CHAPITRE 2:LES PREUVESDE TRIANGLES ET LES RELATIONS

MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

“ Les droïtes

• La hauteurd’un triangle est un segmentpartantd’un sommetet

allant rejoindreperpendiculairementle côté opposé.

z2 .“‘

. La medianeestun segmentpartantd un sommetet allant rejoindre

sur le milieu du côtéopposé.

• La médiatriceest une droite passantperpendiculairementpar le

milieu d’un côté.

Q . La bissectriceestun segmentqui partageun angleendeuxparties

isométriques.

V Les anglesC\Io. -Q:u\\)• Les anglessupplémentairesont unesommede 180°. (ex: ) 2

• Les anglescomplémentairesont unesommede 90°.

• Les anglesopposéspar le sommetsonttoujoursisométriques.(ex: 4 ) t2ef

• Les anglesadjacentssontdeuxanglesayantle mêmesommetet unedroitefrontière. Chaqueangleestd’un côtéet de l’autre de la frontière. (ex: le-Z ) 3e1-

2e12• Les anglesalternes-internes,alternes-externeset correspondantsforméspar2 parallèles

et 1 sécantesonttoujoursisométriques.

Anglesalternes-internes:L, O, JL

Anglesalternes-externes:

_________

,

_________

Anglescorrespondants :

________

,

________

oNom: \L SQoflJ\c’

f- RETOURS

%.\6

7

1

.

.V Triangles

. La sommedesanglesintérieursd’un triangleesttoujourségaleà 1800.

2.

. Dansun triangle isocèle,les côtésisométriquessontopposésaux anglesisométriques.

• L’axe de symétried’un triangle isocèleou équilatéralestaussiune médiane,une médiatrice,

unehauteuret unebissectricede ce triangle.

• Dansun triangle rectangle,le côtéopposéà un anglede 30° vaut la moitié de

l’hypoténuse.Inversement,dansun triangle rectangle,l’hypoténusemesure

le doubledu côtéopposéà un anglede 300. 1 0

• Dans un triangle rectangle,le carréde la mesurede l’hypoténuseestégal à

la sommedescarrésdesmesuresdescathètes.(Théorèmede Pythagore.)cx

c2+ccZv1pta

• Les anglesaigusd’un triangle rectanglesontcomplémentaires.cfsj qoC)

• Dansun triangle, le plus grand angleestposéau plus grandcôté et le plus petit angleest

opposéau côté le plus petit.4-

V Le cercle

6

• Tous les diamètreset tous les rayonssontisométriquesdansun mêmecercle.

• La mesuredesrayonsvaut la moitié de la mesuredesdiamètres.

Types Caractéristiques(côtésetangles)

Équilatéral (ÔS1nzï&jJ., -

Équiangle- 3

Isocèle çyçv 2Isoangle i3ng s i\ckLYES-

Scalène Jp\cRectangle E. ‘c’

2

v Les propriétésdesquadrilatères

Parallélogramme Rectangle

• La sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un quadrilatèreest360°.

V Les polygones

• Un polygonerégulierpossèdedesangleset descôtésisométriques.

• Un polygonerégulierestcomposéde trianglesisocèles.

• La sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un polygoneà n côtésest:S (n - 2) x 180°

V Proportionnalité

Si

Alors, a d = b c, car le produit desextrêmeségalele produit desmoyens.

.

.

bcAlors, a = —,

clpermetd’isoler la variableque l’on cherche.C’est le produit croisé.

.

Losange Carré

Deux pairesde côtésopposésparallèles X

Les côtés Deux paires decôtésopposésisométriques ‘S

Quatrecôtésisométriques

Desanglesopposésisométriques XDesangles

Les anglesconsécutifs

supplémentaires

Quatreanglesdroits

Secoupentenleurmilieu Â

Les .

diagonales Isometriques

Perpendiculaires y’Lesaxesdesymétrie y

3

V

r7)

nôçwc&I srwfioJc’S’

ddosa7c7) ÇfIJÇ:

iJçitoipsap1çwj-o 17

%iÇ’LLV SIW?X)WJ L

UO XL93g.

