Échantillonnage-Estimation

1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .

•

1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .

• On prend alors un échantillon de la population.

•

1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .

• On prend alors un échantillon de la population.

• Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle.

2)définitions

 

• L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons

 

• Le problème contraire c’est l’estimation

 

• Le problème contraire c’est l’estimation

• Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise

3)Échantillonnage 

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes

• Soit une population de moyenne m et d’écart type σ

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes

• Soit une population de moyenne m et d’écart type σ

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

•

X

a)Distribution d’échantillonnage des moyennes • Soit une population de moyenne m et d’écart type σ

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

X

X

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

• Pour n assez grand, suit une loi Normale

X

)/ , ( nm

X

X

b)Distribution d’échantillonnage des proportions:

• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions:

• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.

• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions:• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.

• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

b)Distribution d’échantillonnage des proportions:• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

• Pour n assez grand, F suit une loi Normale

))1( , ( n

ppp

4)Estimation

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )

•  

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )

• c’est moyenne de l’échantillon

•  

x

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )

•  •

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )

• c’est f la proportion dans l’échantillon 

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )

a)Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )

• c’est s = avec n la taille de l’échantillon

1 nn

néchantillo

b)Estimation par intervalle de confiance• principe

b)Estimation par intervalle de confiance• principe• On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% )

cas d’une moyenne

• dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu  

cas d’une moyenne

• dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu

• dans l’échantillon de taille n, la moyenne est:  

x

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

X

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

X

X

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

• suit une loi NormaleX )/ , ( nm

X

X

• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.

• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.

• suit une loi Normale• Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à

X )/ , ( nm

X

X

X

• Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que :

• P(-t<T<t)=α

• Π(t) – Π(-t) = α• Π(t) – [(1- Π(t)] = α• 2 [Π(t)] – 1 = α• Π(t) = (1+α )/2 d’où t  

• Π(t) – Π(-t) = α• Π(t) – [(1- Π(t)] = α• 2 [Π(t)] – 1 = α• Π(t) = (1+α )/2 d’où t

•  • Si α =0,95 alors t = 1,96

• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

x

• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α

] / / t , [ nn xtx

x

cas d’une proportion

• dans la population : la proportion p est inconnue

cas d’une proportion

• dans la population : la proportion p est inconnue

• dans l’échantillon de taille n, la proportion est f

cas d’une proportion

• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.

• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.

• F suit une loi Normale .

• Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à F

))1( , ( n

ppp

• Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que :

• P(-t<T<t)=α

• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α

] 1)1( 1

)1( f , f [

n

ffnff

tt

FIN