Les séries saisonnières
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00 BTS 1C2 OMG Les prévisions LES SÉRIES SAISONNIÈRES Une série chronologique, suite de valeurs prises par une variable mesurable au cours du temps, se décompose en éléments fondamentaux : un mouvement de tendance générale ou « trend » T ; un mouvement cyclique C ; un mouvement saisonnier S ; des variations accidentelles ou résiduelles R. Les séries saisonnières sont le résultat de la combinaison de deux évolutions : la tendance qui correspond à la progression de long terme, et les variations saisonnières qui correspondent aux fluctuations de court terme. Ces deux composantes peuvent s'ajouter l'une à l'autre - on parle alors de schéma additif - ou se multiplier entre elles et c'est un schéma multiplicatif. I. Détermination de la tendance (étude du mouvement de longue durée) La tendance peut être estimée par la méthode des moindres carrés. La tendance n'est valable que s'il y a une bonne corrélation entre le temps et les données. Dans le cas d'une série fortement saisonnalisée, il est nécessaire de lisser la série en utilisant la méthode des moyennes mobiles ou d'autres méthodes. II. Etude du mouvement saisonnier Si la structure est additive, on détermine des écarts saisonniers par la méthode des moyennes mobiles. En retranchant les écarts saisonniers des valeurs brutes initiales, on obtient la série désaisonnalisée. Si la structure est multiplicative, on détermine des coefficients saisonniers : soit par la méthode des moyennes mobiles (utilisation des logarithmes) ; soit par la méthode des rapports à la moyenne mensuelle ; Page 1/15 L.A. /home/website/convert/temp/convert_html/55cf9e3d550346d033b077a7/document.doc
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00BTS 1C2 OMG Les prévisions
LES SÉRIES SAISONNIÈRES
Une série chronologique, suite de valeurs prises par une variable mesurable au cours du temps, se décompose en éléments fondamentaux :
un mouvement de tendance générale ou « trend » T ;
un mouvement cyclique C ;
un mouvement saisonnier S ;
des variations accidentelles ou résiduelles R.
Les séries saisonnières sont le résultat de la combinaison de deux évolutions :
la tendance qui correspond à la progression de long terme,
et les variations saisonnières qui correspondent aux fluctuations de court terme.
Ces deux composantes peuvent s'ajouter l'une à l'autre - on parle alors de schéma additif - ou se multiplier entre elles et c'est un schéma multiplicatif.
I. Détermination de la tendance (étude du mouvement de longue durée)
La tendance peut être estimée par la méthode des moindres carrés.
La tendance n'est valable que s'il y a une bonne corrélation entre le temps et les données.
Dans le cas d'une série fortement saisonnalisée, il est nécessaire de lisser la série en utilisant la méthode des moyennes mobiles ou d'autres méthodes.
II. Etude du mouvement saisonnier
Si la structure est additive, on détermine des écarts saisonniers par la méthode des moyennes mobiles. En retranchant les écarts saisonniers des valeurs brutes initiales, on obtient la série désaisonnalisée.
Si la structure est multiplicative, on détermine des coefficients saisonniers :
soit par la méthode des moyennes mobiles (utilisation des logarithmes) ;
soit par la méthode des rapports à la moyenne mensuelle ;
soit par la méthode des rapports à la tendance.
III. Le schéma additif
La seule méthode usuelle utilisant le schéma additif est la méthode des totaux mobiles (ou moyennes mobiles).
A. Calcul des totaux mobiles
Cumul sur le nombre de période (4 pour des séries trimestrielles, 12 pour des séries mensuelles). Ces totaux sont automatiquement désaisonnalisées. Si la série est trimestrielle avec un dernier trimestre fort et un deuxième trimestre faible, chaque total mobile comprendra un deuxième et un quatrième trimestre.
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B. Calcul de la tendance des totaux mobiles.
On utilise la méthode des moindres carrés.
C. Prévision des totaux mobiles futurs.
Calcul de la valeur prévisionnelle saisonnalisée = total mobile moins les trois dernières valeurs trimestrielles. Les suivantes peuvent être calculées de la même façon.
IV. Le schéma multiplicatif
A. Rapport au trend mensuel ou trimestriel
Pour chaque valeur de la série brute, on calcule le rapport entre la valeur brute et la tendance correspondante.
Coefficient saisonnier = Valeur brute / tendance
Si la série concerne plusieurs années, il faut faire la moyenne des coefficients pour chaque période.
La somme des coefficients doit être égal au nombre de périodes (4 pour des séries trimestrielles, 12 pour des séries mensuelles).
La tendance est normalement le trend trimestriel ou mensuel.
B. Rapport à la moyenne
Si on dispose d'un trend annuel, on peut calculer le rapport entre la valeur brute et la moyenne de la tendance.