?fl&%[1(

W’çpiz1kJoS7UX4UI o7o7

ÇL12 Xfld(I

X1O7V

s-u I&W fiE =X

SdY) i )frJUXS 07. /

UO)IJ!Sflt uoiewJ!JJv

JBI eun no eJJ4IqoUfl eds4!uep!SeUesepseinsewse8AflOJI

SODIOJOX3

2- LES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES

v’ Définition

Deuxtrianglesisométriquesont leurséléments

______________angles

et côtés)isométriques.

Exemple:

Les triangles ABC et DEF sont isométriques,carhomologuessont ;,

Le symboled’égalité (=) concernedesnombresalorsquesymboled’isométrie() concernedesobjetsgéométriques. I

On a donc: = m ,mais IL I

Remarques:

4 Le symbole« » se lit « est isométriqueà >.

4 Habituellement,on nommedestrianglesisométriquesselonleurssommetshomologues.Donc,si MBC ADEF, on peut affirmer que l’angle A est homologueà l’angle D, que l’angle B esthomologueà l’angle E et que l’angle C esthomologueà l’angle F.

.

I

1 ,7

I fleurs “ et leurs

___________

D3Ï (lii17 cm

A3(2. cm

.

.

C

31 cm

.32 Ciii

Ona LBAC LEDF,LABC LDEFetLBCA zEFD

et AB DE,BC EFetCA FD.

On écrit alors LABC IWEF.

5

V Conditionsminimales

Pourpouvoir affirmer quedeuxtrianglessontisométriques,il n’est pasnécessairede vérifier que

tous leurs côtés homologueset tous leurs angles homologuessont isométriques.Il suffit de

s’assurerque les trianglesrespectentunedestrois conditionsminimalessuivantes.

1) La conditionminimaled’is1bT4P€CC

Deux trianglesaattleurs. ‘ homologues isométriquessont nécessairement

AABC ADEF, car AB DE, EC EF et CA E FD.

A D

2) La conditionminimaled’isométrieCAC

Deuxtrianglesayantun O[) if’ isométriquecomprisentœdeuxcôtés

__________________

isométriquessontnécessaireftent

_____________________.

J

Exemple:

AGHJ AKLM, car Z H Z L, GH k[ et JH &Ï[.

3c:

__

_

Le triangleABC n’est pasisométriqueaii triangleGHJ, carl’angle de490 n’est pascomprisentreles côtésde 3 cm et de 3,5 cm.

.

Exemple:

4 cm

6 cm

L

H

3cm

6

..

0U)D)

wXDQ)

Q)U)‘-G)4-’

U)I.

0 -

t G)

Eoo .1o

4-’

‘wEo -

U)

-

D—Cw—> C

-0D) G)CDw D-t:4-’ 4-’

Xu)DEG)OÛ .

Lf)

L’)‘—JII

‘—JE—L’)

‘--J

?II

“-J

L’)‘1

.w

E‘G)-a

r L)

m ?II<o

D)C! u,

—

—U)

•0

Q)

e*J,.

o

uooL4-.‘oEo

w

Et

Eto4-.

toC.)

(u-J

C’)

o-

Fç)

z

EQ)

c

o

V Mesuresmanquantes. Pourtrouverune mesuremanquante,il faut:

1. Faire la preuvedetriangles isométriquesen énuméranttous lesélémentsisométriquesfaisantpartie de la preuve;

2. Expliquerla condition minimaled’isométrie(CCC, CAC, ACA);

3. Donner la mesuremanquanteen justifiant toutes les étapesà effectuerpourquestion.

répondreà la

Exemple.

Dansle cerclede centreO, AB et CD sont2 cordes.

Prouveque À et CD sont isométriques.

c)V\(NfCI’ CQTçO

CCr’ UScx- 4W

-,ccçcL’S B

A

o

Affirmation Justification

1. 5j 1. Définition d’un rayonde cercle

2. 2. Définition d’un rayonde cercle

3. LAOB LDOC Des anglesopposéspar le sommet sonttoujoursisometnques.

4. Deux trianglesayantun angle isométriquecomprisentredeux

4. LOBA OCD côtés homologues isométriques sont nécessairementisométriques.

5 — 5. Dansdeux trianglesisométriques,les côtéshomologuessont. AR = CD toujours isométriques.

