Chapitre 2 : le système international des unités (SI)

1 Sources principales

� Brochure du Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), 8ème édition (2006)

http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_fr.pdf

� Site internet « Tout sur les unités de mesures » de Thierry Thomasset :

http://www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites/

Classiquement, mesurer une grandeur consiste à la comparer à une grandeur de même naturechoisie comme unité.

Le développement scientifique, technique et industriel exige que les mesures aient la mêmesignification pour tous. Ce résultat pourrait être atteint en choisissant, pour chaque grandeurà mesurer, un étalon définissant avec précision une unité universellement admise.L'uniformité des mesures serait alors assurée. Mais le choix, la conservation, leperfectionnement des étalons et le rattachement de chaque mesure à son étalon particulierexigeraient un travail immense.

2 Physique et mesure

Mesure du poids par comparaison avec des poids étalonnés.

On préfère, grâce au système international d'unités (SI), successeur du système métrique,rapporter toutes les mesures à un très petit nombre d'étalons fondamentaux, auxquels il estpossible de consacrer tout le soin nécessaire.

Ceux-ci définissent directement les unités de base : mètre, kilogramme, seconde, ampère,kelvin, candela, mole.

Les unités dérivées s'en déduisent à l'aide de relations de définition, relations physiquesentre les grandeurs de base et les grandeurs dérivées.

L'unité de force du SI, par exemple, est le newton, force qui, appliquée à une masse d'unkilogramme, augmente sa vitesse, en une seconde, d'un mètre par seconde. Cettedéfinition ne fait appel qu'aux unités de base (m, kg, s) et à la relation :

force = masse × accélération

(dite souvent « équation fondamentale de la dynamique »).

3 Genèse du Système International des unités (SI)3.1 Préhistoire du système métrique (d’après Bigourdan, Le système métrique des poids et desmesures)

De tout temps, on a senti la nécessité d'avoir des mesures et des poids invariables, auxquels nile temps ni les lieux n'apporteraient d'altération, car leur diversité est, pour le commerce, unedes plus grandes entraves.

Aussi a-t-on attribué aux Anciens l'idée de prendre dans la Nature même, le prototype deleurs mesures, afin d'en assurer l'invariabilité (d'après Paucton, mathématicien du XVIIIème, lesmesures de toute l'Antiquité auraient eu pour prototype ce qu'il appelle métrétès linéaire oupied géométrique, dont 800 feraient un stade égal à la longueur d’un arc d’1/100 de degré duméridien terrestre)

Plus raisonnablement, on peut aussi soutenir que lespremières mesures ont été prises des dimensions ducorps humain ; et c'est ce que confirment les nomsde pas, coudée, pied, palme, pouce, doigt employéssi longtemps et même aujourd'hui encore.

Les Chrétiens auraient aimé que les mesures serapportent au corps du Christ mais on utilisalongtemps le pied de Charlemagne.

En France, dès l'an 650, sous Dagobert, les étalons de mesures étaient conservés dans le palaisdu roi.

Sous Charlemagne, toutes les mesures employées dans son vaste royaume étaient uniformes,et reproduisaient les étalons gardés au palais royal. Mais déjà sur la fin de son règne, cetteégalité commençait à s'altérer.

Ce qui est certain, c'est que tous les peuples ontconservé avec un soin religieux les étalons deleurs mesures. Chez les Hébreux, ils étaientdéposés dans le Temple ; chez les Romains, onles gardait au Capitole, dans le temple de Jupiter.Justinien fit vérifier toutes les mesures, tous lespoids, et ordonna de garder les originaux dans laprincipale église de Constantinople ; même il enenvoya de semblables à Rome. De leur côté, lesAthéniens avaient établi une compagnie dequinze officiers chargés de la garde des mesuresoriginales et de l'inspection de l'étalonnage.

Dans la suite, la plupart des coutumes attribuèrent aux seigneurs hauts justiciers le droit degarder les étalons et de vérifier les poids et mesures employés dans les justices de leursressorts. Selon toutes les apparences, la grande diversité des poids et des mesures fut duesurtout à la Féodalité, chaque seigneur ayant introduit dans ses terres des usages conformesà ses intérêts.

Les seigneurs avaient tendance à minimiser le contenu des mesures de manière à augmenterl'impôt et taxe, et à maximaliser les mêmes mesures pour acheter. En général, ils achetaient àmesure comble et vendaient à mesure rase. La manière de remplir la mesure permet d'enfaire varier le contenu. Les meuniers faisaient toujours tourner le moulin lorsqu'ils recevaientle grain, les vibrations tassaient le grain dans les mesures, augmentant la quantité, ce qu'ilsévitaient de faire lorsqu'ils rendaient la farine.

Mesures publiques sur la place de Montpazier

Comme pour les monnaies, pour lesquelles Philippe V le Long parvint à imposer en Franceune monnaie unique, en rachetant le droit de battre monnaie aux seigneurs, les rois deFrance (Philippe le Bel, Louis XI, François Ier, Henri II) tentèrent de faire adopter dans toute laFrance les mesures de longueur et de poids qui étaient en usage à Paris, mais ils ne purent yparvenir.

D'ailleurs, les mesures de Paris, qu'il s'agissait d'imposer à tous, n'offraient aucun caractèrequi justifiât réellement un tel privilège. Et l'on pouvait objecter que l'usure des étalons feraitdisparaître bientôt l'uniformité, supposée rétablie, ramenant une diversité plus grandeencore que celle qu'on voulait faire disparaître.

Pour les poids, l'étalon était la pile, dite deCharlemagne, fabriquée vers le dernier tiers duXVème siècle à partir d'étalons remontant àCharlemagne suivant la légende était conservée àl’hôtel la Monnaie à Paris.

La pile est composée de 13 poids àgodets en cuivre qui s'emboîtent ; leplus petit est plein et les 12 autrescreux (le plus grand, constituant laboîte avec couvercle et poignée)pesant en tout 50 marcs ou 25 livres.Il s'agit d'un tronc de cône (hauteur 9cm) évasé vers le haut, de basescirculaires (supérieure : diamètre15,5 cm, inférieure : 14 cm).

À partir du godet n°3, les divisionssont telles que le contenu du godetvaut le godet lui-même (8 marc estégal à la somme de 4, 2, 1 etc.).

0,0625

Cette pile de référence est complexe car elle a trop d’éléments pour définir un étalon uniqueet de plus, les divisions du marc ne sont pas aussi exactes que celles du tableau.

Aussi distingue-ton le marc creux, le marc plein ou divisé et le marc moyen. Le marc moyenest le plus simple, c’est le 50ème du total. Il est parfois appelé marc contenu dans la pile. Lemarc plein ou marc divisé correspond à l’ensemble des 7 poids contenus dans le marc creux.

Par définition depuis Philippe Auguste, le marc vaut 4608 grains et donc la pile, 115 200grains. (un marc = 8 onces, une once = 8 gros, un gros = 3 deniers, un denier = 24 grains).

La « livre poids de marc » (0,4895 kg) correspond au 1/25 de l'étalon pesant 50 marcs, soit12,2377 kg (le marc servant pour fixer le poids des monnaies et les transactions sur lesmétaux précieux).

Au Moyen âge, l'étalon prototype royal de longueurétait la « toise de Paris » ou Toise du Châtelet ; ils’agissait d’une barre de fer munie de deux ergots, fixéedans un mur scellée au pied de l'escalier du GrandChâtelet de Paris (ouvrage de défense qui protégeait lepont d’accès à l’île de la Cité, qui a été détruit en 1802).

