Les triangles isométriques

=~

Tout polygone est décomposable en un certain nombre de triangles.

Cette caractéristique donne aux triangles une importance particulière.

En étudiant le triangle, on étudie en quelque sorte tous les polygones.

Les triangles isométriques retiennent d’abord notre attention.

Les figures isométriques en général, donc les triangles isométriques, possèdent les propriétés suivantes :

- mêmes mesures d’angles homologues;

- mêmes mesures de côtés homologues;

- mêmes périmètres et mêmes aires;

- le rapport des lignes homologues est égal à 1.

Elles sont donc parfaitement superposables.

Prouver que des triangles sont isométriques nous permettra de démontrer de nouvelles situations géométriques.

Des triangles sont isométriques s’ils respectent certaines conditions.

Ces conditions sont :

CCC : 3 paires de côtés homologues isométriques;

CAC : une paire d’angles homologues isométriques compris entre deux paires de côtés homologues isométriques;

ACA : une paire de côtés homologues isométriques compris entre deux paires d’angles homologues isométriques;

Examinons ce que cela veut dire !

Propriété CCC : 3 paires de côtés homologues isométriques.

Construisons deux triangles ayant les mêmes mesures de côtés.

3 cm

4 cm

5 cm

3 cm

4 cm5 cm

Si deux triangles ont trois paires de côtés homologues isométriques, ils sont nécessairement isométriques (CCC).

Lorsque deux triangles ont trois paires de côtés homologues congrus, il est impossible de construire deux triangles différents.

CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues isométriques.

500500

8 cm

5 cm

8 cm

5 cm

Propriété CAC : 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues isométriques.

Si deux triangles ont une paire d’angles homologues isométriques compris deux paires de côtés homologues isométriques, ils sontnécessairement isométriques (CAC).

CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues isométriques et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.

Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues congrus.

La seule manière de compléter ces triangles est comme suit.

entre

Si deux triangles ont une paire de côtés homologues isométriques compris deux paires d’angles homologues isométriques, ils sontnécessairement isométriques (ACA).

600600400 400

Construisons deux triangles ayant une paire de côtés homologues congrus compris entre deux paires d’angles homologues congrus.

Propriété ACA : 1 paire de côtés homologues isométriques compris entre 2 paires d’angles homologues isométriques.

7 cm7 cm

La seule manière de compléter ces triangles est comme suit.

ACA est une abréviation; le C signifie une paire de côtés homologues isométriques et chaque A signifie une paire d’angles homologues isométriques.

entre

Remarque 1 : Lorsque deux triangles sont isométriques, on retrouve nécessairement les trois propriétés CCC, CAC et ACA.

Cependant, la bonne propriété à utiliser pour démontrer que deux triangles sont isométriques dépend des informations fournies par la situation.

Exemples :

si alors CCC

si alors CAC

si alors ACA

5,6 cm

3,6 cm

4 cm

5,6 cm

3,6 cm

4 cm

5,6 cm

4 cm

5,6 cm

4 cm

4 cm 4 cm

Remarque 2 : La propriété AAA n’est pas une condition qui prouve que deux triangles sont isométriques.

Exemple :

600

300

600

300

Remarque 3 : CAA n’est pas une condition qui prouve que deux triangles sont isométriques.

C’est le sigle du club automobile.

Voyons maintenant quelques applications.Démontrer que :

Toute diagonale d’un parallélogramme engendre deux triangles isométriques.

A B

CD

Affirmations Justifications

1) ~=AD BC et ~=AB DC 1) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

2) ~=AC AC 2) ACCar, est un côté commun aux deux triangles.

3) ∆ ABC ~= ∆ ADC 3) CCC

Démontrer que :

E

F

G

H

Si la diagonale d’un quadrilatère est la bissectrice de deux angles opposés, alors elle forme deux triangles isométriques.

Affirmations Justifications

FGE ~= HGE

1) FEG ~= HEG 1) Car, EG est une bissectrice.

2) ~=EG EG 2) EGCar, est un côté commun aux deux triangles.

3) ∆ EFG ~= ∆ EHG 3) ACA

A

B

CE

Démontrer que :

L’axe de symétrie d’un triangle isocèle partage ce triangle en deux triangles isométriques.

Affirmations Justifications

2) AEB ~= CEB

1) Car, l’axe de symétrie EB est la médiatrice de AC .

1) ~=AE CE

Car, est une médiatrice, donc une perpendiculaire.

2) EB

4) ∆ AEB ~= ∆ CEB 4) CAC

3) ~=EB EB Car, est un côté commun aux deux triangles.

3) EB

A B

CD

Affirmations Justifications

1) ~=AD BC et ~=AB DC 1) Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

2) ~=AC AC 2) ACCar, est un côté commun aux deux triangles.

3) ∆ ABC ~= ∆ ADC 3) CCC

Démontrer que :

Les angles opposés d’un parallélogramme sont congrus.

4) B ~= D 4) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.

Remarque : Après avoir démontré que deux triangles sont isométriques,

peut être utilisé pour justifier une affirmation.

cet axiome

A

B

C

D

O

Démontrer que :

Dans un cercle, deux angles au centre congrus déterminent des cordes congrus.

Affirmations Justifications

1) AO ~= BO ~= CO ~= DO 1) Les rayons d’un même cercle sont congrus.

AOB ~= COD2) 2) C’est une donnée du problème.

3) ∆ AOB ~= ∆ COD 3) CAC

4) AB ~= CD 4) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.

F

E D

G

H

Dans cette figure : DH=FD ~

FE GH

Démontrer que : GHFE ~=

Affirmations Justifications

1) FDE ~= GDH 1) Ce sont des angles opposés par le sommet.

2) DFE ~= GHD 2) Ce sont des angles alternes-internes formés par des parallèles.

3) DHFD ~= 3) C’est une donnée du problème.

4) ∆ FED ~= ∆ GDH 4) ACA

5) GHFE ~= 5) Dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.

A

B

C

D

E

3,1 cm

2 cm

2 cm

3,1 cm

400

450

Dans cette figure :

AE BDet se coupent en leur milieu.

A) Détermine la mesure de l’angle B en donnant l’énoncé qui justifie ton calcul.

m B = 950 ; la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800.

B) En vertu de quel énoncé, les deux triangles sont-ils isométriques ?

CAC, car AC ~= CE BC ~= CD ;et c’est une donnée du problème.

et ACB ~= DCE ; angles opposés par le sommet.

Détermine m D et donne l’énoncé qui justifie ta réponse.C)

m D = 950 ; dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont congrus.