LES UNITÉS - LE SI - cours, examens
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CHAPITRE 2
LES UNITÉS - LE SI
Préambule/Objectifs
Avant de débuter l’étude systématique de l’atome, il est indispensable de s’entendre sur
l’utilisation d’un système d’unités. Cela est d’ailleurs un préalable général à toute approche
scientifique. La rigueur exige la mise au point et l’adoption par la communauté scientifique d’un
tel système y inclus les définitions les plus rigoureuses possibles, l’usage d’un symbolisme et les
règles d’utilisation. Ces systèmes ne peuvent d’ailleurs être figés puisque les techniques évoluent
dans le temps. Si le sablier a connu son apogée il y a longtemps, la seconde qui l’a remplacé a
aussi connu une évolution de sa définition. C’est l’objet de ce chapitre de permettre à l’étudiant
et à l’étudiante de faire le point dans les divers systèmes et les unités: les anciens, les tolérés, les
recommandés… avec leurs règles d’utilisation.
1. Les systèmes d’unités - une nécessité
Bien sûr, dès que l’homme a voulu échanger des matériaux, des valeurs, des produits contre
d’autres valeurs, il a naturellement eu besoin de références, ne serait-ce que pour tirer profit
maximum de ses productions, de ses biens... Comme le troc (échange d’un bien contre un
autre) a constitué la base du commerce dès les temps les plus anciens, on peut aisément
imaginer la diversité, la complexité des systèmes de référence utilisés au profit des plus
intelligents...
Heureusement, les premiers scientifiques, qu’ils aient été astronomes, médecins, théologiens...
ont tout de suite senti le besoin d’un minimum de références stables. La notion d’unité de
temps a fait l’objet, depuis belle lurette, d’essais de standardisation.
En arrivant rapidement à la fin de ce siècle, disons qu’un système de référence ou d’unités est
à la base même de l’expression de la pensée cartésienne permettant, entre autres choses, une
formalisation mathématique simple des lois universelles. L’histoire du système métrique est à
ce titre des plus intéressantes.
LE CHOIX D’UN SYSTÈME D’UNITÉS
Il n’existe pas de systèmes d’unités sans défaut. Tous les systèmes ont chacun leurs
avantages, et l’usage bien souvent a montré leurs limites. Il n’est pas d’intérêt ici de faire
l’historique des divers systèmes qui ont été utilisés. Disons seulement qu’un système d’unités
repose sur deux notions complémentaires.
a. Les références simples
Il faut choisir tout d’abord un nombre limité d’unités de base indépendantes et simples. Parmi
ces unités de base on a retrouvé chaque fois une unité de longueur, de poids et de temps. Par
exemple, le système CGS avait retenu le centimètre, le gramme et la seconde. Un autre
système M.T.S. (mètre, tonne, seconde) a aussi temporairement été utilisé dans quelques pays
européens. Le système impérial britannique (pieds, pouces,...) a toujours ses fidèles adeptes.
Le développement de l’électricité et du magnétisme a introduit d’autres notions.
b. Un système simple de multiples
Bien que, de nos jours, il soit évident que le système décimal est simple, il n’en a pas toujours
été ainsi. Le système Impérial (pouce, livre, seconde) est un bon exemple historique. Des
systèmes basés sur le système à base 5, ou même 60, ont été utilisés. Pour leur part, les Mayas
utilisaient un système vicésimal (à base 20). Le système binaire a évidemment la faveur des
... ordinateurs.
2. Le système international d’unités (SI)
Un système d’unités est un ensemble que l’on veut (et donc que l’on construit) le plus
cohérent possible tout en étant d’application et d’usage simple, pratique, facile et le plus
précis possible. En géométrie, on a besoin d’une seule unité fondamentale : la longueur. La
première complication provient de la définition de la surface unitaire. On avait le choix entre
le carré ayant pour côté la longueur unité. On aurait tout aussi bien pu choisir le cercle de
diamètre égale à l’unité de longueur préalablement définie . Dans ce cas la surface du cercle
eut été égale à 2 et la surface du carré à 2
fois le rapport 4/. Il était cependant plus aisé de
calculer la surface d’une aire rectangulaire à l’aide du carré élémentaire ou unitaire alors que
le cercle laissait plein de zones non couvertes à l’intérieur du rectangle. L’observation de
l’évolution dans le temps de certaine grandeur (la vitesse d’un véhicule, par exemple)
demandait l’ajout d’une unité de temps. En plus de ces deux grandeurs fondamentales que
sont la longueur et le temps, en mécanique il fallait ajouter la notion de masse. Avec ces trois
grandeurs, on disposait alors d’un système LMT (L pour longueur, M pour masse et T pour le
temps). Les électriciens ont eu rapidement besoin pour leurs propres besoins d’une unité
électrique commode. Le choix ne fut pas simple et après plusieurs propositions on s’arrêta sur
l’intensité de courant électrique. La science se développant, la thermodynamique eut besoin
d’une grandeur repérable : la température. À l’instar des électriciens et de l’ampère, on aurait
pu définir une unité de quantité de chaleur, on a préféré s’en tenir à une définition de l’énergie
dérivable à l’aide des trois grandeurs de base d’un système LMT. Notons que là encore des
propositions ont été faites puisque dans le système CGS (voir plus loin) on avait défini la
calorie comme étant l’énergie calorifique qu’il fallait ajouter à un gramme d’eau distillée pour
élever sa température de 14,5 à 15,5 °C. En photométrie, on a préféré comme les électriciens
définir une nouvelle grandeur: l’intensité lumineuse. Un peu plus tard, la radioactivité est
venue ajouter ses particularités.