La toise de Paris était divisée en 6 « pieds de roi ». Lepied du Roy vaut 326,596 mm.

En 1540, François Ier tente la création d’un étalon de longueur universel « l’aune de Paris » ou« aune du Roy » ayant pour valeur 4 pieds romains ou 3 pieds, 7 pouces, 8 lignes de « Pied duRoy ». Seuls les marchands d’étoffe l’utiliseront, mais sa valeur est plus proche de 3 pieds, 7pouces, 10 lignes et 10 points.

Remarque : les subdivisions « naturelles »

Mathématiquement, on peut créer des séries de nombres en fonction de leur caractère dedivisibilité.

- série a : 2n soit 2, 4, 6, 8, 10, ... ces nombres sont divisibles par 2.- série b : 2n x 6 soit 12, 24, 36, 48, ... ces nombres sont divisibles par 2, 3, 4, 6,- série c : 2n x 5 soit 10, 20, 30, 40, ... ces nombres sont divisibles par 2, 5.

Le système base 12 (série b) est très pratique, puisqu'on peut définir facilement la moitié, letiers et le quart. Il a été retenu pour la division des mesures de temps et des angles.

Le système base 10 (série c) existait déjà ; un quintal (du latin centenarium) faisait 100 livres.L'homme possède 10 doigts mais également 28 phalanges et ce nombre 28, issu d'uneprogression à base 7, avait ses adeptes (un enfant naît au bout de 10 cycles de 28 jours).

Vers 1667, un affaissement d’un pilier du GrandChâtelet entraîne une déformation de la toise étalonet Colbert, surintendant des Bâtiments, Arts etManufactures la fait restaurer mais les maçonstrouvent la nouvelle toise plus courte de 0,5% (erreurde 5 lignes, inacceptable même pour l’époque) queleur propre étalon appelé « toise de l'Écritoire »pourtant copie conforme de l’ancienne toise duChâtelet.

Malgré les plaintes des corporations, Colbert n’endémord pas et décide en 1668 que la nouvelle toisedu Châtelet sera l’étalon de référence. Le pied du Roydevient donc 324,839 mm.

On pense que Colbert a eu conscience de l’erreur,mais sa crédibilité politique ne pouvait être mise enjeu… Depuis cette époque, on désigne la toise deParis d’avant 1667 par le terme de « toise del'Écritoire ».

Il fallut donc attendre que la Science eût trouvé un étalon naturel, et le moyen de le rétablir aubesoin avec facilité : c'est ce qui eut lieu dans la seconde moitié du XVIIème siècle. En 1670, eneffet, Gabriel Mouton, vicaire de l'église Saint-Paul à Lyon, propose un système de mesuresextrêmement remarquable, dont le prototype est emprunté à la grandeur même de la Terre. Ilpropose un ensemble de mesures linéaires, dites par lui géométriques, qu'il assujettit à ladivision décimale, et qu'il appelle milliare, centuria, decuria, virga, virgula, decima, centesima,millesima.

Le milliare ou mille géométrique serait la longueur de l'arc de 1'de grand cercle de la Terre, de sorte que la virga et la virgula(1/1 000 ou 1/10 000 du mille géométrique) auraient réponduà la toise et au pied.

Enfin, épuisant complètement le sujet, il donne un moyen facile pour retrouver partout etfacilement les mesures qu'il propose : pour cela il les relie à la longueur du pendule à seconde(qui fait une oscillation, c’est-à-dire une demi période, en une seconde) et, par diversesexpériences fort concordantes, il trouve que sa virgula est de la même longueur que lependule simple qui, à Lyon, exécute 3 959,2 oscillations en une demi-heure.

On voit que le projet de Mouton est, sans aucune différence deprincipe, celui qui a été réalisé par notre Système métrique.

En 1668, Picard mesura, par triangulation, l'arc de méridienséparant Sourdon (au sud d'Amiens) à Malvoisine (au sud deParis) et proposa de prendre comme étalon, la longueur dupendule battant la seconde, soit 0,994 m.

Peu après on proposait, de divers côtés, de prendre pour unitéla longueur même du pendule à seconde : c'est ce que firentPicard en 1671 et Huygens en 1673.

Jean-Felix Picard (1620-1682), dit l'abbé Picard, astronome et géodésien français

Un officier au corps royal du génie, Prieur Du Vernois (dit plustard Prieur de la Côte D'Or) rejette les mesures basées sur lagrandeur du méridien, parce que, dit-il :

« Indépendamment de la grandeur de l'opérationprimitive nécessaire à cet objet, de l'embarras de lavérifier, de l'impossibilité même de le faire journellement,il n'est pas aisé de prononcer sur le degré d'exactitude decette méthode ».

Il préfère donc la longueur du pendule à seconde, et comme,dit-il, on n'est pas sûr que la gravité soit la même sur tous lespoints d'un parallèle, il faut adopter celle d'un point spécial ;et il se prononce pour l'Observatoire royal de Paris.

L'étalon serait une règle de platine déposée à l'hôtel de ville et qui, à la température de 10°par exemple, reproduirait la longueur du pendule à seconde. Le tiers de cette longueur seraitle pied national ou français, subdivisé en 10 pouces, le pouce en 10 lignes, etc. Inversement,10 pieds formeraient la perche nationale, etc. Puis un carré de 10 perches de côté auraitformé l'arpent national... Les volumes auraient été mesurés en lignes, pouces, pieds...cubes ; enfin, le poids de 10 pouces cubes d'eau distillée prise à une températuredéterminée, aurait été la livre nationale ou étalon de poids.

Pour les monnaies, Prieur propose les dénominations de décime et de centime pour désignerle dixième et le centième de la livre monnaie.

Au commencement du règne de Louis XVI, Turgot, contrôleurgénéral des finances, voulut aussi établir l'uniformité desmesures, en les basant sans doute sur la longueur du pendule àseconde pour la latitude de 45°. On devait aussi réunir lescomparaisons des mesures de province aux mesures de Paris.Mais, soit en raison de difficultés imprévues, soit par suite duremplacement de Turgot, ce projet n'eut pas plus de suite queles précédents. Necker étudia également, mais sans grandeconfiance, les moyens de rendre les poids et les mesuresuniformes dans tout le royaume.

C’est pourquoi, en 1789, le vœu d'une mesureuniforme fut consigné dans les cahiers dedoléances d'un grand nombre de bailliages,tant dans les cahiers du clergé et de lanoblesse que dans ceux du tiers-état.

3.2 Histoire du système international

M. de Talleyrand-Périgord (1754-1838), prince de Bénévent, ex-évêque d'Autun et Ministre des Affaires

étrangères.

Le 13 avril 1791, l’Académie désigne les membres devant effectuer les opérations de mesuredu méridien. La triangulation et la détermination des latitudes sont confiées à Legendre,Méchain et Cassini. Cassini, dit Cassini IV, est le fils de Jacques Cassini. En 1718, ce dernieravait déjà effectué une mesure du méridien entre Dunkerque et Collioure.

En juin 1791, Cassini se contente de visiter avec Méchain une base près de Paris. Monge etLegendre ne font presque rien. Meusnier, quant à lui, part pour l’armée du Rhin et se fait tueren 1793. Delambre, qui vient d’entrer à l’Académie des Sciences est alors désigné pour lesremplacer.

