LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES - …©e... · LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES ... bons...

LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES

Mai JuinJanvier Février Mars Avril Septembre Octobre Novembre Décembre

Dat

e d

’ach

èvem

ent

pré

vue


76 PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE


PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE 77

Aperçu du chapitre

Introduction

Les mathématiques sont souvent décrites comme la science des régularités. Des régularités, qui existent à la fois dans la nature et les créations humaines, se rencontrent dans les contextes quotidiens des élèves. Lors de l’apprentissage des mathématiques, les élèves doivent être en mesure de reconnaître, de décrire et de prolonger les régularités et de s’en servir pour résoudre les problèmes. La capacité de discerner et d’utiliser les régularités efficacement favorise le développement du raisonnement algébrique. Les élèves de 4e année commencent à représenter le raisonnement algébrique avec des expressions algébriques. Les diverses représentations des régularités, y compris l’usage de symboles et de variables, fournissent des outils précieux pour faire des généralisations des relations mathématiques. Les régularités imprègnent chaque concept mathématique. Les régularités sont omniprésentes dans notre monde. Le programme des mathématiques pourrait aider à sensibiliser les élèves aux régularités qu’ils observent chaque jour et aux descriptions mathématiques ou modèles de ces régularités et aux relations (NCMT, Curriculum and Évaluation Standards for School Mathematics, 1989, p. 100-101 corriger le format de référence). Les élèves de 4e année élargiront leurs connaissances antérieures des régularités et relations lorsqu’ils exploreront les différents types de régularités, découvriront les règles de régularité, traduiront les représentations concrètes et imagées des régularités en tables ou tableaux, détermineront les égalités et examineront comment les régularités à base de symboles et de variables sont utilisées mathématiquement pour décrire le changement et modéliser les relations quantitatives.

Processus mathématiques

[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation



Domaine : Régularités et relations

Résultats d’apprentissage spécifiques

L’élève doit pouvoir :

4RR1 Identifier et décrire des

régularités dans des tables et des tableaux, y compris une table de multiplication.

[C, L, RP, V] * enseigné dans l’unité sur les

tables de multiplication et de division

Indicateur de rendement : 4RR1.4 Décrire la régularité dans une table ou un tableau donné.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Bien que le chapitre sur les opérations de multiplication et de division ne commence que vers Noël, on recommande d’incorporer tôt dans le programme quotidien, de 5 à 10 minutes en matinée, les opérations avec des produits allant jusqu’à 45. Les élèves de 4e année continueront d’étudier et de développer les nombreuses régularités dans différents tableaux et grilles. Dans Premiers pas et dans la leçon 1, on met l’accent sur les régularités dans une grille de cent et dans une table d’addition. Cette matière est traitée en détail en 2e et 3e année. Il est donc recommandé aux enseignants de faire preuve de beaucoup de discernement à l’égard de cette matière, car elle ne reflète pas les régularités au niveau de la 4e année. Ne choisissez qu’un ou deux exercices pratiques. Observez les nombreuses régularités dans la grille de cent. Par exemple :

Choisissez quatre nombres qui forment un carré. Additionnez les deux nombres placés en diagonale tels que 59 + 68 et 58 + 69. Les sommes sont identiques.

127

127

59

68 69

58

Complétez plusieurs grilles de cent, de façon que les élèves puissent explorer de 1 à 100, de 101 à 200 et jusqu’à 999. Sur ces grilles, utilisez des jetons de couleur pour recouvrir les nombres formant une régularité et encouragez les élèves à observer la valeur de position des nombres recouverts.

Observez les régularités dans une table d’addition, telles que :

• seuls les nombres pairs sont situés sur la diagonale principale (du haut à gauche vers le bas à droite), de sorte que la somme d’un nombre avec lui-même est toujours paire.

• les nombres augmentent d’une unité à la fois sur toute une rangée, étant donné qu’il s’en ajoute une à chaque mouvement vers la droite.

• tous les 8 sont en diagonale, car chaque fois que le second terme de l’addition augmente de un, le premier terme diminue de un.

• il y a trois 2, quatre 3, cinq 4, etc. • les diagonales de n’importe quels quatre nombres qui forment un

carré auront la même somme. Les élèves ont déjà vu les tables de multiplication allant jusqu’à 45, mais ils n'ont pas travaillé beaucoup avec une grille de multiplication. Un traitement plus approfondi des régularités dans les grilles de multiplication suivra au chapitre 6.



Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde à l’aide de régularités pour résoudre des problèmes

Stratégies d’évaluation Papier-crayon 4RR1 À l’aide d’une grille de cent, demandez aux élèves de trouver tous les multiples de 2 et de les colorier. Demandez-leur de décrire les régularités. Répétez l’exercice pour des multiples de 3, 4, 5, 6, 7, 8 et de 9. Demandez aux élèves de décrire les changements qu’ils observent à mesure que les nombres augmentent. Quand vous observerez le travail des élèves, remarquez dans quelle mesure :

• ils les trouvent tous; • ils trouvent (certains ou aucun) des multiples du nombre

donné; • ils peuvent prédire et prolonger la régularité des multiples; • ils peuvent décrire la régularité (clairement, en partie,

difficilement) en la rapprochant des dessins semblables dans le monde réel.

Papier-crayon 4RR1.1 Demandez à un élève d’insérer les nombres manquants, tout en expliquant la raison de chaque choix : 4, 8, ___ , 16, 20, __ 5, ___ , 15, ___ , 25 3, ___ , ___ , 12, 15 Portfolio 4RR 1.1 Les enseignants peuvent demander aux élèves de décrire par écrit les régularités qu’ils trouvent dans une grille donnée. Invitez les élèves à réfléchir à la façon dont leur travail prouve qu’ils sont de bons mathématiciens (c.-à-d. en cherchant des régularités, en employant un vocabulaire mathématique pour décrire leur raisonnement, en persévérant malgré les difficultés, en relevant les défis et en posant les bonnes questions.) Papier-crayon 4RR1.2 Remettez aux élèves une grille à laquelle il manque des nombres et demandez-leur de trouver les nombres manquants, tout en expliquant leur raisonnement.

Ressources/Notes Ressources autorisées Compas Mathématique 4 * Chapitre 1: Les régularités en mathématiques Présentation du chapitre GE p. 7 ME p. 1 Premiers pas: Comparer des régularités GE p. 9 - 10 ME p. 2-3 Leçon 1: Les régularités dans une table d’addition RR1 (1.2/ 1.4) GE p. 11-14 ME p. 4-6 CA, p. 1 * Légende GE: Guide d’enseignement ME: Manuel de l’élève CA : Cahier d’activités




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir :

4RR1 Identifier et décrire des

régularités dans des tables et des tableaux, y compris une table de multiplication. (Suite)

[C, L, RP, V] * enseigné dans l’unité sur les

faits de multiplication et de division

Indicateurs de rendement : 4RR1.2 Déterminer les éléments manquants dans une table ou un tableau. 4RR1.4 Décrire la régularité dans une table ou un tableau donné. 4RR3 Représenter, décrire et

prolonger des régularités et des relations à l’aide de représentations graphiques et de tableaux pour résoudre des problèmes.

[C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR3.1 Transposer l’information fournie dans un problème donné dans une table ou un tableau.

4RR3.2 Identifier et prolonger la régularité dans une table ou un tableau pour résoudre un problème donné.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage 4RR2 La grille de cent est un modèle utile aux élèves pour trouver et décrire un certain nombre de régularités. Encouragez les élèves à discuter des règles de régularité comme moyen de les aider à déterminer les éléments manquants. Demandez aux élèves de décrire une régularité pour consolider leur compréhension. Cette description est appelée une règle de régularité. Les élèves doivent utiliser des termes comme verticale, horizontale, diagonale, rangée, colonne, règle de régularité, point de départ et régularité croissante, décroissante et répétitive pour aider à décrire les régularités. 4RR3 Les régularités croissantes comprennent également une composante numérique, par exemple, le nombre d’objets à chaque étape. Une grille ou un tableau peut être créé pour représenter une régularité. Les objets de manipulation peuvent devenir superflus une fois qu’une table est utilisée pour la régularité croissante. Les élèves doivent alors comprendre qu’ils peuvent prolonger une régularité sans avoir à bâtir un modèle à chaque fois. Cela nous mène également à l’étape suivante, qui consiste à prédire ce qui se passera à une étape en particulier (Van de Walle et Lovin 2006, p. 293-294). Demandez aux élèves non seulement de s’exercer à prolonger les régularités à l’aide de matériel de manipulation et de dessins, mais encore et surtout de convertir les régularités d’un moyen d’expression à un autre. Par exemple, si une régularité est créée à l’aide de blocs rouges et bleus, les élèves doivent savoir que ces blocs peuvent aussi être représentés à l’aide de lettres. Échangez avec les élèves pour expliquer en quoi ces régularités sont semblables.