8

jçla mesuredu segmentBC si AE//CD

CC’c’c\OSiCX:

‘-e CQ. qL Qçc”\

Exercices: tC Çti.tL

1. Voici 2 triangles.Trouve

et que AE.’

2u\Jer \e 2 t dci.cS ICL sck,crC \ c2 t CCY CCçf( \Ck

NAffirmation Justification

1. L 1• circs reçtE Lc *S

2. 2. oççcU ÇYttçe (4

3. L 3. uy QQQeSe* çeS bYySts Lc

4. ÔLUX -aSWCkÏ”t LO (VIf CCJ’flP,

eçr{ deux øt’&PZ ipi5 Si1tYYL!S SCt VW5. — 5. cOScu tce’5 TC(LS. (es\ t7 Y5cy C2SC CxuS Cr1 1ovMS îscrrtnqeS(OçU9(

2. Dansle triangle suivant,le segmentPSestla bissectricede l’angle P. Elle estaussiperpendiculaireau côtéQR. Prouveque le triangle PQRestisocèle.

_________

C’:: .::; i

Q

R

.

es

Tu

.

.

Affirmation { Justification

1. I__b1 1. Ue SSCCflCf EQ’( E Ufl

‘

2. 2.

j C crrL LV( c{Lux +nCk%1

Lc L3P cbj pddjçne(vsj

4. CAÔfS L 3crr-qULPS coçsr-€ d’ ‘T 3S C)J€S

‘I— iVSSQ!(JÏ\it t3CtTCJ1, 5. - 5. c\’euaSSCçt’hC\Ut

cÀES cwo\c)ue3Scwî Cf1queS

6. 6. tsccXaa dLux (2s-) o e tsoùqs (

9

3- LES TRIANGLES SEMBLABLES.v Défïnition

Deux trianglessontsemblablessi leurs homologuessont O Lfl?S et siles mesuresde leurscôtéshomologuessont h o(’:ç\?S..

Le coefficientde proportionnalitécorrespondalorsau rapportdesimilitude (k) desdeuxtriangles.

Exemple:

Les trianglesABC et DEF sontsemblables,car leurs angleshomologuessont isométriquesetles mesuresde leurs côtéshomologuessontproportionnelles.

12,2cm

61 cm

Ona LBACLEDF,LABCLDEF et LBCA.LEFD

mAB mBC mCAet — = = = 2

mDE mEF mFD

On écrit alors LABC IWEF.

Remarques:

3’ Le symbole« » se lit « estsemblableà ».

3 Habituellement,on nommedestrianglessemblablesselonleurssommetshomologues.

Donc, si AABC ADEF, on peutaffirmer que l’angle A esthomologueà l’angle D, que

l’angle B esthomologueà l’angle E et que l’angle C esthomologueà l’angle F.

10

v Conditionsminimalesdesimilitude.

Pouraffirmer quedeuxtrianglessontsemblables,il suffit de s’assurerque les trianglesrespectentune destrois conditionsminimalessuivantes.

1) La conditionminimaledesimilitude Cp-Cp-Cp(PPP)

Deux trianglesdont toutesles mesuresdescôtés sontproportionnellessontnecessairement û

Exemple:

ou

m DE m EF m FD=

mAB mBC mCA

2) La conditionminimaledesjjlitudeCp-A-Cp (PAP)

Deux trianglesayantun angle

_______________

comprisentredescôtéshomologuesdont lesmesuressont ‘ ()y +(T’’4Ç sontnécessairementsemblables.

Exemple.•

GH] zKLM, car Z H L L et m KL m ML 2.mGH mJH

J

G 3 cm

H

.

.

.

AABC zDEF, carA 3,1 cm

m m m = I cmmDEmEF mb3 C

9,3

Dcm

L’inverse multiplicatifdu rapportde

similitude (.f’ estlk)

aussiun rapportdesimilitude.