Tableau 2.1. Les unités de base du SI
Grandeur
Nom de
l’unité
Symbole
Symbole de la dimension de la
grandeur
de
l'unité
longueur mètre l, x,
r, etc.
m L
masse kilogramme
(a)
m kg M
temps seconde t s (b) T
intensité de courant
électrique ampère I, i A I (c)
température kelvin (d) T K
quantité de matière mole (e) n mol N
intensité lumineuse candela Iv cd J
Deux unités supplémentaires :
angle plan radian rad (f)
angle solide stéradian sr (f)
(a) Seule unité de base contenant un préfixe; (b) L'usage de l'abréviation sec n'est pas toléré;
(c) Q est la quantité d’électricité mesurée en Coulomb; dans le système CGS, comme ce n’est
pas une unité de base : T 1
Q; (d) L’échelle Celsius ne fait pas partie du système SI;
(e) Quand il s’agit d’une mole de photons on dit aussi 1 Einstein.
(f) Il s'agit d'une unité sans dimension.
.
Définitions
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une
durée de 1/299 792 458 de seconde. Il en résulte que la vitesse de la lumière dans
le vide est égale à 299 792 458 mètres par seconde exactement, c = 299 792 458
m/s.
Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype
international du kilogramme.
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à
la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de
césium 133.
L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux
conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire
négligeable et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide,
produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 × 10-7 newton par mètre de
longueur.
Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
température thermodynamique du point triple de l’eau.
La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités
élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son
symbole est « mol ».
La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui
émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 × 1012 hertz et dont
l’intensité énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian.
Un peu d’histoire
Le système métrique est bien sûr basé sur le mètre. Cette grandeur a supplanté toutes les
autres approches et cela pour des raisons de commodités et plus généralement des propriétés
associées à cette grandeur. En France, en 1790, donc pendant la période troublée de la
Révolution française, l’assemblée constituante charge l’académie des Sciences de définir un
système simple de mesures unifiées. Le 1er août 1793, la Convention adopte le système
métrique provisoire. Le mètre est alors défini comme étant la dix millionième partie du quart
du méridien terrestre (précision environ 100 m). En 1799, le mètre et le kilogramme sont
définis par rapport à des étalons (précision du mètre environ 10 m).
En 1861, l’association britannique pour l’avancement des sciences crée le système CGS basé
sur le centimètre, le gramme et la seconde. En 1881, à Paris, le premier congrès international
des électriciens adopte le système CGS et lui adjoint quelques unités électriques. Au tout
début du XXe siècle, GIORGI propose un système rationalisé à quatre unités : le mètre, le
kilogramme, la seconde et l’ampère (le système MKSA). En 1919, ce système métrique est
élargi en système MTS (mètre, tonne, seconde) auquel on attache diverses unités électriques :
ohm, ampère, volt, coulomb). Dans les années 50, le système MKSA rationalisé gagne ses
lettres de noblesse et en octobre 1960, la 11e conférence générale des Poids et Mesures adopte
les nouvelles définitions pour le mètre (précision 0,0001 m), la seconde, le degré de
température. La 13e conférence générale des Poids et Mesures modifie la définition de la
seconde et de l’unité de température thermodynamique maintenant appelée kelvin.
a. Le cas du mètre
1790 - Décision : le mètre = la dix millionième partie du quart du méridien terrestre (précision
100 ) ;
1799 - C’est la longueur de l’étalon déposé aux Archives nationales à Paris, mesurée de bout à
bout (précision 10 ) ;
1903 - C’est la longueur à 0 °C mesurée entre deux traits eux-mêmes gravés à 1 cm des
extrémités d’un étalon en platine iridié (90:10). La France conservait la copie n° 8 de cet
étalon (précision 1 ) ;
1904 - Proposition de référence à la raie rouge du cadmium ;
1960 - La longueur du mètre est alors définie comme étant égale à 1 650 763,73 fois la
longueur d’onde dans le vide de la radiation correspondant à la transition entre les
niveaux 2P10 et
5D5 du krypton-86 (précision 0,01 m).