Stratégies d’évaluation Exécution À l’aide d’une grille de cent, placez un jeton de couleur sur les nombres 21, 28, 36 et 45. Utilisez l’addition et la soustraction pour prolonger la régularité dans les deux directions. Continuez d’utiliser les jetons pour compléter la grille de cent. Expliquez la régularité à l’aide d’images, de nombres et de mots.

1

12

23

34

45

56

67

78

89

100

11

22

33

44

55

66

77

88

99

21

32

43

54

65

76

87

98

31

42

53

64

75

86

97

41

52

63

74

85

96

51

62

73

84

95

61

72

83

94

71

82

93

81

9291

102

13

24

35

46

57

68

79

90

3

14

25

36

47

58

69

80

4

15

26

37

48

59

70

5

16

27

38

49

60

6

17

28

39

50

7

18

29

40

8

19

30

20

9

Exécution 4RR1.2/1.4 En utilisant cette régularité numérique, demandez aux élèves de prolonger la régularité et d’expliquer :

• comment ils ont déterminé la régularité et ses éléments manquants

• quelle situation du monde réel pourrait décrire cette régularité.

A B 1 2 2 4 3 4 8

Demandez aux élèves d’utiliser du matériel de manipulation pour illustrer cette régularité. Demandez-leur de décrire comment leur présentation démontre cette régularité.

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 1: Les régularités en mathématiques (Suite) GE p. 11-14 ME p. 4-6 CA, p. 2 Jeu de math: Les régularités dans les grilles 4RR1 (1.4) 4RR2 (2.1) GE p. 15-16 ME p. 7 Compas Mathématique 4 Leçon 2: Prolonger des régularités à l’aide de tableaux RR1 (1.2/ 1.4) RR3 (3.1/ 3.2) GE p.17-20 ME p.8-11 CA, p. 2 Cette leçon est fortement liée au 4RR3.




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir :

4RR3 Représenter, décrire et

prolonger des régularités et des relations à l’aide de représentations graphiques et de tableaux pour résoudre des problèmes. (suite)

[C, L, R, RP, V] L’élève doit pouvoir : 4RR2 Transposer, d’une

représentation à une autre, une régularité observée dans un tableau, dans une représentation graphique ou concrète.

[C, L, V] Indicateurs de rendement : 4RR2.1 Créer une représentation concrète d’une régularité donnée dans une table ou un tableau. 4RR1.3 Identifier l’erreur ou les erreurs dans une table ou un tableau.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Quand ils commencent à étudier le concept des relations, les élèves ont besoin d’utiliser concrètement du matériel de manipulation, soit des grilles et des tableaux utilisés dans des contextes qui sont attrayants et signifiants pour eux. Ils ont besoin également de nombreuses occasions de relier les régularités aux idées de nombre. Une fois le tableau ou la grille remplie, les élèves ont deux représentations d’une régularité : celle créée par le dessin ou le matériel et la version numérique, qui est dans le tableau ou la grille. Quand ils cherchent des régularités, certains élèves se concentreront sur le tableau, tandis que d’autres mettront l’accent sur la régularité physique. Il est important que les élèves comprennent que les mêmes régularités observées peuvent prendre plusieurs formes. Quand ils ont trouvé une régularité dans un tableau, mettez les élèves au défi de voir comment cette régularité est représentée à l’aide de matériel concret. (Van de Walle et Lovin 2006, p. 295).

4RR2.1 Quand on leur soumet une régularité représentée dans une grille ou un tableau, les élèves doivent la reproduire à l’aide de matériel concret. Inversement, ils doivent créer une table ou un tableau quand on leur présente une régularité faite à l’aide de matériel concret. Les élèves doivent avoir tout le loisir de construire des régularités croissantes à l’aide de matériel concret (cure-dents, dessins, cubes emboîtables, etc.) et de créer une table ou un tableau représentant la régularité. Il faut les inviter à décrire ce qui se passe à mesure que la régularité croît et à expliquer comment la nouvelle étape est reliée à la précédente. Les élèves trouveront utile de penser à une règle de régularité et de l’expliquer quand ils cherchent des erreurs dans les tables ou les tableaux.

Étape 1 2 3 4 5 … 10

Nbre de carrés

2 6 12 20 ? … ?




Stratégies d’évaluation 4RR2.2 Exécution Présentez aux élèves une régularité de formes géométriques et demandez-leur de la prolonger et de créer un tableau correspondant. Demandez-leur ce que serait la 10e étape, la 12e ou la 20e. Par exemple :

Exécution 4RR2.1 Présentez une table comprenant une opération mathématique dans la régularité. Expliquez ce que les données pourraient représenter, complétez la table et créez une représentation concrète à l’aide de cubes emboîtables.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 6 9 12 ? ? ? ? ?