Si la série est trimestrielle,
coefficient saisonnier = Valeur brute / (tendance annuelle / 4)
C. Utilisation en prévision.
Il faut commencer par calculer les prévisions en utilisant la tendance.
Ensuite, on applique les coefficients saisonniers pour «saisonnaliser» la série.
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EXERCICES
I. Mouvement saisonnier additif : méthode des moyennes mobiles, écarts saisonniers, série désaisonnalisée.
D'après un sujet d'examen
Une entreprise a relevé pendant quatre ans ses ventes trimestrielles (en milliers de francs) :
T1 T2 T3 T41996 102 100 104 1081997 110 106 113 1151998 117 115 120 1221999 128 123 127 1312000 134 130
A. Montrer qu'il existe un mouvement saisonnier.
B. Ce mouvement est-il additif ou multiplicatif ?
C. Calculer les écarts saisonniers par la méthode des moyennes mobiles.
D. Désaisonnaliser la série.
E. Calculer la tendance par la méthode des moindres carrés.
F. Effectuer le calcul "trend + écarts saisonniers" et comparer le résultat avec la série brute.
G. Quel montant de vente peut-on prévoir respectivement pour le troisième et quatrième trimestre 2000 ?
II. Mouvement saisonnier multiplicatif : méthode des rapports à la tendance déterminée par la méthode des moindres carrés, coefficients saisonniers, série désaisonnalisée.
La série chronologique suivante représente le chiffre d'affaires trimestriel, en milliers de francs, d'un magasin de 1997 à 1999.
T1 T2 T3 T41997 115 152 124 1671998 117 162 130 1871999 121 158 137 206
A. Représenter graphiquement la série.
B. Déterminer l'équation de la droite de tendance y=ax+b (méthode des moindres carrés).
C. Calculer les rapports à la tendance.
D. En déduire les coefficients saisonniers.
E. Calculer la série désaisonnalisée.
F. Quel chiffre d'affaires moyen peut-on prévoir respectivement pour le premier et le deuxième trimestre 2000 ?
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CORRIGÉS
I. Mouvement saisonnier additif : méthode des moyennes mobiles, écarts saisonniers, série désaisonnalisée.
D'après un sujet d'examen
Une entreprise a relevé pendant quatre ans ses ventes trimestrielles (en milliers de francs) :
T1 T2 T3 T41996 102 100 104 1081997 110 106 113 1151998 117 115 120 1221999 128 123 127 1312000 134 130
A. Montrer qu'il existe un mouvement saisonnier.
Pour montrer qu'il existe un mouvement saisonnier, il faut représenter graphiquement les données brutes.
Ventes trimetrielles
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Trimestre (Xi)
Mo
na
tnt
de
s v
en
tes
en
KF
(Y
i)
On remarque que le deuxième trimestre de chaque année, les ventes diminuent, puis augmentent les trimestres suivants. Il existe donc un mouvement saisonnier.
B. Ce mouvement est-il additif ou multiplicatif ?
Sur notre graphique, nous joignons les minima d'une part et les maxima d'autre part :
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Minima et Maxima des ventes trimestrielles
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Trimestres (Xi)
Ve
nte
s e
n K
F (
Yi)
Yi
Min / Trim
Max / Trim
Les deux courbes obtenues sont sensiblement parallèles. Le mouvement est donc additif.
Pour confirmation, nous calculons les moyennes et écarts-types des ventes de chaque année.
Moyenne Ecart-type1996 103.50 2.9581997 111.00 3.3911998 118.50 2.6931999 127.25 2.8612000
La moyenne augmente au fil des années, l'écart type reste pratiquement constant. Le mouvement saisonnier est additif.
C. Calculer les écarts saisonniers par la méthode des moyennes mobiles.
Calcul des moyennes mobiles pondérées sur 5 trimestres(20 trimestres & 4 trimestres par an) - les poids respectifs étant 0.5, 1, 1, 1, 0.5 - et des différences saisonnières (Δ) entre les données brutes et les moyennes mobiles correspondantes.
D'où le tableau suivant :
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Xi Yi Moyenne mobile Δ1996 T1 1 1021996 T2 2 1001996 T3 3 104 104.500 -0.5001996 T4 4 108 106.250 1.7501997 T1 5 110 108.125 1.8751997 T2 6 106 110.125 -4.1251997 T3 7 113 111.875 1.1251997 T4 8 115 113.875 1.1251998 T1 9 117 115.875 1.1251998 T2 10 115 117.625 -2.6251998 T3 11 120 119.875 0.1251998 T4 12 122 122.250 -0.2501999 T1 13 128 124.125 3.8751999 T2 14 123 126.125 -3.1251999 T3 15 127 128.000 -1.0001999 T4 16 131 129.625 1.3752000 T1 17 1342000 T2 18 1302000 T3 192000 T4 20
Calcul de la moyenne arithmétique des différences saisonnières se reportant au même trimestre de chaque année.