1983 - Le mètre est le trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299
792 458 de seconde.
c = 299 792 458 m/s.
Notes - Le mille marin (ou nautique) est par définition égale à la longueur de la minute
sexagésimale (1/60e de degré d’arc) du méridien à la latitude de 45°. 1 mille marin = 1851,85
m et par convention = 1852 m.
- Le statute mile, ou mile est le mille anglais utilisé pour la mesure des distances terrestres.
La mesure de la masse
La première définition de la masse (1793) était celle d’un décimètre cube d’eau à son
maximum de densité (4 °C). La définition actuelle (voir ci-dessous) lui est de 27 mg
supérieure. La mesure de la masse est le kilogramme. C’est la masse d’un prototype en platine
iridié (un cylindre de diamètre identique à sa hauteur) qui a été sanctionné par la 1ère
conférence générale des Poids et Mesures en 1889 et qui a été déposé au pavillon de Breteuil
à Sèvres (région parisienne). Cette définition n’a pas changé depuis. C’est la seule unité qui
soit affligée d’un préfixe. Il faut ici préciser la différence entre la masse et le poids. Le poids
est le produit de la masse par l’accélération de la pesanteur à un endroit considéré : p = m g.
Comme g varie avec le lieu (l’accélération de la pesanteur est plus forte aux pôles qu’à
l’équateur) et également avec les positions de la lune et du soleil, le poids d’un objet varie
donc avec le lieu et le moment où s’effectue la pesée. La différence peut être de 6 grammes
1000 km plus loin !
Il faut se rappeler que logiquement, le poids est la force verticale qui attire un objet vers le
sol. Elle s’exprime donc en Newtons dans le système SI. Dans le langage populaire, le mot
poids est utilisé à la place du mot masse. S’il s’agit d’exprimer la quantité d’un corps, c’est
évidemment en kilogrammes qu’il faut l’exprimer. Lorsqu’on dit qu’un corps pèse 10
kilogrammes, cela signifie que sa masse est de 10 kilogrammes.
b. La mesure du temps
La seconde est l’unité de mesure universelle. Sa précision découlant de sa définition a aussi,
comme le mètre, évolué avec le temps ! Elle a déjà été définie comme le 1/86 400 de la durée
du jour solaire moyen ou comme la fraction 1/31 556 925,9747 de l’année tropique de 1900.
La rotation de la Terre sur elle-même, n’étant pas constante, sa course autour du Soleil n’étant
pas non plus constante, la 13e conférence générale des Poids et Mesures a décidé que la
seconde serait égale à la durée de 919 3 631 770 périodes de la radiation correspondant à la
transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium-133 !
Il est intéressant de se rappeler que la Terre tourne autour du Soleil en un peu plus de 360
jours, un nombre fort intéressant qui a de nombreux sous-multiples. Dès lors que l’orbite
terrestre est assimilable à un cercle pouvant se décomposer en 360 fragments (360 degrés),
chacun de ces fragments est parcouru par la Terre en une journée. Est-ce là le lien qui conduit
à la subdivision d’un arc de cercle en 360° ? On a déjà tenté de diviser le cercle en 400 grades
! Cela n’a pas connu le succès espéré par certains.
Le calendrier
En l’an 46 avant J.-C. fut institué le calendrier julien avec une année de 365 j 1/4, donc avec
une année bissextile tous les 4 ans. Cependant, l’année tropique est un peu plus courte que
cela (365,242 20 j) de telle sorte que, 15 siècles plus tard, le calendrier julien avait pris du
retard par rapport à la position de la Terre sur son orbite solaire. L’année tropique peut
s’écrire sous la forme :
année tropique = 365 + 1/4 3/400 3/10 000 jours
Le pape Grégoire XIII en 1582 dû introduire des modifications au calendrier. Il décréta que le
jeudi 4 octobre 1582 serait suivi du vendredi 15 octobre 1582. En France, on passa du
dimanche 9 décembre 1582 au lendemain le lundi 20 décembre 1582. Pour éviter d’avoir à
faire face à la même correction quelques siècles plus tard, on décida que les années séculaires
(1700, 1800, 1900,...) ne seraient pas bissextiles sauf celles divisibles par 400. L’an 2000 a
donc eu son 29 février. Avec cette correction, on devra encore introduire une correction d’une
journée après quelque 3333 ans !
c. Des échelles de températures
En ce domaine également, plusieurs régions, plusieurs laboratoires, ... ont exprimé
le besoin d'une échelle de températures pour traduire les réalités observées.