L7cm

f,5 cm

CLe triangleABC n’est passemblableau triangleGHJ,car l’angle de 400 n’estpascomprisentre lescôtésde3 cm et de 3,5 cm.

li

3) La conditionminimalede similitudeAA

Deux trianglesayantdeux homologuesisométriquessont t.semblables.

V Mesuresmanquantes

// \6cm/’D ‘N F

.4 3cm \

2cnj/

t: €s set-w

___-

- -

i Ç Qflt ., p A C

Pourtrouverunemesuremanquante,il faut:

1. Faire la preuve de triangles semblablesen énuméranttous les angles homologues

isométriqueset les proportionsdemesuredescôtéshomologuesfaisantpartiede la preuve;

2. Expliquerla condition minimalede similitude (PPP,PAP, AA);

3. Donnerla mesuremanquanteen justifiant toutesles étapesà effectuerpour répondreà la

question.

ExempleANPR-ASTU,carZN LSet LP LI.

N

T

u

Exercice:

Prouvequetoutedroite sécanteà 2 côtésd’un triangleet parallèle

au troisièmecôtéforme destrianglessemblables.La droite sécanteest la droite DE. N\.1 ÇxJ\’S&: I/

Affirmation [ Justification

1.Savçc y( X

2. 2. acos x(eSpondcir’1SoS

L2 p3CC..QUX coîeSparaHsftr e fc-)SC)Ç’Çk *Y1) S îSCNfrCi s

3.. 3. Jij ctetc&osç

WcMqes&.{nf ‘b\abts.

les

12

A B

Exercices

1. Trouve la mesuredeÀsi D! mesure9 cm.‘CN\W

t— - — —

Y_

e

3cm 2cm

AffirmationCCxc\ t

.

6cm

L

Justificationn

1. — 1. ckcu ccscppos±spt le crr’rd- SCÇ* CYq)ôlX5 5ffi-iïq U’ S

2.

C-’)

.1

3..‘ 3. te(]t\) CE cc5ççcLuY cis crI&US c+

4 —

Sc(t pr 11cnr,iIscrtsIren. 4. cs— - —

tr’Et ScLS)IS rr c\ecIscrrl fovj Uu prapff

/1

2. Trouve la mesurede l’angle F, si l’angle A mesure32°.Le triangleABC estun triangle rectangle.

\NM P”LA:: 32e.

cc\u5c ‘Cr LE

rivei les

6cmN

E

7,8 cm

D

\cm*

Affirmation Justification

1. Q 1. uc’. -bïar’91e çecIard peuohhçekct1cç c’Q, cc’- j pZ

P\/4’lagCW.

3. 3. CQU tyi a e5 dcr- bL Svresu.tac escÂs C3LS prc4cN-’r

OSSitterMv-1 rbCteS4. 4. L soçc’S CSU€S de& orjles

ro,r4OE!5. c’o’ç u1ïC49hSS Ok?fr’S,

L—r- r( B—guessct -nqtes

L13(c

IO

s5

‘s

nL1\CPtgO-L&- L€,c1v— zqo58° 13

Remarques:

‘+ Dessécantescoupéespardesdroitesparallèlessontpartagéesen

segmentsde longueursproportionnelles.C’est ce qu’on appellele

THÉORÈME DE THALÈS. Dansl’exempleci-contre, les segmentsDR,

ES et FT sontparallèles,alors;

mEF_mSTetmEF.mST

mDE mRS mDF mRT

Une droite parallèle à celle qui supporte le côté d’un triangle

déterminedestrianglessemblabJes. f,

/7

SiGH//BC,aIorsAAGH — AABC. /‘/1

/

1

Affirmation / [ Justification

1. 1’.1f

/

:

.

/7/

A

g

H C

Exercice:

Voici le plan d’un quartier. Les rues sont toutesparallèlesentreelles. Déterminela longueurdes3

sectionsdu boulevardÀ77. /

// 2

///1

400m

A —

G)z

G)0) 2 0

2 oc)e

80m 100m 140mE F G H

t14

4- LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

Dansun triangle er\Cki , la hauteurrelative à l’hypoténusedéterminedeuxautrestrianglesrectangles, :‘ç.— \‘riù( au premier.