Exécution 4RR2 Soumettez aux élèves un problème qui présente une régularité et demandez-leur de représenter cette régularité d’au moins de deux façons et d’expliquer leur raisonnement. Journal 4RR1.3 Donnez aux élèves un tableau comme celui-ci :

1 4 2 8 3 12 4 18 5 20 6 22 7 28 8 32 9 36

Demandez aux élèves de trouver les erreurs et de le noter dans leur journal de mathématiques et de l’expliquer.

Ressources/Notes Leçon 2: Prolonger des régularités à l’aide de tableaux (Suite) Leçon 3: 4RR1 (1.3) 4RR2 (2.2) 4RR3 (3.2) GE pp.21-24 ME pp.12-14 CA, p. 3 Bien que des élèves peuvent répondre aux questions posées sans avoir besoin de représenter les régularités à l’aide de tableaux ou de tables, il est recommandé d'insister qu'ils le fassent quand même au moins d’une façon pour mieux répondre au RR3. Curiosités mathématiques: Les bandes numériques 4RR1 (1.2/ 1.4) GE p. 14 ME p. 15 Cette activité correspond bien aux résultats d’apprentissage mais demeure facultative. Révision 4RR1 (1.2/ 1.4) 4RR2 (2.1) 4RR3 (3.1/ 3.2) GE p. 26-28 ME p. 16-17 À faire si nécessaire. Par contre, prenez soin de bien couvrir la matière découlant des leçons 2 et 3.




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 4RR1 Identifier et décrire des

régularités dans des tables et des tableaux, y compris une table de multiplication. (Suite)

[C, L, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR1.4 Décrire la régularité dans une table ou un tableau donné. 4RR3 Représenter, décrire et

prolonger des régularités et des relations à l’aide de représentations graphiques et de tableaux pour résoudre des problèmes. (suite)

[C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR3.2 Identifier et prolonger la régularité dans une table ou un tableau pour résoudre un problème donné.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage 4RR3 À mesure que les élèves développent leur aptitude à reconnaître et à créer des régularités, ils apprennent à utiliser leurs connaissances. Leur capacité de résoudre les problèmes s’accroît par l’avec l’exercice répétée de régularités diverses. Ils passent d’une reconnaissance de base des régularités à une utilisation plus subtile de ces régularités comme stratégie de résolution de problèmes. 4RR3.2 La résolution de problème devrait permettre aux élèves d’établir des liens entre les régularités physiques et l’information représentée sur une table ou un tableau. Des situations réelles signifiantes doivent être évoquées régulièrement pour s’assurer que les élèves ont suffisamment de pratique pour prolonger les régularités observées dans une table, de façon à résoudre un problème donné. Par exemple : David tentait de se qualifier pour faire partie de l’équipe de natation. Il devait effectuer 30 longueurs avant la fin de la deuxième semaine. Il ne pouvait pas nager les fins de semaine. La première journée, il a parcouru une longueur, la deuxième, cinq longueurs, la troisième neuf longueurs et ainsi de suite. David a-t-il fait suffisamment de longueurs à la fin de la deuxième semaine pour se qualifier dans l’équipe?

Jour Nombre de longueurs Lundi 1 Mardi 5

Mercredi 9 Jeudi 13




Stratégies d’évaluation Exécution 4RR3.1 Demandez aux élèves de résoudre le problème suivant : Jean assemble des trains à l’aide de cubes emboîtables.

S’il continue d’assembler des trains de cette façon, combien de cubes lui faudra-t-il pour le 7e train?

Demandez à l’élève de chercher une régularité et de créer un tableau pour afficher l’information et résoudre le problème.

Train Nombre de blocs 1 1 2 5 3 9 4 5 6 7

Papier-crayon 4RR3.2 Emma accepte de promener les chiens de Katie pendant que celle-ci sera partie en vacances. Voici le tableau représentant l’offre de Katie :

Jour Dollars 1 2 2 4 3 6 4 8

… … 21 ?

Emma : « Je te propose une autre offre. » :

Jour 1 2 3 4 … 21

Dollars 2 4 8 16 … ?

Demandez aux élèves : Si vous étiez Katie, quelle offre choisiriez vous? Expliquez votre choix.

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 4 : Résoudre des problèmes à l’aide de régularités 4RR1 (1.4) 4RR3 (3.2) GE pp.29-31 ME pp.18-19 CA, p. 4 Des exercices supplémentaires peuvent être nécessaires.




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 4RR5 Exprimer un problème

donné sous la forme d’une équation dans laquelle un nombre inconnu est représenté par un symbole.