Il aura fallu plus de cent triangles pour jalonner l’arc du méridien ; sur ce parcours les deuxgéodésiens connaissent bien des mésaventures : mauvaise visibilité, arrestations, révocationstemporaires, endommagement et destruction de leurs ouvrages géodésiques…

Cercle répétiteur n°IIII modèle de Borda (1791-1792) vue d'ensemble avec cercle en position horizontale

Et le temps ?

Durant la Première République, le tempsdécimal fut officiellement introduit enFrance par le décret du 4 frimaire del'An II (24 novembre 1793) : le jour, deminuit à minuit, est divisé en dix partiesou heures, chaque partie en dix autres,ainsi de suite jusqu’à la plus petiteportion commensurable de la durée. Lacentième partie de l'heure est appeléeminute décimale ; la centième partie dela minute est appelée seconde décimale.

La journée commençant à minuit, à midiil était donc 5 heures. À fin de lajournée, à minuit, il était 10 heures. Denombreuses montres décimales furentconstruites à l'époque, devenuesaujourd'hui des pièces de musée, cardéjà en 1795, le temps décimal fut abolien France, dix ans avant l'abolition ducalendrier révolutionnaire.

Agence temporaire des poids et mesures. Explication et usage des échelles pour la comparaison des toises, pieds, pouces de

Paris avec les mètres et parties décimales du mètre.

La création du Système métrique décimal au moment de la Révolution française et le dépôt quien a résulté, le 22 juin 1799, de deux étalons en platine représentant le mètre et lekilogramme aux Archives de la République à Paris peuvent être considérés comme la premièreétape ayant conduit au Système international d’unités actuel.

En 1832, Gauss œuvra activement en faveur de l’application du Système métrique, associé à laseconde définie en astronomie, comme système cohérent d’unités pour les sciences physiques.Gauss fut le premier à faire des mesures absolues du champ magnétique terrestre en utilisantun système décimal fondé sur les trois unités mécaniques millimètre, gramme et seconde pour,respectivement, les grandeurs longueur, masse et temps. Par la suite, Gauss et Weber ontaussi effectué des mesures de phénomènes électriques.

Maxwell et Thomson mirent en œuvre de manière plus complète ces mesures dans lesdomaines de l’électricité et du magnétisme au sein de la British Association for theAdvancement of Science (BAAS) dans les années 1860. Ils exprimèrent la nécessité d’unsystème cohérent d’unités formé d’unités de base et d’unités dérivées.

En 1873 la BAAS introduisit le système CGS, un système d’unités tridimensionnel cohérentfondé sur les trois unités mécaniques centimètre, gramme et seconde, et utilisant despréfixes allant du micro au méga pour exprimer les sous-multiples et multiples décimaux.C’est en grande partie à l’utilisation de ce système que l’on doit les progrès de la physique,en tant que science expérimentale, observés par la suite.

Les unités CGS cohérentes choisies pour les domaines de l’électricité et du magnétismes’étant avérées mal commodes, le BAAS et le Congrès international d’électricité, qui précédala Commission électrotechnique internationale (CEI), approuvèrent, dans les années 1880,un « système mutuellement cohérent d’unités pratiques ». Parmi celles-ci figuraient l’ohmpour la résistance électrique, le volt pour la force électromotrice et l’ampère pour lecourant électrique.

Après la signature de la Convention du Mètre le 20 mai 1875, le Comité international seconsacra à la construction de nouveaux prototypes, choisissant le mètre et le kilogrammecomme unités de base de longueur et de masse.

En 1889 la première Convention Générale des Poids et Mesures (CGPM) sanctionna lesprototypes internationaux du mètre et du kilogramme. Avec la seconde des astronomescomme unité de temps, ces unités constituaient un système d’unités mécaniquestridimensionnel similaire au système CGS, mais dont les unités de base étaient le mètre, lekilogramme et la seconde, le système MKS.

En 1901, le physicien italien Giovanni Giorgi (1871-1950)montra qu’il était possible d’associer les unités mécaniquesde ce système mètre-kilogramme-seconde au systèmepratique d’unités électriques pour former un seul systèmecohérent quadridimensionnel en ajoutant à ces trois unitésde base une quatrième unité, de nature électrique, telleque l’ampère ou l’ohm, et en rationalisant les expressionsutilisées en électromagnétisme.

La proposition de Giorgi ouvrit la voie à d’autresextensions.

Après la révision de la Convention du Mètre par la Sixième CGPM en 1921, qui étendit lesattributions et les responsabilités du Bureau international à d’autres domaines de la physique,et la création du Comité consultatif d'électricité (CCE) par la Septième CGPM qui en a résultéen 1927, la proposition de Giorgi fut discutée en détail par la CEI, l’Union internationale dephysique pure et appliquée (UIPPA) et d’autres organisations internationales. Ces discussionsconduisirent le CCE à proposer, en 1939, l’adoption d’un système quadridimensionnel fondésur le mètre, le kilogramme, la seconde et l’ampère, le système MKSA, une proposition qui futapprouvée par le Comité international en 1946.

À la suite d’une enquête internationale effectuée par le Bureau international à partir de 1948,la Dixième CGPM, en 1954, approuva l’introduction de l’ampère, du kelvin et de la candelacomme unités de base, respectivement pour l’intensité de courant électrique, la températurethermodynamique et l’intensité lumineuse.

La Onzième CGPM donna le nom Système international d’unités (SI) à ce système en 1960.

Lors de la Quatorzième CGPM, en 1971, la mole fut ajoutée au SI comme unité de base pour laquantité de matière, portant à sept au total le nombre d’unités de base du SI tel que nous leconnaissons aujourd’hui.

On distingue deux classes d’unités SI :

�les unités de base ;

�les unités dérivées.

Du point de vue scientifique, la division des unités SI en ces deux classes est arbitraire car ellen’est pas imposée par la physique.

Néanmoins, la Conférence générale a pris en considération les avantages que présentel’adoption d’un système mondial d’unités, unique et pratique, pour les relationsinternationales, l’enseignement et la recherche scientifique, et a décidé de fonder le Systèmeinternational sur un choix de sept unités bien définies que l’on convient de considérer commeindépendantes du point de vue dimensionnel : le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère,le kelvin, la mole et la candela. Ces unités SI sont appelées unités de base.

La deuxième classe des unités SI est celle des unités dérivées. Ce sont les unités qui sontformées en combinant les unités de base d’après des relations algébriques qui lient lesgrandeurs correspondantes. Les noms et les symboles de ces unités sont exprimés à l’aide desnoms et symboles des unités de base. Certains d’entre eux peuvent être remplacés par desnoms et des symboles spéciaux qui peuvent être utilisés pour exprimer les noms et symbolesd’autres unités dérivées

3 Les deux classes d’unités SI

Les unités SI de ces deux classes forment un ensemble cohérent d’unités, au sens donné aumot cohérent par les spécialistes, c’est-à-dire un système d’unités liées entre elles par desrègles de multiplication et division sans facteur numérique autre que le facteur 1.

Il est important de souligner que chaque grandeur physique n’a qu’une seule unité SI,même si cette unité peut être exprimée sous différentes formes. Par exemple, le Joule etl’électron-volt sont deux unités différentes de la grandeur physique « énergie ».

L’inverse, toutefois, n’est pas vrai ; une même unité SI peut dans certains cas être employéepour exprimer les valeurs de grandeurs différentes. Par exemple, le Joule est l’unité à la foisdu travail d’une force et de l’énergie.

4 Unités SI de base

�Les définitions officielles de toutes les unités de base du SI sont approuvées par laConférence générale.

�La première de ces définitions fut approuvée en 1889 et la plus récente en 1983.

