

Lundi 20 septembre 16hLundi 20 septembre 16h