[L, R, RP] Indicateurs de rendement :

4RR5.1 Expliquer le rôle du symbole, tel qu’un triangle ou un cercle, qui apparaît dans une équation d’addition, dans une équation de soustraction, dans une équation de multiplication ou dans une équation de division à une inconnue donnée, ex : 36 ÷� = 6.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage En 3e année, les élèves ont appris les équations où les nombres inconnus sont représentés par des symboles. On s’attend à ce que les élèves de 4e année soient en mesure de créer et de résoudre des équations à une inconnue à l’aide de l’une ou l’autre des quatre opérations. À ce stade, les élèves utiliseront des opérations d’addition et de soustraction et, au chapitre 6, les équations de multiplication et de division à une inconnue seront couvertes en profondeur. Exemples : 28 – 9 = = 17 – 8 4 + 5 = + 2 50 = 20 + ∆

Une équation est une phrase mathématique avec un signe égal (=) et est employée pour exprimer des relations entre deux quantités. Pour certains élèves, le signe égal présentera une difficulté. Bien qu’ils soient à l’aise avec, par exemple, la phrase 4 + 5 = �, ils interprètent le signe égal comme voulant dire « trouver la réponse ». Par conséquent, en présence de la phrase □ – 4 = 5, ces élèves s’imagineront que la réponse est déjà là. De même, les élèves pourront répondre 4 + □ = 5 en additionnant 4 et 5 pour « trouver la réponse ». La notion d’une équation comme expression d’un équilibre leur échappe. Il est important que les élèves reconnaissent que le signe égal est une façon d’indiquer que le même nombre porte deux noms différents, de part et d’autre du signe égal. (Marian Small, 2008, p. 586). Le signe égal est « un symbole d’équivalence et d’équilibre » (NCTM 2000, p. 39). Les élèves doivent pouvoir utiliser facilement divers symboles pour représenter une inconnue, par exemple, un carré, un cercle ou un triangle.

29 + ∆ = 56 ou 29 + ∆ = 56

Affichez un certain nombre de balances comme il est illustré plus bas. Rappelez aux élèves que la balance étant équilibrée, une équation peut être écrite pour représenter la situation illustrée. Demandez aux élèves d’écrire une équation pour chaque balance et de la résoudre ensuite. Par exemple

8 + � = 20, donc � = 12. � - 8 = 4, donc � = 12

Donnez des exemples, à divers degrés de difficulté, d’utilisation de symboles pour représenter les inconnues. La diversité des formats renforcera la compréhension qu’on les élèves de l’égalité.

8 + 20- 8 4




Stratégies d’évaluation Dialogue élève-enseignant 4RR5.1 Résolvez l’équation suivante et expliquez votre raisonnement.

∆ – 13 = 20 Dialogue élève-enseignant 4RR5.1 Lori dit que le carré dans l’équation suivante représente plus d’un nombre. Lori a-t-elle raison? Pourquoi ou pourquoi pas?

6 + 8 = � + 4 Dialogue élève-enseignant Expliquez comment trouver le nombre manquant dans : 25 + ∆ = 100 Dialogue élève- enseignant Expliquez à quoi sert le carré dans l’équation suivante : 15 - = 8 Dialogue élève- enseignant Deux enfants ont une collection de cartes de hockey. Alex en a cinq de plus que Josie. S’ils ont 25 cartes en tout, combien en ont-ils chacun? (Proulx 2006) Exécution Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dans des situations de problème comportant des mesures. Par exemple : Le périmètre d’un triangle est de 12 cm. Un côté mesure 3 cm et un autre 4. Quelle est la longueur du troisième côté? Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dans des problèmes contextuels avec des données comme : Le bibliothécaire veut savoir quel type de livres acheter pour la bibliothèque. Vingt-trois élèves ont choisi des livres scientifiques et certains ont choisi des livres d’images. Quarante-huit élèves ont choisi des livres scientifiques ou des livres d’images. Combien d’élèves ont choisi des livres d’images? Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dans des situations de problème avec des figures géométriques comme : Gina forme des pentagones avec des cure-dents. Elle dispose de 30 cure-dents. Combien de pentagones peut-elle former?

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 5: Résoudre des équations 4RR5 (5.2/ 5.2) 4RR6 (6.1/ 6.3) GE p. 32-35 ME p. 20-23 CA, p. 5 Encouragez les élèves à écrire une équation pour chaque problème, car il est possible de résoudre chaque problème sans s’appuyer sur la notion d’équilibre.