�Ces définitions sont modifiées de temps à autre pour suivre l’évolution des techniques demesure et afin de permettre une réalisation plus exacte des unités de base.

La 17e CGPM a remplacé en 1983 cette dernière définition par la suivante :

Cette définition a pour effet de fixer exactement la vitesse de la lumière à 299 792 458 m·s-1.

L’ancien prototype international du mètre, qui fut sanctionné par la 1re CGPM en 1889, esttoujours conservé au BIPM dans les conditions fixées en 1889.

Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une duréede 1/299 792 458 de seconde.

4.1 Unité de longueur (mètre)

La définition du mètre fondée sur le prototypeinternational en platine iridié (90 % platine et10 % iridium), en vigueur depuis 1889, avait étéremplacée lors de la 11e CGPM (1960) par unedéfinition fondée sur la longueur d’onde d’uneradiation du krypton 86, afin d’améliorerl’exactitude de la réalisation du mètre.

L'ancien mètre étalon. A gauche, celui que l'on peut encore voir au 36 de la rue de Vaugirard à Paris; à

droite, celui, en platine iridié, conservé à Sèvres

4.2 Unité de masse (kilogramme)Le prototype international du kilogramme, en platine iridié,est conservé au Bureau international dans les conditionsfixées par la 1re CGPM en 1889 lorsqu’elle sanctionna ceprototype et déclara :

Ce prototype sera considéré désormais comme unité de masse.

Ce prototype a succédé en 1889 au décimètre cube d'eaupure, trop difficile à réaliser avec précision.

Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international dukilogramme.

La 3e CGPM (1901), dans une déclaration tendant à faire cesser l’ambiguïté qui existait dansl’usage courant sur la signification du terme « poids », confirma que :

Le kilogramme est actuellement défini comme la masse d’un cylindre en platine iridié de 39

mm de diamètre et 39 mm de haut.

Jugée parfois imprécis, cet étalon pourrait être redéfini par une sphère de silicium moinssujette aux dégradations causées par le temps. Cette sphère pourrait aussi donner lieu à unenouvelle définition de cette unité de mesure qui serait alors liée au nombre d'atome desilicium.

4.3 Unité de temps (seconde)La seconde, unité de temps, fut définie à l’origine comme la fraction 1/86 400 du jour solairemoyen. La définition exacte du « jour solaire moyen » était laissée aux astronomes.Toutefois, leurs travaux ont montré que le jour solaire moyen ne présentait pas les garantiesvoulues d’exactitude par suite des irrégularités de la rotation de la Terre.

Pour donner plus de précision à la définition de l’unité de temps, la 11e CGPM (1960)sanctionna une définition, donnée par l’Union astronomique internationale, qui était fondéesur l’année tropique (l'intervalle de temps dans lequel la longitude moyenne du Soleil sur sonorbite apparente, qu'est l'écliptique, croît de 360°).

Cependant, les recherches expérimentales avaient déjà montré qu’un étalon atomiqued’intervalle de temps, fondé sur une transition entre deux niveaux d’énergie d’un atome oud’une molécule, pouvait être réalisé et reproduit avec une exactitude beaucoup plus élevée.

Considérant qu’une définition de haute précision de l’unité de temps du Systèmeinternational était indispensable, la 13e CGPM (1967-1968) a remplacé la définition de laseconde par la suivante :

Lors de sa session de 1997, le Comité international a confirmé que cette définition se réfèreà un atome de césium au repos, à une température de 0K.

La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à latransition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium133.

4.4 Unité de courant électrique (ampère)Des unités électriques, dites « internationales », pour le courant et pour la résistance, avaientété introduites par le Congrès international d’électricité, tenu à Chicago en 1893, et lesdéfinitions de l’ampère « international » et de l’ohm « international » furent confirmées parla Conférence internationale de Londres en 1908.

Bien qu’une opinion unanime de remplacer ces unités « internationales » par des unités dites« absolues » fût déjà évidente à l’occasion de la 8e CGPM (1933), la décision formelle desupprimer ces unités « internationales » ne fut prise que par la 9e CGPM (1948) qui adoptapour l’ampère, unité de courant électrique, la définition suivante proposée par le Comitéinternational :

L’ampère est l’intensité d’un courant constantqui, maintenu dans deux conducteursparallèles, rectilignes, de longueur infinie, desection circulaire négligeable et placés à unedistance de 1 mètre l’un de l’autre dans levide, produirait entre ces conducteurs uneforce égale à 2 x 10–7 newton par mètre delongueur.

L’expression « unité MKS de force » qui figure dans le texte original de 1946 a été remplacée ici par « newton », nom adopté pour cette unité par la 9e CGPM.

Cette définition a pour effet de fixer la perméabilité du vide à 4π 10-7 H · m-1 exactement.

4.5 Unité de température thermodynamique (kelvin)La définition de l’unité de température thermodynamique fut en fait donnée par la 10e CGPM(1954) qui choisit le point triple de l’eau comme point fixe fondamental en lui attribuant latempérature de 273,16 K par définition.

La 13e CGPM (1967-1968) adopta le nom kelvin (symbole K) au lieu de « degré Kelvin »(symbole °K) et définit l’unité de température thermodynamique comme suit :

Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de latempérature thermodynamique du point triple de l’eau.

Le point triple est, en thermodynamique, un point du diagramme de phase qui correspond àla coexistence de trois états (liquide, solide et gazeux) d'un corps pur. Il est unique et s'observeseulement à une température et une pression données.

Exemple : le point triple de l'eau est à : T = 273,16 K (soit 0,01 °C) et P = 611 Pa (soit 0,006atm).

Diagramme de phase de l'eau :

En raison de la manière dont les échelles de température étaient habituellement définies, ilresta d’usage courant d’exprimer une température thermodynamique, symbole T, en fonctionde sa différence par rapport à la température de référence T0 = 273,15 K, le point decongélation de l’eau. Cette différence de température est appelée température Celsius,symbole t, et elle est définie par l’équation :

t = T - T0.

L’unité de température Celsius est le degré Celsius, symbole °C, égal à l’unité kelvin pardéfinition. Un intervalle ou une différence de température peut s’exprimer aussi bien enkelvins qu’en degrés Celsius.

La valeur numérique d’une température Celsius t exprimée en degrés Celsius est donnée par larelation :

T(°C) = T(K) - 273,15.

4.6 Unité de quantité de matière (mole)Après la découverte des lois fondamentales de la chimie, on a utilisé, pour spécifier lesquantités des divers éléments ou composés chimiques, des unités portant par exemple lesnoms de « atome-gramme » et « molécule-gramme ». Ces unités étaient liées directement aux« poids atomiques » et aux « poids moléculaires » qui étaient en réalité des masses atomiqueset moléculaires relatives.

Les « poids atomiques » furent d’abord rapportés à celui de l’élément chimique oxygène, prispar convention égal à 16.

Mais, tandis que les physiciens séparaient les isotopes au spectromètre de masse etattribuaient la valeur 16 à l’un des isotopes de l’oxygène, les chimistes attribuaient la mêmevaleur au mélange (de composition légèrement variable) des isotopes 16, 17 et 18 quiconstitue l’élément oxygène naturel. Un accord entre l’Union internationale de physique pureet appliquée (UIPPA) et l’Union internationale de chimie pure et appliquée (UICPA) mit fin àcette dualité en 1959-1960.

Depuis lors, physiciens et chimistes sont convenus d’attribuer la valeur 12, exactement, au «poids atomique », ou selon une formulation plus correcte à la masse atomique relative, del’isotope 12 du carbone (carbone 12, 12C). L’échelle unifiée ainsi obtenue donne les valeurs desmasses atomiques relatives.