Plusieurs échelles ont aussi vu le jour. L'historique associé à chacune de ces
échelles est intéressant mais sort un peu du cadre de ce cours. Disons seulement
que dans le cas de l'échelle Fahrenheit, les températures de références 0 °F et 100
°F ont été choisies de la manière suivante. La température de 0 °F correspondait à
la température de congélation d'une solution saline disponible dans le laboratoire de
FAHRENHEIT. Quant à la température de 100 °F, elle correspondait à la
température corporelle d'un membre du même laboratoire qui sans doute ce jour là
avait un peu de fièvre. Entre ces deux repaires, on a divisé la différence de niveau
sur le thermomètre en 100 parties égales. À ce titre l'échelle Fahrenheit est aussi
une échelle centigrade tout comme l'échelle Celsius.
Définition
Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
température thermodynamique du point triple de l’eau.
Figure 2.1. Tableau comparatif de différentes échelles de températures.
Notes :
1- Attention, pour des effets de clarté, les échelles de températures ont été coupées.
2- Dans la définition de l’échelle Celsius, l’espace entre les niveaux du thermomètre indiquant
0 et 100º a été divisé en 100 parties égales. On dit alors que cette échelle Celsius est aussi une
échelle centigrade.
3- Les températures de référence (ébullition et solidification de divers matériaux) ont été
établies en 1948 pour l’échelle Celsius. Ultérieurement, on a aussi fait référence à la
température du point triple de l’eau.
4- Le zéro de l’échelle Fahrenheit correspond à la température de solidification d’une solution
saline et la température de 100º à celle d’un corps humain légèrement fiévreux. À ce titre, on
peut considérer que l’échelle Fahrenheit est aussi une échelle centigrade.
5- Dans les pays slaves, on a également utilisé une échelle dite "Réaumur" qui a la même
valeur zéro que celui de l’échelle Celsius. Par contre l’eau pure bout à 80º sur cette échelle.
6- Pour passer d’une l’échelle à une autre, on utilise les formules suivantes:
- y degrés K = x degrés C + 273,15
- z degrés F = ( x degrés C )9/5 + 32 et x' degrés C = (z' degrés F 32 )5/9
- s degrés R = (y degrés K )9/5 et y' kelvin = ( s' degrés R )5/9
d. Quelques règles d’écriture
règle 1- Lorsqu’une unité porte le nom d’un chercheur, le nom de l’unité est écrit entièrement
en minuscules, sauf Celsius. Lorsque l’on utilise une abréviation, l’unité s’écrit avec une
majuscule.
exemple : ampère et A, joule et J, hertz et Hz...
règle 2- Lorsque l’unité est écrite au complet, on écrit kilomètre par heure et non pas
kilomètre/heure.
règle 3- Les symboles ne prennent pas la marque du pluriel; exemple : 10 mètres et 10 m.
règle 4- Les symboles ne se terminent jamais par un point si ce n’est à la fin d’une phrase : il
y a 1000 m dans 1 km. Cette règle est inexistante en langue anglo-américaine.
règle 5- Éviter d’utiliser les symboles d’unités dans un texte. Écrire plutôt l’unité au complet.
Exemple : Quarante kilomètres plus loin,... et non quarante km plus loin,...
Inversement les symboles ne s’emploient qu’après un chiffre :
Exemple : 40 km, 30 ºC, 2 h 25 mn 30 s et non pas 12h00.
note- La mesure d'un angle plan est souvent donnée sous la forme, par exemple, 27° 12' 30".
On remarque que contrairement au degré de température (°) qui est accolé au symbole de
l'échelle qui lui succède, dans le cas de la mesure de l'angle il est accolé au chiffre numérique
qui le précède.
règle 6- Lorsqu’un symbole est affligé d’un exposant, cet exposant porte aussi sur le préfixe..
Exemple : 1 km2 = une aire de 1 km de côté, = 10
6 m
2;
1 k(m2) = une aire de 1000 m
2.
règle 7- Pour indiquer la multiplication entre les unités, on n’emploie pas le signe x mais de
préférence le signe × (symbole). Par contre on peut utiliser le point celui apparaissant au
milieu de la ligne (·), pas celui apparaissant à la partie inférieure (.). On ne peut utiliser le
point pour indiquer la multiplication des valeurs numériques (voir Règle 11). Le signe de
division s’écrit à l’aide de la barre de fraction inclinée. La puissance 1 est aussi possible.
Exemples : N × m ou N · m; C/V ou C·V1
. Par ailleurs on écrit 24,5 × 24,5 et non pas
24,5 · 24,5. Si l'écriture J/(m·s) est équivalente à J·m1
·s1
, on ne peut écrire J/m/s.
Règle 8- La virgule, et non le point, sert à séparer les unités des chiffres décimaux.