+ 5 25

Alex total number of hockey cardsJosie



36 - = 32



donné sous la forme d’une équation dans laquelle un nombre inconnu est représenté par un symbole. (Suite)


4RR5.2 Exprimer une représentation concrète ou imagée d’une équation sous la forme d’une équation à une inconnue en utilisant un symbole pour représenter l’inconnue.

4RR6 Résoudre des équations à une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole.

[C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement :

4RR6.1 Résoudre une équation à une étape donnée à l’aide de matériel de manipulation.

4RR6.3 Décrire oralement la signification d’une équation à une inconnue et à une étape donnée.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage 4RR5.2 Remettez aux élèves diverses représentations comme des diagrammes, des droites numériques et du matériel concret qui peuvent s’agencer comme des équations. Exemples :

29 30 31 32 33 34 35 36

Ce résultat d’apprentissage est une continuation de RR5, où la résolution de l’équation constitue l’étape suivante. L’aspect de multiplication et de division de ce résultat est abordé plus tard au chapitre 6, Les opérations de multiplication et de division. Exemples d’équations comportant une addition et une soustraction :

Si Yolanda a 18 cartes et Jean cinq. Écrivez une équation qui indique combien de cartes de plus a Yolanda. Résolvez l’équation :

18 - 5 = 5 + = 18

Vous avez 24 billes et votre ami vous en donne davantage. Vous avez maintenant 32 billes en tout. Combien de billes votre ami vous a-t-il données? a. Écrivez une équation montrant ce qui se passe dans ce problème. b. Résolvez le problème. Expliquez votre raisonnement.

À mesure qu’ils auront l’occasion d’expliquer leurs solutions et de réagir à celles des autres, les élèves développeront leurs compétences en communication des mathématiques.

= +




Stratégies d’évaluation Exécution

4RR5.2 Modélisez à l’aide de matériel de manipulation et écrivez l’équation sous forme symbolique :

• Modélisez 4 groupes de 5 jetons et écrivez l’équation correspondante. Les réponses possibles sont 5 + 5 + 5 + 5 = ∆

ou 4 x 5 = 20

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 5 (Suite): Résoudre des équations GE pp.32-35 ME pp.20-23 CA, p. 5 Encouragez les élèves à écrire une équation pour chaque problème car il est possible de résoudre chaque problème sans consolider la notion d’équilibre.





donné sous la forme d’une équation dans laquelle un nombre inconnu est représenté par un symbole. (Suite)


4RR5.3 Identifier la valeur inconnue dans l’énoncé d’un problème, représenter le problème sous la forme d’une équation, puis résoudre le problème, de façon concrète, imagée ou symbolique.

4RR5.4 Créer un problème contextualisé qui correspond à une équation à une inconnue donnée.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage 4RR5.3 Faites constamment des liens entre les représentations concrètes, imagées et symboliques et les équations afin que les élèves élargissent leur compréhension des équations. Donnez aux élèves divers problèmes tirés de la vie courante et demandez-leur d’écrire les équations appropriées pour représenter ces situations. Par exemple :

• Vous avez trois boîtes de crayons avec le même nombre de crayons dans chaque boîte. Il y a en tout 36 crayons.

• Un ruban rouge fait 36 cm de longueur et un ruban bleu

63 cm. De combien le ruban bleu est-il plus long que le rouge?

4RR5.4 Situez vos problèmes dans des contextes de tous les jours afin que les élèves puissent comprendre quand ils convertissent le sens du problème par une équation appropriée en utilisant le symbole pour représenter le nombre inconnu. Encouragez-les à créer des problèmes dont la solution exige différentes opérations : + - x ÷




Stratégies d’évaluation Exécution 4RR5.3 En vous servant d’un problème tiré de la vie quotidienne, demandez aux élèves d’écrire une équation correspondante au problème (par ex. il y a quatre sandwiches sur un plateau; il y en avait 13 au départ; il en manque un certain nombre). Les élèves créent une équation correspondante (par ex. 4+=13). Exécution 4RR5.3 Remettez aux élèves des cubes emboîtables – blancs, rouges et bleus (ou deux autres couleurs de votre choix). Posez le problème suivant :

« Gregory a 13 billes rouges et 22 bleues. « Combien de billes bleues de plus que de billes rouges Gregory a-t-il? »

Demandez aux élèves de modéliser cette situation en construisant deux colonnes à l’aide de cubes, l’une représentant les billes rouges et l’autre les bleues. Pour trouver la différence entre les deux colonnes, des cubes blancs sont ajoutés à la colonne rouge pour représenter la différence entre les deux quantités. Demandez aux élèves de dessiner un diagramme pour représenter la situation. Portfolio 4RR5.3 Après avoir résolu une équation, demandez aux élèves de noter dans leur journal de math à l’aide des incitatifs suivants :

• Je sais que j’ai raison parce que _______. • Parmi les stratégies que j’ai utilisées pour résoudre le

problème figurait _______. • J’ai appris notamment que : _______. • Un défi que j’ai eu à relever fut _______.

