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Chapitre 6 Lois de probabilité

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Chapitre 6

Lois de probabilité

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Lois discrètes

1. Loi uniforme

Toutes les valeurs prises par la variable aléatoire ont la même probabilité

n

1)xp(X i, i Si n est le nombre de valeurs prises par X alors:

n

1i

n

1i iix

n

1 x

n

1 E(X)

n

1i

22

i

2n

1ii E(X)x

n

1E(X))(x

n

1 V(X)

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Lois discrètes

2. Loi de Bernoulli (ou loi alternative simple)

On appelle variable de Bernoulli ou variable indicatrice, la variable

aléatoire X telle que : 0,1 )X(et succèséchec, R/ :X

Loi de probabilité: p(X=0)=q et p(X=1)=p avec p+q=1

Elle est appelée loi de Bernoulli, notée B(1,p)

p E(X) pq V(X)

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Lois discrètes

3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)

On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant

à la somme de n variables de Bernoulli :

....n 0,1, )X(

que telleR :XX

n

nn

1ii

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Exemple: X = nombre de filles dans les fratries de 4 enfants

X() = {0, 1, 2, 3, 4}

p: probabilité d’avoir une fille à chaque naissance = 1/2

Loi de probabilité

X=0 GGGG q4 0.0625X=1 FGGG, GFGG, GGFG, GGGF 4q3p 0.25X=2 FFGG, FGFG, FGGF, GFFG, GFGF, GGFF 6q2p2 0.375X=3 FFFG, FFGF, FGFF, GFFF 4qp3 0,25X=4 FFFF p4 0,0625

somme = 1

Indépendance statistique p (G G G G) = q.q.q.q = q4

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Lois discrètes

3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)

On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant

à la somme de n variables de Bernoulli :

....n 0,1, )X(

que telleR :XX

n

nn

1ii

Loi de probabilité:

Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p)

k)!(nk!

n!C avec q p Ck)p(X k

n

knkk

n

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n

k

n

k

knkk

n ?qpCk)p(X0 0

1

Loi de probabilité ? des probabilités = 1

n

k

knkk

n

n baCbaRba0

)(,,

Représentation: diagramme en bâtons

X

P(X=k)

0 1 2 3 4

n

k

n

k

nknkk

n qpqpCkXp0 0

1)()(

Or,

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Formule de récurrence pour le calcul des probabilités

)1()1(

)(

)1(

)1(

)(

!

)!1()!1(

)!(!

!

)1(

)(

)!1()!1(

!)1(

)!(!

!)(

11

11

kXpq

p

k

knkXp

q

p

k

kn

kXp

kXp

q

q

p

p

n

knk

knk

n

kXp

kXp

qpknk

nkXp

qpknk

nkXp

kn

kn

k

k

knk

knkOn pose:

On calcule:

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Lois discrètes

3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)

Formule de récurrence pour le calcul des probabilités

Exemple: fratries de 4 enfants

P(X=3)= 4-3+1 x 0.5 x p(X=2) = 2 x 0,375 = 0,25

3 0.5 3

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Lois discrètes

3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)

On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant

à la somme de n variables de Bernoulli :

....n 0,1, )X(

que telleR :XX

n

nn

1ii

np E(X) npq V(X)

Loi de probabilité:

Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p)

k)!(nk!

n!C avec q p Ck)p(X k

n

knkk

n

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Exemple: X: nb de filles dans les fratries de 4 enfants

B (4, 1/2)

E(X) = np = 2 2 filles en moyenne

V(X) = npq = 2x1/2 = 1 écart-type = 1

Probabilité d’avoir au moins 3 filles dans les fratries de 4

P(X 3) = p(X=3) + p(X=4)= 4p3q + p4 = 0,25+0,0625=0,3125

Lois discrètes

3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)

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Lois discrètes

4. Loi de Poisson

Loi de probabilité:

Elle est appelée loi de Poisson, notée P(l)

0 avec k!

λ ek)p(X

kλ l

n...0,1,2...,)X(Ω

que telleRΩ : X

Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se produisent

les uns à la suite des autres, de façon

aléatoire dans l’espace ou le temps.

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distribution très dissymétrique car p<<q et n’est pas bornée, donc X peut prendre des valeurs jusqu’à l’infini

X

P(X=k)

0 1 2 3 4

Représentation graphique: diagramme en bâton

Lois discrètes

4. Loi de Poisson

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1)(

!!...

!4!3!21

!

!!)(

0

0

432

0

000

ll

l

ll

l

ll

eekXpdonc

k

x

n

xxxxxe

ek

or

ke

kekXp

k

k

knx

k

k

k

kk

kk

En effet, le développement limité de e au voisinage de 0 est:

Par convention: pour k=0, l0=1 et 0!=1

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Formule de récurrence:

)1()(

!

)!1(

)1(

)(...'

)!1()1(.......

!)(

1

1

kXpk

kXp

k

k

e

e

kXp

kXpoùd

kekXpet

kekXp

k

k

kk

l

l

l

ll

l

l

ll

Lois discrètes

4. Loi de Poisson

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Lois discrètes

4. Loi de Poisson

λ E(X) λ V(X)

Loi de probabilité:

Elle est appelée loi de Poisson, notée P(l)

0 avec k!