Exemple : 180,38 cm et non 180.38 cm (équivalent de 1,8038 m). Noter qu’en langue
anglaise, on utilise le point.
Règle 9- Pour faciliter la lecture des nombres comprenant plusieurs chiffres significatifs (> 4),
on les groupe par 3.
Exemple : 10 800 m (10,8 km) et non 10800 m. Cependant on tolère 1,8038 m pour éviter
d’isoler le dernier chiffre (voir l’exemple précédent).
Règle 10- On doit toujours laisser un espace entre les chiffres et le début de l’expression
indiquant l’unité: 300 henry et non 300henry; 30 °C et non 30°C ou 30° C. Exception pour
les signes °, ' et " pour degré, minute et secondes dans la mesure d'un angle.
Règle 11- On ne doit pas utiliser le point comme signe de multiplication entre des chiffres.
e. Les unités dans divers systèmes, leur notation
Tableau 2.2. Unités dérivées
Grandeur Nom
Symbole
de
l'unité
Expression en
termes d’unités
de base
Symbole de
la dimension
fréquence(a) hertz Hz s1
T1
force newton N kg m/s2 L M T
2
pression pascal Pa N/m2 L
1M T
2
énergie, travail,
quantité de chaleur joule J N m L
2M T
2
puissance watt W J/s L 2M T
3
charge électrique coulomb C A·s Q
potentiel électrique,
f.e.m., différence de
potentiel
volt V W/A L 2M T
2Q
1
résistance électrique ohm V/A L 2M T
1Q
1
conductance électrique siemens(b) S A/V L 2
M 1
T Q
capacité électrique farad F C/V L 2
M 1
T Q 2
flux d’induction
magnétique weber Wb V·s L
2M T
1Q1
intensité de champ
électrique V/m
inductance henry H Wb/A L 2M Q
2
induction magnétique tesla T(c) Wb/m2 M T
1Q1
flux lumineux lumen lm cd·sr
éclairement lumineux lux lx lm/m2
luminance cd/m2
activité de
radionucléide becquerel Bq T
1
dose absorbée gray Gy J/kg L2 T
2
(a) La période est l’inverse de la fréquence;
(b) A déjà été appelé le mho, écriture inverse de ohm, puisque la conductance
est l’inverse de la résistance électrique;
(c) Ne pas confondre avec le T signifiant le temps dans les équations aux
dimensions; encore moins avec la température, ou avec le préfixe téra.
Formation des unités dérivées du SI
Fig. 2.2. Liens schématiques entre les différentes grandeurs.
Tiré et adapté de documents provenant du Bureau de normalisation du Québec.
Tableau 2.3. Autres unités dérivées
Grandeur Symbole Nom
Expression en
termes d’unités de
base
Symbole de
la dimension
aire, surface A mètre carré m2 L
2
volume V mètre cube m3 L
3
vitesse angulaire radian par seconde rad/s T
vitesse linéaire v mètre par seconde m/s L T 1
accélération angulaire radian par seconde carrée rad/s2 T
2
accélération linéaire a mètre par seconde carrée m/s2 L T
2
masse volumique kilogramme par mètre cube kg/m3 M L
3
moment d’une force mètre newton N m L 2M T
2
moment d’inertie kilogramme mètre carré kg m2 M L
2
tension superficielle newton par mètre N m1
M T 2
quantité de mouvement kgm/s M L T 1
viscosité dynamique pascal seconde Pa s L 1
M T 1
viscosité cinématique mètre carré par seconde m2/s L
2 T
1
conductivité thermique watt par mètre kelvin W/(m·K) L M T 1
1
densité de flux watt par mètre carré W/m2 M T
3
capacité thermique,
entropie C, S joule par kelvin J/K
perméabilité henry par mètre H/m L M Q 2
chaleur massique joule par kilogramme kelvin J/(kg·K)
permittivité farad par mètre F/m L 3
M 1
T 2Q
2
champ électrique volt par mètre V/m
champ magnétique ampère par mètre A/m L 1
T 1
Q
luminance candela par mètre carré cd/m2
entropie molaire joule par mole kelvin J/(mol·K) L2M T
1
mol1
Des unités régionales
Chaque région du monde et chaque pays est aussi tributaire de son histoire, de
ses origines. Il n’est pas simple d’extirper des habitudes du vocabulaire
couramment utilisé qui découle d’un héritage historique. Le Canada ne fait pas
exception à cette règle. Ses origines françaises et anglaises ont bien sûr laissé
de nombreuses traces. Par exemple, dans la Province de Québec, le cadastre ne
s'est mis à l'heure du mètre qu’au cours des années 1990. Les références aux
vieilles unités françaises par dessus lesquelles se sont superposées des mesures
anglaises demeurent encore bien présentes. Le tableau 2.4 fait référence à ces
unités que, s’il faut connaître pour comprendre certains documents, il est
vivement conseillé d’en éviter l'usage.