Exécution En se servant d’une équation comme 14 + = 21 ou 5 x =15, les élèves créent et résolvent un problème de la vie de tous les jours. Rappelez-vous d’inclure des équations avec +, -, x, ÷. Observez dans quelle mesure ils peuvent :

• créer un contexte qui corresponde à l’équation; • expliquer la signification de la variable inconnue; • résoudre le problème d’une façon ou plus.

Exécution Dessinez un diagramme qui représente cette équation. ∆ + 23 = 48 Résolvez l’équation. Écrivez une autre équation qui est équivalente à ∆ + 23 = 48.

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 6: Résoudre des problèmes à l’aide d’équations 4RR5 (5.3/ 5.4) 4RR6 (6.1/ 6.2/ 6.3/ 6.4) GE pp.36-39 ME pp.24-26 CA, p. 6




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 4RR6 Résoudre des équations à

une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. (Suite)

[C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR6.2 Résoudre une équation à une étape donnée en procédant par tâtonnement.

4RR6.4 Résoudre une équation donnée dans laquelle l’inconnue apparaît dans le membre de gauche ou dans le membre de droite.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Modélisez le processus « par tâtonnement » pour trouver la valeur de l’inconnue qui équilibrera les deux membres de l’équation. Pour cette stratégie, un élève tente de deviner une réponse et fait l’essai de sa supposition pour voir s’il a deviné juste. Si non, l’élève révise sa supposition à la lumière de ce qu’il a appris et essaie de nouveau. Ce processus répétitif se poursuit jusqu’à ce que l’on trouve la bonne réponse. Certains élèves sont capables d’entrevoir la solution d’un simple coup d’œil alors que d’autres doivent procéder une étape à la fois. Bien que nous pensions souvent qu’il est incorrect de deviner, une telle stratégie valorise la prise de risques et l’apprentissage d’après l’information recueillie. (Small 2008, p. 44). Exemple : Il y a huit filles de plus que de garçons dans une pièce. Au total il y a 24 personnes. Combien y a-t-il de garçons? Solution possible : Un enfant pourrait commencer par penser ainsi : 5 garçons et 13 filles font 18 personnes (pas assez de personnes) 10 garçons et 18 filles font 28 personnes (trop de personnes) 8 garçons et 16 filles font 24 personnes (il y a 8 garçons). Les élèves doivent avoir des occasions d’écrire des équations où le nombre manquant se trouve à divers endroits. Par exemple : 15 + = 275 260 + 15 =




Stratégies d’évaluation Journal 4N6 Soumettez aux élèves le problème suivant : Vous savez que + 24 = 35. peut-il représenter 10? Utilisez des mots, des images ou des symboles pour montrer comment vous le savez. La question est suffisamment ouverte pour que certains élèves puissent choisir de dessiner une balance… d’autres d’utiliser des modèles de base dix. D’autres pourront écrire 10 + 24 = 34, non 35… et ainsi de suite. Papier-crayon Invitez les élèves à écrire autant d’équations différentes que possible, en utilisant des symboles pour représenter cette situation. Demandez-leur d’échanger leurs équations et de s’assurer qu’un grand nombre d’équations sont incluses. Par exemple : 15 + = 24 ◊ + 15 = 24 24 = 15 + ∆ 24 = + 15 24 – ⌂ = 15 24 – 15 = 15 = 24 – ∆ = 24 – 15 Exécution Demandez aux élèves, par la discussion, de verbaliser diverses façons d’écrire des équations pour représenter la situation. Encouragez-les à utiliser différents symboles. Assurez-vous qu’ils incluent des équations où le symbole représentant l’inconnue est situé à gauche et d’autres équations où il est situé à droite. 48 + = 100 ∆ + 48 = 100 100 = ◊ + 48 100 = 48 + ⌂ 100 – 48 = ∆ = 100 – 48 100 – ◊ = 48 48 = 100 – Exécution Que vaut le ∆ dans les phrases d’addition et de soustraction suivantes? ∆ - 7 = 6 9 + ∆ = 17 Placez les nombres manquants dans les symboles pour former une vraie phrase d’addition ou de soustraction.