Il restait à définir l’unité de quantité de matière en fixant la masse correspondante de carbone12 ; par un accord international, cette masse a été fixée à 0,012 kg et l’unité de la grandeur« quantité de matière » a reçu le nom de mole (symbole mol).

Suivant les propositions de l’UIPPA, de l’UICPA et de l’ISO, le Comité international donna en1967 et confirma en 1969 une définition de la mole qui fut finalement adoptée par la 14eCGPM (1971) :

En 1980, le Comité international a approuvé le rapport du CCU (1980) qui précisait que danscette définition, il est entendu que l’on se réfère à des atomes de carbone 12 non liés, aurepos et dans leur état fondamental.

1.La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentairesqu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12 ; son symbole est « mol ».

2. Lorsqu’on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuventêtre des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d’autres particules ou desgroupements spécifiés de telles particules.

4.7 Unité d’intensité lumineuse (candela)Les unités d’intensité lumineuse fondées sur des étalons à flamme ou à filamentincandescent, qui étaient en usage dans différents pays avant 1948, furent d’abordremplacées par la « bougie nouvelle » fondée sur la luminance du radiateur de Planck (corpsnoir) à la température de congélation du platine.

Cette modification avait été préparée dès avant 1937 par la Commission internationale del’éclairage (CIE) et par le Comité international ; la décision fut prise par le Comitéinternational en 1946. Elle fut ratifiée en 1948 par la 9e CGPM qui adopta pour cette unitéun nouveau nom international, la candela (symbole cd) ; en 1967, la 13e CGPM donna uneforme amendée à la définition de 1946.

En 1979, en raison des difficultés expérimentales de la réalisation du radiateur de Planckaux températures élevées et des possibilités nouvelles offertes par la radiométrie, c’est-à-dire la mesure de la puissance des rayonnements optiques, la 16e CGPM (1979) adopta unenouvelle définition de la candela :

La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émetun rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 hertz et dont l’intensitéénergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian.

Tableau récapitulatif des étalons fondamentaux.

4.8 Unités de base et Symboles des unités de baseLes unités de base du Système international sont rassemblées dans le tableau ci-dessousavec leur nom et leur symbole ; elles sont mises en vis-à-vis de la grandeur physiquequ’elles servent à mesurer, et de leur dimension :

5 Unités SI dérivéesLes unités dérivées sont des unités qui peuvent être exprimées à partir des unités de base aumoyen des symboles mathématiques de multiplication et de division.

Certaines unités dérivées ont reçu des noms spéciaux et des symboles particuliers quipeuvent eux-mêmes être utilisés avec les symboles d’autres unités de base ou dérivées pourexprimer les unités d’autres grandeurs.

5.1 Unités exprimées à partir des unités de base

Le tableau ci-dessous donne quelques exemples d’unités dérivées exprimées directement àpartir des unités de base. Les unités dérivées sont obtenues par multiplication et division desunités de base.

5.2 Unités ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers ; unités utilisant des unitésayant des noms spéciaux et des symboles particuliers

Par souci de commodité, certaines unités dérivées, qui sont mentionnées au tableau 3, ontreçu un nom spécial et un symbole particulier.

Ces noms et symboles peuvent eux-mêmes être utilisés pour exprimer d’autres unitésdérivées : quelques exemples figurent au tableau 4.

Les noms spéciaux et les symboles particuliers permettent d’exprimer, sous une formecondensée, des unités fréquemment utilisées.

Exercices de réduction d’unités aux unités de base

Solution :

Principales unités

Unités calorifiques

Unités mécaniques

Unités géométriques

Unités électriques

Unités optiques

Unités de masse

Unités de quantité de matière

Unités de rayonnement

Unités de temps

Autres unités

Unités du domaine du son

Unités d’imprimerie et de papeterie

Unités de la finance

Unités informatiques

Unités météorologiques

Unités des séismes

Unités en astronomie

Unités du domaine vestimentaire

Unités du domaine de la santé

Unités du domaine automobile

Unités en photographie

Unités du domaine alimentaire

À télécharger sur :

http://www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites/

Elle vaut donc :

3 600 (s). 1000 (W) = 3 600 000 J = 3,6 mégajoules (MJ).

C'est, par exemple, l'énergie électrique consommée par dix ampoules de100 W allumées pendant une heure.

Elle est surtout utilisée pour mesurer l'énergie électrique, aussi bienl'énergie générée (générateur électrique...) que consommée (plaque decuisson...).

5.3 Quelques unités particulières pour la notion d’énergie

Le Kilowattheure(kWh) est une unité de quantité d'énergie. Kilo-Watt-heure (kWh) signifie« 1000 watts pendant une heure ».

Cette unité de mesure d'énergie correspond à l'énergie consommée par un appareil d’unepuissance de 1 000 watts (1 kW) pendant une durée d'une heure.

Un appareil électrique consommant une puissance d'un watt (1 W) (la mise en veille d'untéléviseur par exemple) utilise 8,77 kWh durant un an.

Le kWh est aussi utilisé pour d'autres formes d'énergie que l'électricité. Par exemple, unlitre de mazout représente 10 kWh, un kilo de bois: 4 kWh.

On utilise aussi d'autres préfixes, par exemple :

1 watt-heure (Wh) = 3 600 J1 kilowatt-heure (kWh) = 1 000 Wh = 3,6 MJ1 mégawatt-heure (MWh) = 1 000 kWh = 1 000 000 Wh1 gigawatt-heure (GWh) = 1 000 MWh = 1 000 000 kWh = 1 000 000 000 Wh1 térawatt-heure (TWh) = 1 000 GWh = 1 000 000 MWh = 1 000 000 000 kWh = 1 000 000 000 000 Wh

La calorie (symbole cal) (du latin calor, « chaleur ») est une unité d'énergie calorifique,définie (calorie à 15 °C) comme la quantité de chaleur (ou l'énergie calorifique) nécessairepour élever la température d'un gramme d'eau de 14,5 °C à 15,5 °C sous la pressionatmosphérique normale (1 atm ou 101,325 kPa).

La calorie n'a jamais fait partie du SI. Depuis le 1er janvier 1978, le SI prévoit pour sonremplacement le joule (symbole J). La calorie reste employée en diététique mais estlargement abandonnée dans les autres domaines, à l'exception peut-être de la chimie.

Il existe aussi une « grande calorie » (symbole Cal), notamment employée par lesnutritionnistes, égale à la kilocalorie (symbole kcal), soit 1 000 calories ou 4 186 joules. Il y adonc une certaine ambiguïté entre les calories annoncées (qui sont en fait des kcal)et lescalories lues sur les emballages alimentaires.

Une calorie équivaut à 4,1855 Joule.

1 cal (15 °C) = 4,1855 J1 Cal = 1000 cal = 1kcal1 cal (thermochimique) = 4,184 J1 kcal = 1,16 Wh1 Wh = 0,860 kcal

Remarque : diététique et calories autorisées

En cas de travail de faible intensité, l'apport calorique se monte à un maximum de 2000 kcalpar jour chez la femme et de 2300 kcal par jour chez l'homme.

Pour les personnes effectuant des travaux lourds, la limite journalière se situe à 3100 kcalchez la femme et 3500 kcal chez l'homme.

Si l'on veut perdre du poids, l'apport calorique journalier devrait être inférieur de 500 à 1000kcal au besoin journalier normal.