λ ek)p(X

kλ l

n...0,1,2...,)X(Ω

que telleRΩ : X

Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se produisent

les uns à la suite des autres, de façon

aléatoire dans l’espace ou le temps.

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Approximation de la loi Binomiale par une loi de Poisson

Lorsque le nombre d’épreuves dans une loi Binomiale tend vers l’infini et que la probabilité de succès tend vers 0, la loi binomiale tend vers la loi de Poisson

X~B (n, p) et n≥50 et np≤5 alors X-> P (l) avec l=np=E(X)

Démonstration :

Lois discrètes

4. Loi de Poisson

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Exemple: Dans une population, la probabilité d’apparition d’une maladie génétique est de 0.001.On tire un échantillon de 100 individus.Quelle est la probabilité que 2 individus soient malades ?

X: nb d’individus malades parmi 100

X~B (100, 0.001)

P(X=2) = 100! (0.001)2 (0.999)98=0.00449

Approximation par la loi de Poisson:

l=np=0.1 X~P (0.1)

P(X=2)=e-0.1(0.1)2 = 0.00452 ~ 0.00449

2!

2! 98!

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Lois discrètes

6. Loi géométrique (loi de Pascal)

Une variable géométrique correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli

nécessaires pour obtenir 1 succès:

n...1,2..., )X(Ω

que telleRΩ : X

Loi de probabilité: p q n)p(X 1n

p

1 E(X)

2p

q V(X)

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Lois discrètes

6. Loi Binomiale négative

Une variable binomiale négative correspond au nombre d’épreuves

nécessaires pour obtenir k succès:

n...1,...,kk, )X(Ω

que telleRΩ : X

Loi de probabilité: kkn1-k

1-n p q C n)p(X

p

k E(X) 2p

qk V(X)

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Lois discrètes

7. Loi hypergéométrique

Une variable hypergéométrique correspond à l’observation de k succès

lors de n épreuves sans remise :

....n 0,1, )X(

que telleR :X

n

n

Loi de probabilité: n2n1N avec C

C C k)p(X

n

N

k-n

n2

k

n1

N

n1 n E(X) 2N

n2 n1

1-N

n1-N n V(X)

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Lois continues

1. Loi uniforme continue

Une variable aléatoire continue est uniforme sur [a,b] si la valeur de sa

fonction densité de probabilité est constante pour tout x Є [a,b]

ba,x si 0f(x)et ba,x si ab

1 f(x)

Densité de probabilité: R R:f

ab

αβx

a-b

1dx

ab

1β)Xp(α

βα

β

α

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Lois continues

1. Loi uniforme continue

2

ab E(X)

12

a)-(b V(X)

2

Fonction de répartition:

bx si 1 F(x)a,x si 0F(x)

ba, x si ab

ax F(x)

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Lois continues

2. Loi de Gauss ou loi normale

Une variable aléatoire est une variable normale quand elle dépend d’un

grand nombre de causes indépendantes dont aucune n’est prépondérante

Densité de probabilité:

2

σ

μx

2

1

e2Πσ

1 f(x)

RR:f

),( N

notée

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μ E(X) 2 V(X)

Lois continues

2. Loi de Gauss ou loi normale

Fonction de répartition

dx

2

e 2Πσ

1F(u) σ

μx

2

1-u

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Lois continues

3. Loi normale centrée-réduite

Une variable normale centrée-réduite a pour densité de probabilité :

0 E(X) 1 V(X)

Densité de probabilité:

2x2

1

e2Π

1 f(x)

RR:f

notée

)1,0(N

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Lois continues

3. Loi normale centrée-réduite

P(U < a) = ∏(a)

∏(0,36) = 0,6406

P(U < 0,36) = ∏(0,36)

On lit la valeur dans la table

exemple

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Lois continues

4. Loi du 2 de Pearson

On appelle 2 à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par :

)1,0(~X avec X....X...XX i

2

n

2

i

2

2

2

1

2 N

n )E( 2 2n )V( 2

Densité de probabilité:

2

2

122 ec )f(

n

RR:f

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Lois continues

5. Loi de Fisher-Snedecor

On appelle F à n et p degrés de liberté la variable aléatoire définie par :

ddl pà ~Vet ddl nà ~ Uavec pV

nUF 22

2-p

p E(F)

4)(p2)-n(p

2)-p(np2 V(F)

2

2

Densité de probabilité:

2

pn1

2

n

nF)(pcF f(F)

RR:f

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Lois continues

6. Loi de Student

On appelle T à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par :

ddl nà ~Vet ),(~ Uavec nV

UT 2

10 N

0 E(T) 2-n

n V(T)

Densité de probabilité:

2

1n2

n

T1c f(T)

RR:f

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Soit la variable aléatoire S résultant de la somme de n variables

aléatoires indépendantes et de même loi, on construit la variable

centrée réduite telle que :

Alors pour tout t R, la fonction de répartition F(t) = P(Z < t) est telle

que :

quand n ∞ c’est à dire N(0,1).

Théorème central limite