T1 T2 T3 T4
Moyenne des
moyennes
Moyenne 2.291666667 -3.29166667 -0.0625 1 -0.015625(Ei) Ecarts saisonniers 2.307291667 -3.27604167 -0.046875 1.015625 0
Somme des écarts
En présence d'un mouvement additif, la somme des écarts saisonnier est nulle.
D. Désaisonnaliser la série.
Pour désaisonnaliser la série, il faut retrancher les écarts saisonniers des données brutes initiales.
D'où le tableau représentant la série désaisonnalisée, les résultats étant arrondis :
Série T1 T2 T3 T4Désaisonnalisée T1-E1 T2-E2 T3-E3 T4-E4
1996 99.6927 103.2760 104.0469 106.98441997 107.6927 109.2760 113.0469 113.98441998 114.6927 118.2760 120.0469 120.98441999 125.6927 126.2760 127.0469 129.98442000 131.6927 133.2760
E. Calculer la tendance par la méthode des moindres carrés.
On ajuste sur les données de la série désaisonnalisée une droite d'équation y=ax+b.
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XiSérie
désaisonnalisée Yi'
XiYi Xi^2
T1 1 99.6927 99.6927 1T2 2 103.2760 206.5521 4T3 3 104.0469 312.1406 9T4 4 106.9844 427.9375 16T1 5 107.6927 538.4635 25T2 6 109.2760 655.6563 36T3 7 113.0469 791.3281 49T4 8 113.9844 911.8750 64T1 9 114.6927 1032.2344 81T2 10 118.2760 1182.7604 100T3 11 120.0469 1320.5156 121T4 12 120.9844 1451.8125 144T1 13 125.6927 1634.0052 169T2 14 126.2760 1767.8646 196T3 15 127.0469 1905.7031 225T4 16 129.9844 2079.7500 256T1 17 131.6927 2238.7760 289T2 18 133.2760 2398.9688 324
Total 171 2105.96875 20956.03646 2109
Moyenne 9.5000 116.9983 1164.2242 117.1667
Covariance 52.7407Variance x 26.9167Variance y' 103.9461a 1.9594b 98.3839
L'équation du trend est donc :
y=1.9594x+98.3839
Rappel :
et
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F. Effectuer le calcul "trend + écarts saisonniers" et comparer le résultat avec la série brute.
XiYi (données
brutes)Trend
Trend + écart saisonnier
Différence
1996 T1 1 102 100.34329 102.65058 0.650581996 T2 2 100 102.30270 99.02666 -0.973341996 T3 3 104 104.26211 104.21523 0.215231996 T4 4 108 106.22152 107.23714 -0.762861997 T1 5 110 108.18093 110.48822 0.488221997 T2 6 106 110.14033 106.86429 0.864291997 T3 7 113 112.09974 112.05287 -0.947131997 T4 8 115 114.05915 115.07478 0.074781998 T1 9 117 116.01856 118.32585 1.325851998 T2 10 115 117.97797 114.70193 -0.298071998 T3 11 120 119.93738 119.89050 -0.109501998 T4 12 122 121.89678 122.91241 0.912411999 T1 13 128 123.85619 126.16348 -1.836521999 T2 14 123 125.81560 122.53956 -0.460441999 T3 15 127 127.77501 127.72813 0.728131999 T4 16 131 129.73442 130.75004 -0.249962000 T1 17 134 131.69383 134.00112 0.001122000 T2 18 130 133.65323 130.37719 0.37719
Ce tableau montre que les différences entre les valeurs brutes de la série et les valeurs du trend modifiées par les écarts saisonniers sont extrêmement faibles.
G. Quel montant de vente peut-on prévoir respectivement pour le troisième et quatrième trimestre 2000 ?
Prévision des ventes pour le 3ème trimestre 2000 (x=19) (trend + écart 3)
y=(1.9594*19+98.3839)+E3=(1.9594*19+98.3839)-0.046875=135.6125-0.046875=135.565625
Prévision des ventes pour le 4ème trimestre 2000 (x=20) (trend + écart 4)
y=(1.9594*20+98.3839)+E4=(1.9594*20+98.3839)+1.015625=137.5719+1.015625=138.587525
II. Mouvement saisonnier multiplicatif : méthode des rapports à la tendance déterminée par la méthode des moindres carrés, coefficients saisonniers, série désaisonnalisée.