Tableau 2.4. Principales unités canadiennes de mesure
Identification Unité Définition Identification Unité Définition
longueur superficie
verge (ou yard) 0,9144 m
(ou 3 pieds) mille carré 640 acres
mille 1760 verges arpent (au
Québec)
32 400 pieds
carrés (mesure
française)
pied 1/3 verge ou
12 pouces pied carré
pied (au
Québec) 12,789 pouces pouce carré
arpent (au
Québec)
180 pieds
(mesure
française) masse
livre * 0,453 592 37 kg
(ou 16 onces)
volume tonne 2 000 livres
gallon 4,546 09 litres
(ou 4 pintes) quintal* 100 livres
boisseau 8 gallons
once de Troy
(métaux
précieux)
480 grains
pinte
1/4 de gallon
(ou 2
chopines)
grain 1/7000 de livre
pied cube,
pouce cube
carat
(pierre
précieuse)
200 mg
*Note : En France, le quintal vaut 100 kg (bien qu’anciennement il ait valu 100 livres) et la livre
vaut 500 grammes.
Les multiples et sous multiples
L'utilisation des unités s'accompagne d'un ensemble de préfixes très commodes
pour simplifier l'écriture des grandeurs mesurées. Il est évident qu'écrire et encore
moins dire le diamètre d'un atome en mètre seraient des opérations fastidieuses
voire inintelligibles. C'est évidemment plus aisé en nanomètre. Le
tableau 2.5 donne la liste de ces préfixes.
Tableau 2.5. Multiples et sous-multiples
Facteur affectant l’unité Puissance Préfixe Symbole
1 000 000 000 000 000 000 000
000
1024
yotta Y
1 000 000 000 000 000 000 000 1021
zetta Z
1 000 000 000 000 000 000 1018
exa E
1 000 000 000 000 000 1015
péta P
1 000 000 000 000 1012
téra T(a)
1 000 000 000 109 giga G
1 000 000 106 méga M
1 000 103 kilo k
100 102 hecto h
10 101 déca da
1 100
0,1 101
déci d
0,01 102
centi c
0,001 103
milli m
0,000 001 106
micro
0,000 000 001 109
nano n
0,000 000 000 001 1012
pico p
0,000 000 000 000 001 1015
femto f
0,000 000 000 000 000 001 1018
atto a
0,000 000 000 000 000 000 001 10
zepto z
0,000 000 000 000 000 000 000
001 10
yocto y
(a): ne pas confondre avec d’autres notions; voir note (c), tableau 2.2.
Des unités tolérées
Le SI n'est pas sans défaut ou plus précisément son usage n’est pas toujours aussi
simple que souhaité. Il est difficilement concevable d’aller acheter son lait ou son
vin au mètre cube ou au kilogramme. Là encore les habitudes font que des mesures
de volume plus conventionnelles ont été maintenues. De la même manière il est
illusoire de demander à quiconque d’exprimer la durée d’une année en secondes.
On doit donc faire de la place à des unités pas toujours très rationnelles mais - oh
combien pratiques! - pour exprimer certaines réalités. Dans ce domaine, certains
scientifiques ont aussi de bonnes raisons d’utiliser certaines unités bien commodes
dans leur domaine d'expertise. Ces unités permises ou tolérées apparaissent dans
le tableau 2.6.
Tableau 2.6. Autres unités permises ou tolérées avec le SI
Nom Symbole Valeur en SI
minute min 60 s = 1 min
heure h 3 600 s = 1 h
jour d 86 400 s = 1 d
degré d’arc(a) ° (/180) rad = 1 °
litre l ou L (b) 1 dm3
= 0,001 m3
tonne t 103 kg = 1 t
degré Celsius °C x °C = (273 + x) K
électronvolt eV 1,602 176 53 × 1019
J = 1 eV
unité de masse atomique u = 1 Dalton 1,660 538 86 × 1027
kg = 1 u
angström Å 1010
m = 0,1 nm = 1 Å
mille marin M 1 M = 1852 m
le nœud marin kn 1 kn = (1852/3600) m/s
la superficie atomique barn 1 b = 100 fm2 =10
28 m
2
hectare (c) ha 104 m
2 = 1 ha
bar(d) bar 100 kPa = 1 bar
atmosphère(d) atm 101,325 kPa = 1 atm
(a) Il existe deux sous-multiples que sont la minute (') et la seconde d’arc (") qui valent
respectivement 1/60 et 1/ 3 600 du degré d’arc;
(b): Confusion possible avec le chiffre 1. On voit aussi : cette notation n'est pas considérée par
le Bureau international des poids et mesures; On écrit cependant ml ou l et non mL ou L
(c) Ne pas confondre avec la notion de temps ou avec la notion de tonne "courte" du système
impérial;
(d) Cette unité est dérivée de l’are (100 m2 = 1 a), unité qui n’est pas reconnue.