6 Ordres de grandeurs en physiqueL’ordre de grandeur d’un résultat numérique, exprimant une mesure, dans une certaineunité, est la puissance de 10 la plus proche de ce résultat.

Deux résultats (exprimés dans la même unité) seront du même ordre de grandeur si lequotient de la plus grande valeur par la plus petite est compris entre 1 et 10.

Exemple : les ordres de grandeur de longueursDu noyau atomique aux galaxies les plus lointaines, les longueurs s’échelonnent sur 41 ordresde grandeur, de 10-15 m à 1026 m.

7 Multiples et sous-multiples décimaux des unités SI : préfixes SILa 11e CGPM (1960) a adopté une série de préfixes et symboles de préfixes pour former lesnoms et symboles des multiples et sous-multiples décimaux des unités SI de 1012 à 10-12.

Les préfixes pour 10-15 et 10-18 furent ajoutés par la 12e CGPM (1964), ceux pour 1015 et 1018

par la 15e CGPM (1975) et ceux pour 1021, 1024, 10-21 et 10-24 par la 19e CGPM (1991).

Les préfixes et symboles de préfixes qui ont été adoptés figurent au tableau 5.

Quelques exemples en électricité

Solution :

Exercices

L’utilisation rationnelle des préfixes permet d’exprimer plus simplement le résultat d’unemesure, en utilisant le préfixe adapté à son ordre de grandeur.Quelques exemples (source wikipedia :http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9gorie:Ordre_de_grandeur ):

Echelle de puissances :Picowatt (10-12 watt)

�1 pW : consommation de la puissance moyenne d'une cellule humaine.�2,5 pW : intensité sonore (par cm2) pour le seuil de l'audition humaine à 1 000 Hz, soit 1 phone ou 0 dB.�150 pW : puissance entrant dans un œil humain d'une lampe de 100 watt à 1 km.

Microwatt (10-6 watt)�1 µW - Tech : consommation approximative d'une montre bracelet à quartz.

Watt�60 W : la puissance typique d'une ampoule à incandescence de type plafonnier.

Kilowatt (103 watt)�1 kW à 2 kW : puissance d'une bouilloire électrique domestique

Mégawatt (106 watt)�3 MW puissance de sortie mécanique d'une locomotive diesel.

Gigawatt (109 watt)�2,1 GW : la puissance générée par le barrage d'Assouan. �3 GW : la puissance thermique générée approximative du plus grand réacteur nucléaire du monde.

Térawatt (1012 watt)3,327 TW : la puissance totale consommée (gaz, électricité, etc.) des USA en 2001.

D’autres exemples, pas très utilisés pour certains, extraits de l’échelle des masses :

Pétawatt (1015 watt)�1,25 PW: les pulsations laser les plus puissantes du monde �174,0 PW : la puissance totale reçue par la Terre du Soleil.

Mais la liste des préfixes ne suffit pas toujours…

Toutes les mesures ne peuvent pas être rattachées directement aux étalons fondamentaux.

On utilise un grand nombre d'étalons intermédiaires pour transmettre, par étapessuccessives, la valeur des unités depuis les étalons fondamentaux jusqu'aux utilisateurs.

Les qualités de ces étalons auxiliaires varient suivant la précision cherchée. Les meilleurssont souvent à peine moins précis que l'étalon fondamental lui-même. Certains sontsimplement des répliques de l'étalon : c'est le cas des prototypes nationaux et des témoinsdu kilogramme ; d'autres, déclassés par le choix d'un nouvel étalon (anciens prototypes dumètre en platine iridié, points de fusion et d'ébullition de l'eau, mole d'hydrogène),continuent une carrière fort honorable. Les « prétendants » au titre d'étalon fondamentalqui ont fait ou font l'objet d'études très poussées (radiations du krypton, du mercure, ducadmium, horloges à hydrogène, quelques radiations moléculaires observables enabsorption) fournissent aussi des étalons auxiliaires de choix.

8 Etalons auxiliaires

L'accélération due à la pesanteur, la masse volumique de l'eau et celle du mercure sontuniversellement employées pour rattacher aux unités fondamentales les mesures desgrandeurs dérivées qui font intervenir une force, un volume ou une pression ; de même,diverses températures de changements d'état (points fixes), pour la thermométrie, et lespiles et résistances « étalons » en électricité, servent couramment aux étalonnages les plusprécis.

Des constantes physiques comme la charge élémentaire ou la masse de l'électron, la masseou le coefficient gyromagnétique du proton, la constante de Planck, la constanted'Avogadro, etc., qui interviennent directement dans de nombreuses relations entregrandeurs physiques, servent souvent pour exprimer des mesures relatives dans desdomaines où les ordres de grandeur défient l'imagination (cf. tableau des constantesphysiques fondamentales).

Il serait séduisant, du point de vue esthétique, d'utiliser de telles constantes, universellespar nature, comme étalons fondamentaux. Aucune d'entre elles n'est connue actuellementavec une précision suffisante pour jouer ce rôle : cette précision correspond exactement àcelle avec laquelle on saurait leur rattacher les mesures pratiques.

En science, une constante physique est une quantité physique dont la valeur numériqueest fixe.

Contrairement à une constante mathématique, elle implique directement une grandeurphysiquement mesurable.

Les valeurs listées ci-dessous sont des valeurs dont on a remarqué qu'elles semblaientconstantes et indépendantes de tous paramètres utilisés, et que la théorie suppose doncréellement constantes.

Les constantes sans dimension, comme la constante de structure fine, ne dépendent pasdu système de poids et mesures utilisé. Les autres auraient évidemment des valeursdifférentes dans des systèmes différents.

Des systèmes ont été proposés sur la base d'une fixation à 1 du plus grand nombre deconstantes possible, mais n'ont pas connu grand succès dans le grand public pour lemoment, mais les physiciens les utilisent.

9 Constantes physiques

Constantes universelles

Constantes électromagnétiques

Constantes astronomiques

Constantes physico-chimiques

Constantes atomiques et nucléaires

L'analyse dimensionnelle est un outil théorique servant à interpréter les problèmes à partirdes dimensions des grandeurs physiques mises en jeu.

Cet outil est utilisé particulièrement en physique, en chimie et en ingénierie.

L'analyse dimensionnelle permet notamment de vérifier a priori la viabilité d'une équationou du résultat d'un calcul. Elle est utile également pour formuler des hypothèses simples surles grandeurs qui gouvernent l'état d'un système physique avant qu'une théorie pluscomplète ne vienne valider ces hypothèses.

L'analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que desgrandeurs ayant la même dimension : il est possible de comparer deux longueurs entreelles, mais pas une longueur et une masse entre elles par exemple.

10 Analyse dimensionnelle

L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer la dimension danslaquelle doit être exprimé le résultat d'une formule.

C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènesmesurés par un symbole ; par exemple, une longueur est représentée par la lettre « L ».

Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple,la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple lepoids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)... sont des grandeurs.

D'une manière générale il est possible d'exprimer la dimension de toutes les grandeursphysiques en fonction de sept dimensions de base :

� longueur L� masse M� temps, ou durée T� intensité électrique I� température Θ� quantité de matière N� intensité lumineuse J

Ainsi, la dimension d'une grandeur est la manière dont elle se compose à partir des septdimensions de base.

Par exemple, on dit que « la dimension d'une vitesse est une longueur divisée par unedurée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). Onnote ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une massemultipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomènesur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle« dimensions » dans l'expression « équation aux dimensions ».