Ressources/Notes Leçon 6 (Suite): Résoudre des problèmes à l’aide d’équations GE p. 36-39 ME p. 24-26 Compas Mathématique 4 Leçon 7: Résoudre des équations tirées d’un récit 4RR5 (5..3/ 5.4) 4RR6 (6.1/ 6.2/ 6.4) GE pp.40-42 ME p.27 CA, p. 7 Si vous choisissez d’enseigner la leçon 7, il est important que vous choisissiez soigneusement les exercices de la leçon 6, étant donné que les leçons 5, 6 et 7 visent toutes le même résultat.




Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir : 4RR6 Résoudre des équations à

une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. (Suite)

[C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement :

4RR6.5 Représenter et résoudre un problème d’addition ou de soustraction donné, comprenant un contexte partie-partie-tout ou un contexte de comparaison, à l’aide d’un symbole pour représenter l’inconnue.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Soumettez aux élèves des problèmes comprenant un contexte partie–partie–tout et un contexte de comparaison et demandez-leur d’explorer l’idée d’un symbole représentant une quantité inconnue précise quand ils convertissent ces problèmes en équations écrites. Réexaminez la signification du signe = comme symbole d’équivalence ou d’équilibre de deux quantités de part et d’autre de l’équation. Exemples de problèmes :

Partie–partie–tout Tout : inconnue Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes a-t-elle? Partie : inconnue Connie a 43 billes. Quinze sont rouges et les autres bleues. Combien de billes bleues a Connie?

Comparaison Différence : inconnue Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes bleues de plus que de billes rouges a Connie? (Comparez) Grande quantité : inconnue Connie a 15 billes rouges et des billes bleues. Elle a 13 billes bleues de plus que de rouges. Combien de billes bleues a Connie? Petite quantité : inconnue Connie a 28 billes bleues. Elle a 13 billes bleues de plus que de rouges. Combien de billes rouges Connie a-t-elle? Groupez les élèves par deux et soumettez leur le problème suivant : Stéphane a 15 ans. Il a un frère plus jeune. La somme de leurs âges est 25. Écrivez une phrase de nombres qui vous aidera à résoudre ce problème. Modélisez l’écriture d’une phrase de nombres pour la situation du problème. Utilisez une stratégie de « raisonnement à voix haute » pour aider les élèves à comprendre comment aborder la tâche. Demandez : • De quelle information disposons-nous au sujet de ce problème?

(Stéphane a 15 ans; lorsque vous additionnez son âge à celui de son frère, vous obtenez 25)

• Quelle information nous manque-t-il? (L’âge du frère • Quelles opérations pouvons-nous utiliser pour résoudre ce

problème? Expliquez aux élèves qu’ils peuvent substituer un symbole au nombre inconnu. Écrivez l’équation « 15 + = 25 » au tableau ou sur du papier graphique. Demandez aux élèves ce que signifie dans ce problème. Demandez-leur de déterminer la valeur de . Remettez aux élèves des jetons comme stratégie pour modéliser et résoudre le problème. Permettez aux élèves de travailler en groupe de deux pour trouver la solution de . Demandez à des élèves de partager leur réponse et d’expliquer leur stratégie. Modélisez le problème à l’aide des jetons et de l’équation. Placez 15 jetons sur le rétroprojecteur. Ajoutez des jetons jusqu’à ce qu’il y en ait 25. Demandez aux élèves combien de jetons ont été ajoutés.




Stratégies d’évaluation Exécution Demandez aux élèves de représenter et de résoudre ces problèmes écrits : Jackie est la sœur aînée de Sophie. La différence d’âge entre elles est de 21 ans. Sophie a maintenant 37 ans. Quel âge a Jackie? Mme Dupont a permis à sept élèves d’aller à la toilette. Il reste 15 élèves dans la salle. Combien d’élèves y a-t-il dans la classe? Écrivez autant de phrases de nombres que possible pour vérifier ce que sont : ∆ = 8 (Les réponses peuvent être 20 - ∆ = 12 ou ∆ + 30 = 38)

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Révision du chapitre 4RR1 (1.2/ 1.3/ 1.4) 4RR2 (2.1) 4RR3 (3.1/ 3.2) 4RR5 (5.1/ 5.2/ 5.3/ 5.4) 4RR6 GE p. 43-46 ME p. 28-30 Tâche du chapitre 4RR1 (1.1/ 1.4) 4RR2 (2.1) 4RR3 (3.1/ 3.2) GE p. 47-49 ME p. 1 Exerce-toi! CA p. 8 Test du chapitre 1 GE p. 63-64

LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES - …©e... · LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES ... bons...

Documents

Transcript of LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES - …©e... · LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES ... bons...