(e) Une autre unité de pression, normalement proscrite et de moins en moins utilisée, est le Torr
ou le mm de mercure : 760 Torr 760 mmHg 1 atm 101.325 kPa.
La transformation d'unités CGS en unités SI
Le tableau qui suit montre certaines équivalences intéressantes qui aideront l'usager
à passer rapidement du système d'unités CGS au SI.
Tableau 2.7. Équivalences système CGS - SI (*)
Grandeur Système CGS SI Facteur de
conversion
symbole grandeur symbole grandeur (×)
longueur cm centimètre m mètre 100
masse g gramme kg kilogramme 1000
temps s seconde s seconde 1
force dyn dyne N newton 105
Énergie, travail ** erg J joule 107
puissance erg/seconde W watt 107
surface cm2 centimètre carré m
2 mètre carré 10
4
volume cm3 centimètre cube m
3 mètre cube 10
6
vitesse cm/s centimètre par
seconde m/s mètre par seconde 10
2
accélération cm/s2
centimètre par
seconde carrée m/s
2
mètre par seconde
carrée 10
2
pression barye N/m Pascal 10
viscosité
dynamique P poise dap Pascal seconde 10
viscosité
cinématique St stokes m
2/s
mètre carré par
seconde 10
4
flux magnétique Mx maxwell Wb weber 108
induction G gauss T tesla 104
magnétique
champ
magnétique Oe œrsted
(*) 1 unité SI = x unités CGS.
Référence : Bureau de la normalisation du Québec: BNQ 9990-901, 1983-03-28.
(**) Une unité ne faisant pas partie du système CGS et souvent utilisée est la calorie :
1 calorie est équivalente à 4,1868 joules.
Cette unité était définie (système CGS) comme étant la quantité d’énergie qu’il faut fournir à 1
gramme d’eau pour augmenter sa température de 14,5 à 15,5 °C. La capacité calorifique de l’eau
est donc de 1 cal/(g·degré).
De manière similaire, l'unité thermique anglo-saxonne appelée BTU (British Thermal Unit)
correspond à la quantité d'énergie requise pour élever une livre (pound) d'eau de 1 degré
Farenheit.
Les unités et la pratique de la chimie
Dans leur pratique, les chimistes ont aussi des besoins particuliers. Le tableau 2.8
résume certaines utilisations particulières associées à des domaines particuliers. Le
tableau 2.9 ajoute les valeurs indispensables de constantes dites universelles.
Tableau 2.8. Unités plus spécifiquement utilisées en chimie(a)
Nom - unité Symbole
Facteur de
conversion
1 SI = x
Note particulière
Longueur
Ångström ou Angstrœm Å 1010
cristallographie. À éviter : utiliser le
nm
Masse volumique
kilogramme par m3 kg/m
3 1 usage recommandé
gramme par cm3 g/cm
3 10
3 CGS, à éviter
mole par m3 mol/m
3 1 usage recommandé
Température
kelvin K 1 usage recommandé
degré Celsius °C (b) usage international pratique
Radiologie (c)
becquerel Bq 1 1 curie = 3,7 1010
Bq
gray Gy 1 unité SI, vaut 100 rad
coulomb/kg C/kg 1 unité SI, 1 roentgen vaut
2,58 104
C/kg
Sievert Sv 1 unité SI, 1 rem vaut 0,01 Sv
Vitesse de réaction chimique : constante de vitesse de
réaction d’ordre 1 s 1 unité SI
réaction d’ordre 2 m3/(mol·s) 1 unité SI
réaction d’ordre 2 dm
3/(mol·s)
(d) 1 unité SI
réaction d’ordre 3 m6/(mol·s) 1 unité SI
réaction d’ordre 3 dm6/(mol·s) 1 unité SI
Coefficient d’absorption 1
m3/(mol m) 1 unité SI, base 10
dm3/(mol m) (c) e 10 unité SI, base 10
1/(atm K cm) k base 10, à éviter
Énergie
centimètre1
cm1
unité d'énergie tolérée en
spectroscopie
électronvolt eV voir tableau 2.6 usage toléré en physique atomique
Autres grandeurs
nombre d'ondes m1
1 unité SI : 1/m
indice de réfraction n Pas d'unité !
Note : 8 068,3 cm1
= 1 eV = 96,486 7 kJ/mol = 23,445 5 kcal/mol.