Utilisation de l’analyse dimensionnelle :

�Vérification de l'homogénéité d'une formule

Lors de l'établissement d'une expression, l'analyse dimensionnelle permet de vérifier sonhomogénéité et de la corriger le cas échéant, sachant qu'une expression non homogène nepeut être que fausse.

Exemple : problème de la chute libreÀ la suite de différents calculs, une relation a été trouvée entre la vitesse v d'un objet en chute libre, l'accélération de la pesanteur g, et la hauteur de chute h :

v2 = 2 g.h .

Cette formule est-elle homogène ?Utilisons les équations aux dimensions :

[v2] = [v]2 = (L T-1)2 = L2 T-2

[2 g.h] = [g] [h] et g est l’intensité de la pesanteur, homogène à une accélération donc :

[2 g.h] = L T-2 L = L2 T-2

La formule v²=2 g.h est donc bien homogène.

Exercice : vérification de l'homogénéité de l'expression de la période d'un pendule simplede longueur l :

2l

Tg

π=

�Recherche de la forme d'une expression A = f(B, C)

On suppose qu'une grandeur A peut s'exprimer en fonction de deux autres grandeurs B etC : A = f(B, C). Pour déterminer la forme de f, on exprime B et C en fonction des grandeursfondamentales, puis on recherche les coefficients a et b , tels que BaCb et A aient la mêmedimension.

Exemple : oscillateur horizontal

Soit un pendule élastique constitué d'un palet glissant sansfrottements sur un banc à coussin d'air, attaché à l'une desextrémités d'un ressort, l'autre étant fixe. Le système estun oscillateur.

On souhaite découvrir à l'aide de l'analyse dimensionnellel'expression de la période T des oscillations (à uneconstante numérique près, l'analyse dimensionnelle nepermettant pas de prendre en compte les nombres sansdimension).

Rappel : un ressort attaché à une masse et étiré ou comprimé d’une distance x par rapportà sa longueur d’équilibre l0 exerce sur la masse une force F=k.x, où k est appelée raideur duressort (loi de Hooke).

Etape 1 : Liste des paramètres dont peut éventuellement dépendre T

�la masse du palet : m�la raideur du ressort : k�l'amplitude des oscillations : Xo

Etape 2 : Recherche des dimensions des différents paramètres

�[m] = M�[k] = [F/x] = M L T-2 L-1 = M T-2

�[Xo] = L�[T] = T

Etape 3 : Mise en équation du problème

On essaie pour l'expression de la période une expression telle que :T = Cste . ma. kb. Xog

d'où : [T] = T = [m]a [k]b [Xo]g = Ma Mb T-2b Lg = Ma+b T-2b Lg

Après identification :a + b = 0 ; -2b = 1 ; g = 0

soit : b = -1/2 ; a = 1/2 ; g = 0d'où l'expression de la période T : T = Cste. m1/2. k -1/2 = Cste (m/k)1/2

Un calcul précis, mené dans le cadre des lois de la dynamique donne en effet :2

mT

kπ=

La légende voudrait que l'analyse dimensionnelle aie permis à Geoffrey Ingram Taylord'estimer en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cetteinformation était classée top secret. Il lui a suffi pour cela d'observer sur un film d'explosion,imprudemment rendu public par les militaires américains, que la dilatation du champignonatomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité.

Le physicien Taylor suppose a priori que le processus d'expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des paramètres suivants :

�le temps t ;�l'énergie E dégagée par l'explosion ;�la masse volumique de l'air ρ.

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon r de la sphère de gaz à l'instant t à :

où k est une constante sans dimensions.

Taylor retrouve donc bien la loi expérimentale de dilatation du champignon :

ce qui semble valider son choix de paramètres.

Il détermine alors r et t à partir du film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et ρ étantconnue, il obtient finalement :

En réalité, G. I. Taylor n'a pas utilisé ce raisonnement simpliste. Dans sa première publication,longue de 15 pages, G. I. Taylor utilise l'analyse dimensionnelle pour simplifier les équationsdifférentielles qui décrivent l'écoulement.

Après de long et difficiles calculs, il obtient finalement la formule très simple suivante :

où intervient la grandeur numérique k(γ) qui dépend de la constante γ qui vaut 1,4 àtempérature ambiante, mais qui diminue à haute température. Taylor s'étonne ainsi dans sonsecond article du très bon accord entre la formule et les valeurs mesurées sur les photos etprécise qu'il s'attendait à un moins bon accord. Ce n'est donc qu'a posteriori, grâce aux lourdscalculs de Taylor et à la constatation expérimentale que la température n'intervient pas, quel'on peut retrouver très élégamment l'expression du rayon du champignon nucléaire enfonction du temps et de l'énergie de la bombe.

Exercice : période d’un pendule

Soit un pendule simple constitué d’une masse � accrochée à l’extrémité mobile d’un fil delongueur �. On travaille dans le référentiel terrestre où le champ de pesanteur est � .

1) Montrer, par une analyse dimensionnelle, que la période des petites oscillations de cependule s’écrit :

où � est une constante sans dimension.

2) Quel remarque concernant � mérite d’être notée ?

Exercice : vitesse des vagues

lT K

g=

En admettant que la vitesse des vagues ne dépend quede leur longueur d’onde l, de l’accélération de lapesanteur g et de la masse volumique de l’eau ρ, établirla formule donnant cette vitesse à un facteur constantprès. Que peut-on remarquer ?

Exercice : corde vibrante

Même question pour la fréquence d’une corde tendue. Cette fréquence f dépend de lalongueur l, de la force F appliquée aux extrémités, de la masse µ par unité de longueur, et dunombre sans dimension n (= harmonique).

Exercice : vibration d’une goutte d’eau

La fréquence de vibration d’une goutte d’eau va dépendre de plusieurs paramètres. Onsupposera que la tension superficielle est le facteur prédominant dans la cohésion de lagoutte (on nomme tension superficielle le facteur de proportionnalité A qui relie le travaildépensé à l'accroissement de la surface) ; par conséquent, les facteurs intervenant dansl’expression de la fréquence de vibration � seront :

- �, le rayon de la goutte ;- �, la masse volumique, pour tenir compte de l’inertie ;- , la constante intervenant dans l’expression de la force due à la tension superficielle (ladimension de est celle d’une force par unité de longueur).

On écrira donc :

où 1 est ici une constante sans dimension ; �, � et sont les exposants de �, � et .

→ En déduire les valeurs de �, � et et montrez que :

1

a b cf k R Aρ=

Exercice : déterminez la dimension des deux paramètres a et b qui apparaissent dansl’expression suivante caractérisant la force de frottement visqueux :

F = a m v + b v²

Exercice : déterminez les dimensions dans le SI de la constante de gravitation G sachant qu'elle est déterminée par l‘équation :

(où F est la force de gravitation, m1, m2 sont les deux masses qui subissent cette attraction, et r est la distance qui sépare ces deux masses).

Exercice : déterminez une loi, compatible avec les dimensions, et qui détermine l’accélérationde la pesanteur g en fonction des paramètres gravitationnels de la Terre, à savoir sa masse M,son rayon R, et la constante de gravitation G.

Exercice : montrez que la masse d'une planète (M), son rayon (R) et sa masse par unité devolume (ρ) ne sont pas indépendants dimensionnellement, c'est-a-dire que l'on peut les lierdimensionnellement par une relation.

Exercice : dans l’exercice précédent, donnez la relation qui lie M, R et ρ si la planète estconsidérée comme une sphère homogène.