La série chronologique suivante représente le chiffre d'affaires trimestriel, en milliers de francs, d'un magasin de 1997 à 1999.
T1 T2 T3 T41997 115 152 124 1671998 117 162 130 1871999 121 158 137 206
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00BTS 1C2 OMG Les prévisions
A. Représenter graphiquement la série.
Ventes trimetrielles
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Trimestre (Xi)
Mo
na
tnt
de
s v
en
tes
en
KF
(Y
i)
Calculons les moyennes et écarts types des chiffres d'affaires pour chaque année :
Moyenne Ecart-type1997 139.50 20.9341998 149.00 27.3771999 155.50 31.973
Les moyennes augmentent avec le temps, les écarts-types également.
Les écarts-types ne sont pas constants ; le mouvement saisonnier est multiplicatif, ce que confirme la représentation graphique.
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00BTS 1C2 OMG Les prévisions
Minima et Maxima des ventes trimestrielles
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Trimestres (Xi)
Ve
nte
s e
n K
F (
Yi) Yi (données brutes)
Min / Trim
Max / Trim
B. Déterminer l'équation de la droite de tendance y=ax+b (méthode des moindres carrés).
XiYi (données
brutes)XiYi Xi^2
1997 T1 1 115 115.0000 11997 T2 2 152 304.0000 41997 T3 3 124 372.0000 91997 T4 4 167 668.0000 161998 T1 5 117 585.0000 251998 T2 6 162 972.0000 361998 T3 7 130 910.0000 491998 T4 8 187 1496.0000 641999 T1 9 121 1089.0000 811999 T2 10 158 1580.0000 1001999 T3 11 137 1507.0000 1211999 T4 12 206 2472.0000 144
Somme 78 1776 12070 650
Moyenne 6.5000 148.0000 1005.8333 54.1667
Covariance 43.83333333Variance x 11.91666667Variance y 779.8333333a 3.678321678b 124.0909091
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00BTS 1C2 OMG Les prévisions
On ajuste les chiffres d'affaires trimestriels au moyen de la droite des moindres carrés dont l'équation, après calcul, est :
y=3.6783x+124.0909
C. Calculer les rapports à la tendance.
A partir de la droite de régression, on calcule les valeurs du trend.
Puis on calcule les rapports à la tendance :
(valeur observée / valeur du trend)
XiYi (données
brutes)Trend
Rapport au trend
1997 T1 1 115 127.76923 0.900061997 T2 2 152 131.44755 1.156351997 T3 3 124 135.12587 0.917661997 T4 4 167 138.80420 1.203131998 T1 5 117 142.48252 0.821151998 T2 6 162 146.16084 1.108371998 T3 7 130 149.83916 0.867601998 T4 8 187 153.51748 1.218101999 T1 9 121 157.19580 0.769741999 T2 10 158 160.87413 0.982131999 T3 11 137 164.55245 0.832561999 T4 12 206 168.23077 1.22451
D. En déduire les coefficients saisonniers.
On peut alors calculer, pour chaque trimestre, les moyennes des rapports à la tendance.
Les moyennes ainsi calculées correspondent aux coefficients saisonniers.
Rapport au trend
T1 T2 T3 T4
1997 0.9001 1.1564 0.9177 1.20311998 0.8212 1.1084 0.8676 1.21811999 0.7697 0.9821 0.8326 1.2245 Somme Moyenne
Moyenne trimetrielle
0.8303 1.0823 0.8726 1.2152 4.0005 1.0001
CS1 CS2 CS3 CS4
La moyenne étant égale à 1, il n'y a pas lieu de corriger ces coefficients.
E. Calculer la série désaisonnalisée.
Pour obtenir les valeurs de la série désaisonnalisée, on divise chaque valeur observée par le coefficient saisonnier correspondant :
Série T1 T2 T3 T4Désaisonnalisée T1/CS1 T2/CS2 T3/CS3 T4/CS4
1997 138.5011 140.4435 142.1029 137.42051998 140.9099 149.6832 148.9789 153.87801999 145.7273 145.9873 157.0008 169.5127
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LES SERIES SAISONNIERES Le 10/05/00BTS 1C2 OMG Les prévisions
F. Quel chiffre d'affaires moyen peut-on prévoir respectivement pour le premier et le deuxième trimestre 2000 ?
Prévision du chiffre d'affaires pour le premier trimestre 2000 (x=13) (trend * Coeff saisonnier 1) :
y=(3.6783*13+124.0909)*CS1=(3.6783*13+124.0909)*0.8303=142.7358766
Prévision des ventes pour le 2ème trimestre 2000 (x=14) (trend * Coeff saisonnier 2) :
y=(3.6783*14+124.0909)*CS2=(3.6783*14+124.0909)*1.0823=190.0379183
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