(a) Références partielles : Normes BNQ 9990-901, 1992-10-10 et 9990-941, 1991-06-13 ;
(b) Et non pas degré centigrade comme on l'entend trop fréquemment ;
(c) Pour les fins de la radioprotection ;
(d) L’abréviation litre l peut être avantageusement substituée à dm3.
En ce domaine, plusieurs constantes dites universelles sont d'usage fréquent. Il est
intéressant de les rapporter ici et d'en connaître à la fois leur grandeur et les unités
avec lesquelles elles s’expriment.
Tableau 2.9. Quelques constantes utiles
Grandeur Symbole Valeur en unité SI
vitesse de la lumière c* 2,997 924 58 108 m/s
constante de PLANCK h* 6,626 176 1034
J s
charge électronique e, e e 1,602 176 53 10
19 C
permittivité absolue du
vide 0 8,854 187 8
1012
J1
C2 m
1
masse de l’électron au
repos me 9,109 3826
1031
kg
constante de RYDBERG RH 1,097 373 127 107 m
1
rayon de BOHR a0 5,291 772 108 1011
m
magnéton de BOHR µB 9,274 10
1024
J T1
ou A
m2
magnéton nucléaire µN 5,050 95
1027
J T1
ou A
m2
nombre d’AVOGADRO N 6,022 045 1023
mol1
constante de
BOLTZMANN k 1,380 662
1023
J/K
constante des gaz parfaits R 8,314 41 J/(mol K)
Volume standard du gaz
idéal V0 22,413 83
103
m3 /mol
* ne pas confondre avec les préfixes correspondants.
CONCLUSIONS
Le système international d’unités (en abrégé SI) est donc un système cohérent, quasi
universellement accepté : il permet l’échange d’information la plus rigoureuse qui soit et
certainement une compréhension généralisée des concepts qu’il supporte. Ce système n’est
cependant pas sans défaut tant de nombreux systèmes incohérents ou à tout le moins "baroques"
résistent à leur disparition. Compromis entre les scientifiques de l’infiniment petit et ceux de
l’infiniment grand, le système basé sur le mètre, la seconde et le kilogramme a cependant
suffisamment de qualités pour avoir pu déloger le système impérial du monde anglo-saxon.
Lien utiles :
Un site Web où on trouvera beaucoup d'informations sur le SI : unités de base et les unités
dérivées, les constantes fondamentales, histoire,... à l'une des adresses suivantes :
http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_fr.pdf (site visité le 2016-07-
06)
en anglais à la même adresse, en remplaçant en fin d'adresse fr.pdf par en.pdf
Un texte intéressant sur l'évolution de la thermométrie au XVII et XVIIe siècles
(site visité le 2015-02-03) :
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-
7996_1958_num_11_4_3668
Également :
http://www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/index_en.html (en anglais ou en allemand)
http://physics.nist.gov/cuu/Units/index.html
http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/
et beaucoup d'autres.
3. Problèmes
3.1 Le rayon de la première orbite de l’atome d’hydrogène est donné dans le système
international par la formule 5.5 :
où h est la constante de PLANCK, m la masse de l’électron et e sa charge électrique.
En utilisant les équations aux dimensions, dites quelle est l’unité de eo ainsi que sa
valeur numérique dans le système SI.
3.2 En utilisant les équations aux dimensions, vérifiez que le produit pression fois un
volume est équivalent à une énergie : PV = énergie.
3.3 Vérifiez que la constante des gaz parfaits est égale au produit du nombre
d’AVOGADRO par la constante de BOLTZMANN: R = N k et qu’elle est bien
équivalente à une énergie.
3.4 La fonction de partition de translation, ft, d’une particule de masse m dans une boîte
de volume V à la température T, est donnée par la relation suivante :
où k et h sont, respectivement, les constantes de BOLTZMANN et de PLANCK.
Déterminez l’unité de ft.
3.5 Montrez que le produit d’une longueur par une quantité de mouvement a la même
unité que la constante de PLANCK. Faire la même démonstration avec le produit
d’une énergie par un temps.
3.6 La loi de POISEUILLE (mécanique des fluides) donne la viscosité dynamique sous la
forme :
où r est le rayon du tube où s’écoule le fluide soumis à la différence de pression
P1 P2, V est le volume de fluide (conditions TPN) qui s’est écoulé pendant le
temps t dans un tube de longueur . Déterminer l’unité de .
3.7 Exprimez en degrés Celsius (ºC), en kelvin (K), en degrés Rankine (ºR) et en degrés
Réaumur (ºRé) la température d’inflammation spontanée du papier exposé à l’air, soit
451 degrés Fahrenheit (ºF).
3.8 Calculez la température du corps humain, 37,7 ºC sur les échelles Fahrenheit. Kelvin,
Rankine et Réaumur.