Exercice : montrez qu'il est impossible avec une masse M, un temps T et une longueur R deconstruire un nombre sans dimension .

Exercice : si on ajoute dans l’exercice précédent la constante gravitationnelle G (G = 6,6725910-11 m3kg-1s-2), trouver une combinaison entre G, T, M, R qui n'a pas de dimension (il y aune infinité de relations, trouver la plus simple algébriquement).

Exercice : simplifiez la relation obtenue dans l’exercice précédent en utilisant la massespécifique ρ.

Exercice : les planètes tournent autour du Soleil en un temps T (appelé période derévolution). Ce temps est lié à la distance R de la planète au Soleil, à la masse M du Soleil, età la constante de gravitation G. Comment ?

Exercice : une pression P est dimensionnellement le rapport entre une force F et unesurface S: P = F/S. Quelles sont les dimensions de P dans le SI ?

Exercice : montrez qu'une pression P est une énergie E par unité de volume V.

Exercice : construisez une pression P « gravitationnelle » qui ne contient que la masse M, le rayon R, et la constante G.

Exercice : une énergie E est dimensionnellement le produit d'une force F et d'undéplacement L. Quelles sont les dimensions de l‘énergie E dans le SI ?

Exercice : calculez la dimension de la permittivité électrique du vide ε0 et de la perméabilitémagnétique du vide µ0 en sachant que ces deux constantes apparaissent dans les équationssuivantes (où F est une force, Q une charge électrique qui a les dimension [Q] = A .s, L et rdes distances, I un courant ):

Exercice : déterminez les dimensions dans le SI d'une résistance électrique R via l‘équationdite de Joule qui lie la puissance dissipée P a l'intensité de courant I et a la résistance R :

une puissance étant par définition une énergie par unité de temps.

Exercice : connaissant les dimensions de la permittivité électrique du vide ε0 et de laperméabilité magnétique du vide µ0 , construisez :

�une vitesse c�une résistance électrique r.

Sachant que ε0 = 8,85419 10-12 et que µ0 = 4π 10-7 dans le SI, déterminez numériquementces deux valeurs c et r. L’une de ces valeurs vous rappelle-t-elle quelque chose ?

2.P R I=

Annexe 1 : étymologie des noms d’unités�Commençons par les unités de base du Système International.

Le mètre tire son nom du grec metron signifiant mesure qui a donné le suffixe mètre qu'ontrouve dans la plupart des noms d'instruments de mesure.

L’étymologie du gramme est plus complexe. Sous l'Empire romain, le scrupulum était le poidségal a un vingt-quatrième d'once. Son altération en scripulum amena à tort les Grecs à lecroire dérivé de scribere (écrire) et à le rendre par gramma (signe écrit) qui a donné notregramme et que l'on retrouve en suffixe dans les mots tels que télégramme, programme,diagramme, etc.

Quant à la seconde, brève par définition, elle vient de la francisation écourtée du latinminutum secundum, qu'on devrait traduire proprement par « menue partie (étymologie de laminute) résultant de la seconde division de l'heure ».

Pour l’ampère et le kelvin, il ne faut pas chercher bien loin, ce sont les noms des physiciensfrançais André-Marie Ampère et anglais William Thomson, dit Lord Kelvin.

La mole, abréviation apparue dans la langue anglaise pour désigner la molécule-gramme,vient comme celle-ci du latin molecula.

Quant à la candela, son étymologie est, comme il se doit, lumineuse puisqu'elle est passéedirectement du latin (chandelle) au français.

�La liste des autres unités SI constitue une longue litanie de noms de savants transformés ennoms communs : hertz, newton, pascal, joule, watt, coulomb, ohm, siemens, weber, tesla,henry, becquerel, gray et sievert ; enfin Volta et Faraday qui, par suite d'une apocope, ontdonné naissance au volt et au farad.

�Tout comme la candela déjà citée, le lux et le lumen proviennent directement du latin où ilssignifient tous les deux « lumière » ; seul leur genre a changé : respectivement féminin etneutre en latin, ils sont devenus masculins en entrant dans le SI.

�Enfin, le radian vient du latin radius (rayon) tout comme l‘hybride stéradian dont lapremière syllabe est issue du grec stereos (solide).

�Comme la seconde, la minute est une « menue division » du temps ; elle se rattache donc àl'adjectif latin minutus (menu) par l'intermédiaire du latin médiéval minuta. L'étymologied'heure, du latin hora transformé d'abord en ore et eure, ne pose guère de difficulté. Tel n'estpas le cas, en revanche, pour le jour qui se rattache au latin classique dies par le latinpopulaire diurnus et par l'ancien français jorn.

�Le bar (unité de pression) a une étymologie simple puisqu'il dérive du grec baros (poids,pesanteur) qu'on retrouve dans le baryum, métal ainsi nommé à cause de son poids élevé etdans le baryton, chanteur qui émet un son grave.

�Le degré, qu'il soit Celsius ou d'angle, se rattache à l'ancien français gré qui avait lui aussi lesens propre de marche d'escalier tout comme son doublet gras. Gré est lui-même tiré du latingradus, tout comme le grade.

Abordons aussi l'étymologie des préfixes de multiples et sous-multiples, complémentsindispensables des noms d'unités.

La logique de départ était simple : des préfixes grecs pour les multiples et des préfixes latinspour les sous-multiples. C'est ainsi qu'à déci, centi et milli, tirés de decimus (dixième),centesimus (centième) et millesimus (millième) font pendant déca, hecto et kilo, construitssur deka (dix), hekaton (cent), et khilioi (mille).

Les choses se sont gâtées lorsqu'on a voulu gagner quelques ordres de grandeur puisque,pour traduire le millionième, on a choisi le mot grec micros (petit), transformé en micro,plutôt qu'un mot latin. Rien à dire, en revanche, sur méga formé sur le grec megas (grand).

Quand, en 1960, on a voulu exprimer les puissances neuvième et douzième de 10, on a réussià trouver d'autres racines grecques : le géant gigas a donné giga et le monstre teras a donnétéra. Conformément à la logique initiale, pour traduire le milliardième, on a fait appel au motlatin signifiant le nain, nanus, d'où nano. Mais on a fait une nouvelle entorse à la règle avecpico, dérivé de l'italien piccolo (petit).

Le dernier coup porté au latin dans la dénomination des sous-multiples est intervenu en 1964avec l'apparition de femto (10-15) et atto (10-18) tirés des mots danois femten (quinze) et atten(dix-huit).

Pour les derniers baptêmes de multiples, on a bien respecté la tradition consistant à user deracines grecques, mais dans des conditions telles que Thalès et Pythagore ont dû seretourner dans leur tombe !

Remarquant a posteriori que téra (1012, c'est-à dire 10 4x3 était à une consonne prèsidentique à tétra, préfixe tiré du grec tetras (quatre), on s'est dit que la méthode pourraitêtre généralisée. Ainsi, pour 1015 c'est-à-dire 10 5x3 , on a retiré de penta (de pente : cinq) laconsonne n, d'où le disgracieux péta ; et pour 1018, c'est-à-dire 106x3, on a privé de son hinitial le préfixe hexa (de hex : six) d'où exa.

Les quatre derniers préfixes en date furent adoptés en 1991. Zepto provient du latin septemet du français « sept », car égal à 1/10007. De la même manière, Yocto provient du grec όϰτώ,huit, car égal à 1/10008.

Yotta provient du grec ancien ὀκτώ, októ, « huit », car égal à 10008 et zetta provient dufrançais sept, car égal à 10007.

Annexe 2 : typographie des unités