DhA

Parla condition minimalede similitude AA:

• zABC tCBD puisquecesdeuxtrianglesont un angledroit et qu’ilsont l’angle B en commun;• t.ABC AACD puisquecesdeuxtrianglesont un angledroit et qu’ilsont l’angle A en commun.

Parla transitivité de la relationde similitude, ZCBD AACD.

v Théorèmede la hauteurrelativeà l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle, la mesurede la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenneproportionnelleentreles mesuresdesdeuxsegmentsqu’elle déterminesur l’hypoténuse.

CC

.

.

HauteurrelativeL’hypoténuse C

b

La relation desimHitudeesttransitive,c’est-à-direquesi tSABC —DEFet DEF — 1GHJ,alorstÂBC - iGHJ.

Exemple.

\Q CL

dia ‘f:

i5 rrrn .

N

“3%J’I

U ç1

iJ

Qc)J’

H.] C

U]L_Fr

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-

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4-’

CG)

0

G)CCo-too -G)

4-’

C0G)CCG)>,oE4-u)G)

w4--cl)-c4-

woG)D

w-C

0G)U)

G)D

D G)ci)c Q..C >.

—

5)U)

C CwO

o

CG)wcoLG)

(flDCci)(CG)DE

.

(3--

u

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2

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4-

D

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wD)

4-U)G)U)G)

-G)-C4-

wO

0

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CLcl)’-4-

G)4-’

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L.

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‘G)Io

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I-

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U)G)4-’‘G)

4-’

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4-’

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0.tDwL.

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L.

Doo-0G)Q.

4-I

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‘G)U)

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U)U)L-DU)L-w4-4—

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J

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g14J

U)CO4-

U)U)L-

0U)

.C U)o -a0U)

OCDU)

DG) cDCO- (

U)U)O ‘U)CC

-O O

‘U) o

U)Lw

U)0L-

0CO4-

U)U)L

DOO C

•C U)

E .

CC.2 o

U)D

—O-0G)U)0DLOU)

4— CU) .2L- —r D00

-W CI)

I I I I

0G)O

Q)

I

o-ø c’i

JUSTIFICATIONSLES PLUS UTILISÉES POUR JUSTIFIER LES ÉTAPES b’UNE PREUVE bE TRIANGLES

O ISOMETRIQUES

POURLES CÔTÉS

Mêmesegment

Propriétésdu carré

________________________

Propriétésdu rectangle L Pourtestriangtes:Propriétésdu parallélogramme

Côtéshomologuesdansdeuxtrianglesisométriques

Donnéesdu problème

Pythagore(dansun triangle rectangle)c-c-c

POUR LES ANGLES

Propriétésdu carré

Propriétésdu rectangle

Anglesopposéspar le sommet(forméspar un ou dessegmentsdansle prolongementd’un autre)

Anglesalternes-internesforméspardesdroitesparallèles

Anglesalternes-externesforméspardesdroitesparallèles

Anglescorrespondantsforméspardesdroitesparallèles

Angleshomologuesdansdeuxtrianglesisométriques

Donnéesdu problème

Sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un triangleégale1800

JUSTIFICATIONS LES PLUS UTILISÉES POUR JUSTIFIER LES ÉTAPES baUNE PREUVE bE TRIANGLES

SEMBLABLES

POURLES CÔTÉS

Segmentsproportionnels £ Four[estriang(es:

Côtéshomologuesdansdeuxtrianglessemblables

Pythagore(dansun triangle rectangle)

POURLES ANGLES

Propriétésdu carré

Propriétésdu rectangle

Anglesopposéspar le sommet(forméspar un ou dessegmentsdansle prolongementd’un autre)

Anglesalternes-internesforméspar desdroitesparallèles

Anglesalternes-externesforméspardesdroitesparallèles

Anglescorrespondantsforméspardesdroitesparallèles

Angleshomologuesdansdeuxtrianglessemblables

Donnéesdu problème

Sommedesmesuresdesanglesintérieursd’un triangleégale180°

.

.

.